एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चूंकि प्रतिशत से कच्चे स्कोर में परिवर्तन रैखिक और एकदिष्ट रूप से बढ़ रहा है, माध्यक कच्चा स्कोर सीधे माध्यक प्रतिशत के कच्चे स्कोर के अनुरूप होता है।

रसायन विज्ञान में सात छात्रों द्वारा प्राप्त प्रतिशत हैं: 35%, 50%, 60%, 65%, 65%, 75%, 80%

इन प्रतिशत को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 35%, 50%, 60%, 65%, 65%, 75%, 80%

N = 7 प्रेक्षणों के साथ, माध्यक (7 + 1)/2 = 4वां पद है। क्रमित सूची में 4वां पद 65% है।

रसायन विज्ञान के लिए अधिकतम अंक (130) का उपयोग करके, माध्यक कच्चा स्कोर है: 130 का 65% = 0.65 × 130 = 84.5

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, क्षेत्रफल की गणना दो तरीकों से की जा सकती है: दो लंबवत भुजाओं को आधार और ऊंचाई के रूप में उपयोग करके, या कर्ण और उस पर खींचे गए शीर्षलंब का उपयोग करके।

क्षेत्रफल = ½ × भुजा₁ × भुजा₂ = ½ × कर्ण × शीर्षलंब

यह संबंध देता है:

शीर्षलंब = (भुजा₁ × भुजा₂) / कर्ण

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

K = (12 × 16) / 20

K = 192 / 20

K = 9.6 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π × r × l सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r शंकु की त्रिज्या और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिया गया है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2200 वर्ग सेमी त्रिज्या (r) = 28 सेमी π = 22/7

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2200 = (22/7) × 28 × l

समीकरण को सरल करने पर: 2200 = 22 × 4 × l 2200 = 88 × l l = 2200 / 88 l = 25

शंकु की तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।

व्याख्या

l, w, और h लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाले एक घनाभ के लिए, तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल इस प्रकार दिए जाते हैं: A₁ = l × w = 120 A₂ = w × h = 72 A₃ = l × h = 60

इन तीन समीकरणों को गुणा करने पर: A₁ × A₂ × A₃ = (l × w) × (w × h) × (l × h) = l² × w² × h² = (l × w × h)²

चूंकि एक घनाभ का आयतन V = l × w × h होता है, हमारे पास है: V² = A₁ × A₂ × A₃

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर आयतन का मानक सूत्र प्राप्त होता है: V = √(A₁ × A₂ × A₃)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = √(120 × 72 × 60) V = √(7200 × 72) V = √(72 × 100 × 72) V = √(72² × 10²) V = 72 × 10 V = 720 सेमी³

व्याख्या

शंकु के लिए पाइथागोरस संबंध का उपयोग करते हुए, ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई l, और आधार त्रिज्या r निम्न सूत्र द्वारा संबंधित हैं: l² = r² + h²

आधार त्रिज्या r = 6 सेमी और तिर्यक ऊँचाई l = 10 सेमी दी गई है, हम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 10² = 6² + h² 100 = 36 + h² h² = 64 h = 8 सेमी

शंकु का आयतन V निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है: V = ⅓πr²h

आयतन सूत्र में r और h के मानों को प्रतिस्थापित करना: V = ⅓ × π × 6² × 8 V = ⅓ × π × 36 × 8 V = 12 × 8 × π V = 96π सेमी³

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है: r = 24/2 = 12 सेमी

संपर्क बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण केंद्र से बाह्य बिंदु तक की दूरी (d = 37 सेमी) है, एक भुजा त्रिज्या (r = 12 सेमी) है, और दूसरी भुजा स्पर्शरेखा की लंबाई (t) है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: t² + r² = d² t² + 12² = 37² t² + 144 = 1369 t² = 1225 t = √1225 = 35 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कार का मूल मूल्य P है। चूँकि विक्रय मूल्य मूल मूल्य से 20% कम है, विक्रय मूल्य P का 80% के बराबर है।

विक्रय मूल्य = P × (1 - 0.20) = 0.80 × P

दिया गया है कि विक्रय मूल्य 5,00,000 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं:

5,00,000 = 0.80 × P

P के लिए हल करना: P = 5,00,000 ÷ 0.80 P = 5,00,000 × 5/4 P = 1,25,000 × 5 P = 6,25,000

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों के अनुपात का पता लगाने के लिए मिश्रण के नियम का उपयोग करना:

लड़कियों के औसत में से कक्षा के औसत को घटाएं और कक्षा के औसत में से लड़कों के औसत को घटाएं ताकि लड़कों और लड़कियों का व्युत्क्रम अनुपात ज्ञात हो सके।

लड़कियों के लिए अंतर: 90 - 75 = 15 लड़कों के लिए अंतर: 75 - 70 = 5

लड़कों का लड़कियों से अनुपात = (लड़कियों का औसत - कक्षा का औसत) ÷ (कक्षा का औसत - लड़कों का औसत) = 15 ÷ 5 = 3 / 1

कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3:1 है।

लड़कों का प्रतिशत = (लड़कों का अनुपात ÷ कुल अनुपात) × 100 = (3 ÷ (3 + 1)) × 100 = (3 / 4) × 100 = 75%

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्दिष्ट करता है: कोष्ठक (Brackets), घात (Orders), भाग (Division) और गुणा (Multiplication) (बाएं से दाएं), और जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) (बाएं से दाएं)।

दिया गया व्यंजक है: (45 + 9) ÷ 2 - 7 × 33 ÷ 7 + [(7 + 18) × 6] + 9 × 8 - 89

सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठकों के अंदर की संक्रियाओं को सरल करें: 45 + 9 = 54 7 + 18 = 25

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 54 ÷ 2 - 7 × 33 ÷ 7 + [25 × 6] + 9 × 8 - 89

अगला, वर्ग कोष्ठक को सरल करें: 25 × 6 = 150

अब, इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 54 ÷ 2 - 7 × 33 ÷ 7 + 150 + 9 × 8 - 89

अब बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रियाएं करें: 54 ÷ 2 = 27 7 × 33 ÷ 7 = 231 ÷ 7 = 33 9 × 8 = 72

इन मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: 27 - 33 + 150 + 72 - 89

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव की संक्रियाएं करें: 27 - 33 = -6 -6 + 150 = 144 144 + 72 = 216 216 - 89 = 127

व्याख्या

मान लीजिए चुनाव में डाले गए मतों की कुल संख्या V है।

चूंकि केवल दो उम्मीदवार थे, जीतने वाले उम्मीदवार को शेष मतों का हिस्सा प्राप्त हुआ: 100% - 35% = 65%

जीतने वाले उम्मीदवार और हारे हुए उम्मीदवार के बीच मतों के प्रतिशत का अंतर है: 65% - 35% = 30%

यह 30% का अंतर 381 मतों के हार के अंतर के बराबर है। इसलिए, हम संबंध स्थापित कर सकते हैं: V का 30% = 381 0.30 × V = 381 V = 381 / 0.30 V = 1270

व्याख्या

त्रिभुज STR और MNJ में, SU और MV क्रमशः भुजा TR और NJ की माध्यिकाएँ हैं। चूँकि TR = NJ और U तथा V मध्य बिंदु हैं, इसलिए TU = NV और UR = VJ होगा।

त्रिभुज STU और MNV की तुलना करने पर: ST = MN (दिया गया है) TU = NV (चूँकि TR = NJ) SU = MV (दिया गया है)

SSS सर्वांगसमता से, ΔSTU ≅ ΔMNV। इससे ∠NMV = ∠TSU = 46° प्राप्त होता है।

चूँकि V रेखा NJ पर स्थित है, कोण ∠NMJ को ∠NMV और ∠VMJ में विभाजित किया गया है: ∠NMJ = ∠NMV + ∠VMJ 79° = 46° + ∠VMJ ∠VMJ = 33°

चूँकि N, V, और J एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, कोण ∠MVN और ∠MVJ एक रैखिक युग्म बनाते हैं: ∠MVJ = 180° - ∠MVN = 180° - 88° = 92°

त्रिभुज MVJ में, कोणों का योग 180° होता है: ∠VMJ + ∠MVJ + ∠MJV = 180° 33° + 92° + ∠MJV = 180° 125° + ∠MJV = 180° ∠MJV = 55°

त्रिभुज SUR और MVJ की तुलना करने पर: SU = MV (दिया गया है) UR = VJ (चूँकि TR = NJ) ∠SUR = 180° - ∠TUS और ∠MVJ = 180° - ∠NVM। चूँकि ΔSTU ≅ ΔMNV, हमारे पास ∠TUS = ∠NVM है, जिसका अर्थ है ∠SUR = ∠MVJ।

SAS सर्वांगसमता से, ΔSUR ≅ ΔMVJ। इसलिए, ∠SRT = ∠SRU = ∠MJV = 55°।

अपेक्षित मान है: (7/11) × ∠SRT = (7/11) × 55° = 35°

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = ((नया मान - मूल मान) / मूल मान) × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = ((234 - 200) / 200) × 100

प्रतिशत वृद्धि = (34 / 200) × 100

प्रतिशत वृद्धि = 34 / 2 = 17%

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करते हुए, जिस अनुपात में दालों की दो किस्मों को मिलाया जाना चाहिए, वह सूत्र द्वारा दिया गया है:

सस्ती मात्रा का महंगी मात्रा से अनुपात = (महंगी कीमत - औसत कीमत) / (औसत कीमत - सस्ती कीमत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सस्ती कीमत = ₹60 प्रति किलोग्राम महंगी कीमत = ₹75 प्रति किलोग्राम औसत कीमत = ₹65 प्रति किलोग्राम

आवश्यक अनुपात = (75 - 65) / (65 - 60) आवश्यक अनुपात = 10 / 5 आवश्यक अनुपात = 2 / 1

इस प्रकार, किराना विक्रेता को दोनों किस्मों को 2 : 1 के अनुपात में मिलाना चाहिए।

व्याख्या

सही उत्तर: C

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 का उपयोग करके, हम प्रथम चतुर्थांश में कोण θ के लिए cos θ ज्ञात करते हैं जहाँ सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं:

cos θ = √(1 - sin² θ)

sin θ = 7/25 को प्रतिस्थापित करने पर:

cos θ = √(1 - (7/25)²) cos θ = √(1 - 49/625) cos θ = √(576/625) cos θ = 24/25

स्पर्शज्या (tangent) की परिभाषा का उपयोग करके:

tan θ = sin θ / cos θ tan θ = (7/25) / (24/25) tan θ = 7/24

व्याख्या

दो गतियों के लिए मानक दूरी सूत्र का उपयोग करके, आगमन के समय में दिए गए अंतर के साथ:

दूरी = (s₁ × s₂) / (s₂ - s₁) × Δt

जहाँ s₁ = 6 किमी/घंटा पहली गति है, s₂ = 8 किमी/घंटा दूसरी गति है, और Δt कुल समय अंतर है।

तान्या पहले मामले में 2 मिनट देर से और दूसरे मामले में 3 मिनट जल्दी है, जिससे कुल समय अंतर बनता है: Δt = 2 + 3 = 5 मिनट = 5/60 घंटे = 1/12 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: दूरी = (6 × 8) / (8 - 6) × 1/12 दूरी = 48 / 2 × 1/12 दूरी = 24 × 1/12 = 2 किमी

यह स्टेशन पहुँचने के लिए तान्या द्वारा तय की गई दूरी से मेल खाता है।

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके, कार्य = दक्षता × समय।

मान लीजिए E और S एक इंजीनियर और एक कुशल श्रमिक की दैनिक दक्षता हैं। चूँकि कुल कार्य समान है: 6E × 5 = 5S × 7 30E = 35S E/S = 7/6

हम एक इंजीनियर E की दक्षता को प्रति दिन 7 इकाई और एक कुशल श्रमिक S को प्रति दिन 6 इकाई मान सकते हैं।

कुल कार्य है: कार्य = 30E = 30 × 7 = 210 इकाई

7 इंजीनियरों और 4 कुशल श्रमिकों की संयुक्त दक्षता है: संयुक्त दक्षता = 7E + 4S = 7(7) + 4(6) = 49 + 24 = 73 इकाई प्रति दिन

कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय है: समय = कुल कार्य / संयुक्त दक्षता = 210/73 दिन = 2 64/73 दिन

व्याख्या

अनुपात A : C ज्ञात करने के लिए, दिए गए अनुपातों A : B और B : C को सूत्र का उपयोग करके संयोजित करें: A/C = (A/B) × (B/C)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: A/C = (5/8) × (7/8) = (5 × 7) / (8 × 8) = 35/64

यह अनुपात देता है: A : C = 35 : 64

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि = (मूल्य में वृद्धि / मूल मूल्य) × 100

वस्तु का मूल क्रय मूल्य ₹2,500 है और बढ़ा हुआ क्रय मूल्य ₹3,000 है।

मूल्य में निरपेक्ष वृद्धि है: 3,000 - 2,500 = ₹500

इन मानों को सूत्र में रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (500 / 2,500) × 100 प्रतिशत वृद्धि = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए डाले गए कुल मत V हैं। चूँकि केवल दो उम्मीदवार हैं, और A को कुल मतों का 33% प्राप्त हुआ, शेष मत B को मिले।

B का मत प्रतिशत = 100% - 33% = 67%

B के जीत का अंतर B के मतों और A के मतों के बीच का अंतर है: 67% - 33% = कुल मतों का 34%

प्रश्न के अनुसार, यह अंतर 55,522 मत है: V का 34% = 55,522 V का 1% = 55,522 ÷ 34 = 1,633

B द्वारा प्राप्त मतों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस इकाई मान को B के मत प्रतिशत से गुणा करते हैं: B के मत = 67 × 1,633 = 1,09,411

व्याख्या

माध्य की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

माध्य = ∑(f × x) / ∑f

जहाँ x वर्षों में आयु का प्रतिनिधित्व करता है और f बच्चों की संख्या (आवृत्ति) का प्रतिनिधित्व करता है।

∑(f × x) = (6 × 8) + (7 × 3) + (8 × 7) + (9 × 2) + (10 × 20) ∑(f × x) = 48 + 21 + 56 + 18 + 200 = 343

बच्चों की कुल संख्या है: ∑f = 8 + 3 + 7 + 2 + 20 = 40

माध्य = 343 / 40 = 8.575 वर्ष

बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। यहाँ, उच्चतम आवृत्ति 20 है, जो 10 वर्ष की आयु से मेल खाती है।

बहुलक = 10 वर्ष

माध्य और बहुलक के बीच निरपेक्ष अंतर है: अंतर = 10 - 8.575 = 1.425 वर्ष

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करके, प्रत्येक कोष्ठक के अंदर के संक्रियाओं को पहले सरल करें:

पहला पद: (36 ÷ 6) ÷ 3 = 6 ÷ 3 = 2

दूसरा पद: (18 ÷ 9) × 4 = 2 × 4 = 8

तीसरा पद: (12 ÷ 6) × (5 ÷ 2) = 2 × 2.5 = 5

इन मूल्यांकित पदों को अंकगणितीय संक्रियाओं के अनुसार संयोजित करें:

2 + 8 - 5 = 10 - 5 = 5

व्याख्या

त्रिभुज के दो कोणों के आंतरिक कोण समद्विभाजकों के अंतःकेंद्र पर प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित कोण का संबंध इस प्रकार दिया गया है:

कोण = 90° + A/2

जहाँ A समद्विभाजित कोणों वाली भुजा के सम्मुख तीसरा कोण है।

इस समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के बीच का कोण A = 40° है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कोण = 90° + 40°/2 = 90° + 20° = 110°

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, दोनों व्यक्तिगत अनुपातों में B को दर्शाने वाला पद बराबर होना चाहिए।

दिए गए अनुपात हैं: A:B = 3:7 B:C = 2:5

पहले अनुपात में B के संगत मान 7 है और दूसरे अनुपात में 2 है। इन्हें बराबर करने के लिए, 7 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो 14 है।

अनुपात A:B के दोनों पदों को 2 से गुणा करें: A:B = (3 × 2) : (7 × 2) = 6:14

अनुपात B:C के दोनों पदों को 7 से गुणा करें: B:C = (2 × 7) : (5 × 7) = 14:35

चूंकि B का मान अब सामान्य है, अनुपातों को सीधे संयोजित करें: A:B:C = 6:14:35

व्याख्या

लड़कियों की संख्या = कुल छात्र संख्या - लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या = 640 - 400 = 240

लड़कियों और लड़कों का अनुपात है: लड़कियाँ : लड़के = 240 : 400

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 80 से विभाजित करने पर: 240 ÷ 80 = 3 400 ÷ 80 = 5

यह 3:5 का सरलीकृत अनुपात देता है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = (1/3) × π × r² × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है।

त्रिज्या r = 3.5 सेमी (जिसे 7/2 सेमी लिखा जा सकता है) और ऊंचाई h = 4 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (1/3) × π × (7/2)² × 4 V = (1/3) × π × (49/4) × 4 V = (49/3) × π घन सेमी

मान लीजिए प्राप्त शंकुओं की संख्या N है। पिघले हुए गोले का कुल आयतन सभी पुनः ढाले गए शंकुओं के संयुक्त आयतन के बराबर होना चाहिए: 3136π = N × (49/3) × π

दोनों पक्षों से π को रद्द करने पर: 3136 = N × 49/3 N = (3136 × 3) / 49 N = 64 × 3 N = 192

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर से सख्ती से अधिक और उनके योग से सख्ती से कम होनी चाहिए। a, b, और c लंबाई वाली भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए, यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

|a - b| < c < a + b

तीसरी भुजा y के लिए असमानता में 25 सेमी और 19 सेमी की दी गई भुजा लंबाइयों को प्रतिस्थापित करने पर:

|25 - 19| < y < 25 + 19

6 < y < 44

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, इस संख्या का 35% का 20%, 240.8 है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

0.20 × 0.35 × x = 240.8

दशमलव गुणांकों को गुणा करने पर:

0.07 × x = 240.8

x के लिए हल करने पर:

x = 240.8 ÷ 0.07 x = 3440

अब, इस संख्या का 18% ज्ञात करें:

3440 का 18% = 0.18 × 3440 3440 का 18% = 619.2

व्याख्या

वनस्पति विज्ञान में राम द्वारा प्राप्त अंक ज्ञात करने के लिए, 200 के अधिकतम अंकों का 95% परिकलित करें: राम के वनस्पति विज्ञान के अंक = 200 का 95% = (95 / 100) × 200 = 190

वनस्पति विज्ञान में कर्ण द्वारा प्राप्त अंक ज्ञात करने के लिए, 200 के अधिकतम अंकों का 80% परिकलित करें: कर्ण के वनस्पति विज्ञान के अंक = 200 का 80% = (80 / 100) × 200 = 160

दोनों अंकों की तुलना करने पर: अंतर = 190 - 160 = 30

चूंकि 190, 160 से अधिक है, इसलिए वनस्पति विज्ञान में राम के अंक कर्ण के अंकों से 30 अधिक हैं।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है।

बड़े गोले का व्यास 18 सेमी है, जिससे त्रिज्या R 9 सेमी हो जाती है। प्रत्येक छोटी कागज की गेंद का व्यास 2 सेमी है, जिससे त्रिज्या r 1 सेमी हो जाती है।

बड़े गोले से बनाई जा सकने वाली छोटी कागज की गेंदों की संख्या उनके आयतन के अनुपात के बराबर होती है:

गेंदों की संख्या = बड़े गोले का आयतन ÷ छोटी गेंद का आयतन

गेंदों की संख्या = (4/3 π R³) ÷ (4/3 π r³) = R³ ÷ r³

संबंध में मानों को प्रतिस्थापित करना:

गेंदों की संख्या = 9³ ÷ 1³ = 729 ÷ 1 = 729

व्याख्या

चोर की गति (Vₜ) उनके द्वारा तय की गई दूरी और पकड़े जाने से पहले लिए गए समय का उपयोग करके गणना की जाती है: Vₜ = 6 किमी / 0.5 घंटे = 12 किमी/घंटा

चूंकि चोर की गति पुलिसकर्मी की गति (Vₚ) का 4/5 गुना है: Vₜ = (4/5) × Vₚ 12 = (4/5) × Vₚ Vₚ = 15 किमी/घंटा

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = Vₚ - Vₜ = 15 - 12 = 3 किमी/घंटा

उनके बीच की प्रारंभिक दूरी 30 मिनट (0.5 घंटे) के दिए गए समय में पुलिसकर्मी द्वारा चोर के सापेक्ष तय की गई दूरी है: प्रारंभिक दूरी = सापेक्ष गति × समय = 3 किमी/घंटा × 0.5 घंटे = 1.5 किमी

व्याख्या

त्रिभुज की दी गई भुजाओं की लंबाई 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी है। ये लंबाई पाइथागोरस संबंध को संतुष्ट करती हैं:

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

यह पुष्टि करता है कि त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, जहाँ 6 सेमी और 8 सेमी लंबाई वाली भुजाएँ लंब (आधार और ऊंचाई) हैं और 10 सेमी लंबाई वाली भुजा कर्ण है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 = 24 सेमी²

व्याख्या

माना कि एक वस्तु का विक्रय मूल्य s है।

22 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 22s है। इन 22 वस्तुओं को बेचने पर अर्जित लाभ 6 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 6s है।

मानक लाभ संबंध का उपयोग करके: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ 22 वस्तुओं का क्रय मूल्य = 22s - 6s = 16s

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ% = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: लाभ% = (6s / 16s) × 100 लाभ% = 3/8 × 100 लाभ% = 37.5% = 37 ½%

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के तीन कोण A, B, और C हैं। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

जब तीनों कोणों में से प्रत्येक से 17° घटाया जाता है, तो नए कोणों का योग होता है: 180° - (3 × 17°) = 180° - 51° = 129°

इन घटे हुए कोणों का अनुपात 3:4:7 है। मान लीजिए घटे हुए कोण 3x, 4x, और 7x हैं। 3x + 4x + 7x = 129° 14x = 129° x = 129°/14

सबसे बड़ा घटा हुआ कोण सबसे बड़े अनुपात पद, 7x द्वारा दर्शाया जाता है: 7x = 7 × (129°/14) = 129°/2 = 64.5°

सबसे बड़े मूल कोण को ज्ञात करने के लिए, हटाई गई 17° को वापस जोड़ें: 64.5° + 17° = 81.5°

इस कोण को डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए, π/180 से गुणा करें: 81.5° × (π/180) = (163/2) × (π/180) = 163π/360

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: CP × (100 + लाभ%) = MP × (100 - छूट%)

दिए गए प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP × (100 + 90) = MP × (100 - 20) CP × 190 = MP × 80 MP/CP = 19/8

जब छूट को 40% में बदल दिया जाता है, तो नया विक्रय मूल्य (SP) है: नया SP = MP × (100 - 40)% = MP × 0.6

MP/CP = 19/8 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: नया SP = (19/8) × CP × 0.6 = 1.425 × CP

नया लाभ प्रतिशत है: नया लाभ% = ((नया SP - CP) / CP) × 100% = (1.425 - 1) × 100% = 42.5%

व्याख्या

मान लीजिए इलेक्ट्रॉनिक घड़ी का मूल मूल्य P है।

मूल मूल्य और प्रतिशत परिवर्तनों के बाद अंतिम मूल्य के बीच संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: अंतिम मूल्य = P × (1 - कमी%) × (1 + वृद्धि%)

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 7,650 = P × (1 - 0.25) × (1 + 0.50) 7,650 = P × 0.75 × 1.5 7,650 = P × (3/4) × (3/2) 7,650 = P × 9/8

P के लिए हल करने पर: P = 7,650 × 8/9 P = 850 × 8 P = 6,800

व्याख्या

लगातार वर्षों के लिए कुल साधारण ब्याज दर व्यक्तिगत वार्षिक दरों का योग होती है, जो R = r₁ + r₂ है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: R = 8% + 6% = 14%

2 वर्षों में अर्जित कुल साधारण ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: ब्याज = मूलधन × R ब्याज = 36,000 × 14/100 = 5,040

2 वर्षों के अंत में देय कुल राशि मूलधन और ब्याज का योग होती है: राशि = मूलधन + ब्याज राशि = 36,000 + 5,040 = 41,040

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर किसी काम को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

T = (a × b) / (a + b)

यहाँ, a अकेले काम करने वाले A द्वारा लिया गया समय है, जो 4 दिन है, और b अकेले काम करने वाले B द्वारा लिया गया समय है, जो 12 दिन है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

T = (4 × 12) / (4 + 12) T = 48 / 16 T = 3 दिन

व्याख्या

एक बेलनाकार कप के आयतन की गणना सूत्र V = πr²h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h द्रव की ऊंचाई है।

कप का व्यास 7 सेमी है, जिससे त्रिज्या r 7/2 सेमी हो जाती है, और चाय की ऊंचाई 4 सेमी है।

एक कप में चाय के आयतन की गणना: V = (22/7) × (7/2)² × 4 V = (22/7) × (49/4) × 4 V = 22 × 7 V = 154 सेमी³

180 मरीजों के लिए प्रतिदिन आवश्यक चाय का कुल आयतन है: कुल आयतन = 154 × 180 = 27720 सेमी³

घन सेंटीमीटर को लीटर में परिवर्तित करना, जहाँ 1000 सेमी³ बराबर 1 लीटर होता है: लीटर में कुल आयतन = 27720 ÷ 1000 = 27.72 लीटर

व्याख्या

मान लीजिए रवि और काव्या की वर्तमान आयु क्रमशः R और K है।

चार साल पहले, उनकी आयु R - 4 और K - 4 थी। पहली शर्त के अनुसार: R - 4 = 4(K - 4) R - 4 = 4K - 16 R - 4K = -12

आज से सात साल बाद, उनकी आयु R + 7 और K + 7 होगी। दूसरी शर्त के अनुसार: R + 7 = 3(K + 7) R + 7 = 3K + 21 R - 3K = 14

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: (R - 3K) - (R - 4K) = 14 - (-12) K = 26

दूसरे समीकरण में K = 26 रखने पर: R - 3(26) = 14 R - 78 = 14 R = 92

रवि की वर्तमान आयु 92 वर्ष है और काव्या की वर्तमान आयु 26 वर्ष है।

उनकी वर्तमान आयु का योग है: 92 + 26 = 118 वर्ष

व्याख्या

मान लीजिए राम का कुल मासिक वेतन S है।

राम द्वारा भोजन, घर के किराए, मनोरंजन और परिवहन पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत है: कुल व्यय = 30% + 10% + 7% + 6% = 53%

उसकी बचत का प्रतिशत उसके वेतन का शेष भाग है: बचत = 100% - 53% = 47%

यह देखते हुए कि महीने के अंत में उसकी बचत ₹1,880 है, हम संबंध स्थापित कर सकते हैं: S का 47% = 1,880 (47 / 100) × S = 1,880 S = (1,880 × 100) ÷ 47 S = 40 × 100 S = 4,000

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र √(d² - (r₁ + r₂)² ) द्वारा दिया जाता है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ तथा r₂ उनकी त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: केंद्रों के बीच की दूरी (d) = 25 सेमी पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 7 सेमी दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 4 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(25² - (7 + 4)²) तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(625 - 11²) तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(625 - 121) तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √504 तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(36 × 14) तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = 6√14 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि माल के 1 इकाई वजन का क्रय मूल्य ₹1 है। 100 इकाई के नाममात्र वास्तविक वजन के लिए, वास्तविक क्रय मूल्य ₹100 है।

चूंकि विक्रेता लेन-देन पर 35% का लाभ कमाता है, इसलिए इस नाममात्र मात्रा का विक्रय मूल्य है: 100 × (1 + 35/100) = ₹135

विक्रेता वास्तविक वजन से 19% कम वजन का उपयोग करता है। इस प्रकार, वास्तव में वितरित की गई मात्रा है: 100 × (1 - 19/100) = 81 इकाई

वितरित मात्रा का विक्रेता के लिए वास्तविक क्रय मूल्य ₹81 है।

शुद्ध लाभ सूत्र का उपयोग करके: शुद्ध लाभ % = ((विक्रय मूल्य - वास्तविक क्रय मूल्य) / वास्तविक क्रय मूल्य) × 100 शुद्ध लाभ % = ((135 - 81) / 81) × 100 शुद्ध लाभ % = (54 / 81) × 100 शुद्ध लाभ % = (2 / 3) × 100 शुद्ध लाभ % = 66.67%

व्याख्या

मान लीजिए सोनू की भूमि 100 इकाई है।

चूंकि राजू के पास सोनू से 15% अधिक भूमि है: राजू की भूमि = 100 + 15 = 115 इकाई

चूंकि रामू के पास सोनू से 25% अधिक भूमि है: रामू की भूमि = 100 + 25 = 125 इकाई

राजू और रामू के स्वामित्व वाली भूमि का अनुपात है: राजू की भूमि : रामू की भूमि = 115 : 125

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर: 115 ÷ 5 : 125 ÷ 5 = 23 : 25

व्याख्या

मान लीजिए Q को कार्य पूरा करने के लिए x दिन लगते हैं। P को Q द्वारा आवश्यक समय का आधा समय लगता है, जो कि x/2 दिन है।

Q की दैनिक कार्य दर 1/x है और P की दैनिक कार्य दर 2/x है।

एक साथ, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 2/x + 1/x = 3/x

चूंकि वे मिलकर कार्य को 36 दिनों में पूरा कर सकते हैं, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 1/36 के बराबर भी है। दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 3/x = 1/36

x के लिए हल करने पर: x = 3 × 36 = 108

व्याख्या

सही उत्तर: C

व्यंजक 8 + 1 है, जो 9 के बराबर होता है।

9 को 7 से विभाजित करने पर भागफल 1 और शेषफल प्राप्त होता है: 9 = 7 × 1 + 2

मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद का 7 के मॉड्यूलो में मूल्यांकन करके भी शेषफल ज्ञात कर सकते हैं: 8 ≡ 1 (mod 7) 1 ≡ 1 (mod 7)

इन पदों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 8 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 7)

इस प्रकार, 8 + 1 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 है।

व्याख्या

उम्मीदवार B द्वारा प्राप्त वैध मतों की संख्या सीधे सूत्र का उपयोग करके निकाली जा सकती है:

B के वैध मत = डाले गए कुल मत × (1 - अवैध मत अंश) × (1 - A के वैध मतों का अंश)

दिया गया है: डाले गए कुल मत = 8,750 अवैध मत अंश = 20% = 0.20 A के वैध मतों का अंश = 63% = 0.63

चूंकि उम्मीदवार A को वैध मतों का 63% प्राप्त हुआ, इसलिए उम्मीदवार B को वैध मतों का शेष 37% (1 - 0.63 = 0.37) प्राप्त हुआ।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

B के वैध मत = 8,750 × (1 - 0.20) × (1 - 0.63) B के वैध मत = 8,750 × 0.80 × 0.37 B के वैध मत = 7,000 × 0.37 B के वैध मत = 2,590

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 1,093.50 = (2,430 × R × 3) / 100

1,093.50 = 72.90 × R

R = 1,093.50 / 72.90

R = 15%

व्याख्या

त्रिज्या r और चाप की लंबाई l वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × r × l

दिए गए मानों r = 48 सेमी और l = 15 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 48 × 15 क्षेत्रफल = 24 × 15 क्षेत्रफल = 360 cm²

व्याख्या

दूरी, गति और समय के अंतर के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

दूरी = (गतियों का गुणनफल / गतियों का अंतर) × कुल समय अंतर

दो गतियाँ v₁ = 3 किमी/घंटा और v₂ = 4 किमी/घंटा हैं।

कुल समय अंतर 30 मिनट देर से और 30 मिनट पहले पहुँचने का योग है: कुल समय अंतर = 30 मिनट + 30 मिनट = 60 मिनट = 1 घंटा

सूत्र में मान रखने पर: दूरी = (3 × 4 / (4 - 3)) × 1 = 12 किमी

व्याख्या

श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों के बीच संबंध सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

W₁ × D₁ = W₂ × D₂

यहाँ, W₁ = 55, D₁ = 16, और D₂ = 10 है। मान लीजिए W₂ 10 दिनों में कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक श्रमिकों की कुल संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

55 × 16 = W₂ × 10 880 = W₂ × 10 W₂ = 880 / 10 W₂ = 88

आवश्यक अतिरिक्त श्रमिकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आवश्यक कुल श्रमिकों में से प्रारंभिक श्रमिकों की संख्या घटाएँ:

88 - 55 = 33