एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिभुज ABC में कोण ACB (या कोण C) के कोसाइन की गणना कोसाइन के नियम का उपयोग करके की जाती है, जहाँ भुजाएँ a = BC = 1, b = AC = 2, और c = AB = √3 हैं। सूत्र इस प्रकार है:

cos(C) = (a² + b² - c²) ÷ (2ab)

दिए गए भुजाओं की लंबाई को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

cos(C) = (1² + 2² - (√3)²) ÷ (2 × 1 × 2) cos(C) = (1 + 4 - 3) ÷ 4 cos(C) = 2 ÷ 4 cos(C) = ½

चूंकि cos(60°) = ½, इसलिए कोण ACB 60° के बराबर है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो आधार कोण बराबर होते हैं। मान लीजिए प्रत्येक आधार कोण का माप x है।

शीर्ष कोण, मान लीजिए y, आधार कोणों के योग का चार गुना दिया गया है: y = 4(x + x) = 8x

चूंकि त्रिभुज के सभी तीन कोणों का योग 180° होता है: x + x + y = 180° 2x + 8x = 180° 10x = 180° x = 18°

शीर्ष कोण का माप है: y = 8 × 18° = 144°

शीर्ष कोण का वर्गमूल है: √144° = 12°

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 61% कम है, जो कि 100 - 61 = 39 है।

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 35% कम है, जो कि 100 - 35 = 65 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि पहली संख्या दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है, प्रतिशत सूत्र का प्रयोग करें:

प्रतिशत = (पहली संख्या / दूसरी संख्या) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (39 / 65) × 100

भिन्न को उसके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 13 है, से अंश और हर को विभाजित करके सरल करें:

39 / 65 = 3 / 5

प्रतिशत = (3 / 5) × 100 = 60%

व्याख्या

आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, पहले गणित और कंप्यूटर की पुस्तकों का योग ज्ञात करें, और फिर सर्किट थ्योरी और ग्राफ थ्योरी की पुस्तकों का योग ज्ञात करें।

गणित और कंप्यूटर का योग = 17,462 + 14,308 = 31,770

सर्किट थ्योरी और ग्राफ थ्योरी का योग = 9948 + 642 = 10,590

दोनों योगों का अनुपात है: 31,770 / 10,590 = 3 / 1 = 3 : 1

व्याख्या

मान लीजिए कि बाल्टी में दूध और पानी की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 7x और 5x है।

जब 9 लीटर दूध को पानी से बदला जाता है, तो दूध से 9 लीटर घटाया जाता है और पानी में 9 लीटर जोड़ा जाता है। नया अनुपात है: (7x - 9) / (5x + 9) = 7/9

x के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 9 × (7x - 9) = 7 × (5x + 9) 63x - 81 = 35x + 63 63x - 35x = 63 + 81 28x = 144 x = 144 / 28 = 36/7

बाल्टी में दूध की प्रारंभिक मात्रा 7x है: प्रारंभिक दूध = 7 × (36/7) = 36 लीटर

व्याख्या

प्रतिच्छेदी छेदक प्रमेय के अनुसार, जब वृत्त के दो छेदक एक बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके संगत खंडों के गुणनफल बराबर होते हैं:

PA × PB = PC × PD

PA की लंबाई AB और BP का योग है: PA = AB + BP = 7 + 4.2 = 11.2 सेमी

मान लीजिए CD = x। PC की लंबाई है: PC = CD + PD = x + 2.8

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 11.2 × 4.2 = (x + 2.8) × 2.8

दोनों पक्षों को 2.8 से विभाजित करने पर: 4 × 4.2 = x + 2.8 16.8 = x + 2.8 x = 16.8 - 2.8 x = 14 सेमी

व्याख्या

11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का एकांतर योग 11 से विभाज्य हो।

गणितीय रूप से, किसी भी पूर्णांक N जिसके अंक aₙaₙ₋₁...a₁a₀ हैं, को N = a₀ + 10a₁ + 10²a₂ + ... + 10ⁿaₙ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि 10 ≡ -1 (mod 11), 10 की कोई भी घात 10ᵏ ≡ (-1)ᵏ (mod 11) को संतुष्ट करती है। इसे N के विस्तार में प्रतिस्थापित करने पर N ≡ a₀ - a₁ + a₂ - a₃ + ... (mod 11) प्राप्त होता है।

धनात्मक और ऋणात्मक पदों को समूहित करने पर, N ≡ (a₀ + a₂ + a₄ + ...) - (a₁ + a₃ + a₅ + ...) (mod 11)। यह व्यंजक विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच के अंतर को दर्शाता है। N के 11 से विभाज्य होने के लिए, N का 11 मॉड्यूलो 0 के सर्वांगसम होना चाहिए, जिसके लिए इस अंतर का 0 या 11 का पूर्णांक गुणज होना आवश्यक है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

क्षेत्रफल(△ABC) / क्षेत्रफल(△PQR) = (AC / PR)²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

289 / 576 = (AC / 12)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

17 / 24 = AC / 12

AC = (17 × 12) / 24

AC = 17 / 2

AC = 8.5 सेमी

व्याख्या

मूलधन P का निर्धारण पहले निवेश परिदृश्य से किया जाता है जहाँ राशि 8 वर्षों के लिए 8% वार्षिक साधारण ब्याज पर 8200 हो जाती है:

राशि = P × (1 + (R₁ × T₁) / 100) 8200 = P × (1 + (8 × 8) / 100) 8200 = 1.64P P = 5000

दूसरे परिदृश्य में, ब्याज दर और समय का गुणनफल 120% है (उदाहरण के लिए, 10 वर्षों के लिए 12% वार्षिक साधारण ब्याज, या 6 वर्षों के लिए 20% वार्षिक साधारण ब्याज):

साधारण ब्याज = (P × R₂ × T₂) / 100 साधारण ब्याज = (5000 × 120) / 100 = 6000

अंतिम राशि मूलधन और साधारण ब्याज का योग है:

राशि = 5000 + 6000 = 11,000

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr² होता है, और उसका आयतन V = (4/3)πr³ होता है।

मान लीजिए दो गोलों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है: S₁/S₂ = (r₁/r₂)² = 49/81

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर उनकी त्रिज्याओं का अनुपात प्राप्त होता है: r₁/r₂ = √(49/81) = 7/9

उनके आयतनों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात का घन होता है: V₁/V₂ = (r₁/r₂)³ = (7/9)³ = 343/729

इस प्रकार, उनके आयतनों का अनुपात 343:729 है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² सूत्र द्वारा दिया जाता है।

बड़े घन के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 54 cm² है, इसलिए: 6a₁² = 54 a₁² = 9 a₁ = 3 cm

बड़े घन का आयतन V₁ = a₁³ = 3³ = 27 cm³ है।

प्रत्येक छोटे घन के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 8/12 cm² है, जो 2/3 cm² तक सरल हो जाता है, इसलिए: 6a₂² = 2/3 a₂² = 2 / (3 × 6) = 2/18 = 1/9 a₂ = 1/3 cm

प्रत्येक छोटे घन का आयतन V₂ = a₂³ = (1/3)³ = 1/27 cm³ है।

बनाए गए छोटे घनों की संख्या बड़े घन के आयतन और छोटे घन के आयतन का अनुपात है: घनों की संख्या = V₁ / V₂ = 27 / (1/27) = 27 × 27 = 729।

व्याख्या

मतों की कुल संख्या 8000 है। चूँकि 15% मत अवैध थे, वैध मतों का प्रतिशत 100% - 15% = 85% है।

वैध मतों की कुल संख्या है: 8000 × 0.85 = 6800

एक उम्मीदवार को वैध मतों का 52% प्राप्त हुआ। इसलिए, दूसरे उम्मीदवार को प्राप्त हुए: वैध मतों का 100% - 52% = 48%

दूसरे उम्मीदवार को प्राप्त वैध मतों की संख्या है: 6800 × 48% = 6800 × 0.48 = 3264

व्याख्या

सभी छह छात्रों द्वारा हिंदी में प्राप्त औसत अंक ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक छात्र द्वारा हिंदी में प्राप्त प्रतिशत का योग ज्ञात करें।

प्रतिशत का योग = 90% + 90% + 80% + 100% + 100% + 70% = 530%

हिंदी में छह छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत प्रतिशत है: औसत प्रतिशत = 530% ÷ 6 = 88.333%

चूंकि हिंदी के लिए अधिकतम अंक 120 हैं, इसलिए प्राप्त औसत अंकों की गणना अधिकतम अंकों के इस औसत प्रतिशत को ज्ञात करके की जाती है: औसत अंक = (530 ÷ 6) × (120 ÷ 100) = (530 × 1.2) ÷ 6 = 636 ÷ 6 = 106

व्याख्या

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है और π को 22/7 लेने पर, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

616 = 4 × (22/7) × r²

616 = (88/7) × r²

r² के लिए हल करने के लिए, दोनों पक्षों को 7/88 से गुणा करें:

r² = (616 × 7) / 88

r² = 7 × 7

r² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

r = √49

r = 7 सेमी

व्याख्या

दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: दूरी = गति × समय

चलने की गति 4 किमी/घंटा है और लिया गया समय 6 घंटे और 15 मिनट है। इस समय को घंटों में परिवर्तित करना: 6 घंटे 15 मिनट = 6 + 15/60 = 6 + ¼ = 25/4 घंटे

सूत्र का उपयोग करके, तय की गई दूरी है: दूरी = 4 × 25/4 = 25 किमी

साइकिल उसी 25 किमी की दूरी को 5 घंटे और 10 मिनट में तय करती है। साइकिल चलाने के समय को घंटों में परिवर्तित करना: 5 घंटे 10 मिनट = 5 + 10/60 = 5 + 1/6 = 31/6 घंटे

संबंध गति = दूरी / समय का उपयोग करके, साइकिल की गति है: गति = 25 / (31/6) = 150/31 किमी/घंटा

150/31 को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना: 150/31 = 4 26/31 किमी/घंटा

व्याख्या

फर्मा के छोटे प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार, किसी भी अभाज्य संख्या p और p से अविभाज्य पूर्णांक a के लिए, संबंध aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) होता है।

यहाँ, a = 2 और p = 17 है। चूँकि 17 एक अभाज्य संख्या है, हमारे पास है: 2¹⁶ ≡ 1 (mod 17)

घातांक 256, 16 का गुणज है: 256 = 16 × 16

इसलिए, व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: 2²⁵⁶ = (2¹⁶)¹⁶

मॉड्यूलो ऑपरेशन लागू करने पर: 2²⁵⁶ ≡ (2¹⁶)¹⁶ ≡ 1¹⁶ ≡ 1 (mod 17)

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिया गया है कि 3 tan θ = 4, जिससे हमें प्राप्त होता है: tan θ = 4/3

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है: (9sin θ + 2cos θ) / (9sin θ - 2cos θ)

अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित करने पर: (9 tan θ + 2) / (9 tan θ - 2)

इस व्यंजक में tan θ = 4/3 का मान रखने पर: (9 × 4/3 + 2) / (9 × 4/3 - 2) = (12 + 2) / (12 - 2) = 14 / 10 = 7/5

व्याख्या

माना B का क्रय मूल्य x है। चूँकि A का क्रय मूल्य B से तिगुना है, A का क्रय मूल्य 3x है।

A का विक्रय मूल्य, जिसे 10% की हानि पर बेचा जाता है, है: 3x × (1 - 0.10) = 2.7x

B का विक्रय मूल्य, जिसे उसके क्रय मूल्य के 5/4 पर बेचा जाता है, है: x × 1.25 = 1.25x

A के विक्रय मूल्य और B के विक्रय मूल्य के बीच का अंतर ₹5,800 दिया गया है: 2.7x - 1.25x = 5800 1.45x = 5800 x = 4000

इसलिए, A का क्रय मूल्य है: 3x = 3 × 4000 = ₹12,000

व्याख्या

सेबों के संयुक्त समूह का औसत भार भारित औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) / (n₁ + n₂)

जहाँ n₁ और n₂ मात्राएँ हैं, और A₁ और A₂ उनके संबंधित औसत हैं।

दिया गया है: n₁ = 40, A₁ = 33 किग्रा n₂ = 32, A₂ = 60 किग्रा

गणना को तेज़ करने के लिए सेबों की संख्या के अनुपात को सरल बनाना: n₁ : n₂ = 40 : 32 = 5 : 4

अब, इन सरलीकृत अनुपात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: औसत = (5 × 33 + 4 × 60) / (5 + 4) औसत = (165 + 240) / 9 औसत = 405 / 9 औसत = 45 किग्रा

व्याख्या

चुनाव में डाले गए कुल मत 30,000 हैं। चूँकि 20% मत अवैध हैं, वैध मतों का प्रतिशत 80% है।

कुल वैध मत = 30,000 × 80% = 30,000 × 0.8 = 24,000

अनंत ने इन वैध मतों का 55% सुरक्षित किया। चूँकि केवल दो उम्मीदवार हैं, अरविंद को शेष 45% वैध मत प्राप्त हुए होंगे।

अरविंद द्वारा प्राप्त वैध मत = 24,000 × 45% = 24,000 × 0.45 = 10,800

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक के प्रत्येक भाग को अलग-अलग सरल करें।

व्यंजक का पहला भाग है: (sin θ / (1 + cos θ)) + ((1 + cos θ) / sin θ)

सामान्य हर लेने पर: = (sin² θ + (1 + cos θ)²) / (sin θ (1 + cos θ)) = (sin² θ + 1 + 2 cos θ + cos² θ) / (sin θ (1 + cos θ))

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर: = (1 + 1 + 2 cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = (2 + 2 cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = 2(1 + cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = 2 / sin θ

व्यंजक का दूसरा भाग है: 1 / (tan θ + cot θ)

tan θ और cot θ को sin θ और cos θ के पदों में बदलने पर: = 1 / (sin θ / cos θ + cos θ / sin θ) = 1 / ((sin² θ + cos² θ) / (sin θ cos θ)) = 1 / (1 / (sin θ cos θ)) = sin θ cos θ

अब, दोनों भागों के सरलीकृत रूपों को गुणा करें: (2 / sin θ) × (sin θ cos θ) = 2 cos θ

व्याख्या

इतिहास में औसत अंक इस प्रकार निकाले जाते हैं: (77 + 80 + 83) / 3 = 240 / 3 = 80

अर्थशास्त्र में औसत अंक इस प्रकार निकाले जाते हैं: (74 + 82 + 86) / 3 = 242 / 3 ≈ 80.67

80.67 को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 81 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दक्षता और समय के बीच व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करके: दक्षता किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

मान लीजिए निर्मल की दक्षता 100 है। चूँकि अमित निर्मल से 25% अधिक कुशल है, अमित की दक्षता 125 है।

उनकी दक्षता का अनुपात है: निर्मल : अमित = 100 : 125 = 4 : 5

इसलिए, उनके द्वारा कार्य पूरा करने में लगने वाले समय का अनुपात है: निर्मल : अमित = 5 : 4

यह देखते हुए कि निर्मल को 45 दिन लगते हैं: 5 इकाई = 45 दिन 1 इकाई = 9 दिन

अमित द्वारा लिया गया समय है: 4 इकाई = 4 × 9 = 36 दिन

व्याख्या

वह वर्ष ज्ञात करने के लिए जिसमें बैंक A और B का कुल ऋण वितरण बैंक C और D के कुल ऋण वितरण के ठीक बराबर है, हम प्रत्येक वर्ष के लिए दोनों समूहों के बैंकों के वितरण का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2019 के लिए: बैंक A और B का कुल वितरण = 22 + 18 = 40 करोड़ बैंक C और D का कुल वितरण = 20 + 20 = 40 करोड़

व्याख्या

अग्रिम भुगतान के बाद शेष मूलधन है: मूलधन = नकद मूल्य - अग्रिम भुगतान मूलधन = 2540 - 1340 = रु. 1200

एक महीने बाद भुगतान की गई राशि रु. 1205 है। इसलिए, एक महीने के लिए लिया गया ब्याज है: ब्याज = 1205 - 1200 = रु. 5

प्रति वर्ष ब्याज दर, R, साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: ब्याज = (मूलधन × R × समय) / 100

चूंकि समय 1 महीना है, जो कि एक वर्ष का 1/12 है, मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5 = (1200 × R × 1) / (100 × 12) 5 = 10 × R / 10 5 = R

इस प्रकार, ली जाने वाली ब्याज दर 5% प्रति वर्ष है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

घनाभ के आयाम दी गई संबंधों से निर्धारित किए जाते हैं: लंबाई (l) = 60 सेमी चौड़ाई (b) = l ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 सेमी ऊँचाई (h) = b ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10 सेमी

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (60 × 30 + 30 × 10 + 10 × 60) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (1800 + 300 + 600) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 2700 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 5400 सेमी²

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्देशित करता है: कोष्ठक (Brackets), घात (Orders), भाग (Division) और गुणा (Multiplication) (बाएं से दाएं), और जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) (बाएं से दाएं)।

सबसे पहले, भिन्न के अंश का मूल्यांकन करें: [1/4 ÷ 1/4 × 1/4] × 1/4

कोष्ठक के अंदर, पहले भाग संक्रिया करें: 1/4 ÷ 1/4 = 1

फिर कोष्ठक के अंदर गुणा संक्रिया करें: 1 × 1/4 = 1/4

अब, कोष्ठक के बाहर वाले पद से गुणा करें: 1/4 × 1/4 = 1/16

इसके बाद, भिन्न के हर का मूल्यांकन करें: [1/8 + 1/8 × 1/8]

पहले गुणा संक्रिया करें: 1/8 × 1/8 = 1/64

फिर जोड़ संक्रिया करें: 1/8 + 1/64 = 8/64 + 1/64 = 9/64

अब, अंश को हर से विभाजित करें: (1/16) / (9/64) = 1/16 × 64/9 = 4/9

अंत में, दूसरे पद का मूल्यांकन करें और उसे पहले परिणाम में जोड़ें: 1 - 4/9 = 5/9

दोनों भागों को एक साथ जोड़ें: 4/9 + 5/9 = 9/9 = 1

व्याख्या

मान लीजिए रूबी और सोनी की आयु क्रमशः R और S है।

उनकी आयु का योग उनकी औसत आयु से सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: आयु का योग = औसत आयु × व्यक्तियों की संख्या आयु का योग = 40 × 2 = 80 वर्ष

उनकी आयु का अनुपात R : S = 11 : 5 है।

अनुपात सूत्र का उपयोग करके, सोनी की आयु S है: S = [5 / (11 + 5)] × 80 S = (5 / 16) × 80 S = 5 × 5 = 25 वर्ष

व्याख्या

सही उत्तर: D

जब D% की छूट देने के बाद P% का लाभ अर्जित किया जाता है, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

P = 28 और D = 20 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

MP / CP = (100 + 28) / (100 - 20) MP / CP = 128 / 80 = 8 / 5 = 1.6

जब वस्तु बिना किसी छूट के बेची जाती है, तो विक्रय मूल्य अंकित मूल्य के बराबर होता है। इस स्थिति में लाभ प्रतिशत है:

लाभ % = (MP / CP - 1) × 100 लाभ % = (1.6 - 1) × 100 = 0.6 × 100 = 60%

व्याख्या

सही उत्तर: D

लगातार प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके:

दो वर्ष बाद जनसंख्या = प्रारंभिक जनसंख्या × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)

यहाँ, प्रारंभिक जनसंख्या 4,00,000 है, r₁ = 20%, और r₂ = 30% है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

दो वर्ष बाद जनसंख्या = 4,00,000 × (1 + 20/100) × (1 + 30/100) = 4,00,000 × 1.2 × 1.3 = 4,00,000 × 1.56 = 6,24,000

व्याख्या

माना बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है।

पहली शर्त के अनुसार, दो संख्याओं का योग 76 है: x + y = 76 y = 76 - x

दूसरी शर्त के अनुसार, बड़ी संख्या का तीन गुना छोटी संख्या के चार गुने से 46 अधिक है: 3x = 4y + 46

y = 76 - x को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3x = 4(76 - x) + 46 3x = 304 - 4x + 46 7x = 350 x = 50

x = 50 को y के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: y = 76 - 50 = 26

दोनों संख्याएँ 50 और 26 हैं।

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति उनकी गति के अंतर के बराबर है क्योंकि वे एक ही दिशा में यात्रा कर रहे हैं: सापेक्ष गति = 65 - 41 = 24 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए: मी/से में गति = 24 × 5/18 = 20/3 मी/से

पुलिसकर्मी और चोर के बीच प्रारंभिक दूरी 1200 मीटर है।

समय के सूत्र का उपयोग करके: समय = दूरी / सापेक्ष गति समय = 1200 / (20/3) = 1200 × 3 / 20 = 180 सेकंड

समय को सेकंड से मिनट में बदलने पर: मिनटों में समय = 180 / 60 = 3 मिनट

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज PQR में, जहाँ PQ = PR = 40 सेमी और QR = 60 सेमी है, शीर्ष P से आधार QR तक की ऊँचाई आधार को 30 सेमी के दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, इस ऊँचाई की लम्बाई है: h = √(40² - 30²) = √700 = 10√7 सेमी

त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 60 × 10√7 = 300√7 वर्ग सेमी

इसी क्षेत्रफल को PR को आधार मानकर और Q से PR तक की ऊँचाई (मान लीजिए यह ऊँचाई h_Q है) का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × PR × h_Q 300√7 = ½ × 40 × h_Q 300√7 = 20 × h_Q h_Q = 15√7 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए 100 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹100 है।

चूंकि दुकानदार 25% कम वजन का उपयोग करता है, इसलिए वितरित माल का वास्तविक वजन 75 ग्राम है, जिसका क्रय मूल्य ₹75 है।

इन वस्तुओं का विक्रय मूल्य दावा किए गए 100 ग्राम के क्रय मूल्य से 40% कम है: विक्रय मूल्य (SP) = 100 × (1 - 0.40) = ₹60

चूंकि वितरित माल का क्रय मूल्य ₹75 है और विक्रय मूल्य ₹60 है, इसलिए दुकानदार को हानि होती है।

हानि प्रतिशत = ((क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य) / क्रय मूल्य) × 100 हानि प्रतिशत = ((75 - 60) / 75) × 100 = (15 / 75) × 100 = 20%

व्याख्या

एक बेईमान दुकानदार के लिए जो माल को क्रय मूल्य पर बेचता है लेकिन कम वजन का उपयोग करता है, लाभ प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (त्रुटि / (वास्तविक मान - त्रुटि)) × 100

यहाँ, उपयोग किया गया वजन वास्तविक वजन से 27% कम है। मान लीजिए वास्तविक वजन 100 इकाई है। त्रुटि = 27 इकाई प्रभावी वजन उपयोग किया गया = 100 - 27 = 73 इकाई

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ % = (27 / 73) × 100 लाभ % = 2700 / 73 ≈ 36.986%

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, दुकानदार का लाभ प्रतिशत 37.0% है।

व्याख्या

जब s = 5 सेमी भुजा वाले तीन घनों को सिरों से सिरे तक जोड़ा जाता है, तो वे निम्नलिखित आयामों वाले एक घनाभ का निर्माण करते हैं: लंबाई (l) = 3 × 5 = 15 सेमी चौड़ाई (b) = 5 सेमी ऊंचाई (h) = 5 सेमी

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (l × b + b × h + h × l)

आयामों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (15 × 5 + 5 × 5 + 5 × 15) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (75 + 25 + 75) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 175 = 350 सेमी²

व्याख्या

कुल राशि पर अर्जित साधारण ब्याज की समग्र दर की गणना इस प्रकार की जाती है:

समग्र ब्याज दर = (कुल साधारण ब्याज × 100) ÷ (कुल मूलधन × समय) समग्र ब्याज दर = (960 × 100) ÷ (5000 × 1) = 19.2%

भागों का अनुपात ज्ञात करने के लिए मिश्रण विधि लागू करना:

उच्च दर और समग्र दर के बीच अंतर = 24% - 19.2% = 4.8% समग्र दर और निम्न दर के बीच अंतर = 19.2% - 16% = 3.2%

निम्न दर (16%) पर उधार दी गई राशि और उच्च दर (24%) पर उधार दी गई राशि का अनुपात 4.8 : 3.2 है, जो 3 : 2 में सरल हो जाता है।

उच्च दर पर उधार दी गई राशि है: राशि = 5000 × (2 ÷ (3 + 2)) = 5000 × 2/5 = ₹2,000

व्याख्या

ट्रेन 1 सुबह 11 बजे A से चलना शुरू करती है और ट्रेन 2 दोपहर 12 बजे B से चलना शुरू करने से 1 घंटा पहले यात्रा करती है।

इस 1 घंटे में ट्रेन 1 द्वारा तय की गई दूरी = गति × समय = 70 किमी/घंटा × 1 घंटा = 70 किमी।

दोपहर 12 बजे दोनों ट्रेनों के बीच शेष दूरी है: 420 किमी - 70 किमी = 350 किमी।

चूंकि दोनों ट्रेनें एक दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: सापेक्ष गति = 70 किमी/घंटा + 30 किमी/घंटा = 100 किमी/घंटा।

दोपहर 12 बजे के बाद उनके मिलने में लगने वाला समय है: समय = शेष दूरी / सापेक्ष गति = 350 किमी / 100 किमी/घंटा = 3.5 घंटे।

दोपहर 12 बजे में 3.5 घंटे (3 घंटे और 30 मिनट) जोड़ने पर मिलने का समय 3:30 अपराह्न आता है।

व्याख्या

कुल काम को 20, 30 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान सकते हैं, जो कि 120 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की व्यक्तिगत दक्षता है: मीरा = 120 / 20 = 6 इकाई/दिन नीना = 120 / 30 = 4 इकाई/दिन सीमा = 120 / 40 = 3 इकाई/दिन

पहले 4 दिनों में, मीरा और सीमा ने साथ काम किया: पूरा हुआ काम = (6 + 3) × 4 = 36 इकाई

पूरा किया जाने वाला शेष काम = 120 - 36 = 84 इकाई

इसके बाद, मीरा को नीना से बदल दिया गया, जिसका अर्थ है कि नीना और सीमा ने मिलकर शेष काम पूरा किया: नीना और सीमा की संयुक्त दक्षता = 4 + 3 = 7 इकाई/दिन शेष काम पूरा करने में लगा समय = 84 / 7 = 12 दिन

कुल मिलाकर पूरे काम को पूरा करने में लगा कुल समय = 4 + 12 = 16 दिन।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। त्रिभुज DEW में, चूँकि AB, EW के समानांतर है, इसलिए छोटा त्रिभुज DAB, त्रिभुज DEW के समरूप है।

इसलिए, उनके संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा: AD/DE = DB/DW

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4/12 = DB/24

भिन्न को सरल करने पर: 1/3 = DB/24

DB के लिए हल करने पर: DB = 24/3 = 8 सेमी

व्याख्या

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = भुजा × ऊँचाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 70 = भुजा × 5 भुजा = 70 / 5 = 14 मीटर

चूँकि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, परिमाप की गणना इस प्रकार की जाती है: परिमाप = 4 × भुजा परिमाप = 4 × 14 = 56 मीटर

व्याख्या

किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए जिसकी भुजा की लंबाई a है, परिमाप P निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: P = 3a

एक समबाहु त्रिभुज में, प्रत्येक माध्यिका एक शीर्षलंब भी होती है, और इसकी लंबाई h निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: h = (√3/2)a

चूंकि एक समबाहु त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ बराबर होती हैं, माध्यिकाओं का योग S निम्न है: S = 3 × (√3/2)a = (3√3/2)a

परिमाप और माध्यिकाओं के योग का अनुपात है: अनुपात = P / S = 3a / ((3√3/2)a) = 2 / √3 = 2:√3

दी गई भुजा की लंबाई a = 16 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: P = 3 × 16 = 48 सेमी S = (3√3/2) × 16 = 24√3 सेमी अनुपात = 48 / 24√3 = 2 / √3 = 2:√3

व्याख्या

अर्धगोलाकार कटोरे को बनाने में प्रयुक्त चांदी का आयतन, अर्धगोले के बाहरी और आंतरिक आयतन के बीच का अंतर है।

अर्धगोलाकार खोल के आयतन का सूत्र है: V = (2/3) × π × (R³ - r³)

आंतरिक व्यास 4 सेमी है, इसलिए आंतरिक त्रिज्या r 2 सेमी है। चांदी की मोटाई 0.5 सेमी है, जिससे बाहरी त्रिज्या R = 2 + 0.5 = 2.5 सेमी प्राप्त होती है।

इन मानों को π = 3.14 के साथ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = (2/3) × 3.14 × (2.5³ - 2³) V = (2/3) × 3.14 × (15.625 - 8) V = (2/3) × 3.14 × 7.625 V = (47.885) / 3 V ≈ 15.96 सेमी³

व्याख्या

मान लीजिए T कुल मतों की संख्या है।

चूंकि 30% मतदाताओं ने अपना मत नहीं डाला, इसलिए डाले गए कुल मत T का 70% हैं, जो कि 0.7T है।

200 अवैध मतों को घटाने पर, वैध मतों (V) की संख्या है: V = 0.7T - 200

विजेता को वैध मतों का 65% प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि हारने वाले को वैध मतों का 35% प्राप्त हुआ।

विजेता और हारने वाले के बीच मतों का अंतर वैध मतों का 30% है (65% - 35% = 30%)।

चूंकि विजेता 1200 मतों से जीता, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: V का 30% = 1200 0.3 × V = 1200 V = 4000

कुल मतों को ज्ञात करने के लिए V के मान को वापस प्रतिस्थापित करने पर: 0.7T - 200 = 4000 0.7T = 4200 T = 6000

व्याख्या

कोई संख्या 72 से तभी विभाज्य होती है जब वह 8 और 9 दोनों से विभाज्य हो, क्योंकि 8 और 9 सह-अभाज्य हैं।

पहले, 8 से विभाज्यता के लिए, 4645a52 के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाने चाहिए। जब a = 1 होता है, तो अंतिम तीन अंक 152 होते हैं। 152 को 8 से विभाजित करने पर 19 आता है, जो एक पूर्णांक है।

दूसरे, 9 से विभाज्यता के लिए, 4645a52 के अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। अंकों का योग 4 + 6 + 4 + 5 + a + 5 + 2 = 26 + a है। a = 1 रखने पर 26 + 1 = 27 आता है, जो 9 से विभाज्य है।

चूंकि a = 1 दोनों विभाज्यता नियमों को संतुष्ट करता है, इसलिए संख्या 72 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या N है। विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, N को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: N = 459k + 19, जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

जब N को 17 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम N मॉड्यूलो 17 का मूल्यांकन करते हैं: N mod 17 = (459k + 19) mod 17

चूंकि 459, 17 का एक गुणज है (459 = 17 × 27), इसलिए 459k पद को 17 से विभाजित करने पर 0 शेषफल प्राप्त होता है।

इस प्रकार, N मॉड्यूलो 17 का शेषफल, 19 मॉड्यूलो 17 के शेषफल के बराबर है: 19 = 17 × 1 + 2

शेषफल 2 है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल दो अंकों की संख्या 10x + y है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है।

दी गई शर्तों के अनुसार, अंकों का योग 9 है: x + y = 9

अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या 10y + x है। यह नई संख्या मूल संख्या से 45 अधिक है: (10y + x) - (10x + y) = 45 9y - 9x = 45 y - x = 5

इन दो रैखिक समीकरणों को एक साथ जोड़कर हल करने पर: 2y = 14 y = 7

y = 7 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 7 = 9 x = 2

इस प्रकार, मूल संख्या का दहाई का अंक 2 है और इकाई का अंक 7 है, जिससे संख्या 27 बनती है।

व्याख्या

माना α = cos⁻¹(7/25) और β = cos⁻¹(15/17)।

इससे cos α = 7/25 और cos β = 15/17 प्राप्त होता है। चूँकि α और β न्यून कोण हैं, हम सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके उनके साइन मान ज्ञात कर सकते हैं:

sin α = √(1 - (7/25)²) = 24/25 sin β = √(1 - (15/17)²) = 8/17

अब, हम साइन के लिए त्रिकोणमितीय घटाव सूत्र का उपयोग करते हैं:

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

sin(α - β) = (24/25) × (15/17) - (7/25) × (8/17) sin(α - β) = 360/425 - 56/425 sin(α - β) = 304/425

चूँकि cos α < cos β, हमारे पास α > β है, जिसका अर्थ है कि α - β एक धनात्मक न्यून कोण है। दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम साइन लेने पर प्राप्त होता है:

α - β = sin⁻¹(304/425)

व्याख्या

समतल में किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर एक वृत्त गुजरता है यदि और केवल यदि तीन बिंदु गैर-संरेखीय हों। यदि तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि वे संरेखीय हैं, तो उन तीनों बिंदुओं से गुजरने वाला वृत्त बनाना भौतिक रूप से असंभव है। इसलिए, यह कथन कि समतल में किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर हमेशा एक वृत्त गुजरता है, गलत है।

व्याख्या

मान लीजिए डाले गए मतों की कुल संख्या T है।

चूंकि केवल दो उम्मीदवार थे और कोई अवैध मत नहीं था, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार को प्राप्त हुए: 100% - 44% = 56% कुल मतों का

दोनों उम्मीदवारों के बीच मत प्रतिशत का अंतर है: 56% - 44% = 12%

यह प्रतिशत अंतर 1440 मतों के हार के अंतर के बराबर है। हम सीधा संबंध स्थापित कर सकते हैं: T का 12% = 1440 12/100 × T = 1440 T = 1440 × 100 / 12 T = 12000