एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करके, व्यंजक 18 ÷ (7 × 2 - 5) × 5 × 24 ÷ 30 को चरण-दर-चरण सरल किया गया है:

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के पद का मान निकालें: 7 × 2 - 5 = 14 - 5 = 9

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 18 ÷ 9 × 5 × 24 ÷ 30

चूंकि भाग और गुणा की प्राथमिकता समान है, इसलिए संक्रियाओं को बाएं से दाएं करें: 18 ÷ 9 = 2 2 × 5 = 10 10 × 24 = 240 240 ÷ 30 = 8

व्याख्या

a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के रूप में दो रैखिक समीकरण समानांतर रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि वे इस शर्त को पूरा करते हैं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

दिए गए समीकरणों की प्रणाली के लिए: x + 2y = 15 4x + 8y = 13

गुणांकों की तुलना करने पर: a₁/a₂ = 1/4 b₁/b₂ = 2/8 = 1/4 c₁/c₂ = 15/13

चूंकि अनुपात 1/4 = 1/4 ≠ 15/13 संबंध को संतुष्ट करते हैं, इसलिए दो रेखाएँ समानांतर हैं।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफल(ΔPQR) / क्षेत्रफल(ΔXYZ) = (QR / YZ)²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

12.96 / 635.04 = (2.9 / YZ)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(12.96) / √(635.04) = 2.9 / YZ

चूंकि 3.6² = 12.96 और 25.2² = 635.04, यह सरल हो जाता है:

3.6 / 25.2 = 2.9 / YZ

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

1 / 7 = 2.9 / YZ

YZ = 2.9 × 7 = 20.3 cm

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि XY, BC के समानांतर है, इसलिए कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता से त्रिभुज AXY, त्रिभुज ABC के समरूप है।

AX की लंबाई AB में से BX घटाकर ज्ञात की जाती है: AX = AB - BX = 5.4 - 3 = 2.4 सेमी

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: XY / BC = AX / AB

संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: XY / 7.2 = 2.4 / 5.4

भुजाओं के अनुपात को सरल करने पर: XY = 7.2 × (2.4 / 5.4) XY = 7.2 × (4 / 9) XY = 0.8 × 4 = 3.2 सेमी

व्याख्या

2000 और 2020 के बीच (अनन्य रूप से) उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो 8 से विभाज्य हैं, हम पहले इस सीमा में 8 के गुणजों की पहचान करते हैं।

संख्या 2000, 8 से विभाज्य है क्योंकि 2000 ÷ 8 = 250।

चूंकि हम 2000 और 2020 के बीच (अनन्य रूप से) संख्याओं की तलाश कर रहे हैं, हम 2000 को स्वयं बाहर रखते हैं। इस सीमा में आने वाले 8 के गुणज हैं: 2000 + 8 = 2008 2008 + 8 = 2016

अगला गुणज 2016 + 8 = 2024 है, जो दी गई सीमा से बाहर है। इसलिए, ऐसी ठीक 2 संख्याएँ हैं, जो 2008 और 2016 हैं।

व्याख्या

चाप PQR द्वारा केंद्र O पर बनाया गया कोण 240° है। इसका मतलब है कि प्रतिवर्ती कोण ∠POR 240° है।

केंद्र O पर लघु चाप PR द्वारा बनाया गया शेष केंद्रीय कोण है: 360° - 240° = 120°

अभिलेखित कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त पर किसी भी बिंदु पर एक चाप द्वारा बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है। चूँकि Q, दीर्घ चाप पर स्थित है, कोण ∠PQR, लघु चाप के केंद्रीय कोण का आधा है: ∠PQR = 120° / 2 = 60°

चूँकि PQ को A तक बढ़ाया जाता है, PQA एक सीधी रेखा बनाती है। एक सीधी रेखा पर कोणों का योग 180° होता है: ∠PQR + ∠AQR = 180° 60° + ∠AQR = 180° ∠AQR = 120°

व्याख्या

समूह में महिलाओं की प्रारंभिक संख्या की गणना 250 के 60% के रूप में की जाती है: 250 का 60% = (60 / 100) × 250 = 150

जब समूह में 30 और महिलाएँ शामिल होती हैं, तो महिलाओं की संख्या और व्यक्तियों की कुल संख्या दोनों में 30 की वृद्धि होती है: महिलाओं की नई संख्या = 150 + 30 = 180 व्यक्तियों की नई कुल संख्या = 250 + 30 = 280

नए समूह में महिलाओं का प्रतिशत है: (महिलाओं की नई संख्या / व्यक्तियों की नई कुल संख्या) × 100 = (180 / 280) × 100 = (9 / 14) × 100 ≈ 64.29%

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, एक को x% के लाभ पर और दूसरे को x% की हानि पर, तो सौदे में हमेशा शुद्ध हानि होती है।

शुद्ध हानि प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: हानि % = x² / 100

x = 20 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: हानि % = 20² / 100 = 400 / 100 = 4%

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × R × T / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

पहले मामले के लिए, दर 10% है और समय 1½ वर्ष (1.5 वर्ष) है। साधारण ब्याज है: SI₁ = P × 10 × 1.5 / 100 = 15P / 100

दूसरे मामले के लिए, दर 12% है और समय 1 वर्ष है। साधारण ब्याज है: SI₂ = P × 12 × 1 / 100 = 12P / 100

दोनों ब्याज के बीच का अंतर ₹ 30 दिया गया है: SI₁ - SI₂ = 30 15P / 100 - 12P / 100 = 30 3P / 100 = 30 3P = 3000 P = 1000

मूलधन ₹ 1,000 है।

व्याख्या

कुल आय कुल व्यय और कुल बचत का योग होती है।

सबसे पहले, प्रत्येक अवधि के औसत व्यय को उस अवधि में महीनों की संख्या से गुणा करके पूरे वर्ष के लिए कुल व्यय की गणना करें: कुल व्यय = (4 × 2,500) + (5 × 2,750) + (3 × 3,550) कुल व्यय = 10,000 + 13,750 + 10,650 = 34,400

अगला, कुल वार्षिक आय ज्ञात करने के लिए कुल वार्षिक बचत जोड़ें: कुल आय = कुल व्यय + कुल बचत कुल आय = 34,400 + 5,500 = 39,900

अंत में, औसत मासिक आय ज्ञात करने के लिए कुल वार्षिक आय को 12 से विभाजित करें: औसत मासिक आय = 39,900 ÷ 12 = 3,325

व्याख्या

माना संख्या x है।

संख्या में 8 की वृद्धि करने पर वह स्वयं का 120% हो जाती है, जिसे x का 120/100 या 1.2x के रूप में लिखा जा सकता है।

हम रैखिक समीकरण स्थापित कर सकते हैं: x + 8 = 1.2x

दोनों पक्षों से x घटाने पर: 0.2x = 8

x के लिए हल करने पर: x = 8 / 0.2 x = 40

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ s घन की भुजा है। मान लीजिए प्रारंभिक आयतन V₁ है और अंतिम आयतन V₂ है।

प्रश्न के अनुसार, अंतिम आयतन प्रारंभिक आयतन का 72.9% तक कम हो जाता है: V₂ = 0.729 V₁

चूंकि आयतन उसकी भुजा के घन के समानुपाती होता है, अंतिम भुजा s₂ और प्रारंभिक भुजा s₁ का अनुपात है: s₂/s₁ = ³√(V₂/V₁)

मान रखने पर: s₂/s₁ = ³√(0.729 V₁ / V₁) s₂/s₁ = ³√0.729 s₂/s₁ = 0.9

इसका मतलब है कि घन की अंतिम भुजा उसकी प्रारंभिक लंबाई का 90% है। घन की भुजा में प्रतिशत कमी है: प्रतिशत कमी = (1 - s₂/s₁) × 100% प्रतिशत कमी = (1 - 0.9) × 100% = 10%

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, VBODMAS नियम लागू करें, जो कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम को परिभाषित करता है।

दिया गया व्यंजक है: (3 - 3 × 3 + 3 ÷ 3 + 3 × 5) × 2 of 5 + (2 + 2 ÷ 2 + 2 × 2 - 2)

सबसे पहले, पहले कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: 3 - 3 × 3 + 3 ÷ 3 + 3 × 5 भाग करें: 3 ÷ 3 = 1 गुणा करें: 3 × 3 = 9 और 3 × 5 = 15 इन मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: 3 - 9 + 1 + 15 = 10

इसके बाद, "of" संक्रिया का मूल्यांकन करें, जो गुणा से पहले आती है: 2 of 5 = 2 × 5 = 10

अब, पहले कोष्ठक के परिणाम को इस मान से गुणा करें: 10 × 10 = 100

इसके बाद, दूसरे कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: 2 + 2 ÷ 2 + 2 × 2 - 2 भाग करें: 2 ÷ 2 = 1 गुणा करें: 2 × 2 = 4 इन मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: 2 + 1 + 4 - 2 = 5

अंत में, दो सरल किए गए भागों को जोड़ें: 100 + 5 = 105

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) है।

दी गई शर्त के अनुसार: CP का 70% = SP का 40%

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0.70 × CP = 0.40 × SP

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात प्राप्त होता है: SP/CP = 70/40 = 7/4

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = ((SP - CP) / CP) × 100%

सूत्र के अंदर SP और CP को CP से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: लाभ % = (SP/CP - 1) × 100%

अनुपात SP/CP = 7/4 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (7/4 - 1) × 100% लाभ % = 3/4 × 100% लाभ % = 75%

व्याख्या

"पांच खरीदें और एक मुफ्त पाएं" योजना के तहत, ग्राहक को कुल 6 वस्तुएं (5 खरीदी गई वस्तुएं + 1 मुफ्त वस्तु) प्राप्त होती हैं, लेकिन भुगतान केवल 5 वस्तुओं के लिए करता है। छूट का मूल्य 1 मुफ्त वस्तु की कीमत के बराबर है।

छूट सूत्र का उपयोग करके: छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: छूट % = (1 / (5 + 1)) × 100 छूट % = (1 / 6) × 100 छूट % = 16.67%

व्याख्या

दो वृत्तों की तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (transverse common tangent) की लंबाई का सूत्र है: लंबाई = √(d² - (r₁ + r₂)²)

जहाँ d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ तथा r₂ उनकी संबंधित त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: d = 10 सेमी r₁ = 4 सेमी r₂ = 2 सेमी

इन मानों को सूत्र में रखने पर: लंबाई = √(10² - (4 + 2)²) लंबाई = √(100 - 6²) लंबाई = √(100 - 36) लंबाई = √64 लंबाई = 8 सेमी

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, दो संख्याओं a और b का माध्य समानुपाती सूत्र √(ab) द्वारा दिया जाता है।

माना दो संख्याएँ 25 और x हैं। चूँकि 35 उनका माध्य समानुपाती है: √(25 × x) = 35

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 25 × x = 35² 25 × x = 1225

x के लिए हल करने पर: x = 1225 / 25 x = 49

व्याख्या

मान लीजिए दो संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र O है। बाहरी वृत्त की त्रिज्या R = 17 सेमी और भीतरी वृत्त की त्रिज्या r = 15 सेमी है। मान लीजिए AB बाहरी वृत्त की वह जीवा है जो बिंदु P पर भीतरी वृत्त की स्पर्शरेखा है।

स्पर्शरेखा AB पर संपर्क बिंदु P तक खींची गई त्रिज्या OP लंबवत होती है, जिससे त्रिभुज OPA, P पर समकोण त्रिभुज बनता है। चूँकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, P, AB का मध्य बिंदु है, जिसका अर्थ है AB = 2 × AP।

समकोण त्रिभुज OPA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: OA² = OP² + AP² 17² = 15² + AP² 289 = 225 + AP² AP² = 289 - 225 AP² = 64 AP = 8 सेमी

जीवा AB की लंबाई है: AB = 2 × AP = 2 × 8 = 16 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा s सेमी है।

चूंकि वर्ग की विपरीत भुजाएँ दो वृत्तों के व्यास बनाती हैं, इसलिए प्रत्येक वृत्त का व्यास s है और त्रिज्या r = s/2 है।

चूंकि व्यास वर्ग की सीमाओं पर स्थित हैं, इसलिए प्रत्येक वृत्त का केवल एक अर्धवृत्त वर्ग के अंदर आता है। इस प्रकार, वर्ग के अंदर दो अर्धवृत्तों का संयुक्त क्षेत्रफल त्रिज्या r वाले एक पूर्ण वृत्त के बराबर है।

वर्ग का क्षेत्रफल = s² दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = π r² = π (s/2)² = π s² / 4

वर्ग का शेष क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: शेष क्षेत्रफल = s² - π s² / 4 = s² (1 - π/4)

π = 22/7 का उपयोग करके: शेष क्षेत्रफल = s² (1 - 22/28) = s² (6/28) = 3/14 s²

दिया गया है कि शेष क्षेत्रफल 42 वर्ग सेमी है: 3/14 s² = 42 s² = 42 × 14 / 3 s² = 196 s = 14 सेमी

चूंकि वर्ग की भुजा प्रत्येक वृत्त का व्यास बनाती है, इसलिए प्रत्येक वृत्त का व्यास 14 सेमी है।

व्याख्या

एक स्थिर दूरी के लिए, गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि गति को 6/7 के गुणक से बढ़ाया जाता है, तो लिया गया समय व्युत्क्रम गुणक 7/6 से बढ़ना चाहिए।

मान लीजिए T यात्रा को पूरा करने के लिए लिया गया सामान्य समय है। नया समय = (7/6) × T

नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 20 मिनट है: (7/6)T - T = 20 (1/6)T = 20 T = 120 मिनट

120 मिनट को घंटों में बदलने पर: 120 ÷ 60 = 2 घंटे

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC त्रिभुज PQR के समरूप है, इसलिए उनके परिमापों का अनुपात उनके संगत भुजाओं, AB/PQ के अनुपात के बराबर होता है। त्रिभुज PQR का परिमाप 12 + 18 + 24 = 54 सेमी है, और AB से PQ का अनुपात 8/12 = 2/3 है, जिससे त्रिभुज ABC का परिमाप 54 * (2/3) = 36 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: r = 6.2 सेमी π = 3.14

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 3.14 × (6.2)² कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 9.42 × 38.44 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 362.1048 वर्ग सेमी

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 362.10 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या N है। विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, N को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: N = 304k + 43 जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

जब N को 16 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम N मॉड्यूलो 16 लिखते हैं: N mod 16 = (304k + 43) mod 16

चूंकि 304, 16 का एक गुणज है (304 = 16 × 19), पद 304k, 16 से पूरी तरह विभाज्य है, जिससे शेषफल 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, N को 16 से विभाजित करने पर शेषफल केवल 43 को 16 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल द्वारा निर्धारित होता है: 43 = 16 × 2 + 11

शेषफल 11 है।

व्याख्या

मान लीजिए पांच क्रमागत सम संख्याएँ x - 4, x - 2, x, x + 2, और x + 4 हैं, जहाँ x मध्य (तीसरी) संख्या है।

इन पांच संख्याओं का योग है: (x - 4) + (x - 2) + x + (x + 2) + (x + 4) = 5x

हमें दिया गया है कि योग 2720 है: 5x = 2720 x = 544

इस प्रकार, तीसरी संख्या 544 है।

पांचवीं संख्या है: x + 4 = 544 + 4 = 548

तीसरी और पांचवीं संख्याओं का योग है: 544 + 548 = 1092

व्याख्या

खुदी हुई खाई की लंबाई, नियुक्त किए गए मिस्त्रियों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है जब समय अवधि स्थिर रहती है।

M₁ / W₁ = M₂ / W₂

यहाँ, M₁ 47 मिस्त्री हैं, W₁ 35 मीटर है, और W₂ 105 मीटर है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: M₂ = 47 × (105 / 35) M₂ = 47 × 3 M₂ = 141

व्याख्या

जब किसी वर्ग की भुजा में वृद्धि की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि की गणना सीधे उत्तरोत्तर प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रतिशत वृद्धि = x + y + (x × y)/100

चूंकि वर्ग की भुजा दोनों विमाओं में 5% बढ़ाई जाती है, हम सूत्र में x = 5 और y = 5 प्रतिस्थापित करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = 5 + 5 + (5 × 5)/100 प्रतिशत वृद्धि = 10 + 25/100 प्रतिशत वृद्धि = 10 + 0.25 = 10.25%

यह वर्ग के क्षेत्रफल में सटीक प्रतिशत वृद्धि देता है।

व्याख्या

आवश्यक ईंटों की संख्या की गणना दीवार के कुल आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करके की जाती है।

सबसे पहले, समान इकाइयाँ बनाए रखने के लिए दीवार के सभी आयामों को सेंटीमीटर में बदलें: दीवार की लंबाई = 10 मीटर = 1000 सेमी दीवार की चौड़ाई = 22.5 सेमी दीवार की ऊंचाई = 6 मीटर = 600 सेमी

दीवार का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई = 1000 × 22.5 × 600 सेमी³

एक ईंट के आयाम 25 सेमी × 12 सेमी × 9 सेमी दिए गए हैं। एक ईंट का आयतन = 25 × 12 × 9 सेमी³

ईंटों की संख्या = दीवार का आयतन ÷ एक ईंट का आयतन ईंटों की संख्या = (1000 × 22.5 × 600) ÷ (25 × 12 × 9)

विभाजन को सरल बनाना: 1000 ÷ 25 = 40 600 ÷ 12 = 50 22.5 ÷ 9 = 2.5

अब, इन सरलीकृत मानों को गुणा करें: 40 × 50 × 2.5 = 2000 × 2.5 = 5000

व्याख्या

चूंकि sin θ = 15/17 और θ प्रथम चतुर्थांश (0° < θ < 90°) में स्थित है, हम शेष त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) का उपयोग करके: आधार = √(17² - 15²) = 8

इस प्रकार, हमारे पास है: cos θ = 8/17 tan θ = 15/8 cot θ = 8/15 sec θ = 17/8

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: अंश = 15 cot θ + 17 sin θ = 15(8/15) + 17(15/17) = 8 + 15 = 23

हर = 8 tan θ + 16 sec θ = 8(15/8) + 16(17/8) = 15 + 34 = 49

भिन्न का मूल्यांकन करने पर: (15 cot θ + 17 sin θ) / (8 tan θ + 16 sec θ) = 23/49

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (r₁ - r₂)²)

जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ और r₂ उनकी त्रिज्याएँ हैं।

चूंकि वृत्तों के व्यास 16 सेमी और 20 सेमी हैं, उनकी त्रिज्याएँ r₁ = 8 सेमी और r₂ = 10 सेमी हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी d 13 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

L = √(13² - (10 - 8)²)

L = √(169 - 2²)

L = √(169 - 4)

L = √165 सेमी

व्याख्या

खाली बंद लोहे के डिब्बे का वजन, प्रयुक्त लोहे की चादर के आयतन को ज्ञात करके और उसे लोहे के वजन घनत्व से गुणा करके निकाला जाता है।

डिब्बे का बाहरी आयतन (Vₑxt) 60 सेमी, 40 सेमी और 20 सेमी के आयामों के साथ: Vₑxt = 60 × 40 × 20 = 48000 सेमी³

चूंकि चादर 1 सेमी मोटी है, आंतरिक आयाम 2 सेमी (प्रत्येक तरफ 1 सेमी) से कम हो जाते हैं: आंतरिक लंबाई = 60 - 2 = 58 सेमी आंतरिक चौड़ाई = 40 - 2 = 38 सेमी आंतरिक ऊंचाई = 20 - 2 = 18 सेमी

आंतरिक आयतन (Vᵢnt): Vᵢnt = 58 × 38 × 18 = 39672 सेमी³

प्रयुक्त लोहे की चादर का आयतन: आयतन = Vₑxt - Vᵢnt = 48000 - 39672 = 8328 सेमी³

दिया गया है कि लोहे के 1 सेमी³ का वजन 50 ग्राम है, तो खाली डिब्बे का कुल वजन है: वजन = 8328 × 50 = 416400 ग्राम

वजन को किलोग्राम में बदलना (1 किग्रा = 1000 ग्राम): वजन = 416400 ÷ 1000 = 416.40 किग्रा

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के लिए समतुल्य एकल प्रतिशत वृद्धि सूत्र द्वारा दी जाती है:

समतुल्य वृद्धि = a + b + (ab / 100)

दिए गए मानों, a = 15 और b = 10 को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य वृद्धि = 15 + 10 + (15 × 10 / 100) समतुल्य वृद्धि = 25 + 1.5 = 26.5%

व्याख्या

r% प्रति वर्ष साधारण ब्याज दर पर n समान वार्षिक किश्तों x के मूल्य द्वारा चुकाई गई कुल राशि का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

ऋण = n × x + [x × r × n × (n - 1)] / 200

यहाँ, वार्षिक किश्त x = 200, किश्तों की संख्या n = 5, और ब्याज दर r = 5% प्रति वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

ऋण = 5 × 200 + [200 × 5 × 5 × 4] / 200

ऋण = 1000 + 20000 / 200

ऋण = 1000 + 100

ऋण = 1100

व्याख्या

2007 से 2012 तक न्यूनतम निर्माण वाली कार का प्रकार ज्ञात करने के लिए, हम इन वर्षों में प्रत्येक कार प्रकार के उत्पादन संख्याओं को जोड़ते हैं।

एर्टिगा (विकल्प A के अनुरूप) का कुल उत्पादन है: 128 + 150 + 142 + 170 + 180 + 230 = 1000

इसकी तुलना अन्य कार प्रकारों के कुल उत्पादन से करने पर: स्विफ्ट: 250 + 200 + 230 + 245 + 260 + 275 = 1460 Sx4: 200 + 230 + 225 + 210 + 135 + 155 = 1155 ज़ेन: 140 + 155 + 160 + 175 + 185 + 220 = 1035

1000 का योग सभी श्रेणियों में सबसे कम है, जिससे यह 2007 से 2012 की अवधि के दौरान न्यूनतम निर्मित कार प्रकार बन जाता है।

व्याख्या

अर्धगोले के आयतन का सूत्र V = (2/3)πr³ है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

यह दिया गया है कि अर्धगोले का व्यास 42 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r व्यास की आधी है: r = 42 / 2 = 21 सेमी

आयतन सूत्र में r और π के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (2/3) × (22/7) × 21³ V = (2/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21

हर 3 × 7 का मान 21 होता है, जो अंश में 21 में से एक को रद्द कर देता है: V = 2 × 22 × 21 × 21 V = 44 × 441 V = 19404 सेमी³

व्याख्या

हम व्यंजक का मूल्यांकन दो भागों में करते हैं।

पहला भाग: {(3³ + 2³) × 22/7}

चूंकि 3³ = 27 और 2³ = 8, कोष्ठक के अंदर का योग है: 27 + 8 = 35

इसे 22/7 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 35 × 22/7 = 5 × 22 = 110

दूसरा भाग: {(6² + 3² - 4²) ÷ 14½}

वर्गों का मूल्यांकन: 6² = 36 3² = 9 4² = 16

इसलिए पहले कोष्ठक के अंदर का पद है: 36 + 9 - 16 = 29

मिश्रित भिन्न 14½, 29/2 के बराबर है। इस भिन्न से भाग देने पर प्राप्त होता है: 29 ÷ (29/2) = 29 × 2/29 = 2

अंत में, हम दोनों भागों के परिणामों को गुणा करते हैं: 110 × 2 = 220

व्याख्या

a% और b% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के बाद शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + ab/100

वृद्धि के लिए a = +40 और कमी के लिए b = -45 प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 40 - 45 + (40 × (-45))/100 शुद्ध परिवर्तन = -5 - 1800/100 शुद्ध परिवर्तन = -5 - 18 शुद्ध परिवर्तन = -23%

ऋणात्मक चिह्न 23% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके: 1/A + 1/B = 1/T

जहाँ A, A द्वारा अकेले लिया गया समय है, B, B द्वारा अकेले लिया गया समय है, और T, दोनों द्वारा मिलकर लिया गया कुल समय है।

दिए गए मानों, T = 15 दिन और A = 18 दिन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1/18 + 1/B = 1/15

B की दर ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 1/18 घटाने पर: 1/B = 1/15 - 1/18

15 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 90 ज्ञात करने और भिन्नों को पुनः लिखने पर: 1/B = 6/90 - 5/90 1/B = 1/90

व्युत्क्रम लेने पर B = 90 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

रेखा का समीकरण 6x + 8y - 48 = 0 है।

x-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में y = 0 प्रतिस्थापित करते हैं: 6x - 48 = 0 x = 8 यह x-अक्ष पर बिंदु (8, 0) देता है।

y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं: 8y - 48 = 0 y = 6 यह y-अक्ष पर बिंदु (0, 6) देता है।

निर्देशांक अक्षों के बीच रेखा का खंड बिंदुओं (8, 0) और (0, 6) को जोड़ता है। इस अंतःखंड की लंबाई दूरी सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: लंबाई = √((8 - 0)² + (0 - 6)²) लंबाई = √(64 + 36) लंबाई = √100 = 10 इकाई।

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, कोष्ठक (brackets) और "का" (of) संक्रियाओं को पहले सरल किया जाता है, उसके बाद भाग (division), गुणा (multiplication), जोड़ (addition) और घटाव (subtraction) किया जाता है।

सबसे पहले, पहले कोष्ठक वाले पद को सरल करें: [40 - 48 ÷ 4 का 3] चूंकि "का" (of) का महत्व भाग (division) से अधिक है: 4 का 3 = 4 × 3 = 12 पद बन जाता है: 40 - 48 ÷ 12 = 40 - 4 = 36

अगला, दूसरे कोष्ठक वाले पद को सरल करें: [(6 + 4) - 4 का 4 + 4 + (6 - 4) + (4 × 4) ÷ 4] अंदर की व्यक्तिगत संक्रियाओं का मूल्यांकन करें: 6 + 6 = 10 (6 + 4 से) 4 का 4 = 16 6 - 4 = 2 (4 × 4) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4 इन मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: [10 - 16 + 4 + 2 + 4] = 4

अब, इन परिणामों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 36 ÷ 4 × 3 बाएं से दाएं हल करें: 36 ÷ 4 = 9 9 × 3 = 27

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना आवश्यक संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार, समीकरण है: x + 460 का 20% = 920 का 70%

सबसे पहले, 460 का 20% ज्ञात करें: 460 का 20% = (20/100) × 460 = 92

इसके बाद, 920 का 70% ज्ञात करें: 920 का 70% = (70/100) × 920 = 644

इन मानों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: x + 92 = 644 x = 644 - 92 x = 552

व्याख्या

मान लीजिए पहली राशि q₁ और दूसरी राशि q₂ है।

दोनों राशियों का अनुपात q₁ : q₂ = 3 : 5 दिया गया है।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: q₂ = q₁ × (5/3)

पहली राशि, q₁ = 155 किग्रा का दिया गया मान सूत्र में रखने पर: q₂ = 155 × (5/3) q₂ = 775/3 q₂ ≈ 258.33 किग्रा

यह 258.3 किग्रा के अनुमानित मान से मेल खाता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिया गया है कि ΔABC, ΔQRP के समरूप है, भुजा BC, भुजा RP के संगत है।

क्षेत्रफल(ΔABC) / क्षेत्रफल(ΔQRP) = (BC / PR)²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

9/4 = (15 / PR)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

3/2 = 15 / PR

PR = (15 × 2) / 3

PR = 10 सेमी

व्याख्या

चतुर्भुज OQPR में, त्रिज्याएँ OQ और OR स्पर्श बिंदुओं Q और R पर क्रमशः स्पर्शरेखाओं PQ और PR पर लंबवत हैं। इससे ∠OQP = 90° और ∠ORP = 90° प्राप्त होता है।

किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इसलिए, चतुर्भुज OQPR में: ∠ROQ + ∠OQP + ∠RPQ + ∠ORP = 360°

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 110° + 90° + ∠RPQ + 90° = 360° 290° + ∠RPQ = 360° ∠RPQ = 360° - 290° ∠RPQ = 70°

वैकल्पिक रूप से, चूँकि स्पर्श बिंदुओं पर कोण दोनों 90° हैं, सम्मुख कोण ∠ROQ और ∠RPQ संपूरक होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है: ∠RPQ = 180° - ∠ROQ ∠RPQ = 180° - 110° ∠RPQ = 70°

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण tan θ + cot θ = 2 को देखते हुए, हम cot θ को 1 / tan θ के रूप में लिख सकते हैं। इससे समीकरण tan θ + 1 / tan θ = 2 प्राप्त होता है।

मान लीजिए x = tan θ, तो हमारे पास x + 1/x = 2 है, जो द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 को सरल बनाता है। इसे हल करने पर (x - 1)² = 0 प्राप्त होता है, इसलिए x = 1।

इस प्रकार, tan θ = 1 और cot θ = 1।

इन मानों को दिए गए व्यंजक tan³ θ + cot³ θ + 6 tan³ θ cot² θ में प्रतिस्थापित करने पर:

1³ + 1³ + 6 × 1³ × 1² = 1 + 1 + 6 = 8

व्याख्या

औसत गति की गणना पूरी यात्रा के लिए, आराम के समय सहित, तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में की जाती है।

कुल दूरी = 50 किमी + 30 किमी = 80 किमी

कुल समय = 90 मिनट + 15 मिनट + 35 मिनट = 140 मिनट

कुल समय को मिनट से घंटे में बदलना: कुल समय = 140 / 60 घंटे = 7/3 घंटे

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय औसत गति = 80 / (7/3) = 240/7 किमी/घंटा

240/7 को मिश्रित भिन्न में बदलना: 240 / 7 = 34 2/7 किमी/घंटा

व्याख्या

किसी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र है:

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

मिथिला द्वारा तय की गई कुल दूरी बस और टैक्सी से तय की गई दूरी का योग है: कुल दूरी = 50 + 30 = 80 किमी

पूरी यात्रा के लिए कुल समय में यात्रा का समय और आराम की अवधि शामिल है: कुल समय = 90 + 15 + 35 = 140 मिनट

कुल समय को घंटों में बदलने के लिए: कुल समय = 140 / 60 = 7/3 घंटे

इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखने पर: औसत गति = 80 / (7/3) = (80 × 3) / 7 = 240 / 7 ≈ 34.28 किमी/घंटा

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य ₹150 है। छूट अंकित मूल्य का 25% है, जो 0.25 × 150 = ₹37.5 है। इससे विक्रय मूल्य 150 - 37.5 = ₹112.5 प्राप्त होता है।

चूंकि दुकानदार ₹2.5 मूल्य का उपहार भी देता है, इसलिए उसे प्राप्त प्रभावी विक्रय मूल्य है: प्रभावी विक्रय मूल्य = 112.5 - 2.5 = ₹110

दुकानदार को क्रय मूल्य (CP) पर 10% का लाभ होता है। लाभ प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: क्रय मूल्य = प्रभावी विक्रय मूल्य / (1 + लाभ%) क्रय मूल्य = 110 / (1 + 0.10) = 110 / 1.1 = ₹100

व्याख्या

288 संतरों का कुल क्रय मूल्य (CP) = ₹115.20

पहले 50 संतरों का विक्रय मूल्य = 50 × 70 पैसे = 50 × ₹0.70 = ₹35.00

शेष संतरों का विक्रय मूल्य = ₹46.20

कुल विक्रय मूल्य (SP) = ₹35.00 + ₹46.20 = ₹81.20

चूंकि CP, SP से अधिक है, इसलिए हानि हुई है।

हानि = CP - SP हानि = ₹115.20 - ₹81.20 = ₹34.00

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच का अंतर दो आधारों का क्षेत्रफल है: अंतर = 2πr²

चूंकि बेलन का आधार व्यास 28 सेमी है, इसलिए त्रिज्या है: r = 28/2 = 14 सेमी

π ≈ 22/7 का मान प्रयोग करते हुए, त्रिज्या को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: अंतर = 2 × (22/7) × 14 × 14 अंतर = 2 × 22 × 2 × 14 अंतर = 44 × 28 अंतर = 1232 सेमी²

व्याख्या

दिए गए परिमाप के लिए, अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है।

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा a है। त्रिभुज का परिमाप 3a = 36 दिया गया है, जिससे a = 12 प्राप्त होता है।

इस त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

a का मान रखने पर:

क्षेत्रफल = (√3/4) × 12² = (√3/4) × 144 = 36√3

इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 36√3 वर्ग इकाई से अधिक नहीं हो सकता।