एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए BODMAS नियम (कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का प्रयोग किया जाता है।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर की संक्रिया का मूल्यांकन करें: 11³ ÷ 11 = 11³⁻¹ = 11² = 121

इस मान को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 40 × 7 - 2 × 121 ÷ 22 + 30

अगला, गुणा और भाग की संक्रियाएँ करें: 40 × 7 = 280 2 × 121 ÷ 22 = 242 ÷ 22 = 11

अब, इन सरलीकृत पदों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 280 - 11 + 30

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 280 - 11 + 30 = 269 + 30 = 299

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज PQRS में, भुजा PQ, SR के समानांतर है, और PQ = SR। चूँकि PQ को T तक बढ़ाया गया है, रेखा PT, SR के समानांतर है।

त्रिभुज TQM और SRM में, हमारे पास है: कोण TMQ = कोण SMR क्योंकि वे शीर्ष-आभिमुख कोण हैं। कोण TQM = कोण SRM क्योंकि वे समानांतर रेखाओं PT और SR के लिए तिर्यक QR के एकांतर अंतः कोण हैं। QM = MR क्योंकि M, QR का मध्य-बिंदु है।

कोण-भुजा-कोण (ASA) सर्वांगसमता कसौटी से, त्रिभुज TQM, त्रिभुज SRM के सर्वांगसम है। इस सर्वांगसमता का अर्थ है कि उनकी संगत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए TQ = SR।

PT की लंबाई PQ और TQ का योग है। इस संबंध में PQ = SR और TQ = SR को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: PT = PQ + TQ = SR + SR = 2SR

व्याख्या

मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम पानी और दूध की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 445/6 लीटर और 623/6 लीटर के रूप में गणना करते हैं। x लीटर पानी मिलाने के बाद पानी और दूध के नए अनुपात के लिए समीकरण स्थापित करने पर, हमें (445/6 + x) / (623/6) = 3/4 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 24x = 89 हो जाता है, जिससे x = 3 17/24 लीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

संबंध का उपयोग करके: हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य

90 वस्तुओं के लिए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: हानि = 90 वस्तुओं का क्रय मूल्य - 90 वस्तुओं का विक्रय मूल्य

यह देखते हुए कि हानि 8 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, और 90 वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य ₹13,230 है, मान लीजिए SP एक वस्तु का विक्रय मूल्य है: 8 × SP = 13,230 - 90 × SP

SP को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: 98 × SP = 13,230 SP = 13,230 / 98 SP = 135

व्याख्या

चूंकि A एक न्यून कोण है, हम cos A का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos A = √(1 - sin² A) का उपयोग करते हैं: cos A = √(1 - (2/5)²) = √(1 - 4/25) = √21/5

सेकेंट का मान कोसाइन के मान का व्युत्क्रम होता है: sec A = 1/cos A = 5/√21

दिए गए व्यंजक में sin A, cos A, और sec A के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (5 sin A + 2 cos A) / (√21 sec A)

अंश की गणना करें: 5(2/5) + 2(√21/5) = 2 + 2√21/5 = (10 + 2√21)/5

हर की गणना करें: √21(5/√21) = 5

अंश को हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: ((10 + 2√21)/5) / 5 = (10 + 2√21)/25

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करके, हम सूत्र में a = 3x और b = 2y प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

यह सीधे देता है: (3x + 2y)² - (3x - 2y)² = 4 × (3x) × (2y) = 24xy

वैकल्पिक रूप से, दोनों वर्ग पदों का विस्तार करके: (3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y² (3x - 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

दूसरे व्यंजक को पहले से घटाकर: (9x² + 12xy + 4y²) - (9x² - 12xy + 4y²) = 9x² - 9x² + 12xy - (-12xy) + 4y² - 4y² = 24xy

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर एक कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

T = (A × B) / (A + B)

जहाँ A पुरुष द्वारा लिया गया समय (10 दिन) है और B महिला द्वारा लिया गया समय (8 दिन) है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

T = (10 × 8) / (10 + 8) T = 80 / 18 T = 40/9 दिन

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध मानक सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP/MP = (100 - D)/(100 + P)

जहाँ D छूट प्रतिशत है और P लाभ प्रतिशत है।

दिया गया है: अंकित मूल्य (MP) = ₹6,500 छूट (D) = 10% लाभ (P) = 20%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP/6500 = (100 - 10)/(100 + 20)

CP/6500 = 90/120

CP/6500 = 3/4

CP = 6500 × 3/4

CP = 1625 × 3

CP = 4875

इलेक्ट्रिक मिक्सर का क्रय मूल्य ₹4,875 है।

व्याख्या

महाराष्ट्र में 1994 से 1998 तक छात्रों की संख्या में लगातार वर्ष-दर-वर्ष वृद्धि देखी गई: 1994 में, छात्रों की संख्या 723 थी। 1995 में, यह बढ़कर 840 हो गई। 1996 में, यह बढ़कर 900 हो गई। 1997 में, यह बढ़कर 920 हो गई। 1998 में, यह 925 तक पहुँच गई।

इन मानों की वर्ष-दर-वर्ष तुलना करने पर: 723 < 840 < 900 < 920 < 925

प्रत्येक आगामी वर्ष में पिछले वर्ष की तुलना में अधिक मान है, जो पूरी अवधि में लगातार वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए X, Y और Z द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय क्रमशः Tx, Ty और Tz है। जब वे एक साथ काम करते हैं तो प्रति दिन कार्य की संयुक्त दर है:

दर = 1/Tx + 1/Ty + 1/Tz

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

दर = 1/20 + 1/12 + 1/28

20, 12 और 28 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 420 है। भिन्नों को इस सामान्य हर के साथ परिवर्तित करने पर:

दर = (21 + 35 + 15) / 420 = 71 / 420

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की कुल संख्या संयुक्त दैनिक दर का व्युत्क्रम है:

कुल दिन = 420 / 71 ≈ 5.92

5.92 को निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर लगभग 6 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

s भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6s² द्वारा दिया जाता है। चूँकि पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी भुजा, s² के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, भुजा में कोई भी प्रतिशत परिवर्तन पृष्ठीय क्षेत्रफल को दो बार क्रमिक रूप से प्रभावित करता है।

x% की कमी के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: शुद्ध प्रतिशत कमी = 2x - x²/100

x = 12 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत कमी = 2(12) - 12²/100 शुद्ध प्रतिशत कमी = 24 - 144/100 शुद्ध प्रतिशत कमी = 24 - 1.44 शुद्ध प्रतिशत कमी = 22.56%

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (p), और छूट प्रतिशत (d) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + p) / (100 - d)

दिया गया है कि लाभ प्रतिशत 14% है और छूट प्रतिशत 5% है:

MP / CP = (100 + 14) / (100 - 5) MP / CP = 114 / 95

अंश और हर दोनों को उनके सामान्य गुणनखंड 19 से विभाजित करने पर:

MP / CP = 6 / 5

अंकित मूल्य को क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक होना चाहिए, वह है:

अंकन प्रतिशत = ((MP - CP) / CP) × 100 अंकन प्रतिशत = ((6 - 5) / 5) × 100 अंकन प्रतिशत = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या, केंद्र से लंबवत दूरी और जीवा के आधे भाग से एक समकोण त्रिभुज बनता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

r² = d² + (c/2)²

यहां, त्रिज्या r 8 इकाई है और जीवा की लंबाई c 10 इकाई है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

8² = d² + 5²

64 = d² + 25

d² = 64 - 25

d² = 39

d = √39 इकाई

व्याख्या

25% की छूट ने लक्षिता को ₹22,400 बचाने की अनुमति दी। इसका मतलब है कि सोफा सेट के अंकित मूल्य का 25% ₹22,400 के बराबर है।

चूंकि लक्षिता ने सोफा सेट 25% की छूट पर खरीदा था, इसलिए उसने अंकित मूल्य का शेष 75% भुगतान किया।

सीधे संबंध का उपयोग करके: भुगतान की गई राशि = 3 × 22,400 = 67,200

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (y - 1/y)² = y² + 1/y² - 2

सर्वसमिका में दिए गए मान y - 1/y = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: 8² = y² + 1/y² - 2

64 = y² + 1/y² - 2

y² + 1/y² = 64 + 2

y² + 1/y² = 66

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए, यदि l + m + n = 0 है, तो उनके घनों का योग l³ + m³ + n³ = 3lmn द्वारा दिया जाता है।

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, पहले एक सामान्य हर ज्ञात करके कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करें: (l²/mn) + (m²/nl) + (n²/lm) = (l³ + m³ + n³) / lmn

सरलीकृत व्यंजक में सर्वसमिका l³ + m³ + n³ = 3lmn को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 3lmn / lmn = 3

इस परिणाम का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: 3² = 9

व्याख्या

किसी वस्तु का औसत मूल्य भारित औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत मूल्य = (n₁x₁ + n₂x₂) / (n₁ + n₂)

जहाँ n₁ और n₂ कुर्सियों की संख्या हैं, और x₁ और x₂ उनके संबंधित मूल्य हैं।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

n₁ = 13, x₁ = 150 n₂ = 15, x₂ = 130

औसत मूल्य = (13 × 150 + 15 × 130) / (13 + 15)

औसत मूल्य = (1950 + 1950) / 28

औसत मूल्य = 3900 / 28

औसत मूल्य ≈ 139.29

इसे निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर 139 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका tan(A) = cot(B) का उपयोग करके जब A + B = 90° होता है, हम कोणों के योग को 90° के बराबर कर सकते हैं:

(5θ - 10°) + (5φ + 20°) = 90°

समीकरण को सरल बनाने पर:

5θ + 5φ + 10° = 90°

5(θ + φ) = 80°

θ + φ = 16°

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है, c जीवा की लंबाई है, और d केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

r² = d² + (c/2)²

दिए गए मानों, d = 5 सेमी और c = 24 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

r² = 5² + (24/2)² r² = 25 + 12² r² = 25 + 144 r² = 169 r = 13 सेमी

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के बाद अंतिम पूंजी की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

अंतिम पूंजी = प्रारंभिक पूंजी × (1 - हानि₁/100) × (1 + लाभ₂/100) × (1 + लाभ₃/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम पूंजी = 1,60,000 × (1 - 10/100) × (1 + 5/100) × (1 + 25/100) अंतिम पूंजी = 1,60,000 × 0.90 × 1.05 × 1.25 अंतिम पूंजी = 1,60,000 × (9/10) × (21/20) × (5/4) अंतिम पूंजी = 1,60,000 × 945/800 अंतिम पूंजी = 200 × 945 अंतिम पूंजी = 1,89,000

कुल लाभ अंतिम पूंजी और प्रारंभिक पूंजी के बीच का अंतर है:

कुल लाभ = अंतिम पूंजी - प्रारंभिक पूंजी कुल लाभ = 1,89,000 - 1,60,000 कुल लाभ = 29,000

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × R × T / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

पहले मामले में, धनराशि अपने मूल मान का 9 गुना हो जाती है, जिसका अर्थ है कि 21 वर्षों में अर्जित ब्याज 8P है। 8P = P × R₁ × 21 / 100 R₁ = 800 / 21 ≈ 38.095% निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, R₁ = 38%।

दूसरे मामले में, धनराशि अपने मूल मान का 12 गुना हो जाती है, इसलिए 25 वर्षों में अर्जित ब्याज 11P है। 11P = P × R₂ × 25 / 100 R₂ = 1100 / 25 = 44%

ब्याज दर में परिवर्तन R₂ - R₁ = 44% - 38% = 6% की वृद्धि है।

व्याख्या

केंद्र पर θ कोण अंतरित करने वाले वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है: L = (θ/360°) × 2πr

दिए गए मान L = 22, θ = 84°, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: 22 = (84/360) × 2 × (22/7) × r

84 ÷ 7 = 12 का उपयोग करके: 22 = (12/360) × 44 × r

12/360 को 1/30 के रूप में सरल करने पर: 22 = (1/30) × 44 × r

दोनों पक्षों को 22 से विभाजित करने पर: 1 = (2/30) × r r = 15

व्याख्या

चूंकि θ एक न्यून कोण है, cos θ ≠ 0 है। समीकरण के दोनों पक्षों को cos θ से विभाजित करने पर: sin θ = 2cos² θ - 1/4

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का प्रयोग करके, समीकरण को sin θ के पदों में पुनः लिखा जा सकता है: sin θ = 2(1 - sin² θ) - 1/4 sin θ = 2 - 2sin² θ - 1/4 sin θ = 7/4 - 2sin² θ

पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर: 4sin θ = 7 - 8sin² θ 8sin² θ + 4sin θ - 7 = 0

यह sin θ के पदों में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 8, b = 4, और c = -7 है: sin θ = (-4 ± √(4² - 4 × 8 × (-7))) / (2 × 8) sin θ = (-4 ± √(16 + 224)) / 16 sin θ = (-4 ± √240) / 16 sin θ = (-4 ± 4√15) / 16 sin θ = (-1 ± √15) / 4

चूंकि θ एक न्यून कोण है, sin θ धनात्मक होना चाहिए। धनात्मक मूल लेने पर: sin θ = (√15 - 1) / 4

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: sin 45° = 1/√2 cos 45° = 1/√2

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin 45° + cos 45° = 1/√2 + 1/1.414 = 2/√2

चूंकि 2 को √2 × √2 के रूप में लिखा जा सकता है, व्यंजक सीधे सरल हो जाता है: 2/√2 = (√2 × √2)/√2 = √2

व्याख्या

रसायन X और पानी का प्रारंभिक अनुपात 15:9 है। मान लीजिए रसायन X की प्रारंभिक मात्रा 15k और पानी की 9k है, जिससे कुल मिश्रण 24k होता है।

जब इस मिश्रण के 48 लीटर को हटाया जाता है, तो घटकों को उसी अनुपात में कम किया जाता है: हटाया गया रसायन X = 15/24 × 48 = 30 लीटर हटाया गया पानी = 9/24 × 48 = 18 लीटर

मिश्रण के 48 लीटर को हटाने और 48 लीटर पानी मिलाने के बाद, घटकों की नई मात्राएँ बन जाती हैं: रसायन X की नई मात्रा = 15k - 30 पानी की नई मात्रा = 9k - 18 + 48 = 9k + 30

रसायन X और पानी का नया अनुपात 11:13 है: (15k - 30) / (9k + 30) = 11 / 13 13 × (15k - 30) = 11 × (9k + 30) 195k - 390 = 99k + 330 96k = 720 k = 7.5

प्रतिस्थापन के बाद पानी की मात्रा है: 9k + 30 = 9 × 7.5 + 30 = 67.5 + 30 = 97.5 लीटर

व्याख्या

साझेदारी में, जब निवेश की अवधि समान होती है, तो लाभ साझेदारों द्वारा निवेश की गई पूंजी के अनुपात में वितरित किया जाता है।

P, Q और R के निवेश का अनुपात = 1000 : 1200 : 1500 = 10 : 12 : 15

अनुपात पदों का योग = 10 + 12 + 15 = 37

वितरित किया जाने वाला कुल लाभ = ₹666

Q का लाभ हिस्सा = (Q का अनुपात पद / अनुपात पदों का योग) × कुल लाभ Q का हिस्सा = (12 / 37) × 666 Q का हिस्सा = 12 × 18 = 216

व्याख्या

तीन पदों के योग, उनके वर्गों के योग और उनके युग्मित गुणनफलों के योग को जोड़ने वाली बीजीय सर्वसमिका है:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों, a + b + c = 20 और a² + b² + c² = 262 को प्रतिस्थापित करने पर:

20² = 262 + 2(ab + bc + ca)

400 = 262 + 2(ab + bc + ca)

400 - 262 = 2(ab + bc + ca)

138 = 2(ab + bc + ca)

ab + bc + ca = 69

व्याख्या

सबसे पहले, हम व्यंजक में मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलते हैं: 4 1/3 = 13/3 3 1/3 = 10/3 1 4/5 = 9/5 3 2/4 = 7/2 1 1/2 = 3/2 1 1/3 = 4/3

संचालन के मानक क्रम का पालन करते हुए, हम पहले पहले कोष्ठक में कोष्ठक के अंदर योग को सरल करते हैं: 3/2 + 4/3 = (9 + 8)/6 = 17/6

इसके बाद, हम पहले कोष्ठक में गुणन पदों का मूल्यांकन करते हैं: 10/3 × 9/5 = 6 7/2 × 17/6 = 119/12

अब, हम पहले कोष्ठक के भीतर योग करते हैं: 13/3 + 6 + 119/12 = 52/12 + 72/12 + 119/12 = 243/12 = 81/4

दूसरे कोष्ठक के लिए, हम योग से पहले गुणन करते हैं: 5/6 × 2/3 = 5/9 2/3 + 5/9 = 6/9 + 5/9 = 11/9

अंत में, हम पहले कोष्ठक के सरलीकृत मान को दूसरे कोष्ठक से विभाजित करते हैं: (81/4) ÷ (11/9) = 81/4 × 9/11 = 729/44 = 16 25/44

16 25/44 का मूल्यांकन लगभग 16.57 देता है, जो 16 5/8 के बराबर है।

व्याख्या

चूंकि VWUT एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें VW, TU के समानांतर है, रेखा खंड VW, त्रिभुज STU को एक छोटे त्रिभुज SVW में विभाजित करता है जो त्रिभुज STU के समरूप है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, त्रिभुज SVW के क्षेत्रफल का त्रिभुज STU के क्षेत्रफल से अनुपात है: Area(SVW) / Area(STU) = (VW / TU)² = (2 / 7)² = 4 / 49

यदि त्रिभुज STU का क्षेत्रफल 49 इकाई है, तो त्रिभुज SVW का क्षेत्रफल 4 इकाई है। समलंब चतुर्भुज VWUT का क्षेत्रफल त्रिभुज STU के क्षेत्रफल और त्रिभुज SVW के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: Area(VWUT) = Area(STU) - Area(SVW) = 49 - 4 = 45 इकाई

समलंब चतुर्भुज VWUT के क्षेत्रफल का त्रिभुज STU के क्षेत्रफल से अनुपात 45:49 है।

व्याख्या

जब तय की गई दूरी स्थिर होती है, तो नाव चलाने की गति लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

माना धारा की गति v किमी/घंटा है। शांत जल में नाव की गति u = 9 किमी/घंटा दी गई है।

अनुप्रवाह गति (downstream speed) u + v = 9 + v है। ऊर्ध्वप्रवाह गति (upstream speed) u - v = 9 - v है।

चूंकि ऊर्ध्वप्रवाह में नाव चलाने में लगने वाला समय अनुप्रवाह में लगने वाले समय का दोगुना है, इसलिए ऊर्ध्वप्रवाह समय का अनुप्रवाह समय से अनुपात 2:1 है। परिणामस्वरूप, अनुप्रवाह गति का ऊर्ध्वप्रवाह गति से अनुपात 2:1 है।

इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (9 + v) / (9 - v) = 2 / 1

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 9 + v = 2 × (9 - v) 9 + v = 18 - 2v 3v = 9 v = 3

इस प्रकार, धारा की गति 3 किमी/घंटा है।

व्याख्या

वर्ष 2019 में सर्वाधिक बिकने वाले टीवी ब्रांड का पता लगाने के लिए, हम तालिका में वर्ष 2019 के अनुरूप पंक्ति को देखते हैं। 2019 में प्रत्येक ब्रांड के लिए बिक्री के आंकड़े (हजारों में) ब्रांड 1 के लिए 196, ब्रांड 2 के लिए 180, ब्रांड 3 के लिए 159 और ब्रांड 4 के लिए 190 हैं। इन मानों की तुलना करने पर, 196 सबसे बड़ी संख्या है, जो ब्रांड 1 से संबंधित है, जो 196,000 टीवी इकाइयों की उच्चतम बिक्री का प्रतिनिधित्व करती है।

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b)² = a² + 2ab + b²

a = 2x और b = 5y रखने पर, समीकरण 2x + 5y = 15 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: (2x + 5y)² = 15² 4x² + 20xy + 25y² = 225

दिए गए मान xy = 6 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 4x² + 20(6) + 25y² = 225 4x² + 120 + 25y² = 225

वांछित मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 120 घटाने पर: 4x² + 25y² = 225 - 120 4x² + 25y² = 105

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या x है।

8% की वृद्धि और फिर 3% की कमी के क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन लागू करने पर: x × (1 + 8/100) × (1 - 3/100) = 2619 x × (108/100) × (97/100) = 2619 x × (10476/10000) = 2619

x के लिए हल करना: x = (2619 × 10000) / 10476 x = 10000 / 4 x = 2500

इस मूल संख्या का 5% ज्ञात करना: 2500 का 5% = 2500 × 5/100 = 125

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करते हुए, दो किस्मों की मात्राओं का अनुपात है:

(सस्ती किस्म की मात्रा) / (महंगी किस्म की मात्रा) = (महंगी किस्म का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ती किस्म का मूल्य)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सस्ती किस्म का मूल्य = ₹80/किग्रा महंगी किस्म का मूल्य = ₹85/किग्रा मिश्रण का औसत मूल्य = ₹82/किग्रा

आवश्यक अनुपात = (85 - 82) / (82 - 80) = 3/2

यह मिश्रण का अनुपात 3:2 देता है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 10 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है।

A की दक्षता = 30 ÷ 10 = 3 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 30 ÷ 15 = 2 इकाई प्रति दिन।

मान लीजिए कार्य पूरा करने के लिए दिनों की कुल संख्या x है। चूँकि A ने कार्य पूरा होने से 5 दिन पहले काम छोड़ दिया, A ने x - 5 दिनों तक काम किया, और B ने x दिनों की पूरी अवधि तक काम किया।

कुल कार्य को दर्शाने वाला समीकरण है: A की दक्षता × (x - 5) + B की दक्षता × x = कुल कार्य 3 × (x - 5) + 2 × x = 30 3x - 15 + 2x = 30 5x - 15 = 30 5x = 45 x = 9

व्याख्या

मूल त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 21 सेमी और 29 सेमी हैं। हम पाइथागोरस संबंध का उपयोग करके सत्यापित करते हैं कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है:

20² + 21² = 400 + 441 = 841 29² = 841

चूंकि 20² + 21² = 29², दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

इस मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 20 × 21 = 210 सेमी²

मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाला त्रिभुज मूल त्रिभुज को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ¼ होता है।

मध्य-बिंदु त्रिभुज का क्षेत्रफल = ¼ × 210 = 52.5 सेमी²

52.5 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर 52½ सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - √9.76 x + 1 = 0 को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x + 1/x = √9.76

x³ - 1/x³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके x - 1/x का मान ज्ञात करते हैं: (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4

x + 1/x का मान प्रतिस्थापित करने पर: (x - 1/x)² = (√9.76)² - 4 (x - 1/x)² = 9.76 - 4 (x - 1/x)² = 5.76

चूंकि x > 1 है, इसलिए व्यंजक x - 1/x धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - 1/x = √5.76 = 2.4

अब, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके x³ - 1/x³ ज्ञात करते हैं: x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x)

x - 1/x = 2.4 प्रतिस्थापित करने पर: x³ - 1/x³ = (2.4)³ + 3(2.4) x³ - 1/x³ = 13.824 + 7.2 x³ - 1/x³ = 21.024

व्याख्या

किसी संख्या N में वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे जोड़ने पर वह भाजक D से पूर्णतः विभाजित हो जाए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: आवश्यक संख्या = D - R जहाँ R, N को D से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल है।

यहाँ, N = 1000 और D = 55 है।

1000 को 55 से विभाजित करने पर: 1000 = 55 × 18 + 10

शेषफल R, 10 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: आवश्यक संख्या = 55 - 10 = 45

1000 में 45 जोड़ने पर 1045 प्राप्त होता है, जो 55 से पूर्णतः विभाजित है (1045 ÷ 55 = 19)।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों, ΔABC और ΔPQR के लिए, संगत कोण बराबर होते हैं। इसका मतलब है: ∠P = ∠A = 35° ∠Q = ∠B = 65° ∠R = ∠C

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसे त्रिभुज ABC पर लागू करने पर: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 35° + 65° + ∠C = 180° 100° + ∠C = 180° ∠C = 180° - 100° ∠C = 80°

चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं, ∠R, ∠C के बराबर है, जिससे ∠R = 80° प्राप्त होता है।

व्याख्या

B द्वारा शुरू करने से पहले 6 घंटे में A द्वारा तय की गई दूरी है: दूरी = A की गति × समय = 15 किमी/घंटा × 6 घंटे = 90 किमी

चूंकि B उसे पकड़ने के लिए A की दिशा में ही यात्रा करता है, इसलिए A के सापेक्ष B की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = B की गति - A की गति = 25 किमी/घंटा - 15 किमी/घंटा = 10 किमी/घंटा

B द्वारा A को पकड़ने में लिया गया समय है: समय = दूरी / सापेक्ष गति = 90 किमी / 10 किमी/घंटा = 9 घंटे

व्याख्या

हम मानक पूरक कोण संबंधों और पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करके दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक को सरल बना सकते हैं: cos(90° - θ) = sin θ cot(90° - θ) = tan θ cos² θ + sin² θ = 1

सबसे पहले, पूरक कोण संबंध का उपयोग करके cos 54° को परिवर्तित करें: cos 54° = cos(90° - 36°) = sin 36°

यह दूसरे पद को सरल बनाता है: cos 54° · sin 36° = sin 36° · sin 36° = sin² 36°

पहले दो पदों को मिलाने पर प्राप्त होता है: cos² 36° + sin² 36° = 1

अगला, तीसरे पद में cot 64° को परिवर्तित करें: cot 64° = cot(90° - 26°) = tan 26°

यह भिन्न को सरल बनाता है: tan 26° / cot 64° = tan 26° / tan 26° = 1

व्यंजक के सरल किए गए भागों को एक साथ जोड़ना: 1 + 1 = 2

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या r है। चूँकि जीवा AB त्रिज्या के बराबर है, OA = OB = AB = r। इससे त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है, जिसका अर्थ है कि केंद्र पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण ∠AOB = 60° है।

वृहद चाप पर किसी भी बिंदु P के लिए, केंद्र पर कोण का आधा कोण जीवा द्वारा बनाया जाता है, इसलिए ∠APB = ½ × 60° = 30°।

मान लीजिए Q वृत्त की लघु चाप पर कोई बिंदु है। चतुर्भुज APBQ एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, लघु चाप पर किसी भी बिंदु पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण ∠AQB = 180° - ∠APB = 180° - 30° = 150° है।

व्याख्या

छूट प्रतिशत और लाभ प्रतिशत दिए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध है:

CP / MP = (100 - छूट%) / (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP / 75 = (100 - 14) / (100 + 29)

CP / 75 = 86 / 129

अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 43 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

CP / 75 = 2 / 3

CP = 75 × 2 / 3

CP = 50

वस्तु का क्रय मूल्य ₹50 था।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज RMS में, जहाँ M पर समकोण है, भुजा RM कोण R के लिए आसन्न भुजा (आधार) को दर्शाती है, और MS लंब (सम्मुख भुजा) को दर्शाती है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, कर्ण RS की गणना इस प्रकार की जाती है: RS² = RM² + MS² RS² = 4² + 3² RS² = 16 + 9 RS² = 25 RS = √25 = 5 सेमी

समकोण त्रिभुज में किसी कोण का secant, कर्ण और आसन्न भुजा का अनुपात होता है: sec R = RS / RM sec R = 5/4

व्याख्या

माना x = 3, y = 4, और z = 5।

इन मानों को आवश्यक अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: (x/y) : (y/z) : (z/x) = (3/4) : (4/5) : (5/3)

इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्णांकों में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। 4, 5, और 3 का LCM 60 है।

प्रत्येक पद को 60 से गुणा करने पर: पहला पद: (3/4) × 60 = 45 दूसरा पद: (4/5) × 60 = 48 तीसरा पद: (5/3) × 60 = 100

यह 45:48:100 के पूर्णांक अनुपात में सरल हो जाता है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: P = 2r + l

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है।

दिए गए मानों, r = 7.4 सेमी और P = 20.6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 20.6 = 2(7.4) + l 20.6 = 14.8 + l l = 20.6 - 14.8 l = 5.8 सेमी

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × r × l

r और l के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × 7.4 × 5.8 क्षेत्रफल = 3.7 × 5.8 क्षेत्रफल = 21.46 सेमी²

व्याख्या

किसी व्यवसाय में भागीदारों द्वारा साझा किया गया लाभ उनके निवेश के सीधे आनुपातिक होता है। A, B और C के निवेश का अनुपात है: 9,000 : 18,000 : 21,000 = 3 : 6 : 7

अनुपात के भागों का योग कुल लाभ को दर्शाता है, जो है: 3 + 6 + 7 = 16 भाग

B का हिस्सा कुल 16 भागों में से 6 भागों के बराबर है। हमें दिया गया है कि B का हिस्सा £759 है।

संबंध का उपयोग करके: कुल लाभ = B का हिस्सा × (कुल भाग / B के भाग) कुल लाभ = 759 × 16/6 = 759 × 8/3

गणना को सरल बनाना: 759 ÷ 3 = 253 कुल लाभ = 253 × 8 = 2024

व्याख्या

दो कोणों के अंतर के स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)

दिए गए मान A = 60° और B = 30° को प्रतिस्थापित करने पर: (tan 60° - tan 30°) / (1 + tan 60° tan 30°) = tan(60° - 30°) = tan 30° = 1/√3

व्याख्या

d₁%, d₂%, और d₃% की तीन क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम गुणक की गणना करते हैं जो शेष मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है:

गुणक = (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

दिए गए मान d₁ = 20, d₂ = 25, और d₃ = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

गुणक = (1 - 20/100) × (1 - 25/100) × (1 - 20/100) गुणक = 0.80 × 0.75 × 0.80 गुणक = 0.48

समतुल्य एकल छूट इस प्रकार दी जाती है:

एकल छूट = (1 - गुणक) × 100% एकल छूट = (1 - 0.48) × 100% = 52%

व्याख्या

चूंकि जॉर्ज 6 दिनों में 35% काम पूरा कर सकता है, इसलिए 12 दिनों में वह पूरा करेगा: काम का 2 × 35% = 70%।

एक साथ काम करते हुए, जिम और जॉर्ज 12 दिनों में 100% काम पूरा करते हैं। इसका मतलब है कि जिम उन 12 दिनों में काम का शेष हिस्सा पूरा करता है: काम का 100% - 70% = 30%।

जिम द्वारा अकेले 100% काम पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम अनुपात का उपयोग करते हैं: दिन = 12 × (100% / 30%) = 40 दिन।