एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है:

अंश: 1 + tan²A = sec²A = 1/cos²A

हर: cosec²A × tanA = (1/sin²A) × (sinA/cosA) = 1/(sinA cosA)

इन मानों को व्यंजक (1 + tan²A) / (cosec²A × tanA) में रखने पर:

(1/cos²A) / (1/(sinA cosA)) = (1/cos²A) × (sinA cosA) = sinA/cosA = tanA

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन % = x + y + (xy / 100)

यहाँ, अंकित मूल्य प्रतिशत x +50% है और छूट प्रतिशत y -40% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = 50 - 40 + (50 × (-40)) / 100 शुद्ध परिवर्तन % = 10 - 20 शुद्ध परिवर्तन % = -10%

ऋणात्मक चिन्ह शुद्ध कमी को दर्शाता है, जो 10% की हानि का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

सही उत्तर: B

a³ - 1/a³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके a - 1/a का मान ज्ञात करते हैं: (a - 1/a)² = a² + 1/a² - 2

दिया गया है कि a² + 1/a² = 7/3, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (a - 1/a)² = 7/3 - 2 (a - 1/a)² = 1/3

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: a - 1/a = 1/√3

अब, घन के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करें: a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3(a - 1/a)

a - 1/a = 1/√3 को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: a³ - 1/a³ = (1/√3)³ + 3(1/√3) a³ - 1/a³ = 1/(3√3) + 3/√3

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, उन्हें 3√3 के उभयनिष्ठ हर के साथ व्यक्त करें: 3/1 = 9/3 3/√3 = 9/(3√3)

अब, पदों को जोड़ें: a³ - 1/a³ = 1/(3√3) + 9/(3√3) = 10/(3√3)

व्याख्या

मिश्रण के नियम का प्रयोग करके:

कॉफी की मात्रा / चिकोरी की मात्रा = (चिकोरी की लागत - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - कॉफी की लागत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कॉफी की मात्रा / चिकोरी की मात्रा = (100 - 60) / (60 - 45) कॉफी की मात्रा / चिकोरी की मात्रा = 40 / 15 कॉफी की मात्रा / चिकोरी की मात्रा = 8 / 3

यह देखते हुए कि कॉफी की मात्रा 40 किग्रा है:

40 / चिकोरी की मात्रा = 8 / 3 चिकोरी की मात्रा = 40 × 3 / 8 चिकोरी की मात्रा = 5 × 3 चिकोरी की मात्रा = 15 किग्रा

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। त्रिभुज PQR में, जब QR को S तक बढ़ाया जाता है, तो शीर्ष R पर बाह्य कोण ∠PRS होता है, और दो सम्मुख अंतः कोण ∠RPQ और ∠PQR होते हैं।

इसलिए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: ∠PRS = ∠RPQ + ∠PQR

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 9x - 15 = 2x + 4x + 15

समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करने पर: 9x - 15 = 6x + 15

दोनों पक्षों से 6x घटाने पर: 3x - 15 = 15

दोनों पक्षों में 15 जोड़ने पर: 3x = 30

3 से विभाजित करने पर: x = 10

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² = a² + b² + 2ab

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 10² = 58 + 2ab 100 = 58 + 2ab 2ab = 100 - 58 2ab = 42 ab = 21

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

MP / 153 = (100 + 20) / (100 - 15)

MP / 153 = 120 / 85

MP = 153 × 120 / 85

चूंकि 153 और 85 दोनों 17 से विभाज्य हैं:

MP = 9 × 120 / 5

MP = 9 × 24

MP = 216

व्याख्या

मान लीजिए एक कप का मूल्य c और एक प्लेट का मूल्य p है।

दी गई जानकारी से, हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली स्थापित कर सकते हैं:

3c + 5p = 1080 2c + 4p = 840

दूसरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: c + 2p = 420 c = 420 - 2p

c के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3(420 - 2p) + 5p = 1080 1260 - 6p + 5p = 1080 1260 - p = 1080 p = 180

c ज्ञात करने के लिए p = 180 को वापस प्रतिस्थापित करने पर: c = 420 - 2(180) c = 420 - 360 c = 60

एक कप के मूल्य का एक प्लेट के मूल्य से अनुपात है: c:p = 60:180 = 1:3

व्याख्या

बाह्यतः स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

स्पर्शरेखा की लंबाई = 2√(Rr)

जहाँ R और r दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 12 सेमी छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 8 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

स्पर्शरेखा AB की लंबाई = 2√(12 × 8) स्पर्शरेखा AB की लंबाई = 2√96 स्पर्शरेखा AB की लंबाई = 2 × 4√6 स्पर्शरेखा AB की लंबाई = 8√6 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

cos⁴ A - sin⁴ A = (cos² A - sin² A)(cos² A + sin² A)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² A + sin² A = 1 का उपयोग करके, व्यंजक सरल हो जाता है:

cos² A - sin² A

सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A को प्रतिस्थापित करके, हमें प्राप्त होता है:

(1 - sin² A) - sin² A = 1 - 2sin² A

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र CI = P × [(1 + R/100)ⁿ - 1] है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और n वर्षों में समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, P = 62500, R = 8, और n = 2:

CI = 62500 × [(1 + 8/100)² - 1] CI = 62500 × [(1.08)² - 1] CI = 62500 × [1.1664 - 1] CI = 62500 × 0.1664 CI = 10400

वैकल्पिक रूप से, 8% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर सूत्र x + y + xy/100 द्वारा दी जाती है:

प्रभावी दर = 8 + 8 + (8 × 8)/100 = 16.64%

चक्रवृद्धि ब्याज = 62500 का 16.64% = (16.64 / 100) × 62500 = 16.64 × 625 = 10400

व्याख्या

कोण-कोण-कोण (AAA) समरूपता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों।

ΔPQR और ΔDEF के दिए गए कोणों की तुलना करने पर: ∠P = 52° और ∠F = 52°, जिसका अर्थ है कि शीर्ष P, शीर्ष F के संगत है। ∠Q = 74° और ∠E = 74°, जिसका अर्थ है कि शीर्ष Q, शीर्ष E के संगत है। ∠R = 54° और ∠D = 54°, जिसका अर्थ है कि शीर्ष R, शीर्ष D के संगत है।

सही क्रम में संगत शीर्षों का मिलान करने पर प्राप्त होता है: P → F Q → E R → D

इस प्रकार, ΔPQR, ΔFED के समरूप है, जिसे ΔPQR ~ ΔFED के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

यदि a, b और c तीन संख्याएँ हैं, तो उनका चौथा समानुपाती x सूत्र x = (b × c) / a द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों a = 15, b = 55 और c = 81 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x = (55 × 81) / 15

55 और 15 दोनों को 5 से विभाजित करके इसे सरल बनाना:

x = (11 × 81) / 3

अब 81 को 3 से विभाजित करना:

x = 11 × 27

x = 297

व्याख्या

सफेदी की जाने वाली कुल क्षेत्रफल में चार दीवारों का क्षेत्रफल और छत का क्षेत्रफल शामिल है।

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) छत का क्षेत्रफल = l × b

दिए गए आयाम: लंबाई (l) = 7 मीटर चौड़ाई (b) = 5 मीटर ऊँचाई (h) = 3 मीटर

सफेदी की जाने वाली कुल क्षेत्रफल = 2h(l + b) + l × b दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल क्षेत्रफल = 2 × 3 × (7 + 5) + 7 × 5 कुल क्षेत्रफल = 6 × 12 + 35 कुल क्षेत्रफल = 72 + 35 = 107 वर्ग मीटर

सफेदी की दर ₹16 प्रति वर्ग मीटर है।

सफेदी की कुल लागत = कुल क्षेत्रफल × दर कुल लागत = 107 × 16 = ₹1,712

व्याख्या

मान लीजिए मापने वाले टेप की मानक लंबाई 100 सेमी है और कपड़े के 1 सेमी का क्रय मूल्य ₹1 है।

खरीदते समय, दर्जी 105 सेमी लंबे टेप का उपयोग करता है। इस प्रकार, उसे 105 सेमी कपड़ा मिलता है लेकिन वह केवल 100 सेमी के लिए भुगतान करता है। 105 सेमी कपड़े का वास्तविक क्रय मूल्य = ₹100

बेचते समय, दर्जी 95 सेमी लंबे टेप का उपयोग करता है। इस प्रकार, वह 95 सेमी कपड़ा देता है लेकिन 100 सेमी का मूल्य लेता है। 95 सेमी कपड़े का विक्रय मूल्य = ₹100 1 सेमी कपड़े का विक्रय मूल्य = ₹100/95 = ₹20/19 105 सेमी कपड़े का विक्रय मूल्य = 105 × 20/19 = ₹2100/19

कुल लाभ = 105 सेमी का विक्रय मूल्य - 105 सेमी का क्रय मूल्य कुल लाभ = 2100/19 - 100 = 200/19 = 10 10/19

चूंकि वास्तविक क्रय मूल्य ₹100 था, लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (200/19 / 100) × 100 = 200/19 % = 10 10/19 %

व्याख्या

लेखा विभाग में, महिला कर्मचारियों का प्रतिशत 10% है, जिसका अर्थ है कि पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत 90% है। चूंकि लेखा विभाग में 198 पुरुष कर्मचारी हैं, इसलिए इस विभाग में महिला कर्मचारियों की संख्या 198 × 10/90 = 22 है।

R | D विभाग में, महिला कर्मचारियों का प्रतिशत 60% है, जिसका अर्थ है कि पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत 40% है। चूंकि R | D विभाग में 100 पुरुष कर्मचारी हैं, इसलिए इस विभाग में महिला कर्मचारियों की संख्या 100 × 60/40 = 150 है।

इन दो विभागों में महिला कर्मचारियों की कुल संख्या 22 + 150 = 172 है।

व्याख्या

लेखा विभाग में, महिला कर्मचारियों का प्रतिशत 10% है, जिसका अर्थ है कि पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत 90% है। चूंकि लेखा विभाग में 198 पुरुष कर्मचारी हैं, लेखा में महिला कर्मचारियों की संख्या है: 198 × 10/90 = 22

आर | डी विभाग में, महिला कर्मचारियों का प्रतिशत 60% है, जिसका अर्थ है कि पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत 40% है। चूंकि आर | डी विभाग में 100 पुरुष कर्मचारी हैं, आर | डी में महिला कर्मचारियों की संख्या है: 100 × 60/40 = 150

दोनों विभागों से महिला कर्मचारियों को मिलाने पर: 22 + 150 = 172

व्याख्या

वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, एक ही वृत्तखंड में एक ही चाप द्वारा बनाए गए कोण बराबर होते हैं। चूँकि दोनों कोण ∠BAC और ∠BDC, वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखंड में परिधि पर लघु चाप BC द्वारा बनाए गए हैं, इसलिए हमारे पास है:

∠BAC = ∠BDC = 73°

त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

समीकरण में ∠BAC = 73° रखने पर:

73° + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 73° = 107°

व्याख्या

किसी संख्या के 88 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

8 से विभाज्यता: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या, y24, 8 से विभाज्य होनी चाहिए। y के 0 से 9 तक के अंकों के मानों का परीक्षण करने पर, y24 को 8 से विभाज्य बनाने वाले संभावित मान y ∈ {0, 2, 4, 6, 8} हैं।

11 से विभाज्यता: विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का गुणज होना चाहिए (0 सहित)।

विषम-स्थान वाले अंकों का योग = 7 + 0 + 5 + 3 + 2 = 17 सम-स्थान वाले अंकों का योग = 8 + x + 3 + y + 4 = 15 + x + y

अंतर = (15 + x + y) - 17 = x + y - 2

संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, यह अंतर 11 का गुणज होना चाहिए: x + y - 2 = 0 या x + y - 2 = 11

इससे प्राप्त होता है: x + y = 2 या x + y = 13

x + y का न्यूनतम मान 2 है, जो तब प्राप्त किया जा सकता है जब y = 0 और x = 2, या जब y = 2 और x = 0। दोनों ही मामलों में x और y के लिए वैध एकल-अंकीय पूर्णांक प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दो अनुपातों a:b और c:d का मिश्रित अनुपात (a × c) : (b × d) के रूप में परिभाषित किया गया है।

दिए गए अनुपातों 3:4 और 6:7 के लिए, मिश्रित अनुपात है: (3 × 6) : (4 × 7) = 18 : 28

हमें दिया गया है कि यह मिश्रित अनुपात 36:x के बराबर है। दोनों अनुपातों को बराबर करने पर: 18/28 = 36/x

x के लिए हल करने पर: x = (36 × 28) / 18 x = 2 × 28 x = 56

व्याख्या

किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतःकेंद्र होता है। किसी भी त्रिभुज ABC के लिए जहाँ ∠B और ∠C के आंतरिक कोण समद्विभाजक X पर मिलते हैं, कोण ∠BXC और शीर्ष कोण ∠BAC के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

∠BXC = 90° + ½ ∠BAC

दिए गए ∠BAC = 30° के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

∠BXC = 90° + ½ × 30° ∠BXC = 90° + 15° ∠BXC = 105°

व्याख्या

सही उत्तर: C

a भुजा वाले घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अंतर = 6a² - 4a² = 2a²

दिया गया है कि घन की भुजा a = 12 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

अंतर = 2 × 12² अंतर = 2 × 144 = 288 सेमी²

व्याख्या

पहली छूट के बाद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: पहली छूट के बाद मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) पहली छूट के बाद मूल्य = 1500 × (1 - 0.20) = 1500 × 0.80 = 1200

मूल्य को 1200 से अंतिम शुद्ध मूल्य 1104 तक कम करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त छूट d₂ ज्ञात करने के लिए: अतिरिक्त छूट राशि = 1200 - 1104 = 96

अतिरिक्त छूट प्रतिशत है: d₂ = (अतिरिक्त छूट राशि / पहली छूट के बाद मूल्य) × 100 d₂ = (96 / 1200) × 100 = 8%

व्याख्या

दीशा की कॉपी करने की दर 75/12 = 25/4 पृष्ठ प्रति घंटा है।

मोहित की कॉपी करने की दर 75/10 = 15/2 पृष्ठ प्रति घंटा है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त कॉपी करने की दर 25/4 + 15/2 = 55/4 पृष्ठ प्रति घंटा है।

150 पृष्ठों की पांडुलिपि को कॉपी करने के लिए आवश्यक समय है: समय = 150 / (55/4) = 600/55 = 120/11 = 10 10/11 घंटे।

व्याख्या

दो क्रमिक छूट d₁% और d₂% के बाद अंकित मूल्य M और अंतिम विक्रय मूल्य S के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

S = M × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य S ₹5,130 है, और क्रमिक छूट d₁ = 10% और d₂ = 5% है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

5130 = M × (1 - 10/100) × (1 - 5/100)

5130 = M × 9/10 × 19/20

5130 = M × 171/200

M = (5130 × 200) / 171

M = 30 × 200 = 6000

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र: SI = (P × R × T) / 100

माना मूलधन P है। चूँकि वापस की गई राशि मूलधन का तीन गुना है, इसलिए राशि A = 3P है। अर्जित साधारण ब्याज है: SI = A - P = 3P - P = 2P

समय T = 25 वर्ष के साथ सूत्र का उपयोग करते हुए: 2P = (P × R × 25) / 100 2 = 25R / 100 2 = R / 4 R = 8%

व्याख्या

दो वृत्तों की एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (R - r)²)

जहाँ: d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, जो 48 सेमी है। R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, जो 24 सेमी है। r छोटे वृत्त की त्रिज्या है, जो 18 सेमी है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

L = √(48² - (24 - 18)²) L = √(48² - 6²)

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके:

L = √((48 - 6) × (48 + 6)) L = √(42 × 54) L = √(6 × 7 × 6 × 9) L = √(36 × 9 × 7) L = 6 × 3 × √7 L = 18√7 सेमी

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है। मान लीजिए T वृत्त पर स्पर्श बिंदु है। यह एक समकोण त्रिभुज OTP बनाता है, जहाँ समकोण T पर है।

त्रिभुज OTP पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

OP² = OT² + PT²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ केंद्र से दूरी OP = 5 सेमी और त्रिज्या OT = 3 सेमी है:

5² = 3² + PT² 25 = 9 + PT² PT² = 25 - 9 PT² = 16 PT = 4 सेमी

व्याख्या

ट्रेन B और C में खाली बर्थों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले दोनों ट्रेनों के लिए सभी वर्गों की कुल क्षमता की गणना करें:

एक ट्रेन के लिए कुल क्षमता = 200 + 200 + 400 + 300 + 500 = 1600 ट्रेन B और C के लिए कुल क्षमता = 1600 × 2 = 3200

इसके बाद, ट्रेन B और ट्रेन C में आरक्षित बर्थों की कुल संख्या की गणना करें:

ट्रेन B में कुल आरक्षित = 190 + 183 + 348 + 215 + 414 = 1350 ट्रेन C में कुल आरक्षित = 198 + 191 + 364 + 291 + 484 = 1528 दोनों ट्रेनों में कुल आरक्षित = 1350 + 1528 = 2878

अंत में, कुल खाली बर्थों की गणना करें:

कुल खाली बर्थ = कुल क्षमता - कुल आरक्षित बर्थ कुल खाली बर्थ = 3200 - 2878 = 322

व्याख्या

दिया गया व्यंजक एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है। गुणनफल का सीधे विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + b(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + c(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

पदों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

a³ + ab² + ac² - a²b - abc - ca² + a²b + b³ + bc² - ab² - b²c - abc + ca² + cb² + c³ - abc - bc² - c²a

समान पदों को मिलाने पर, धनात्मक और ऋणात्मक क्रॉस-प्रोडक्ट पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं: ab² और -ab² रद्द होते हैं ac² और -c²a रद्द होते हैं -a²b और a²b रद्द होते हैं bc² और -bc² रद्द होते हैं -b²c और cb² रद्द होते हैं -ca² और ca² रद्द होते हैं

शेष पद हैं: a³ + b³ + c³ - abc - abc - abc = a³ + b³ + c³ - 3abc

यह मानक सर्वसमिका की पुष्टि करता है।

व्याख्या

धारा के विपरीत गति को धारा के विपरीत तय की गई दूरी को लगे समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।

लिया गया समय = 50 मिनट = 50/60 घंटे = 5/6 घंटे दूरी = 10 किमी

धारा के विपरीत गति = 10 / (5/6) = 10 × 6/5 = 12 किमी/घंटा

धारा के विपरीत गति, शांत जल में नाव की गति (x), और धारा की गति (y) के बीच संबंध है: धारा के विपरीत गति = x - y

यह देखते हुए कि धारा की गति y = 3 किमी/घंटा है: 12 = x - 3 x = 12 + 3 = 15 किमी/घंटा

इस प्रकार, शांत जल में नाव की गति 15 किमी/घंटा है।

व्याख्या

कई निवेशों पर संयुक्त रिटर्न प्रतिशत का भारित औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

भारित रिटर्न = (w₁ × r₁ + w₂ × r₂) / (w₁ + w₂)

यहाँ, निवेश अनुपात w₁:w₂ = 1:3 है, पहले निवेश पर रिटर्न r₁ +10% है, और दूसरे निवेश पर रिटर्न r₂ -10% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भारित रिटर्न = (1 × 10% + 3 × (-10%)) / (1 + 3) भारित रिटर्न = (10% - 30%) / 4 भारित रिटर्न = -20% / 4 भारित रिटर्न = -5%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध हानि का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके परिणामस्वरूप 5% की संयुक्त हानि होती है।

व्याख्या

हमें त्रिकोणमितीय समीकरण दिए गए हैं: sin(p+q) = 1 cos(p-q) = √3/2

चूंकि sin(90°) = 1 और cos(30°) = √3/2, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की प्रणाली स्थापित कर सकते हैं: p + q = 90° p - q = 30°

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर q समाप्त हो जाता है: (p + q) + (p - q) = 90° + 30° 2p = 120° p = 60°

व्याख्या

कर्मचारियों का औसत वजन भारित औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

भारित औसत = (m × Aw + w × Aw) / (m + w)

जहाँ m और w पुरुषों और महिलाओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं, और Aw उनके संबंधित औसत वजन का प्रतिनिधित्व करता है।

दिया गया है: पुरुषों और महिलाओं का अनुपात = 2:3 पुरुषों का औसत वजन = 56 किलोग्राम महिलाओं का औसत वजन = 51 किलोग्राम

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत वजन = (2 × 56 + 3 × 51) / (2 + 3) औसत वजन = (112 + 153) / 5 औसत वजन = 265 / 5 औसत वजन = 53 किलोग्राम

व्याख्या

वर्ष 2021 में चारों राज्यों से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, 2021 में प्रत्येक राज्य के लिए उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों (A) की संख्या का योग करें और राज्यों की कुल संख्या से विभाजित करें।

2021 में उपस्थित होने वाले उम्मीदवार हैं: असम: 2900 बिहार: 4700 केरल: 3400 उत्तर प्रदेश: 4800

2021 में कुल उपस्थित उम्मीदवार = 2900 + 4700 + 3400 + 4800 = 15800

औसत उपस्थित उम्मीदवार = कुल उपस्थित उम्मीदवार ÷ राज्यों की संख्या औसत = 15800 ÷ 4 = 3950

व्याख्या

आय-व्यय संबंध का उपयोग करके, हमारे पास है:

आय = व्यय + बचत

चूंकि व्यक्ति अपनी आय का 68% खर्च करता है, इसलिए उसकी बचत प्रतिशत है:

बचत % = 100% - 68% = 32%

हम व्यय प्रतिशत और बचत प्रतिशत के अनुपात का उपयोग करके सीधे कुल व्यय की गणना कर सकते हैं:

व्यय = (व्यय % / बचत %) × बचत

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

व्यय = (68 / 32) × 14,720

व्यय = (17 / 8) × 14,720

व्यय = 17 × 1,840

व्यय = 31,280

इस प्रकार, व्यक्ति का कुल मासिक व्यय ₹31,280 है।

व्याख्या

r% प्रति वर्ष की दर से दो वर्षों के लिए ब्याज दर, जब वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि किया जाता है, तो क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

प्रभावी दर = r + r + (r × r)/100

r = 18 रखने पर:

प्रभावी दर = 18 + 18 + (18 × 18)/100 = 36 + 3.24 = 39.24%

यह देखते हुए कि अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज 981 है, यह ब्याज मूलधन (P) के 39.24% का प्रतिनिधित्व करता है:

P × 39.24% = 981

P × 39.24/100 = 981

P = (981 × 100) / 39.24

P = 98100 / 39.24 = 2500

व्याख्या

हमें समीकरण दिए गए हैं: p = cot A + cos A q = cot A - cos A

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: p² - q² = (p + q)(p - q)

दो दिए गए समीकरणों को जोड़कर और घटाकर: p + q = 2 cot A p - q = 2 cos A

इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: p² - q² = (2 cot A)(2 cos A) = 4 cot A cos A

अगला, हम pq का गुणनफल ज्ञात करते हैं: pq = (cot A + cos A)(cot A - cos A) = cot² A - cos² A

cot A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करते हुए: pq = (cos² A / sin² A) - cos² A pq = cos² A (1 / sin² A - 1) pq = cos² A (cosec² A - 1) pq = cos² A cot² A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √pq = cos A cot A

इस संबंध को p² - q² के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: p² - q² = 4 √pq p² - q² = √(16pq)

व्याख्या

छूट और लाभ प्रतिशत दोनों ज्ञात होने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CP / MP = (100 - छूट%) / (100 + लाभ%)

दिया गया है: अंकित मूल्य (MP) = 1080 छूट% = 10 लाभ% = 8

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP / 1080 = (100 - 10) / (100 + 8)

CP / 1080 = 90 / 108

CP के लिए हल करने पर:

CP = 1080 × (90 / 108)

CP = 10 × 90

CP = 900

व्याख्या

3 वर्षों के लिए वार्षिक ब्याज दर (r) पर मूलधन (P) पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर (D) का सूत्र है:

D = P × (r/100)² × (3 + r/100)

दिया गया है कि अंतर £76 है और ब्याज दर 4% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

76 = P × (4/100)² × (3 + 4/100)

76 = P × (1/25)² × (76/25)

76 = P × (1/625) × (76/25)

समीकरण के दोनों पक्षों को 76 से विभाजित करने पर:

1 = P / (625 × 25)

P = 625 × 25

P = 15,625

व्याख्या

उत्तरोत्तर वर्षों में अर्जित कुल साधारण ब्याज की गणना मूलधन पर की जाती है।

साधारण ब्याज संबंध का उपयोग करते हुए: कुल ब्याज = P × (r₁ + r₂) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मूलधन (P) = ₹25,000 प्रथम वर्ष की दर (r₁) = 4% द्वितीय वर्ष की दर (r₂) = 5%

कुल ब्याज = 25000 × (4 + 5) / 100 कुल ब्याज = 25000 × 9 / 100 कुल ब्याज = 250 × 9 = ₹2,250

देय कुल राशि है: राशि = मूलधन + कुल ब्याज राशि = 25000 + 2250 = ₹27,250

व्याख्या

जब दो व्यक्ति क्रमशः A और B घंटे में एक काम पूरा करते हैं, तो उन दोनों द्वारा एक साथ काम करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

समय = (A × B) / (A + B)

यह देखते हुए कि आदित्य A = 20 घंटे लेता है और विनय B = 15 घंटे लेता है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

समय = (20 × 15) / (20 + 15) समय = 300 / 35

अंश और हर को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाना:

समय = 60 / 7

इस विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना:

समय = 8 4/7 घंटे

व्याख्या

किसी वृत्त की स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी (d = 10 सेमी) है, एक भुजा त्रिज्या (r = 6 सेमी) है, और दूसरी भुजा स्पर्शरेखा की लंबाई (t) है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: d² = r² + t²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = 6² + t² 100 = 36 + t² t² = 100 - 36 t² = 64 t = √64 t = 8 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।

अंश के लिए, मान लीजिए a = u-v, b = v-w, और c = w-u। चूँकि (u-v) + (v-w) + (w-u) = 0, अंश सरल होकर यह हो जाता है: 3(u-v)(v-w)(w-u)

हर के लिए, मान लीजिए x = u²-v², y = v²-w², और z = w²-u²। चूँकि (u²-v²) + (v²-w²) + (w²-u²) = 0, हर सरल होकर यह हो जाता है: 3(u²-v²)(v²-w²)(w²-u²)

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, a² - b² = (a-b)(a+b) का उपयोग करके, हर को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: 3(u-v)(u+v)(v-w)(v+w)(w-u)(w+u)

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: 3(u-v)(v-w)(w-u) / [3(u-v)(u+v)(v-w)(v+w)(w-u)(w+u)]

अंश और हर दोनों से सामान्य पदों 3, (u-v), (v-w), और (w-u) को रद्द करने पर यह प्राप्त होता है: 1 / [(u+v)(v+w)(w+u)]

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट का सूत्र है:

समतुल्य छूट = a + b - (a × b)/100

सूत्र में a = 15 और b = 20 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 15 + 20 - (15 × 20)/100 समतुल्य छूट = 35 - 300/100 समतुल्य छूट = 35 - 3 समतुल्य छूट = 32%

व्याख्या

हमें व्यंजक दिया गया है: sin A(1 + sin A / cos A) + cos A(1 + cos A / sin A)

सामान्य हर लेकर कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करें: sin A((cos A + sin A) / cos A) + cos A((sin A + cos A) / sin A)

सामान्य पद (sin A + cos A) को गुणनखंडित करें: (sin A + cos A) (sin A / cos A + cos A / sin A)

दूसरे कोष्ठक में पद को सामान्य हर ज्ञात करके सरल करें: sin A / cos A + cos A / sin A = (sin² A + cos² A) / (sin A cos A)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, यह पद बन जाता है: 1 / (sin A cos A)

अब, इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (sin A + cos A) / (sin A cos A)

भिन्न को दो अलग-अलग पदों में विभाजित करें: sin A / (sin A cos A) + cos A / (sin A cos A) = 1 / cos A + 1 / sin A

व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं 1 / cos A = sec A और 1 / sin A = cosec A का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: sec A + cosec A

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c सूत्र c = b² / a द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ a = 1.8 और b = 9:

c = 9² / 1.8

c = 81 / 1.8

c = 810 / 18

c = 45

व्याख्या

बीजगणितीय संबंध का उपयोग करके: (w - 1/w)² = (w + 1/w)² - 4

दिए गए मान w + 1/w = 6 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: (w - 1/w)² = 6² - 4 (w - 1/w)² = 36 - 4 (w - 1/w)² = 32

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: w - 1/w = √32 w - 1/w = √(16 × 2) w - 1/w = 4√2

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 1° से 179° तक के पूर्णांक कोणों के कोटिस्पर्शज्या (cotangent) मानों का गुणनफल है: cot 1° × cot 2° × ... × cot 90° × ... × cot 179°

इस अनुक्रम में cot 90° पद उपस्थित है। चूँकि cot 90° = cos 90° ÷ sin 90° = 0, और अन्य सभी पद परिभाषित, परिमित वास्तविक संख्याएँ हैं, पूरे गुणनफल को शून्य से गुणा करने पर अंतिम मान 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या 99999 है। 88 से पूरी तरह से विभाज्य सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने के लिए 99999 को 88 से विभाजित करते हैं।

99999 ÷ 88 = 1136, शेषफल 31

99999 में से इस शेषफल को घटाने पर 88 से पूरी तरह से विभाज्य सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या प्राप्त होती है:

99999 - 31 = 99968