एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या 100 है।

आवश्यक सही मान संख्या को क्रमशः 20% और 30% बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + (a × b)/100

a = 20 और b = 30 रखने पर: शुद्ध वृद्धि = 20 + 30 + (20 × 30)/100 = 56% आवश्यक सही मान = 100 + 56 = 156

वास्तविक परिणामी मान मूल संख्या को 22% कम करके प्राप्त किया जाता है: परिणामी मान = 100 - 22 = 78

परिणामी मान, आवश्यक सही मान का कितना प्रतिशत है: (परिणामी मान ÷ आवश्यक सही मान) × 100 गणना किए गए मानों को रखने पर: (78 ÷ 156) × 100 = ½ × 100 = 50%

व्याख्या

माना अंकित मूल्य MP और क्रय मूल्य CP है।

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य का 8/15 दिया गया है: SP = (8/15) × MP

चूंकि 20% की हानि होती है, विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 80% के बराबर भी है: SP = (80/100) × CP = (4/5) × CP

SP के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: (8/15) × MP = (4/5) × CP

अंकित मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम MP / CP के लिए हल करते हैं: MP / CP = (4/5) × (15/8) = 3/2

व्याख्या

त्रिभुज RST में, Z भुजा ST पर एक बिंदु है जैसे कि SZ = ZT, जो RZ को भुजा ST पर माध्यिका बनाता है। चूँकि कोण RZS = 90°, RZ भुजा ST पर शीर्षलंब भी है।

समकोण त्रिभुजों RZS और RZT में, RZ एक उभयनिष्ठ भुजा है, कोण RZS = कोण RZT = 90°, और SZ = ZT है। भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता से, त्रिभुज RZS, त्रिभुज RZT के सर्वांगसम है।

चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, भुजा RS, RT के बराबर होनी चाहिए। यह देखते हुए कि RS = 10 सेमी है, RT की लंबाई भी 10 सेमी है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x - y)² = x² + y² - 2xy

सर्वसमिका में दिए गए मान x² + y² = 29 और x - y = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: 3² = 29 - 2xy 9 = 29 - 2xy

2xy ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2xy = 29 - 9 2xy = 20

4xy का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 4xy = 2 × 20 = 40

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 81 + 63 = 144 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें: सापेक्ष गति = 144 × 5/18 = 40 मी/से

दो ट्रेनों को एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी व्यक्तिगत लंबाई का योग है।

कुल दूरी = 125 + 375 = 500 मीटर

समय के सूत्र का उपयोग करके, समय = दूरी / गति: समय = 500 / 40 = 12.5 सेकंड

व्याख्या

(a⁶ + 1)/a³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक को a³ + 1/a³ के रूप में पुनः लिख सकते हैं।

हमें दिया गया है: a⁴ + 1/a⁴ = 194

एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: a⁴ + 1/a⁴ + 2 = 196 (a² + 1/a²)² = 196 a² + 1/a² = √196 = 14

पुनः, इस समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: a² + 1/a² + 2 = 16 (a + 1/a)² = 16 a + 1/a = √16 = 4

अब, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a)

सर्वसमिका में (a + 1/a) = 4 का मान प्रतिस्थापित करें: a³ + 1/a³ = 4³ - 3(4) a³ + 1/a³ = 64 - 12 = 52

व्याख्या

दक्षता किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। चूँकि A को 20 दिन लगते हैं और B को 30 दिन लगते हैं, उनकी दक्षता का अनुपात 30:20 है, जो सरल होकर 3:2 हो जाता है। यह कथन I की पुष्टि करता है।

दोनों द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाला समय सूत्र T = (x × y) / (x + y) का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ x और y व्यक्तिगत रूप से लिए गए दिन हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर T = (20 × 30) / (20 + 30) = 600 / 50 = 12 दिन प्राप्त होता है। यह कथन II की पुष्टि करता है।

व्याख्या

एक आयत का परिमाप P सूत्र P = 2(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है और b चौड़ाई है।

दी गई शर्तों के अनुसार: l = b + 24, जिसे b = l - 24 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

परिमाप 128 सेमी है: 2(l + b) = 128 l + b = 64

समीकरण में b = l - 24 को प्रतिस्थापित करने पर: l + (l - 24) = 64 2l - 24 = 64 2l = 88 l = 44 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100 दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: साधारण ब्याज = (6000 × 10 × 2) / 100 = 1200 इस प्रकार, कथन I सही है।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: राशि = मूलधन × (1 + दर / 100)ᵀⁱᵐᵉ दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: राशि = 6000 × (1 + 10 / 100)² = 6000 × (1.1)² = 6000 × 1.21 = 7260 चक्रवृद्धि ब्याज = राशि - मूलधन = 7260 - 6000 = 1260 इस प्रकार, कथन II भी सही है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय संबंध tan θ + cot θ = 2 दिया गया है। चूँकि cot θ, tan θ का व्युत्क्रम है, इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

tan θ + 1/tan θ = 2

पूरे समीकरण को tan θ से गुणा करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

tan² θ - 2 tan θ + 1 = 0

यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:

(tan θ - 1)² = 0

tan θ के लिए हल करने पर प्राप्त होता है:

tan θ = 1

चूँकि tan θ = 1 है, तो cot θ = 1/tan θ = 1 होगा।

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ - cot θ = 1 - 1 = 0

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मानों a - b = 5 और ab = 150 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करें: a³ - b³ = 5³ + 3 × 150 × 5 a³ - b³ = 125 + 2250 a³ - b³ = 2375

व्याख्या

पहिये द्वारा तय की गई कुल दूरी चक्करों की संख्या और पहिये की परिधि का गुणनफल होती है।

दूरी = चक्करों की संख्या × 2πr

यहाँ, कुल दूरी 44 किमी है, जो 44000 मीटर के बराबर है। चक्करों की संख्या 500 है।

44000 = 500 × 2 × (22/7) × r 44000 = 1000 × (22/7) × r 44 = (22/7) × r r = 44 × 7 / 22 r = 14 मीटर

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

यदि हम केंद्र O से जीवा MN पर बिंदु D पर एक लंब खींचते हैं, तो D, MN को समद्विभाजित करता है। इसलिए: MD = MN / 2 = 40 / 2 = 20 सेमी

केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी OD = 15 सेमी है।

समकोण त्रिभुज ODM में, त्रिज्या r (जो कर्ण OM है) की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: r² = OD² + MD² r² = 15² + 20² r² = 225 + 400 r² = 625 r = √625 = 25 सेमी

वैकल्पिक रूप से, मानक पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) को 5 के गुणक से स्केल करके सीधे भुजाएँ (15, 20, 25) प्राप्त होती हैं, जहाँ 25 सेमी कर्ण है और त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: cosec 90° = 1 cos 60° = ½

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cosec 90° / (1 - cos² 60°) = 1 / (1 - (½)²)

हर को सरल बनाने पर: 1 - (½)² = 1 - ¼ = ¾

अब, भिन्न का मूल्यांकन करने पर: 1 / (¾) = 4/3

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करते हैं, जहाँ पहले दो पदों में गलत छपे '+' चिह्नों के स्थान पर '÷' चिह्न का प्रयोग किया गया है:

1200 ÷ 15 × [45 ÷ (17 - 2)] of 2 + [-2(1 + 2)]

सबसे पहले, सबसे अंदर के गोल कोष्ठक को हल करें: 17 - 2 = 15 1 + 2 = 3

इन्हें व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 1200 ÷ 15 × [45 ÷ 15] of 2 + [-2(3)]

अगला, वर्ग कोष्ठक को हल करें: 45 ÷ 15 = 3 -2 × 3 = -6

व्यंजक बन जाता है: 1200 ÷ 15 × 3 of 2 + [-6]

अब, "of" ऑपरेटर का मूल्यांकन करें, जिसकी प्राथमिकता भाग और गुणा से अधिक होती है: 3 of 2 = 3 × 2 = 6

यह व्यंजक को सरल बनाता है: 1200 ÷ 15 × 6 - 6

बाएं से दाएं भाग और गुणा संक्रियाओं को करें: 1200 ÷ 15 = 80 80 × 6 = 480

अंत में, घटाव करें: 480 - 6 = 474

व्याख्या

कथन I का मूल्यांकन करने के लिए, स्कूल P में महिला शिक्षकों के संबंध में स्कूल L में पुरुष शिक्षकों का प्रतिशत ज्ञात करें: प्रतिशत = (160 ÷ 110) × 100% = 145.45% इससे कथन I गलत हो जाता है।

कथन II का मूल्यांकन करने के लिए, स्कूलों M और N में महिला शिक्षकों का योग ज्ञात करें: 170 + 120 = 290 इसके बाद, स्कूलों N और P में पुरुष शिक्षकों का योग ज्ञात करें: 170 + 150 = 320 इन दो योगों का अनुपात है: 290 : 320 = 29 : 32 इससे कथन II सही हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चुनाव में डाले गए वोटों की कुल संख्या 100% है।

पार्टी A को प्राप्त वोटों का प्रतिशत 30% है और पार्टी B को 25% है।

पार्टी C को प्राप्त शेष वोट 100% - (30% + 25%) = 45% के बराबर हैं।

पार्टी C और पार्टी A के बीच वोटों के प्रतिशत का अंतर 45% - 30% = 15% है।

प्रश्न के अनुसार, पार्टी C को पार्टी A से 9000 अधिक वोट मिले। इसलिए, कुल वोटों का 15% 9000 के बराबर है।

एकिक विधि का उपयोग करके, कुल वोटों का 1% 9000 ÷ 15 = 600 है।

पार्टी B को प्राप्त वोटों की संख्या, जो कुल वोटों का 25% है, 25 × 600 = 15000 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (sec²x + cosec²x) - (tan²x + cot²x) = (sec²x - tan²x) + (cosec²x - cot²x)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: sec²x - tan²x = 1 cosec²x - cot²x = 1

इन सर्वसमिकाओं को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 1 = 2

व्याख्या

20 और 50 के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस सीमा में उन संख्याओं को सूचीबद्ध करते हैं जिनके ठीक दो भिन्न गुणनखंड होते हैं, अर्थात् 1 और वह संख्या स्वयं।

इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47 हैं।

इन मानों की गणना करने पर, हमें 20 और 50 के बीच ठीक 7 अभाज्य संख्याएँ मिलती हैं। इस सीमा की अन्य सभी संख्याएँ भाज्य हैं क्योंकि उन्हें 2, 3, 5 या 7 जैसी अभाज्य संख्याओं द्वारा आगे गुणनखंडित किया जा सकता है।

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b)² = a² + b² + 2ab

a = 2p और b = 5q रखने पर, विस्तार इस प्रकार होगा: (2p + 5q)² = (2p)² + (5q)² + 2(2p)(5q) (2p + 5q)² = 4p² + 25q² + 20pq

इस समीकरण में दिए गए मानों, 2p + 5q = 12 और pq = 3, को प्रतिस्थापित करने पर: 12² = 4p² + 25q² + 20(3) 144 = 4p² + 25q² + 60

वांछित व्यंजक के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 4p² + 25q² = 144 - 60 4p² + 25q² = 84

व्याख्या

सही उत्तर: D

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के निरपेक्ष अंतर से सख्ती से अधिक और उनके योग से सख्ती से कम होनी चाहिए।

मान लीजिए AC की लंबाई x है।

|BC - AB| < x < BC + AB

असमानता में दिए गए मान AB = 6 सेमी और BC = 11 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

|11 - 6| < x < 11 + 6 5 < x < 17

x के लिए संभव पूर्णांक मान 5 और 17 के बीच के पूर्णांक हैं, जो 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 और 16 हैं।

ऐसे पूर्णांक मानों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: (17 - 5) - 1 = 11

वैकल्पिक रूप से, जब दो भुजाएँ ज्ञात हों तो तीसरी भुजा के संभव पूर्णांक मानों की संख्या के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करके: मानों की संख्या = 2 × न्यूनतम (भुजा1, भुजा2) - 1 मानों की संख्या = 2 × 6 - 1 = 11

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से कथन गलत हैं, हम प्रत्येक कथन का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करते हैं।

कथन I के लिए, हम D, E और F के कुल लाभ की गणना करते हैं, जो 200 + 150 + 300 = 650 है। G, H और I के क्रय मूल्य का योग 500 + 300 + 800 = 1600 है। आवश्यक प्रतिशत (650 / 1600) × 100 = 40.625% है। चूंकि कथन में दावा किया गया है कि यह मान 30.63% है, कथन I गलत है।

कथन II के लिए, सभी लेखों का कुल क्रय मूल्य 700 + 600 + 400 + 500 + 300 + 800 = 3300 है। सभी लेखों का कुल लाभ 200 + 150 + 300 + 400 + 250 + 350 = 1650 है। कुल क्रय मूल्य और कुल लाभ का अनुपात 3300 : 1650 है, जो 2 : 1 तक सरल हो जाता है। चूंकि कथन में दावा किया गया है कि अनुपात 1 : 2 है, कथन II गलत है।

व्याख्या

पिता, माता और पुत्र की वर्तमान आयु को क्रमशः 8x, 5x और 2x से दर्शाया जाता है।

चूंकि पिता की वर्तमान आयु 48 वर्ष है: 8x = 48 x = 6

x के इस मान का उपयोग करके, माता और पुत्र की वर्तमान आयु हैं: माता = 5 × 6 = 30 वर्ष पुत्र = 2 × 6 = 12 वर्ष

उनकी वर्तमान आयु का योग 48 + 30 + 12 = 90 वर्ष है।

3 सदस्यों के परिवार की वर्तमान औसत आयु 90 / 3 = 30 वर्ष है।

चूंकि 3 वर्ष बाद प्रत्येक 3 सदस्यों की आयु 3 वर्ष बढ़ जाएगी, इसलिए परिवार की औसत आयु भी ठीक 3 वर्ष बढ़ जाएगी।

3 वर्ष बाद औसत आयु = 30 + 3 = 33 वर्ष।

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों की समतुल्य एकल छूट की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समतुल्य छूट = a + b - (a × b)/100

दिए गए मानों, a = 12 और b = 10 को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 12 + 10 - (12 × 10)/100 समतुल्य छूट = 22 - 120/100 समतुल्य छूट = 22 - 1.2 समतुल्य छूट = 20.8%

व्याख्या

1 दर्जन मक्के का क्रय मूल्य (CP) = 180 रुपये

चूंकि 1 दर्जन में 12 वस्तुएं होती हैं, इसलिए 1 मक्के का CP = 180 / 12 = 15 रुपये

1 मक्के का विक्रय मूल्य (SP) = 22 रुपये

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ% = ((SP - CP) / CP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ% = ((22 - 15) / 15) × 100 लाभ% = (7 / 15) × 100 लाभ% = 700 / 15 ≈ 46.6%

व्याख्या

दिया गया बीजीय व्यंजक x² + 4y² + z² - 4xy + 4yz - 2xz है।

इस व्यंजक को मानक बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

दिए गए व्यंजक के पदों की सर्वसमिका से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: a² = (-x)² = x² b² = (2y)² = 4y² c² = z² = z²

गुणनफल पद हैं: 2ab = 2(-x)(2y) = -4xy 2bc = 2(2y)(z) = 4yz 2ca = 2(z)(-x) = -2xz

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (-x + 2y + z)² = x² + 4y² + z² - 4xy + 4yz - 2xz

वर्ग के अंदर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (2y - x + z)²

व्याख्या

किसी वर्ग के अंदर खींचा जा सकने वाला सबसे बड़ा वृत्त जिसका भुजा s है, उसका व्यास d वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है।

वर्ग की भुजा s = 18 सेमी दी गई है, तो सबसे बड़े वृत्त का व्यास होगा: d = 18 सेमी

इस वृत्त की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है: r = d / 2 = 18 / 2 = 9 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल A सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: A = πr²

त्रिज्या को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: A = π × 9² = 81π सेमी²

व्याख्या

मिश्रण विधि का उपयोग करके, वरिष्ठ कर्मचारियों और शेष कर्मचारियों के अनुपात का निर्धारण उनके औसत वेतन की समग्र औसत वेतन से तुलना करके किया जा सकता है।

वरिष्ठ कर्मचारियों के औसत वेतन और समग्र औसत के बीच का अंतर 450 - 350 = 100 है।

समग्र औसत और शेष कर्मचारियों के औसत वेतन के बीच का अंतर 350 - 250 = 100 है।

चूंकि अंतर बराबर हैं, वरिष्ठ कर्मचारियों और शेष कर्मचारियों का अनुपात 100:100 है, जो 1:1 हो जाता है।

यह देखते हुए कि 10 वरिष्ठ कर्मचारी हैं, तो 10 शेष कर्मचारी भी होने चाहिए।

इसलिए, बिक्री विभाग में कार्यरत कर्मचारियों की कुल संख्या 10 + 10 = 20 है।

व्याख्या

आवश्यक गति ज्ञात करने के लिए, हम गंतव्य पर 30 मिनट जल्दी पहुंचने के लिए शेष दूरी और शेष समय निर्धारित करते हैं।

कुल दूरी 250 किमी है। राम इस दूरी का 3/5 हिस्सा तय करता है: तय की गई दूरी = 3/5 × 250 = 150 किमी शेष दूरी = 250 - 150 = 100 किमी

केंद्र तक पहुंचने के लिए कुल अनुमत समय 6 घंटे है। चूंकि राम 30 मिनट (0.5 घंटे) जल्दी पहुंचना चाहता है, इसलिए उसका लक्ष्य कुल समय है: लक्ष्य कुल समय = 6 - 0.5 = 5.5 घंटे

उसने पहले ही 3.5 घंटे यात्रा कर ली है, इसलिए उपलब्ध शेष समय है: शेष समय = 5.5 - 3.5 = 2 घंटे

2 घंटे में 100 किमी की शेष दूरी तय करने के लिए आवश्यक गति है: आवश्यक गति = शेष दूरी / शेष समय = 100 / 2 = 50 किमी/घंटा

व्याख्या

निवेश के अनुपात को ज्ञात करने के लिए, कुल निवेश को हर 5 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 20 इकाई है।

P का निवेश = 20 का 1/5 = 4 इकाई

Q का निवेश = 20 का 1/4 = 5 इकाई

R का निवेश = 20 - (4 + 5) = 11 इकाई

P, Q और R के निवेश का अनुपात 4:5:11 है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] है।

वर्ग कोष्ठक के अंदर के पदों का विस्तार करने पर: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² = 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

इस परिणाम को (a + b + c) से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 2(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc का उपयोग करके, हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं: 2(a³ + b³ + c³ - 3abc) = 2a³ + 2b³ + 2c³ - 6abc

व्याख्या

नाव और धारा की गति के सूत्रों का उपयोग करके:

धारा के प्रतिकूल गति = नाव की गति - धारा की गति = 11 - 4 = 7 किमी/घंटा धारा के अनुकूल गति = नाव की गति + धारा की गति = 11 + 4 = 15 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल यात्रा करने में लिया गया समय = धारा के प्रतिकूल दूरी / धारा के प्रतिकूल गति = 21 / 7 = 3 घंटे धारा के अनुकूल यात्रा करने में लिया गया समय = धारा के अनुकूल दूरी / धारा के अनुकूल गति = 45 / 15 = 3 घंटे

कुल लिया गया समय = धारा के प्रतिकूल समय + धारा के अनुकूल समय = 3 + 3 = 6 घंटे

व्याख्या

व्यंजक को उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके सरल किया जाता है:

√((cosec A + 1)/(cosec A - 1)) + √((cosec A - 1)/(cosec A + 1))

पदों को एक ही उभयनिष्ठ हर के अंतर्गत जोड़ने पर:

((cosec A + 1) + (cosec A - 1)) / √(cosec² A - 1)

अंश को सरल करने पर: cosec A + 1 + cosec A - 1 = 2 cosec A

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² A - 1 = cot² A का प्रयोग करने पर, हर सरल होकर: √(cot² A) = cot A

इन सरलीकृत पदों को वापस रखने पर: 2 cosec A / cot A

त्रिकोणमितीय फलनों को sine और cosine के रूप में व्यक्त करने पर: (2 / sin A) / (cos A / sin A) = 2 / cos A = 2 sec A

व्याख्या

क्रमागत पूर्णांकों के एक समूह (जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं) का औसत उसके पहले और अंतिम पदों के औसत के बराबर होता है। मान लीजिए 10 क्रमागत पूर्णांक n, n+1, ..., n+9 हैं।

इन 10 क्रमागत पूर्णांकों का औसत निम्न द्वारा दिया गया है: (n + (n + 9)) / 2 = 33/2 2n + 9 = 33 2n = 24 n = 12

इस अनुक्रम में पहले तीन पूर्णांक 12, 13 और 14 हैं।

इन पहले तीन क्रमागत पूर्णांकों का औसत मध्य पद है: (12 + 13 + 14) / 3 = 13

व्याख्या

चूंकि SX, TU पर माध्यिका है, X, TU का मध्य बिंदु है, जिससे TX = UX प्राप्त होता है।

हमें दिया गया है कि SX = TX। इन संबंधों को मिलाने पर, हमें SX = TX = UX प्राप्त होता है।

ΔSTX में, चूंकि SX = TX है, सम्मुख कोण बराबर होते हैं। मान लीजिए ∠XST = ∠XTS = α।

ΔSUX में, चूंकि SX = UX है, सम्मुख कोण बराबर होते हैं। मान लीजिए ∠XSU = ∠XUS = β।

ΔSTU में कोणों का योग ∠T + ∠U + ∠TSU = 180° है।

कोण चर को प्रतिस्थापित करने पर: α + β + (α + β) = 180° 2(α + β) = 180° α + β = 90°

चूंकि ∠TSU = α + β है, ∠TSU का मान 90° है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यक ही उसकी ऊँचाई भी होती है। एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई (h) और भुजा (a) के बीच संबंध सूत्र h = (√3 / 2) × a द्वारा दिया जाता है।

दिए गए माध्यक मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 15√3 = (√3 / 2) × a

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर: 15 = a / 2

a के लिए हल करने पर: a = 15 × 2 = 30 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना SI = (P × R × T) / 100 सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1200 = (P × 8 × 3) / 100 1200 = 24P / 100 P = (1200 × 100) / 24 P = 5000

नया मूलधन मूल मूलधन का दोगुना है: P' = 2 × 5000 = 10000

2 वर्षों के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, प्रभावी ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: प्रभावी दर = 10 + 10 + (10 × 10) / 100 = 21%

अब, नए मूलधन पर अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें: चक्रवृद्धि ब्याज = 10000 × 21% = 10000 × 21/100 = 2100

व्याख्या

त्रिभुज का केंद्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। माध्यिका AD के लिए, केंद्रक G इसे इस प्रकार विभाजित करता है कि AG : GD = 2 : 1।

इसका मतलब है कि AG की लंबाई माध्यिका AD की कुल लंबाई का दो-तिहाई है:

AG = (2/3) × AD

संबंध में AG = 14 सेमी के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

14 = (2/3) × AD

AD = 14 × 3/2 = 21 सेमी

व्याख्या

व्यंजक 3 sin A cos A को tan A के पदों में cos² A से गुणा और भाग करके लिखा जा सकता है, जो कि व्यंजक को sin² A + cos² A से विभाजित करने के बराबर है:

3 sin A cos A = 3 sin A cos A / (sin² A + cos² A)

अंश और हर को cos² A से विभाजित करने पर:

3 sin A cos A = 3 tan A / (tan² A + 1)

दिए गए मान tan A = 3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

3 sin A cos A = 3 × 3 / (3² + 1) = 9 / (9 + 1) = 9/10

व्याख्या

मान लीजिए मूल कीमत P है और मूल खपत C है।

व्यय, कीमत और खपत के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: व्यय = कीमत × खपत

चूंकि 25% की कीमत में कमी और 20 किग्रा की खपत में वृद्धि के बाद व्यय स्थिर रहता है: P × C = 0.75P × (C + 20)

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: C = 0.75(C + 20) C = 0.75C + 15 0.25C = 15 C = 60 किग्रा

व्याख्या

दिए गए बीजगणितीय व्यंजक को मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है:

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz

दिए गए व्यंजक (a + b + 2c)(a² + b² + 4c² - ab - 2bc - 2ca) की सर्वसमिका से तुलना करके, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x = a y = b z = 2c

सर्वसमिका के RHS में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = a³ + b³ + (2c)³ - 3(a)(b)(2c) = a³ + b³ + 8c³ - 6abc

व्याख्या

सही उत्तर: D

दो वृत्तों के लिए सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (R - r)²)

जहाँ d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

दिया गया है: d = 17 सेमी R = 11 सेमी r = 3 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: L = √(17² - (11 - 3)²) L = √(17² - 8²) L = √(289 - 64) L = √225 L = 15 सेमी

व्याख्या

सभी कर्मचारियों का कुल वेतन P, Q, R, S, T, और U के व्यक्तिगत वेतनों का योग है।

कुल वेतन = 200 + 650 + 350 + 250 + 450 + 300 = 2200

व्याख्या

दिया गया समीकरण है x + 1/x = -2।

पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर: x² + 1 = -2x x² + 2x + 1 = 0

यह एक पूर्ण वर्ग द्विघात समीकरण है: (x + 1)² = 0 x = -1

x = -1 को व्यंजक x⁷ + x⁻⁷ + x² + x⁻² में प्रतिस्थापित करने पर: (-1)⁷ + (-1)⁻⁷ + (-1)² + (-1)⁻²

चूंकि -1 की घात कोई भी विषम संख्या -1 होती है, इसलिए: (-1)⁷ = -1 (-1)⁻⁷ = 1/(-1)⁷ = -1

चूंकि -1 की घात कोई भी सम संख्या 1 होती है, इसलिए: (-1)² = 1 (-1)⁻² = 1/(-1)² = 1

इन मानों को एक साथ जोड़ने पर: -1 + (-1) + 1 + 1 = 0

व्याख्या

मान लीजिए कि पुरुष द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय 2x दिन है और महिला द्वारा लिया गया समय 3x दिन है।

पुरुष और महिला की व्यक्तिगत एक-दिवसीय कार्य दर क्रमशः 1/(2x) और 1/(3x) है।

वे मिलकर 24 दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संयुक्त एक-दिवसीय कार्य दर 1/24 है।

हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 1/(2x) + 1/(3x) = 1/24

x को हल करने के लिए, हम बाईं ओर एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं: (3 + 2) / 6x = 1/24 5 / 6x = 1/24 6x = 5 × 24 6x = 120 x = 20

महिला द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय 3x दिन है: 3 × 20 = 60 दिन।

व्याख्या

प्रत्येक मशीन का विक्रय मूल्य (SP) रु. 15000 है। दोनों मशीनों का कुल विक्रय मूल्य = 2 × 15000 = रु. 30000।

20% लाभ पर बेची गई पहली मशीन का क्रय मूल्य (CP) है: CP₁ = 15000 / (1 + 0.20) = 15000 / 1.2 = रु. 12500।

40% हानि पर बेची गई दूसरी मशीन का क्रय मूल्य (CP) है: CP₂ = 15000 / (1 - 0.40) = 15000 / 0.6 = रु. 25000।

दोनों मशीनों का कुल क्रय मूल्य = 12500 + 25000 = रु. 37500।

चूंकि कुल क्रय मूल्य कुल विक्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए शुद्ध हानि है: शुद्ध हानि = 37500 - 30000 = रु. 7500।

हानि प्रतिशत = (शुद्ध हानि / कुल क्रय मूल्य) × 100 = (7500 / 37500) × 100 = 20%।

व्याख्या

आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, गोलाकार गेंदों का कुल आयतन पिघले हुए गोलार्ध के आयतन के बराबर होगा।

R त्रिज्या वाले गोलार्ध का आयतन है: V_h = (2/3) π R³

r त्रिज्या वाले गोले का आयतन है: V_s = (4/3) π r³

मान लीजिए n गोलाकार गेंदों की संख्या है। संबंध है: n × V_s = V_h n × (4/3) π r³ = (2/3) π R³

समीकरण को सरल बनाने पर: n = ((2/3) / (4/3)) × (R / r)³ n = ½ × (R / r)³

दिए गए मानों, R = 12 सेमी और r = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: n = ½ × (12 / 6)³ n = ½ × 2³ n = ½ × 8 n = 4

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) है।

जब MP पर 20% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य (SP) है: SP = MP × (1 - 20/100) = 0.80 × MP

चूंकि इस विक्रय मूल्य पर 5% का नुकसान होता है: SP = CP × (1 - 5/100) = 0.95 × CP

SP के लिए दो व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.80 × MP = 0.95 × CP MP / CP = 0.95 / 0.80 = 95 / 80 = 19 / 16

यदि वस्तु को अंकित मूल्य पर बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य MP के बराबर होता है। लाभ प्रतिशत = ((MP - CP) / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = ((19 - 16) / 16) × 100 लाभ प्रतिशत = (3 / 16) × 100 = 18.75%

व्याख्या

वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है:

L = (θ / 360°) × 2πr

दिया गया है: त्रिज्या r = 42 सेमी केंद्रीय कोण θ = 150° π ≈ 22/7

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

L = (150 / 360) × 2 × (22 / 7) × 42

भिन्न और पदों को सरल करने पर:

L = (5 / 12) × 2 × 22 × 6

L = (5 / 12) × 264

L = 5 × 22

L = 110 सेमी

व्याख्या

15 से विभाज्य तीन-अंकीय संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं। 15 से विभाज्य पहली तीन-अंकीय संख्या 105 है, और अंतिम 990 है। सार्व अंतर 15 है।

समांतर श्रेणी के n-वें पद के सूत्र का उपयोग करके: l = a + (n - 1)d

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 990 = 105 + (n - 1) × 15 885 = (n - 1) × 15 n - 1 = 59 n = 60

समांतर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करके: S = (n / 2) × (a + l)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S = (60 / 2) × (105 + 990) S = 30 × 1095 S = 32850