एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अभिगृहीत कोण प्रमेय (inscribed angle theorem) के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर एक जीवा द्वारा बनाया गया कोण उसी जीवा द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

परिधि पर कोण = ½ × केंद्र पर कोण

दिया गया है कि केंद्र पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण 180° है, तो परिधि पर बनाया गया कोण होगा:

½ × 180° = 90°

वैकल्पिक रूप से, जो जीवा वृत्त के केंद्र पर 180° का कोण बनाती है, वह व्यास होती है। थेल्स प्रमेय (Thales's theorem) के अनुसार, वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण हमेशा समकोण होता है, जो 90° के बराबर होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, पदों को क्रमिक रूप से गुणा किया जा सकता है:

सबसे पहले, पहले दो गुणनखंडों को गुणा करें: (k + 1/k)(k - 1/k) = k² - 1/k²

अगला, इस परिणाम को तीसरे गुणनखंड से गुणा करें: (k² - 1/k²)(k² + 1/k²) = (k²)² - (1/k²)² = k⁴ - 1/k⁴

अंत में, इस परिणाम को चौथे गुणनखंड से गुणा करें: (k⁴ - 1/k⁴)(k⁴ + 1/k⁴) = (k⁴)² - (1/k⁴)² = k⁸ - 1/k⁸

व्याख्या

सुबह 10:00 बजे से दोपहर 2:30 बजे तक की यात्रा की अवधि 4.5 घंटे है।

रेलगाड़ी की चाल मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में दी गई है और इसे 18/5 के रूपांतरण कारक का उपयोग करके किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) में परिवर्तित किया जाता है: चाल = 40 × 18/5 = 144 किमी/घंटा

दूरी के मानक सूत्र का उपयोग करके: दूरी = चाल × समय दूरी = 144 × 4.5 = 648 किमी

व्याख्या

व्यय, कीमत और खपत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: व्यय = कीमत × खपत

मान लीजिए प्रारंभिक कीमत P है, प्रारंभिक खपत C है, और प्रारंभिक व्यय E है, ताकि E = P × C।

कीमत में 25% की वृद्धि होती है और व्यय में 40% की कमी होती है। नई कीमत (P') = 1.25P नया व्यय (E') = 0.60E

मान लीजिए नई खपत C' है। सूत्र E' = P' × C' का उपयोग करके: 0.60E = 1.25P × C' 0.60(P × C) = 1.25P × C' C' = (0.60 / 1.25) × C C' = 0.48C

खपत में प्रतिशत कमी है: ((C - C') / C) × 100 = ((C - 0.48C) / C) × 100 = 0.52 × 100 = 52%

व्याख्या

नए मिश्रण में जूस और पानी का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों पात्रों के लिए एक सुविधाजनक समान आयतन चुनें। पहले पात्र के लिए अनुपात पदों का योग 3 + 5 = 8 है, और दूसरे पात्र के लिए 3 + 1 = 4 है। 8 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य 8 है।

मान लीजिए प्रत्येक पात्र की क्षमता 8 इकाई है।

पहले पात्र में: जूस = 3 इकाई पानी = 5 इकाई

दूसरे पात्र में: जूस = 3/4 × 8 = 6 इकाई पानी = 1/4 × 8 = 2 इकाई

जब दोनों पात्रों की सामग्री को एक साथ मिलाया जाता है: कुल जूस = 3 + 6 = 9 इकाई कुल पानी = 5 + 2 = 7 इकाई

नए मिश्रण में जूस और पानी का अनुपात 9:7 है।

व्याख्या

a³ + b³ का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

सर्वसमिका में दिए गए मानों, a + b = 6 और ab = 4, को प्रतिस्थापित करने पर:

a³ + b³ = 6³ - 3 × 4 × 6

पदों की गणना करने पर:

a³ + b³ = 216 - 72

a³ + b³ = 144

व्याख्या

वृत्त प्रमेय के अनुसार, किसी जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी जीवा द्वारा वृत्त के दीर्घ चाप पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

यदि केंद्र पर बनाया गया कोण θ है, तो दीर्घ चाप पर बनाया गया कोण θ/2 होगा।

दी गई शर्त का उपयोग करते हुए कि उनका योग 180° है: θ + θ/2 = 180° 3θ/2 = 180° θ = 180° × 2/3 θ = 120°

व्याख्या

त्रिभुज JKL का केंद्रक Z, 12 सेमी लंबाई की माध्यिका KY को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। KZ = (2/3) × 12 = 8 सेमी

चूंकि JX भुजा KL की माध्यिका है, X, KL का मध्य बिंदु है। KX = KL / 2 = 22 / 2 = 11 सेमी

माध्यिकाएँ JX और KY, Z पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे त्रिभुज KZX, Z पर समकोण त्रिभुज बनता है। त्रिभुज KZX में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: KX² = KZ² + ZX² 11² = 8² + ZX² 121 = 64 + ZX² ZX² = 57 ZX = √57 सेमी

केंद्रक Z, माध्यिका JX को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। JX = 3 × ZX = 3√57 सेमी

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट दर)

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹480 छूट दर = 5% = 0.05

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 480 × (1 - 0.05) = 480 × 0.95 = ₹456

वैकल्पिक रूप से, छूट की राशि है:

480 का 5% = (5/100) × 480 = ₹24

इस छूट को अंकित मूल्य से घटाने पर अंतिम विक्रय मूल्य प्राप्त होता है:

480 - 24 = ₹456

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करना: A² - B² = (A + B)(A - B)

सर्वसमिका में A और B के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: A + B = (tan θ + sin θ) + (tan θ - sin θ) = 2tan θ A - B = (tan θ + sin θ) - (tan θ - sin θ) = 2sin θ

इन दोनों परिणामों को गुणा करने पर: A² - B² = (2tan θ) × (2sin θ) = 4tan θ sin θ

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠C = 90° है, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: AB² = AC² + BC²

दिए गए मानों, AB = 25 सेमी और BC = 20 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 25² = AC² + 20² 625 = AC² + 400 AC² = 225 AC = 15 सेमी

कोण A के लिए, संलग्न भुजा AC है और कर्ण AB है। कोण A का सेकेंट, कर्ण और संलग्न भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: sec A = AB / AC sec A = 25 / 15 sec A = 5/3

व्याख्या

औसत सूत्र का उपयोग करके, कुल अंक = औसत × छात्रों की संख्या।

सभी 80 छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक 80 × 50 = 4000 हैं।

अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या 30 है, जिसका अर्थ है कि उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या 80 - 30 = 50 है।

उत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक 50 × 55 = 2750 हैं।

अनुत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक, समग्र कुल अंकों और उत्तीर्ण छात्रों के कुल अंकों के बीच का अंतर है, जो 4000 - 2750 = 1250 है।

अनुत्तीर्ण छात्रों के औसत अंक 1250 / 30 = 41.66 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए Y अकेले दीवार को पूरा करने में t दिन लेता है। चूँकि X को Y से 50% अधिक समय लगता है, इसलिए X द्वारा अकेले लिया गया समय 1.5t दिन है।

Y और X की दैनिक कार्य दरें क्रमशः 1/t और 1/(1.5t) यानी 2/(3t) हैं।

साथ मिलकर, वे 15 दिनों में दीवार पूरी करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 1/15 है।

1/t + 2/(3t) = 1/15

5/(3t) = 1/15

3t = 75

t = 25 दिन

X द्वारा अकेले दीवार को पूरा करने में लिया गया समय 1.5t = 1.5 × 25 = 37.5 दिन है।

व्याख्या

9 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ 18 से शुरू होकर 99 पर समाप्त होने वाली एक अंकगणितीय श्रेणी बनाती हैं, जिनका सार्व अंतर 9 है।

इस श्रेणी में पदों की संख्या, n, n-वें पद के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: l = a + (n - 1)d

पहले पद a = 18, अंतिम पद l = 99, और सार्व अंतर d = 9 को प्रतिस्थापित करने पर: 99 = 18 + (n - 1) × 9 81 = (n - 1) × 9 n - 1 = 9 n = 10

एक अंकगणितीय श्रेणी का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sₙ = n/2 × (a + l)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S₁₀ = 10/2 × (18 + 99) S₁₀ = 5 × 117 S₁₀ = 585

व्याख्या

A2 / A1 का मान ज्ञात करने के लिए, पहले दी गई तालिका से A1 और A2 के मानों की गणना करें।

सभी पाँच कंपनियों द्वारा बाइक का कुल उत्पादन = 700 + 450 + 500 + 250 + 300 = 2200 सभी पाँच कंपनियों द्वारा ट्रक का कुल उत्पादन = 500 + 300 + 200 + 600 + 650 = 2250

A1 बाइक और ट्रक के कुल उत्पादन के बीच का अंतर है: A1 = 2250 - 2200 = 50

A2 कंपनियों D, F और H द्वारा बाइक का औसत उत्पादन है: A2 = (700 + 500 + 300) / 3 = 1500 / 3 = 500

अब, A2 का A1 से अनुपात ज्ञात करें: A2 / A1 = 500 / 50 = 10

व्याख्या

a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r का सूत्र है:

r = a / (2√3)

दिया गया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा a = 12 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:

r = 12 / (2√3)

व्यंजक को सरल करने पर:

r = 6 / √3

हर का परिमेयकरण करने पर:

r = (6 × √3) / 3

r = 2√3 सेमी

व्याख्या

6 लड़कियों की आयु का प्रारंभिक योग 6x है।

जब 4 नई लड़कियाँ शामिल होती हैं, तो उनकी आयु का योग है: (x - 2) + (x + 4) + (x + 8) + (x + 10) = 4x + 20

सभी 10 लड़कियों के लिए आयु का नया कुल योग है: 6x + 4x + 20 = 10x + 20

कक्षा की नई औसत आयु कुल लड़कियों की संख्या से विभाजित आयु का कुल योग है: नई औसत = (10x + 20) / 10 = x + 2

व्याख्या

त्रिभुज DEF में, चूँकि MN, EF के समानांतर है, त्रिभुज DMN, त्रिभुज DEF के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: DM / DE = MN / EF

दिए गए मान MN : EF = 2 : 5 और DE = 60 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: DM / 60 = 2 / 5 DM = 60 × 2/5 DM = 24 सेमी

ME की लंबाई DE और DM के बीच का अंतर है: ME = DE - DM ME = 60 - 24 ME = 36 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए बिंदु Z पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा, सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा XY को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है।

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। पहले वृत्त के लिए, M से स्पर्शरेखाएँ MX और MZ हैं, इसलिए MX = MZ। दूसरे वृत्त के लिए, M से स्पर्शरेखाएँ MY और MZ हैं, इसलिए MY = MZ।

इन दोनों संबंधों को मिलाने पर MX = MY = MZ प्राप्त होता है। चूँकि MX = MY, M, XY का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है कि MZ = XY/2।

त्रिभुज XZY में, शीर्ष Z से भुजा XY तक की माध्यिका ZM, भुजा XY की आधी है। किसी भी त्रिभुज में, यदि किसी भुजा की माध्यिका उस भुजा की आधी हो, तो उस भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है। इसलिए, Z पर बना कोण, जो ∠XZY है, 90° है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz

इस सर्वसमिका में x = a, y = b, और z = 2c प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक बन जाता है: (a + b + 2c)(a² + b² + (2c)² - ab - b(2c) - (2c)a)

सर्वसमिका के दाहिने पक्ष का उपयोग करके इसे विस्तारित और सरल करने पर प्राप्त होता है: a³ + b³ + (2c)³ - 3(a)(b)(2c) = a³ + b³ + 8c³ - 6abc

व्याख्या

X द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय 18 दिन है। इसलिए, X द्वारा एक दिन में किया गया कार्य 1/18 है।

Y द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय X द्वारा लिए गए समय का आधा है, जो कि 18 ÷ 2 = 9 दिन है। इस प्रकार, Y द्वारा एक दिन में किया गया कार्य 1/9 है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनके द्वारा एक दिन में पूरा किया जा सकने वाला कार्य का भाग उनके व्यक्तिगत एक-दिवसीय कार्यों का योग है: 1/18 + 1/9 = 1/18 + 2/18 = 3/18 = 1/6।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, एक सुविधाजनक कोण प्रतिस्थापित करें, जैसे θ = 45°।

θ = 45° के लिए: tan 45° = 1 sec 45° = √2 cot 45° = 1 cosec 45° = √2

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1 + tan θ - sec θ)(1 + cot θ + cosec θ) = (1 + 1 - √2)(1 + 1 + √2) = (2 - √2)(2 + √2)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करने पर: = 2² - (√2)² = 4 - 2 = 2

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर त्रिज्या r = C / 2π प्राप्त होती है।

दो वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच का अंतर है: r₂ - r₁ = (C₂ - C₁) / 2π

चूंकि परिधियाँ C₁ = 77 सेमी और C₂ = 154 सेमी दी गई हैं, और π का मान 22/7 का उपयोग करते हुए: r₂ - r₁ = (154 - 77) / (2 × 22/7) r₂ - r₁ = 77 / (44/7) r₂ - r₁ = (77 × 7) / 44 r₂ - r₁ = (7 × 7) / 4 r₂ - r₁ = 49 / 4 r₂ - r₁ = 12.25 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए घड़ी का अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) है।

प्रश्न के अनुसार, घड़ी को अंकित मूल्य के 4/5 पर बेचा जाता है: विक्रय मूल्य (SP) = 4/5 × MP

घड़ी बेचने पर 10% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 90% है: SP = CP का 90% = 9/10 × CP

विक्रय मूल्य के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 4/5 × MP = 9/10 × CP

अंकित मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: MP / CP = (9/10) × (5/4) MP / CP = 45/40 MP / CP = 9/8

घड़ी के अंकित मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात 9:8 है।

व्याख्या

दूरी, गति और समय के अंतर के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: दूरी = (S₁ × S₂ / |S₁ - S₂|) × Δt

जहाँ S₁ सामान्य गति है, S₂ घटी हुई गति है, और Δt यात्रा के समय का अंतर है।

दिया गया है: दूरी = 280 किमी गति का अंतर |S₁ - S₂| = 14 किमी/घंटा समय का अंतर Δt = 60 मिनट = 1 घंटा

मान लीजिए सामान्य गति S किमी/घंटा है। घटी हुई गति S - 14 किमी/घंटा है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 280 = (S × (S - 14) / 14) × 1 280 × 14 = S × (S - 14) 3920 = S(S - 14)

S = 70 प्रतिस्थापित करने पर: 70 × (70 - 14) = 70 × 56 = 3920

यह समीकरण को संतुष्ट करता है, जिससे सामान्य गति 70 किमी/घंटा की पुष्टि होती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका, sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके।

चूंकि 69° को 90° - 21° के रूप में लिखा जा सकता है, हमारे पास है: sin 69° = sin(90° - 21°) = cos 21°

इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin² 21° + sin² 69° = sin² 21° + cos² 21°

मूल पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, sin² θ + cos² θ = 1। इसलिए: sin² 21° + cos² 21° = 1

व्याख्या

मान लीजिए कुल राशि P है।

राशि का पहला भाग P/2 है, जिसे 20% प्रति वर्ष की दर पर उधार दिया गया है। शेष राशि P - P/2 = P/2 है। दूसरा भाग इस शेष राशि का 2/5 है, जो कि 2/5 × P/2 = P/5 है, जिसे 25% प्रति वर्ष की दर पर उधार दिया गया है। तीसरा भाग कुल राशि का शेष है, जो कि P - P/2 - P/5 = 3P/10 है, जिसे 10% प्रति वर्ष की दर पर उधार दिया गया है।

2 वर्षों में अर्जित कुल साधारण ब्याज प्रत्येक भाग से अर्जित ब्याज का योग है। सूत्र ब्याज = मूलधन × दर × समय / 100 का उपयोग करके:

पहले भाग से ब्याज = (P/2 × 20 × 2)/100 = 0.20P दूसरे भाग से ब्याज = (P/5 × 25 × 2)/100 = 0.10P तीसरे भाग से ब्याज = (3P/10 × 10 × 2)/100 = 0.06P

इन व्यक्तिगत ब्याज को जोड़ने पर कुल प्राप्त साधारण ब्याज मिलता है: 0.20P + 0.10P + 0.06P = 0.36P

दिया गया है कि कुल ब्याज रु. 360 है: 0.36P = 360 P = 360 / 0.36 = 1000

व्याख्या

समूह के औसत वजन की गणना कुल योग विधि का उपयोग करके की जा सकती है।

प्रारंभिक 15 व्यक्तियों के वजन का योग = 15 × 30 = 450 किलोग्राम

जब 78 किलोग्राम वजन वाला एक नया व्यक्ति शामिल होता है, तो 16 व्यक्तियों का कुल वजन हो जाता है: 450 + 78 = 528 किलोग्राम

16 व्यक्तियों का नया औसत वजन कुल वजन को व्यक्तियों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 528 / 16 = 33 किलोग्राम

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि का उपयोग करके, नया व्यक्ति प्रारंभिक औसत से 78 - 30 = 48 किलोग्राम अधिक वजन लाता है। इस अतिरिक्त वजन को सभी 16 व्यक्तियों में समान रूप से वितरित करने पर औसत 48 / 16 = 3 किलोग्राम बढ़ जाता है। इस प्रकार, नया औसत 30 + 3 = 33 किलोग्राम है।

व्याख्या

चूंकि राम को पूरे सौदे में न तो कोई लाभ होता है और न ही कोई हानि, पहली घड़ी पर अर्जित लाभ दूसरी घड़ी पर हुई हानि के बराबर होना चाहिए।

माना CP₁ पहली घड़ी का क्रय मूल्य है जिसे 25% लाभ पर बेचा गया था, और CP₂ दूसरी घड़ी का क्रय मूल्य है जिसे 10% हानि पर बेचा गया था।

पहली घड़ी पर लाभ = दूसरी घड़ी पर हानि CP₁ का 25% = CP₂ का 10% 25 × CP₁ = 10 × CP₂ CP₁ / CP₂ = 10 / 25 = 2 / 5

दोनों घड़ियों के क्रय मूल्यों का अनुपात 2:5 है।

दोनों घड़ियों का कुल क्रय मूल्य ₹ 3500 है। अनुपात पदों का योग = 2 + 5 = 7 इकाई। 7 इकाई = ₹ 3500 1 इकाई = ₹ 500

पहली घड़ी का क्रय मूल्य = 2 × 500 = ₹ 1000 दूसरी घड़ी का क्रय मूल्य = 5 × 500 = ₹ 2500

व्याख्या

11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, एक संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि उसके विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

संख्या 5A72B के लिए: दाएँ से बाएँ विषम स्थानों के अंकों का योग = B + 7 + 5 = 12 + B दाएँ से बाएँ सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + A

इन योगों का अंतर है: (12 + B) - (2 + A) = 10 + B - A

संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, यह अंतर 11 का गुणज होना चाहिए, जिसे 11k द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ k एक पूर्णांक है: 10 + B - A = 11k

चूंकि A और B 0 से 9 तक की एकल-अंकीय पूर्णांक संख्याएँ हैं, इसलिए B - A का अंतर -9 और 9 के बीच होना चाहिए। k = 1 रखने पर: 10 + B - A = 11 B - A = 1

व्याख्या

संयुक्त अनुपात P:Q:R:S ज्ञात करने के लिए, अनुपातों के बीच सामान्य पदों को बराबर किया जाता है।

सबसे पहले, P:Q = 2:3 और Q:R = 4:5 को मिलाएं। सामान्य पद Q है। Q पद को बराबर करने के लिए, P:Q को 4 से और Q:R को 3 से गुणा करें: P:Q = 8:12 Q:R = 12:15 इससे संयुक्त अनुपात P:Q:R = 8:12:15 प्राप्त होता है।

अगला, P:Q:R = 8:12:15 को R:S = 2:1 के साथ मिलाएं। सामान्य पद R है। R पद को बराबर करने के लिए, P:Q:R को 2 से और R:S को 15 से गुणा करें: P:Q:R = 16:24:30 R:S = 30:15 इससे संयुक्त अनुपात P:Q:R:S = 16:24:30:15 प्राप्त होता है।

इस संयुक्त अनुपात से P, R और S के भागों को निकालने पर P:R:S = 16:30:15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण K + 1/K + 2 = 0 है।

पूरे समीकरण को K से गुणा करने पर: K² + 2K + 1 = 0 (K + 1)² = 0

K के लिए हल करने पर K = -1 प्राप्त होता है, जो दी गई शर्त K < 0 को संतुष्ट करता है।

व्यंजक K¹⁷ + 1/K¹¹ में K = -1 प्रतिस्थापित करने पर: (-1)¹⁷ + 1/(-1)¹¹

चूंकि 17 और 11 दोनों विषम घात हैं, इसलिए इन घातों तक बढ़ाई गई कोई भी ऋणात्मक संख्या ऋणात्मक ही रहती है: (-1)¹⁷ = -1 (-1)¹¹ = -1

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: -1 + 1/(-1) = -1 - 1 = -2

व्याख्या

अर्धवृत्त में कोण प्रमेय के अनुसार, एक जीवा वृत्त की परिधि पर 90° का कोण तभी बनाती है जब वह जीवा उस वृत्त का व्यास हो।

इसलिए, जीवा AB वृत्त का व्यास है।

व्यास d = 16 सेमी

वृत्त की त्रिज्या r व्यास की आधी होती है: r = d / 2 r = 16 / 2 r = 8 सेमी

व्याख्या

दिए गए व्यंजक 1/2 + 3/4 + 1/4 + 3/2 + 1/4 + 1/4 का योग 14/4 के बराबर है, जो 7/2 या 3.5 तक सरल हो जाता है। चूंकि दिए गए विकल्पों (126/5, 116/5, 49/8, 89/6) में से कोई भी इस मान से मेल नहीं खाता है, इसलिए कोई सही विकल्प उपलब्ध नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए छोटी संख्या S है और बड़ी संख्या L है।

दी गई शर्त के अनुसार, छोटी संख्या का 20% बड़ी संख्या के 14% के बराबर है: 0.20 × S = 0.14 × L 20 × S = 14 × L S = (14 / 20) × L S = 0.7 × L

दोनों संख्याओं का योग 8942 दिया गया है: S + L = 8942

योग समीकरण में L के पदों में S का मान प्रतिस्थापित करने पर: 0.7 × L + L = 8942 1.7 × L = 8942 L = 8942 / 1.7 L = 5260

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

यह देखते हुए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 384 वर्ग सेमी है, हम घन की भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं: 6a² = 384 a² = 64 a = 8 सेमी

घन का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = a³

आयतन सूत्र में भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर: आयतन = 8³ = 512 घन सेमी

व्याख्या

जब श्रमिक समान अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं तो मजदूरी श्रमिकों की दक्षता के अनुपात में वितरित की जाती है। चूँकि दक्षता व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है:

मोहित की रोहित की दक्षता का अनुपात = 1/10 : 1/15 = 15 : 10 = 3 : 2

रु. 4400 की कुल मजदूरी को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित किया गया है।

कुल भाग = 3 + 2 = 5 भाग

उनके हिस्सों में अंतर = 3 - 2 = 1 भाग

प्राप्त राशि में अंतर = (1/5) × 4400 = रु. 880

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल क्रय मूल्य x है। चूँकि इसे 10 प्रतिशत हानि पर बेचा जाता है, इसलिए मूल विक्रय मूल्य 0.9x है। जब क्रय मूल्य में रु.5 की कमी की जाती है और विक्रय मूल्य में रु.8 की वृद्धि की जाती है, तो नया क्रय मूल्य x - 5 और नया विक्रय मूल्य 0.9x + 8 हो जाता है। समस्या के अनुसार, नए विक्रय मूल्य पर 10 प्रतिशत का लाभ होता है, इसलिए 0.9x + 8 = 1.1(x - 5), जिसे हल करने पर x = 67.5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, मूल विक्रय मूल्य 0.9 * 67.5 = रु.60.75 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin B - cos A = 0 है, जिसे sin B = cos A के रूप में लिखा जा सकता है।

त्रिकोणमिति की पूरक कोण सर्वसमिका के अनुसार, cos A = sin(90° - A) होता है।

इसे समीकरण में रखने पर sin B = sin(90° - A) प्राप्त होता है।

कोणों की तुलना करने पर B = 90° - A प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर A + B = 90° प्राप्त होता है।

व्याख्या

A + B का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम का उपयोग करके A और B के व्यंजकों को सरल करते हैं:

व्यंजक A के लिए: A का अंश = 36 ÷ 18 × 10 = 2 × 10 = 20 A का हर = 36 ÷ (3 + 1) = 36 ÷ 4 = 9 A = 20/9

व्यंजक B के लिए: B का अंश = 10 + 15 × 5 + 6 × 2 - 5 = 10 + 75 + 12 - 5 = 92 B का हर = 15 ÷ 5 × 25 - 2 × 3 + 6 = 3 × 25 - 6 + 6 = 75 B = 92/75

अब, हम योग (A + B) की गणना करते हैं: A + B = 20/9 + 92/75

9 और 75 का लघुत्तम समापवर्त्य 225 है: A + B = (20 × 25)/225 + (92 × 3)/225 A + B = 500/225 + 276/225 A + B = (500 + 276)/225 = 776/225

व्याख्या

विषम पदों वाली किसी भी अंकगणितीय श्रेणी के लिए, औसत मध्य पद के बराबर होता है। दी गई 9 क्रमागत विषम संख्याओं के लिए, औसत 5वां पद है, जो कि 27 है।

जब हम पिछली और अगली विषम संख्याओं को शामिल करते हैं, तो हम अनुक्रम की शुरुआत में एक पद और अंत में एक पद जोड़ते हैं। दो पदों का यह सममित जोड़ केंद्र के चारों ओर संतुलन बनाए रखता है। नई अनुक्रम में 11 क्रमागत विषम संख्याएँ होती हैं, और इसका मध्य पद 27 ही रहता है।

अंकगणितीय श्रेणी के औसत के सूत्र का उपयोग करते हुए, औसत = (पहला पद + अंतिम पद) / 2। यदि मूल अनुक्रम का पहला पद a और अंतिम पद l है, तो (a + l) / 2 = 27। नई अनुक्रम का पहला पद a - 2 और अंतिम पद l + 2 है। नया औसत ((a - 2) + (l + 2)) / 2 = (a + l) / 2 = 27 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए O संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र है। रेखा PQRS पर O से एक लंब रेखा खींचिए, जो इसे बिंदु M पर मिलती है। चूँकि केंद्र से जीवा पर खींची गई लंब रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है, OM बड़े वृत्त की जीवा PS और छोटे वृत्त की जीवा QR दोनों पर लंब है।

बड़े वृत्त के लिए, M, PS का मध्य बिंदु है। अतः, PM = PS / 2 = 48 / 2 = 24 सेमी।

समकोण त्रिभुज OMP में, कर्ण OP बड़े वृत्त की त्रिज्या है, जो 26 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OM² = OP² - PM² OM² = 26² - 24² OM² = 676 - 576 OM² = 100 OM = 10 सेमी

छोटे वृत्त के लिए, M, QR का मध्य बिंदु है। अतः, QM = QR / 2 = 40 / 2 = 20 सेमी।

समकोण त्रिभुज OMQ में, कर्ण OQ छोटे वृत्त की त्रिज्या है, जो x है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OQ² = OM² + QM² x² = 10² + 20² x² = 100 + 400 x² = 500 x = 10√5 सेमी

व्याख्या

सभी वर्षों में कंपनी A की कुल बिक्री है: कुल A = 350 + 550 + 750 + 650 + 450 = 2750

सभी वर्षों में कंपनी B की कुल बिक्री है: कुल B = 1150 + 850 + 950 + 350 + 250 = 3550

L1, A और B की कुल बिक्री के बीच का अंतर है: L1 = 3550 - 2750 = 800

L2, कंपनी A की औसत बिक्री है: L2 = 2750 / 5 = 550

L1 और L2 का अनुपात है: L1 : L2 = 800 : 550 = 16 : 11

व्याख्या

सभी छात्रों के भारित औसत भार की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत भार = (लड़कियों की संख्या × लड़कियों का औसत भार + लड़कों की संख्या × लड़कों का औसत भार) / (लड़कियों की संख्या + लड़कों की संख्या)

जहाँ लड़कियों की संख्या और लड़कों की संख्या क्रमशः N_g और N_b हैं, और W_g और W_b उनके संबंधित औसत भार हैं।

दिया गया है कि लड़कियों का औसत भार 30 किग्रा है, लड़कों का औसत भार 36 किग्रा है, और लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या की दोगुनी है (N_g = 2 × N_b):

औसत भार = (2 × N_b × 30 + N_b × 36) / (2 × N_b + N_b)

औसत भार = (60 × N_b + 36 × N_b) / (3 × N_b)

औसत भार = 96 × N_b / (3 × N_b)

औसत भार = 96 / 3 = 32 किग्रा

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, tan F एक समकोण त्रिभुज के लम्ब और आधार का अनुपात है, जो 15/8 दिया गया है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण h की गणना इस प्रकार की जाती है: h = √(15² + 8²) h = √(225 + 64) h = √289 h = 17

साइन और कोसाइन की परिभाषाओं का उपयोग करके: sin F = लम्ब/कर्ण = 15/17 cos F = आधार/कर्ण = 8/17

इन दो मानों को जोड़ने पर: sin F + cos F = 15/17 + 8/17 = 23/17

व्याख्या

सही उत्तर: C

R% की वार्षिक ब्याज दर पर 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर का सूत्र है:

प्रभावी दर = R + R + (R × R)/100

सूत्र में R = 20 रखने पर:

प्रभावी दर = 20 + 20 + (20 × 20)/100 = 44%

राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज रु. 4180 है, जो मूल राशि का 44% दर्शाता है।

राशि = (चक्रवृद्धि ब्याज × 100) / प्रभावी दर

राशि = (4180 × 100) / 44 = 9500

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त के केंद्र पर θ कोण बनाने वाली जीवा की लंबाई L निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = 2r sin(θ/2)

दिए गए मानों, r = 14 सेमी और θ = 180° को प्रतिस्थापित करने पर:

L = 2 × 14 × sin(180°/2) L = 28 × sin(90°) L = 28 × 1 = 28 सेमी

वैकल्पिक रूप से, एक जीवा जो वृत्त के केंद्र पर 180° का कोण बनाती है, वह केंद्र से होकर गुजरती है, जिससे वह वृत्त का व्यास बन जाती है। व्यास की लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है:

L = 2r = 2 × 14 = 28 सेमी

व्याख्या

समकोण त्रिभुज XYZ में, कोण Y 90 डिग्री है, XY = 30 सेमी, और कर्ण XZ = 34 सेमी है।

तीसरी भुजा YZ ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: YZ = √(XZ² - XY²) YZ = √(34² - 30²) YZ = √(1156 - 900) YZ = √256 = 16 सेमी

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण XZ पर लंब YN की लंबाई निम्न संबंध द्वारा दी जाती है: YN = (XY × YZ) / XZ

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: YN = (30 × 16) / 34 YN = 480 / 34 YN = 240/17 सेमी

व्याख्या

9 की विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से पूरी तरह विभाज्य होती है यदि उसके अलग-अलग अंकों का योग 9 का गुणज हो।

संख्या 572X41 के लिए, उसके अंकों का योग है: 5 + 7 + 2 + X + 4 + 1 = 19 + X

19 से बड़ी 9 की सबसे छोटी गुणज 27 है।

अंकों के योग को 27 के बराबर रखने पर: 19 + X = 27 X = 8

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ 2x, 3x, और 5x हैं, जहाँ x एक सामान्य गुणक है।

सबसे छोटी संख्या 2x है और सबसे बड़ी संख्या 5x है।

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का योग है: 5x + 2x = 7x = 9800

x के लिए हल करने पर: x = 9800 ÷ 7 = 1400

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या के बीच का अंतर है: 5x - 2x = 3x

x का मान रखने पर: अंतर = 3 × 1400 = 4200