एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया व्यंजक है: x/(yz)² + y/(xz)² + z/(xy)²

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: x/(y²z²) + y/(x²z²) + z/(x²y²)

सामान्य हर x²y²z² लेने पर, व्यंजक सरल हो जाता है: (x³ + y³ + z³) / (x²y²z²)

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, यदि x + y + z = 0 है, तो: x³ + y³ + z³ = 3xyz

इसे सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 3xyz / (x²y²z²) = 3/xyz

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T समयावधि है।

चूंकि राशि स्वयं की तीन गुनी हो जाती है, इसलिए अर्जित साधारण ब्याज 3P - P = 2P है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2P = (P × 10 × T) / 100 T = 20 वर्ष

कथन I के लिए, समान समयावधि 20 वर्ष में 20% की दर पर, साधारण ब्याज है: SI = (P × 20 × 20) / 100 = 4P कुल राशि P + 4P = 5P है। इसका मतलब है कि राशि स्वयं की 5 गुनी हो जाती है, इसलिए कथन I सही है।

कथन II के लिए, समान समयावधि 20 वर्ष में 30% की दर पर, साधारण ब्याज है: SI = (P × 30 × 20) / 100 = 6P कुल राशि P + 6P = 7P है। इसका मतलब है कि राशि स्वयं की 7 गुनी हो जाती है, इसलिए कथन II सही है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूँकि PM त्रिभुज PQR की माध्यिका है और O केन्द्रक है, बिंदु O माध्यिका PM को इस प्रकार विभाजित करता है कि PO : OM = 2 : 1।

माध्यिका PM की कुल लंबाई को अनुपात का उपयोग करके PO के पदों में व्यक्त किया जा सकता है: PM = PO × 3/2

सूत्र में PO = 27 सेमी का दिया गया मान रखने पर: PM = 27 × 3/2 PM = 81/2 PM = 40.5 सेमी

व्याख्या

20 से विभाज्य तीन-अंकीय संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।

पहला पद, a, 20 से विभाज्य सबसे छोटी तीन-अंकीय संख्या है, जो 100 है। अंतिम पद, l, 20 से विभाज्य सबसे बड़ी तीन-अंकीय संख्या है, जो 980 है। सार्व अंतर, d, 20 है।

पदों की संख्या, n, ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी के nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं: l = a + (n - 1)d

मान रखने पर: 980 = 100 + (n - 1) × 20 880 = (n - 1) × 20 n - 1 = 44 n = 45

समांतर श्रेणी का योग, S, सूत्र द्वारा दिया जाता है: S = n/2 × (a + l)

मान रखने पर: S = 45/2 × (100 + 980) S = 45/2 × 1080 S = 45 × 540 S = 24300

व्याख्या

नए व्यक्ति का वजन, नए व्यक्ति के शामिल होने से पहले और बाद में समूह के कुल वजन के बीच का अंतर ज्ञात करके सीधे गणना की जा सकती है।

10 व्यक्तियों का कुल वजन = 10 × 40 = 400 किलोग्राम 11 व्यक्तियों का कुल वजन = 11 × 42 = 462 किलोग्राम

नए व्यक्ति का वजन = 11 व्यक्तियों का कुल वजन - 10 व्यक्तियों का कुल वजन नए व्यक्ति का वजन = 462 - 400 = 62 किलोग्राम

वैकल्पिक रूप से, औसत परिवर्तन शॉर्टकट का उपयोग करके: नए व्यक्ति का वजन = नया औसत + (व्यक्तियों की प्रारंभिक संख्या × औसत में वृद्धि) नए व्यक्ति का वजन = 42 + 10 × (42 - 40) = 42 + 20 = 62 किलोग्राम

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (identity) की समस्याओं के लिए, A = 90° जैसे मानक कोण का प्रतिस्थापन सबसे तेज़ समाधान प्रदान करता है।

A = 90° पर: cosec A = cosec 90° = 1 cos A = cos 90° = 0 cot A = cot 90° = 0

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cosec A (1 - cos A)(cosec A + cot A) = 1 × (1 - 0) × (1 + 0) = 1 × 1 × 1 = 1

वैकल्पिक रूप से, मानक त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके: cosec A (1 - cos A)(cosec A + cot A) = (1/sin A) × (1 - cos A) × (1/sin A + cos A/sin A) = (1/sin A) × (1 - cos A) × ((1 + cos A)/sin A) = (1 - cos² A)/sin² A = sin² A/sin² A = 1

व्याख्या

समय (T) ज्ञात करने के लिए, हम पहले मूलधन (P) को मिश्रधन (A) से घटाकर साधारण ब्याज (SI) की गणना करते हैं:

SI = मिश्रधन - मूलधन SI = 20000 - 12500 = 7500

साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 7500 = (12500 × 8 × T) / 100 7500 = 125 × 8 × T 7500 = 1000 × T T = 7500 / 1000 T = 7.5 वर्ष

व्याख्या

सही उत्तर: D

लड़कों और लड़कियों का प्रारंभिक अनुपात 5:4 है, जो कुल 5 + 4 = 9 इकाइयों का प्रतिनिधित्व करता है।

चूंकि छात्रों की कुल संख्या 414 है, इसलिए 1 इकाई का मान इस प्रकार गणना की जाती है: 1 इकाई = 414 ÷ 9 = 46 छात्र

चूंकि ठीक 46 और लड़के प्रवेश लेते हैं, यह अनुपात में लड़कों के हिस्से में ठीक 1 इकाई जोड़ने के बराबर है।

लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात है: (5 + 1) : 4 = 6 : 4 = 3 : 2

व्याख्या

एक सिलेंडर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

यहां, आधार की त्रिज्या r 7 सेमी है और ऊंचाई h 5 सेमी है। π = 22/7 का उपयोग करते हुए:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 5) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 12 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 12 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 528 सेमी²

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम BODMAS (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) नियम लागू करते हैं। व्यंजक को एक अंश और एक हर के रूप में संरचित किया गया है जिसे एक भाग चिह्न से अलग किया गया है।

अंश के लिए: 3/4 ÷ 9/64 + 7/11 का 121/14 - 9/13 का 65/36

सबसे पहले, 'का' संक्रियाओं को सरल करें: 7/11 का 121/14 = (7/11) × (121/14) = 11/2 9/13 का 65/36 = (9/13) × (65/36) = 5/4

इसके बाद, भाग संक्रिया को सरल करें: 3/4 ÷ 9/64 = (3/4) × (64/9) = 16/3

पदों को संयोजित करें: 16/3 + 11/2 - 5/4 = (64 + 66 - 15) / 12 = 115/12

हर के लिए: 1/2 ÷ 4/5 + 3/4 का 16/15

सबसे पहले, 'का' संक्रिया को सरल करें: 3/4 का 16/15 = (3/4) × (16/15) = 4/5

इसके बाद, भाग संक्रिया को सरल करें: 1/2 ÷ 4/5 = (1/2) × (5/4) = 5/8

पदों को संयोजित करें: 5/8 + 4/5 = (25 + 32) / 40 = 57/40

अंश को हर से विभाजित करना: (115/12) ÷ (57/40) = (115/12) × (40/57) = (115 × 10) / (3 × 57) = 1150/171

व्याख्या

वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या OQ, बिंदु Q पर स्पर्शरेखा PQ के लंबवत है, जिससे त्रिभुज OQP, Q पर एक समकोण त्रिभुज बन जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: OP² = OQ² + PQ²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: OP² = 5² + 12² OP² = 25 + 144 OP² = 169 OP = √169 = 13 सेमी

व्याख्या

किसी भी अंकगणितीय श्रेणी, जैसे क्रमागत सम संख्याओं का औसत, उसके मध्य पद (पदों की विषम संख्या के लिए) या दो मध्य पदों के औसत (पदों की सम संख्या के लिए) के बराबर होता है।

पहली 5 क्रमागत सम संख्याएँ x, x + 2, x + 4, x + 6, और x + 8 मान लीजिए। इन 5 संख्याओं का औसत मध्य पद है, जो कि x + 4 है। अतः, A = x + 4।

जब अगली 5 क्रमागत सम संख्याओं को शामिल किया जाता है, तो हमारे पास कुल 10 क्रमागत सम संख्याएँ होती हैं: x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8, x + 10, x + 12, x + 14, x + 16, और x + 18।

इन 10 संख्याओं का औसत दो मध्य पदों का औसत है, जो 5वां और 6ठा पद हैं:

औसत = ((x + 8) + (x + 10)) / 2 = (2x + 18) / 2 = x + 9

हम x + 9 को A के पदों में पुनः लिख सकते हैं: x + 9 = (x + 4) + 5 = A + 5

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cos² A = 1 - sin² A

दिया गया है sin A = 6/7, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: cos² A = 1 - (6/7)² cos² A = 1 - 36/49 cos² A = (49 - 36)/49 cos² A = 13/49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: cos A = √13 / 7

चूंकि sec A, cos A का व्युत्क्रम है: sec A = 1 / cos A sec A = 7 / √13

व्याख्या

मान लीजिए कि कार्यालय की दूरी D है, और सामान्य रूप से लिया गया समय T घंटे है।

जब S₁ = 80 किमी/घंटा की गति से यात्रा की जाती है, तो व्यक्ति 60 मिनट (1 घंटा) जल्दी पहुँचता है, इसलिए लिया गया समय T - 1 है। जब S₂ = 50 किमी/घंटा की गति से यात्रा की जाती है, तो व्यक्ति 48 मिनट (48/60 = 4/5 घंटे) देर से पहुँचता है, इसलिए लिया गया समय T + 4/5 है।

चूंकि दूरी स्थिर है: S₁ × (T - 1) = S₂ × (T + 4/5) 80 × (T - 1) = 50 × (T + 4/5) 80T - 80 = 50T + 40 30T = 120 T = 4 घंटे

दूरी D ज्ञात करने के लिए T को वापस प्रतिस्थापित करने पर: D = 80 × (4 - 1) = 240 किमी

सामान्य समय T पर पहुँचने के लिए आवश्यक गति है: गति = D / T = 240 / 4 = 60 किमी/घंटा

व्याख्या

चरों के बीच संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: P = Q + Q का 20% = 1.2 × Q Q = R - R का 30% = 0.7 × R

दिया गया है कि P = 420, हम Q ज्ञात कर सकते हैं: 1.2 × Q = 420 Q = 420 ÷ 1.2 Q = 350

अब, R ज्ञात करने के लिए Q का मान प्रतिस्थापित करें: 0.7 × R = 350 R = 350 ÷ 0.7 R = 500

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (100 - छूट%)/100

दिया गया है: SP = रु. 1,260 छूट = 40%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1,260 = MP × (100 - 40)/100 1,260 = MP × 60/100 1,260 = MP × 0.6

MP के लिए हल करने पर:

MP = 1,260 ÷ 0.6 MP = 2,100

व्याख्या

सही उत्तर: C

दिया गया समीकरण है: (2cos³ A - cos A) / (sin A - 2sin³ A) = 1

दोनों पक्षों को वज्रगुणा करने पर: 2cos³ A - cos A = sin A - 2sin³ A

घनीय पदों को एक साथ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2sin³ A + 2cos³ A = sin A + cos A 2(sin³ A + cos³ A) = sin A + cos A

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करने पर: 2(sin A + cos A)(sin² A - sin A cos A + cos² A) = sin A + cos A

चूंकि sin² A + cos² A = 1, यह सरल हो जाता है: 2(sin A + cos A)(1 - sin A cos A) = sin A + cos A

न्यून कोण A के लिए (sin A + cos A) से दोनों पक्षों को विभाजित करने पर: 2(1 - sin A cos A) = 1 2 - 2sin A cos A = 1 2sin A cos A = 1

द्विगुण कोण सर्वसमिका sin(2A) = 2sin A cos A का उपयोग करने पर: sin(2A) = 1

चूंकि sin 90° = 1: 2A = 90° A = 45°

व्याख्या

किसी लेख पर नुकसान की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: नुकसान = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य।

प्रत्येक व्यक्तिगत लेख के लिए नुकसान की गणना: लेख P पर नुकसान = 300 - 250 = 50 लेख Q पर नुकसान = 400 - 375 = 25 लेख R पर नुकसान = 350 - 250 = 100 लेख S पर नुकसान = 500 - 350 = 150

सभी चार लेखों के लिए कुल नुकसान = 50 + 25 + 100 + 150 = 325

औसत नुकसान कुल नुकसान को लेखों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत नुकसान = कुल नुकसान / लेखों की कुल संख्या औसत नुकसान = 325 / 4 = 81.25

व्याख्या

मान लीजिए B की दक्षता प्रति दिन 5 इकाई है। चूँकि A, B की तुलना में 20% अधिक कुशल है, A की दक्षता प्रति दिन 6 इकाई है।

उनकी संयुक्त दैनिक दक्षता 6 + 5 = 11 इकाई प्रति दिन है।

चूँकि वे मिलकर कार्य को 20 दिनों में पूरा करते हैं, कुल कार्य है: कुल कार्य = संयुक्त दक्षता × समय = 11 × 20 = 220 इकाई

B द्वारा अकेले इस कुल कार्य को पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: B के लिए समय = कुल कार्य ÷ B की दक्षता = 220 ÷ 5 = 44 दिन

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: K / (K² - 2K + 1) = 1/6

दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर: (K² - 2K + 1) / K = 6

प्रत्येक पद को K से विभाजित करने पर: K - 2 + 1/K = 6 K + 1/K = 8

K³ + 1/K³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (K + 1/K)³ = K³ + 1/K³ + 3(K + 1/K)

इस सर्वसमिका में K + 1/K = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: 8³ = K³ + 1/K³ + 3(8) 512 = K³ + 1/K³ + 24 K³ + 1/K³ = 512 - 24 K³ + 1/K³ = 488

व्याख्या

चूंकि ΔABC, ΔPQR के समरूप है, इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर होता है। संगत भुजाएँ BC = 8 सेमी और QR = 16 सेमी दी गई हैं, समरूपता का पैमाना k है: k = QR / BC = 16 / 8 = 2

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके पैमाने के वर्ग के बराबर होता है: Area(ΔPQR) / Area(ΔABC) = k² = 2² = 4 Area(ΔPQR) = 4 × Area(ΔABC)

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, जिसकी भुजाएँ a = 8 सेमी, b = 10 सेमी और c = 4 सेमी हैं, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: अर्ध-परिमाप s = (a + b + c) / 2 = (8 + 10 + 4) / 2 = 11 सेमी Area(ΔABC) = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) Area(ΔABC) = √(11 × (11 - 8) × (11 - 10) × (11 - 4)) Area(ΔABC) = √(11 × 3 × 1 × 7) = √231 सेमी²

ΔPQR का क्षेत्रफल है: Area(ΔPQR) = 4 × √231 = 4√231 सेमी²

व्याख्या

वृत्तों के डिग्री माप प्रमेय के अनुसार, किसी चाप या जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप या जीवा द्वारा वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

मान लीजिए जीवा AB द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण θ_केंद्र = 140° है। मान लीजिए जीवा AB द्वारा दीर्घ चाप पर बनाया गया कोण θ_चाप है।

प्रमेय का उपयोग करके: θ_केंद्र = 2 × θ_चाप

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 140° = 2 × θ_चाप θ_चाप = 140° / 2 θ_चाप = 70°

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

दिए गए मानों, (a + b) = 16 और a³ + b³ = 1456 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 1456 = 16³ - 48ab

चूंकि 16³ = 4096 है, समीकरण बन जाता है: 1456 = 4096 - 48ab

ab को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 48ab = 4096 - 1456 48ab = 2640 ab = 2640 / 48 ab = 55

व्याख्या

हानि पर बेची गई वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

SP = CP × (100 - हानि%)/100

यहाँ, घड़ी का क्रय मूल्य (CP) Rs. 4,000 है और हानि प्रतिशत 13% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

SP = 4000 × (100 - 13)/100 SP = 4000 × 87/100 SP = 40 × 87 SP = 3480

घड़ी का विक्रय मूल्य Rs. 3,480 है।

व्याख्या

जब कोई ट्रेन विपरीत दिशा में चल रहे व्यक्ति को पार करती है, तो सापेक्ष गति ट्रेन की गति और व्यक्ति की गति का योग होती है।

मान लीजिए व्यक्ति की गति v मी/से है। ट्रेन की गति 8v मी/से है। सापेक्ष गति 8v + v = 9v मी/से है।

व्यक्ति को पार करने के लिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है, जो 1800 मीटर है, और लिया गया समय 10 सेकंड है।

गति-दूरी-समय संबंध का उपयोग करके: सापेक्ष गति = दूरी / समय 9v = 1800 / 10 9v = 180 v = 20 मी/से

ट्रेन की गति है: 8v = 8 × 20 = 160 मी/से

गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: ट्रेन की गति = 160 × 18/5 = 32 × 18 = 576 किमी/घंटा।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और RS 30 सेमी लंबाई की जीवा है।

यदि OM, O से RS पर लंब है, तो दूरी OM 20 सेमी है, और M, RS को समद्विभाजित करता है। इसलिए, RM की लंबाई RS की आधी है: RM = 30/2 = 15 सेमी

समकोण त्रिभुज OMR में, त्रिज्या r (जो कर्ण OR है) की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: r² = OM² + RM² r² = 20² + 15² r² = 400 + 225 r² = 625 r = 25 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: व्यास = 2 × r = 2 × 25 = 50 सेमी

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (a³ - b³) / (a² + b² + ab) = a - b

इस सामान्य सूत्र की दी गई समीकरण से तुलना करने पर: ((17)³ - (7)³) / (17² + 7² + k) = 10

हम a = 17 और b = 7 प्रतिस्थापित कर सकते हैं। चूँकि a - b = 17 - 7 = 10 है, दिए गए व्यंजक के हर को बीजगणितीय पद (a² + b² + ab) के बराबर होना चाहिए।

हरों की तुलना करने पर: 17² + 7² + k = 17² + 7² + 17 × 7

पदों की सीधे तुलना करने पर प्राप्त होता है: k = 17 × 7 = 119

व्याख्या

दिया गया व्यंजक S = (4² - 3²) + (6² - 5²) + (8² - 7²) + ... + (92² - 91²) है।

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम प्रत्येक युग्मित पद को सरल बना सकते हैं: 4² - 3² = (4 - 3)(4 + 3) = 1 × 7 = 7 6² - 5² = (6 - 5)(6 + 5) = 1 × 11 = 11 8² - 7² = (8 - 7)(8 + 7) = 1 × 15 = 15 92² - 91² = (92 - 91)(92 + 91) = 1 × 183 = 183

इन सरलीकृत मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक एक समांतर श्रेणी बन जाता है: S = 7 + 11 + 15 + ... + 183

इस समांतर श्रेणी के लिए, पहला पद (a) 7 है, सार्व अंतर (d) 4 है, और अंतिम पद (l) 183 है।

पदों की संख्या (n) की गणना सूत्र l = a + (n - 1)d का उपयोग करके की जाती है: 183 = 7 + (n - 1) × 4 176 = (n - 1) × 4 n - 1 = 44 n = 45

समांतर श्रेणी का योग सूत्र S = (n / 2) × (a + l) द्वारा दिया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S = (45 / 2) × (7 + 183) S = (45 / 2) × 190 S = 45 × 95 S = 4275

व्याख्या

मान लीजिए P, Q और R के हिस्से क्रमशः P, Q और R हैं। कुल राशि P + Q + R = 43120 है।

पहली शर्त के अनुसार, P, Q और R के संयुक्त हिस्से का 4/7 है: P = 4/7 (Q + R) P / (Q + R) = 4/7

बाईं ओर अंश और हर दोनों में P जोड़ने पर कुल राशि का P से अनुपात प्राप्त होता है: P / (P + Q + R) = 4 / (4 + 7) = 4/11 P = 4/11 × 43120 = 15680

दूसरी शर्त के अनुसार, Q, P और R के संयुक्त हिस्से का 2/5 है: Q = 2/5 (P + R) Q / (P + R) = 2/5

इसी प्रकार, कुल राशि का Q से अनुपात है: Q / (P + Q + R) = 2 / (2 + 5) = 2/7 Q = 2/7 × 43120 = 12320

R का हिस्सा कुल राशि में से P और Q के हिस्सों का योग घटाकर प्राप्त होता है: R = 43120 - (15680 + 12320) R = 43120 - 28000 R = 15120

व्याख्या

जब x% का क्रमिक मार्कअप और y% की छूट होती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन = x - y - (x × y) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना, जहाँ मार्कअप x = 20 और छूट y = 10 है:

शुद्ध परिवर्तन = 20 - 10 - (20 × 10) / 100 शुद्ध परिवर्तन = 10 - 2 = 8%

चूंकि परिणाम सकारात्मक है, यह 8% लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

s भुजा वाले घन का आयतन V = s³ द्वारा दिया जाता है।

चूंकि पिघलने की प्रक्रिया के दौरान धातु का कोई नुकसान नहीं होता है, इसलिए नए एकल घन का आयतन तीन अलग-अलग धात्विक घनों के आयतनों के योग के बराबर होता है।

तीन छोटे घनों का कुल आयतन = 6³ + 8³ + 10³ कुल आयतन = 216 + 512 + 1000 = 1728 सेमी³

मान लीजिए S नए बने घन की भुजा की लंबाई है। S³ = 1728 S = ∛1728 = 12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए X, Y और Z द्वारा प्राप्त अंक क्रमशः x, y और z हैं।

दी गई शर्त के अनुसार, x और y का औसत, y और z के औसत से 35 कम है: (x + y)/2 = (y + z)/2 - 35

पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर: x + y = y + z - 70

y को दोनों पक्षों से घटाने पर संबंध सरल हो जाता है: x = z - 70

यह देखते हुए कि Z द्वारा प्राप्त अंक 85 हैं, समीकरण में z = 85 प्रतिस्थापित करें: x = 85 - 70 = 15

व्याख्या

मान लीजिए CP_P, CP_Q, और CP_R क्रमशः P, Q, और R के क्रय मूल्यों को दर्शाते हैं।

P, Q को 30% लाभ पर बोतल बेचता है, इसलिए Q का क्रय मूल्य है: CP_Q = CP_P × 1.3

Q, R को 20% लाभ पर बोतल बेचता है, इसलिए R का क्रय मूल्य है: CP_R = CP_Q × 1.2

CP_Q को CP_R के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: CP_R = CP_P × 1.3 × 1.2 = 1.56 × CP_P

P और R के क्रय मूल्यों का अनुपात है: CP_P : CP_R = 1 : 1.56 = 100 : 156

अनुपात के दोनों पदों को 4 से विभाजित करने पर यह 25:39 हो जाता है।

व्याख्या

सही उत्तर: B

2 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: SI = राशि - मूलधन = 13,200 - 12,000 = 1,200

साधारण ब्याज के तहत, जब मूलधन और समय अवधि स्थिर रहती है, तो अर्जित ब्याज सीधे ब्याज दर के समानुपाती होता है: SI = (P × R × T) / 100

यदि मूलधन और समय अपरिवर्तित रहते हुए ब्याज दर दोगुनी कर दी जाए, तो अर्जित ब्याज भी दोगुना हो जाएगा: नया SI = 2 × 1,200 = 2,400

नई राशि है: नई राशि = मूलधन + नया SI = 12,000 + 2,400 = 14,400

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec² θ - tan² θ = 1 (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1

हम दिए गए व्यंजक के अंश में 1 को इस प्रकार लिख सकते हैं: tan θ - sec θ + 1 = -(sec θ - tan θ) + (sec² θ - tan² θ) = -(sec θ - tan θ) + (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ - 1)

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (tan θ - sec θ + 1) / (tan θ + sec θ - 1) = (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ - 1) / (tan θ + sec θ - 1)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (sec θ + tan θ - 1) को रद्द करने पर: sec θ - tan θ

sec θ और tan θ को sine और cosine के पदों में व्यक्त करने पर: sec θ - tan θ = 1/cos θ - sin θ/cos θ = (1 - sin θ) / cos θ

अंश और हर को (1 + sin θ) से गुणा करने पर: ((1 - sin θ)(1 + sin θ)) / (cos θ (1 + sin θ)) = (1 - sin² θ) / (cos θ (1 + sin θ)) = cos² θ / (cos θ (1 + sin θ)) = cos θ / (1 + sin θ)

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करते हुए, भाग (÷ द्वारा दर्शाया गया) और गुणा संक्रियाएँ बाएं से दाएं की जाती हैं।

व्यंजक A के लिए: A = (18 ÷ 9 × 4) / (15 ÷ 3 × 5) A का अंश = 18 ÷ 9 × 4 = 2 × 4 = 8 A का हर = 15 ÷ 3 × 5 = 5 × 5 = 25 अतः, A = 8 / 25

व्यंजक B के लिए: B = (18 ÷ 36 × 3 + 5 × 1 - 6) / (18 ÷ 6 × 20 - 3 × 4 + 12) B का अंश = (18 ÷ 36) × 3 + 5 - 6 = 0.5 × 3 + 5 - 6 = 1.5 + 5 - 6 = 0.5 B का हर = (18 ÷ 6) × 20 - 12 + 12 = 3 × 20 = 60 अतः, B = 0.5 / 60 = 1 / 120

अब, A और B को जोड़ने पर: A + B = 8 / 25 + 1 / 120 600 का एक सामान्य हर ज्ञात करने पर: A + B = (8 × 24) / 600 + (1 × 5) / 600 A + B = 192 / 600 + 5 / 600 A + B = 197 / 600

व्याख्या

मान लीजिए रमन की प्रारंभिक आय ₹100 है। चूँकि वह अपनी आय का 50% खर्च करता है, उसका प्रारंभिक व्यय ₹50 है और उसकी प्रारंभिक बचत ₹50 है।

जब उसकी आय 10% बढ़ जाती है, तो नई आय हो जाती है: 100 + (100 का 10%) = ₹110

जब उसका व्यय 10% बढ़ जाता है, तो नया व्यय हो जाता है: 50 + (50 का 10%) = ₹55

नई बचत नई आय और नए व्यय के बीच का अंतर है: नई बचत = 110 - 55 = ₹55

बचत में वृद्धि है: 55 - 50 = ₹5

बचत में प्रतिशत वृद्धि है: (बचत में वृद्धि / प्रारंभिक बचत) × 100 (5 / 50) × 100 = 10%

वैकल्पिक रूप से, चूँकि आय व्यय और बचत का योग है, यदि आय और व्यय दोनों में समान प्रतिशत की वृद्धि होती है, तो बचत में भी उसी 10% की वृद्धि होनी चाहिए।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले दो समान वृत्तों के लिए जो एक दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि प्रत्येक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, उभयनिष्ठ जीवा L की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = r√3

दिया गया है कि उभयनिष्ठ जीवा L = 16√3 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

16√3 = r√3

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

r = 16 सेमी

व्याख्या

एक साथ काम करने वाले व्यक्तियों के मजदूरी का हिस्सा उनकी दक्षता के अनुपात में वितरित किया जाता है, जो प्रत्येक द्वारा व्यक्तिगत रूप से काम पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रम अनुपात के बराबर होता है।

A, B और C द्वारा लिए गए समय का अनुपात = 10 : 20 : 30

उनकी दक्षता और कमाई का अनुपात = 1/10 : 1/20 : 1/30

10, 20 और 30 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 60 है, से प्रत्येक पद को गुणा करने पर कमाई का सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है: A : B : C का अनुपात = 6 : 3 : 2

कुल अनुपात भाग = 6 + 3 + 2 = 11 भाग

दिया गया है कि कुल कमाई रु.1,100 है: 11 भाग = रु.1,100 1 भाग = रु.100

A और C की संयुक्त कमाई और B की कमाई के बीच का अंतर है: (A की कमाई + C की कमाई) - B की कमाई = (6 + 2) - 3 = 5 भाग

1 भाग का मान रखने पर: 5 भाग = 5 × रु.100 = रु.500

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में मानक त्रिकोणमितीय मान cot 60° = 1/√3 और cot 30° = √3 को प्रतिस्थापित करने पर:

अंश: cot 60° - cot 30° = 1/√3 - √3 = (1 - 3)/√3 = -2/√3

हर: 1 + cot 60° · cot 30° = 1 + (1/√3) × √3 = 1 + 1 = 2

अंश को हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

(-2/√3) ÷ 2 = -1/√3

व्याख्या

वृत्त के गुणों के अनुसार, जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण परिधि पर किसी भी बिंदु पर जीवा द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

यह देखते हुए कि जीवा AB द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण 90° है, AB द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण है: 2 × 90° = 180°

180° का कोण बनाने वाली जीवा वृत्त के केंद्र पर व्यास होती है।

व्यास की लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है: AB = 2 × r

दी गई त्रिज्या 8 सेमी रखने पर: AB = 2 × 8 = 16 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

चूंकि SE और TF त्रिभुज STU की माध्यिकाएँ हैं जो O पर प्रतिच्छेद करती हैं, O त्रिभुज का केंद्रक है। केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

इस प्रकार, हम खंड OE और TO की लंबाई की गणना कर सकते हैं: OE = (1/3) × SE = (1/3) × 24 = 8 सेमी TO = (2/3) × TF = (2/3) × 22.5 = 15 सेमी

चूंकि SE भुजा UT की माध्यिका है, E, UT का मध्य बिंदु है। इसलिए: ET = UT / 2 = 34 / 2 = 17 सेमी

त्रिभुज OET में, भुजाओं की लंबाई OE = 8 सेमी, TO = 15 सेमी और ET = 17 सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को लागू करना: OE² + TO² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ET² = 17² = 289

चूंकि OE² + TO² = ET², त्रिभुज OET एक समकोण त्रिभुज है जिसमें O पर समकोण है। अतः, ∠TOE = 90°।

व्याख्या

दी गई संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम उनके भिन्नात्मक घातांकों को एक सामान्य हर में परिवर्तित करते हैं। घातांक 1/6, 1/3, और 1/4 हैं। हर 6, 3, और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है।

हम उनके मानों की तुलना करने के लिए प्रत्येक संख्या को 12 की घात तक बढ़ाते हैं:

((125)¹/⁶)¹² = 125² = 15625

((11)¹/³)¹² = 11⁴ = 14641

((12)¹/⁶)¹² = 12² = 144

((5)¹/⁴)¹² = 5³ = 125

इन परिणामों की तुलना करने पर, 15625 सबसे बड़ा मान है, जिसका अर्थ है कि (125)¹/⁶ सबसे बड़ी संख्या है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

a + 1/a = 4

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (a + 1/a)² = 4² a² + 2 + 1/a² = 16 a² + 1/a² = 14

इस परिणाम का एक बार फिर वर्ग करने पर: (a² + 1/a²)² = 14² a⁴ + 2 + 1/a⁴ = 196 a⁴ + 1/a⁴ = 194

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: cot 30° = √3 tan 60° = √3 cot 60° = 1/√3 tan 30° = 1/3? नहीं, tan 30° = 1/√3

इन मानों को A के लिए दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: A = cot 30° tan 60° + cot 60° tan 30° A = (√3 × √3) + (1/√3 × 1/√3) A = 3 + 1/3 A = 10/3

व्याख्या

प्रति वर्ष लाभ की गणना मूलधन पर लागू उधार लेने और देने की ब्याज दरों के अंतर से की जाती है।

उधार लेने की दर 6% प्रति वर्ष है और उधार देने की दर 8.5% प्रति वर्ष है। प्रति वर्ष लाभ की शुद्ध दर इन दो दरों के बीच का अंतर है: प्रति वर्ष लाभ की शुद्ध दर = 8.5% - 6% = 2.5%

एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, प्रति वर्ष लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रति वर्ष लाभ = मूलधन × प्रति वर्ष लाभ की शुद्ध दर प्रति वर्ष लाभ = 20000 × 2.5/100 प्रति वर्ष लाभ = 20000 × 0.025 = 500

इस प्रकार, व्यक्ति को प्रति वर्ष 500 रुपये का लाभ होता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य C है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य S है।

प्रश्न के अनुसार, 44 वस्तुओं का क्रय मूल्य x वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है: 44 × C = x × S S / C = 44 / x

लाभ 10% है, जो विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच संबंध देता है: S = C × (1 + 10/100) S = 1.1 × C S / C = 1.1

S / C के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 44 / x = 1.1 x = 44 / 1.1 x = 40

व्याख्या

एक वृत्त में, स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत होती है। इसका मतलब है कि त्रिज्या OU, स्पर्शरेखा XU के लंबवत है, जिससे कोण OU X 90° के बराबर हो जाता है।

परिणामस्वरूप, त्रिभुज OU X एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण OX है। त्रिभुज OU X पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

OX² = OU² + XU²

दिए गए मानों, OU = 8 सेमी और XU = 15 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

OX² = 8² + 15² OX² = 64 + 225 OX² = 289 OX = √289 = 17 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - 1/x = 4 से, हम पहले व्यंजक का वर्ग करके और फिर परिणाम का घन करके x⁶ + 1/x⁶ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - 1/x)² = 4² x² + 1/x² - 2 = 16 x² + 1/x² = 18

अब, हम घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b), जहाँ a = x² और b = 1/x²: x⁶ + 1/x⁶ = (x² + 1/x²)³ - 3(x²)(1/x²)(x² + 1/x²) x⁶ + 1/x⁶ = (x² + 1/x²)³ - 3(x² + 1/x²)

x² + 1/x² = 18 के मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x⁶ + 1/x⁶ = 18³ - 3(18) x⁶ + 1/x⁶ = 5832 - 54 x⁶ + 1/x⁶ = 5778

व्याख्या

जब r त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है, तो दो नए वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट (cross-sections) बनते हैं। प्रत्येक नए वृत्ताकार फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल πr² होता है।

इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि इन दो नए वृत्ताकार फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होती है: क्षेत्रफल में वृद्धि = 2πr²

दिया गया है कि गोले का व्यास 7 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 7/2 सेमी है।

मान रखने पर: क्षेत्रफल में वृद्धि = 2 × (22/7) × (7/2) × (7/2) क्षेत्रफल में वृद्धि = 2 × (22/7) × (49/4) क्षेत्रफल में वृद्धि = 77 सेमी²