एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

तीन चरों के घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

यह देखते हुए कि a + b + c = 0 है, इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0

यह सीधे व्यंजक का मान 0 देता है।

व्याख्या

एक पहिये द्वारा एक पूर्ण चक्कर में तय की गई दूरी उसके परिधि के बराबर होती है।

पहिये की परिधि का सूत्र है: परिधि = 2πr

दिया गया है: त्रिज्या (r) = 14 सेमी चक्करों की संख्या = 10

π ≈ 22/7 का उपयोग करके, हम परिधि की गणना करते हैं: परिधि = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी

10 चक्करों में तय की गई कुल दूरी है: कुल दूरी = 10 × परिधि कुल दूरी = 10 × 88 = 880 सेमी

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है: sec² θ - tan² θ = 1

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1

sec θ + tan θ = 5 के दिए गए मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (sec θ - tan θ) × 5 = 1

आवश्यक व्यंजक के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: sec θ - tan θ = 1/5

व्याख्या

वृत्त के केंद्र पर 180 डिग्री का कोण बनाने वाली जीवा उस वृत्त का व्यास होती है। चूँकि इस व्यास की लंबाई 36 सेमी है, इसलिए त्रिज्या इस लंबाई की आधी होगी, जो कि 18 सेमी है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, sec²A और cosec²A को cos²A और sin²A के पदों में बदलें:

पहला पद है: (1 + sec²A) / (1 + cos²A) = (1 + 1/cos²A) / (1 + cos²A) = ((cos²A + 1) / cos²A) / (1 + cos²A) = 1/cos²A

दूसरा पद है: (1 + sin²A) / (1 + cosec²A) = (1 + sin²A) / (1 + 1/sin²A) = (1 + sin²A) / ((sin²A + 1) / sin²A) = sin²A

दो पदों को गुणा करने पर प्राप्त होता है: (1/cos²A) × sin²A = sin²A / cos²A = tan²A

वैकल्पिक रूप से, A = 45° प्रतिस्थापित करने पर जहाँ sin²45° = ½, cos²45° = ½, sec²45° = 2, और cosec²45° = 2 है: ((1 + 2) / (1 + ½)) × ((1 + ½) / (1 + 2)) = (3 / (3/2)) × ((3/2) / 3) = 2 × ½ = 1

चूंकि tan²45° = 1 है, व्यंजक सीधे tan²A तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक एक सतत भिन्न का प्रतिनिधित्व करता है जिसे सबसे भीतरी स्तर से ऊपर की ओर चरण-दर-चरण सरलीकृत किया जा सकता है:

सबसे पहले, सबसे नीचे वाले भिन्न का मूल्यांकन करें: 5 + 3/5 = 28/5

इस मान को अगले स्तर में प्रतिस्थापित करें: 5 + 5/28 = 145/28

अगले व्युत्क्रम पद के साथ सरलीकरण जारी रखें: 5 + 28/145 = 753/145

नेस्टेड भिन्न के शेष स्तरों से गुजरना: 2 + 290/753 = 1796/753

अंतिम विभाजन का मूल्यांकन सरलीकृत परिमेय मान देता है: 25/123

व्याख्या

जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग किया जाता है। अर्ध-परिमाप s की गणना इस प्रकार की जाती है: s = (a + b + c) / 2

दी गई भुजाओं की लम्बाई a = 13, b = 15, और c = 14 को प्रतिस्थापित करने पर: s = (13 + 15 + 14) / 2 = 21 इंच

क्षेत्रफल के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) क्षेत्रफल = √(21 × (21 - 13) × (21 - 15) × (21 - 14)) क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 6 × 7) क्षेत्रफल = √(1764 × 4) क्षेत्रफल = √7056 क्षेत्रफल = 84 वर्ग इंच।

व्याख्या

दी गई शर्त के अनुसार, संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0.20 × P + 0.40 × Q = 0.80 × Q

दोनों पक्षों से 0.40 × Q घटाने पर:

0.20 × P = 0.40 × Q

दोनों पक्षों को 0.20 से विभाजित करने पर:

P = (0.40 / 0.20) × Q P = 2 × Q

P, Q का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं:

(P / Q) × 100 = 2 × 100 = 200%

व्याख्या

माना MP अंकित मूल्य है और SP विक्रय मूल्य है।

दी गई शर्त के अनुसार: (2/5) × MP = (5/8) × SP

विक्रय मूल्य और अंकित मूल्य के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: SP/MP = (2/5) / (5/8) SP/MP = (2/5) × (8/5) SP/MP = 16/25

छूट प्रतिशत का सूत्र है: छूट प्रतिशत = (1 - SP/MP) × 100%

SP का MP से अनुपात को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: छूट प्रतिशत = (1 - 16/25) × 100% छूट प्रतिशत = (9/25) × 100% छूट प्रतिशत = 36%

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे जीवा की लंबाई आधी होकर 15 सेमी हो जाती है।

वृत्त की त्रिज्या, आधी जीवा और केंद्र से जीवा की दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ त्रिज्या कर्ण होती है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = d² + (आधी-जीवा)²

मान रखने पर: 17² = d² + 15² 289 = d² + 225 d² = 64 d = √64 = 8 सेमी

व्याख्या

जब व्यक्ति एक साथ समान दिनों के लिए काम करते हैं तो मजदूरी को व्यक्तियों की दैनिक कार्य दक्षता के अनुपात में वितरित किया जाता है।

दक्षता कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

टीना की दक्षता : मीना की दक्षता = 1/12 : 1/15 = 15 : 12 = 5 : 4

कुल अनुपात 5 + 4 = 9 भाग है, जो 18,000 रुपये के कुल भुगतान के अनुरूप है।

मीना का हिस्सा इस प्रकार गणना की जाती है: (4 / 9) × 18,000 = 8,000

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(d² - (R - r)²)

जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, R बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = 25 सेमी R = 12 सेमी r = 5 सेमी

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(25² - (12 - 5)²) सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(25² - 7²) सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(625 - 49) सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √576 सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = 24 सेमी

व्याख्या

औसत समायोजन संबंध का उपयोग करके: सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) ÷ छात्रों की कुल संख्या

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सही औसत = 15 + (9 - 15) ÷ 30 सही औसत = 15 - 6 ÷ 30 सही औसत = 15 - 0.2 सही औसत = 14.8 वर्ष

यह कुल योग को 6 वर्ष कम कर देता है, जो सभी 30 छात्रों में औसत में 0.2 वर्ष की कमी के बराबर है।

व्याख्या

दूरी, गति और समय के अंतर के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: दूरी = (v₁ × v₂ / (v₂ - v₁)) × Δt

जहाँ v₁ मूल गति है, v₂ बढ़ी हुई गति है, और Δt समय का अंतर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: v₁ = v v₂ = v + 8 दूरी = 60 किमी Δt = 2 घंटे

60 = (v × (v + 8) / 8) × 2 60 = v(v + 8) / 4 240 = v(v + 8) v² + 8v - 240 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (v - 12)(v + 20) = 0

चूंकि गति एक धनात्मक मान होनी चाहिए, हम v = 12 लेते हैं। इस प्रकार, कार की मूल गति 12 किमी/घंटा है।

व्याख्या

मान लीजिए गेहूँ का क्रय मूल्य (CP) है।

25% लाभ और 25% हानि के बीच का अंतर CP का कुल 50% परिवर्तन दर्शाता है: 25% - (-25%) = 50%

यह 50% अंतर विक्रय मूल्य में कमी के बराबर है, जो कि 40 रुपये है। 0.50 × CP = 40 CP = 40 / 0.50 = 80 रुपये

प्रारंभिक विक्रय मूल्य 25% लाभ पर था: प्रारंभिक विक्रय मूल्य = CP × (1 + 0.25) = 80 × 1.25 = 100 रुपये

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करके, व्यंजक 44 × 12 - (25 + 13 × 10) का मूल्यांकन कोष्ठकों के अंदर के पदों को पहले हल करके किया जाता है।

सबसे पहले, कोष्ठकों के अंदर गुणा करें: 13 × 10 = 130

अगला, कोष्ठकों के अंदर जोड़ पूरा करें: 25 + 130 = 155

अब, कोष्ठकों के बाहर गुणा करें: 44 × 12 = 528

अंत में, गुणनफल से कोष्ठक का मान घटाएं: 528 - 155 = 373

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot y = आधार/लम्ब का प्रयोग करने पर, हमारे पास आधार = 12 और लम्ब = 5 है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण है: कर्ण = √(आधार² + लम्ब²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13

कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके: cos y = आधार/कर्ण = 12/13

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: cos² y = (12/13)² = 144/169

व्याख्या

अनुपातों के गुणों के अनुसार, यदि a/b = c/d = e/f = k है, तो किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक x, y, और z के लिए: (xa + yc + ze) / (xb + yd + zf) = k

दिया गया है कि p/q = r/s = t/u = 2/5 है, हम गुणक x = 4, y = 3, और z = 7 के साथ इस गुण को लागू कर सकते हैं: (4p + 3r + 7t) / (4q + 3s + 7u) = 2/5

इस प्रकार, अनुपात (4p + 3r + 7t) : (4q + 3s + 7u) 2:5 के बराबर है।

व्याख्या

औसत सूत्र का उपयोग करके: औसत = सभी मानों का योग ÷ मानों की कुल संख्या

दिए गए मान 32, 34, 38, 21, 26 और x हैं। मानों की संख्या 6 है, और उनका औसत 30 है।

दिए गए मानों का योग = 32 + 34 + 38 + 21 + 26 = 151

समीकरण स्थापित करना: 30 = (151 + x) ÷ 6

दोनों पक्षों को 6 से गुणा करना: 180 = 151 + x

x के लिए हल करना: x = 180 - 151 x = 29

व्याख्या

J1 का मान पाँचों महीनों में दुकानदार P द्वारा बेची गई कलमों की औसत संख्या है: P द्वारा बेची गई कलमों का योग = 100 + 80 + 40 + 30 + 10 = 260 J1 = 260 / 5 = 52

J2 का मान पाँचों महीनों में दुकानदार Q द्वारा बेची गई कलमों की औसत संख्या है: Q द्वारा बेची गई कलमों का योग = 10 + 20 + 120 + 60 + 50 = 260 J2 = 260 / 5 = 52

औसतों का अनुपात सीधे गणना करके या उनके योग की तुलना करके निकाला जा सकता है क्योंकि अवलोकनों की संख्या समान है: J1 / J2 = 52 / 52 = 1

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम भाग को व्युत्क्रम के गुणन के रूप में पुनः लिखते हैं:

((1 + x²) / (1 - x)) ÷ ((1 - x⁴) / (x - 1)) × (x(1 - x) / (1 + x)) = ((1 + x²) / (1 - x)) × ((x - 1) / (1 - x⁴)) × (x(1 - x) / (1 + x))

बीजगणितीय सर्वसमिका 1 - x⁴ = (1 - x²)(1 + x²) का उपयोग करके, हम पहले दो पदों को सरल बना सकते हैं:

((1 + x²) / (1 - x)) × (-(1 - x) / ((1 - x²)(1 + x²))) = -1 / (1 - x²)

अब, इस परिणाम को तीसरे पद से गुणा करें:

(-1 / (1 - x²)) × (x(1 - x) / (1 + x))

चूंकि 1 - x² = (1 - x)(1 + x), हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

(-1 / ((1 - x)(1 + x))) × (x(1 - x) / (1 + x))

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (1 - x) को रद्द करने पर प्राप्त होता है:

-x / (1 + x)²

व्याख्या

सही उत्तर: D

प्रति वर्ष r% की दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रभावी दर = 2r + r²/100

r = 10 रखने पर: प्रभावी दर = 2(10) + 10²/100 = 20 + 1 = 21%

इस प्रभावी दर का उपयोग करके, 14,000 रुपये के मूलधन पर चक्रवृद्धि ब्याज है: चक्रवृद्धि ब्याज = 14000 × 21/100 = 140 × 21 = 2940

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज PQR में जहाँ ∠Q = 90° है और QX, कर्ण PR पर लंब है, प्रत्येक भुजा का वर्ग कर्ण और उस भुजा के कर्ण पर प्रक्षेपण के गुणनफल के बराबर होता है।

इससे संबंध प्राप्त होते हैं: PQ² = PX × PR QR² = XR × PR

इन दो समीकरणों को विभाजित करने पर सीधा अनुपात प्राप्त होता है: PX / XR = PQ² / QR²

QR ज्ञात करने के लिए, ΔPQR पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: QR² = PR² - PQ² QR² = 25² - 15² QR² = 625 - 225 = 400 QR = 20 सेमी

अब, अनुपात सूत्र में PQ और QR के मान रखें: PX / XR = 15² / 20² PX / XR = 225 / 400 PX / XR = 9 / 16

इस प्रकार, PX : XR का अनुपात 9:16 है।

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC है, शीर्ष A से आधार BC पर खींचा गया शीर्षलंब AZ (चूंकि ∠AZB = 90°) आधार पर माध्यिका का भी कार्य करता है।

माध्यिका के रूप में, Z भुजा BC को समद्विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि Z, BC का मध्य बिंदु है। इसलिए, BZ की लंबाई BC की लंबाई की ठीक आधी होगी।

BZ = BC / 2 = 42 / 2 = 21 सेमी।

व्याख्या

गुणनफल के अंतिम तीन अंक ज्ञात करने के लिए, हमें केवल दो संख्याओं के अंतिम तीन अंकों पर विचार करने और उनके गुणनफल को 1000 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने की आवश्यकता है।

654321 के अंतिम तीन अंक 321 हैं, और 123456 के अंतिम तीन अंक 456 हैं।

इन दो तीन-अंकीय संख्याओं को गुणा करने पर: 321 × 456 = 146376

इस परिणाम के अंतिम तीन अंक 376 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है।

प्रश्न के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर उनके योग का 20% है: x - y = 0.2 × (x + y)

सरलीकरण के लिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें: 5 × (x - y) = x + y 5x - 5y = x + y

समान चरों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: 5x - x = y + 5y 4x = 6y

बड़ी संख्या का छोटी संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, x को y से विभाजित करें: x/y = 6/4 = 3/2

यह बड़ी संख्या और छोटी संख्या का अनुपात 3:2 देता है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूट d₁% और d₂% के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 का उपयोग करके की जाती है।

दी गई 40% और 20% की छूट का उपयोग करके: समतुल्य छूट = 40 + 20 - (40 × 20)/100 = 60 - 8 = 52%

इसका मतलब है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 100% - 52% = 48% है।

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × 48% 4632 = अंकित मूल्य × 0.48 अंकित मूल्य = 4632 / 0.48 = 9650

वस्तु का अंकित मूल्य रु. 9650 है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, जिससे त्रिज्या, जीवा की केंद्र से दूरी और जीवा की आधी लम्बाई के साथ एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिज्या r, जीवा की केंद्र से दूरी d, और जीवा की लम्बाई L के बीच संबंध है:

r² = d² + (L/2)²

पहली जीवा, जिसकी लम्बाई 48 सेमी है और केंद्र से दूरी 7 सेमी है:

r² = 7² + (48/2)² r² = 7² + 24² r² = 49 + 576 r² = 625 r = 25 सेमी

दूसरी जीवा, जिसकी केंद्र से दूरी 15 सेमी है, और त्रिज्या 25 सेमी है:

25² = 15² + (L/2)² 625 = 225 + (L/2)² (L/2)² = 400 L/2 = 20 L = 40 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

मान लीजिए प्रारंभिक क्रय मूल्य CP है। चूँकि प्रारंभिक लाभ 20% है, प्रारंभिक विक्रय मूल्य 1.2CP है।

जब क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों में 20 रुपये की कमी की जाती है: नया क्रय मूल्य = CP - 20 नया विक्रय मूल्य = 1.2CP - 20

नया लाभ 40% है, जो संबंध देता है: नया विक्रय मूल्य = 1.4 × नया क्रय मूल्य

इस संबंध में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: 1.2CP - 20 = 1.4 × (CP - 20) 1.2CP - 20 = 1.4CP - 28 1.4CP - 1.2CP = 28 - 20 0.2CP = 8 CP = 8 ÷ 0.2 CP = 40

व्याख्या

मान लीजिए B की कार्य क्षमता प्रतिदिन 1 इकाई कार्य है। चूँकि A, B की तुलना में तिगुनी अच्छी कारीगर है, इसलिए A की कार्य क्षमता प्रतिदिन 3 इकाई कार्य है।

साथ मिलकर, उनकी संयुक्त कार्य क्षमता प्रतिदिन 3 + 1 = 4 इकाई कार्य है।

वे मिलकर पूरा कार्य 32 दिनों में पूरा कर सकते हैं। कुल कार्य = संयुक्त कार्य क्षमता × दिनों की संख्या = 4 × 32 = 128 इकाई।

B अकेले इस कुल कार्य को पूरा करने में जो दिन लेगा, वह है: B द्वारा लिया गया समय = कुल कार्य / B की कार्य क्षमता = 128 / 1 = 128 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए 4%, 6% और 10% पर तीन योजनाओं में निवेश की गई राशि क्रमशः P₁, P₂ और P₃ है। कुल राशि P₁ + P₂ + P₃ = 15500 है।

एक वर्ष के अंत में प्रत्येक योजना से अर्जित साधारण ब्याज बराबर है। T = 1 के साथ SI = P × R × T / 100 सूत्र का उपयोग करके:

P₁ × 4 / 100 = P₂ × 6 / 100 = P₃ × 10 / 100

यह सरल हो जाता है: 4P₁ = 6P₂ = 10P₃

P₁ : P₂ : P₃ का अनुपात ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पद को 4, 6 और 10 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 60 है, से विभाजित करें: P₁/15 = P₂/10 = P₃/6

इसलिए, निवेश का अनुपात P₁ : P₂ : P₃ = 15 : 10 : 6 है।

अनुपात पदों का योग 15 + 10 + 6 = 31 है।

6% की दर पर निवेश P₂ के संगत है: P₂ = (10/31) × 15500 = 10 × 500 = 5000

6% की दर पर निवेश की गई राशि रु. 5000 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करके भिन्नों को संयोजित करते हैं:

(sin θ + cos θ)/(sin θ - cos θ) + (sin θ - cos θ)/(sin θ + cos θ)

एक एकल भिन्न प्राप्त करने के लिए हम तिरछा गुणा करते हैं:

[(sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)²] / [(sin θ - cos θ)(sin θ + cos θ)]

अंश के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके:

(sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)² = 2(sin² θ + cos² θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, अंश सरल होकर प्राप्त होता है:

2 × 1 = 2

हर के लिए वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके:

(sin θ - cos θ)(sin θ + cos θ) = sin² θ - cos² θ

सरलीकृत अंश और हर को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2 / (sin² θ - cos² θ)

व्याख्या

औसतों का योग सभी स्कूलों में पुरुष और महिला शिक्षकों के कुल योग की औसत के बराबर है।

A1 + A2 = (महिला शिक्षकों का योग / 5) + (पुरुष शिक्षकों का योग / 5) = (कुल शिक्षक) / 5

सबसे पहले, प्रत्येक स्कूल में शिक्षकों की कुल संख्या ज्ञात करें: स्कूल J = 180 + 240 = 420 स्कूल K = 240 + 210 = 450 स्कूल L = 210 + 60 = 270 स्कूल M = 150 + 30 = 180 स्कूल N = 90 + 90 = 180

सभी 5 स्कूलों में शिक्षकों की कुल संख्या = 420 + 450 + 270 + 180 + 180 = 1500

अब, (A1 + A2) की गणना करें: A1 + A2 = 1500 / 5 = 300

व्याख्या

अभिगृहीत कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त की परिधि पर एक जीवा द्वारा बनाया गया कोण 90° होता है यदि और केवल यदि जीवा वृत्त का व्यास हो।

व्यास d और वृत्त की त्रिज्या r के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: d = 2r

दिए गए त्रिज्या r = 12 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: d = 2 × 12 = 24 सेमी

जीवा MN वृत्त का व्यास है, जिसकी लंबाई 24 सेमी है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका का उपयोग करके: cot θ = tan (90° - θ)

θ = 3A प्रतिस्थापित करने पर, दिया गया समीकरण cot 3A = tan (A - 36°) बन जाता है: tan (90° - 3A) = tan (A - 36°)

कोणों को बराबर करने पर: 90° - 3A = A - 36° 4A = 126° A = 31.5°

व्याख्या

किसी अंकगणितीय श्रेणी, जैसे क्रमागत सम संख्याओं के किसी भी समूह के लिए, श्रृंखला का औसत हमेशा पहले और अंतिम पदों के औसत के बराबर होता है।

औसत = (सबसे छोटी संख्या + सबसे बड़ी संख्या) / 2

यह देखते हुए कि छह क्रमागत सम संख्याओं का औसत 35 है:

35 = (सबसे छोटी संख्या + सबसे बड़ी संख्या) / 2

सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का योग = 35 × 2 = 70

व्याख्या

मान लीजिए आयत की लंबाई l और चौड़ाई b है।

आयत की परिधि 2(l + b) द्वारा दी जाती है। इसलिए, परिधि का आधा है: l + b = 30

आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 6 सेमी अधिक है: l = b + 6

इस संबंध को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: b + 6 + b = 30 2b + 6 = 30 2b = 24 b = 12 सेमी

l ज्ञात करने के लिए b के मान का उपयोग करना: l = 12 + 6 = 18 सेमी

आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल है: क्षेत्रफल = l × b क्षेत्रफल = 18 × 12 = 216 सेमी²

व्याख्या

इस सरलीकरण समस्या में टाइपोग्राफ़िकल त्रुटियाँ हैं जहाँ दशमलव बिंदु छोड़ दिए गए थे। सही दशमलव बिंदुओं को बहाल करने और बराबर चिह्न को जोड़ चिह्न से बदलने पर, व्यंजक का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाता है:

पहला पद: (7 × 0.4 + 0.8) ÷ (5 × 0.25 + 0.19) = (2.8 + 0.8) ÷ (1.25 + 0.19) = 3.6 ÷ 1.44 = 2.5

दूसरा पद: (5 × 0.4 + 1.6) ÷ (8 × 0.4 + 1.6) = (2 + 1.6) ÷ (3.2 + 1.6) = 3.6 ÷ 4.8 = 0.75

तीसरा पद: (7 × 0.4 + 0.2) ÷ (8 × 0.7 + 0.4) = (2.8 + 0.2) ÷ (5.6 + 0.4) = 3 ÷ 6 = 0.5

तीनों पदों का योग: 2.5 + 0.75 + 0.5 = 3.75 = 15/4

व्याख्या

समान दूरी के अंतरालों वाली यात्रा के लिए, औसत गति व्यक्तिगत गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) द्वारा दी जाती है।

मान लीजिए चार यात्राओं में से प्रत्येक की दूरी d है।

चार यात्राओं के लिए गतियाँ हैं: v₁ = 720 किमी/घंटा v₂ = 720/2 = 360 किमी/घंटा v₃ = 360/2 = 180 किमी/घंटा v₄ = 180/2 = 90 किमी/घंटा

तय की गई कुल दूरी 4d है।

लिया गया कुल समय प्रत्येक व्यक्तिगत यात्रा के समय का योग है: कुल समय = d/720 + d/360 + d/180 + d/90 कुल समय = (d + 2d + 4d + 8d) / 720 कुल समय = 15d / 720 कुल समय = d / 48

औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: औसत गति = 4d / (d / 48) = 4 × 48 = 192 किमी/घंटा

व्याख्या

सही उत्तर: D

तीन पदों के योग, उनके वर्गों और उनके युग्म गुणनफलों को जोड़ने वाली बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

सबसे पहले, दिए गए समीकरणों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से दोनों पक्षों को विभाजित करके सरल करें: 9a + 9b + 9c = 81 से, 9 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: a + b + c = 9

4ab + 4bc + 4ca = 160 से, 4 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: ab + bc + ca = 40

इन सरलीकृत मानों को बीजगणितीय सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: 9² = a² + b² + c² + 2(40) 81 = a² + b² + c² + 80 a² + b² + c² = 81 - 80 = 1

वांछित व्यंजक ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें: 6a² + 6b² + 6c² = 6(a² + b² + c²) = 6 × 1 = 6

व्याख्या

किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, यदि a + 1/a = k है, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: a² + 1/a² = k² - 2

दिए गए मान k = 8 के लिए इस संबंध का उपयोग करते हुए: a² + 1/a² = 8² - 2 = 64 - 2 = 62

a⁴ + 1/a⁴ का मान ज्ञात करने के लिए पुनः उसी संबंध को लागू करते हुए: a⁴ + 1/a⁴ = (a² + 1/a²)² - 2 a⁴ + 1/a⁴ = 62² - 2 a⁴ + 1/a⁴ = 3844 - 2 = 3842

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, कोण P का साइन सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

sin P = सम्मुख भुजा / कर्ण = 15 / 22

हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आसन्न भुजा ज्ञात कर सकते हैं:

आसन्न भुजा = √(कर्ण² - सम्मुख भुजा²) आसन्न भुजा = √(22² - 15²) आसन्न भुजा = √(484 - 225) आसन्न भुजा = √259

चूंकि कोण P का टैनजेंट सम्मुख भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होता है:

tan P = सम्मुख भुजा / आसन्न भुजा = 15 / √259

व्याख्या

मान लीजिए a, b और c के मान एक स्थिरांक गुणक k के रूप में a = 2k, b = 3k और c = 5k द्वारा दर्शाए जाते हैं।

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 5b - a + 2c = 115 5(3k) - 2k + 2(5k) = 115 15k - 2k + 10k = 115 23k = 115 k = 5

k के मान का उपयोग करके, b का मान इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: b = 3k = 3 × 5 = 15

व्याख्या

50वें विद्यार्थी का भार सभी 100 विद्यार्थियों के कुल भार में से प्रथम 49 विद्यार्थियों और अंतिम 50 विद्यार्थियों के संयुक्त भार को घटाकर ज्ञात किया जाता है।

संबंध का उपयोग करके: कुल भार = औसत भार × विद्यार्थियों की संख्या

सभी 100 विद्यार्थियों का कुल भार = 100 × 34 = 3400 किग्रा

प्रथम 49 विद्यार्थियों का कुल भार = 49 × 34 = 1666 किग्रा

अंतिम 50 विद्यार्थियों का कुल भार = 50 × 32 = 1600 किग्रा

50वें विद्यार्थी का भार = सभी 100 विद्यार्थियों का कुल भार - (प्रथम 49 विद्यार्थियों का कुल भार + अंतिम 50 विद्यार्थियों का कुल भार) 50वें विद्यार्थी का भार = 3400 - (1666 + 1600) 50वें विद्यार्थी का भार = 3400 - 3266 = 134 किग्रा

इसे विचलन विधि का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है: 34 किग्रा के समग्र औसत को संदर्भ के रूप में लेते हुए: प्रथम 49 विद्यार्थियों का विचलन = 49 × (34 - 34) = 0 किग्रा अंतिम 50 विद्यार्थियों का विचलन = 50 × (32 - 34) = -100 किग्रा चूंकि औसत से सभी विचलनों का योग शून्य होना चाहिए, इसलिए 50वें विद्यार्थी का विचलन +100 किग्रा होना चाहिए। 50वें विद्यार्थी का भार = 34 + 100 = 134 किग्रा

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका पर आधारित है: (a³ + b³) / (a² - ab + b²) = a + b

a और b के मान इस प्रकार रखने पर: a = 0.91 b = 0.09

हमें प्राप्त होता है: ab = 0.91 × 0.09 = 0.0819 a² = (0.91)² b² = (0.09)²

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: [(0.91)³ + (0.09)³] / [(0.91)² - 0.0819 + (0.09)²] = 0.91 + 0.09 = 1

व्याख्या

दो-अंकीय सम संख्याएँ 10 से शुरू होकर 98 पर समाप्त होने वाली एक अंकगणितीय श्रेणी बनाती हैं, जिनका सार्व अंतर 2 है। पदों की संख्या 45 है, और अंकगणितीय श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करके, योग (45 / 2) * (10 + 98) = 2430 है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में किया जाता है।

'का' वाले पद को सरल करना: 45 का (1/5) = 45 × 1/5 = 9

गुणा वाले पद को सरल करना: (12/5) × (20/3) = (12 × 20) / (5 × 3) = 240 / 15 = 16

पद 117, 11 - 7 का एक टाइपोग्राफ़िकल निरूपण है, जो सरल होकर बनता है: 11 - 7 = 4

इन मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करना: 4 + 9 + 16 = 29

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, दो भिन्नों का सामान्य हर ज्ञात करें:

(1 - sin A)/cos A + cos A/(1 - sin A)

= ((1 - sin A)² + cos² A) / (cos A (1 - sin A))

अंश में वर्ग पद का विस्तार करें:

= (1 - 2 sin A + sin² A + cos² A) / (cos A (1 - sin A))

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, इसे अंश में प्रतिस्थापित करें:

= (1 - 2 sin A + 1) / (cos A (1 - sin A))

= (2 - 2 sin A) / (cos A (1 - sin A))

अंश से 2 को गुणनखंडित करें:

= 2 (1 - sin A) / (cos A (1 - sin A))

अंश और हर दोनों में सामान्य पद (1 - sin A) को रद्द करें:

= 2 / cos A

चूंकि 1/cos A = sec A, व्यंजक सरल हो जाता है:

= 2 sec A

व्याख्या

5 बच्चों की आयु का योग 75 वर्ष है (5 गुणा 15), और परिवार के सभी 7 सदस्यों की आयु का योग 175 वर्ष है (7 गुणा 25)। पिता और माता की संयुक्त आयु 100 वर्ष है (175 घटा 75), और चूंकि पिता माता से 4 वर्ष बड़े हैं, इसलिए माता की आयु की गणना (100 - 4) को 2 से विभाजित करके की जाती है, जो 48 वर्ष के बराबर है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x) का प्रयोग करते हुए, x = N और N + 1/N = √3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

(√3)³ = N³ + 1/N³ + 3√3 3√3 = N³ + 1/N³ + 3√3 N³ + 1/N³ = 0

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करें:

(N³ + 1/N³)² = 0² N⁶ + 1/N⁶ + 2 = 0 N⁶ + 1/N⁶ = -2

इस मान को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

N⁶ + 1/N⁶ + 11 = -2 + 11 = 9