एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है, जो 20 / 2 = 10 सेमी है।

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, और A और B जीवा के सिरे हैं। रेखाखंड OA और OB वृत्त की त्रिज्याओं को दर्शाते हैं, इसलिए OA = OB = 10 सेमी।

जीवा AB की लंबाई 10 सेमी दी गई है। इसलिए, त्रिभुज OAB में, तीनों भुजाएँ बराबर हैं: OA = OB = AB = 10 सेमी। इससे त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है। चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण 60° होता है, इसलिए जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण AOB 60° है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × s²

मान लीजिए X, Y और Z की भुजाओं की लंबाई क्रमशः s_x, s_y और s_z है। समस्या के अनुसार, X और Y के क्षेत्रफलों का योग Z के क्षेत्रफल के बराबर है:

(√3/4) × s_x² + (√3/4) × s_y² = (√3/4) × s_z²

पूरे समीकरण को उभयनिष्ठ गुणनखंड (√3/4) से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है:

s_x² + s_y² = s_z²

इस समीकरण में दी गई भुजाओं की लंबाई s_x = 6 सेमी और s_y = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करें:

6² + 8² = s_z² 36 + 64 = s_z² 100 = s_z² s_z = √100 = 10 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए जीतन की वर्तमान आयु x है।

आज से 3 साल बाद उसकी आयु x + 3 होगी, और 8 साल पहले उसकी आयु x - 8 थी।

जीतन की वर्तमान आयु और 8 साल पहले की आयु का औसत है: (x + x - 8) / 2 = x - 4

दी गई शर्त के अनुसार, आज से 3 साल बाद उसकी आयु इस औसत की दोगुनी है: x + 3 = 2 × (x - 4) x + 3 = 2x - 8 x = 11

इसलिए, जीतन की वर्तमान आयु 11 वर्ष है।

5 साल पहले उसकी आयु थी: 11 - 5 = 6 वर्ष

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि के लिए, वार्षिक ब्याज दर आधी कर दी जाती है और चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या छह-माह के अंतराल के आधार पर गणना की जाती है।

प्रति अर्ध-वर्ष दर R = 20% ÷ 2 = 10% है। 18 महीनों के लिए चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या n = 18 ÷ 6 = 3 है।

कुल राशि A का सूत्र है: A = P × (1 + R)ⁿ

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 6000 × (1 + 0.10)³ A = 6000 × 1.1³ A = 6000 × 1.331 A = 7986

चक्रवृद्धि ब्याज अंतिम राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: चक्रवृद्धि ब्याज = A - P चक्रवृद्धि ब्याज = 7986 - 6000 = 1986

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके, हम tan 70° को tan(90° - 20°) = cot 20° के रूप में लिख सकते हैं।

चूंकि cot θ = 1/tan θ, हमारे पास tan 20° × tan 70° = tan 20° × cot 20° = 1 है।

यह जानते हुए कि tan 45° = 1 है, हम इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

3 tan 20° × tan 45° × tan 70° = 3 × 1 × (tan 20° × cot 20°) = 3 × 1 × 1 = 3

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: A³ + B³ = (A + B)³ - 3AB(A + B)

सर्वसमिका में दिए गए मान A + B = -5 और AB = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: A³ + B³ = (-5)³ - 3 × 6 × (-5) A³ + B³ = -125 - 18 × (-5) A³ + B³ = -125 + 90 A³ + B³ = -35

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक (Bracket), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में हल किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, प्रतिशत और "का" वाले पदों का मूल्यांकन करें: 720 का 25% = (25/100) × 720 = 180 300 का 15% = (15/100) × 300 = 45

अगला, संयुक्त "का" वाले पद की गणना करें: 100⁄₁₁ के ¹⁄₃ का ³³⁄₂₅ = ¹⁄₃ × 100⁄₁₁ × ³³⁄₂₅ = ¹⁄₃ × 4 × 3 = 4

इन सरलीकृत मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 180 + 57 ÷ 19 × 4 - 45

अगला भाग करें: 57 ÷ 19 = 3

अब, गुणा करें: 3 × 4 = 12

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 180 + 12 - 45 = 192 - 45 = 147

व्याख्या

लंबाई l, चौड़ाई b, और ऊंचाई h वाले घनाभ के अंदर रखी जा सकने वाली छड़ी की अधिकतम लंबाई उसके बॉडी विकर्ण (body diagonal) की लंबाई के बराबर होती है, जो सूत्र d = √(l² + b² + h²) द्वारा दी जाती है।

हमें दिया गया है: l + b + h = 20 2(lb + bh + hl) = 256

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (l + b + h)² = l² + b² + h² + 2(lb + bh + hl)

सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 20² = l² + b² + h² + 256 400 = l² + b² + h² + 256 l² + b² + h² = 400 - 256 l² + b² + h² = 144

विकर्ण ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: d = √144 = 12 सेमी

व्याख्या

हमें त्रिकोणमितीय समीकरण sin 2θ = √3/2 दिया गया है। चूँकि sin 60° = √3/2 होता है, हम कोणों की तुलना कर सकते हैं:

2θ = 60° θ = 30°

tan θ का मान ज्ञात करने के लिए θ के इस मान का उपयोग करते हुए:

tan θ = tan 30° = 1/√3

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति 8x है और धारा की गति 3x है।

धारा के अनुकूल गति, नाव की गति और धारा की गति का योग है: धारा के अनुकूल गति = 8x + 3x = 11x

नाव 24 मिनट में 22 किमी धारा के अनुकूल यात्रा करती है। मिनट को घंटे में बदलने पर, 24 मिनट 24/60 घंटे होते हैं, जो 2/5 घंटे हो जाता है।

गति सूत्र का उपयोग करके, गति = दूरी / समय: धारा के अनुकूल गति = 22 / (2/5) = 22 × 5/2 = 55 किमी/घंटा

धारा के अनुकूल गति के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 11x = 55 x = 5

धारा के प्रतिकूल गति, नाव की गति और धारा की गति का अंतर है: धारा के प्रतिकूल गति = 8x - 3x = 5x = 5 × 5 = 25 किमी/घंटा

50 किमी धारा के प्रतिकूल दूरी तय करने में लगने वाला समय है: समय = दूरी / धारा के प्रतिकूल गति = 50 / 25 = 2 घंटे

व्याख्या

कार्य की दर के सूत्र का उपयोग करके, तीनों पाइपों की एक साथ काम करने की संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है, जहाँ भरना सकारात्मक है और खाली करना नकारात्मक है।

P की दर = 1/5 टंकी प्रति घंटा Q की दर = 1/10 टंकी प्रति घंटा R की दर = -1/20 टंकी प्रति घंटा

संयुक्त दर = 1/5 + 1/10 - 1/20

20 का सामान्य भाजक लेने पर:

संयुक्त दर = 4/20 + 2/20 - 1/20 = 5/20 = 1/4 टंकी प्रति घंटा

टंकी को भरने में लगने वाला समय संयुक्त दर का व्युत्क्रम है:

समय = 1 / (1/4) = 4 घंटे

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

दिए गए मान x² + 1/x² = 7 को प्रतिस्थापित करने पर: (x + 1/x)² = 7 + 2 = 9

वर्गमूल लेने पर: x + 1/x = 3

अब, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

मान x + 1/x = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + 1/x³ = 3³ - 3(3) x³ + 1/x³ = 27 - 9 = 18

व्याख्या

दी गई शर्तों से: P का 30% = Q का 15% 30 × P = 15 × Q Q = 2 P

इसी प्रकार: Q का 20% = R का 10% 20 × Q = 10 × R R = 2 Q

दूसरे समीकरण में Q = 2 P रखने पर: R = 2 × 2 P = 4 P

R, P से कितने प्रतिशत अधिक है, यह ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत वृद्धि = (R - P) / P × 100% प्रतिशत वृद्धि = (4 P - P) / P × 100% = 3 P / P × 100% = 300%

व्याख्या

दूध का कुल क्रय मूल्य दूध की मात्रा को उसके प्रति लीटर लागत से गुणा करके निकाला जाता है: क्रय मूल्य = 30 लीटर × ₹ 50/लीटर = ₹ 1500

चूंकि 20 लीटर पानी मुफ्त में मिलाया जाता है, इसलिए मिश्रण का कुल आयतन हो जाता है: कुल आयतन = 30 लीटर + 20 लीटर = 50 लीटर

कुल विक्रय मूल्य इस कुल आयतन को प्रति लीटर विक्रय मूल्य से गुणा करके निकाला जाता है: विक्रय मूल्य = 50 लीटर × ₹ 48/लीटर = ₹ 2400

विक्रेता द्वारा अर्जित लाभ है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = ₹ 2400 - ₹ 1500 = ₹ 900

लाभ प्रतिशत है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (900 / 1500) × 100 = 60%

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र (√3/4) × a² द्वारा दिया जाता है। a = 12 सेमी प्रतिस्थापित करने पर: त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × 12² = 36√3 वर्ग सेमी √3 ≈ 1.732 का अनुमान उपयोग करके: त्रिभुज का क्षेत्रफल ≈ 36 × 1.732 = 62.352 वर्ग सेमी

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या r = a / (2√3) द्वारा दी जाती है। a = 12 सेमी प्रतिस्थापित करने पर: r = 12 / (2√3) = 2√3 सेमी

अंतःवृत्त का क्षेत्रफल π × r² द्वारा दिया जाता है। r के मान को प्रतिस्थापित करने और π ≈ 22/7 का उपयोग करके: अंतःवृत्त का क्षेत्रफल = π × (2√3)² = 12π ≈ 12 × 22/7 ≈ 37.714 वर्ग सेमी

अंतःवृत्त द्वारा कवर नहीं किए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और अंतःवृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: वांछित क्षेत्रफल = 62.352 - 37.714 = 24.638 वर्ग सेमी

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 24.64 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु A और वस्तु B के अंकित मूल्य क्रमशः MP_A और MP_B हैं।

दी गई शर्त के अनुसार, वस्तु A पर 20% छूट का मान, वस्तु B पर 15% छूट के मान के बराबर है: MP_A का 20% = MP_B का 15%

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: MP_A × 20/100 = MP_B × 15/100

इस संबंध को सरल करने पर: 20 × MP_A = 15 × MP_B

वस्तु A के अंकित मूल्य का वस्तु B के अंकित मूल्य से अनुपात ज्ञात करने के लिए: MP_A / MP_B = 15 / 20

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को उसके सरलतम रूप में लाने पर: MP_A / MP_B = 3 / 4

वस्तु A और वस्तु B के अंकित मूल्यों का अनुपात 3 : 4 है।

व्याख्या

हम θ के एक सुविधाजनक मान को प्रतिस्थापित करके इसे शीघ्रता से हल कर सकते हैं। मान लीजिए θ = 45°।

त्रिकोणमितीय मान हैं: sec 45° = √2 tan 45° = 1 cosec 45° = √2 cot 45° = 1

इससे प्राप्त होता है: m = √2 - 1 n = √2 + 1

इन मानों को दिए गए व्यंजक m + n(m - 1) में प्रतिस्थापित करें: E = (√2 - 1) + (√2 + 1)((√2 - 1) - 1) E = √2 - 1 + (√2 + 1)(√2 - 2) E = √2 - 1 + (2 - 2√2 + √2 - 2) E = √2 - 1 - √2 E = -1

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सरलीकरण का उपयोग करके: m = (1 - sin θ)/cos θ n = (1 + cos θ)/sin θ

व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करना: m + n(m - 1) = m(n + 1) - n

अब m(n + 1) की गणना करें: m(n + 1) = ((1 - sin θ)/cos θ) × ((1 + cos θ + sin θ)/sin θ) m(n + 1) = (1 + cos θ + sin θ - sin θ - sin θ cos θ - sin² θ) / (sin θ cos θ) m(n + 1) = (1 - sin² θ + cos θ - sin θ cos θ) / (sin θ cos θ) m(n + 1) = (cos² θ + cos θ - sin θ cos θ) / (sin θ cos θ) m(n + 1) = cos θ (cos θ + 1 - sin θ) / (sin θ cos θ) m(n + 1) = (cos θ + 1 - sin θ) / sin θ m(n + 1) = (1 + cos θ)/sin θ - 1 m(n + 1) = n - 1

इसे वापस प्रतिस्थापित करना: m(n + 1) - n = (n - 1) - n = -1

व्याख्या

जितेंद्र की आय 2,800 रुपये दी गई है। चूंकि जितेंद्र और नरेंद्र की आय का अनुपात 4 : 7 है, इसलिए नरेंद्र की आय की गणना 2800 × 7/4 = 4,900 रुपये के रूप में की जाती है।

जितेंद्र 400 रुपये बचाता है, जिसका अर्थ है कि उसका व्यय 2,800 रुपये - 400 रुपये = 2,400 रुपये है।

चूंकि उनके व्यय का अनुपात 6 : 5 है, इसलिए नरेंद्र के व्यय की गणना 2400 × 5/6 = 2,000 रुपये के रूप में की जाती है।

नरेंद्र की बचत उसकी आय और उसके व्यय के बीच का अंतर है, जो 4,900 रुपये - 2,000 रुपये = 2,900 रुपये है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक को भाजक को वितरित करके फिर से लिख सकते हैं:

(4x² + 9y² + 12xy)/144 = (4/144)x² + (9/144)y² + (12/144)xy

प्रत्येक भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(1/36)x² + (1/16)y² + (1/12)xy

हम पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

(1/36)x² = (x/6)² (1/16)y² = (y/4)²

मध्य पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2 × (x/6) × (y/4) = xy/12

इसलिए, व्यंजक इस रूप का एक पूर्ण वर्ग है:

(x/6 + y/4)²

व्याख्या

मान लीजिए एक पेन का क्रय मूल्य (CP) है।

हानि को कुल क्रय मूल्य माइनस कुल विक्रय मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है: हानि = 18 × CP - 18 × SP

दिया गया है कि हानि 3 पेन के क्रय मूल्य (3 × CP) के बराबर है और 18 पेन का विक्रय मूल्य (18 × SP) ₹360 है: 3 × CP = 18 × CP - 360 18 × CP - 3 × CP = 360 15 × CP = 360 CP = 360 ÷ 15 = 24

एक पेन का क्रय मूल्य ₹24 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

जब त्रिज्या r वाले दो समान वृत्त इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्या r के बराबर होती है।

इस प्रकार के दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई मानक सूत्र द्वारा दी जाती है: उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = r√3

दिया गया है कि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 21 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = 21√3 सेमी

यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। केंद्रों को मिलाने वाली रेखा और उभयनिष्ठ जीवा एक दूसरे को लंबवत रूप से समद्विभाजित करती हैं। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ कर्ण त्रिज्या r है, आधार केंद्रों के बीच की दूरी का आधा (r/2) है, और लंब उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई का आधा है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: (उभयनिष्ठ जीवा का आधा)² = r² - (r/2)² = 3r²/4 उभयनिष्ठ जीवा का आधा = (r√3)/2

2 से गुणा करने पर उभयनिष्ठ जीवा की कुल लंबाई r√3 प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कार की गति V किमी/घंटा है। चूँकि ट्रेन की गति कार की गति से 30% अधिक है, इसलिए ट्रेन की गति 1.3V किमी/घंटा है।

बिंदु P और बिंदु Q के बीच की दूरी 130 किमी है। कार द्वारा इस दूरी को तय करने में लिया गया समय 130/V घंटे है, और ट्रेन द्वारा लिया गया समय 130/(1.3V) घंटे है।

चूंकि दोनों एक ही समय पर शुरू होते हैं और एक ही समय पर पहुंचते हैं, लेकिन ट्रेन एक स्टेशन पर 30 मिनट (0.5 घंटे) का समय गंवाती है, इसलिए उनके यात्रा समय का अंतर 0.5 घंटे है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

130/V - 130/(1.3V) = 0.5

समीकरण को 130/V को गुणनखंडित करके सरल करें:

(130/V) × (1 - 1/1.3) = 0.5 (130/V) × (0.3/1.3) = 0.5 (130/V) × (3/13) = 0.5 30/V = 0.5 V = 60

कार की गति 60 किमी/घंटा है। ट्रेन की गति है:

1.3 × 60 = 78 किमी/घंटा

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a = 5x और b = y प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक बन जाता है: 125x³ + y³ = (5x + y)³ - 15xy(5x + y)

अब, समीकरण में दिए गए मान 5x + y = 17 और xy = 6 को प्रतिस्थापित करें: 125x³ + y³ = 17³ - 15 × 6 × 17 125x³ + y³ = 4913 - 1530 125x³ + y³ = 3383

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को पदों को समूहित करके सरल बनाया जा सकता है: ((sec A - tan A) + 1)((sec A - tan A) - 1)

यह (x + y)(x - y) = x² - y² के रूप में है, जहाँ x = sec A - tan A और y = 1 है: (sec A - tan A)² - 1²

वर्ग पद का विस्तार करने पर: sec² A + tan² A - 2 sec A tan A - 1

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - 1 = tan² A का उपयोग करके, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: (sec² A - 1) + tan² A - 2 sec A tan A = tan² A + tan² A - 2 sec A tan A = 2 tan² A - 2 sec A tan A

2 tan A को गुणनखंडित करने पर: 2 tan A (tan A - sec A)

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करना: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx

इस सर्वसमिका में x = a, y = -b, और z = c रखने पर: (a - b + c)² = a² + (-b)² + c² + 2(a)(-b) + 2(-b)(c) + 2(c)(a)

पदों को सरल करने पर: (a - b + c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ca

व्याख्या

23 और 43 के बीच पूर्णांकों की संख्या की गणना 43 - 23 - 1 = 19 के रूप में की जाती है। ये पूर्णांक 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 और 42 हैं।

इन 19 पूर्णांकों में से, अभाज्य संख्याएँ 29, 31, 37 और 41 हैं, जो कुल 4 अभाज्य संख्याएँ हैं।

कुल पूर्णांकों में से अभाज्य संख्याओं की संख्या घटाने पर भाज्य संख्याओं की संख्या प्राप्त होती है: 19 - 4 = 15। ये 15 भाज्य संख्याएँ 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40 और 42 हैं।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ-बंटवारे का अनुपात, निवेश और समयावधि के गुणनफल के अनुपात के बराबर होता है।

मान लीजिए Q की निवेश अवधि t महीने है।

P का लाभ / Q का लाभ = (P का निवेश × P की समयावधि) / (Q का निवेश × Q की समयावधि)

दिए गए मानों का उपयोग करके: 4/3 = (4000 × 12) / (6000 × t) 4/3 = 48000 / 6000t 4/3 = 8 / t 4 × t = 24 t = 6 महीने

चूंकि कुल निवेश अवधि एक वर्ष (12 महीने) है, इसलिए Q के जुड़ने के महीनों की संख्या है: 12 - t = 12 - 6 = 6 महीने।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए R ब्याज की सामान्य वार्षिक दर है।

B से प्राप्त साधारण ब्याज है: SI = (12000 × R × 3) / 100 = 360R

C से प्राप्त साधारण ब्याज है: SI = (10000 × R × 4) / 100 = 400R

दोनों से प्राप्त कुल ब्याज ₹6,080 है: 360R + 400R = 6080 760R = 6080 R = 6080 / 760 R = 8

ब्याज की वार्षिक दर 8 प्रतिशत है।

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके, (M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂, जहाँ M महिलाओं की संख्या, D दिनों की संख्या और W पूरा किए गए कार्य का अंश दर्शाता है।

दिया गया है कि M₁ = 10 महिलाएँ, D₁ = 20 दिन, और W₁ = ½। शेष भाग के लिए, किया जाने वाला कार्य W₂ = ½ है और अनुमत समय D₂ = 10 दिन है। मान लीजिए M₂ इस चरण के लिए आवश्यक महिलाओं की कुल संख्या है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (10 × 20) / ½ = (M₂ × 10) / ½

चूंकि दोनों पक्षों पर कार्य का अंश समान है, यह रद्द हो जाता है: 10 × 20 = M₂ × 10 M₂ = 20 महिलाएँ

यह पता लगाने के लिए कि कितनी और महिलाओं की आवश्यकता है, आवश्यक कुल संख्या में से प्रारंभिक महिलाओं की संख्या घटाएँ: 20 - 10 = 10 महिलाएँ

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, उत्तीर्ण छात्रों (P) और अनुत्तीर्ण छात्रों (F) की संख्या का अनुपात है: P : F = (50 - 35) : (55 - 50) = 15 : 5 = 3 : 1

इसका मतलब है कि उत्तीर्ण छात्रों और अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या का अनुपात 3 : 1 है।

किसी समूह द्वारा प्राप्त कुल अंक छात्रों की संख्या और उनके औसत अंकों का गुणनफल होता है।

उत्तीर्ण छात्रों के कुल अंक = 3 × 55 = 165 अनुत्तीर्ण छात्रों के कुल अंक = 1 × 35 = 35

उत्तीर्ण छात्रों के कुल अंकों और अनुत्तीर्ण छात्रों के कुल अंकों का क्रमशः अनुपात है: 165 : 35 = 33 : 7

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज PQR में जहाँ कोण Q = 90° है, त्रिकोणमितीय अनुपात cot P को कोण P की आसन्न भुजा और कोण P की सम्मुख भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

cot P = आसन्न भुजा / सम्मुख भुजा = PQ / QR

दिया गया है कि PQ = 9 सेमी और QR = 11 सेमी, इन मानों को सूत्र में रखने पर: cot P = 9/11

व्याख्या

त्रिज्या R वाले गोले का आयतन V₁ = 4/3 π R³ होता है।

त्रिज्या r वाले अर्धगोले का आयतन V₂ = 2/3 π r³ होता है।

दी गई शर्त के अनुसार, गोले की त्रिज्या अर्धगोले की त्रिज्या से तीन गुनी है, जिसका अर्थ है R = 3r।

गोले के आयतन और अर्धगोले के आयतन का अनुपात है: V₁ / V₂ = (4/3 π R³) / (2/3 π r³) = 2 × (R / r)³

R = 3r को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V₁ / V₂ = 2 × (3r / r)³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54

इससे 54:1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

ज्यामिति में डिग्री माप प्रमेय के अनुसार, वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

इस संबंध का उपयोग करते हुए: केंद्र पर कोण = 2 × दीर्घ चाप पर कोण

दिए गए 65° के मान को प्रतिस्थापित करने पर: केंद्र पर कोण = 2 × 65° = 130°

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके, मान लीजिए a = tan θ और b = cot θ।

चूंकि tan θ और cot θ एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, उनका गुणनफल tan θ × cot θ = 1 होता है।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (tan θ + cot θ)² = tan² θ + cot² θ + 2(tan θ × cot θ)

दिया गया है कि tan θ + cot θ = 8, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 8² = tan² θ + cot² θ + 2(1) 64 = tan² θ + cot² θ + 2 tan² θ + cot² θ = 64 - 2 tan² θ + cot² θ = 62

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100

सबसे पहले, अंकित मूल्य में से विक्रय मूल्य घटाकर छूट की राशि निर्धारित करें:

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 20,000 रुपये - 14,000 रुपये = 6,000 रुपये

इसके बाद, प्रतिशत ज्ञात करने के लिए सूत्र में मान रखें:

छूट प्रतिशत = (6,000 / 20,000) × 100 = 3/10 × 100 = 30%

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

r = a / 2√3

दी गई अंतःत्रिज्या r = 9√3 को प्रतिस्थापित करने पर:

9√3 = a / 2√3

a के लिए हल करने पर:

a = 9√3 × 2√3 a = 18 × 3 a = 54 सेमी

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजा की लंबाई का तीन गुना होता है:

परिमाप = 3a परिमाप = 3 × 54 परिमाप = 162 सेमी

व्याख्या

घन के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

हमें दिया गया है कि a³ - b³ = 988 और a - b = 4। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 988 = 4(a² + ab + b²)

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर: a² + ab + b² = 247

इस समीकरण को 2 से गुणा करने पर आवश्यक व्यंजक प्राप्त होता है: 2a² + 2ab + 2b² = 2 × 247 = 494

व्याख्या

वृत्त ज्यामिति प्रमेय के अनुसार, किसी वृत्त की जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी जीवा द्वारा वृत्त के दीर्घ खंड पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

इस संबंध के अनुसार: केंद्र पर कोण = 2 × दीर्घ खंड में कोण

दिया गया है कि केंद्र O पर बनाया गया कोण ∠AOB = 130° है। इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: 130° = 2 × दीर्घ खंड में कोण दीर्घ खंड में कोण = 130° / 2 दीर्घ खंड में कोण = 65°

व्याख्या

मान लीजिए परीक्षा के कुल अंक T हैं। दो प्रतिशत अंकों के बीच का अंतर है: 50% - 20% = T का 30%

यह प्रतिशत अंतर उत्तीर्ण होने से 25 अंक कम और उत्तीर्ण होने से 20 अंक अधिक होने के बीच कुल अंकों के अंतर के बराबर है: 25 + 20 = 45 अंक

इसलिए: T का 30% = 45 T = (45 × 100) / 30 = 150 अंक

पहले मामले का उपयोग करके उत्तीर्ण अंक की गणना की जा सकती है, जहाँ राजीव ने कुल अंकों का 20% प्राप्त किया और 25 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया: उत्तीर्ण अंक = कुल अंकों का 20% + 25 उत्तीर्ण अंक = (20 / 100) × 150 + 25 = 30 + 25 = 55

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, और r वृत्त की त्रिज्या है। रेखाखंड OA और OB जीवा AB के सिरों से केंद्र तक की त्रिज्याओं को दर्शाते हैं, इसलिए OA = OB = r। चूंकि जीवा AB की लंबाई भी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, AB = r।

त्रिभुज OAB में, तीनों भुजाएँ लंबाई में बराबर हैं (OA = OB = AB = r), जो इसे एक समबाहु त्रिभुज बनाती है। समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण 60° के बराबर होता है। इसलिए, वृत्त के केंद्र पर जीवा AB द्वारा बनाया गया कोण, जो कोण AOB है, 60° है।

व्याख्या

हमें समीकरण (x² - 1)/x = 8 दिया गया है, जिसे सरल करने पर: x - 1/x = 8

हमें (x⁶ - 1)/x³ का मान ज्ञात करना है, जिसे सरल करने पर: x³ - 1/x³

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

जहाँ a = x और b = 1/x है, सर्वसमिका बन जाती है: x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x)

दिए गए मान x - 1/x = 8 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x³ - 1/x³ = 8³ + 3 × 8 x³ - 1/x³ = 512 + 24 = 536

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या r = 10 सेमी है। वृत्त का व्यास d = 2r = 2 × 10 = 20 सेमी है।

चूंकि जीवा की लंबाई 20 सेमी है, जो व्यास के बराबर है, यह जीवा वृत्त का व्यास है। वृत्त के ज्यामितीय गुणों के अनुसार, वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण एक समकोण होता है, जो 90° मापता है।

व्याख्या

कार्य-दक्षता संबंध का उपयोग करते हुए, कार्य = श्रमिकों की संख्या × दक्षता × समय।

एक पुरुष की दैनिक कार्य दक्षता M और एक लड़के की B मान लीजिए। चूँकि कुल कार्य स्थिर है: 12M × 8 = 4B × 40 96M = 160B M/B = 160/96 = 5/3

निर्धारित दक्षताएँ M = 5 और B = 3 हैं। कुल कार्य = 12 × 5 × 8 = 480 इकाई

3 पुरुष और 9 लड़कों की संयुक्त दैनिक दक्षता है: 3M + 9B = 3(5) + 9(3) = 15 + 27 = 42 इकाई/दिन

3 पुरुष और 9 लड़कों द्वारा कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय है: कुल कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 480 ÷ 42 = 80/7 दिन

व्याख्या

(6cosθ + sinθ) / (6cosθ - 4sinθ) का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को sinθ से विभाजित करें:

(6cosθ/sinθ + sinθ/sinθ) / (6cosθ/sinθ - 4sinθ/sinθ)

चूंकि cotθ = cosθ / sinθ, व्यंजक सरल हो जाता है:

(6cotθ + 1) / (6cotθ - 4)

दिया गया है कि 6cotθ = 5, इस मान को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

(5 + 1) / (5 - 4) = 6 / 1 = 6

व्याख्या

दूरी = गति × समय के संबंध का उपयोग करके, मरम्मत के बाद तय की गई दूरी x है: x = 108 × 3 = 324 किमी

मरम्मत से पहले तय की जाने वाली नई दूरी 5x है: 5x = 5 × 324 = 1620 किमी

समय = दूरी / गति के संबंध का उपयोग करके, 72 किमी/घंटा की गति से इस दूरी को तय करने में लगने वाला समय है: समय = 1620 ÷ 72 = 22.5 घंटे

22.5 घंटे को घंटे और मिनट में बदलने पर 22 घंटे और 30 मिनट प्राप्त होते हैं।

वैकल्पिक रूप से, इसे सीधे अनुपातों का उपयोग करके हल किया जा सकता है: समय = 5x / 72 चूंकि x = 108 × 3, x को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है: समय = 5 × 108 × 3 ÷ 72 = 15 × 108 ÷ 72 = 15 × 1.5 = 22.5 घंटे, जो 22 घंटे 30 मिनट है।

व्याख्या

माना P की आय P है। दी गई शर्त के अनुसार, P की आय का एक-तिहाई, P की आय के आधे से रु. 4400 कम है:

½ P - ⅓ P = 4400

बाईं ओर के भिन्नों को घटाने पर:

(3P - 2P) / 6 = 4400

P/6 = 4400

P = 4400 × 6 = 26400

P और Q की आय का अनुपात P:Q = 1:2 दिया गया है। इसका मतलब है कि Q की आय P की आय से दोगुनी है:

Q = 2 × P = 2 × 26400 = 52800

व्याख्या

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए E = (2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) ... (2¹²⁸ + 1)।

पूरे व्यंजक को (2² - 1) से गुणा और भाग करें:

E = [(2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1) ... (2¹²⁸ + 1)] / (2² - 1)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करके:

(2² - 1)(2² + 1) = (2²)² - 1 = 2⁴ - 1

इसे अंश में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

E = [(2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1) ... (2¹²⁸ + 1)] / (2² - 1)

सर्वसमिका को क्रमिक रूप से लागू करने पर:

(2⁴ - 1)(2⁴ + 1) = 2⁸ - 1 (2⁸ - 1)(2⁸ + 1) = 2¹⁶ - 1

यह पैटर्न अंतिम पद के गुणा होने तक जारी रहता है:

(2¹²⁸ - 1)(2¹²⁸ + 1) = 2²⁵⁶ - 1

चूंकि हर (2² - 1) का मान 3 है, व्यंजक सीधे सरल होकर यह हो जाता है:

(2²⁵⁶ - 1) / 3

व्याख्या

छात्र को 64 अंक मिले और वह उत्तीर्ण अंकों के 20% से अनुत्तीर्ण हुआ, जिसका अर्थ है कि छात्र के अंक उत्तीर्ण अंकों का 80% हैं। इसलिए, उत्तीर्ण अंक 64 / 0.80 = 80 हैं। चूंकि उत्तीर्ण प्रतिशत 40% है, परीक्षा के अधिकतम अंक 80 / 0.40 = 200 हैं।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक (centroid), परिकेंद्र (circumcentre), लंबकेंद्र (orthocentre), और अंतःकेंद्र (incentre) संपाती होते हैं। केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को, जो ऊंचाई के रूप में भी कार्य करती है, 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

शीर्ष से केंद्रक तक की दूरी परिवृत्त की त्रिज्या (R) होती है, जो माध्यिका (h) की कुल लंबाई का दो-तिहाई प्रतिनिधित्व करती है। इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

R = 2/3 × h

माध्यिका ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

h = 3/2 × R

दिए गए 14 सेमी की परिवृत्त त्रिज्या को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

h = 3/2 × 14 = 21 सेमी

इस त्रिभुज में माध्यिका की लंबाई 21 सेमी है।

व्याख्या

दी गई श्रेणी 1 - 7 + 2 - 8 + 3 - 9 + 4 - 10 + ... 100 पदों तक है।

श्रेणी के पदों को दो-दो लगातार पदों के युग्मों में समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1 - 7) + (2 - 8) + (3 - 9) + (4 - 10) + ... 50 युग्मों तक

प्रत्येक युग्म का सरलीकरण -6 होता है: -6 - 6 - 6 - 6 ... 50 पदों तक

बार-बार योग के लिए गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए, इन 50 समान पदों का योग है: योग = 50 × (-6) = -300