एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

गणना बीजगणितीय सर्वसमिका पर आधारित है: (sin θ + cos θ)² = (cos θ - sin θ)² + 4 sin θ cos θ

व्युत्क्रम गुणन अनुमान लागू करने पर जहाँ sin θ cos θ = 1: (sin θ + cos θ)² = (cos θ - sin θ)² + 4

दिए गए मान cos θ - sin θ = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: (sin θ + cos θ)² = 6² + 4 (sin θ + cos θ)² = 36 + 4 = 40 sin θ + cos θ = √40

व्याख्या

दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने से बाईं ओर घन पूरा हो जाता है: a³ + 3a² + 3a + 1 = 63 + 1

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1 का उपयोग करके, समीकरण सरल हो जाता है:

(a + 1)³ = 64

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: a + 1 = 4 a = 3

a के मान को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: a² + 2a = 3² + 2(3) = 9 + 6 = 15

व्याख्या

2018 से 2022 तक विज्ञान में अध्ययन करने वाले छात्रों का योग इस प्रकार है: 78 + 69 + 83 + 55 + 65 = 350

5 वर्षों में विज्ञान के छात्रों की औसत संख्या: 350 ÷ 5 = 70

वर्ष 2022 में सभी धाराओं में अध्ययन करने वाले छात्रों की कुल संख्या: 76 + 65 + 48 + 31 = 220

विज्ञान के छात्रों की औसत संख्या का 2022 में कुल संख्या से अनुपात: 70 : 220 = 7 : 22

व्याख्या

100 और 120 के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस सीमा में विषम संख्याओं की जाँच करते हैं, 5 में समाप्त होने वाली संख्याओं को छोड़कर। इस सीमा में कोई भी भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंड √120 ≈ 10.95 से कम या उसके बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि हमें केवल 2, 3, 5 और 7 से विभाज्यता का परीक्षण करने की आवश्यकता है।

शेष विषम संख्याओं का परीक्षण: 101, 3 या 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह अभाज्य है। 103, 3 या 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह अभाज्य है। 107, 3 या 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह अभाज्य है। 109, 3 या 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह अभाज्य है। 111 का अंक योग 3 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है। 113, 3 या 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह अभाज्य है। 117 का अंक योग 9 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है। 119, 7 से विभाज्य है क्योंकि 7 × 17 = 119 है।

इससे दी गई सीमा में ठीक 5 अभाज्य संख्याएँ बचती हैं, जो 101, 103, 107, 109 और 113 हैं।

व्याख्या

मूल 16 संख्याओं का योग संख्याओं की संख्या से औसत को गुणा करके निकाला जाता है: मूल योग = 16 × 35 = 560

हटाई गई चार संख्याओं का योग है: हटाई गई संख्याओं का योग = 18 + 17 + 24 + 35 = 94

इस योग को मूल योग से घटाने पर शेष 12 संख्याओं का योग प्राप्त होता है: नया योग = 560 - 94 = 466

नई औसत इस नए योग को शेष 12 संख्याओं से विभाजित करके प्राप्त की जाती है: नई औसत = 466 / 12 ≈ 38.83

व्याख्या

समतुल्य दर ज्ञात करने के लिए, हम दोनों योजनाओं की प्रभावी वार्षिक दर को बराबर करते हैं। 10 प्रतिशत वार्षिक रूप से संयोजित के लिए, एक वर्ष के लिए गुणक 1.10 है। x प्रतिशत अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित के लिए, यदि हम अर्ध-वार्षिक दर को x प्रतिशत मानते हैं, तो समीकरण (1 + x/100)² = 1.10 है। x के लिए हल करने पर 1 + x/100 = 1.0488 प्राप्त होता है, जिससे x = 4.88 प्रतिशत मिलता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज JKLM में, जब भुजाएँ JK और ML को आगे बढ़ाकर Z पर मिलाया जाता है, तो त्रिभुज ZKL और ZMJ समरूप होते हैं। एक बाह्य बिंदु से छेदक रेखाओं के गुणधर्म के अनुसार, ZK * ZJ = ZL * ZM। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ ZJ = ZK + JK = 12 + 10 = 22 सेमी और ZM = 33 सेमी, हमें 12 * 22 = ZL * 33 प्राप्त होता है, जिससे ZL = 8 सेमी मिलता है।

व्याख्या

दूरी, गति और समय के बीच संबंध का उपयोग करते हुए, दूरी d की एक गोल यात्रा के लिए कुल समय T का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: T = d/v₁ + d/v₂

यहां, ट्रेन की गति v₁ 50 किमी/घंटा है, चलने की गति v₂ 10 किमी/घंटा है, और यात्रा का कुल समय T 12 घंटे है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 12 = d/50 + d/10

d के लिए हल करने के लिए, दाईं ओर के भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करें: 12 = (d + 5d) / 50 12 = 6d / 50

सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को 50 से गुणा करें: 600 = 6d d = 100 किमी

व्याख्या

छूट और लाभ प्रतिशत ज्ञात होने पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

प्रारंभिक 30% लाभ और 20% छूट को प्रतिस्थापित करने पर:

MP / CP = (100 + 30) / (100 - 20) = 130 / 80 = 13/8

दूसरे मामले के लिए, छूट 10% है, इसलिए नया विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य का 90% है:

SP = 0.9 × MP

नए लाभ अनुपात को ज्ञात करने के लिए, हम इस नए विक्रय मूल्य को क्रय मूल्य से विभाजित करते हैं:

SP / CP = 0.9 × (MP / CP) = 0.9 × (13/8) = 11.7 / 8 = 1.4625

नया लाभ प्रतिशत (SP / CP - 1) × 100 है:

(1.4625 - 1) × 100 = 0.4625 × 100 = 46.25%

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: (k + 1/k)² = 9

दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर: k + 1/k = 3

घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

a = k और b = 1/k के लिए, यह सरल हो जाता है: k³ + 1/k³ = (k + 1/k)³ - 3(k + 1/k)

k + 1/k = 3 का मान प्रतिस्थापित करने पर: k³ + 1/k³ = 3³ - 3(3) k³ + 1/k³ = 27 - 9 k³ + 1/k³ = 18

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या r है, एक भुजा केंद्र से जीवा की दूरी d है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई का आधा L/2 है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: r² = (L/2)² + d²

पहली जीवा के लिए: L = 40 सेमी, इसलिए L/2 = 20 सेमी d = 15 सेमी r² = 20² + 15² r² = 400 + 225 r² = 625 r = 25 सेमी

दूसरी जीवा के लिए: d = 20 सेमी r² = (L/2)² + d² 625 = (L/2)² + 20² 625 = (L/2)² + 400 (L/2)² = 225 L/2 = 15 L = 30 सेमी

व्याख्या

संचालन के क्रम (BODMAS) का उपयोग करके, हम सबसे पहले "का" संक्रिया का मूल्यांकन करते हैं: 4 का 521 = 4 × 521 = 2084

इसके बाद, हम विभाजन करते हैं: 3126 ÷ 2084 = 1.5

5 × 3 = 15 के साथ गुणन पद का मूल्यांकन करते हुए: 1.5 + 15 = 16.5

व्याख्या

जब दो वस्तुओं का क्रय मूल्य बराबर होता है, तो कुल लाभ या हानि प्रतिशत अलग-अलग लाभ और हानि प्रतिशत का सरल अंकगणितीय औसत होता है।

कुल प्रतिशत = (लाभ प्रतिशत + हानि प्रतिशत) / 2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल प्रतिशत = (+10% - 20%) / 2 = -10% / 2 = -5%

ऋणात्मक चिह्न 5% की कुल हानि को दर्शाता है।

व्याख्या

त्रिभुज PQR में, यह दिया गया है कि PQ = PR है, जो इसे शीर्ष कोण P के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, शीर्ष कोण का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा पर शीर्षलंब भी होता है। चूँकि PM कोण P का कोण समद्विभाजक है, यह आधार QR पर लंबवत होना चाहिए। इसलिए, कोण PMQ एक समकोण है, जिसका माप 90° होता है।

व्याख्या

P1/P2 का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले 5 महीनों में दुकानदार A (P1) और दुकानदार B (P2) द्वारा बेचे गए शार्पनर की कुल संख्या की गणना करते हैं।

P1 = 200 + 190 + 170 + 165 + 155 = 880

P2 = 155 + 160 + 210 + 180 + 175 = 880

अब, हम अनुपात की गणना करते हैं:

P1/P2 = 880/880 = 1

व्याख्या

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = 4πr²

यहाँ, त्रिज्या r 3.5 सेमी है, जिसे 7/2 सेमी के रूप में लिखा जा सकता है। सूत्र में r और π ≈ 22/7 का मान रखने पर:

A = 4 × (22/7) × (7/2)² A = 4 × (22/7) × (49/4) A = 22 × 7 A = 154 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए छात्र A और छात्र B द्वारा प्राप्त अंक क्रमशः A और B हैं।

पहली शर्त के अनुसार, छात्र A को छात्र B से 25 अंक अधिक मिले: A = B + 25

दूसरी शर्त के अनुसार, A के अंक उनके अंकों के योग का 60% थे: A = 0.60 × (A + B)

दूसरे समीकरण को सरल बनाने पर: A = 0.6A + 0.6B 0.4A = 0.6B A = 1.5B

A = 1.5B को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1.5B = B + 25 0.5B = 25 B = 50

B का मान ज्ञात करके A का मान ज्ञात करने पर: A = 50 + 25 = 75

इस प्रकार, A और B के अंक क्रमशः 75 और 50 हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके, मान लीजिए a = x² और b = 1/x²।

दिए गए समीकरण x² + 1/x² = 4 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(x² + 1/x²)² = 4²

(x²)² + (1/x²)² + 2 × x² × (1/x²) = 16

x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 16

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर प्राप्त होता है:

x⁴ + 1/x⁴ = 16 - 2

x⁴ + 1/x⁴ = 14

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

r = a / (2√3)

दिए गए अंतःत्रिज्या r = 5√3 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

5√3 = a / (2√3)

a के लिए हल करने पर:

a = 5√3 × 2√3 a = 10 × 3 a = 30 सेमी

व्याख्या

कथन I के लिए, वर्ष A और B में P की संयुक्त बिक्री 100 + 200 = 300 है। वर्ष D और E में Q की संयुक्त बिक्री 100 + 50 = 150 है। इन बिक्री का अनुपात 300 : 150 = 2 : 1 है, जिसका अर्थ है कि कथन I गलत है।

कथन II के लिए, वर्ष C में P की बिक्री 300 है और वर्ष D में Q की बिक्री 100 है। वर्ष C में P की बिक्री का वर्ष D में Q की बिक्री से प्रतिशत (300 / 100) × 100% = 300% है, जिसका अर्थ है कि कथन II सही है।

व्याख्या

मान लीजिए x = sec θ। दिया गया समीकरण √2 x² - 4x + 2√2 = 0 है।

पूरे समीकरण को √2 से विभाजित करने पर: x² - 2√2 x + 2 = 0

यह द्विघात समीकरण एक पूर्ण वर्ग है: (x - √2)² = 0

x के लिए हल करने पर: x = √2 sec θ = √2

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan² θ = sec² θ - 1 का उपयोग करके: tan² θ = (√2)² - 1 = 2 - 1 = 1

चूंकि sec θ = √2 है, इसलिए कोसाइन का मान है: cos θ = 1 / √2 cos² θ = ½

सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का उपयोग करके: sin² θ = 1 - ½ = ½

अब, इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: sin² θ + tan² θ = ½ + 1 = 3/2

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज XYZ के लिए जिसका अंतःकेंद्र M है, अंतःकेंद्र M पर भुजा YZ द्वारा बनाया गया कोण, विपरीत शीर्ष कोण YXZ से मानक ज्यामितीय सूत्र द्वारा संबंधित है: ∠YMZ = 90° + ½ ∠YXZ

शीर्ष कोण और अंतःकेंद्र कोण के बीच दिए गए संबंध का उपयोग करते हुए: ∠YXZ + ∠YMZ = 150°

इस समीकरण में ∠YMZ के सूत्र को प्रतिस्थापित करें: ∠YXZ + 90° + ½ ∠YXZ = 150°

∠YXZ के पदों को संयोजित करें: 3/2 ∠YXZ + 90° = 150° 3/2 ∠YXZ = 60° ∠YXZ = 40°

व्याख्या

10 क्रमागत संख्याओं के लिए, दो मध्य संख्याएँ 5वीं और 6वीं पद होती हैं। मान लीजिए पहली संख्या x है, जिसका अर्थ है कि 10 क्रमागत संख्याएँ x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7, x+8, और x+9 हैं।

दो मध्य संख्याएँ x+4 और x+5 हैं। उनका औसत 13.5 दिया गया है:

((x + 4) + (x + 5)) / 2 = 13.5

(2x + 9) / 2 = 13.5

2x + 9 = 27

2x = 18

x = 9

पहली 6 क्रमागत संख्याएँ 9, 10, 11, 12, 13, और 14 हैं।

अंकगणितीय श्रेणी के योग सूत्र, योग = n/2 × (पहली पद + अंतिम पद) का उपयोग करके, इन 6 संख्याओं का योग है:

योग = 6/2 × (9 + 14)

योग = 3 × 23 = 69

व्याख्या

तीन चरों के घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

सबसे पहले, त्रिपद के वर्ग सूत्र का उपयोग करके (ab + bc + ca) का मान ज्ञात करें: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

इस समीकरण में दिए गए मानों, a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 40 को प्रतिस्थापित करें: 6² = 40 + 2(ab + bc + ca) 36 = 40 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 36 - 40 2(ab + bc + ca) = -4 ab + bc + ca = -2

अब, आवश्यक व्यंजक ज्ञात करने के लिए इन मानों को पहली सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = 6 × (40 - (-2)) a³ + b³ + c³ - 3abc = 6 × (40 + 2) a³ + b³ + c³ - 3abc = 6 × 42 a³ + b³ + c³ - 3abc = 252

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + R/100)ⁿ है, जहाँ A राशि है, P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1060.90 = 1000(1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 1000 से विभाजित करने पर: 1.0609 = (1 + R/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1.03 = 1 + R/100

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर: R/100 = 0.03 R = 3%

व्याख्या

cot B sin B = (cos B / sin B) × sin B = cos B

चूंकि cosec B = 3/2 है, कोण का साइन है: sin B = 2/3

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cos B = √(1 - sin² B)

sin B का मान प्रतिस्थापित करने पर: cos B = √(1 - (2/3)²) cos B = √(1 - 4/9) cos B = √(5/9) cos B = √5/3

व्याख्या

त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि cos(90° - θ) = sin θ और tan(90° - θ) = cot θ।

दिए गए व्यंजक के पदों पर इन सर्वसमिकाओं को लागू करने पर: cos 62° = cos(90° - 28°) = sin 28° tan 34° = tan(90° - 56°) = cot 56°

इन तुल्यताओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (3 cos 62° / sin 28°) - (2 tan 34° / cot 56°) = (3 sin 28° / sin 28°) - (2 cot 56° / cot 56°)

भिन्नों को सरल करने पर: 3(1) - 2(1) = 3 - 2 = 1

व्याख्या

भाज्य संख्याओं का क्रम 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, इत्यादि है।

तीन क्रमागत भाज्य संख्याएँ 10, 12 और 14 हैं, क्योंकि उनके बीच की संख्याएँ, 11 और 13, अभाज्य संख्याएँ हैं।

इन तीन क्रमागत भाज्य संख्याओं का योग है: 10 + 12 + 14 = 36

इन तीन संख्याओं का गुणनफल है: 10 × 12 × 14 = 1680

व्याख्या

यहां संयुक्त कार्य के लिए कार्य दर सूत्र का उपयोग किया गया है।

मान लीजिए A, B और C द्वारा एक साथ किया गया दैनिक कार्य 1/20 है। A द्वारा अकेले किया गया दैनिक कार्य 1/40 है।

B और C द्वारा मिलकर किया गया दैनिक कार्य तीनों के संयुक्त दैनिक कार्य और A के दैनिक कार्य के बीच का अंतर है:

(B + C) का दैनिक कार्य = (A + B + C) का दैनिक कार्य - A का दैनिक कार्य (B + C) का दैनिक कार्य = 1/20 - 1/40 (B + C) का दैनिक कार्य = 2/40 - 1/40 = 1/40

इसलिए, B और C मिलकर एक दिन में काम का 1/40 भाग पूरा कर सकते हैं।

व्याख्या

व्यय = आय - बचत के संबंध का उपयोग करते हुए, मान लीजिए A और B की आय क्रमशः 4x और 5x है। A और B के व्यय को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: A का व्यय = 4x - 6000 B का व्यय = 5x - 12000

यह देखते हुए कि उनके व्यय का अनुपात 5:4 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (4x - 6000) / (5x - 12000) = 5/4

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 4 × (4x - 6000) = 5 × (5x - 12000) 16x - 24000 = 25x - 60000 9x = 36000 x = 4000

A की आय 4x है: 4 × 4000 = 16000