एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कंप्यूटर का अंकित मूल्य रु. 80000 है और पहली छूट 15% है।

पहली छूट के बाद मूल्य है: 80000 × (1 - 15/100) = 80000 × 0.85 = रु. 68000

मान लीजिए दूसरी छूट d% है। इस दूसरी छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य रु. 65280 है। इससे संबंध बनता है: 68000 × (1 - d/100) = 65280

छूट कारक के लिए हल करना: 1 - d/100 = 65280 ÷ 68000 1 - d/100 = 0.96 d/100 = 1 - 0.96 d/100 = 0.04 d = 4

दूसरी छूट का मान 4% है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² द्वारा दिया जाता है, और उसकी परिधि C = 2πr द्वारा दी जाती है।

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। उनके क्षेत्रफल का अनुपात है: A₁/A₂ = (πr₁²)/(πr₂²) = (r₁/r₂)²

यह दिया गया है कि उनके क्षेत्रफल का अनुपात 81/121 है: (r₁/r₂)² = 81/121

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर उनकी त्रिज्याओं का अनुपात प्राप्त होता है: r₁/r₂ = √(81/121) = 9/11

उनकी परिधियों का अनुपात है: C₁/C₂ = (2πr₁)/(2πr₂) = r₁/r₂ = 9/11

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके, हम a = m और b = 1/m प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

(m - 1/m)² = m² + 1/m² - 2(m)(1/m) (m - 1/m)² = m² + 1/m² - 2

इस समीकरण में दिए गए मान m - 1/m = 7 को प्रतिस्थापित करें:

7² = m² + 1/m² - 2 49 = m² + 1/m² - 2 m² + 1/m² = 49 + 2 m² + 1/m² = 51

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s है। वर्ग का परिमाप निम्न द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 4s

दिया गया है कि परिमाप 196 मीटर है: 4s = 196 s = 49 मीटर

वृत्त की त्रिज्या r वर्ग की भुजा के बराबर है: r = 49 मीटर

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = πr²

π = 22/7 का उपयोग करके: क्षेत्रफल = (22/7) × 49 × 49 क्षेत्रफल = 22 × 7 × 49 क्षेत्रफल = 154 × 49 क्षेत्रफल = 7546 मी²

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 3 tan θ = 4 tan θ = 4/3

एक समकोण त्रिभुज में स्पर्शज्या (tangent) की त्रिकोणमितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, tan θ लम्ब (perpendicular) और आधार (base) का अनुपात है। इसका मतलब है कि यदि लम्ब 4 है और आधार 3 है, तो कर्ण (hypotenuse) होगा: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

इन मानों का उपयोग करते हुए, साइन (sine) और कोसाइन (cosine) अनुपात हैं: sin θ = 4/5 cos θ = 3/5

इन मानों को आवश्यक व्यंजक (expression) में प्रतिस्थापित करने पर: 7 sin θ - 2 cos θ = 7 × (4/5) - 2 × (3/5) = 28/5 - 6/5 = 22/5

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

चूंकि EFGH एक चक्रीय चतुर्भुज है जहाँ ∠E, ∠G के सम्मुख है: ∠E + ∠G = 180°

∠E का दिया गया मान रखने पर: 95° + ∠G = 180° ∠G = 180° - 95° = 85°

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A:B:C:D ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए अनुपातों के बीच सामान्य पदों को बराबर कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम A:B और B:C के बीच B के लिए पद को सामान्य बनाते हैं। हमें दिया गया है: A:B = 2:3 B:C = 6:7

A:B के दोनों पदों को 2 से गुणा करने पर: A:B = 4:6

अब, A:B और B:C को संयोजित करने पर: A:B:C = 4:6:7

इसके बाद, हम A:B:C और C:D के बीच C के लिए पद को सामान्य बनाते हैं। हमें दिया गया है: C:D = 14:3

C पद को 14 के बराबर करने के लिए A:B:C के सभी पदों को 2 से गुणा करने पर: A:B:C = 8:12:14

अब, A:B:C को C:D के साथ संयोजित करने पर: A:B:C:D = 8:12:14:3

व्याख्या

1 वर्ष की अवधि (जिसमें दो अर्ध-वार्षिक रूपांतरण अवधि शामिल हैं) के लिए अर्ध-वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (r / 100)²

जहाँ P मूल राशि है और r ब्याज की अर्ध-वार्षिक दर है।

दिया गया है कि वार्षिक ब्याज दर 10% है, तो अर्ध-वार्षिक ब्याज दर r है: r = 10% / 2 = 5%

दिया गया अंतर रु. 25 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

25 = P × (5 / 100)² 25 = P × (1 / 20)² 25 = P / 400 P = 25 × 400 P = 10000

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 60 इकाई है, जो 20, 15 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

दैनिक दक्षता, प्रति दिन किए गए कार्य को दर्शाती है, की गणना इस प्रकार की जाती है: दक्षता A + B = 60 ÷ 20 = 3 इकाई प्रति दिन दक्षता B + C = 60 ÷ 15 = 4 इकाई प्रति दिन दक्षता A + B + C = 60 ÷ 10 = 6 इकाई प्रति दिन

A और C की संयुक्त दक्षता ज्ञात करने के लिए, पहले B की व्यक्तिगत दक्षता की गणना करें: दक्षता B = (दक्षता A + B) + (दक्षता B + C) - (दक्षता A + B + C) दक्षता B = 3 + 4 - 6 = 1 इकाई प्रति दिन

इसके बाद, A और C की एक साथ दक्षता ज्ञात करें: दक्षता A + C = (दक्षता A + B + C) - दक्षता B दक्षता A + C = 6 - 1 = 5 इकाई प्रति दिन

A और C को एक साथ कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: कुल कार्य ÷ दक्षता A + C = 60 ÷ 5 = 12 दिन

व्याख्या

कुल वार्षिक आय कुल वार्षिक व्यय और वार्षिक बचत का योग है।

पहले 4 महीनों के लिए कुल व्यय 4 × 2300 = 9200 रुपये है। अगले 8 महीनों के लिए कुल व्यय 8 × 1800 = 14400 रुपये है। पूरे वर्ष के लिए कुल व्यय 9200 + 14400 = 23600 रुपये है।

वार्षिक बचत 12400 रुपये जोड़ने पर कुल वार्षिक आय प्राप्त होती है: कुल वार्षिक आय = 23600 + 12400 = 36000 रुपये।

औसत मासिक आय ज्ञात करने के लिए, कुल वार्षिक आय को 12 से विभाजित करें: मासिक आय = 36000 ÷ 12 = 3000 रुपये।

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, संक्रियाओं को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में किया जाना चाहिए।

पहले कोष्ठक वाले पद का मूल्यांकन: (24 - 12) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3

दूसरे कोष्ठक वाले पद का मूल्यांकन, जहाँ "का" संक्रिया भाग से पहले की जाती है: 12 of 2 = 12 × 2 = 24 48 ÷ 24 = 2 81 - 2 = 79

दोनों पदों को एक साथ जोड़ना: 3 + 79 = 82

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, पहले भाग और गुणा की संक्रियाएँ बाएं से दाएं की ओर की जाती हैं, उसके बाद जोड़ और घटाव किया जाता है।

सबसे पहले, बाईं ओर गुणा की गणना करें: 512 × 3 = 1536

इसके बाद, दाईं ओर भाग और गुणा का मूल्यांकन करें: 25 ÷ 15 × 9 = 25/15 × 9 = 5/3 × 9 = 5 × 3 = 15

अब, घटाव करें: 1536 - 15 = 1521

व्याख्या

दिया गया है कि 6 sec θ = 10, इसलिए sec θ = 10/6 = 5/3।

चूंकि sec θ कर्ण और आधार का अनुपात है, हम एक समकोण त्रिभुज को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: कर्ण = 5 आधार = 3

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, लम्ब है: √(5² - 3²) = √16 = 4

इससे, अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: sin θ = लम्ब/कर्ण = 4/5 cos θ = आधार/कर्ण = 3/5 cosec θ = कर्ण/लम्ब = 5/4 cot θ = आधार/लम्ब = 3/4

अब, इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (5 cosec θ - 3 cot θ) / (4 cos θ + 3 sin θ)

अंश है: 5(5/4) - 3(3/4) = 25/4 - 9/4 = 16/4 = 4

हर है: 4(3/5) + 3(4/5) = 12/5 + 12/5 = 24/5

इनको मिलाने पर यह प्राप्त होता है: 4 / (24/5) = 4 × 5/24 = 5/6

व्याख्या

दिए गए अनुपात के आधार पर दो संख्याएँ 10x और 13x मान लीजिए।

हमें दिया गया है कि पहली संख्या का 80% 16 है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 0.80 × 10x = 16 8x = 16 x = 2

अब, दूसरी संख्या है: 13x = 13 × 2 = 26

हमें इस दूसरी संख्या का 50% ज्ञात करना है: 26 का 50% = ½ × 26 = 13

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: 1 - sin²θ = cos²θ

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 - sin²θ) = cos θ

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sec θ × √(1 - sin²θ) = sec θ × cos θ

चूंकि sec θ, cos θ का व्युत्क्रम है, इसलिए sec θ = 1/cos θ। इस संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: (1/cos θ) × cos θ = 1

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ = sin θ / cos θ का उपयोग करके, दिए गए समीकरण 3 tan θ = 5 sin θ को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

3 (sin θ / cos θ) = 5 sin θ

समीकरण के दोनों पक्षों को sin θ से विभाजित करने पर, यह मानते हुए कि sin θ ≠ 0:

3 / cos θ = 5

cos θ के लिए हल करने पर:

cos θ = 3/5

व्याख्या

अभय, उसकी पत्नी और उनके बच्चे की वर्तमान आयु का योग, 6 साल पहले उनकी आयु के योग में 3 सदस्यों के लिए 6 साल के आयु वृद्धि कारक को जोड़कर निकाला जाता है: वर्तमान आयु का योग = 3 × 42 + 3 × 6 = 126 + 18 = 144 वर्ष।

इसी तरह, उसकी पत्नी और उनके बच्चे की वर्तमान आयु का योग, 8 साल पहले उनकी आयु के योग में 2 सदस्यों के लिए 8 साल के आयु वृद्धि कारक को जोड़कर निकाला जाता है: पत्नी और बच्चे की वर्तमान आयु का योग = 2 × 30 + 2 × 8 = 60 + 16 = 76 वर्ष।

अभय की वर्तमान आयु दोनों योगों का अंतर है: अभय की वर्तमान आयु = 144 - 76 = 68 वर्ष।

व्याख्या

किसी संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 होना चाहिए या 11 का गुणज होना चाहिए।

संख्या 73A215 में: विषम स्थानों के अंकों का योग = 7 + A + 1 = 8 + A सम स्थानों के अंकों का योग = 3 + 2 + 5 = 10

अंतर (8 + A) - 10 = A - 2 है। इस अंतर के 0 होने के लिए, हमें A - 2 = 0 मिलता है, जिससे A = 2 प्राप्त होता है।

किसी संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए।

संख्या 56B26 में: अंकों का योग = 5 + 6 + B + 2 + 6 = 19 + B

19 से बड़ी 9 की निकटतम गुणज 27 है। इस प्रकार, 19 + B = 27, जिससे B = 8 प्राप्त होता है।

इसलिए, A + B का मान 2 + 8 = 10 है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q)।

दिए गए मानों, p + q = 5 और pq = 18 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: p³ + q³ = 5³ - 3 × 18 × 5

p³ + q³ = 125 - 270

p³ + q³ = -145

व्याख्या

सरल किया जाने वाला सही व्यंजक है 870 का 60% - √(1444 + 18 × 19)। प्रत्येक पद को सरल करने पर 522 - √(1444 + 342) = 522 - √(1786) प्राप्त होता है। नोट: प्रॉम्प्ट में दी गई व्याख्या गलत है। आइए प्रश्न के आधार पर पुनर्मूल्यांकन करें: 870 का 60% - √(1444 + 18 × 19) = 0.60 * 870 - √(1444 + 342) = 522 - √(1786)। √1786 लगभग 42.26 है। इसलिए, 522 - 42.26 = 479.74। यह किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है। आइए मान लें कि व्याख्या का अर्थ 870 का 60% - √1444 + 18 × 19 था, जैसा कि इसमें 522 - 38 + 342 = 826 कहा गया है। आइए व्याख्या की गणना तर्क का पालन करें: 870 का 60% = 0.60 * 870 = 522 √1444 = 38 18 × 19 = 342 522 - 38 + 342 = 484 + 342 = 826।

व्याख्या

दिया गया संबंध है: (x - y) का 70% = (x + y) का 30%

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0.7(x - y) = 0.3(x + y)

सरल करने के लिए दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 7(x - y) = 3(x + y)

पदों का विस्तार करने पर: 7x - 7y = 3x + 3y

x और y को विपरीत पक्षों पर समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 7x - 3x = 3y + 7y 4x = 10y

यह y का x से अनुपात देता है: y / x = 4/10 = 2/5

x का कितना प्रतिशत y है, यह ज्ञात करने के लिए हम गणना करते हैं: (y / x) × 100 = (2/5) × 100 = 40%

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। चूँकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, त्रिज्या में वृद्धि के परिणामस्वरूप क्षेत्रफल में क्रमिक प्रतिशत वृद्धि होती है।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, शुद्ध % परिवर्तन = x + y + (xy)/100।

द्वि-आयामी परिवर्तन के लिए जहाँ दोनों आयाम (त्रिज्या) 10% की वृद्धि करते हैं:

शुद्ध % वृद्धि = 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 20 + 1 = 21%

वैकल्पिक रूप से, यदि मूल त्रिज्या r है, तो नई त्रिज्या 1.1r है। नया क्षेत्रफल π(1.1r)² = 1.21πr² हो जाता है, जो मूल क्षेत्रफल पर 21% की वृद्धि दर्शाता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a - b)² = (a + b)² - 4ab

दिए गए मानों (a + b)² = 100 और ab = 25 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: (a - b)² = 100 - 4 × 25 (a - b)² = 100 - 100 (a - b)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: a - b = 0

व्याख्या

घन के बीजगणितीय योग सूत्र (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ का उपयोग करते हुए, मान लीजिए a = 4/x और b = y।

दिया गया व्यंजक सीधे सरल हो जाता है: (4/x)³ + y³

दिए गए मान x = -2 और y = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: (4/(-2))³ + 1³ = (-2)³ + 1 = -8 + 1 = -7

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण और अन्य दो भुजाओं के बीच संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया जाता है:

h² = a² + b²

यहाँ, सबसे लंबी भुजा कर्ण है, h = 26 सेमी, और अन्य भुजाओं में से एक a = 24 सेमी है। तीसरी भुजा को b मानिए।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

26² = 24² + b² 676 = 576 + b² b² = 676 - 576 b² = 100 b = √100 b = 10 सेमी

यह मानक पाइथागोरियन त्रिक 5-12-13 का भी एक गुणक है, जिसे 10-24-26 प्राप्त करने के लिए 2 के गुणक से बढ़ाया गया है।

व्याख्या

वृत्तों के गुणों के अनुसार, एक जीवा द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण उसी जीवा द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है। यदि परिधि पर बनाया गया कोण 90° है, तो केंद्र पर बनाया गया कोण 2 × 90° = 180° होगा।

एक जीवा जो वृत्त के केंद्र पर 180° का कोण बनाती है, वह व्यास होती है। यह थेल्स प्रमेय द्वारा भी समर्थित है, जो कहता है कि अर्धवृत्त में अंकित कोण समकोण होता है।

चूंकि जीवा PQ वृत्त का व्यास है, इसलिए इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है। त्रिज्या 15 सेमी दी गई है:

PQ की लंबाई = 2 × 15 सेमी = 30 सेमी।

व्याख्या

किसी वस्तु का अंकित मूल्य विक्रय मूल्य, छूट प्रतिशत और अंकित मूल्य के बीच संबंध का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट% / 100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

18400 = अंकित मूल्य × (1 - 8 / 100)

18400 = अंकित मूल्य × (92 / 100)

अंकित मूल्य = (18400 × 100) / 92

अंकित मूल्य = 200 × 100 = 20000

इस प्रकार, सेल फोन का अंकित मूल्य रु. 20,000 है।

व्याख्या

जब मूलधन और समय स्थिर रहते हैं तो साधारण ब्याज सीधे ब्याज दर के समानुपाती होता है।

4 वर्षों में अर्जित प्रारंभिक साधारण ब्याज है: प्रारंभिक ब्याज = राशि - मूलधन = 4960 - 4000 = 960

चूंकि ब्याज की दर स्वयं की 1.5 गुना हो जाती है, इसलिए समान अवधि के लिए नया साधारण ब्याज भी प्रारंभिक ब्याज का 1.5 गुना हो जाएगा: नया ब्याज = 1.5 × 960 = 1440

4 वर्षों के बाद नई राशि मूलधन और नए ब्याज का योग है: नई राशि = मूलधन + नया ब्याज = 4000 + 1440 = 5440

व्याख्या

किया गया कार्य क्षमता और लगने वाले समय का गुणनफल होता है, जो किसी दिए गए कार्य के लिए स्थिर रहता है।

क्षमता × समय = स्थिरांक

मान लीजिए A की मूल क्षमता 100% है, और मूल रूप से लिया गया समय 20 दिन है।

जब A की क्षमता 20% कम हो जाती है, तो नई क्षमता 80% हो जाती है।

क्षमता और समय के बीच व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करके:

100% × 20 = 80% × नया समय

नया समय = (100 × 20) / 80 = 2000 / 80 = 25 दिन

व्याख्या

वृत्ताकार पार्क के एक चक्कर में तय की गई दूरी उसके परिधि के बराबर होती है, जो सूत्र C = π × d द्वारा दी जाती है, जहाँ d व्यास है।

d = 420 मीटर और π = 22/7 का उपयोग करके: दूरी = (22/7) × 420 = 1320 मीटर

मोहन की गति 9 किमी/घंटा है। इस गति को मीटर प्रति मिनट में परिवर्तित करना: गति = 9 × 1000 / 60 = 150 मीटर/मिनट

सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करके: समय = 1320 / 150 = 8.8 मिनट

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = s² जहाँ s वर्ग की भुजा है।

यह देखते हुए कि वर्ग का क्षेत्रफल 1156 सेमी² है, हम भुजा s ज्ञात करते हैं: s = √1156 = 34 सेमी

आयत की लंबाई वर्ग की भुजा की दोगुनी है: लंबाई = 2 × s = 2 × 34 = 68 सेमी

आयत की चौड़ाई वर्ग की भुजा से 14 सेमी कम है: चौड़ाई = s - 14 = 34 - 14 = 20 सेमी

आयत की लंबाई और चौड़ाई के बीच का अनुपात है: लंबाई : चौड़ाई = 68 : 20

अनुपात को सरल बनाने के लिए दोनों पदों को 4 से विभाजित करने पर: 68/4 : 20/4 = 17 : 5

व्याख्या

दूरी की गणना गति और समय के गुणनफल के रूप में की जाती है।

सबसे पहले, 2 घंटे 10 मिनट के चलने के समय को घंटों में बदलें: समय = 2 + 10/60 = 2 + 1/6 = 13/6 घंटे

12 किमी/घंटा की चलने की गति का उपयोग करके, कुल दूरी की गणना करें: दूरी = गति × समय = 12 × 13/6 = 26 किमी

इसके बाद, 13 किमी/घंटा की साइकिल चलाने की गति से 26 किमी की इस दूरी को तय करने में लगने वाले समय का पता लगाएं: समय = दूरी / गति = 26 / 13 = 2 घंटे

साइकिल चलाने के समय को मिनटों में बदलें: 2 घंटे × 60 मिनट/घंटा = 120 मिनट

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: sec 60° = 2 tan 45° = 1 sin 90° = 1

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sec 60° + tan 45° - sin 90° = 2 + 1 - 1 = 2

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य खरीद मूल्य और मरम्मत लागत का योग है: क्रय मूल्य = रु. 4500 + रु. 500 = रु. 5000

विक्रय मूल्य 4,500 रुपये है।

हानि की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य हानि = रु. 5000 - रु. 4500 = रु. 500

हानि प्रतिशत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: हानि प्रतिशत = (हानि ÷ क्रय मूल्य) × 100 हानि प्रतिशत = (500 ÷ 5000) × 100 = 10%

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: sin θ + cos θ = √2

दोनों पक्षों को √2 से विभाजित करने पर: (1/√2) sin θ + (1/√2) cos θ = 1 sin(θ + 45°) = 1

चूंकि sin 90° = 1: θ + 45° = 90° θ = 45°

अब, cosec θ + cot θ में θ = 45° का मान रखने पर: cosec 45° + cot 45° = √2 + 1

व्याख्या

त्रिभुज ABC का अर्ध-परिमाप s इस प्रकार गणना किया जाता है: s = (AB + BC + AC) / 2 s = (20 + 16 + 12) / 2 = 24 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके अंतःत्रिज्या r और अर्ध-परिमाप s से सूत्र द्वारा संबंधित है: क्षेत्रफल = r × s

अंतःत्रिज्या r = 4 सेमी दी गई है: क्षेत्रफल = 4 × 24 = 96 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, चूंकि भुजाओं की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय (12² + 16² = 20²) को संतुष्ट करती है, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार 12 सेमी और ऊंचाई 16 सेमी है। क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = ½ × 12 × 16 = 96 सेमी²

व्याख्या

दिया गया बीजीय व्यंजक (9x² + 12xy + 4y²) / 36 है।

अंश को पूर्ण वर्ग सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है, जहाँ a = 3x और b = 2y है: 9x² + 12xy + 4y² = (3x)² + 2(3x)(2y) + (2y)² = (3x + 2y)²

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (3x + 2y)² / 36 = (3x + 2y)² / 6² = ((3x + 2y) / 6)² = (3x/6 + 2y/6)² = (x/2 + y/3)²

व्याख्या

कुर्सी का अंकित मूल्य उसके विक्रय मूल्य और दी गई छूट का योग है। अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य + छूट अंकित मूल्य = 200 + 40 = 240

अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 30% अधिक है। अंकित मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + 30/100) 240 = क्रय मूल्य × 1.3 क्रय मूल्य = 240 / 1.3 = 2400 / 13

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = ((विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य) / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (विक्रय मूल्य / क्रय मूल्य - 1) × 100

विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: विक्रय मूल्य / क्रय मूल्य = 200 / (2400 / 13) = (200 × 13) / 2400 = 13 / 12 लाभ प्रतिशत = (13 / 12 - 1) × 100 = (1 / 12) × 100 = 8.333... % ≈ 8.34%

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करके, हम व्यंजक को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:

सबसे पहले, कोष्ठकों के अंदर के पदों का मूल्यांकन करें: 7/4 × 1/3 = 7/12 1/5 ÷ 1/25 = 1/5 × 25 = 5

इन्हें व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 25 ÷ 10 - 7/12 of 6/5 + 14/3 × 9/10 + 5

अगला, "of" ऑपरेटर का मूल्यांकन करें: 7/12 of 6/5 = 7/12 × 6/5 = 7/10

अब व्यंजक है: 25 ÷ 10 - 7/10 + 14/3 × 9/10 + 5

अगला, बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 25 ÷ 10 = 5/2 14/3 × 9/10 = 42/10 = 21/5

इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 5/2 - 7/10 + 21/5 + 5

सभी पदों को 10 के सामान्य भाजक के साथ व्यक्त करें: 25/10 - 7/10 + 42/10 + 50/10

अंशों को मिलाएं: (25 - 7 + 42 + 50) / 10 = 110/10 = 11

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

18 सेमी लंबाई की माध्यिका QT के लिए, शीर्ष Q से केंद्रक G तक की दूरी है: QG = (2/3) × QT = (2/3) × 18 = 12 सेमी

27 सेमी लंबाई की माध्यिका RS के लिए, प्रतिच्छेदन G से मध्य बिंदु S तक की दूरी है: GS = (1/3) × RS = (1/3) × 27 = 9 सेमी

चूंकि माध्यिकाएँ QT और RS बिंदु G पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, त्रिभुज QGS एक समकोण त्रिभुज है जिसमें G पर समकोण है। त्रिभुज QGS पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: QS² = QG² + GS² QS² = 12² + 9² QS² = 144 + 81 = 225 QS = √225 = 15 सेमी

व्याख्या

पहले त्रिकोणमितीय समीकरण से, cot(P + Q) = 0। चूँकि cot(90°) = 0, हमारे पास है: P + Q = 90°

दूसरे त्रिकोणमितीय समीकरण से, tan(P - Q) = 1/√3। चूँकि tan(30°) = 1/√3, हमारे पास है: P - Q = 30°

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (P + Q) + (P - Q) = 90° + 30° 2P = 120° P = 60°

P = 60° को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 60° + Q = 90° Q = 30°

व्याख्या

मान लीजिए तिलक का प्रारंभिक वेतन S है।

तीन वर्षों में वेतन में परिवर्तन को क्रमिक गुणकों के रूप में दर्शाया जा सकता है: 15% की वृद्धि 1 + 15/100 = 115/100 = 23/20 के गुणक के अनुरूप है। 20% की कमी 1 - 20/100 = 80/100 = 4/5 के गुणक के अनुरूप है। 25% की वृद्धि 1 + 25/100 = 125/100 = 5/4 के गुणक के अनुरूप है।

तीन वर्षों के बाद अंतिम वेतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: अंतिम वेतन = S × (23/20) × (4/5) × (5/4)

भिन्नों के गुणनफल को सरल बनाने पर, 4/5 और 5/4 के गुणनखंड एक दूसरे को रद्द कर देते हैं: अंतिम वेतन = S × (23/20)

यह देखते हुए कि अंतिम वेतन रु. 23,000 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 23,000 = S × (23/20)

S के लिए हल करना: S = 23,000 × (20/23) S = 1,000 × 20 S = 20,000

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों का उपयोग करके: tan 45° = 1 cos 90° = 0

इन मानों को सीधे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1 - tan² 45°) / (1 + cos² 90°) = (1 - 1²) / (1 + 0²) = 0 / 1 = 0

व्याख्या

सही उत्तर: D

साझेदारी में लाभ, निवेश और समय अवधि के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है।

लाभ अनुपात = (निखिल का निवेश × निखिल का समय) / (नेहा का निवेश × नेहा का समय)

मान लीजिए निखिल के निवेश की समयावधि t वर्ष है। इसलिए, नेहा की निवेश समयावधि t + 1 वर्ष है।

निवेश (5:4) और लाभ (6:5) के दिए गए अनुपातों का उपयोग करते हुए:

6/5 = (5 × t) / (4 × (t + 1))

t के लिए हल करने हेतु तिरछा गुणा करने पर:

6 × (4t + 4) = 5 × 5t 24t + 24 = 25t t = 24

चूंकि निखिल के निवेश का समय 24 वर्ष है, नेहा के निवेश का समय t + 1 = 24 + 1 = 25 वर्ष है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

सर्वसमिका में a = p और b = 2q प्रतिस्थापित करने पर, हमें सीधे प्राप्त होता है: (p + 2q)² - (p - 2q)² = 4 × p × 2q = 8pq

वैकल्पिक रूप से, दोनों पदों का विस्तार करने पर: (p + 2q)² = p² + 4pq + 4q² (p - 2q)² = p² - 4pq + 4q²

दूसरे व्यंजक को पहले व्यंजक से घटाने पर: (p² + 4pq + 4q²) - (p² - 4pq + 4q²) = p² - p² + 4pq + 4pq + 4q² - 4q² = 8pq

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करना:

शुद्ध प्रतिशत = w₁ × p₁ + w₂ × p₂

यहाँ, लेखों के पहले समूह का भार w₁ 60% (या 0.6) है, और इसका प्रतिशत परिवर्तन p₁ -20% (हानि का प्रतिनिधित्व करता है) है। शेष लेखों का भार w₂ 40% (या 0.4) है, और इसका प्रतिशत परिवर्तन p₂ +5% (लाभ का प्रतिनिधित्व करता है)।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना:

शुद्ध प्रतिशत = 0.6 × (-20) + 0.4 × 5 शुद्ध प्रतिशत = -12 + 2 = -10%

ऋणात्मक चिह्न समग्र हानि को इंगित करता है, जो 10% है।

व्याख्या

गणितीय व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम का उपयोग करके किया जाता है, जो कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम को निर्दिष्ट करता है।

व्यंजक का सही सूत्रीकरण है: 224 ÷ 4 का 7 - 210 × 3

सबसे पहले, 'का' (of) संक्रिया की जाती है: 4 का 7 = 28

अगला, भाग संक्रिया की जाती है: 224 ÷ 28 = 8

अगला, गुणा संक्रिया की जाती है: 210 × 3 = 630

अंत में, घटाव किया जाता है: 8 - 630 = -622

व्याख्या

समलम्ब का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h

जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं, और h उनके बीच की लंबवत दूरी है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: क्षेत्रफल = ½ × (15 + 9) × 6 क्षेत्रफल = ½ × 24 × 6 क्षेत्रफल = 72 वर्ग सेमी

तांबे की परत चढ़ाने की लागत 3 रुपये प्रति वर्ग सेंटीमीटर है। इसलिए, प्लेट की ऊपरी सतह पर परत चढ़ाने की कुल लागत है: कुल लागत = क्षेत्रफल × दर कुल लागत = 72 × 3 = 216

व्याख्या

माना फरहान की गति f किमी/घंटा और अमन की गति a किमी/घंटा है। चूँकि फरहान पहले समाप्त करता है, वह तेज धावक है।

दी गई जानकारी से: f - a = 40 f + a = 60

इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर: 2f = 100 f = 50 किमी/घंटा a = 10 किमी/घंटा

माना तय की गई दूरी d किमी है। समय का अंतर 8 मिनट है, जो 8/60 घंटे या 2/15 घंटे के बराबर है।

समय अंतर के लिए संबंध का उपयोग करके: d/a - d/f = 8/60 d/10 - d/50 = 2/15 d × (5 - 1)/50 = 2/15 4d/50 = 2/15 2d/25 = 2/15 d = 25/15 = 5/3 किमी

व्याख्या

A द्वारा पूरा कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम किए गए कार्य के अंश के व्युत्क्रम से दिए गए दिनों को गुणा करते हैं: A द्वारा लिया गया समय = 36 × 8/3 = 96 दिन।

इसी प्रकार, B के लिए: B द्वारा लिया गया समय = 27 × 2 = 54 दिन।

चूंकि दक्षता कार्य पूरा करने के लिए लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, और A, B की तुलना में अधिक समय लेता है (96 दिन > 54 दिन), A, B की तुलना में कम कुशल है। इससे कथन I सही हो जाता है।

कथन II का मूल्यांकन करने के लिए, हम 36 दिनों में A और B द्वारा किए गए संयुक्त कार्य की गणना करते हैं: 36 दिनों में A और B द्वारा किया गया कार्य = 36/96 + 36/54 = 3/8 + 2/3 = (9 + 16)/24 = 25/24।

चूंकि 25/24, 11/15 के बराबर नहीं है, कथन II गलत है।