एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक (Bracket), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में हल किया जाता है।

सबसे पहले, हम व्यंजक में 'का' संक्रियाओं को हल करते हैं: 1/3 का 12/25 = 1/3 × 12/25 = 4/25 18/25 का 25/12 = 18/25 × 25/12 = 3/2 2/5 का 3/8 = 2/5 × 3/8 = 3/20 12/25 का 5/6 = 12/25 × 5/6 = 2/5

अब, इन सरलीकृत मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 5/6 ÷ 4/25 - 1/3 × 5/6 ÷ 3/2 × 1/6 ÷ 3/20 - 2/5

अगला, हम भाग और गुणा का मूल्यांकन करते हैं: पहला भाग: 5/6 ÷ 4/25 = 5/6 × 25/4 = 125/24

दूसरा भाग: 1/3 × 5/6 ÷ 3/2 × 1/6 ÷ 3/20 = 1/3 × 5/6 × 2/3 × 1/6 × 20/3 = 200/972 = 50/243

अब, सरलीकृत भागों को संयोजित करें: 125/24 - 50/243 - 2/5

इस अंतिम बीजगणितीय योग को सरलीकृत करने पर प्राप्त होता है: -3/25

व्याख्या

रानी, प्रिया और गुड्डू द्वारा किए गए काम का अनुपात उनके द्वारा काम पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

रानी : प्रिया : गुड्डू की दक्षता का अनुपात = 1/10 : 1/15 : 1/12

इसे सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को 10, 15 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 60 है: रानी का हिस्सा = 60 / 10 = 6 प्रिया का हिस्सा = 60 / 15 = 4 गुड्डू का हिस्सा = 60 / 12 = 5

उनके द्वारा किए गए काम का अनुपात 6 : 4 : 5 है। चूंकि वे समान अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं, इसलिए भुगतान उनकी दक्षता के इस अनुपात में विभाजित किया जाता है।

कुल अनुपात योग = 6 + 4 + 5 = 15

कुल 9000 रुपये के भुगतान में प्रिया का हिस्सा है: (4 / 15) × 9000 = 4 × 600 = 2400 रुपये

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र TSA = 2(lb + bh + hl) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लम्बाई, b चौड़ाई और h ऊँचाई है।

दी गई जानकारी से: लम्बाई (l) = 8 सेमी चौड़ाई (b) = 2 × 8 = 16 सेमी ऊँचाई (h) = 8 ÷ 2 = 4 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 2 × (8 × 16 + 16 × 4 + 4 × 8) TSA = 2 × (128 + 64 + 32) TSA = 2 × 224 TSA = 448 सेमी²

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके, यदि तीन संख्याओं का योग शून्य हो (a + b + c = 0), तो उनके घनों का योग उनके गुणनफल के तीन गुना के बराबर होता है:

a³ + b³ + c³ = 3abc

यहाँ, दी गई संख्याएँ a = 12, b = -7, और c = -5 हैं।

सबसे पहले, तीन संख्याओं का योग ज्ञात करें: a + b + c = 12 + (-7) + (-5) = 0

चूंकि योग 0 है, इसलिए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: a³ + b³ + c³ = 3 × 12 × (-7) × (-5) = 36 × 35 = 1260

व्याख्या

दिया गया संबंध 2X = 3Y = 4Z है, जहाँ X, Y और Z तीन व्यक्तियों के हिस्से का प्रतिनिधित्व करते हैं।

X : Y : Z का अनुपात ज्ञात करने के लिए, पदों को 2, 3 और 4 के LCM, जो कि 12 है, से विभाजित करें: 2X/12 = 3Y/12 = 4Z/12 X/6 = Y/4 = Z/3

यह उनके हिस्सों का अनुपात X : Y : Z = 6 : 4 : 3 देता है।

अनुपात भागों का कुल योग 6 + 4 + 3 = 13 भाग है।

यह देखते हुए कि कुल राशि ₹13000 है, 1 भाग का मान ₹13000 ÷ 13 = ₹1000 है।

चूंकि Y का हिस्सा 4 भागों के अनुरूप है, Y का हिस्सा है: 4 × ₹1000 = ₹4000।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r त्रिज्या है। दिया गया है कि परिधि 88 सेमी है, हम त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं:

2 × 22/7 × r = 88 44/7 × r = 88 r = 88 × 7 / 44 r = 14 सेमी

वृत्त के गुणों के अनुसार, जीवा द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण 90° होता है यदि और केवल यदि वह जीवा वृत्त का व्यास हो। चूँकि जीवा XY परिधि पर 90° का कोण बनाती है, XY वृत्त का व्यास होना चाहिए।

व्यास की लंबाई 2r होती है:

XY = 2 × 14 = 28 सेमी

व्याख्या

दिया गया श्रेणी है: S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... 100 पदों तक।

चूंकि पदों की कुल संख्या 100 है, हम पदों को दो लगातार संख्याओं के जोड़ों में समूहित कर सकते हैं: S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (99 - 100)

प्रत्येक जोड़े में एक विषम धनात्मक पूर्णांक के बाद अगला लगातार सम ऋणात्मक पूर्णांक आता है। प्रत्येक व्यक्तिगत जोड़े का योग है: n - (n + 1) = -1

कुल 100 पदों के साथ, ठीक 100 / 2 = 50 जोड़े हैं। इसलिए, श्रेणी का कुल योग है: S = 50 × (-1) = -50

व्याख्या

अभिगृहीत कोण प्रमेय के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर किसी चाप या जीवा द्वारा बनाया गया कोण, उसी जीवा द्वारा वृत्त के दीर्घ चाप पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

इस संबंध का उपयोग करके: केंद्र पर कोण = 2 × दीर्घ चाप पर कोण केंद्र पर कोण = 2 × 55° = 110°

व्याख्या

A और B की आय के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: A का 20% = B का 10%

इस प्रतिशत संबंध को सरल बनाने पर: 20 × A = 10 × B B = 2 × A

A की आय रु. 2550 को समीकरण में रखने पर: B = 2 × 2550 = 5100

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A = sin A / cos A का उपयोग करते हुए, दिए गए व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

(tan A - sin A) / (tan A + sin A)

अंश और हर में tan A का मान रखें:

= (sin A / cos A - sin A) / (sin A / cos A + sin A)

अंश और हर दोनों से sin A को कॉमन लें:

= (sin A (1 / cos A - 1)) / (sin A (1 / cos A + 1))

दोनों पदों से sin A को रद्द करें:

= (1 / cos A - 1) / (1 / cos A + 1)

चूंकि cos A का व्युत्क्रम sec A होता है:

= (sec A - 1) / (sec A + 1)

व्याख्या

₹ 700 के प्रारंभिक मूल्य पर 20% और 40% की दो क्रमिक छूट के बाद गेंद का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

विक्रय मूल्य = मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

मूल्य = 700 d₁ = 20 d₂ = 40

विक्रय मूल्य = 700 × (1 - 0.20) × (1 - 0.40) विक्रय मूल्य = 700 × 0.80 × 0.60 विक्रय मूल्य = 700 × 0.48 विक्रय मूल्य = 336

व्याख्या

भारित औसत सूत्र दो संयुक्त समूहों के औसत को संबंधित करता है: संयुक्त कुल आयु = (प्रारंभिक सदस्य × प्रारंभिक औसत) + (नए सदस्य × नया औसत)

दिया गया है: प्रारंभिक सदस्य = 120 प्रारंभिक औसत आयु = 62.5 वर्ष नए सदस्य = 30 संयुक्त सदस्य = 150 संयुक्त औसत आयु = 58.2 वर्ष

प्रारंभिक 120 सदस्यों की कुल आयु है: 120 × 62.5 = 7500 वर्ष

संयुक्त 150 सदस्यों की कुल आयु है: 150 × 58.2 = 8730 वर्ष

30 नए सदस्यों की कुल आयु संयुक्त कुल और प्रारंभिक कुल के बीच का अंतर है: 8730 - 7500 = 1230 वर्ष

नए जुड़े सदस्यों की औसत आयु की गणना उनकी कुल आयु को उनकी संख्या से विभाजित करके की जाती है: 1230 ÷ 30 = 41

व्याख्या

पहली रेलगाड़ी की गति v₁ की गणना सूत्र v₁ = L₁ / t₁ द्वारा की जाती है, जहाँ L₁ रेलगाड़ी की लम्बाई है और t₁ पेड़ को पार करने में लिया गया समय है। v₁ = 300 / 20 = 15 मी/से

जब L₁ और L₂ लम्बाई की दो रेलगाड़ियाँ विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं, तो वे L₁ + L₂ की कुल दूरी पर v₁ + v₂ की सापेक्ष गति से एक-दूसरे को पार करती हैं। संबंध है: v₁ + v₂ = (L₁ + L₂) / t₂

दिए गए मानों L₁ = 300 मीटर, L₂ = 300 मीटर, t₂ = 25 सेकंड, और v₁ = 15 मी/से को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 15 + v₂ = (300 + 300) / 25 15 + v₂ = 600 / 25 15 + v₂ = 24 v₂ = 9 मी/से

व्याख्या

त्रिभुज का केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से सम्मुख भुजा तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूँकि Y, माध्यिका MX पर केन्द्रक है, इसलिए खंडों MY और YX का अनुपात 2:1 है।

यह संबंध दर्शाता है कि माध्यिका MX की कुल लंबाई खंड YX की लंबाई का तीन गुना है: MX = 3 × YX

YX का दिया गया मान रखने पर: MX = 3 × 12 सेमी = 36 सेमी

व्याख्या

टेलीस्कोपिंग भिन्न संबंध का उपयोग करते हुए, 1/(n(n + 1)) के रूप की एक भिन्न को 1/n - 1/(n + 1) के रूप में लिखा जा सकता है।

कथन I का मूल्यांकन: 1/2 + 1/6 + 1/12 = 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) = 1 - 1/4 = 3/4

कथन II का मूल्यांकन: 1/6 + 1/12 + 1/20 = 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) = (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) = 1/2 - 1/5 = 3/10

चूंकि कथन II में योग 3/5 के बजाय 3/10 के बराबर है, कथन II गलत है।

व्याख्या

आय व्यय और बचत का योग होती है। व्यय और बचत का अनुपात 5:4 दिया गया है, इसलिए कुल आय को 5 + 4 = 9 इकाई के रूप में दर्शाया जा सकता है।

चूंकि कुल आय रु. 36000 है, 9 इकाई का मान रु. 36000 के बराबर है। इसका मतलब है कि 1 इकाई रु. 4000 के बराबर है।

राहुल का व्यय 5 इकाई के अनुरूप है, जिसकी गणना 5 × 4000 = रु. 20000 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का प्रयोग करके:

sin² θ = 1 - (9/13)² = 1 - 81/169 = 88/169

sin θ = √88 / 13 = 2√22 / 13

कोसेक फलन, साइन फलन का व्युत्क्रम होता है:

cosec θ = 1 / sin θ = 13 / (2√22)

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर दोनों को √22 से गुणा करें:

cosec θ = 13 × √22 / (2 × 22) = 13√22 / 44

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

मान लीजिए घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः l, b और h हैं।

दी गई जानकारी के अनुसार: l + b = 4 l = 3b

पहले समीकरण में l = 3b को प्रतिस्थापित करने पर: 3b + b = 4 4b = 4 b = 1 सेमी

b के मान का उपयोग करके: l = 3 × 1 = 3 सेमी

घनाभ की ऊंचाई उसकी लंबाई और चौड़ाई के योग की आधी है: h = (l + b) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 सेमी

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में l = 3 सेमी, b = 1 सेमी और h = 2 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (3 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (3 + 2 + 6) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 11 = 22 सेमी²

व्याख्या

मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत का उपयोग करके सूत्र से निकाला जाता है:

CP = SP / (1 + लाभ/100)

SP = ₹80 और लाभ = 25% रखने पर:

CP = 80 / (1 + 0.25) = 80 / 1.25 = ₹64 प्रति किलोग्राम

दो प्रकार की चाय के अनुपात का पता लगाने के लिए मिश्रण के नियम का उपयोग करना:

अनुपात = (महंगी चाय का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ती चाय का मूल्य)

अनुपात = (70 - 64) / (64 - 60) = 6 / 4 = 3 / 2 या 3:2

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, उत्तीर्ण छात्रों की संख्या का अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या से अनुपात उनके संबंधित औसत अंकों की तुलना समग्र औसत अंकों से करके निर्धारित किया जाता है।

उत्तीर्ण औसत: 70 अनुत्तीर्ण औसत: 30 समग्र औसत: 50

उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण छात्रों का अनुपात है: (समग्र औसत - अनुत्तीर्ण औसत) : (उत्तीर्ण औसत - समग्र औसत) (50 - 30) : (70 - 50) 20 : 20 1 : 1

चूंकि अनुपात 1 : 1 है, इसलिए छात्रों की कुल संख्या उत्तीर्ण होने वालों और अनुत्तीर्ण होने वालों के बीच समान रूप से विभाजित होती है।

उत्तीर्ण छात्रों की संख्या = 120 × ½ = 60।

व्याख्या

वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या OX, बिंदु X पर स्पर्शरेखा XY के लंबवत है, जिससे त्रिभुज OXY, X पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज बन जाता है।

समकोण त्रिभुज OXY पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OY² = OX² + XY²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ OY = 50 सेमी और XY = 40 सेमी है: 50² = OX² + 40² 2500 = OX² + 1600 OX² = 2500 - 1600 OX² = 900 OX = √900 OX = 30 सेमी

व्याख्या

घड़ी का अंकित मूल्य M मान लीजिए।

लाभ में परिवर्तन सीधे अंकित मूल्य पर दी गई छूट में परिवर्तन के अनुरूप होता है।

छूट प्रतिशत में अंतर = 9% - 6% = 3%

छूट में यह 3% का अंतर लाभ में रु. 30 की वृद्धि के लिए जिम्मेदार है:

M का 3% = 30

(3/100) × M = 30

M = (30 × 100) / 3

M = 1000

घड़ी का अंकित मूल्य रु. 1,000 है।

व्याख्या

दो दिए गए समीकरणों का वर्ग करने पर:

(sin m + sin n)² = p² sin² m + sin² n + 2 sin m sin n = p²

(cos m + cos n)² = q² cos² m + cos² n + 2 cos m cos n = q²

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

(sin² m + cos² m) + (sin² n + cos² n) + 2(sin m sin n + cos m cos n) = p² + q²

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का प्रयोग करने पर:

1 + 1 + 2(sin m sin n + cos m cos n) = p² + q²

2 + 2(sin m sin n + cos m cos n) = p² + q²

2(sin m sin n + cos m cos n) = p² + q² - 2

sin m sin n + cos m cos n = (p² + q² - 2) / 2

व्याख्या

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका केन्द्रक होता है, जो प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से आधार तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूँकि S केन्द्रक है जहाँ माध्यिकाएँ NA और OB प्रतिच्छेद करती हैं, हमारे पास है:

NS:SA = 2:1 OS:SB = 2:1

दिया गया है NA = 15 सेमी और OB = 15 सेमी:

SA = 1/3 × NA = 1/3 × 15 = 5 सेमी OS = 2/3 × OB = 2/3 × 15 = 10 सेमी

चूँकि माध्यिकाएँ NA और OB बिंदु S पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, कोण OSA 90° है। समकोण त्रिभुज OSA में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

OA² = OS² + SA² OA² = 10² + 5² OA² = 100 + 25 = 125 OA = √125 = 5√5 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत, जब मूलधन और ब्याज की दर स्थिर रहती है, तो अर्जित ब्याज सीधे समय अवधि के समानुपाती होता है।

मान लीजिए मूलधन P है। 5 वर्षों में, धनराशि स्वयं की 4 गुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है कि राशि 4P है। इन 5 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज है: SI₁ = 4P - P = 3P

चूंकि साधारण ब्याज समय के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए 15 वर्षों में अर्जित ब्याज (SI₂) है: SI₂ = SI₁ × (15 / 5) = 3P × 3 = 9P

15 वर्षों के बाद कुल राशि मूलधन और 15 वर्षों में अर्जित ब्याज का योग है: राशि = P + 9P = 10P

इस प्रकार, 15 वर्षों में धनराशि स्वयं की 10 गुनी हो जाती है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज PQR में, अंतःकेंद्र O पर दो शीर्षों द्वारा बनाया गया कोण विपरीत शीर्ष कोण से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित होता है:

∠POR = 90° + ½ ∠PQR

दिया गया है कि ∠POR = 120°, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

120° = 90° + ½ ∠PQR

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

30° = ½ ∠PQR

2 से गुणा करने पर:

∠PQR = 60°

इससे ∠PQR का माप 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² B + cos² B = 1 का उपयोग करके, हम sin B ज्ञात कर सकते हैं:

sin² B = 1 - cos² B

समीकरण में cos B = 5/9 का मान रखने पर:

sin² B = 1 - (5/9)² sin² B = 1 - 25/81 sin² B = 56/81

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

sin B = √56 / √81 sin B = √(4 × 14) / 9 sin B = 2√14 / 9

चूंकि cosec B, sin B का व्युत्क्रम है:

cosec B = 1 / sin B cosec B = 9 / (2√14)

व्याख्या

9 की विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

संख्या 84pp153p के लिए, अंकों का योग है: 8 + 4 + p + p + 1 + 5 + 3 + p = 21 + 3p

इस योग के 9 से विभाज्य होने के लिए, व्यंजक 21 + 3p, 9 का गुणज होना चाहिए। एकल-अंकीय p के लिए सबसे छोटे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मानों का परीक्षण करने पर: p = 0 के लिए, योग 21 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है। p = 1 के लिए, योग 24 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है। p = 2 के लिए, योग 21 + 3 × 2 = 27 है, जो 9 से विभाज्य है।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: m² - n² = (m - n)(m + n)

सर्वसमिका में दिए गए मान m² - n² = 21 और m - n = 3 को प्रतिस्थापित करने पर: 21 = 3 × (m + n)

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: m + n = 21/3 = 7

व्याख्या

मान लीजिए Q की आय 100 है। चूँकि Q अपनी आय का 20% बचाता है, Q का व्यय उसकी आय का 80% है, जो कि 80 है।

P की आय Q की आय का 150% है: 1.50 × 100 = 150

P का व्यय Q के व्यय का 60% है: 0.60 × 80 = 48

P की बचत P की आय और P के व्यय के बीच का अंतर है: 150 - 48 = 102

P अपनी आय का कितना प्रतिशत बचाता है: (102 / 150) × 100 = 68%

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: a + b = 24 8ab = 256

दूसरे समीकरण से, हम ab का मान ज्ञात कर सकते हैं: ab = 256 / 8 = 32

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a² + b² = (a + b)² - 2ab

सर्वसमिका में (a + b) और ab के मानों को प्रतिस्थापित करें: a² + b² = 24² - 2(32) a² + b² = 576 - 64 a² + b² = 512

अब, आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए पूरे व्यंजक को 3 से गुणा करें: 3a² + 3b² = 3(a² + b²) 3a² + 3b² = 3 × 512 3a² + 3b² = 1536

व्याख्या

मान लीजिए एक नोटबुक का विक्रय मूल्य S और एक नोटबुक का क्रय मूल्य C है।

14 नोटबुकों के लिए: कुल विक्रय मूल्य = 14S कुल क्रय मूल्य = 14C

किया गया लाभ 9 नोटबुकों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 9S है।

लाभ संबंध का उपयोग करके: लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य 9S = 14S - 14C 14C = 5S S/C = 14/5

यह विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात 14:5 देता है। यदि क्रय मूल्य 5 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 14 इकाई है, जिसका अर्थ है कि लाभ 9 इकाई है।

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (9 / 5) × 100 = 180%

व्याख्या

कुल कार्य 30 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो 30 इकाई है।

A की दक्षता 30 / 30 = 1 इकाई प्रति दिन है। B की दक्षता 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि B अकेले 8 दिनों तक काम करता है, B द्वारा पूरा किया गया कार्य है: 2 × 8 = 16 इकाई।

शेष कार्य है: 30 - 16 = 14 इकाई।

इस शेष कार्य को A द्वारा अकेले पूरा करने में लिया गया समय है: 14 / 1 = 14 दिन।

व्याख्या

माना 6ˣ = 3ʸ = 2ᶻ = k

k के पदों में प्रत्येक आधार को व्यक्त करना: 6 = k¹/ˣ 3 = k¹/ʸ 2 = k¹/ᶻ

संबंध 2 × 3 = 6 का उपयोग करना: k¹/ᶻ × k¹/ʸ = k¹/ˣ k¹/ᶻ⁺¹/ʸ = k¹/ˣ

घातों को बराबर करना: 1/z + 1/y = 1/x

पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: 1/y + 1/z - 1/x = 0

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत कुल राशि का सूत्र है: A = P × (1 + RT/100)

यहाँ, कुल राशि A रु. 403 है, ब्याज की दर R 10% प्रति वर्ष है, और समय अवधि T 3 वर्ष है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: 403 = P × (1 + (10 × 3)/100) 403 = P × (1 + 30/100) 403 = P × 1.3 P = 403 / 1.3 P = 310

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²θ - cot²θ = 1 का उपयोग करके, हम अंश में संख्या 1 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 1 = cosec²θ - cot²θ = (cosecθ - cotθ)(cosecθ + cotθ)

अब, इसे व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करें: cotθ + cosecθ - 1 = (cotθ + cosecθ) - (cosec²θ - cot²θ) = (cosecθ + cotθ) - (cosecθ - cotθ)(cosecθ + cotθ)

सामान्य पद (cosecθ + cotθ) को गुणनखंडित करने पर: = (cosecθ + cotθ) [1 - (cosecθ - cotθ)] = (cosecθ + cotθ) (1 - cosecθ + cotθ) = (cosecθ + cotθ) (cotθ - cosecθ + 1)

इस गुणनखंडित रूप को मूल भिन्न में वापस प्रतिस्थापित करें: ((cosecθ + cotθ) (cotθ - cosecθ + 1)) / (cotθ - cosecθ + 1)

अंश और हर दोनों से सामान्य पद (cotθ - cosecθ + 1) को रद्द करने पर प्राप्त होता है: cosecθ + cotθ

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए संबंध x⁴ + 1/x⁴ = 47 को सरल करते हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 47 + 2 (x² + 1/x²)² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x² + 1/x² = 7

इस नए संबंध के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: x² + 1/x² + 2 = 7 + 2 (x + 1/x)² = 9

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x + 1/x = 3

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

x + 1/x = 3 के मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + 1/x³ = 3³ - 3(3) x³ + 1/x³ = 27 - 9 x³ + 1/x³ = 18

व्याख्या

नए व्यक्ति के शामिल होने से पहले और बाद में वजन के योग की तुलना करके नए व्यक्ति के वजन की सीधे गणना की जाती है।

प्रारंभिक 20 व्यक्तियों के वजन का योग = 20 × 60 = 1200 किग्रा

21 व्यक्तियों के वजन का योग = 21 × 59 = 1239 किग्रा

नए व्यक्ति का वजन = 1239 किग्रा - 1200 किग्रा = 39 किग्रा

वैकल्पिक रूप से, शॉर्टकट विधि का उपयोग करके:

नए व्यक्ति का वजन = नया औसत + व्यक्तियों की प्रारंभिक संख्या × औसत में परिवर्तन

नए व्यक्ति का वजन = 59 + 20 × (59 - 60) = 59 - 20 = 39 किग्रा

व्याख्या

वर्गमूल के अंदर अंश और हर को (1 - sin A) से गुणा करने पर:

√((1 - sin A) / (1 + sin A)) = √((1 - sin A)(1 - sin A) / ((1 + sin A)(1 - sin A)))

हर में त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² A = cos² A का उपयोग करने पर:

= √((1 - sin A)² / cos² A)

वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

= (1 - sin A) / cos A

पदों को अलग करने पर:

= 1/cos A - sin A/cos A

मूल परिभाषाओं sec A = 1/cos A और tan A = sin A/cos A का उपयोग करने पर:

= sec A - tan A

व्याख्या

दिया गया समीकरण K + 1/K - 2 = 0 है।

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर K + 1/K = 2 प्राप्त होता है।

पूरे समीकरण को K से गुणा करने पर: K² - 2K + 1 = 0

इस द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: (K - 1)² = 0

K के लिए हल करने पर K = 1 प्राप्त होता है।

K = 1 को व्यंजक K¹⁷ + 1/K¹² में प्रतिस्थापित करने पर: 1¹⁷ + 1/1¹² = 1 + 1 = 2।

व्याख्या

सबसे पहले, सूत्र का उपयोग करके कार की प्रारंभिक गति की गणना करें: गति = दूरी / समय

प्रारंभिक दूरी 40 किमी है और लिया गया समय 24 मिनट है, जो 24/60 घंटे या 0.4 घंटे के बराबर है। प्रारंभिक गति = 40 / 0.4 = 100 किमी/घंटा

गति को 40 किमी/घंटा कम कर दिया गया है, जिससे नई गति हो जाती है: नई गति = 100 - 40 = 60 किमी/घंटा

अब, 40 किमी की समान दूरी तय करने के लिए लगने वाले नए समय की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: समय = दूरी / गति

नया समय = 40 / 60 घंटे = 2/3 घंटे

नए समय को मिनट में बदलें: मिनटों में नया समय = 2/3 × 60 = 40 मिनट

व्याख्या

L2 - L1 का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले पांच वर्षों में कंपनी J (L1) और कंपनी K (L2) द्वारा कारों के कुल उत्पादन की गणना करते हैं।

L1 कंपनी J द्वारा उत्पादन का योग है: L1 = 120 + 80 + 40 + 30 + 20 = 290

L2 कंपनी K द्वारा उत्पादन का योग है: L2 = 50 + 60 + 120 + 100 + 70 = 400

L2 से L1 घटाने पर आवश्यक अंतर प्राप्त होता है: L2 - L1 = 400 - 290 = 110

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को दो पदों का अलग-अलग मूल्यांकन करके सरल बनाया जा सकता है।

पहला पद मान लीजिए: T₁ = ((1 + x) / (1 - x²)) ÷ ((1 + x) / (1 - x⁴))

भाग को व्युत्क्रम के साथ गुणा में बदलकर: T₁ = ((1 + x) / (1 - x²)) × ((1 - x⁴) / (1 + x)) T₁ = (1 - x⁴) / (1 - x²)

चूंकि 1 - x⁴ = (1 - x²)(1 + x²), इसे प्रतिस्थापित करने पर: T₁ = ((1 - x²)(1 + x²)) / (1 - x²) T₁ = 1 + x²

दूसरा पद मान लीजिए: T₂ = ((1 - x⁴) / (1 - x)) × ((1 + x) / (1 - x²))

1 - x⁴ के लिए समान सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: T₂ = (((1 - x²)(1 + x²)) / (1 - x)) × ((1 + x) / (1 - x²)) T₂ = ((1 + x²)(1 + x)) / (1 - x)

अब, T₁ में से T₂ घटाने पर: T₁ - T₂ = (1 + x²) - ((1 + x²)(1 + x)) / (1 - x)

(1 + x²) को उभयनिष्ठ लेकर: T₁ - T₂ = (1 + x²) [1 - (1 + x) / (1 - x)] T₁ - T₂ = (1 + x²) [((1 - x) - (1 + x)) / (1 - x)] T₁ - T₂ = (1 + x²) [-2x / (1 - x)] T₁ - T₂ = 2x(1 + x²) / (x - 1)

व्याख्या

त्रिभुज का केन्द्रक उस आकृति का ज्यामितीय केंद्र होता है, जिसे त्रिभुज की तीन माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है। माध्यिका त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु तक खींची गई रेखा खंड होती है। केन्द्रक हमेशा त्रिभुज के अंदर स्थित होता है और प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसमें बड़ा भाग शीर्ष के करीब होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका cos x = sin(90° - x) का उपयोग करके, हम cos 50° को इस प्रकार लिख सकते हैं:

cos 50° = sin(90° - 50°) = sin 40°

इसे दी गई समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

sin(θ + 30°) = sin 40°

कोणों की तुलना करने पर:

θ + 30° = 40° θ = 10°

व्याख्या

सही उत्तर: B

पहली घड़ी का क्रय मूल्य ₹12000 है और इसे 10% के लाभ पर बेचा जाता है। पहली घड़ी पर लाभ = 12000 × 10% = ₹1200

दूसरी घड़ी का क्रय मूल्य ₹20000 है और इसे 20% की हानि पर बेचा जाता है। दूसरी घड़ी पर हानि = 20000 × 20% = ₹4000

चूंकि हानि लाभ से अधिक है, इसलिए लेन-देन में कुल हानि होती है। कुल हानि = दूसरी घड़ी पर हानि - पहली घड़ी पर लाभ कुल हानि = 4000 - 1200 = ₹2800

व्याख्या

एक घंटे में बस के रुकने का समय मानक संबंध का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रति घंटा रुकने का समय = (ठहराव को छोड़कर गति - ठहराव सहित गति) ÷ ठहराव को छोड़कर गति × 60 मिनट

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रति घंटा रुकने का समय = (60 - 54) ÷ 60 × 60 = 6 ÷ 60 × 60 = 6 मिनट

ठहराव के कारण, बस एक घंटे में 6 किमी कम दूरी तय करती है। 60 किमी/घंटा की गैर-ठहराव गति से इस शेष 6 किमी दूरी को तय करने के लिए आवश्यक समय 6/60 घंटे है, जो 6 मिनट के बराबर है। यह प्रति घंटे बस के कुल रुकने के समय को दर्शाता है।

व्याख्या

एक स्थिर प्रतिशत वृद्धि के तहत n वर्षों के बाद कर्मचारी के वेतन की गणना चक्रवृद्धि वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

भविष्य का वेतन = वर्तमान वेतन × (1 + r/100)ⁿ

दिया गया है कि वर्तमान वेतन रु.14,000 है, वार्षिक वृद्धि दर 20% है, और अवधि 3 वर्ष है:

भविष्य का वेतन = 14000 × (1 + 20/100)³ भविष्य का वेतन = 14000 × (1.2)³ भविष्य का वेतन = 14000 × 1.728 भविष्य का वेतन = 24192

व्याख्या

मान लीजिए दो वास्तविक संख्याएँ x और y हैं। हमें उनके वर्गों का योग x² + y² = 12 और उनका गुणनफल xy = 4 दिया गया है।

अंतर के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: (x - y)² = x² + y² - 2xy

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (x - y)² = 12 - 2 × 4 (x - y)² = 12 - 8 (x - y)² = 4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर दो संख्याओं के बीच का निरपेक्ष अंतर प्राप्त होता है: |x - y| = √4 = 2

व्याख्या

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है:

L = (θ / 360°) × 2πr

दिए गए मानों, r = 7 इकाई और θ = 60°, को प्रतिस्थापित करने और π ≈ 22/7 का उपयोग करने पर:

L = (60 / 360) × 2 × (22/7) × 7 L = 1/6 × 44 L = 22/3 इकाई