एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन कोटैंजेंट, टैनजेंट फलन का व्युत्क्रम है, जिसे संबंध cot θ = 1 / tan θ द्वारा परिभाषित किया गया है।

दिए गए कोण θ = 60° के लिए: cot 60° = 1 / tan 60°

चूंकि tan 60° का मानक त्रिकोणमितीय मान √3 है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: cot 60° = 1 / √3

व्याख्या

₹1,248 की कुल राशि को रिधान और विहान के बीच 2:3 के अनुपात में विभाजित किया गया है।

अनुपात के कुल भाग 2 + 3 = 5 के बराबर हैं।

विहान का हिस्सा कुल 5 भागों में से 3 भागों के अनुरूप है।

विहान का हिस्सा = (3/5) × 1,248 विहान का हिस्सा = 0.6 × 1,248 = 748.80

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मान tan(45°) = 1 और cos(30°) = √3/2 हैं।

यह रैखिक समीकरणों की प्रणाली देता है: x + y = 45 x - y = 30

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 75 x = 37.5

दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर: 2y = 15 y = 7.5

यह सीधे x = 37.5 और y = 7.5 के मान देता है।

व्याख्या

दो पदों के योग और अंतर के गुणनफल के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, जिसे वर्गों का अंतर भी कहा जाता है, इस प्रकार तैयार की जाती है: (a + b)(a - b) = a² - b²

दिए गए व्यंजक (x + 11)(x - 11) को इस सूत्र से मिलाने पर, हम a = x और b = 11 की पहचान करते हैं। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: (x + 11)(x - 11) = x² - 11²

11 का वर्ग ज्ञात करने पर: 11 × 11 = 121

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर सरलीकृत विस्तारित रूप प्राप्त होता है: x² - 121

व्याख्या

थेल्स प्रमेय के अनुसार, वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है। चूँकि AC वृत्त का व्यास है और B परिधि पर एक बिंदु है, कोण ABC 90° है।

त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: कोण BAC + कोण ABC + कोण BCA = 180°

ज्ञात मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 40° + 90° + कोण BCA = 180° 130° + कोण BCA = 180° कोण BCA = 50°

व्याख्या

मान लीजिए तरबूजों की मूल संख्या N है।

चूंकि फल विक्रेता 45% तरबूज बेच देता है, उसके पास बचे तरबूजों का प्रतिशत है: 100% - 45% = 55%

यह शेष मात्रा 495 तरबूज दी गई है। प्रतिशत संबंध का उपयोग करके: N का 55% = 495 (55 / 100) × N = 495 (11 / 20) × N = 495 N = (495 × 20) / 11 N = 45 × 20 = 900

व्याख्या

क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिया गया है: अंकित मूल्य (MP) = रु. 1650 पहली छूट (d₁) = 10% दूसरी छूट (d₂) = 20%

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: SP = 1650 × (1 - 10/100) × (1 - 20/100) SP = 1650 × 0.9 × 0.8 SP = 1650 × 0.72 SP = 1188

व्याख्या

यदि x + 1/x = 2K है, तो समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = (2K)² x² + 2 + 1/x² = 4K² x² + 1/x² = 4K² - 2

चौथी घात वाले पदों को ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का पुनः वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = (4K² - 2)² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 16K⁴ - 16K² + 4 x⁴ + 1/x⁴ = 16K⁴ - 16K² + 4 - 2 x⁴ + 1/x⁴ = 16K⁴ - 16K² + 2

व्याख्या

सही उत्तर: D

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx

दिए गए व्यंजक a² + 4b² + 9c² - 4ab + 12bc - 6ca की इस सर्वसमिका से तुलना करके, हम x, y और z पदों को निर्धारित कर सकते हैं: x² = a² जिससे x = a y² = 4b² जिससे y = -2b (क्योंकि पद -4ab ऋणात्मक है) z² = 9c² जिससे z = -3c (क्योंकि पद -6ca ऋणात्मक है और 12bc धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि y और z का चिन्ह समान होना चाहिए)

सर्वसमिका में x = a, y = -2b, और z = -3c को प्रतिस्थापित करने पर: (a - 2b - 3c)² = a² + (-2b)² + (-3c)² + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(a) = a² + 4b² + 9c² - 4ab + 12bc - 6ca

व्याख्या

दो अंकों वाली विषम संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती हैं: 11, 13, 15, ..., 99।

यहाँ, पहला पद a = 11, अंतिम पद l = 99, और सार्व अंतर d = 2 है।

AP में पदों की संख्या n निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: l = a + (n - 1)d

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 99 = 11 + (n - 1) × 2 88 = (n - 1) × 2 44 = n - 1 n = 45

AP का योग S निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: S = (n / 2) × (a + l)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S = (45 / 2) × (11 + 99) S = (45 / 2) × 110 S = 45 × 55 S = 2475

व्याख्या

मान लीजिए मूल भिन्न x/y है।

जब अंश x में 140% की वृद्धि की जाती है, तो नया अंश x + 1.40x = 2.40x हो जाता है।

जब हर y में 20% की कमी की जाती है, तो नया हर y - 0.20y = 0.80y हो जाता है।

परिणामी भिन्न का मान 12/7 दिया गया है: 2.40x / 0.80y = 12/7

बाईं ओर गुणांकों के अनुपात को सरल करने पर: 3 × (x/y) = 12/7

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: x/y = 4/7

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज (SI) अंतिम राशि और निवेश की गई मूल राशि के बीच का अंतर है: SI = राशि - मूलधन SI = 6000 - 3000 = 3000

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

यहाँ, मूलधन (P) 3000 है। चूँकि ब्याज की वार्षिक दर (R) और वर्षों में समयावधि (T) समान हैं, मान लीजिए R = T = x।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 3000 = (3000 × x × x) / 100 3000 = 3000 × x² / 100 1 = x² / 100 x² = 100 x = 10

ब्याज की वार्षिक दर 10% है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत 33.33% है, जो भिन्नात्मक रूप में 1/3 के बराबर है।

विक्रय मूल्य (SP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध का उपयोग करके: SP = CP × (1 + लाभ भिन्न)

पहले विक्रय मूल्य 960 रुपये को प्रतिस्थापित करने पर: 960 = CP × (1 + 1/3) 960 = CP × 4/3 CP = 960 × 3/4 = 720

20% लाभ के लिए नया विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम CP = 720 और 20% या 0.2 के लाभ भिन्न के साथ समान सूत्र का उपयोग करते हैं: नया SP = 720 × (1 + 0.2) नया SP = 720 × 1.2 = 864

व्याख्या

d₁ = 20% और d₂ = 10% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रभावी छूट % = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रभावी छूट % = 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 28%

यह देखते हुए कि यह कुल छूट रु. 252 है, अंकित मूल्य (MP) निर्धारित किया जा सकता है: MP का 28% = 252 MP = (252 × 100) / 28 = रु. 900

पुस्तक का विक्रय मूल्य (SP) है: SP = MP - छूट = 900 - 252 = रु. 648

क्रय मूल्य (CP) रु. 600 दिया गया है, विक्रम द्वारा अर्जित लाभ है: लाभ = SP - CP = 648 - 600 = रु. 48

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों (a + b + c) = 7 और (ab + bc + ca) = 12 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 7² = a² + b² + c² + 2(12) 49 = a² + b² + c² + 24

वांछित व्यंजक के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² + b² + c² = 49 - 24 a² + b² + c² = 25

व्याख्या

चूंकि MN, BC के समानांतर है, त्रिभुज MAN, त्रिभुज ABC के समरूप है।

संगत भुजाओं का अनुपात है: AN/AC = AN / (AN + NC) = 4 / (4 + 5) = 4/9

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(त्रिभुज MAN) / Area(त्रिभुज ABC) = (AN/AC)² = (4/9)² = 16/81

मान लीजिए Area(त्रिभुज MAN) = 16x और Area(त्रिभुज ABC) = 81x।

चतुर्भुज MBCN का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अंतर है: Area(चतुर्भुज MBCN) = Area(त्रिभुज ABC) - Area(त्रिभुज MAN) 130 = 81x - 16x 130 = 65x x = 2

इसलिए, त्रिभुज MAN का क्षेत्रफल है: Area(त्रिभुज MAN) = 16x = 16 × 2 = 32 cm²

व्याख्या

तीन पदों के योग, उनके वर्गों और उनके युग्मित गुणनफलों के बीच संबंध स्थापित करने वाली बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

सर्वसमिका में दिए गए मानों, a + b + c = 0 और ab + bc + ca = -11 को प्रतिस्थापित करने पर: 0² = a² + b² + c² + 2(-11) 0 = a² + b² + c² - 22 a² + b² + c² = 22

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

सूत्र में आधार = 12 सेमी और ऊँचाई = 8 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 12 सेमी × 8 सेमी क्षेत्रफल = 6 सेमी × 8 सेमी क्षेत्रफल = 48 सेमी²

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज XYZ में जिसका अंतःकेंद्र I है, अंतःकेंद्र पर भुजा YZ द्वारा बनाया गया कोण विपरीत शीर्ष कोण ∠YXZ से मानक सूत्र द्वारा संबंधित होता है: ∠YIZ = 90° + ½ ∠YXZ

दिए गए मान ∠YIZ = 115° को इस संबंध में प्रतिस्थापित करें: 115° = 90° + ½ ∠YXZ

समीकरण के दोनों पक्षों से 90° घटाएं: 25° = ½ ∠YXZ

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: ∠YXZ = 50°

यह गणना शीर्ष कोण ∠YXZ को 50° के रूप में प्राप्त करती है।

व्याख्या

पूरक कोण वे दो कोण होते हैं जिनका योग 90° होता है। किसी भी कोण θ के लिए, उसका पूरक कोण 90° - θ होता है।

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, पूरक कोण का स्पर्शज्या (tangent) निम्नलिखित संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है:

tan(90° - θ) = cot(θ)

यह सर्वसमिका दर्शाती है कि किसी कोण के पूरक का स्पर्शज्या (tangent), उस कोण के कोटिज्या (cotangent) के बराबर होता है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम में किया जाना चाहिए।

दिया गया व्यंजक है: 15 - 3 का 12 ÷ 2 + 3 का 2 ÷ 2

सबसे पहले, "का" संक्रियाओं का मूल्यांकन करें, जिनकी प्राथमिकता भाग से अधिक होती है: 3 का 12 = 3 × 12 = 36 3 का 2 = 3 × 2 = 6

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 15 - 36 ÷ 2 + 6 ÷ 2

अगला, भाग संक्रियाएँ करें: 36 ÷ 2 = 18 6 ÷ 2 = 3

इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 15 - 18 + 3

अंत में, घटाव और जोड़ को बाएं से दाएं करें: 15 - 18 + 3 = -3 + 3 = 0

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है और दूसरी संख्या y है।

दी गई शर्त के अनुसार: x का 45% = y का 6/5

प्रतिशत को भिन्न में बदलें और समीकरण स्थापित करें: 45/100 × x = 6/5 × y 9/20 × x = 6/5 × y

अनुपात x : y ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: x/y = (6/5) × (20/9) x/y = (6 × 20) / (5 × 9) x/y = 120/45 x/y = 8/3

इस प्रकार, दो संख्याओं के बीच का अनुपात 8:3 है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr होता है, जहाँ r त्रिज्या है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर r = C / 2π प्राप्त होता है।

छोटे वृत्त के लिए जिसकी परिधि C₁ = 264 मीटर है: r₁ = 264 ÷ (2 × 22/7) = (264 × 7) / 44 = 42 मीटर

बड़े वृत्त के लिए जिसकी परिधि C₂ = 308 मीटर है: r₂ = 308 ÷ (2 × 22/7) = (308 × 7) / 44 = 49 मीटर

वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² होता है। बड़े वृत्त और छोटे वृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

क्षेत्रफल में अंतर = πr₂² - πr₁² = π(r₂² - r₁²) क्षेत्रफल में अंतर = π(r₂ - r₁)(r₂ + r₁) क्षेत्रफल में अंतर = (22/7) × (49 - 42) × (49 + 42) क्षेत्रफल में अंतर = (22/7) × 7 × 91 क्षेत्रफल में अंतर = 22 × 91 = 2002 मी²

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका cot(90° - θ) = tan θ का उपयोग करके, cot 70° को इस प्रकार लिखा जा सकता है: cot 70° = cot(90° - 20°) = tan 20°

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 3/5 (sec² 20° - cot² 70°) = 3/5 (sec² 20° - tan² 20°)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करके: 3/5 (1) = 3/5

व्याख्या

मान लीजिए प्रत्येक तरफ तय की गई दूरी d किमी है।

समय = दूरी / गति सूत्र का उपयोग करके, आगे की यात्रा में लिया गया समय d/60 घंटे है, और वापसी की यात्रा में लिया गया समय d/30 घंटे है।

चूंकि वापसी की यात्रा में 1 घंटा अधिक लगता है, हम समीकरण स्थापित करते हैं:

d/30 - d/60 = 1

d के लिए हल करने के लिए, पूरे समीकरण को सामान्य भाजक, 60 से गुणा करें:

2d - d = 60

d = 60 किमी

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि C का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r त्रिज्या है। दी गई परिधि 22 सेमी और π ≈ 22/7 का उपयोग करके:

22 = 2 × (22/7) × r r = 7/2 = 3.5 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल A, सूत्र A = πr² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। प्राप्त त्रिज्या को प्रतिस्थापित करने पर:

A = (22/7) × (7/2)² A = (22/7) × (49/4) A = 77/2 = 38.5 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए पहले तीन छात्रों के कुल अंक T₃ हैं। T₃ = 3 × 55 = 165

जब दो छात्र, A और B, जोड़े जाते हैं, तो छात्रों की संख्या 5 हो जाती है, और नया औसत 55 - 5 = 50 होता है। मान लीजिए सभी पाँच छात्रों के कुल अंक T₅ हैं। T₅ = 5 × 50 = 250

A और B द्वारा प्राप्त अंकों का योग दो कुल अंकों के बीच का अंतर है: A + B = 250 - 165 = 85

हमें दिया गया है कि B ने A से 15 अंक अधिक प्राप्त किए: B = A + 15

इसे योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: A + (A + 15) = 85 2A + 15 = 85 2A = 70 A = 35

व्याख्या

किए गए कार्य की मात्रा के लिए कार्य पूरा करने में लगने वाला समय सीधे आनुपातिक होता है।

100% कार्य पूरा करने में लगा समय = 40 दिन

कार्य के 20% के लिए लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, कुल दिनों को आवश्यक प्रतिशत से गुणा करें:

आवश्यक दिन = 40 × 20% आवश्यक दिन = 40 × (20 / 100) आवश्यक दिन = 40 × 0.2 आवश्यक दिन = 8 दिन

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (p + 1/p)² = p² + 1/p² + 2

दिया गया है कि p² + 1/p² = 14, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: (p + 1/p)² = 14 + 2 = 16 p + 1/p = 4

अब, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: p³ + 1/p³ = (p + 1/p)³ - 3(p + 1/p)

p + 1/p = 4 को इस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: p³ + 1/p³ = 4³ - 3 × 4 = 64 - 12 = 52

व्याख्या

त्रिभुज STU में थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) द्वारा, चूँकि रेखा XY, TU के समानांतर है, यह भुजाओं ST और SU को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है: SX/XT = SY/UY

दिए गए मानों को अनुपात में प्रतिस्थापित करना: 2/5 = SY/20

SY के लिए हल करना: SY = (2 × 20) / 5 = 8 सेमी

भुजा SU की कुल लंबाई SY और UY का योग है: SU = SY + UY = 8 + 20 = 28 सेमी

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार की परिधि 2πr द्वारा दी जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है।

2πr = 88 2 × (22/7) × r = 88 r = 14 सेमी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l की गणना शंकु की ऊँचाई h के साथ संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके की जाती है।

l = √(14² + 28²) l = √(196 + 784) l = √980 l = 14√5 सेमी

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र πrl द्वारा दिया जाता है।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 14 × 14√5 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 14√5 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616√5 सेमी²

व्याख्या

जब r त्रिज्या वाले दो सर्वांगसम वृत्त एक दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि प्रत्येक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्या r के बराबर होती है।

केंद्रों को मिलाने वाली रेखा और उभयनिष्ठ जीवा एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह उभयनिष्ठ जीवा को उनकी ऊंचाई के रूप में साझा करने वाले दो समकोण त्रिभुज बनाता है।

इनमें से किसी एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, उभयनिष्ठ जीवा की आधी लंबाई √(r² - (r/2)²) = (r√3)/2 द्वारा दी जाती है।

इसलिए, उभयनिष्ठ जीवा की कुल लंबाई इस मान का दोगुना है: उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = r√3

दिए गए त्रिज्या r = 6 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = 6√3 सेमी

व्याख्या

त्रिज्याएँ R और r वाले दो वृत्तों के बीच सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लम्बाई, उनके केन्द्रों के बीच की दूरी d, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (R - r)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: L = 30 सेमी, R = 20 सेमी, और r = 4 सेमी:

30 = √(d² - (20 - 4)²) 30 = √(d² - 16²)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

900 = d² - 256 d² = 900 + 256 d² = 1156 d = √1156 = 34 सेमी

व्याख्या

11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

चार अंकों की संख्या 6m61 के लिए, हम प्रत्येक स्थान पर अंकों की पहचान करते हैं: विषम स्थानों पर स्थित अंकों का योग (दाएँ से पहला और तीसरा) = 1 + m सम स्थानों पर स्थित अंकों का योग (दाएँ से दूसरा और चौथा) = 6 + 6 = 12

इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: 12 - (1 + m) = 11 - m

6m61 के 11 से विभाज्य होने के लिए, यह अंतर (11 - m) 11 का गुणज होना चाहिए। चूँकि m, 0 से 9 तक का एक एकल-अंकीय पूर्णांक है, एकमात्र संभावित मान जो इस शर्त को पूरा करता है, वह m = 0 है, जिससे अंतर 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करके:

समग्र लाभ % = (n₁ × P₁ + n₂ × P₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, पहली मात्रा n₁ 40 पेन है जिन्हें 20% की हानि (P₁ = -20) पर बेचा गया, दूसरी मात्रा n₂ शेष 40 पेन हैं जिन्हें P₂% के लाभ पर बेचा गया, और कुल 80 पेन पर समग्र लाभ 20% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

20 = (40 × (-20) + 40 × P₂) / 80

20 = (-800 + 40 × P₂) / 80

1600 = -800 + 40 × P₂

2400 = 40 × P₂

P₂ = 60%

शेष 40 पेन पर लाभ प्रतिशत 60% है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² β - tan² β = 1 का उपयोग करके, हम व्यंजक को (sec β + tan β)(sec β - tan β) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।

sec β + tan β = 2 के दिए गए मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2(sec β - tan β) = 1 sec β - tan β = ½

इस समीकरण को दिए गए समीकरण sec β + tan β = 2 से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है: 2 tan β = 2 - ½ 2 tan β = 3/2 tan β = 3/4

चूंकि cot β, tan β का व्युत्क्रम है, हम पाते हैं: cot β = 1/tan β = 4/3

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात sec A को समकोण त्रिभुज के कर्ण और आधार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

sec A = कर्ण/आधार = 9/4

इससे कर्ण 9 और आधार 4 प्राप्त होता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: कर्ण² = आधार² + लम्ब² 9² = 4² + लम्ब² 81 = 16 + लम्ब² लम्ब² = 81 - 16 = 65 लम्ब = √65

त्रिकोणमितीय अनुपात cot A को आधार और लम्ब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: cot A = आधार/लम्ब = 4/√65

व्याख्या

त्रिभुज PQR में, N, QR का मध्यबिंदु है क्योंकि PN माध्यिका है। इसलिए, QN = NR = ½ QR।

दिया गया है कि PN = QN, तो हमारे पास PN = QN = NR है। इसका मतलब है कि N से तीनों शीर्षों P, Q और R की दूरी बराबर है। इस प्रकार, N, त्रिभुज PQR का परिकेंद्र है, और परिकृत QR को व्यास मानकर P, Q और R से होकर गुजरता है।

व्यास द्वारा वृत्त के किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण समकोण होता है। चूँकि QR व्यास है, तो ∠QPR कोण 90° है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, अंतःकेंद्र पर कोण समद्विभाजकों द्वारा बनाया गया कोण मानक संबंध द्वारा विपरीत शीर्ष कोण से संबंधित होता है: ∠OLP = 90° + ½ ∠ONP

हमें संबंध दिया गया है: ∠OLP + ∠ONP = 195°

∠OLP के लिए सूत्र को इस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: (90° + ½ ∠ONP) + ∠ONP = 195° 90° + 3/2 ∠ONP = 195° 3/2 ∠ONP = 105° ∠ONP = 70°

∠ONP = 70° को ∠OLP के लिए संबंध में वापस प्रतिस्थापित करने पर: ∠OLP = 90° + ½ × 70° = 125°

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों, a + b + c = 0 और a² + b² + c² = 40 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 0² = 40 + 2(ab + bc + ca)

यह सरल हो जाता है: 0 = 40 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = -40 ab + bc + ca = -20

व्याख्या

माना संख्या x है। संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग इस प्रकार दिया गया है: x + 1/x = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 4²

बीजगणितीय विस्तार सूत्र (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके: x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 16 x² + 2 + 1/x² = 16

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर उनके वर्गों का योग प्राप्त होता है: x² + 1/x² = 16 - 2 x² + 1/x² = 14

व्याख्या

राजस्व (Revenue) मूल्य (price) और बिक्री मात्रा (sales volume) का गुणनफल होता है। जब किसी गुणनफल के कारकों में क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो गुणनफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (x × y)/100

यहाँ, x मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन को दर्शाता है, जो -30 है (क्योंकि यह घटता है), और y बिक्री में प्रतिशत परिवर्तन को दर्शाता है, जो +40 है (क्योंकि यह बढ़ता है)।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -30 + 40 + ((-30 × 40) / 100) शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 10 - (1200 / 100) शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 10 - 12 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -2%

ऋणात्मक चिन्ह कमी को दर्शाता है। इसलिए, राजस्व में 2% की कमी है।

व्याख्या

मान लीजिए रुस्तम, प्रीतम और गीताम की वर्तमान आयु क्रमशः R, P और G है।

दी गई औसत आयु के आधार पर, हम योग समीकरण लिख सकते हैं: R + P = 2 × 30 = 60 P + G = 2 × 20 = 40 R + G = 2 × 26 = 52

इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर: 2(R + P + G) = 60 + 40 + 52 = 152 R + P + G = 76

प्रत्येक व्यक्ति की आयु ज्ञात करने के लिए: G = (R + P + G) - (R + P) = 76 - 60 = 16 वर्ष R = (R + P + G) - (P + G) = 76 - 40 = 36 वर्ष P = (R + P + G) - (R + G) = 76 - 52 = 24 वर्ष

उनमें सबसे छोटा गीताम है, जिसकी वर्तमान आयु 16 वर्ष है।

5 वर्ष बाद, गीताम की आयु होगी: 16 + 5 = 21 वर्ष।

व्याख्या

हानि प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: हानि % = ((क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य)/क्रय मूल्य) × 100

दिए गए विक्रय मूल्य SP₁ = 210 और SP₂ = 420 के लिए, संबंधित हानि प्रतिशत हैं: L1 = ((क्रय मूल्य - 210)/क्रय मूल्य) × 100 L2 = ((क्रय मूल्य - 420)/क्रय मूल्य) × 100

हमें दिया गया है कि L1 - L2 = 7। इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: (((क्रय मूल्य - 210)/क्रय मूल्य) × 100) - (((क्रय मूल्य - 420)/क्रय मूल्य) × 100) = 7

100/क्रय मूल्य को कॉमन लेने पर: (100/क्रय मूल्य) × (क्रय मूल्य - 210 - क्रय मूल्य + 420) = 7 (100/क्रय मूल्य) × 210 = 7 21000 / क्रय मूल्य = 7 क्रय मूल्य = 21000 / 7 क्रय मूल्य = 3000

व्याख्या

कार्य दर संबंध का उपयोग करके:

1/P + 1/Q = 1/T

जहाँ P, P द्वारा अकेले लिया गया समय है, Q, Q द्वारा अकेले लिया गया समय है (25 दिन), और T, संयुक्त समय है (20 दिन)।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1/P + 1/25 = 1/20

1/P = 1/20 - 1/25

100 का सामान्य भाजक लेने पर:

1/P = (5 - 4) / 100 = 1/100

P = 100 दिन

वैकल्पिक रूप से, LCM विधि का उपयोग करके:

कुल कार्य को 20 और 25 का LCM माना जाए, जो कि 100 इकाई है।

P और Q की संयुक्त दक्षता = 100 / 20 = 5 इकाई प्रति दिन।

Q की दक्षता = 100 / 25 = 4 इकाई प्रति दिन।

P की दक्षता = 5 - 4 = 1 इकाई प्रति दिन।

P द्वारा अकेले आवश्यक दिन = 100 / 1 = 100 दिन।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण sec x + cos x = 5/2 को देखते हुए, हम sec x = 1/cos x प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

माना cos x = t। समीकरण बन जाता है: 1/t + t = 5/2

दोनों पक्षों को 2t से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 2 + 2t² = 5t 2t² - 5t + 2 = 0

इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (2t - 1)(t - 2) = 0

यह t के दो संभावित मान देता है: t = ½ या t = 2

चूंकि x, 0° और 90° के बीच स्थित है, cos x का मान (0, 1) अंतराल में होना चाहिए। इसलिए, t = 2 को छोड़ दिया जाता है, जिससे प्राप्त होता है: cos x = ½

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²x + cos²x = 1 का उपयोग करके, हम sin²x के लिए हल करते हैं: sin²x = 1 - cos²x sin²x = 1 - (½)² sin²x = 1 - ¼ sin²x = ¾

व्याख्या

सही उत्तर: D

पहुंचने का समय ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले ट्रेन की गति को मीटर प्रति सेकंड से किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने के लिए 18/5 के रूपांतरण कारक का उपयोग करें:

गति = 20 × 18/5 = 72 किमी/घंटा

इसके बाद, दूरी-गति-समय संबंध का उपयोग करके यात्रा के समय की गणना करें:

यात्रा का समय = दूरी / गति = 720 / 72 = 10 घंटे

यात्रा के लिए कुल समय सक्रिय यात्रा समय और रुकने की अवधि का योग है:

कुल समय = 10 घंटे + 1 घंटा 30 मिनट = 11 घंटे 30 मिनट

सुबह 6:00 बजे के प्रस्थान समय में 11 घंटे 30 मिनट जोड़ने पर Q पर शाम 5:30 बजे का आगमन समय प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

दिया गया है: मूलधन (P) = रु. 18000 वार्षिक दर = 20% प्रति वर्ष अर्ध-वार्षिक दर (r) = 20% ÷ 2 = 10% समय = 1 वर्ष, जिससे n = 2 अर्ध-वार्षिक अवधियाँ प्राप्त होती हैं

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: कुल राशि (A) = P × (1 + r/100)ⁿ A = 18000 × (1 + 10/100)² A = 18000 × (1.1)² A = 18000 × 1.21 A = रु. 21780

चक्रवृद्धि ब्याज = कुल राशि - मूलधन चक्रवृद्धि ब्याज = 21780 - 18000 = रु. 3780

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य ₹13,000 है।

यदि इस अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य बन जाता है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट %)/100 विक्रय मूल्य = 13,000 × 90/100 = ₹11,700

इस विक्रय मूल्य पर, 30% का लाभ अर्जित किया जाता है। क्रय मूल्य सूत्र का उपयोग करके: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ %/100) क्रय मूल्य = 11,700 / 1.30 = ₹9,000

व्याख्या

एक त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है। त्रिभुज के तीन कोण 2x, 2x और 5x मान लीजिए।

कोणों के योग के लिए समीकरण स्थापित करना: 2x + 2x + 5x = 180° 9x = 180° x = 20°

सबसे बड़ा कोण अनुपात के सबसे बड़े भाग, जो कि 5x है, द्वारा दर्शाया जाता है। सबसे बड़ा कोण = 5 × 20° = 100°