एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि नकुल के पास शुरू में कुल x राशि थी।

गेहूं के आटे पर 20% पैसा खर्च करने के बाद, शेष राशि है: 100% - 20% = x का 80% = 0.8x

वह फिर इस शेष राशि का 25% खाना पकाने के तेल पर खर्च करता है, जिसका अर्थ है कि उसके पास शेष राशि का 75% बचता है: 100% - 25% = 0.8x का 75% = 0.75 × 0.8x

चूंकि अंतिम शेष राशि रु.900 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.75 × 0.8x = 900

सरल गणना के लिए भिन्न का उपयोग करना: (3/4) × (4/5) × x = 900 (3/5) × x = 900 x = 900 × (5/3) x = 300 × 5 x = 1500

व्याख्या

मूलधन P पर वार्षिक दर R से T वर्षों के लिए साधारण ब्याज (SI) का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

SI = (P × R × T) / 100

8% वार्षिक दर से 6 वर्षों और 5 वर्षों के लिए साधारण ब्याज में अंतर, 1 वर्ष (6 - 5 = 1 वर्ष) में अर्जित साधारण ब्याज के बराबर है।

दिए गए रु. 26 के अंतर का उपयोग करके:

26 = (P × 8 × 1) / 100

P के लिए हल करने पर:

8 × P = 2600 P = 2600 / 8 P = 325

मूलधन रु. 325 है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

संगत भुजाओं PQ और UV के लिए संबंध का उपयोग करते हुए:

परिमाप(ΔPQR) / परिमाप(ΔUVW) = PQ / UV

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए:

120 / 240 = 30 / UV

1/2 = 30 / UV

UV = 30 × 2 = 60 सेमी

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों से: cos(A + B) = 0 चूंकि 0° ≤ A, B ≤ 90°, योग A + B अंतराल [0°, 180°] में स्थित है। इस अंतराल में केवल 90° ही समीकरण को संतुष्ट करता है। A + B = 90°

इसी प्रकार, हमारे पास है: sin(A - B) = 0 चूंकि 0° ≤ A, B ≤ 90°, अंतर A - B अंतराल [-90°, 90°] में स्थित है। इस अंतराल में केवल 0° ही समीकरण को संतुष्ट करता है। A - B = 0°

दो समीकरणों को जोड़ने पर: 2A = 90° A = 45°

A = 45° को समीकरण A - B = 0° में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: B = 45°

व्याख्या

परिणामी लंब वृत्तीय बेलन के आयतन के बराबर 24 ठोस गोलार्धों के आयतन को बराबर करके, हम प्रत्येक गोलार्ध की त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिज्या r वाले गोलार्ध का आयतन (2/3) × π × r³ होता है। त्रिज्या R और ऊंचाई H वाले बेलन का आयतन π × R² × H होता है।

24 गोलार्धों के लिए, आयतन समीकरण है: 24 × (2/3) × π × r³ = π × R² × H

R = 12 सेमी और H = 24 सेमी रखने पर: 16 × π × r³ = π × 12² × 24

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर: 16 × r³ = 144 × 24

r³ के लिए सरलीकरण करने पर: r³ = (144 × 24) / 16 r³ = 9 × 24 r³ = 216

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: r = ∛216 r = 6 सेमी

व्याख्या

a = 7 सेमी, b = 9 सेमी, और c = 8 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप s इस प्रकार गणना की जाती है:

s = (a + b + c) / 2 s = (7 + 9 + 8) / 2 = 12 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके, त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) क्षेत्रफल = √(12 × (12 - 7) × (12 - 9) × (12 - 8)) क्षेत्रफल = √(12 × 5 × 3 × 4) क्षेत्रफल = √(12 × 5 × 12) क्षेत्रफल = 12√5 वर्ग सेमी

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: sec² x - tan² x = 1 → (sec x - tan x)(sec x + tan x) = 1 cosec² y - cot² y = 1 → (cosec y - cot y)(cosec y + cot y) = 1

दिया गया है: sec x + tan x = 5 cosec y - cot y = 1/3

इन संबंधों से, हम गणना करते हैं: sec x - tan x = 1/5 = 0.2 cosec y + cot y = 1 / (1/3) = 3

हम व्यंजक (sec x + cosec y) - (tan x - cot y) का मूल्यांकन करते हैं: (sec x + cosec y) - (tan x - cot y) = (sec x - tan x) + (cosec y + cot y)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 0.2 + 3 = 3.2

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इसलिए, जीवा की आधी लंबाई है: 30 / 2 = 15 सेमी

वृत्त की त्रिज्या r, केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी 8 सेमी, और जीवा की आधी लंबाई 15 सेमी द्वारा बने समकोण त्रिभुज में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: r² = 15² + 8² r² = 225 + 64 r² = 289 r = √289 = 17 सेमी

चूंकि वृत्त की त्रिज्या r 17 सेमी है, वृत्त का व्यास है: d = 2r = 2 × 17 = 34 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और उसका सामान्य विक्रय मूल्य (SP) है।

दी गई शर्त के अनुसार, वस्तु को उसके सामान्य विक्रय मूल्य के 9/10 पर बेचने पर 20% का लाभ होता है: 9/10 × SP = 1.2 × CP

सामान्य विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: SP / CP = 1.2 × 10 / 9 = 12 / 9 = 4/3

जब वस्तु को उसके सामान्य विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है तो लाभ प्रतिशत है: लाभ% = (SP - CP) / CP × 100 लाभ% = (4/3 - 1) × 100 = 1/3 × 100 = 33.33%

व्याख्या

राहुल की दैनिक कार्य दर 1/10 है और सोना की दैनिक कार्य दर 1/15 है।

जब वे एक साथ काम करते हैं तो उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6

4 दिनों में, वे एक साथ मिलकर कार्य का जो भाग पूरा करते हैं वह है: 4 × 1/6 = 2/3

कुल कार्य का शेष भाग है: 1 - 2/3 = 1/3

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

इस सर्वसमिका को दिए गए व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करने पर: ((a + b)² - (a - b)²) / ab = 4ab / ab = 4

'ab' पद रद्द हो जाते हैं, जिससे 4 का एक स्थिर मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब तीन समान दूरियाँ अलग-अलग गति v₁, v₂, और v₃ से तय की जाती हैं, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हरात्मक माध्य (harmonic mean) सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 3 / (1/v₁ + 1/v₂ + 1/v₃)

दी गई गतियाँ v₁ = 200 किमी/घंटा, v₂ = 300 किमी/घंटा, और v₃ = 600 किमी/घंटा हैं, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

औसत गति = 3 / (1/200 + 1/300 + 1/600)

हर (denominator) में पदों के लिए सामान्य हर ज्ञात करें, जो कि 600 है:

1/200 + 1/300 + 1/600 = (3 + 2 + 1) / 600 = 6 / 600 = 1 / 100

अब, औसत गति की गणना करें:

औसत गति = 3 / (1/100) = 300 किमी/घंटा

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁% और d₂% के बाद विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों, SP = 560, d₁ = 30, और d₂ = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

560 = MP × (1 - 30/100) × (1 - 20/100)

560 = MP × 0.70 × 0.80

560 = MP × 0.56

MP = 560 ÷ 0.56 = 1000

व्याख्या

मान लीजिए P, Q और R के हिस्से क्रमशः 7x, 9x और 4x हैं। P और R के हिस्सों के बीच का अंतर रु. 1500 दिया गया है। इससे संबंध 7x - 4x = 1500 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3x = 1500, या x = 500 हो जाता है। P और Q के हिस्सों के बीच का अंतर 9x - 7x = 2x है। x का मान रखने पर, अंतर 2 × 500 = 1000 है।

व्याख्या

a, b, और c भुजाओं वाले त्रिभुज की परित्रिज्या R, उसके क्षेत्रफल Δ से सूत्र R = abc / (4Δ) द्वारा संबंधित है। त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर Δ = abc / (4R) प्राप्त होता है।

हमें दिया गया है कि तीन भुजाओं के गुणनफल का वर्ग 1024 है: (abc)² = 1024 abc = √1024 = 32

हमें यह भी दिया गया है कि परिवृत्त का क्षेत्रफल 16π है: πR² = 16π R² = 16 R = 4

क्षेत्रफल सूत्र में abc और R के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Δ = 32 / (4 × 4) Δ = 32 / 16 = 2 वर्ग इकाई

व्याख्या

दिया गया है कि sin θ - cos θ = 0, हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: sin θ = cos θ

दोनों पक्षों को cos θ से विभाजित करने पर (चूंकि cos θ ≠ 0): tan θ = 1

न्यून कोणों के लिए, इससे θ = 45° प्राप्त होता है।

अब, हम θ = 45° को व्यंजक sin² θ + tan² θ में प्रतिस्थापित करते हैं: sin² 45° + tan² 45° = (1/√2)² + (1)² = ½ + 1 = 3/2

व्याख्या

घन पद का विस्तार (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ है। इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर (a³ - 3a²b + 3ab² - b³) - a³ + b³ = -3a²b + 3ab² प्राप्त होता है, जिसका गुणनखंड -3ab(a - b) के रूप में किया जाता है।

व्याख्या

एक वृत्त के एक ही चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण बराबर होते हैं। चूंकि A, B, P और Q वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु हैं, इसलिए कोण AQB और कोण APB दोनों एक ही चाप AB द्वारा बनाए गए हैं। जब बिंदु P और Q जीवा AB के संबंध में वृत्त के एक ही खंड में स्थित होते हैं, तो अंतर्निहित कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण APB = कोण AQB = 60°।

व्याख्या

किसी संख्या के 36 से विभाज्य होने के लिए, उसे 4 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

4 से विभाज्य होने के लिए, अंतिम दो अंक 5B, 4 से विभाज्य होने चाहिए। 5 से शुरू होने वाली दो-अंकीय संख्याएँ जो 4 से विभाज्य हैं, वे केवल 52 और 56 हैं। इसलिए, B का मान या तो 2 या 6 हो सकता है।

9 से विभाज्य होने के लिए, अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। अंकों का योग = 7 + A + 4 + 2 + 5 + B = 18 + A + B

चूंकि 18 पहले से ही 9 का गुणज है, इसलिए A + B का योग भी 9 का गुणज होना चाहिए। चूंकि A और B एकल-अंकीय संख्याएँ हैं, उनका योग या तो 9 या 18 हो सकता है।

यदि B = 2, तो A + 2 = 9, जिससे A = 7 प्राप्त होता है। यहाँ, A - B का मान 7 - 2 = 5 है।

यदि B = 6, तो A + 6 = 9, जिससे A = 3 प्राप्त होता है। यहाँ, A - B का मान 3 - 6 = -3 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SI = (P × R₁ × T₁) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4500 = (P × 6 × 4) / 100 P = (4500 × 100) / 24 = 18750

मूलधन 18750 रुपये है।

2 वर्षों के लिए 4% प्रति वर्ष की दर से वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, प्रभावी ब्याज दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: प्रभावी दर = R₂ + R₂ + (R₂ × R₂) / 100 प्रभावी दर = 4 + 4 + (4 × 4) / 100 = 8.16%

अब, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें: CI = P × प्रभावी दर / 100 CI = 18750 × 8.16 / 100 = 1530

व्याख्या

जब किसी समूह में एक नया सदस्य जोड़ा जाता है और समूह का औसत अपरिवर्तित रहता है, तो नए सदस्य के गुण का मान मौजूदा औसत के बराबर होना चाहिए।

गणितीय रूप से, 14 मित्रों की आयु का योग है: 14 × 14 = 196 वर्ष

मान लीजिए 15वें मित्र की आयु x है। चूँकि सभी 15 मित्रों का औसत 14 वर्ष रहता है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (196 + x) / 15 = 14

दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर: 196 + x = 210 x = 210 - 196 x = 14

15वें मित्र की आयु 14 वर्ष है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना आयताकार फर्श की लंबाई L और उसकी चौड़ाई B है।

दी गई शर्त के अनुसार, B = 3/5 L।

एक आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = L × B

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 60 = L × 3/5 L 60 = 3/5 L² L² = 60 × 5/3 L² = 100 L = 10 मीटर

अब, चौड़ाई B की गणना: B = 3/5 × 10 = 6 मीटर

लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर है: L - B = 10 - 6 = 4 मीटर

व्याख्या

840 के 1 और स्वयं को छोड़कर कुल गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन निर्धारित करते हैं: 840 = 2³ × 3¹ × 5¹ × 7¹

किसी संख्या के कुल गुणनखंडों का सूत्र, जिसे उसके अभाज्य गुणनखंडित रूप p₁ᵃ × p₂ᵇ × p₃ᶜ × p₄ᵈ में लिखा गया है, है: कुल गुणनखंड = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)

840 के अभाज्य गुणनखंडों के घातांकों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल गुणनखंड = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 × 2 = 32

1 और स्वयं को छोड़कर गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इन 2 गुणनखंडों को कुल संख्या से घटाते हैं: वांछित गुणनखंड = 32 - 2 = 30

व्याख्या

माना राम की गति v किमी/घंटा है। चूँकि मोहन की गति राम की गति से 10 किमी/घंटा अधिक है, मोहन की गति v + 10 किमी/घंटा है।

चूँकि दोनों समान दूरी तय करते हैं, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: दूरी = गति × समय

राम के लिए: दूरी = v × 8

मोहन के लिए: दूरी = (v + 10) × 4

दोनों दूरियों को बराबर करने पर: 8v = 4 × (v + 10) 8v = 4v + 40 4v = 40 v = 10 किमी/घंटा

अतः, राम की गति 10 किमी/घंटा है, और मोहन की गति 10 + 10 = 20 किमी/घंटा है। इससे कथन I सही हो जाता है।

उनकी गतियों का योग 10 + 20 = 30 किमी/घंटा है। इससे कथन II सही हो जाता है।

व्याख्या

पैंट का क्रय मूल्य 100 मान लीजिए। चूँकि अंकित मूल्य क्रय मूल्य का चार गुना है, इसलिए अंकित मूल्य है: MP = 4 × 100 = 400

64% लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य होना चाहिए: SP = 100 + 64 = 164

अंकित मूल्य पर दी गई छूट है: Discount = MP - SP = 400 - 164 = 236

छूट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: Discount % = (Discount / MP) × 100 Discount % = (236 / 400) × 100 = 59%

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या x है।

25%, 40% और 20% की क्रमिक कमी का अर्थ है मूल संख्या को संबंधित शेष प्रतिशत गुणनखंडों से गुणा करना: 25% की पहली कमी से 75% बचता है, जो 3/4 है। 40% की दूसरी कमी से 60% बचता है, जो 3/5 है। 20% की तीसरी कमी से 80% बचता है, जो 4/5 है।

अंतिम मान के लिए समीकरण स्थापित करना: x × (3/4) × (3/5) × (4/5) = 32,904

भिन्न गुणकों को सरल बनाना: x × (9/25) = 32,904

x के लिए हल करना: x = (32,904 × 25) / 9 x = 3,656 × 25 x = 91,400

व्याख्या

लाभ पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = SP / (1 + P/100) द्वारा दिया जाता है, और हानि पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य CP = SP / (1 - L/100) द्वारा दिया जाता है, जहाँ SP विक्रय मूल्य, P लाभ प्रतिशत और L हानि प्रतिशत है।

चूंकि A और B दोनों अपनी घड़ियाँ समान विक्रय मूल्य रु. 5,400 पर बेचते हैं, इसलिए उनके क्रय मूल्यों का अनुपात ज्ञात करते समय SP रद्द हो जाता है।

CP_A : CP_B = [1 / (1 + 10/100)] : [1 / (1 - 25/100)] CP_A : CP_B = [1 / 1.1] : [1 / 0.75] CP_A : CP_B = 0.75 : 1.1 CP_A : CP_B = 75 : 110 CP_A : CP_B = 15 : 22

व्याख्या

एक साझेदारी व्यवसाय में, लाभ को निवेश राशि और समय अवधि के गुणनफल के अनुपात में साझा किया जाता है।

X, Y और Z का लाभ अनुपात है: अनुपात = (X का निवेश × X का समय) : (Y का निवेश × Y का समय) : (Z का निवेश × Z का समय) अनुपात = (4000 × 3) : (6000 × 2) : (8000 × 4) अनुपात = 12000 : 12000 : 32000 अनुपात = 3 : 3 : 8

अनुपात पदों का योग = 3 + 3 + 8 = 14 भाग।

चूंकि 14 भाग कुल लाभ रु. 56,000 के बराबर हैं: 1 भाग का मूल्य = 56000 / 14 = रु. 4,000।

लाभ में Y का हिस्सा 3 भागों के बराबर है: Y का हिस्सा = 3 × 4000 = रु. 12,000।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य प्रत्येक वस्तु श्रेणी के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफल का योग है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 25 × 15000 = 3,75,000 रुपये कैमरा का मूल्य = 80 × 16000 = 12,80,000 रुपये टीवी का मूल्य = 54 × 55000 = 29,70,000 रुपये रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 41 × 27000 = 11,07,000 रुपये एसी का मूल्य = 64 × 24000 = 15,36,000 रुपये

स्टॉक का कुल मूल्य = 3,75,000 + 12,80,000 + 29,70,000 + 11,07,000 + 15,36,000 = 72,68,000 रुपये

चूंकि 1 लाख 1,00,000 के बराबर है, इसलिए लाख रुपये में कुल मूल्य है: 72,68,000 ÷ 1,00,000 = 72.68 लाख रुपये

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों की सह-फलन सर्वसमिका बताती है कि sec θ = cosec(90° - θ)।

इस सर्वसमिका को दिए गए समीकरण पर लागू करने पर: sec 3A = cosec(A - 72°)

हम sec 3A को cosec(90° - 3A) के रूप में पुनः लिख सकते हैं। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: cosec(90° - 3A) = cosec(A - 72°)

कोणों को बराबर करने पर: 90° - 3A = A - 72°

A के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 90° + 72° = A + 3A 162° = 4A A = 162° / 4 A = 40.5°

व्याख्या

नल की संख्या और टंकी को भरने में लगने वाले समय के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध होता है, जिसे सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

M₁ × T₁ = M₂ × T₂

यहाँ, M₁ 15 नल है, T₁ 36 मिनट है, और T₂ 1 घंटा है, जो 60 मिनट के बराबर है। आवश्यक नलों की संख्या M₂ ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

15 × 36 = M₂ × 60

540 = M₂ × 60

M₂ = 540 / 60

M₂ = 9

व्याख्या

व्यंजक (299)² का मूल्यांकन बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके किया जा सकता है: (a - b)² = a² - 2ab + b²

299 को (300 - 1) के रूप में व्यक्त करके, हम सर्वसमिका में a = 300 और b = 1 प्रतिस्थापित कर सकते हैं: (300 - 1)² = 300² - 2 × 300 × 1 + 1² = 90000 - 600 + 1 = 89401

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण का स्पर्शज्या (tangent) सम्मुख भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होता है, जबकि कोज्या (cosine) आसन्न भुजा और कर्ण का अनुपात होता है।

दिया गया है: tan Q = सम्मुख / आसन्न = 5/12

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण की गणना इस प्रकार की जाती है: कर्ण = √((सम्मुख)² + (आसन्न)²) कर्ण = √(5² + 12²) कर्ण = √(25 + 144) कर्ण = √169 = 13

इस मान का उपयोग करके, कोण Q का कोज्या (cosine) है: cos Q = आसन्न / कर्ण = 12/13

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका परिकेंद्र होता है। इसलिए, X त्रिभुज MNO का परिकेंद्र है।

परिकेंद्र के गुणों के अनुसार, त्रिभुज की किसी भी भुजा द्वारा परिकेंद्र पर बनाया गया कोण उसी भुजा द्वारा सम्मुख शीर्ष पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

भुजा NO के लिए, सम्मुख शीर्ष M है, जिसका अर्थ है: ∠NXO = 2 × ∠NMO

दिया गया है कि ∠NMO = 55°, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: ∠NXO = 2 × 55° = 110°

व्याख्या

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, दिए गए गुणनफल को (k + 1/k) से गुणा और भाग करें:

[(k + 1/k)(k - 1/k)(k² + 1/k²)(k⁴ + 1/k⁴)(k⁸ + 1/k⁸)(k¹⁶ + 1/k¹⁶)] / (k + 1/k)

अंश में पदों पर क्रमिक रूप से बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करते हुए:

(k + 1/k)(k - 1/k) = k² - 1/k²

(k² - 1/k²)(k² + 1/k²) = k⁴ - 1/k⁴

(k⁴ - 1/k⁴)(k⁴ + 1/k⁴) = k⁸ - 1/k⁸

(k⁸ - 1/k⁸)(k⁸ + 1/k⁸) = k¹⁶ - 1/k¹⁶

(k¹⁶ - 1/k¹⁶)(k¹⁶ + 1/k¹⁶) = k³² - 1/k³²

इन सरलीकृत गुणनफलों को व्यंजक के अंश में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(k³² - 1/k³²) / (k + 1/k)

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। दी गई परिधि 58π सेमी है:

2πr = 58π r = 29 सेमी

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 42 सेमी लंबाई की जीवा XY के लिए, लंब इसे दो बराबर खंडों में विभाजित करता है, प्रत्येक की लंबाई है:

42 / 2 = 21 सेमी

केंद्र से लंबवत दूरी (d), अर्ध-जीवा (21 सेमी), और त्रिज्या (29 सेमी) एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = d² + 21² 29² = d² + 21² d² = 29² - 21² d² = (29 - 21)(29 + 21) d² = 8 × 50 d² = 400 d = 20 सेमी

व्याख्या

किसी जीवा द्वारा वृत्त की परिधि पर बनाया गया कोण 90° तभी होता है जब जीवा वृत्त का व्यास हो। यह वृत्तों का एक मौलिक गुण है (थेल्स प्रमेय)।

इसलिए, वृत्त का व्यास जीवा की लंबाई के बराबर होगा: व्यास = 40 सेमी

चूंकि त्रिज्या व्यास की आधी होती है: त्रिज्या = व्यास / 2 त्रिज्या = 40 / 2 = 20 सेमी

व्याख्या

मानक गति सूत्र का उपयोग करके:

गति = दूरी / समय

सबसे पहले, किमी/घंटा में गति प्राप्त करने के लिए दूरी और समय को किलोमीटर और घंटे में परिवर्तित करें:

दूरी = 1200 मीटर = 1200 / 1000 = 1.2 किमी समय = 10 मिनट = 10 / 60 = 1/6 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना:

गति = 1.2 / (1/6) = 1.2 × 6 = 7.2 किमी/घंटा

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका cot θ = tan(90° - θ) का उपयोग करके, दिए गए समीकरण को cot 2A को स्पर्शज्या के पदों में व्यक्त करके पुनः लिखा जा सकता है:

tan(90° - 2A) = tan(A - 48°)

कोणों को बराबर करने पर:

90° - 2A = A - 48°

90° + 48° = A + 2A

138° = 3A

A = 138° / 3

A = 46°

व्याख्या

किसी वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। चूँकि PQ एक स्पर्शरेखा है जो वृत्त को Q पर स्पर्श करती है और OQ त्रिज्या है, इसलिए कोण OQP 90° है।

केंद्र O पर कोण, कोण POQ, को 75° मानते हुए, हम समकोण त्रिभुज OPQ पर विचार करते हैं। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग 90° होता है।

कोण OPQ + कोण POQ = 90° कोण OPQ + 75° = 90° कोण OPQ = 15°

व्याख्या

किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। संगत त्रिभुजों RST और IJK में, यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

परिमाप(RST) / परिमाप(IJK) = RS / IJ

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

64 / 56 = RS / 16

RS के लिए हल करने पर:

RS = (64 × 16) / 56

RS = 128 / 7 ≈ 18.28 सेमी

निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर 18 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्त की परिधि की गणना सूत्र C = 2πr का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और π का मान लगभग 22/7 है।

दिए गए 10.5 सेमी त्रिज्या को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

C = 2 × (22/7) × 10.5

C = 2 × 22 × 1.5

C = 66 सेमी

व्याख्या

201 और 401 के बीच उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो 5 से विभाज्य हैं लेकिन 4 से नहीं, हम [202, 400] सीमा में पूर्णांकों पर विचार करते हैं।

सबसे पहले, हम इस सीमा में 5 से विभाज्य संख्याओं की गणना ज्ञात करते हैं, जिसे N(5) से दर्शाया जाता है। पहला पद 205 है, अंतिम पद 400 है, और सार्व अंतर 5 है। N(5) = (400 - 205)/5 + 1 = 195/5 + 1 = 40

इसके बाद, हम इस सीमा में उन संख्याओं की गणना ज्ञात करते हैं जो 5 और 4 दोनों से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि वे उनके लघुत्तम समापवर्त्य, LCM(5, 4) = 20 से विभाज्य हैं। हम इस गणना को N(20) से दर्शाते हैं। पहला पद 220 है, अंतिम पद 400 है, और सार्व अंतर 20 है। N(20) = (400 - 220)/20 + 1 = 180/20 + 1 = 10

20 से विभाज्य संख्याओं को 5 से विभाज्य संख्याओं से घटाने पर 5 से विभाज्य लेकिन 4 से विभाज्य न होने वाली संख्याओं की गणना प्राप्त होती है: N = N(5) - N(20) = 40 - 10 = 30

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को पहले भाग, फिर गुणा और उसके बाद जोड़ के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, भाग का मूल्यांकन करें: (7/3) ÷ (7/6) = (7/3) × (6/7) = 2

अगला, परिणाम को पहले पद से गुणा करें: (3/2) × 2 = 3

फिर, शेष भिन्न को जोड़ें: 3 + 1/4 = 13/4

यह दिए गए समीकरण को सरल बनाता है: 13/4 = 1/x

दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर प्राप्त होता है: x = 4/13

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, वार्षिक चक्रवृद्धि के साथ, अंतिम राशि A और मूलधन P के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = P(1 + r/100)ᵗ

यह देखते हुए कि राशि 2 वर्षों में स्वयं की 1.96 गुना हो जाती है, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

1.96P = P(1 + r/100)²

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर:

1.96 = (1 + r/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

1.4 = 1 + r/100

r/100 = 0.4

r = 40

इससे ब्याज की वार्षिक दर 40% प्राप्त होती है।

व्याख्या

प्रत्येक वर्ष की बचत की गणना सूत्र बचत = आय - व्यय का उपयोग करके की जाती है।

वर्ष A के लिए बचत = 350 - 150 = 200 वर्ष B के लिए बचत = 250 - 100 = 150 वर्ष C के लिए बचत = 200 - 150 = 50 वर्ष D के लिए बचत = 400 - 100 = 300 वर्ष E के लिए बचत = 150 - 75 = 75

सभी पाँच वर्षों में कुल बचत = 200 + 150 + 50 + 300 + 75 = 775

औसत बचत कुल बचत को वर्षों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: औसत बचत = 775 ÷ 5 = 155

व्याख्या

शेष कार्य के लिए कार्य तुल्यता सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके:

शेष कार्य 8 लड़कों द्वारा शेष 24 दिनों (48 दिन - 24 दिन = 24 दिन) में किए गए कार्य के बराबर है।

2 लड़कों के चले जाने के बाद, शेष लड़कों की संख्या 6 (8 - 2 = 6) है।

मान लीजिए D वह दिनों की संख्या है जो शेष 6 लड़कों को इस शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक है।

8 × 24 = 6 × D

D = (8 × 24) / 6

D = 32 दिन।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। चूँकि कोण M और कोण O सम्मुख कोण हैं:

∠M + ∠O = 180°

हमें संबंध दिया गया है:

2∠O = 3∠M ∠O = (3/2)∠M

इसे कोण योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

∠M + (3/2)∠M = 180°

(5/2)∠M = 180°

∠M = 180° × 2/5 = 72°

व्याख्या

जब प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य बराबर होता है, तो समग्र लाभ या हानि प्रतिशत व्यक्तिगत लाभ और हानि प्रतिशत का अंकगणितीय माध्य होता है।

यहाँ, तीनों चश्मों में से प्रत्येक का क्रय मूल्य ₹4,000 है।

व्यक्तिगत सौदे हैं: पहला चश्मा: +30% लाभ दूसरा चश्मा: -10% हानि तीसरा चश्मा: -10% हानि

समग्र प्रतिशत के लिए औसत सूत्र का उपयोग करते हुए: समग्र लाभ प्रतिशत = (30% - 10% - 10%) / 3 समग्र लाभ प्रतिशत = 10% / 3 = 3.33%

व्याख्या

पांच महीनों के लिए औसत बिक्री का सूत्र इस प्रकार है: औसत बिक्री = कुल बिक्री / महीनों की संख्या

5 महीनों में 9,000 रुपये की औसत बिक्री प्राप्त करने के लिए, सभी 5 महीनों के लिए आवश्यक कुल बिक्री है: कुल बिक्री = 9,000 × 5 = 45,000

पहले 4 महीनों की बिक्री का योग है: बिक्री का योग = 10,000 + 7,500 + 8,000 + 10,500 = 36,000

पांचवें महीने में आवश्यक बिक्री, 5 महीनों के लिए आवश्यक कुल बिक्री और पहले 4 महीनों की बिक्री के योग के बीच का अंतर है: पांचवें महीने की बिक्री = 45,000 - 36,000 = 9,000