एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बनाई जाने वाली दीवार का आयतन 800 सेमी x 600 सेमी x 22.5 सेमी = 1,08,00,000 घन सेमी है, जबकि प्रत्येक ईंट का आयतन 25 सेमी x 11.25 सेमी x 6 सेमी = 1687.5 घन सेमी है। दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करने पर 1,08,00,000 / 1687.5 = 6400 ईंटों की आवश्यकता होगी।

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC में AB=AC है, आधार कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण B = कोण C = 50°। चूँकि AB=PQ, AC=PR (क्योंकि AB=AC और PQ=PR) और BC=QR, त्रिभुज ABC और PQR SSS कसौटी द्वारा सर्वांगसम हैं, इसलिए संगत कोण R, कोण C के बराबर है, जो कि 50° है।

व्याख्या

जब कोई व्यापारी कम वजन का उपयोग करता है तो लाभ प्रतिशत की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (वास्तविक वजन - गलत वजन) / गलत वजन × 100%

यहाँ, एक किलोग्राम का वास्तविक वजन 1000 ग्राम है और डीलर द्वारा उपयोग किया गया गलत वजन 900 ग्राम है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ % = (1000 - 900) / 900 × 100%

लाभ % = 100 / 900 × 100%

लाभ % = 1/9 × 100%

लाभ % = 11 1/9%

व्याख्या

औसत सूत्र का उपयोग करके: कुल अंक = औसत × विषयों की संख्या

शुरुआत में, 4 विषयों के लिए औसत अंक 75 हैं: 4 विषयों में कुल अंक = 75 × 4 = 300

जब अंग्रेजी जोड़ी जाती है, तो कुल 5 विषय होते हैं, और नया औसत 70 होता है: 5 विषयों में कुल अंक = 70 × 5 = 350

अंग्रेजी में अंक नए कुल और प्रारंभिक कुल के बीच का अंतर है: अंग्रेजी में अंक = 350 - 300 = 50

व्याख्या

सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सभी पदों को एक सामान्य मूल सूचकांक के साथ व्यक्त करते हैं, जो 2, 3, 6 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, अर्थात् 12। यह क्रमशः 64, 81, 36 और 12 के 12वें मूल के रूप में मान देता है, जिससे पता चलता है कि 3 का घनमूल (81 का 12वां मूल) सबसे बड़ा है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात P:Q = 10:11 और Q:R = 11:12 में, उभयनिष्ठ पद Q दोनों अनुपातों में 11 का समान मान रखता है। इसलिए, तीनों राशियों का संयुक्त अनुपात सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

P : Q : R = 10 : 11 : 12

मान लीजिए P = 10, Q = 11, और R = 12, तो आवश्यक योग पदों की गणना इस प्रकार की जाती है:

P + Q = 10 + 11 = 21 Q + R = 11 + 12 = 23 R + P = 12 + 10 = 22

इन पदों को मिलाने पर अनुपात P + Q : Q + R : R + P, 21:23:22 प्राप्त होता है।

व्याख्या

3 या 5 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याओं की संख्या समावेश-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करके गणना की जाती है: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)

दो-अंकीय संख्याएँ 10 से 99 तक होती हैं।

3 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याओं की संख्या, N(A), ज्ञात करने के लिए, हम 99 तक 3 के गुणजों की संख्या और 9 तक 3 के गुणजों की संख्या के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: N(A) = floor(99/3) - floor(9/3) = 33 - 3 = 30

5 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याओं की संख्या, N(B), ज्ञात करने के लिए: N(B) = floor(99/5) - floor(9/5) = 19 - 1 = 18

3 और 5 दोनों से विभाज्य दो-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, जो उनके लघुत्तम समापवर्त्य LCM(3, 5) = 15 के गुणज हैं, N(A ∩ B): N(A ∩ B) = floor(99/15) - floor(9/15) = 6 - 0 = 6

इन मानों को समावेश-अपवर्जन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: N(A ∪ B) = 30 + 18 - 6 = 42

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 100 है।

जब मूल्य 45% बढ़ाया जाता है, तो मूल्य हो जाता है: 100 × (1 + 45/100) = 145

अब, इस मूल्य पर 15% प्रत्येक की दो क्रमिक छूट लागू की जाती है।

पहली 15% छूट के बाद मूल्य है: 145 × (1 - 15/100) = 145 × 0.85 = 123.25

दूसरी 15% छूट के बाद मूल्य है: 123.25 × (1 - 15/100) = 123.25 × 0.85 = 104.7625

वस्तु के मूल्य में कुल परिवर्तन है: 104.7625 - 100 = 4.7625%

चूंकि यह परिणाम सकारात्मक है, इसलिए वस्तु का मूल्य अंततः 4.7625% बढ़ जाता है।

व्याख्या

किसी घन जिसकी भुजा 'a' है, से काटा जा सकने वाला सबसे बड़ा लम्ब वृत्तीय शंकु का आधार व्यास घन की भुजा के बराबर और ऊँचाई घन की भुजा के बराबर होती है।

दिया गया है घन की भुजा a = 10 सेमी: शंकु की आधार त्रिज्या, r = a / 2 = 5 सेमी शंकु की ऊँचाई, h = a = 10 सेमी

शंकु के आयतन के सूत्र का प्रयोग करने पर: V = (1/3)πr²h

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (1/3) × π × 5² × 10 V = 250π/3 सेमी³

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच अंतर (d) का मानक सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

d = P × (r/100)²

जहाँ P मूल राशि है और r प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = 1725 r = 25

1725 = P × (25/100)² 1725 = P × (1/4)² 1725 = P × 1/16 P = 1725 × 16 P = 27600

इस प्रकार, मूल राशि ₹27,600 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए x = 2a और y = 5b। इससे प्राप्त होता है:

(2a + 5b)² = 4a² + 20ab + 25b²

वांछित व्यंजक को हल करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

4a² + 25b² = (2a + 5b)² - 20ab

दिए गए मानों, 2a + 5b = 12 और ab = 3, को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

4a² + 25b² = 12² - 20 × 3

4a² + 25b² = 144 - 60

4a² + 25b² = 84

व्याख्या

जब किसी मात्रा में x% की क्रमिक वृद्धि की जाती है और फिर y% की कमी की जाती है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन % = x + y + xy/100

वृद्धि के लिए x = 20 और कमी के लिए y = -20 प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = 20 - 20 + (20 × -20)/100 शुद्ध परिवर्तन % = -400/100 शुद्ध परिवर्तन % = -4%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को इंगित करता है। इस प्रकार, वेतन में 4% की कमी आती है।

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके, यदि दो व्यक्ति मिलकर एक कार्य को T दिनों में पूरा करते हैं, और एक व्यक्ति S दिनों में अकेले पूरा करता है, तो दूसरे व्यक्ति M द्वारा अकेले लिया गया समय इस प्रकार दिया जाता है:

1/M = 1/T - 1/S

दिया गया है कि T = 18 दिन और S = 24 दिन, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1/M = 1/18 - 1/24

18 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 72 है, इसलिए समीकरण बनता है:

1/M = 4/72 - 3/72

1/M = 1/72

M = 72

इस प्रकार, मोना अकेले 72 दिनों में टाइपिंग कार्य पूरा कर सकती है।

व्याख्या

दो वर्षों के बाद शहर की अंतिम जनसंख्या की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

अंतिम जनसंख्या = P × (1 - R₁/100) × (1 + R₂/100)

यहाँ: P = 80000 (प्रारंभिक जनसंख्या) R₁ = 8 (पहले वर्ष में प्रतिशत कमी) R₂ = 5 (दूसरे वर्ष में प्रतिशत वृद्धि)

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम जनसंख्या = 80000 × (1 - 8/100) × (1 + 5/100) अंतिम जनसंख्या = 80000 × 0.92 × 1.05 अंतिम जनसंख्या = 73600 × 1.05 अंतिम जनसंख्या = 77280

व्याख्या

त्रिकोणमितीय योग सूत्र का उपयोग करके, sin(A + C) = sin A cos C + cos A sin C।

त्रिभुज ABC में जो B पर समकोण है, शेष कोणों A और C का योग 90° होता है: A + C = 90°

इस संबंध को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: sin A cos C + cos A sin C = sin(A + C) = sin 90° = 1

वैकल्पिक रूप से, दिए गए मान tan A = 1/√3 का उपयोग करके, कोण A 30° है। चूँकि त्रिभुज B पर समकोण है, कोण C 90° - 30° = 60° है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = (½ × ½) + (√3/2 × √3/2) = ¼ + ¾ = 1

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। संख्या और उसके वर्गमूल के बीच संबंध को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है: x - √x = 2

मान लीजिए √x = y, जहाँ y एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है (y ≥ 0)। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: y² - y - 2 = 0

इस द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: (y - 2)(y + 1) = 0

इससे मूल y = 2 और y = -1 प्राप्त होते हैं। चूँकि y एक मुख्य वर्गमूल को दर्शाता है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम y = -1 को छोड़ देते हैं। इस प्रकार, y = 2।

x का मान ज्ञात करना: x = y² = 2² = 4

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² - 4a + 1 = 0 को दोनों तरफ a से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a - 4 + 1/a = 0 a + 1/a = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (a + 1/a)² = 4² a² + 2 + 1/a² = 16 a² + 1/a² = 14

मूल्यांकन किए जाने वाले व्यंजक को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: a² + a + 1/a + 1/a² = (a² + 1/a²) + (a + 1/a)

(a² + 1/a²) और (a + 1/a) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14 + 4 = 18

व्याख्या

सर्वसमिका x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x) का प्रयोग करते हुए, जहाँ x - 1/x = 7/3 है। यह (7/3)³ + 3(7/3) देता है, जो 343/27 + 189/27 के बराबर है, अर्थात 532/27, या 19 और 19/27।

व्याख्या

समग्र औसत ज्ञात करने के लिए, हम सभी छात्रों के कुल अंक की गणना करते हैं और उसे छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं। कुल अंक (30 * 55) + (50 * 70) + (70 * 70) = 1650 + 3500 + 4900 = 10050 हैं, और छात्रों की कुल संख्या 30 + 50 + 70 = 150 है। 10050 को 150 से विभाजित करने पर औसत 67 प्राप्त होता है।

व्याख्या

11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, एक संख्या 11 से पूरी तरह विभाज्य होती है यदि उसके विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

संख्या 28171 के लिए, बाएं से दाएं विषम स्थानों (पहले, तीसरे और पांचवें) पर अंक 2, 1 और 1 हैं, और सम स्थानों (दूसरे और चौथे) पर अंक 8 और 7 हैं।

विषम स्थानों पर अंकों का योग = 2 + 1 + 1 = 4 सम स्थानों पर अंकों का योग = 8 + 7 = 15 अंतर = 15 - 4 = 11

चूंकि अंतर 11 है, जो 11 का गुणज है, इसलिए संख्या 28171, 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजनों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

प्रति अर्ध-वर्ष ब्याज दर R = 12% / 2 = 6% 1½ वर्ष में अर्ध-वर्षों की संख्या n = 1.5 × 2 = 3 मूलधन P = ₹ 8,400

कुल राशि A का सूत्र है: A = P × (1 + R/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 8400 × (1 + 6/100)³ A = 8400 × (1.06)³ A = 8400 × 1.191016 A = 10004.53

चक्रवृद्धि ब्याज कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: चक्रवृद्धि ब्याज = A - P चक्रवृद्धि ब्याज = 10004.53 - 8400 = 1604.53 ≈ 1,604.50

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों, ABC और PQR के लिए, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR की संगत भुजाओं के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

AB/PQ = BC/QR

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

AB/6.25 = 5/12.5

AB के लिए हल करने पर:

AB = 5 × 6.25 / 12.5

चूंकि 12.5, 6.25 का दोगुना है, अनुपात सरल हो जाता है:

AB = 5 × ½ = 2.5 सेमी

व्याख्या

दिया गया अनुपात x : y = 1 : 2 है, हम x = 1 और y = 2 मान सकते हैं।

इन मानों को व्यंजक (2x + 4y) : (x + 4y) में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश = 2x + 4y = 2(1) + 4(2) = 2 + 8 = 10

हर = x + 4y = 1 + 4(2) = 1 + 8 = 9

इस प्रकार, आवश्यक अनुपात 10 : 9 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, रेलगाड़ी की गति को किमी/घंटा से मी/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें:

गति = 108 × 5/18 = 30 मी/से

अब, दूरी सूत्र में गति और दिए गए 11 सेकंड के समय को प्रतिस्थापित करें:

दूरी = 30 मी/से × 11 से = 330 मी

व्याख्या

वृत्ताकार आधार की त्रिज्या r की गणना परिधि C से सूत्र C = 2 π r का उपयोग करके की जाती है।

44 = 2 × (22/7) × r r = 7 मीटर

ठोस शंकु का आयतन V सूत्र V = (1/3) π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ h शंकु की ऊँचाई है। त्रिज्या r = 7 मीटर और ऊँचाई h = 12 मीटर को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

V = (1/3) × (22/7) × 7² × 12 V = 22 × 7 × 4 V = 616 मीटर³

व्याख्या

कुल कार्य 16 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 48 इकाई है।

आदमी की दैनिक दक्षता 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन है। महिला की दैनिक दक्षता 48 / 12 = 4 इकाई प्रति दिन है।

वे बारी-बारी से काम करते हैं, आदमी से शुरुआत करते हुए। एक 2-दिवसीय चक्र में, पूरा किया गया कुल कार्य 3 + 4 = 7 इकाई है।

6 पूर्ण चक्रों में (जो 12 दिनों के बराबर है), पूरा किया गया कार्य 6 × 7 = 42 इकाई है। शेष कार्य 48 - 42 = 6 इकाई है।

13वें दिन, आदमी काम करता है और 3 इकाई कार्य पूरा करता है। शेष कार्य 6 - 3 = 3 इकाई है।

14वें दिन, महिला काम करती है। चूँकि वह एक पूरे दिन में 4 इकाई काम कर सकती है, इसलिए शेष 3 इकाई काम पूरा करने में उसे 3/4 दिन लगेंगे।

कुल लिया गया समय 13 + 3/4 दिन है, जो 55/4 दिन के बराबर है।

व्याख्या

त्रिभुज की दी गई भुजाओं की लंबाई 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी है। चूँकि 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², ये भुजाएँ एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं। यह पुष्टि करता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबाई की भुजाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं, और 13 सेमी लंबाई की भुजा कर्ण है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

लंबवत भुजाओं को आधार और ऊँचाई के रूप में प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 सेमी²

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot(θ) का उपयोग करके, हम व्यंजक के पदों को पुनः लिख सकते हैं:

tan 42° = tan(90° - 48°) = cot 48° tan 67° = tan(90° - 23°) = cot 23°

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

tan 48° × tan 23° × tan 42° × tan 67° = tan 48° × tan 23° × cot 48° × cot 23°

पूरक पदों को समूहित करके और सर्वसमिका tan(θ) × cot(θ) = 1 का उपयोग करके:

(tan 48° × cot 48°) × (tan 23° × cot 23°) = 1 × 1 = 1

व्याख्या

कोचिंग सेंटर R में नामांकित छात्रों की कुल संख्या 300 है।

कोचिंग सेंटर R में स्कूल M से नामांकित छात्रों का प्रतिशत 34% है। कोचिंग सेंटर R में स्कूल M के कुल छात्र = 300 × 34% = 300 × 0.34 = 102

कोचिंग सेंटर R में महिला छात्रों का प्रतिशत 35% है। कोचिंग सेंटर R में कुल महिला छात्र = 300 × 35% = 300 × 0.35 = 105

इन महिला छात्रों में से स्कूल M से आने वाली महिला छात्रों का प्रतिशत 20% है। कोचिंग सेंटर R में स्कूल M की महिला छात्र = 105 × 20% = 105 × 0.20 = 21

कोचिंग सेंटर R में स्कूल M के पुरुष छात्रों की संख्या, कोचिंग सेंटर R में स्कूल M के कुल छात्रों में से स्कूल M की महिला छात्रों को घटाकर प्राप्त की जाती है: कोचिंग सेंटर R में स्कूल M के पुरुष छात्र = 102 - 21 = 81

व्याख्या

तीन टेस्टों का औसत, अंकों के योग को टेस्टों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

औसत = (तीनों टेस्टों में अंकों का योग) / 3

मान लीजिए कि रोहन को तीसरे टेस्ट में 'x' अंक प्राप्त करने की आवश्यकता है।

(70 + 75 + x) / 3 = 70

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर:

145 + x = 210

दोनों पक्षों से 145 घटाने पर:

x = 210 - 145 x = 65

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र सीधे लागू किया जा सकता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + xy/100

यहाँ, पहला लेन-देन 15% की हानि है, इसलिए x = -15। दूसरा लेन-देन 22.5% का लाभ है, इसलिए y = 22.5।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -15 + 22.5 + (-15 × 22.5)/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 7.5 - 337.5/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 7.5 - 3.375 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 4.125%

एक सकारात्मक परिणाम शुद्ध लाभ दर्शाता है। इसलिए, कुल लाभ 4.125% है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹4,875 पहली छूट (d₁) = 28% दूसरी छूट (d₂) = 30%

सूत्र में मान रखने पर:

विक्रय मूल्य = 4,875 × (1 - 28/100) × (1 - 30/100) विक्रय मूल्य = 4,875 × 0.72 × 0.70 विक्रय मूल्य = 4,875 × 0.504 विक्रय मूल्य = 2,457

इस प्रकार, खिलौने का विक्रय मूल्य ₹2,457 है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल धनराशि P है। जब किसी धनराशि को r% बढ़ाया जाता है, तो अंतिम राशि S निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

S = P × (1 + r/100)

दिया गया है कि अंतिम राशि S ₹19,320 है और वृद्धि दर r 15% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

19320 = P × (1 + 15/100) 19320 = P × 1.15 P = 19320 / 1.15 P = 1932000 / 115 P = 16800

इस प्रकार, मूल धनराशि ₹16,800 है।

व्याख्या

मूल मूल्य, क्रमिक छूट और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

विक्रय मूल्य = मूल मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ पहली छूट d₁ = 25%, दूसरी छूट d₂ = 10%, और विक्रय मूल्य = ₹480 है:

480 = मूल मूल्य × (1 - 25/100) × (1 - 10/100) 480 = मूल मूल्य × 0.75 × 0.90 480 = मूल मूल्य × 0.675

मूल मूल्य ज्ञात करने के लिए:

मूल मूल्य = 480 / 0.675 मूल मूल्य = 19200 / 27 मूल मूल्य ≈ 711.11

निकटतम रुपये तक पूर्णांकित करने पर, शर्ट का मूल मूल्य ₹711 है।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य (arithmetic mean) की परिभाषा के अनुसार, तीन संख्याओं का माध्य उनका योग बटा 3 होता है। चूँकि तीन संख्याओं के दोनों समुच्चयों का माध्य समान है, इसलिए उनका योग भी बराबर होना चाहिए:

a/3 + b + c = b/3 + c/3 + x

हर (denominators) को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर:

a + 3b + 3c = b + c + 3x

3x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों से b और c घटाकर 3x को एक तरफ अलग करते हैं:

3x = a + 3b - b + 3c - c

3x = a + 2b + 2c

व्याख्या

भारित औसत सूत्र सीधे कक्षा के समग्र उत्तीर्ण प्रतिशत को देता है:

उत्तीर्ण प्रतिशत = (b × P_b + g × P_g) / (b + g)

यहां, b और g लड़कों और लड़कियों के अनुपात के घटक हैं, जो 11 और 9 हैं। P_b और P_g लड़कों और लड़कियों के उत्तीर्ण प्रतिशत हैं, जो क्रमशः 30% और 20% हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

उत्तीर्ण प्रतिशत = (11 × 30 + 9 × 20) / (11 + 9) उत्तीर्ण प्रतिशत = (330 + 180) / 20 उत्तीर्ण प्रतिशत = 510 / 20 = 25.5%

व्याख्या

आधार त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓πr²h द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए दो शंकुओं के आयतन V₁ और V₂ हैं, उनकी आधार त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं, और उनकी ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं। उनके आयतनों का अनुपात है: V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂)

हमें V₁/V₂ = 11/16 और r₁/r₂ = 3/4 दिया गया है। इन मानों को आयतन अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 11/16 = (3/4)² × (h₁/h₂)

11/16 = 9/16 × (h₁/h₂)

ऊँचाई अनुपात को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 16/9 से गुणा करने पर: h₁/h₂ = (11/16) × (16/9) = 11/9

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

संख्या 2143251 के लिए, अंकों का योग है: 2 + 1 + 4 + 3 + 2 + 5 + 1 = 18

चूंकि 18, 3 से विभाज्य है (18 ÷ 3 = 6), इसलिए संख्या 2143251, 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

विद्यालय में लड़कों की कुल संख्या की गणना क्रिकेट पसंद करने वाले लड़कों और फुटबॉल पसंद करने वाले लड़कों की संख्या को जोड़कर की जाती है: 542 + 438 = 980

इसी प्रकार, विद्यालय में लड़कियों की कुल संख्या की गणना क्रिकेट पसंद करने वाली लड़कियों और फुटबॉल पसंद करने वाली लड़कियों की संख्या को जोड़कर की जाती है: 358 + 372 = 730

लड़कों और लड़कियों की कुल संख्या के बीच का अंतर है: 980 - 730 = 250

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

त्रिज्या r व्यास की आधी होती है: r = 14 / 2 = 7 सेमी

सूत्र में r = 7 सेमी और π = 22/7 रखने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 7² कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 49 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 22 × 7 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 सेमी²

व्याख्या

A और B के एकांतर रूप से काम करने पर लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, सबसे पहले उनके व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करें।

21 और 24 का LCM = 168 इकाई

इसका मतलब है कि कुल कार्य 168 इकाई है।

A की दक्षता = 168 ÷ 21 = 8 इकाई प्रति दिन B की दक्षता = 168 ÷ 24 = 7 इकाई प्रति दिन

दो-दिवसीय चक्र में जहाँ A पहले दिन काम करता है और B दूसरे दिन काम करता है, पूरा किया गया कुल कार्य है: 8 + 7 = 15 इकाई

एक चक्र में पूरे किए गए कार्य से कुल कार्य को विभाजित करना: 168 ÷ 15 = 11 चक्र शेष 3 इकाई के साथ

चूंकि प्रत्येक चक्र में 2 दिन होते हैं, 11 चक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं: 11 × 2 = 22 दिन

22 दिनों में पूरा किया गया कार्य है: 11 × 15 = 165 इकाई

शेष कार्य है: 168 - 165 = 3 इकाई

23वें दिन, A के काम करने की बारी है। चूंकि A एक पूरे दिन में 8 इकाई पूरा कर सकता है, A द्वारा शेष 3 इकाई को पूरा करने में लगने वाला समय है: 3/8 दिन

दिनों को मिलाकर, काम पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय 22 3/8 दिन है।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र A = s² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई को दर्शाता है।

प्रारंभिक वर्ग के लिए जिसकी भुजा s = 5 सेमी है, क्षेत्रफल है: A₁ = 5² = 25 सेमी²

जब भुजा की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है, तो नई भुजा की लंबाई 10 सेमी होती है, और नया क्षेत्रफल है: A₂ = 10² = 100 सेमी²

क्षेत्रफल में वृद्धि नए क्षेत्रफल और मूल क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: क्षेत्रफल में वृद्धि = A₂ - A₁ = 100 - 25 = 75 सेमी²

क्षेत्रफल में वृद्धि की संख्या इस वृद्धि को मूल क्षेत्रफल से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: कितने गुना वृद्धि = (A₂ - A₁) / A₁ = 75 / 25 = 3

व्याख्या

औसत गति को यात्रा के लिए लिए गए कुल समय से विभाजित कुल दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए यात्रा की कुल दूरी 100 किमी है।

बस इस दूरी का 60% हिस्सा, जो कि 60 किमी है, 60 किमी/घंटा की गति से तय करती है। यात्रा के पहले भाग के लिए लिया गया समय = 60 / 60 = 1 घंटा।

बस शेष 40% दूरी, जो कि 40 किमी है, 70 किमी/घंटा की गति से तय करती है। यात्रा के दूसरे भाग के लिए लिया गया समय = 40 / 70 = 4/7 घंटा।

पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय = 1 + 4/7 = 11/7 घंटा।

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय = 100 / (11/7) = 700 / 11 ≈ 63.64 किमी/घंटा।

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, औसत गति 64 किमी/घंटा है।

व्याख्या

वर्ष 2013 के दौरान सभी प्रकार की कारों का कुल उत्पादन 70 है।

यह पता लगाने के लिए कि किस प्रकार की कार ने इस कुल का 30% बनाया, 70 का 30% परिकलित करें: 70 का 30% = (30 ÷ 100) × 70 = 21

तालिका में वर्ष 2013 के कॉलम को देखने पर, कार प्रकार D1 का उत्पादन ठीक 21 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना निर्माता का क्रय मूल्य C है। क्रमिक लाभ प्रतिशत 11%, 15% और 19% हैं।

अंतिम विक्रय मूल्य और प्रारंभिक क्रय मूल्य के बीच संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है: अंतिम मूल्य = C × (1 + P₁/100) × (1 + P₂/100) × (1 + P₃/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 17045 = C × 1.11 × 1.15 × 1.19 17045 = C × 1.519035 C = 17045 / 1.519035 C ≈ 11220.93

केवल पूर्णांक भाग पर विचार करते हुए, निर्माता का क्रय मूल्य ₹11,220 है।

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों के संयुक्त समूह के औसत अंकों की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भारित औसत = (N₁ × A₁ + N₂ × A₂) / (N₁ + N₂)

यहाँ, N₁ लड़कियों की संख्या (60) है, A₁ लड़कियों के औसत अंक (15) हैं, N₂ लड़कों की संख्या (40) है, और A₂ लड़कों के औसत अंक (30) हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भारित औसत = (60 × 15 + 40 × 30) / (60 + 40) भारित औसत = (900 + 1200) / 100 भारित औसत = 2100 / 100 = 21

व्याख्या

व्यंजक x⁴ + x² + 1 के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)

दिए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 585 = (1 + x + x²) × 65

1 + x + x² के लिए हल करें: 1 + x + x² = 585 ÷ 65 = 9

व्याख्या

6वें हफ्ते में आवश्यक बिक्री ज्ञात करने के लिए, हम औसत के सूत्र का उपयोग करते हैं:

औसत = कुल बिक्री ÷ हफ्तों की संख्या

सबसे पहले, ₹8,500 के औसत को प्राप्त करने के लिए सभी 6 हफ्तों के लिए आवश्यक कुल बिक्री की गणना करें: 6 हफ्तों के लिए कुल बिक्री = 8,500 × 6 = 51,000

इसके बाद, पहले 5 हफ्तों की बिक्री का योग ज्ञात करें: 5 हफ्तों के लिए कुल बिक्री = 8,435 + 8,927 + 8,855 + 9,230 + 8,562 = 44,009

अब, 6 हफ्तों के लिए आवश्यक कुल बिक्री में से पहले 5 हफ्तों की कुल बिक्री घटाकर 6वें हफ्ते की बिक्री ज्ञात करें: 6वें हफ्ते में बिक्री = 51,000 - 44,009 = 6,991

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने का सूत्र है: गति (मी/से में) = गति (किमी/घंटा में) × 5/18

सबसे पहले, श्याम और राम की गति के बीच किमी/घंटा में अंतर की गणना करें: अंतर = 90 किमी/घंटा - 72 किमी/घंटा = 18 किमी/घंटा

अब, रूपांतरण कारक का उपयोग करके इस अंतर को मी/से में बदलें: अंतर (मी/से में) = 18 × 5/18 = 5 मी/से

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद शुद्ध विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

दिया गया है: अंकित मूल्य = रु 4,88,000 d₁ = 10% d₂ = 5% d₃ = 2%

सूत्र में मान रखने पर:

विक्रय मूल्य = 4,88,000 × (1 - 0.10) × (1 - 0.05) × (1 - 0.02) विक्रय मूल्य = 4,88,000 × 0.90 × 0.95 × 0.98 विक्रय मूल्य = 4,39,200 × 0.95 × 0.98 विक्रय मूल्य = 4,17,240 × 0.98 विक्रय मूल्य = 4,08,895.2