एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया है कि x + y + z = 0, हम z = -x - y लिख सकते हैं।

तीन पदों के हर में z के इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x² - yz = x² - y(-x - y) = x² + xy + y²

y² - zx = y² - (-x - y)x = y² + x² + xy = x² + xy + y²

z² - xy = (-x - y)² - xy = x² + 2xy + y² - xy = x² + xy + y²

चूंकि तीनों हर बराबर हैं, हम पदों को सामान्य हर पर संयोजित कर सकते हैं:

व्यंजक = (x² + y² + z²) / (x² + xy + y²)

अंश में z² = (x + y)² = x² + 2xy + y² को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

x² + y² + z² = x² + y² + (x² + 2xy + y²) = 2x² + 2xy + 2y² = 2(x² + xy + y²)

इसलिए, व्यंजक बन जाता है:

2(x² + xy + y²) / (x² + xy + y²) = 2

व्याख्या

दो कोणों के योग के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

इस सूत्र में A = 35° और B = 55° प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55° = sin(35° + 55°)

कोण को सरल करने पर:

35° + 55° = 90°

चूंकि 90° का साइन 1 के बराबर होता है:

sin 90° = 1

व्याख्या

घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, अंश को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:

r³ + 1/r³ = (r + 1/r)(r² - 1 + 1/r²)

इस गुणनखंडित रूप को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

(r³ + 1/r³) / (r² + 1/r² - 1) = (r + 1/r)(r² + 1/r² - 1) / (r² + 1/r² - 1)

अंश और हर में उभयनिष्ठ पद रद्द हो जाते हैं, जिससे व्यंजक सरल होकर यह हो जाता है:

r + 1/r

यह देखते हुए कि r + 1/r = 11 है, व्यंजक का मान सीधे 11 है।

व्याख्या

तीन छोटे घनों का कुल आयतन उनके व्यक्तिगत आयतनों का योग है: आयतन = 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216 सेमी³

चूंकि तीन घनों को पिघलाकर एक एकल बड़ा घन बनाया जाता है, इसलिए बड़े घन का आयतन भी 216 सेमी³ है। मान लीजिए बड़े घन की भुजा A है। A³ = 216 A = ∛216 = 6 सेमी

तीन छोटे घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (छोटा) = 6 × (3² + 4² + 5²) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (छोटा) = 6 × (9 + 16 + 25) = 6 × 50 = 300 सेमी²

बड़े घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (बड़ा) = 6 × A² = 6 × 6² = 6 × 36 = 216 सेमी²

छोटे घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का बड़े घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात है: अनुपात = 300 : 216

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 12 है, से विभाजित करने पर: अनुपात = 25 : 18

व्याख्या

मशीन की कुल लागत मूल्य (CP) में खरीद मूल्य और परिवहन लागत दोनों शामिल हैं: CP = ₹5,000 + ₹250 = ₹5,250

विक्रय मूल्य (SP) ₹5,075 है। चूँकि लागत मूल्य विक्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए हानि हुई है।

हानि = CP - SP हानि = ₹5,250 - ₹5,075 = ₹175

हानि प्रतिशत = (हानि / CP) × 100 हानि प्रतिशत = (175 / 5250) × 100 हानि प्रतिशत = (1 / 30) × 100 = 3.33%

व्याख्या

ब्याज की प्रभावी वार्षिक दर, E, की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

E = (1 + r/n)ⁿ - 1

जहाँ r ब्याज की नाममात्र वार्षिक दर है और n प्रति वर्ष संयोजनों की संख्या है।

यह देखते हुए कि नाममात्र दर 6% प्रति वर्ष (r = 0.06) है और संयोजन अर्ध-वार्षिक (n = 2) है, मानों को इस प्रकार प्रतिस्थापित किया जाता है:

E = (1 + 0.06/2)² - 1 E = (1.03)² - 1 E = 1.0609 - 1 E = 0.0609

यह गणना 0.0609 की प्रभावी वार्षिक ब्याज दर देती है।

व्याख्या

केंद्र पर θ कोण बनाने वाले वृत्त की चाप की लम्बाई s और वृत्त की कुल परिधि C के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

s = (θ / 360) × C

सूत्र में चाप की लम्बाई s = 18 सेमी और कोण θ = 28.8° के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

18 = (28.8 / 360) × C

C के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

C = (18 × 360) / 28.8

C = 6480 / 28.8

C = 225 सेमी

व्याख्या

सभी चार निर्दिष्ट वर्षों के जनगणना आंकड़ों के विश्लेषण से पता चलता है कि आंध्र प्रदेश ने हर एक जनगणना में चारों राज्यों में लगातार सबसे कम साक्षरता दर दर्ज की।

1981 की जनगणना में, आंध्र प्रदेश की साक्षरता दर 35.7% थी, जो गुजरात (44.9%), कर्नाटक (46.2%), और केरल (78.9%) की दरों से कम थी।

1991 की जनगणना में, आंध्र प्रदेश की साक्षरता दर बढ़कर 44.1% हो गई, लेकिन यह समूह में सबसे कम बनी रही, जिसमें कर्नाटक 56.0%, गुजरात 61.3%, और केरल 89.8% था।

2001 की जनगणना के दौरान, आंध्र प्रदेश ने 60.5% साक्षरता दर्ज की, जो कर्नाटक (66.6%), गुजरात (69.1%), और केरल (90.9%) की तुलना में फिर से सबसे कम थी।

अंत में, 2011 की जनगणना में, आंध्र प्रदेश ने 67.7% की साक्षरता दर दर्ज की, जो चारों राज्यों में सबसे कम बनी रही, जबकि कर्नाटक 75.6%, गुजरात 79.3%, और केरल 93.9% पर था।

व्याख्या

एक गोले को परिवेष्टित करने वाले बेलन की त्रिज्या r, गोले की त्रिज्या के बराबर होती है, और ऊंचाई h, गोले के व्यास के बराबर होती है।

गोले का व्यास 14 सेमी दिया गया है: r = 14 / 2 = 7 सेमी h = 14 सेमी

बेलन का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = π r² h

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (22/7) × 7² × 14 V = 22 × 7 × 14 V = 154 × 14 V = 2156 सेमी³

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + r)ⁿ है, जहाँ A परिपक्वता राशि है, P मूल धनराशि है, r प्रति संयोजन अवधि ब्याज दर है, और n संयोजन अवधियों की कुल संख्या है।

18 महीनों के लिए अर्ध-वार्षिक संयोजन पर: अर्ध-वार्षिक दर r = 10% / 2 = 5% = 0.05 अर्ध-वार्षिक अवधियों की संख्या n = 18 / 6 = 3

दी गई परिपक्वता राशि A = ₹83,349 को प्रतिस्थापित करने पर: 83349 = P(1 + 0.05)³ 83349 = P(1.05)³ 83349 = P × 1.157625

P के लिए हल करने पर: P = 83349 / 1.157625 = 72000

व्याख्या

अंकित मूल्य, छूट प्रतिशत और विक्रय मूल्य के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट प्रतिशत) / 100

यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य ₹975 है और छूट 35% है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

975 = अंकित मूल्य × (100 - 35) / 100

975 = अंकित मूल्य × 65 / 100

अंकित मूल्य = (975 × 100) / 65

अंकित मूल्य = 15 × 100

अंकित मूल्य = 1500

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तीसरा समानुपाती वह संख्या x है जैसे कि a : b = b : x, जिसे सूत्र द्वारा सरल किया जाता है: x = b² / a

इस समस्या में, दी गई दो संख्याएँ a = 14 और b = 28 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x = 28² / 14 x = (28 × 28) / 14 x = 2 × 28 x = 56

व्याख्या

बहुपद f(x) = x² + 2x + 3 का x = -2 के सापेक्ष विस्तार करने के लिए, हम चर का एक सरल परिवर्तन कर सकते हैं। मान लीजिए y = x + 2, जिसका अर्थ है x = y - 2।

मूल व्यंजक में x = y - 2 को प्रतिस्थापित करने पर: f(x) = (y - 2)² + 2(y - 2) + 3

पदों का विस्तार करने पर: f(x) = (y² - 4y + 4) + (2y - 4) + 3 f(x) = y² - 2y + 3

व्यंजक में y = x + 2 को वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: f(x) = (x + 2)² - 2(x + 2) + 3

व्याख्या

मान लीजिए CP, MP, और SP क्रमशः एक वस्तु का क्रय मूल्य, अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य है।

पहली शर्त के अनुसार: 42 × MP = 70 × CP MP/CP = 70/42 = 5/3 MP = (5/3) × CP

दूसरी शर्त के अनुसार: 25 × SP = 21 × MP SP/MP = 21/25 SP = (21/25) × MP

पहली समीकरण से MP का मान दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: SP = (21/25) × (5/3) × CP SP = (7/5) × CP SP = 1.4 × CP

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((SP - CP)/CP) × 100 लाभ % = ((1.4 × CP - CP)/CP) × 100 लाभ % = 0.4 × 100 = 40% लाभ

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो अलग-अलग गतियों, v₁ और v₂, पर समान दूरी तय करती है, तो औसत गति की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)

यह देखते हुए कि जाते समय कार की गति v₁ = 21 किमी/घंटा है और वापस आते समय गति v₂ = 17 किमी/घंटा है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

औसत गति = (2 × 21 × 17) / (21 + 17)

औसत गति = 714 / 38

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करने पर भिन्न 357 / 19 हो जाता है।

357 / 19 को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करना: 357 ÷ 19 = 18 शेष 15, जिसे 18 15/19 किमी/घंटा के रूप में लिखा जाता है।

व्याख्या

दो कोण संपूरक होते हैं जब उनका योग 180 डिग्री होता है। मान लीजिए दो कोण x और y हैं, जहाँ x बड़ा कोण है।

दी गई शर्तों के अनुसार: x + y = 180° x - y = 74°

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 2y = 180° - 74° 2y = 106° y = 53°

y के मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 53° = 180° x = 127°

इस प्रकार, दो संपूरक कोण 127° और 53° हैं। दिए गए विकल्पों में से, 53° इन कोणों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य (CP) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: CP = विक्रय मूल्य × 100 / (100 - हानि %)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य £255 है और हानि 15% है: CP = 255 × 100 / (100 - 15) CP = 255 × 100 / 85 CP = 3 × 100 = 300

जब वस्तु को £357 के नए विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो शुद्ध परिणाम लाभ होता है क्योंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है।

लाभ = नया विक्रय मूल्य - CP लाभ = 357 - 300 = 57

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (लाभ / CP) × 100% लाभ % = (57 / 300) × 100% = 19%

व्याख्या

मूलधन P पर x% और y% की दो क्रमिक छूटों और (x + y)% की एकल छूट के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = (x × y / 100)% P का

इस मामले में, 20% की एकल छूट दो क्रमिक छूटों 16% और 4% के योग के बराबर है (क्योंकि 16 + 4 = 20)।

यहाँ, x = 16, y = 4, और P = 50,000।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंतर = (16 × 4 / 100)% 50,000 का अंतर = 0.64% 50,000 का अंतर = (0.64 / 100) × 50,000 अंतर = 0.64 × 500 अंतर = 320

व्याख्या

जब एक व्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाता है तो 8 पुरुषों के औसत भार में 2 किलोग्राम की वृद्धि होती है। इसका मतलब है कि 8 पुरुषों के भार के कुल योग में वृद्धि होती है:

कुल वृद्धि = पुरुषों की संख्या × औसत भार में वृद्धि कुल वृद्धि = 8 × 2 = 16 किलोग्राम

चूंकि प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार 90 किलोग्राम है, इसलिए कुल भार में 16 किलोग्राम की वृद्धि करने के लिए नए व्यक्ति का भार इससे 16 किलोग्राम अधिक होना चाहिए:

नए व्यक्ति का भार = प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार + कुल वृद्धि नए व्यक्ति का भार = 90 + 16 = 106 किलोग्राम

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP/MP = (100 - छूट%) / (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अंकित मूल्य (MP) = ₹2,500 छूट% = 10% लाभ% = 20%

CP/2500 = (100 - 10) / (100 + 20) CP/2500 = 90/120 CP/2500 = 3/4 CP = 2500 × 3/4 = 1875

व्याख्या

8 वर्ष के बच्चे का वज़न 27 किग्रा है, और 9 वर्ष के बच्चे का वज़न 25 किग्रा है। इन दोनों मानों को जोड़ने पर:

27 किग्रा + 25 किग्रा = 52 किग्रा

चूंकि 52 किग्रा 50 किग्रा से अधिक है, इसलिए इन दो आयु के बच्चों के वज़न का योग 50 किग्रा से अधिक है।

व्याख्या

कुल काम 6 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 12 इकाई है।

X की कार्य क्षमता 12 ÷ 6 = 2 इकाई प्रति दिन है। Y की कार्य क्षमता 12 ÷ 12 = 1 इकाई प्रति दिन है।

वे बारी-बारी से काम करते हैं, X से शुरू करते हुए: पहले दिन, X 2 इकाई काम पूरा करता है। दूसरे दिन, Y 1 इकाई काम पूरा करता है।

इस प्रकार, 2 दिनों के चक्र में, कुल काम 2 + 1 = 3 इकाई पूरा होता है।

पूरा 12 इकाई काम पूरा करने के लिए, आवश्यक चक्रों की संख्या 12 ÷ 3 = 4 चक्र है।

चूंकि प्रत्येक चक्र में 2 दिन लगते हैं, काम पूरा करने में कुल समय 4 × 2 = 8 दिन लगेगा।

व्याख्या

246837 को 13 से विभाज्य बनाने के लिए उसमें से क्या घटाया जाना चाहिए, यह जानने के लिए हमें 246837 को 13 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना होगा।

विभाजन करने पर: 246837 ÷ 13 = 18987 शेषफल 6 के साथ

इस शेषफल 6 को मूल संख्या से घटाने पर 246831 प्राप्त होता है, जो 13 से पूरी तरह विभाज्य है (13 × 18987 = 246831)।

व्याख्या

यदि चार संख्याएँ a, b, c और d समानुपात में हैं, तो पहली दो का अनुपात अंतिम दो के अनुपात के बराबर होता है, जिसे a/b = c/d के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ d, a, b और c का चौथा समानुपाती है।

दिए गए मानों a = 14, b = 21, और c = 28 को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: d = (b × c) / a

d = (21 × 28) / 14

d = 21 × 2

d = 42

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, लगातार खर्चों के बाद शेष राशि इस प्रकार दी जाती है:

शेष राशि = वेतन × (1 - r₁) × (1 - r₂)

यहाँ, r₁ = 20% = 0.20 और r₂ = 30% = 0.30 है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

8400 = वेतन × (1 - 0.20) × (1 - 0.30) 8400 = वेतन × 0.80 × 0.70 8400 = वेतन × 0.56 वेतन = 8400 / 0.56 वेतन = 840000 / 56 वेतन = 15000

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

कुल दूरी = 10 + 20 + 30 = 60 किमी

कुल समय यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिए गए समय का योग है: समय 1 = 10 किमी ÷ 30 किमी/घंटा = 1/3 घंटा समय 2 = 20 किमी ÷ 40 किमी/घंटा = 1/2 घंटा समय 3 = 30 किमी ÷ 60 किमी/घंटा = 1/2 घंटा

कुल समय = 1/3 + 1/2 + 1/2 = 1/3 + 1 = 4/3 घंटा

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय = 60 ÷ (4/3) = 60 × 3/4 = 45 किमी/घंटा

व्याख्या

7x² - 50xy + 7y² का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले x और y के योग और गुणनफल की गणना करते हैं।

x और y का योग: x + y = (√10 + √11) + (√10 - √11) = 2√10

x और y का गुणनफल: xy = (√10 + √11)(√10 - √11) = (√10)² - (√11)² = 10 - 11 = -1

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके x² + y² को व्यक्त कर सकते हैं: x² + y² = (x + y)² - 2xy x² + y² = (2√10)² - 2(-1) x² + y² = 40 + 2 = 42

अब, इन मानों को लक्ष्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 7x² - 50xy + 7y² = 7(x² + y²) - 50xy = 7(42) - 50(-1) = 294 + 50 = 344

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए v₁ और v₂, पर समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति गतियों के हार्मोनिक माध्य द्वारा दी जाती है, जिसे सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

औसत गति = 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)

दिया गया है: v₁ = 84 किमी/घंटा v₂ = 56 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 2 × 84 × 56 / (84 + 56) औसत गति = 9408 / 140 औसत गति = 67.2 किमी/घंटा

स्टेशनों के बीच 778 किमी की दूरी औसत गति की गणना को प्रभावित नहीं करती है क्योंकि प्रत्येक गति पर तय की गई दूरी समान है।

व्याख्या

शहर की जनसंख्या n वर्षों के बाद चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

P_भविष्य = P × (1 + R/100)ⁿ

यहां, वर्तमान जनसंख्या P 21000 है, वार्षिक वृद्धि दर R 10% है, और समय अवधि n 3 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

P_भविष्य = 21000 × (1 + 10/100)³ P_भविष्य = 21000 × (1.1)³ P_भविष्य = 21000 × 1.331 P_भविष्य = 21 × 1331 P_भविष्य = 27951

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो समान दूरियों, प्रत्येक 50 किमी, को अलग-अलग गति v₁ और v₂ से तय करती है, तो पूरी यात्रा की औसत गति दोनों गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)

दिया गया है कि पहली 50 किमी के लिए गति (v₁) 25 किमी/घंटा है, पूरी यात्रा के लिए औसत गति 30 किमी/घंटा है, और अगली 50 किमी के लिए गति v₂ है:

30 = 2 × 25 × v₂ / (25 + v₂)

30 = 50 × v₂ / (25 + v₂)

3 × (25 + v₂) = 5 × v₂

75 + 3 × v₂ = 5 × v₂

2 × v₂ = 75

v₂ = 37.5 किमी/घंटा

व्याख्या

कोई संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 5 दोनों से विभाज्य हो।

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक या तो 0 या 5 होना चाहिए। संख्या 3,06,045 का अंतिम अंक 5 है, जो इस शर्त को पूरा करता है।

किसी संख्या के 3 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए। 3,06,045 के अंकों का योग ज्ञात करना: 3 + 0 + 6 + 0 + 4 + 5 = 18

चूंकि 18, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 3,06,045 भी 3 से विभाज्य है।

चूंकि 3,06,045, 3 और 5 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 15 से विभाज्य है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सख्ती से अधिक होना चाहिए। यदि हम दो छोटी भुजाएँ लेते हैं, तो उनका योग सबसे लंबी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।

भुजाओं की लंबाई 3 सेमी, 5 सेमी और 1 सेमी के लिए, दो छोटी भुजाएँ 3 सेमी और 1 सेमी हैं। उनका योग 3 + 1 = 4 सेमी है। चूंकि यह योग 5 सेमी की सबसे लंबी भुजा से कम है, इसलिए वे त्रिभुज असमानता प्रमेय का उल्लंघन करते हैं और त्रिभुज की भुजाएँ नहीं बना सकते हैं।

व्याख्या

अरुण और शमा द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम संयुक्त कार्य के सूत्र का उपयोग करते हैं:

T = (A × B) / (A + B)

यहाँ, अरुण का समय A 12 दिन है और शमा का समय B 15 दिन है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

T = (12 × 15) / (12 + 15) T = 180 / 27 T = 20 / 3 दिन T = 6 2/3 दिन

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 3 6/7 = (3 × 7 + 6)/7 = 27/7 5 1/7 = (5 × 7 + 1)/7 = 36/7 2 3/7 = (2 × 7 + 3)/7 = 17/7 3 5/7 = (3 × 7 + 5)/7 = 26/7 4 = 28/7

व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 27/7 - {36/7 - (17/7 - (26/7 - 28/7))}

BODMAS नियमों का पालन करते हुए, सबसे पहले विनकुलम (बार ब्रैकेट) वाले सबसे भीतरी भाग को सरल करें: 26/7 - 28/7 = -2/7

अब कोष्ठकों के अंदर व्यंजक का मूल्यांकन करें: 17/7 - (-2/7) = 17/7 + 2/7 = 19/7

इसके बाद, कोष्ठकों के अंदर व्यंजक का मूल्यांकन करें: 36/7 - 19/7 = 17/7

अंत में, घटाव पूरा करें: 27/7 - 17/7 = 10/7

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: a + b = 2c

हम चरों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: a - c = c - b

दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर: b - c = -(a - c)

इसके मान को ज्ञात करने के लिए इस संबंध को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: a / (a - c) + c / (b - c)

हर में पद (b - c) को -(a - c) से प्रतिस्थापित करने पर: a / (a - c) + c / (-(a - c)) = a / (a - c) - c / (a - c) = (a - c) / (a - c) = 1

व्याख्या

सभी 20 मैचों में रनों का योग है: 20 × 30 = 600

पहले 12 मैचों में रनों का योग है: 12 × 40 = 480

शेष 8 मैचों में रनों का योग है: 600 - 480 = 120

अंतिम 8 मैचों का औसत है: 120 ÷ 8 = 15

व्याख्या

न्यूनतम भाग लेने वाले छात्रों वाले कॉलेजों को खोजने के लिए, प्रत्येक कॉलेज के लिए सभी चार पाठ्येतर गतिविधियों में कुल प्रतिभागियों की गणना की जाती है।

कॉलेज D के लिए योग 50 + 50 + 125 + 275 = 500 है।

कॉलेज G के लिए योग 150 + 50 + 150 + 150 = 500 है।

कॉलेज A के लिए योग 150 + 50 + 100 + 250 = 550 है, जबकि कॉलेज B का योग 250 + 150 + 50 + 125 = 575 है। कॉलेज C का योग 450 + 150 + 400 + 350 = 1350 है, कॉलेज E का योग 350 + 50 + 100 + 250 = 750 है, और कॉलेज F का योग 250 + 50 + 500 + 150 = 950 है।

कॉलेज D और कॉलेज G में प्रत्येक में 500 छात्रों के साथ सबसे कम कुल छात्र भागीदारी है।

व्याख्या

घनाभ का आयतन सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: V = l × b × h जहाँ l लंबाई है, b चौड़ाई है, और h ऊंचाई है।

चौड़ाई (b) 8 सेमी दी गई है।

चूंकि चौड़ाई ऊंचाई से दोगुनी है (b = 2h), ऊंचाई है: h = 8 / 2 = 4 सेमी

लंबाई (l) इसकी चौड़ाई से दोगुनी अधिक है, जिसका अर्थ है कि यह चौड़ाई के दोगुने चौड़ाई के बराबर है: l = b + 2b = 3b = 3 × 8 = 24 सेमी

अब, आयतन ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: आयतन = 24 × 8 × 4 = 768 सेमी³

व्याख्या

हमें x - 1/x = 11 और x > 0 दिया गया है।

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें: (x + 1/x)² = 11² + 4 (x + 1/x)² = 121 + 4 = 125

चूंकि x > 0 है, इसलिए योग x + 1/x धनात्मक होना चाहिए: x + 1/x = √125 = 5√5

अब, वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का प्रयोग करके: x² - 1/x² = (x - 1/x)(x + 1/x)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: x² - 1/x² = 11 × 5√5 = 55√5

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य और अंकित मूल्य क्रमशः 4x और 7x हैं।

चूंकि अंकित मूल्य पर 25% की छूट दी जाती है, इसलिए विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 75% है: विक्रय मूल्य = 7x × 0.75 = 5.25x

दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 5.25x - 4x = 1.25x

इसे ₹50 के दिए गए लाभ के बराबर करने पर: 1.25x = 50 x = 40

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए x का मान रखने पर: क्रय मूल्य = 4 × 40 = 160

व्याख्या

1000 ग्राम चीनी का क्रय मूल्य ₹30 है। चूँकि दुकानदार 1000 ग्राम के बजाय 750 ग्राम देता है, इसलिए उसके द्वारा वहन की गई वास्तविक लागत केवल 750 ग्राम के लिए है।

750 ग्राम चीनी का वास्तविक क्रय मूल्य = (30 ÷ 1000) × 750 = ₹22.50

इस मात्रा के लिए विक्रय मूल्य ₹27 है।

वास्तविक विक्रय मूल्य = ₹27

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 27 - 22.50 = ₹4.50

लाभ प्रतिशत = (लाभ ÷ क्रय मूल्य) × 100 = (4.50 ÷ 22.50) × 100 = 20%

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 160 किमी/घंटा + 200 किमी/घंटा = 360 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मी/से में बदलना: 360 × 5/18 = 100 मी/से

एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए, उनके द्वारा तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई और उन्हें अलग करने वाली प्रारंभिक दूरी का योग है: कुल दूरी = 230 मीटर + 240 मीटर + 130 मीटर = 600 मीटर

सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करके: समय = 600 / 100 = 6 सेकंड

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) है।

दी गई शर्त के अनुसार: CP का 40% = SP का 30%

इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 0.40 × CP = 0.30 × SP

संबंध को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है: 4 × CP = 3 × SP SP / CP = 4/3

यह अनुपात दर्शाता है कि यदि क्रय मूल्य 3 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 4 इकाई है। चूँकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होता है।

लाभ = SP - CP = 4 - 3 = 1 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (1/3) × 100 ≈ 33.33%

व्याख्या

वृत्त का मानक समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 होता है, जहाँ त्रिज्या r का सूत्र r = √(g² + f² - c) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए समीकरण x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 की मानक समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2g = -4, जिससे g = -2 2f = 6, जिससे f = 3 c = -12

इन मानों को त्रिज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: r = √((-2)² + 3² - (-12)) r = √(4 + 9 + 12) r = √25 r = 5

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि के लिए सूत्र है:

A = P × (1 + R / 200)ⁿ

जहाँ A राशि है, P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और n अर्ध-वर्षों की संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

4,56,976 = 3,90,625 × (1 + 8 / 200)ⁿ

4,56,976 / 3,90,625 = (1 + 1 / 25)ⁿ

4,56,976 / 3,90,625 = (26 / 25)ⁿ

बाएँ पक्ष के भिन्न को आधार 26/25 के रूप में व्यक्त करना:

25⁴ = 3,90,625 26⁴ = 4,56,976

इसलिए, (26 / 25)⁴ = (26 / 25)ⁿ

घातांकों की तुलना करने पर n = 4 अर्ध-वर्ष प्राप्त होता है।

चूंकि एक वर्ष में 2 अर्ध-वर्ष होते हैं, समय अवधि 4 / 2 = 2 वर्ष है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

यहाँ, मूलधन (P) 1,60,000 है, वार्षिक दर (R) 10% है, और समय (t) 2 वर्ष है।

अर्ध-वार्षिक ब्याज दर (r) 10% / 2 = 5% है। संयोजन अवधियों की संख्या (n) 2 × 2 = 4 है।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) का सूत्र है: CI = P × ((1 + r/100)ⁿ - 1)

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: CI = 1,60,000 × ((1 + 5/100)⁴ - 1) CI = 1,60,000 × ((21/20)⁴ - 1) CI = 1,60,000 × (194481/160000 - 1) CI = 1,60,000 × (34481/160000) CI = 34,481

व्याख्या

जब वे एक साथ काम करते हैं तो लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम पहले अलग-अलग दिनों, जो कि 5, 6 और 10 हैं, के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को लेकर कुल कार्य निर्धारित करते हैं।

LCM(5, 6, 10) = 30 इकाई।

प्रत्येक व्यक्ति की दक्षता (प्रति दिन किया गया कार्य) है: A की दक्षता = 30 ÷ 5 = 6 इकाई/दिन B की दक्षता = 30 ÷ 6 = 5 इकाई/दिन C की दक्षता = 30 ÷ 10 = 3 इकाई/दिन

A, B और C के एक साथ मिलकर काम करने की संयुक्त दक्षता है: 6 + 5 + 3 = 14 इकाई/दिन

कार्य को एक साथ पूरा करने में उनके द्वारा लिए जाने वाले दिनों की संख्या है: कुल कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 30 ÷ 14 = 15/7 = 2 1/7 दिन।

व्याख्या

बेलन के आधार की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है, अतः r = 12 ÷ 2 = 6 सेमी।

बेलन की ऊँचाई उसकी त्रिज्या की 2.45 गुनी है, जिससे h = 2.45 × 6 = 14.7 सेमी प्राप्त होता है।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन V = πr²h सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

π = 22/7 के साथ सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (22/7) × 6² × 14.7

V = (22/7) × 36 × 14.7

V = 22 × 36 × 2.1

V = 792 × 2.1

V = 1663.2 सेमी³

व्याख्या

चूंकि y, x के साथ सीधे भिन्न होता है, उनका संबंध सीधे भिन्नता सूत्र द्वारा परिभाषित होता है:

y₁ / x₁ = y₂ / x₂

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

61 / 42 = y₂ / 54

y₂ के लिए हल करने पर:

y₂ = (61 × 54) / 42

y₂ = (61 × 9) / 7

y₂ = 549 / 7

y₂ ≈ 78.43

निकटतम पूर्णांक मान पर विचार करते हुए, y, 78 के बराबर है।

व्याख्या

a भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

दिए गए भुजा की लंबाई a = 12 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 12 × 12 क्षेत्रफल = √3 × 3 × 12 क्षेत्रफल = 36√3 सेमी²