एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वर्गों के अंतर की पहचान, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम गणना 99 × 99 - 1 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

99² - 1² = (99 - 1) × (99 + 1)

कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल बनाने पर:

98 × 100 = 9800

वैकल्पिक रूप से, हम (a - b)² = a² - 2ab + b² की पहचान का उपयोग करके 99 का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं:

99² = (100 - 1)² = 100² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801

इस परिणाम से 1 घटाने पर प्राप्त होता है:

9801 - 1 = 9800

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए a और b, पर समान दूरियाँ तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

औसत गति = 2ab / (a + b)

दिया गया है: जाने की यात्रा के दौरान गति (a) = 40 किमी/घंटा वापसी की यात्रा के दौरान गति (b) = 60 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 2 × 40 × 60 / (40 + 60) औसत गति = 4800 / 100 औसत गति = 48 किमी/घंटा

व्याख्या

दो वर्ष पूर्व की जनसंख्या और वर्तमान जनसंख्या के बीच संबंध चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र द्वारा दिया गया है: वर्तमान जनसंख्या = P × (1 + R/100)ⁿ

इस परिदृश्य में, वर्तमान जनसंख्या 54,450 है, वार्षिक वृद्धि दर R 10% है, और समय अवधि n 2 वर्ष है। मान लीजिए P दो वर्ष पूर्व गाँव की जनसंख्या थी।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 54450 = P × (1 + 10/100)² 54450 = P × (11/10)² 54450 = P × 121/100 P = (54450 × 100) ÷ 121 P = 450 × 100 P = 45000

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिया गया व्यंजक p(p² + 3p + 3) है।

व्यंजक का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: p³ + 3p² + 3p

हम घन को पूरा करने के लिए 1 जोड़कर और घटाकर इसे फिर से लिख सकते हैं: p³ + 3p² + 3p + 1 - 1 = (p + 1)³ - 1

सरलीकृत व्यंजक में p = 38 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करें: (38 + 1)³ - 1 = 39³ - 1

39 का घन परिकलित करें: 39³ = 39 × 39 × 39 = 1521 × 39 = 59319

इस मान से 1 घटाएं: 59319 - 1 = 59318

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, भुजाएँ AB = 3.6 सेमी और CA = 4 सेमी शीर्ष A को साझा करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण A है। चूँकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, कोण A का माप 180° - 52.4° - 45.5° = 82.1° के रूप में गणना की जाती है।

त्रिभुज JKL में, दी गई भुजाएँ JK = 3.6 सेमी और LJ = 4 सेमी हैं, जो शीर्ष J को साझा करती हैं। इन भुजाओं के बीच का कोण ∠ J = 52.4° दिया गया है। चूँकि यह अंतर्निहित कोण J (52.4°) त्रिभुज ABC में संगत अंतर्निहित कोण A (82.1°) के बराबर नहीं है, इसलिए दोनों त्रिभुज SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी को संतुष्ट नहीं करते हैं। परिणामस्वरूप, त्रिभुज JKL त्रिभुज ABC के सर्वांगसम नहीं है।

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, प्रति अवधि प्रभावी ब्याज दर वार्षिक दर की आधी होती है, और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹8,000 वार्षिक ब्याज दर (R) = 10% प्रति वर्ष अर्ध-वार्षिक दर (r) = 10% / 2 = 5% समय (t) = 1 वर्ष संयोजन अवधियों की संख्या (n) = 2

संयोजन के बाद कुल राशि (A) का सूत्र है: A = P × (1 + r/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 8000 × (1 + 5/100)² A = 8000 × (1.05)² A = 8000 × 1.1025 A = 8820

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 8820 - 8000 = 820

व्याख्या

लेन-देन के लिए शुद्ध गुणक (net multiplier) को कीमत वृद्धि से प्राप्त लाभ कारक और गलत वज़न से प्राप्त लाभ कारक को गुणा करके गणना की जा सकती है:

शुद्ध गुणक = (1 + वृद्धि प्रतिशत / 100) × (नाममात्र वज़न / वास्तविक वज़न)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध गुणक = (1 + 8/100) × (750 / 720) शुद्ध गुणक = 1.08 × (25 / 24) शुद्ध गुणक = (108 / 100) × (25 / 24) शुद्ध गुणक = (27 / 25) × (25 / 24) शुद्ध गुणक = 27 / 24 = 9 / 8 = 1.125

वास्तविक लाभ प्रतिशत = (1.125 - 1) × 100 = 12.5%

व्याख्या

घनाभ का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

गुणा करने से पहले, सभी विमाओं को माप की समान इकाई में परिवर्तित किया जाना चाहिए। घनाभ की दी गई विमाएँ 12 मीटर की लम्बाई, 6 मीटर की चौड़ाई और 50 सेंटीमीटर की ऊँचाई हैं।

ऊँचाई को सेंटीमीटर से मीटर में परिवर्तित करना: ऊँचाई = 50 सेमी = 50 ÷ 100 मीटर = 0.5 मीटर

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: आयतन = 12 मीटर × 6 मीटर × 0.5 मीटर आयतन = 36 मी³

व्याख्या

प्रारंभिक मिश्र धातु में, तांबे और कांस्य का अनुपात 3:4 है, और अंतिम मिश्र धातु में, तांबा मिलाने के बाद अनुपात 4:3 हो जाता है। चूंकि कांस्य की मात्रा स्थिर रहती है, हम प्रारंभिक अनुपात 3:4 को 3 से और अंतिम अनुपात 4:3 को 4 से गुणा करके दोनों अनुपातों में कांस्य के भागों को बराबर कर सकते हैं।

इससे प्राप्त होता है: तांबे और कांस्य का प्रारंभिक अनुपात = 9:12 तांबे और कांस्य का अंतिम अनुपात = 16:12

प्रारंभिक कुल मिश्रण 9 + 12 = 21 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। दिया गया है कि प्रारंभिक मिश्रण का वजन 350 ग्राम है, तो: 21 इकाइयाँ = 350 ग्राम 1 इकाई = 350 / 21 ग्राम = 50 / 3 ग्राम

तांबे की मात्रा में वृद्धि 16 - 9 = 7 इकाइयाँ है। इसलिए, मिलाए जाने वाले तांबे की मात्रा है: 7 इकाइयाँ = 7 × (50 / 3) ग्राम = 350 / 3 ग्राम = 116.67 ग्राम

व्याख्या

A = 30° के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 30° = ½ cosec 30° = 2 cot 30° = √3 cot² 30° = 3

सबसे पहले, अंश में कोष्ठक वाले पद का मूल्यांकन करें: 6 sin A + 9 cosec A - cot² A = 6(½) + 9(2) - 3 = 3 + 18 - 3 = 18

अगला, हर में पद का मूल्यांकन करें: 12 sin A = 12(½) = 6

दिया गया व्यंजक कोष्ठक वाले पद को शेष पद से विभाजित करता है: [6 sin A + 9 cosec A - cot² A] / (12 sin A) = 18 / 6 = 3

व्याख्या

घनाभ का आयतन मानक सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

दिए गए विमाओं 15 मीटर, 22 मीटर और 5 मीटर को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

आयतन = 15 × 22 × 5

गणना को सरल बनाने के लिए, पहले 15 को 5 से गुणा करें:

आयतन = 75 × 22

अंतिम गुणनफल की गणना:

आयतन = 1650 मी³

व्याख्या

मान लीजिए परीक्षा के अधिकतम कुल अंक T हैं।

उत्तीर्ण होने के लिए न्यूनतम अंक 340 हैं। चूंकि छात्र 244 अंक प्राप्त करता है और कुल अंकों के 12% से अनुत्तीर्ण होता है, इसलिए उत्तीर्ण अंकों और छात्र के अंकों के बीच का अंतर कुल अंकों के 12% के बराबर होना चाहिए।

इस संबंध को स्थापित करके: 340 - 244 = T का 12% 96 = 0.12 × T T = 96 / 0.12 T = 800

एक छात्र द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले अधिकतम कुल अंक 800 हैं।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई

समकोण त्रिभुज में, समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ आधार और ऊंचाई के रूप में कार्य करती हैं। दिए गए क्षेत्रफल 42 वर्ग सेमी और एक भुजा 10 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

42 = ½ × 10 × ऊंचाई

42 = 5 × ऊंचाई

ऊंचाई = 42 / 5 = 8.4 सेमी

व्याख्या

जब क्रमिक वृद्धि और कमी होती है तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन % = a + b + (ab / 100)

यहां, मार्कअप 30% की वृद्धि (a = +30) का प्रतिनिधित्व करता है और छूट 15% की कमी (b = -15) का प्रतिनिधित्व करती है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = 30 - 15 + ((30 × -15) / 100)

शुद्ध परिवर्तन % = 15 - 4.5 = 10.5%

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती उनके गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है: मध्य समानुपाती = √(a × b)

यह देखते हुए कि एक अज्ञात संख्या x और 20 के बीच मध्य समानुपाती 50 है, हम संबंध स्थापित करते हैं: √(x × 20) = 50

वर्गमूल को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 20x = 50² 20x = 2500

x के लिए हल करना: x = 2500 / 20 x = 125

व्याख्या

प्रारंभिक 8 खिलाड़ियों का कुल रन इस प्रकार गणना की जा सकती है: 8 × 6.5 = 52

जब 2 नए खिलाड़ियों को शामिल किया जाता है, तो खिलाड़ियों की कुल संख्या 10 हो जाती है, और उनके नए औसत रन में 1 की वृद्धि होकर 7.5 हो जाता है। सभी 10 खिलाड़ियों का कुल रन है: 10 × 7.5 = 75

2 नए खिलाड़ियों के रनों का योग दोनों टोटलों के बीच का अंतर है: 75 - 52 = 23

इन 2 नए खिलाड़ियों का औसत रन है: 23 ÷ 2 = 11.5

व्याख्या

मान लीजिए शहर की प्रारंभिक जनसंख्या P है। तीन वर्षों में r₁, r₂, और r₃ की क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के बाद अंतिम जनसंख्या A निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

A = P × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100) × (1 + r₃/100)

सूत्र में दिए गए मान r₁ = 5, r₂ = 2, r₃ = 6, और A = 56763 को प्रतिस्थापित करने पर:

56763 = P × (1 + 5/100) × (1 + 2/100) × (1 + 6/100)

56763 = P × (105/100) × (102/100) × (106/100)

भिन्नों को सरल बनाने पर:

56763 = P × (21/20) × (51/50) × (53/50)

56763 = P × (21 × 51 × 53) / (20 × 50 × 50)

चूंकि 21 × 51 × 53 = 56763 है, व्यंजक सीधे सरल हो जाता है:

56763 = P × 56763 / 50000

P = 50000

व्याख्या

वर्गों के योग और अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (√7)² + (√5)² = 2(a² + b²) 7 + 5 = 2(a² + b²) 12 = 2(a² + b²) a² + b² = 6

गुणनफल ab के लिए एक अन्य सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b)² - (a - b)² = 4ab 7 - 5 = 4ab 2 = 4ab ab = ½

अब, इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 8ab(a² + b²) - (a - b)² = 8 × ½ × 6 - (√5)² = 4 × 6 - 5 = 24 - 5 = 19

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cosec²θ - cot²θ = 1

हम cosec²θ को cot²θ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: cosec²θ = 1 + cot²θ

इस संबंध को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: cosec²θ + cot²θ = 5/3 (1 + cot²θ) + cot²θ = 5/3 1 + 2 cot²θ = 5/3

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर: 2 cot²θ = 5/3 - 1 2 cot²θ = 2/3

2 से भाग देने पर प्राप्त होता है: cot²θ = 1/3

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, हम सबसे पहले कोष्ठकों और घातों (exponents) के पदों का मूल्यांकन करते हैं।

कोष्ठक में पद का मूल्यांकन 1 + 2 + 3 + 4 = 10 के रूप में किया जाता है। घात पद का मूल्यांकन 5² = 25 के रूप में किया जाता है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है: 96 ÷ 48 × 29/2 + 25 - 10

अगला, हम बाएं से दाएं भाग और गुणा करते हैं। 96 ÷ 48 = 2 इस परिणाम को 29/2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 2 × 29/2 = 29

अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं: 29 + 25 - 10 = 54 - 10 = 44

व्याख्या

किसी भी समांतर श्रेणी के लिए, पदों का औसत पहले और अंतिम पद के औसत के बराबर होता है।

21 से 81 तक की विषम संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: 21, 23, 25, ..., 81।

यहाँ, पहला पद 21 है और अंतिम पद 81 है।

औसत = (पहला पद + अंतिम पद) / 2 औसत = (21 + 81) / 2 औसत = 102 / 2 औसत = 51

व्याख्या

एक ठोस बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

TSA = 2πr(r + h)

जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

दिया गया है कि ऊँचाई h = r/2, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

TSA = 2πr(r + r/2)

TSA = 2πr(3r/2)

TSA = 3πr²

व्याख्या

दो क्रमिक छूट प्रतिशत d₁ और d₂ के लिए, शुद्ध छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

मान d₁ = 10 और d₂ = 5 रखने पर:

शुद्ध छूट = 10 + 5 - (10 × 5)/100 शुद्ध छूट = 15 - 50/100 शुद्ध छूट = 15 - 0.5 शुद्ध छूट = 14.5%

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, जिस अनुपात में दोनों प्रकार की दालों को मिलाया जाना चाहिए, उसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

सस्ती दाल का महँगी दाल से अनुपात = (महँगी दाल का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ती दाल का मूल्य)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = (95 - 85) / (85 - 80)

अनुपात = 10 / 5 = 2 / 1

इससे आवश्यक अनुपात 2:1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंतिम राशि = मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहां, लैपटॉप का मूल मूल्य ₹35,000 है, ऑनलाइन भुगतान छूट d₁ 20% है, और क्रेडिट कार्ड छूट d₂ 8% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम राशि = 35000 × (1 - 20/100) × (1 - 8/100) अंतिम राशि = 35000 × 0.80 × 0.92 अंतिम राशि = 28000 × 0.92 अंतिम राशि = 25760

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। चूँकि त्रिभुज ABC, त्रिभुज DEF के समरूप है, इसलिए भुजा AB और भुजा DE का अनुपात भुजा BC और भुजा EF के अनुपात के बराबर होगा:

AB / DE = BC / EF

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6 / 9 = 8 / EF

भिन्न 6 / 9 को सरल करने पर 2 / 3 प्राप्त होता है:

2 / 3 = 8 / EF

EF के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर:

2 × EF = 8 × 3

2 × EF = 24

EF = 12 सेमी

व्याख्या

फरवरी में बेकरी A और B द्वारा मिलकर बेचे गए पफ की संख्या = 109 + 87 = 196

फरवरी में बेकरी C और D द्वारा मिलकर बेचे गए पफ की संख्या = 220 + 132 = 352

फरवरी में A और B द्वारा मिलकर बेचे गए पफ और C और D द्वारा मिलकर बेचे गए पफ का अनुपात 196 : 352 है।

4 के उभयनिष्ठ गुणनखंड से दोनों पदों को विभाजित करने पर सरलीकृत अनुपात 49:88 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समान क्रय मूल्य पर विभिन्न लाभ या हानि प्रतिशत पर दो विक्रय मूल्यों के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP₂ = SP₁ × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिया गया है: पहला विक्रय मूल्य (SP₁) = ₹14,400 हानि% = 25% वांछित लाभ% = 20%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

SP₂ = 14400 × (100 + 20) / (100 - 25) SP₂ = 14400 × 120 / 75 SP₂ = 14400 × 8/5 SP₂ = 2880 × 8 SP₂ = ₹23,040

व्याख्या

कोई संख्या 150 से विभाज्य होती है यदि वह एक साथ 3 और 50 दोनों से विभाज्य हो। कोई संख्या 50 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक या तो 00 या 50 हों। कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके व्यक्तिगत अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

संख्या 463750 के लिए, अंतिम दो अंक 50 हैं, जो 50 के लिए विभाज्यता की शर्त को पूरा करते हैं। हालाँकि, उसके अंकों का योग 4 + 6 + 3 + 7 + 5 + 0 = 25 है। चूँकि 25, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 463750, 3 से विभाज्य नहीं है, और इसलिए यह 150 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है।

दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल को सूत्र के बराबर करके, हमारे पास है: 4πr² = 400π r² = 100 r = 10 सेमी

गोले का आयतन, जो गुब्बारे के अंदर हवा के आयतन को दर्शाता है, सूत्र 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है।

इस सूत्र में त्रिज्या r = 10 सेमी रखने पर: आयतन = 4/3 × π × 10³ = 4000/3 π घन सेमी

व्याख्या

माना a = x - 8 और b = y - 5।

इन पदों का योग: a + b = (x - 8) + (y - 5) = x + y - 13

चूंकि x + y = 13 है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: a + b = 13 - 13 = 0

इसका मतलब है: b = -a

अब, b = -a को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x - 8)³ + (y - 5)³ = a³ + b³ = a³ + (-a)³ = a³ - a³ = 0

व्याख्या

तीन क्रमागत विषम संख्याओं को ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए गुणनफल, 693, का गुणनखंड कर सकते हैं।

693 को उसके अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करके: 693 = 7 × 99 = 7 × 9 × 11

गुणनखंड 7, 9, और 11 वास्तव में तीन क्रमागत विषम संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल 693 है।

इन तीन संख्याओं की तुलना करने पर, 7 उनमें सबसे छोटी संख्या है।

व्याख्या

मान लीजिए क्रम में पाँच संख्याएँ a, b, c, d, और e हैं।

सभी पाँच संख्याओं का योग है: a + b + c + d + e = 5 × 32 = 160

पहली तीन संख्याओं का योग है: a + b + c = 3 × 28 = 84

अंतिम तीन संख्याओं का योग है: c + d + e = 3 × 34 = 102

इन दोनों योगों को एक साथ जोड़ने पर: (a + b + c) + (c + d + e) = 84 + 102 = 186 (a + b + c + d + e) + c = 186

सभी पाँच संख्याओं के योग को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 160 + c = 186 c = 26

पहली तीन संख्याओं के योग से c का मान घटाने पर पहली दो संख्याओं का योग प्राप्त होता है: a + b = 84 - 26 = 58

पहली दो संख्याओं का औसत है: (a + b) / 2 = 58 / 2 = 29

व्याख्या

व्यंजक 11.5 - [5 + 0.5 × (9 - 3 × 2)] को सरल करने के लिए, BODMAS नियम लागू करें, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्देशित करता है: कोष्ठक (Parentheses), घात (Orders), भाग और गुणा (Division and Multiplication), और जोड़ और घटाव (Addition and Subtraction)।

सबसे पहले, गुणा को घटाव से पहले करके सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 9 - 3 × 2 = 9 - 6 = 3

अगला, इस परिणाम को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें और वर्ग कोष्ठक को सरल करें, जोड़ से पहले गुणा करें: 5 + 0.5 × 3 = 5 + 1.5 = 6.5

अंत में, इस मान को 11.5 से घटाएं: 11.5 - 6.5 = 5

व्याख्या

कोई संख्या 75 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 25 दोनों से विभाज्य हो।

25 से विभाज्यता के लिए, संख्या के अंतिम दो अंक 00, 25, 50, या 75 होने चाहिए। 3 से विभाज्यता के लिए, संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।

संख्या 163750 के अंत में 50 है, जो 25 के लिए विभाज्यता नियम को संतुष्ट करता है। हालाँकि, इसके अंकों का योग 1 + 6 + 3 + 7 + 5 + 0 = 22 है। चूँकि 22, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 163750, 3 से विभाज्य नहीं है, जिससे यह 75 से विभाज्य नहीं होती है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(XYZ) / क्षेत्रफल(ABC) = (XYZ की भुजा / ABC की भुजा)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

361 / 225 = (38 / s)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

19 / 15 = 38 / s

s के लिए हल करने पर:

s = (38 × 15) / 19 = 30 cm

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (r/100)²

जहाँ D अंतर है, P मूल धनराशि है, और r वार्षिक ब्याज दर है।

दिए गए मानों, D = 80 और r = 20, को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

80 = P × (20/100)²

80 = P × (1/5)²

80 = P × 1/25

P = 80 × 25

P = 2000

व्याख्या

जब किसी मात्रा में क्रमिक रूप से x% और y% का परिवर्तन किया जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन% = x + y + xy/100

यहां, कीमत में पहले 8% की वृद्धि (x = +8) और फिर 8% की कमी (y = -8) की जाती है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन% = 8 - 8 + (8 × (-8))/100 = -0.64%

ऋणात्मक चिह्न 0.64% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य पर दी गई छूट की गणना का सूत्र है:

छूट = (छूट प्रतिशत / 100) × अंकित मूल्य

यह देखते हुए कि पुस्तक का अंकित मूल्य £600 है और छूट प्रतिशत 18% है:

छूट = (18 / 100) × 600 छूट = 18 × 6 छूट = 108

व्याख्या

जब किसी मान में पहले a% की वृद्धि की जाती है और फिर b% की कमी की जाती है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + ab/100

यहां, कीमत में पहले 15% की वृद्धि की जाती है (इसलिए a = 15) और फिर 20% की कमी की जाती है (इसलिए b = -20)। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 15 - 20 + (15 × -20)/100

शुद्ध परिवर्तन = -5 - 300/100

शुद्ध परिवर्तन = -5 - 3 = -8%

ऋणात्मक चिह्न पेन की अंतिम कीमत में 8% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप a² - 2ab + b² का है, जो (a - b)² के रूप में सरल होता है।

a = 0.14 और b = 5.14 रखने पर, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(0.14 - 5.14)²

कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर:

-5² = 25

व्याख्या

गति की गणना तय की गई दूरी को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है।

सबसे पहले, दूरी को मीटर से किलोमीटर में बदलें: दूरी = 3600 मीटर = 3.6 किमी

इसके बाद, समय को मिनट से घंटे में बदलें: समय = 12 मिनट = 12/60 घंटे = 0.2 घंटे

अब, गति सूत्र लागू करें: गति = दूरी / समय = 3.6 / 0.2 = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

सबसे छोटा अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए प्रत्येक अनुपात को उसके दशमलव समतुल्य में बदल सकते हैं। अनुपात 1:3, 1 ÷ 3 के बराबर है, जो लगभग 0.33 है। इसकी तुलना अन्य अनुपातों से करने पर, जिनके दशमलव मान 0.40 (2:5 के लिए), 0.50 (1:2 के लिए), और 0.75 (3:4 के लिए) हैं, यह स्पष्ट है कि 1:3 सबसे छोटा भिन्नात्मक मान दर्शाता है।

व्याख्या

चारों प्रकार के स्कूटरों (X, Y, Z, और T) का मासिक कुल उत्पादन तालिका की 'कुल' पंक्ति द्वारा दिया गया है।

प्रत्येक महीने के लिए कुल उत्पादन की गणना: जनवरी = 25 + 25 + 25 + 25 = 100 फरवरी = 25 + 27 + 27 + 26 = 105 मार्च = 18 + 50 + 15 + 25 = 108 अप्रैल = 40 + 45 + 25 + 0 = 110 मई = 20 + 30 + 30 + 30 = 110 जून = 15 + 20 + 20 + 35 = 90

इन कुल योगों की तुलना करने पर, स्कूटरों की सबसे कम कुल संख्या 90 है, जो जून में हुई।

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके:

कुल वेतन = (तकनीशियनों की संख्या × तकनीशियनों का औसत वेतन) + (शेष श्रमिकों की संख्या × शेष श्रमिकों का औसत वेतन)

मान लीजिए N श्रमिकों की कुल संख्या है। शेष श्रमिकों की संख्या N - 9 है।

8850 × N = 9 × 10000 + (N - 9) × 7780

8850 × N = 90000 + 7780 × N - 70020

8850 × N - 7780 × N = 19980

1070 × N = 19980

N = 19980 / 1070

N ≈ 18.67

N का पूर्णांक भाग लेने पर 18 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आवश्यक प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (A में कम से कम 40% अंक प्राप्त करने वाले छात्र ÷ C में कम से कम 20% अंक प्राप्त करने वाले छात्र) × 100

चूंकि अधिकतम अंक 100 हैं, इसलिए A में कम से कम 40% अंक प्राप्त करना विषय A में 40 और उससे अधिक की श्रेणी के अनुरूप है। तालिका के अनुसार, इस श्रेणी में छात्रों की संख्या 81 है।

इसी तरह, C में कम से कम 20% अंक प्राप्त करना विषय C में 20 और उससे अधिक की श्रेणी के अनुरूप है। तालिका से, छात्रों की यह संख्या 87 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: प्रतिशत = (81 ÷ 87) × 100 ≈ 0.93103 × 100 ≈ 93.1%

निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर लगभग 93% प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी मान को क्रमिक रूप से दो प्रतिशत, मान लीजिए a% और b% से बढ़ाया जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना सीधे क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + (a × b)/100

इस मामले में, आशा ने सचिन से 10% अधिक अंक प्राप्त किए, इसलिए b = 10। गोपाल ने आशा से 15% अधिक अंक प्राप्त किए, इसलिए a = 15।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 15 + 10 + (15 × 10)/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 25 + 150/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 25 + 1.5 = 26.5%

व्याख्या

मान लीजिए प्रांजल को अकेले काम पूरा करने में x दिन लगते हैं।

प्रांजल को विक्रम से दोगुना समय लगता है, जिसका अर्थ है कि विक्रम को x/2 दिन लगते हैं। प्रांजल को अश्विन से तिगुना समय लगता है, जिसका अर्थ है कि अश्विन को x/3 दिन लगते हैं।

उनकी व्यक्तिगत दैनिक कार्य दरों का योग उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर के बराबर है। चूंकि वे एक साथ 6 दिनों में काम पूरा करते हैं, उनकी संयुक्त दर 1/6 है।

1/x + 2/x + 3/x = 1/6

6/x = 1/6

x = 36 दिन

विक्रम द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय x/2 = 36/2 = 18 दिन है।

व्याख्या

शनिवार से शुरू होने वाले 30 दिनों के महीने में दूसरे, नौवें, सोलहवें, तेईसवें और तीसवें दिन रविवार होंगे। इस महीने में कुल 5 रविवार और 25 अन्य दिन होंगे।

महीने के दौरान आगंतुकों की कुल संख्या है: (5 × 330) + (25 × 240) = 1650 + 6000 = 7650

प्रति दिन आगंतुकों की औसत संख्या है: 7650 ÷ 30 = 255

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, पहले कोष्ठक, फिर का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव को हल किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 226 + 506 = 732

अगला, 'का' संक्रिया का मूल्यांकन करें: 732 का 3/4 = 732 × 3/4 = 183 × 3 = 549

अब, भाग करें: 3294 ÷ 549 = 6

अंत में, शेष पद जोड़ें: 6 + 500 = 506