एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

20 क्विंटल चावल का कुल क्रय मूल्य (CP) = रु 8,580

20% लाभ कमाने के लिए, कुल विक्रय मूल्य (SP) होना चाहिए: कुल SP = CP × (1 + लाभ प्रतिशत) कुल SP = 8,580 × 1.20 = रु 10,296

चूंकि परिवहन में 22% चावल खराब हो जाता है, बिक्री के लिए उपलब्ध चावल की मात्रा है: शेष मात्रा = 20 क्विंटल × (1 - 0.22) = 20 × 0.78 = 15.6 क्विंटल

लक्षित SP प्राप्त करने के लिए प्रति क्विंटल विक्रय दर है: प्रति क्विंटल दर = कुल SP / शेष मात्रा प्रति क्विंटल दर = 10,296 / 15.6 = रु 660 प्रति क्विंटल

व्याख्या

x-अंतःखंड a और y-अंतःखंड b वाली रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप है: x/a + y/b = 1

दिए गए अंतःखंडों a = 3/2 और b = -4/7 को प्रतिस्थापित करने पर: x/(3/2) + y/(-4/7) = 1

यह सरल हो जाता है: 2x/3 - 7y/4 = 1

भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को उभयनिष्ठ भाजक 12 से गुणा करने पर: 12 × (2x/3) - 12 × (7y/4) = 12 × 1 8x - 21y = 12

व्याख्या

यूलर का बहुफलकीय सूत्र बताता है कि V - E + F = 2, जहाँ V शीर्षों की संख्या है, E किनारों की संख्या है, और F फलकों की संख्या है। एक चतुष्फलक में 4 शीर्ष और 4 त्रिभुजाकार फलक होते हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर 4 - E + 4 = 2 प्राप्त होता है, जो 8 - E = 2 को सरल करता है, जिससे E = 6 मिलता है।

वैकल्पिक रूप से, एक चतुष्फलक को एक ऐसी आकृति के रूप में देखा जा सकता है जहाँ प्रत्येक शीर्ष अन्य सभी शीर्षों से जुड़ा होता है। किनारों की संख्या उपलब्ध 4 शीर्षों में से 2 शीर्षों को चुनने के तरीकों की संख्या है, जो संयोजन सूत्र 4C2 = (4 × 3) / 2 = 6 द्वारा दी जाती है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त की परिधि का सूत्र 2πr है। दी गई त्रिज्या r = 14 सेमी और π = 22/7 का उपयोग करके:

परिधि = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी

भुजा की लंबाई s वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3s होता है। चूँकि वृत्त की परिधि समबाहु त्रिभुज के परिमाप के बराबर है:

3s = 88

s = 88/3 सेमी

व्याख्या

कोण 5π/3 चौथे चतुर्थांश (3π/2 और 2π के बीच) में स्थित है, जहाँ cosecant फलन ऋणात्मक होता है।

हम कोण को इस प्रकार लिख सकते हैं: 5π/3 = 2π - π/3

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec(2π - θ) = -cosec θ का प्रयोग करके, हमें प्राप्त होता है: cosec(5π/3) = cosec(2π - π/3) = -cosec(π/3)

चूंकि sin(π/3) = √3/2 है, इसका व्युत्क्रम cosec(π/3) 2/√3 है। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: cosec(5π/3) = -2/√3

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय विस्तार सूत्रों का उपयोग करके:

sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB

दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर:

sin(A+B) - sin(A-B) = (sinA cosB + cosA sinB) - (sinA cosB - cosA sinB) = sinA cosB + cosA sinB - sinA cosB + cosA sinB = 2cosA sinB

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² और मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, पद का विस्तार करें:

(cosA + sinA)² = cos²A + 2 sinA cosA + sin²A = 1 + 2 sinA cosA

इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

2 - (cosA + sinA)² = 2 - (1 + 2 sinA cosA) = 1 - 2 sinA cosA

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)² = x² - 2xy + y² का उपयोग करके (cosA - sinA)² का विस्तार करें:

(cosA - sinA)² = cos²A - 2 sinA cosA + sin²A = 1 - 2 sinA cosA

दोनों व्यंजक 1 - 2 sinA cosA के बराबर हैं, जो उनकी समानता स्थापित करता है।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक वस्तु श्रेणी के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों का योग ज्ञात करते हैं।

मोबाइल फोन का मूल्य = 25 × 15000 = 375000 रुपये कैमरा का मूल्य = 80 × 16000 = 1280000 रुपये टीवी का मूल्य = 54 × 55000 = 2970000 रुपये रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 41 × 27000 = 1107000 रुपये एसी का मूल्य = 64 × 24000 = 1536000 रुपये

कुल मूल्य = 375000 + 1280000 + 2970000 + 1107000 + 1536000 = 7268000 रुपये

चूंकि 1 लाख 100000 के बराबर है, हम कुल मूल्य को लाख रुपये में परिवर्तित करते हैं: लाख रुपये में कुल मूल्य = 7268000 ÷ 100000 = 72.68

व्याख्या

आयात से निर्यात का अनुपात इस प्रकार दिया गया है: अनुपात = आयात / निर्यात

इसे निर्यात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: निर्यात = आयात / अनुपात

वर्ष 2012 के लिए: अनुपात = 0.9 आयात = 700 करोड़ 2012 में निर्यात = 700 / 0.9 = 777.78 करोड़

यह देखते हुए कि 2012 और 2013 दोनों के लिए कुल निर्यात 4000 करोड़ है: 2012 में निर्यात + 2013 में निर्यात = 4000 777.78 + 2013 में निर्यात = 4000 2013 में निर्यात = 4000 - 777.78 = 3222.22 करोड़

वर्ष 2013 के लिए: अनुपात = 1 2013 में आयात / 2013 में निर्यात = 1 2013 में आयात = 2013 में निर्यात = 3222.22 करोड़ (लगभग 3222 करोड़)

व्याख्या

दी गई तालिका के अनुसार, बच्चे की 7वें जन्मदिन पर ऊँचाई 125 सेमी थी, और 16वें जन्मदिन पर ऊँचाई 175 सेमी थी।

इन दो जन्मदिनों के बीच ऊँचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, 16वें जन्मदिन की ऊँचाई में से 7वें जन्मदिन की ऊँचाई घटाएँ:

ऊँचाई में वृद्धि = 16वें जन्मदिन पर ऊँचाई - 7वें जन्मदिन पर ऊँचाई ऊँचाई में वृद्धि = 175 सेमी - 125 सेमी = 50 सेमी

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे तक की कुल अवधि 8 घंटे है।

डेटा तालिका से मानों को जोड़ने पर 5 + 30 + 5 + 20 + 40 = 100 प्राप्त होता है, जो दर्शाता है कि रिकॉर्ड किया गया डेटा कुल समय का प्रतिशत दर्शाता है।

उपयोगकर्ता द्वारा गहरी नींद में या जागृत रहने में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत है: 5% + 40% = 45%

इस अवधि को घंटों में ज्ञात करने के लिए, हम कुल 8 घंटे का 45% गणना करते हैं: 8 घंटे × 0.45 = 3.6 घंटे

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक (3x + 4y)(4x - 3y) का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम वितरण नियम का उपयोग करके इसे विस्तारित करते हैं:

(3x + 4y)(4x - 3y) = 3x(4x - 3y) + 4y(4x - 3y)

दोनों पदों का विस्तार करने पर: 3x(4x - 3y) = 12x² - 9xy 4y(4x - 3y) = 16xy - 12y²

इन परिणामों को संयोजित करने पर: 12x² - 9xy + 16xy - 12y²

समान पदों -9xy और 16xy को संयोजित करने पर: -9xy + 16xy = 7xy

यह सरल होकर बनता है: 12x² + 7xy - 12y²

व्याख्या

दी गई श्रृंखला एक समांतर श्रेणी (AP) है जहाँ पहला पद a = 81, अंतिम पद l = 130, और सार्व अंतर d = 1 है।

पदों की संख्या n की गणना इस प्रकार की जाती है: n = l - a + 1 n = 130 - 81 + 1 = 50

समांतर श्रेणी का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sₙ = n/2 × (a + l)

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S₅₀ = 50/2 × (81 + 130) S₅₀ = 25 × 211 S₅₀ = 5275

व्याख्या

मान लीजिए पति और पत्नी की वर्तमान आयु क्रमशः H और W है। उनकी वर्तमान आयु का योग इस प्रकार दिया गया है: H + W = 100

दस वर्ष पूर्व, उनकी आयु का योग था: (H - 10) + (W - 10) = H + W - 20 = 100 - 20 = 80

चूंकि दस वर्ष पूर्व उनकी आयु का अनुपात 9:7 था, हम दस वर्ष पूर्व उनकी आयु को 9x और 7x के रूप में दर्शा सकते हैं। 9x + 7x = 80 16x = 80 x = 5

दस वर्ष पूर्व पति की आयु थी: 9 × 5 = 45 वर्ष

इसलिए, पति की वर्तमान आयु है: 45 + 10 = 55 वर्ष

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 3x - 1 < 5x + 2 दोनों पक्षों से 3x और 2 घटाने पर: -3 < 2x x > -1.5

दूसरी असमानता को हल करने पर: 3x + 5 < 6 - 4x दोनों पक्षों में 4x जोड़ने और 5 घटाने पर: 7x < 1 x < 1/7

दोनों शर्तों को मिलाने पर x की सीमा प्राप्त होती है: -1.5 < x < 1/7

मान x = -1 इस संयुक्त असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि -1.5 < -1 < 1/7।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का nवाँ पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

दिए गए मानों का उपयोग करके: a₃ = a + 2d = 13 a₁₃ = a + 12d = -47

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 10d = -60 d = -6

तीसरे पद के समीकरण में d = -6 रखने पर: a + 2(-6) = 13 a = 25

यह ज्ञात करने के लिए कि किस पद का मान -17 है, सामान्य पद सूत्र में a = 25 और d = -6 रखने पर: -17 = 25 + (n - 1)(-6) -42 = -6(n - 1) n - 1 = 7 n = 8

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या 6k है।

चूंकि पहली संख्या दूसरी की दोगुनी है, इसलिए दूसरी संख्या 3k है। चूंकि पहली संख्या तीसरी की तिगुनी है, इसलिए तीसरी संख्या 2k है।

तीन संख्याओं का औसत 506 दिया गया है: (6k + 3k + 2k) ÷ 3 = 506 11k ÷ 3 = 506 k = (506 × 3) ÷ 11 k = 46 × 3 = 138

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: 6k - 2k = 4k 4 × 138 = 552

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

यहाँ, दिए गए बिंदु (4, -8) और (-2, 0) हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = √((-2 - 4)² + (0 - (-8))²)

d = √((-6)² + 8²)

d = √(36 + 64)

d = √100

d = 10 इकाई

व्याख्या

आधार रेखा QR का ढलान ढलान सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: m_QR = (5 - 3) / (-4 - 0) = 2 / -4 = -½

चूंकि शीर्षलंब PS, QR के लंबवत है, इसलिए उनके ढलानों का गुणनफल -1 होता है: m_PS × m_QR = -1 m_PS × (-½) = -1 m_PS = 2

बिंदु P(6, 2) से गुजरने वाली और ढलान 2 वाली रेखा PS के लिए बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करना: y - 2 = 2(x - 6) y - 2 = 2x - 12 2x - y = 10

व्याख्या

चूंकि ΔPQR में ST, QR के समानांतर है, इसलिए ΔPST, कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता द्वारा ΔPQR के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

ST / QR = PS / PQ

S, PQ को 4:3 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है PS : SQ = 4 : 3। इसलिए, PS का पूरी भुजा PQ से अनुपात है:

PS / PQ = PS / (PS + SQ) = 4 / (4 + 3) = 4/7

इस मान और QR के मान को समरूपता संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

ST / 4.9 = 4/7

ST = 4.9 × 4 / 7

ST = 0.7 × 4 = 2.8 सेमी

व्याख्या

यदि समरजीत की दैनिक कार्य दर S है, तो मकरंद की दैनिक कार्य दर 2S है क्योंकि वह 2 गुना तेज काम करता है।

चूंकि समरजीत अकेले 27 दिनों में काम पूरा करता है, कुल काम को 27S के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 2S + S = 3S है।

काम को एक साथ पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या कुल काम को उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 27S ÷ 3S = 9 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए रम्या और सौरभ की वर्तमान आयु क्रमशः 8x और 7x है।

10 वर्ष बाद, उनकी आयु 8x + 10 और 7x + 10 होगी। उस समय उनकी आयु का अनुपात 12:11 है, जिससे समीकरण बनता है:

(8x + 10) / (7x + 10) = 12 / 11

तिरछा गुणा करने पर: 11 × (8x + 10) = 12 × (7x + 10) 88x + 110 = 84x + 120 4x = 10 x = 2.5

रम्या की वर्तमान आयु 8x है: 8 × 2.5 = 20 वर्ष

व्याख्या

सबसे पहले, रु 12000 पर 2 वर्षों के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें। 2 वर्षों के लिए 10% प्रति वर्ष की प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 21% है।

चक्रवृद्धि ब्याज = 12000 × 21% = 12000 × 21/100 = 2520।

साधारण ब्याज इस चक्रवृद्धि ब्याज का आधा है: साधारण ब्याज = 2520 / 2 = 1260।

अब, मूलधन ज्ञात करने के लिए साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करें, P: साधारण ब्याज = (P × R × T) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1260 = (P × 16 × 3) / 100 1260 = 48 × P / 100 P = 126000 / 48 = 2625।

व्याख्या

मान लीजिए अधिकतम अंक M हैं।

छात्र को 56 अंक मिले और वह 34 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया। इसलिए, उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक न्यूनतम अंक हैं: उत्तीर्ण अंक = 56 + 34 = 90

चूंकि उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 25% हैं: M का 25% = 90 0.25 × M = 90 M = 90 ÷ 0.25 M = 360

व्याख्या

दो क्रमिक छूट प्रतिशत के लिए प्रभावी छूट का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

शुद्ध छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

यहाँ, प्रारंभिक छूट d₁ 30% है और बाद का कैशबैक d₂ 20% है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध छूट = 30 + 20 - (30 × 20)/100 शुद्ध छूट = 50 - 6 = 44%

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πrh

दिए गए मानों, CSA = 1320 वर्ग सेमी और h = 10 सेमी को π ≈ 22/7 का उपयोग करके प्रतिस्थापित करने पर: 1320 = 2 × (22/7) × r × 10 1320 = (440/7) × r

त्रिज्या r के लिए हल करने पर: r = (1320 × 7) / 440 r = 3 × 7 r = 21 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य CP है।

क्रमिक लाभ और हानि के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन संबंध का उपयोग करके: CP × (1 + लाभ%/100) × (1 - हानि%/100) = ग्राहक को विक्रय मूल्य

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: CP × 1.35 × 0.75 = 2379.375

विभाजन को सरल बनाने के लिए दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करना: CP × 135/100 × 75/100 = 2379.375 CP × 27/20 × 3/4 = 2379.375 CP × 81/80 = 2379.375

CP के लिए हल करना: CP = (2379.375 × 80) / 81 CP = 190350 / 81 CP = 2350

व्याख्या

चौथे चतुर्थांश में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, कोण 7π/4 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

7π/4 = 2π - π/4

चूंकि चौथे चतुर्थांश में स्पर्शज्या (tangent) फलन ऋणात्मक होता है, संबंध इस प्रकार है:

tan(2π - θ) = -tan(θ)

सूत्र में θ = π/4 का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan(7π/4) = tan(2π - π/4) = -tan(π/4)

चूंकि tan(π/4) का मानक मान 1 है, व्यंजक सीधे सरल होकर प्राप्त होता है:

tan(7π/4) = -1

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति स्टीमर पर 't' घंटे व्यतीत करता है। चूँकि वह रेलगाड़ी की तुलना में स्टीमर पर 6 घंटे अधिक समय व्यतीत करता है, इसलिए रेलगाड़ी पर व्यतीत किया गया समय t - 6 घंटे है।

दूरी के लिए मानक सूत्र है: दूरी = गति × समय

कुल दूरी स्टीमर और रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरियों का योग है: कुल दूरी = (स्टीमर की गति × स्टीमर पर समय) + (रेल की गति × रेल पर समय) 401 = 21 × t + 56 × (t - 6) 401 = 21t + 56t - 336 737 = 77t t = 737 / 77 = 67/7 घंटे

स्टीमर द्वारा तय की गई दूरी है: दूरी = स्टीमर की गति × स्टीमर पर समय दूरी = 21 × (67/7) दूरी = 3 × 67 = 201 किमी

व्याख्या

त्रिकोणमिति में मानक योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करके, दो साइन फलनों के योग को साइन और कोसाइन के गुणनफल में परिवर्तित किया जाता है। यह कोण योग और अंतर पहचान से प्राप्त होता है: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: sin(A + B) + sin(A - B) = 2 sin A cos B

C = A + B और D = A - B को परिभाषित करके, हम A और B के लिए हल कर सकते हैं: A = (C + D)/2 B = (C - D)/2

इन मानों को वापस योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: sin C + sin D = 2 sin[(C + D)/2] cos[(C - D)/2]

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य प्रत्येक वस्तु के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों के योग से निर्धारित होता है:

कुल मूल्य = ∑ (मात्रा × औसत लागत)

प्रत्येक उत्पाद के लिए मूल्य की गणना: मोबाइल फोन: 100 × 18000 = 1800000 रुपये कैमरा: 87 × 6000 = 522000 रुपये टीवी: 80 × 56000 = 4480000 रुपये रेफ्रिजरेटर: 38 × 28000 = 1064000 रुपये एसी: 93 × 25000 = 2325000 रुपये

इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ना: कुल स्टॉक मूल्य = 1800000 + 522000 + 4480000 + 1064000 + 2325000 = 10191000 रुपये

चूंकि 1 लाख बराबर 100000 रुपये है, लाख रुपये में मूल्य है: 10191000 / 100000 = 101.91 लाख रुपये

व्याख्या

5वें जन्मदिन से 16वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम दी गई डेटा तालिका से संबंधित ऊंचाई मान निकालते हैं।

5वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 110 सेमी 16वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 190 सेमी

ऊंचाई में वृद्धि की गणना अंतिम ऊंचाई में से प्रारंभिक ऊंचाई घटाकर की जाती है:

ऊंचाई में वृद्धि = 16वें जन्मदिन पर ऊंचाई - 5वें जन्मदिन पर ऊंचाई ऊंचाई में वृद्धि = 190 सेमी - 110 सेमी = 80 सेमी

व्याख्या

फिटनेस बैंड द्वारा रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच निगरानी की गई कुल अवधि ठीक 8 घंटे है।

डेटा तालिका में दिए गए मान प्रतिशत दर्शाते हैं, जिनका योग 100% है: 5% + 30% + 20% + 10% + 35% = 100%

उपयोगकर्ता के स्वप्न देखने या जागृत रहने की संयुक्त प्रतिशत अवधि है: 30% + 35% = 65%

अवधि को घंटों में ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 65% परिकलित करें: 8 × 0.65 = 5.2 घंटे

व्याख्या

x% और y% की क्रमिक छूट के लिए प्रभावी छूट की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी छूट = x + y - xy/100

यहां, प्रारंभिक छूट x = 20 है और कैशबैक प्रतिशत y = 15 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रभावी छूट = 20 + 15 - (20 × 15)/100 प्रभावी छूट = 35 - 300/100 प्रभावी छूट = 35 - 3 = 32%

वैकल्पिक रूप से, यदि वस्तु का अंकित मूल्य ₹100 माना जाता है, तो 20% की छूट पर मूल्य ₹80 हो जाता है। इस ₹80 के मूल्य पर 15% कैशबैक लागू करने पर 15% × 80 = ₹12 का लाभ होता है। ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम प्रभावी कीमत 80 - 12 = ₹68 है। इसलिए, प्राप्त कुल छूट 100 - 68 = ₹32 है, जो 32% की प्रभावी छूट का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

57 और 513 का उच्चतम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम जाँच सकते हैं कि बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य है या नहीं। 513 को 57 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

513 ÷ 57 = 9

चूंकि 57, 513 को 0 शेषफल के साथ ठीक-ठीक विभाजित करता है, इसलिए 57 स्वयं दोनों संख्याओं का उच्चतम समापवर्तक है।

व्याख्या

मान लीजिए मुराद की दक्षता E है। चूँकि जोएल मुराद से 100% अधिक कुशल है, जोएल की दक्षता E + E का 100% है, जो 2E के बराबर है।

मुराद और जोएल की एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता E + 2E = 3E है।

कुल काम मुराद की दक्षता और उसके अकेले काम पूरा करने में लगने वाले समय का गुणनफल है, जो E × 33 = 33E है।

इन दोनों द्वारा मिलकर इस काम को पूरा करने में लगने वाला समय कुल काम को उनकी संयुक्त दक्षता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो 33E / 3E = 11 घंटे है।

व्याख्या

दिए गए बीजीय व्यंजक को सरल करने के लिए, हम संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करते हैं और अंश और हर में उभयनिष्ठ चरों को रद्द करते हैं:

अंश = 437 × b × x × a × z = 437abxz हर = 23 × a × b = 23ab

सबसे पहले, संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करना: 437 ÷ 23 = 19

अगला, चर पदों को विभाजित करना: abxz ÷ ab = xz

इन परिणामों को मिलाने पर प्राप्त होता है: 19xz

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान होते हैं यदि उसका विविक्तकर, D = b² - 4ac, शून्य के बराबर हो।

समीकरण x² + 14x + 49 = 0 के लिए, गुणांक a = 1, b = 14, और c = 49 हैं।

विविक्तकर की गणना: D = 14² - 4 × 1 × 49 D = 196 - 196 D = 0

चूंकि विविक्तकर शून्य है, समीकरण के वास्तविक और समान मूल हैं। वैकल्पिक रूप से, समीकरण को एक पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: (x + 7)² = 0 यह दो समान मूल देता है, x = -7।

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 4 + 3x ≤ 6 + x दोनों पक्षों से x घटाने पर: 4 + 2x ≤ 6 दोनों पक्षों से 4 घटाने पर: 2x ≤ 2 2 से विभाजित करने पर: x ≤ 1

दूसरी असमानता को हल करने पर: 3x + 5 > 2 + 2x दोनों पक्षों से 2x घटाने पर: x + 5 > 2 दोनों पक्षों से 5 घटाने पर: x > -3

दोनों परिणामों को मिलाने पर हल अंतराल प्राप्त होता है: -3 < x ≤ 1

मान -2 ही एकमात्र विकल्प है जो इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

प्रथम पद a, अंतिम पद l, और पदों की संख्या n वाली एक समांतर श्रेणी के योग S का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

S = (n / 2) × (a + l)

दिए गए मान S = 114, a = 37, और l = -18 को प्रतिस्थापित करने पर:

114 = (n / 2) × (37 + (-18))

114 = (n / 2) × 19

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

228 = 19 × n

n = 228 / 19

n = 12

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।

ΔABC का परिमाप : ΔDEF का परिमाप = AB : DE

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

ΔABC का परिमाप : ΔDEF का परिमाप = 12 : 8 = 3 : 2

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m₁ सूत्र द्वारा दिया जाता है: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

बिंदुओं (-4, 5) और (3, -2) के लिए, ढलान है: m₁ = (-2 - 5) / (3 - (-4)) m₁ = -7 / 7 m₁ = -1

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलानों का गुणनफल -1 हो। इसलिए, लंबवत रेखा का ढलान m₂ है: m₁ × m₂ = -1 -1 × m₂ = -1 m₂ = 1

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं।

a और b का माध्य समानुपात √(ab) के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रश्न के अनुसार: √(ab) = 12 ab = 144 a = 144/b

a और b का तृतीय समानुपात b²/a के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रश्न के अनुसार: b²/a = 768 b² = 768a

दूसरे समीकरण में पहले समीकरण से a का मान प्रतिस्थापित करने पर: b² = 768 × (144/b) b³ = 768 × 144 b³ = 110592 b = 48

अब, a के समीकरण में b = 48 को वापस प्रतिस्थापित करने पर: a = 144/48 = 3

इस प्रकार, दो संख्याएँ 3 और 48 हैं।

व्याख्या

पहले 43 ओवरों में बनाए गए कुल रन इस प्रकार गिने जाते हैं: बनाए गए रन = 43 × 5 = 215 रन

285 रनों के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शेष रन हैं: शेष रन = 285 - 215 = 70 रन

शेष 7 ओवरों के लिए आवश्यक रन रेट है: आवश्यक रन रेट = 70 / 7 = 10 रन/ओवर

व्याख्या

n भुजाओं वाले किसी भी बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

योग = (n - 2) × 180°

एक दशभुज 10 भुजाओं वाला एक बहुभुज होता है, इसलिए n = 10। इस मान को सूत्र में रखने पर:

योग = (10 - 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°

व्याख्या

एक वर्ग का विकर्ण सूत्र d = a√2 द्वारा दिया जाता है, जहाँ a वर्ग की भुजा है। दिए गए विकर्ण को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 14√2 = a√2 प्राप्त होता है, जिससे वर्ग की भुजा a = 14 सेमी मिलती है। चूँकि वृत्त वर्ग में अंतर्निहित है, इसका व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। इस प्रकार, वृत्त की त्रिज्या r = a/2 = 14/2 = 7 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = πr² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = (22/7) × 7² = 22 × 7 = 154 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है।

दिए गए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 41.58 वर्ग सेमी का उपयोग करके और π ≈ 22/7 लेते हुए:

3 × (22/7) × r² = 41.58

(66/7) × r² = 41.58

r² = (41.58 × 7) / 66

r² = 0.63 × 7

r² = 4.41

r = √4.41 = 2.1 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए भाप-नौका द्वारा तय की गई दूरी d है, जिसका अर्थ है कि रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी 800 - d है।

संबंध का उपयोग करके: समय = दूरी / गति

भाप-नौका पर व्यतीत किया गया समय है: t_s = d / 20

रेलगाड़ी पर व्यतीत किया गया समय है: t_r = (800 - d) / 55

दी गई शर्त के अनुसार, भाप-नौका पर व्यतीत किया गया समय रेलगाड़ी पर व्यतीत किए गए समय से 7 घंटे अधिक है: t_s = t_r + 7

t_s और t_r के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करना: d / 20 = (800 - d) / 55 + 7

इस समीकरण को हल करने के लिए, 20 और 55 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 220 है, से सभी पदों को गुणा करें: 11 × d = 4 × (800 - d) + 7 × 220

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण: 11 × d = 3200 - 4 × d + 1540 15 × d = 4740 d = 316 किमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है। इसलिए, दूसरे वर्ष (A₂) के अंत में प्राप्त राशि पर एक वर्ष के लिए ब्याज दर (R) लागू करके तीसरे वर्ष (A₃) के अंत में प्राप्त राशि प्राप्त की जाती है।

संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: A₃ = A₂ × (1 + R/100)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 29775.4 = 28090 × (1 + R/100)

R के लिए हल करने पर: 1 + R/100 = 29775.4 / 28090 R/100 = (29775.4 - 28090) / 28090 R/100 = 1685.4 / 28090 R = 168540 / 28090 R = 6 प्रतिशत

व्याख्या

मानक अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमारे पास है: 1 - cos A = 2 sin²(A/2) 1 + cos A = 2 cos²(A/2)

पहली सर्वसमिका को दूसरी सर्वसमिका से विभाजित करने पर: (1 - cos A) / (1 + cos A) = 2 sin²(A/2) / 2 cos²(A/2)

समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करने पर: (1 - cos A) / (1 + cos A) = tan²(A/2)

tan(A/2) के स्थान पर x रखने पर: x² = (1 - cos A) / (1 + cos A)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x का मान प्राप्त होता है: x = √[1(1 - cos A) / (1 + cos A)]