एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक को tan² A = sec² A - 1 = (sec A - 1)(sec A + 1) प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है, जिससे व्यंजक (sec A + 1) / (sec A - 1) तक कम हो जाता है। sec A को 1/cos A में परिवर्तित करने और भिन्न को सरल करने पर (1 + cos A) / (1 - cos A) प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए टोस्टर का क्रय मूल्य T और वॉशिंग मशीन का क्रय मूल्य W है।

दोनों वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य है: T + W = 10500

टोस्टर को 22% लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य है: 1.22 × T

वॉशिंग मशीन को 12% हानि पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य है: (1 - 0.12) × W = 0.88 × W

यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है: 1.22 × T = 0.88 × W 122 × T = 88 × W T / W = 88 / 122 = 44 / 61

टोस्टर और वॉशिंग मशीन का क्रय मूल्य 44 : 61 के अनुपात में है।

अनुपात भागों का योग 44 + 61 = 105 है।

चूंकि टोस्टर में छोटा अनुपात पद है, यह सस्ती वस्तु है। इसका क्रय मूल्य है: (44 / 105) × 10500 = 44 × 100 = ₹ 4400

व्याख्या

r% की कमी के बाद किसी कीमत को उसके मूल मूल्य पर बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र है:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100 %

सूत्र में r = 24 रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (24 / (100 - 24)) × 100 % = (24 / 76) × 100 % = (6 / 19) × 100 % = 600 / 19 % ≈ 31.58%

व्याख्या

रुपये में औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, हम पहले सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस की गणना करते हैं और इसे कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं।

कर्मचारियों की कुल संख्या = 2 + 12 + 1 = 15

प्रबंधकों के लिए कुल बोनस: प्रत्येक प्रबंधक को ₹48,00,000 का 50% प्राप्त होता है, जो कि ₹24,00,000 है। 2 प्रबंधकों के लिए, कुल बोनस = 2 × ₹24,00,000 = ₹48,00,000

कार्यकारियों के लिए कुल बोनस: प्रत्येक कार्यकारी को ₹8,00,000 का 30% प्राप्त होता है, जो कि ₹2,40,000 है। 12 कार्यकारियों के लिए, कुल बोनस = 12 × ₹2,40,000 = ₹28,80,000

प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस: प्रशिक्षु को ₹4,00,000 का 10% प्राप्त होता है, जो कि ₹40,000 है। 1 प्रशिक्षु के लिए, कुल बोनस = 1 × ₹40,000 = ₹40,000

सभी बोनस का योग = ₹48,00,000 + ₹28,80,000 + ₹40,000 = ₹77,20,000

औसत बोनस = कुल बोनस ÷ कर्मचारियों की कुल संख्या औसत बोनस = ₹77,20,000 ÷ 15 = ₹5,14,666.67 ≈ ₹5,14,667

व्याख्या

वर्ष 2011 के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: 1000 + 4000 + 3000 = 8000 लाख रुपये।

वर्ष 2014 के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: 4000 + 2000 + 2000 = 8000 लाख रुपये।

वर्ष 2011 और 2014 दोनों में 8000 लाख रुपये का कुल निर्यात समान है।

व्याख्या

पिछले पांच वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लिए तालिका में दिए गए मानों को जोड़ते हैं:

कुल लाभ या हानि = (-5) + 15 + 25 + (-5) + 25

कुल लाभ या हानि = 55

55 का धनात्मक योग दर्शाता है कि कंपनी ने 55 करोड़ रुपये का शुद्ध लाभ कमाया।

व्याख्या

कुल निर्यात में से कपास निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से सभी निर्यातों का योग ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 750 + 950 + 775 + 525 + 700 = 3700 मिलियन अमेरिकी डॉलर कपास निर्यात का मूल्य 775 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है:

कपास प्रतिशत = (कपास निर्यात / कुल निर्यात) × 100 कपास प्रतिशत = (775 / 3700) × 100 कपास प्रतिशत = 775 / 37 ≈ 20.95%

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

पहली शर्त के आधार पर, उनके अंकों का अंतर 21 है: x - y = 21

दूसरी शर्त के आधार पर, उच्च अंक दोनों अंकों के योग का 80% है: x = 0.8(x + y)

इस समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: x = 0.8x + 0.8y 0.2x = 0.8y x = 4y

x = 4y को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 4y - y = 21 3y = 21 y = 7

x ज्ञात करने के लिए इस मान का उपयोग करने पर: x = 4 × 7 = 28

दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 28 और 7 हैं।

व्याख्या

पन्नालाल 20 दिनों में काम का 1/3 भाग पूरा करता है। इसलिए, पन्नालाल द्वारा अकेले पूरा काम पूरा करने में लिया गया समय 20 × 3 = 60 दिन है।

काम का शेष भाग 1 - 1/3 = 2/3 है। सैय्यद इस 2/3 काम को 10 दिनों में पूरा करता है। इसलिए, सैय्यद द्वारा अकेले पूरा काम पूरा करने में लिया गया समय 10 × 3/2 = 15 दिन है।

एक साथ काम करने वाले दो लोगों के लिए कार्य सूत्र का उपयोग करते हुए, काम पूरा करने के लिए दोनों द्वारा लिया गया संयुक्त समय (P × S) / (P + S) है, जहाँ P और S उनके व्यक्तिगत पूर्णता समय हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर (60 × 15) / (60 + 15) = 900 / 75 = 12 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण को कोष्ठकों को हटाकर और समान पदों को मिलाकर सरल करें:

(7x - 13) - (12x + 3) = 14

7x - 13 - 12x - 3 = 14

x वाले पदों और अचर पदों को समूहित करें:

(7x - 12x) - (13 + 3) = 14

-5x - 16 = 14

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 16 जोड़ें:

-5x = 14 + 16

-5x = 30

दोनों पक्षों को -5 से विभाजित करें:

x = 30 ÷ -5

x = -6

व्याख्या

केक बनाने की चुड़की की दर 30 केक / 15 घंटे = 2 केक प्रति घंटा है।

केक बनाने की चुड़की और बड़की की संयुक्त दर 90 केक / 30 घंटे = 3 केक प्रति घंटा है।

उनकी संयुक्त दर से चुड़की की दर घटाने पर बड़की की केक बनाने की दर प्राप्त होती है: 3 केक प्रति घंटा - 2 केक प्रति घंटा = 1 केक प्रति घंटा।

10 घंटे में, बड़की बना सकती है: 1 केक प्रति घंटा × 10 घंटे = 10 केक।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 3x² = 10² - 5² है।

सबसे पहले, समीकरण के दाईं ओर के पदों की गणना करें: 10² = 100 5² = 25

इन मानों को घटाने पर प्राप्त होता है: 100 - 25 = 75

अब इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 3x² = 75

x² को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: x² = 75 / 3 x² = 25

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x = √25 x = 5

व्याख्या

मान लीजिए हरिराज के वेतन को H से दर्शाया गया है।

दी गई शर्तों के अनुसार, गिरिधर का वेतन (G) हरिराज के वेतन का 5/3 है, जिसे G = (5/3)H के रूप में लिखा जाता है।

शौनक का वेतन (S) हरिराज के वेतन का 2/3 है, जिसे S = (2/3)H के रूप में लिखा जाता है।

गिरिधर के वेतन का शौनक के वेतन से अनुपात (G : S) है:

G : S = (5/3)H : (2/3)H

समान पद H और हर 3 को रद्द करके, अनुपात सीधे सरल हो जाता है:

G : S = 5 : 2

व्याख्या

अवलोकनों के एक समूह के मानों का योग उनकी संख्या और उनके औसत के गुणनफल के बराबर होता है।

सभी 9 वर्षों का कुल राजस्व = 9 × 65 = 585 लाख

पहले 5 वर्षों का कुल राजस्व = 5 × 60 = 300 लाख

अंतिम 5 वर्षों का कुल राजस्व = 5 × 72 = 360 लाख

5वां वर्ष पहले 5 वर्षों और अंतिम 5 वर्षों दोनों में शामिल है। इसलिए, पहले 5 वर्षों और अंतिम 5 वर्षों के योग को जोड़ने पर 5वें वर्ष को दो बार गिना जाता है।

5वें वर्ष का राजस्व = (पहले 5 वर्षों का कुल + अंतिम 5 वर्षों का कुल) - 9 वर्षों का कुल 5वें वर्ष का राजस्व = (300 + 360) - 585 = 660 - 585 = 75 लाख

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

माना लुप्त अंक x है। संख्या 347x547 है।

दाईं ओर से शुरू करते हुए विषम स्थानों के अंकों का योग: 7 + 5 + 7 + 3 = 22

सम स्थानों के अंकों का योग: 4 + x + 4 = 8 + x

अंतर = 22 - (8 + x) = 14 - x

संख्या के 11 से पूर्णतः विभाज्य होने के लिए, यह अंतर 11 के बराबर होना चाहिए: 14 - x = 11 x = 3

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य CP है।

जब मशीन 57 लाख रुपये में हानि पर बेची जाती है: हानि = CP - 57

जब मशीन 67 लाख रुपये में लाभ पर बेची जाती है: लाभ = 67 - CP

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ पूर्व हानि का 7 गुना है: लाभ = 7 × हानि 67 - CP = 7 × (CP - 57) 67 - CP = 7CP - 399 8CP = 466 CP = 58.25

इसलिए, मशीन का क्रय मूल्य 58.25 लाख रुपये है।

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 7 + 4x > 3 + 3x दोनों पक्षों से 3x और 7 घटाने पर: x > -4

दूसरी असमानता को हल करने पर: 3x - 2 < 5 - x दोनों पक्षों में x और 2 जोड़ने पर: 4x < 7 x < 1.75

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए सीमा है: -4 < x < 1.75

चूंकि 1 इस सीमा के भीतर आता है, x का मान 1 हो सकता है।

व्याख्या

जब खरीद पर मुफ्त वस्तुएं दी जाती हैं तो प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

इस लेन-देन में, मुफ्त पैंट की संख्या 2 है, और ग्राहक को कुल 5 पैंट मिलते हैं (3 खरीदे गए + 2 मुफ्त)।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट प्रतिशत = (2 / 5) × 100 = 40%

यह प्रतिशत प्रत्येक पैंट की व्यक्तिगत कीमत पर ध्यान दिए बिना समान रहता है, क्योंकि 5 पैंट में से प्रत्येक पर छूट उसके अंकित मूल्य का समान रूप से 40% है।

व्याख्या

तीन पद a, b, और c के समांतर श्रेणी में होने के लिए, मध्य पद अन्य दो पदों का अंकगणितीय माध्य होना चाहिए, जिसे सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

2b = a + c

दिए गए पदों a = 3x + p, b = x - 10, और c = -x + 16 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

2(x - 10) = (3x + p) + (-x + 16)

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

2x - 20 = 2x + p + 16

समीकरण को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों से 2x घटाने पर:

-20 = p + 16

p के लिए हल करने पर:

p = -20 - 16 p = -36

व्याख्या

विभाजन सूत्र के अनुसार, यदि कोई बिंदु P, बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक इस प्रकार दिए जाते हैं:

P_x = (mx₂ + nx₁) / (m + n) P_y = (my₂ + ny₁) / (m + n)

यहाँ, बिंदु A(x, 0) और B(0, y) हैं, अनुपात m:n = 1:3 है, और विभाजित करने वाला बिंदु P(3, -2) है।

x-निर्देशांक के लिए सूत्र में मान रखने पर:

3 = (1 × 0 + 3 × x) / (1 + 3) 3 = 3x / 4 12 = 3x x = 4

y-निर्देशांक के लिए सूत्र में मान रखने पर:

-2 = (1 × y + 3 × 0) / (1 + 3) -2 = y / 4 y = -8

व्याख्या

किसी रेखा के समीकरण का ढलान-अवरोधन रूप है: y = mx + c

यहाँ, ढलान m = 1/4 और y-अवरोधन c = -3 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: y = (1/4)x - 3

भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर: 4y = x - 12

पदों को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: x - 4y = 12

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं, तो समान समय में तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गति के अनुपात के बराबर होता है।

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी / चोर द्वारा तय की गई दूरी = पुलिसकर्मी की गति / चोर की गति

मान लीजिए पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी d मीटर है। पुलिसकर्मी को इस दूरी के अतिरिक्त 250 मीटर की प्रारंभिक दूरी तय करनी होगी, इसलिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी d + 250 मीटर है।

इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

(d + 250) / d = 7 / 5

तिरछा गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

5 × (d + 250) = 7d

5d + 1250 = 7d

2d = 1250

d = 625 मीटर

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE, BC के समानांतर है, संगत कोण बराबर होंगे, जिससे कोण-कोण (AA) समरूपता द्वारा त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप हो जाएगा।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: AD / AB = DE / BC

AB की लंबाई AD और DB का योग है: AB = AD + DB = 8 + 6 = 14 सेमी

समरूपता अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 8 / 14 = 7.2 / BC

अनुपात को सरल करने पर: 4 / 7 = 7.2 / BC

BC के लिए हल करने पर: BC = (7.2 × 7) / 4 BC = 1.8 × 7 BC = 12.6 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec(-θ) = sec(θ) का उपयोग करके, हमारे पास है: sec(-7π/4) = sec(7π/4)

हम कोण 7π/4 को 2π - π/4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: sec(7π/4) = sec(2π - π/4)

सर्वसमिका sec(2π - θ) = sec(θ) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: sec(2π - π/4) = sec(π/4)

चूंकि cos(π/4) = 1/√2 है, इसका व्युत्क्रम है: sec(π/4) = 1 / cos(π/4) = √2

यह x का मान √2 देता है।

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, 30° और 60° के कोण वाले त्रिभुज का तीसरा कोण 90° (180° - 30° - 60° = 90°) होगा। यह एक मानक 30°-60°-90° समकोण त्रिभुज है।

किसी भी 30°-60°-90° त्रिभुज में, इन कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हमेशा 1 : √3 : 2 के अनुपात में होती है।

मान लीजिए 30° के कोण के सम्मुख भुजा x है। हमें दिया गया है: x = 9√3 सेमी

60° के कोण के सम्मुख भुजा x√3 द्वारा दी जाती है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: x√3 = (9√3) × √3 = 9 × 3 = 27 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार, जब संख्या में 26 जोड़ा जाता है, तो वह स्वयं का 113% हो जाती है। इसे बीजगणितीय समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है: x + 26 = 1.13x

दोनों पक्षों से x घटाने पर: 0.13x = 26

x के लिए हल करने पर: x = 26 / 0.13 x = 2600 / 13 x = 200

व्याख्या

माना बेलन की त्रिज्या r और ऊंचाई h है।

आधार की परिधि का सूत्र 2πr है। 2πr = 44 2 × (22/7) × r = 44 r = 7 सेमी

बेलन का आयतन का सूत्र है: आयतन = πr²h

2310 घन सेमी आयतन और 7 सेमी त्रिज्या का मान रखने पर: (22/7) × 7² × h = 2310 154 × h = 2310 h = 15 सेमी

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

ज्ञात आधार परिधि (2πr = 44 सेमी) और ऊंचाई (h = 15 सेमी) का उपयोग करके: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 15 = 660 वर्ग सेमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत अर्जित राशि A, n ब्याज अवधियों के बाद सूत्र द्वारा दी जाती है:

A = P × (1 + R)ⁿ

जहाँ P मूलधन है, R प्रति अवधि ब्याज दर है, और n ब्याज अवधियों की संख्या है।

यहाँ, प्रति छमाही ब्याज दर R 5% या 0.05 है।

₹3200 की पहली जमा राशि 1 जनवरी को की जाती है, जो वर्ष के अंत तक 2 छमाही (n = 2) के लिए ब्याज अर्जित करती है। इस जमा राशि के लिए अर्जित राशि है:

A₁ = 3200 × (1 + 0.05)² A₁ = 3200 × 1.1025 = ₹3528

₹3200 की दूसरी जमा राशि 1 जुलाई को की जाती है, जो वर्ष के अंत तक 1 छमाही (n = 1) के लिए ब्याज अर्जित करती है। इस जमा राशि के लिए अर्जित राशि है:

A₂ = 3200 × (1 + 0.05)¹ A₂ = 3200 × 1.05 = ₹3360

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि है:

कुल राशि = A₁ + A₂ = 3528 + 3360 = ₹6888

वर्ष के दौरान जमा की गई कुल मूलधन है:

कुल मूलधन = 3200 + 3200 = ₹6400

ग्राहक द्वारा अर्जित ब्याज, कुल संचित राशि और कुल जमा की गई मूलधन के बीच का अंतर है:

अर्जित ब्याज = 6888 - 6400 = ₹488

व्याख्या

कुल संग्रह प्रवेश टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है।

मान लीजिए टिकट की प्रारंभिक कीमत 11x थी और नई कीमत 16x है। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या 19y थी और नई संख्या 9y है।

प्रारंभिक संग्रह = 11x × 19y = 209xy नया संग्रह = 16x × 9y = 144xy

प्रारंभिक संग्रह की नए संग्रह से तुलना करने पर, अनुपात 209xy:144xy है, जो सरल होकर 209:144 हो जाता है। चूंकि मान 209 से 144 हो गया है, कुल संग्रह 209:144 के अनुपात में घट गया है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(π + θ) = -cos(θ) का उपयोग करके, व्यंजक cos(4π/3) को cos(π + π/3) = -cos(π/3) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि cos(π/3) का मान ½ होता है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर -½ प्राप्त होता है।

व्याख्या

tan 3A के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है: tan 3A = (3tanA - tan³A) / (1 - 3tan²A)

समीकरण के दोनों पक्षों को (1 - 3tan²A) से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan 3A (1 - 3tan²A) = 3tanA - tan³A

tan³A को एक तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: tan³A = 3tanA - tan 3A (1 - 3tan²A)

व्याख्या

व्यंजक sin A / (1 + cos A) को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को (1 - cos A) से गुणा करते हैं:

(sin A (1 - cos A)) / ((1 + cos A)(1 - cos A))

सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, हर बन जाता है:

(1 + cos A)(1 - cos A) = 1 - cos²A

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम हर में 1 - cos²A को sin²A से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

(sin A (1 - cos A)) / sin²A

अंश और हर दोनों से sin A को रद्द करने पर प्राप्त होता है:

(1 - cos A) / sin A

इसे दो अलग-अलग भिन्नों में विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

1/sin A - cos A/sin A

चूंकि 1/sin A = cosec A और cos A/sin A = cot A, व्यंजक सरल होकर बन जाता है:

cosec A - cot A

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या उस स्ट्रीम में लड़कों और लड़कियों का योग है: कुल इंजीनियरिंग छात्र = 80 + 40 = 120

इन छात्रों में से लड़कियों का प्रतिशत है: प्रतिशत = (इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या / कुल इंजीनियरिंग छात्र) × 100 प्रतिशत = (40 / 120) × 100 = 33.33%

व्याख्या

तालिका प्रत्येक माह के लिए कारों के संचयी उत्पादन को दर्शाती है। अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक के संचयी उत्पादन से मार्च के अंत तक के संचयी उत्पादन को घटाते हैं।

मई तक संचयी उत्पादन = 1800 मार्च तक संचयी उत्पादन = 840

अप्रैल और मई में निर्मित कारें = मई तक संचयी उत्पादन - मार्च तक संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में निर्मित कारें = 1800 - 840 = 960

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना प्रत्येक माह के व्यक्तिगत उत्पादन को ज्ञात करके की जा सकती है: अप्रैल में उत्पादन = अप्रैल का संचयी उत्पादन - मार्च का संचयी उत्पादन = 1510 - 840 = 670 मई में उत्पादन = मई का संचयी उत्पादन - अप्रैल का संचयी उत्पादन = 1800 - 1510 = 290 अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 670 + 290 = 960

व्याख्या

11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो।

मान लीजिए संख्या 275₄76 में लुप्त अंक x है।

बाईं ओर से विषम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 5 + 4 + 6 = 17 बाईं ओर से सम स्थानों के अंकों का योग = 7 + x + 7 = 14 + x

इन दो योगों के बीच का अंतर 0 होना चाहिए: 17 - (14 + x) = 0 3 - x = 0 x = 3

व्याख्या

सप्ताह में जॉगिंग की गई कुल दूरी दैनिक दूरियों का योग है, जो 20.5 किमी के बराबर है। चूंकि हर 5 किमी के लिए 400 कैलोरी बर्न होती है, इसलिए दर 80 कैलोरी प्रति किमी है, जिसके परिणामस्वरूप कुल 1640 कैलोरी बर्न होती है (20.5 किमी को 80 से गुणा करने पर)।

व्याख्या

सबसे पहले, व्यक्तिगत व्यय को जोड़कर कुल वार्षिक व्यय की गणना करें:

कुल व्यय = 12 + 8 + 5 + 3 + 1 = 29

अकेले श्रम का प्रतिशत हिस्सा है:

(8 ÷ 29) × 100 ≈ 27.59%

यह गणना सीधे 27.59% का प्रतिशत देती है।

व्याख्या

मानक अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि:

1 - cosA = 2 sin²(A/2)

sinA = 2 sin(A/2) cos(A/2)

1 - cosA के व्यंजक को sinA के व्यंजक से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1 - cosA) / sinA = 2 sin²(A/2) / (2 sin(A/2) cos(A/2))

अंश और हर दोनों से 2 sin(A/2) को रद्द करके इसे सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

(1 - cosA) / sinA = sin(A/2) / cos(A/2) = tan(A/2)

यह देखते हुए कि x = tan(A/2), इस संबंध को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

x = (1 - cosA)/sinA

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय परिभाषाओं का उपयोग करके, secA = 1/cosA और tanA = sinA/cosA।

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = (secA - tanA)² x = (1/cosA - sinA/cosA)² x = ((1 - sinA)/cosA)² x = (1 - sinA)² / cos²A

मौलिक सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करके: x = (1 - sinA)² / (1 - sin²A)

हर को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित करने पर, (1 - sin²A) = (1 - sinA)(1 + sinA): x = (1 - sinA)² / ((1 - sinA)(1 + sinA))

अंश और हर से सामान्य पद (1 - sinA) को रद्द करने पर: x = (1 - sinA) / (1 + sinA)

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो उसका आयतन समान रहता है।

बेलन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = π × r² × h₁

शंकु का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = ⅓ × π × r² × h₂

चूंकि बेलन और शंकु दोनों की त्रिज्या समान है, हम उनके आयतन को बराबर करते हैं: π × r² × h₁ = ⅓ × π × r² × h₂

दोनों तरफ से π और r² को रद्द करने पर मिलता है: h₁ = ⅓ × h₂ h₂ = 3 × h₁

यह देखते हुए कि बेलन की ऊंचाई (h₁) 8 सेमी है: h₂ = 3 × 8 = 24 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि PQ, BC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(Δ APQ) / Area(Δ ABC) = (AP / AB)²

चूँकि AP : PB = 2 : 3 है, इसलिए AB की कुल लंबाई AP + PB = 2 + 3 = 5 इकाई है। अतः, AP / AB का अनुपात 2/5 है।

मान रखने पर: Area(Δ APQ) / Area(Δ ABC) = (2/5)² = 4/25

दिया गया है कि Area(Δ APQ) = 8 वर्ग सेमी: 8 / Area(Δ ABC) = 4/25 Area(Δ ABC) = 8 × 25 / 4 = 50 वर्ग सेमी

समलंब चतुर्भुज PQCB का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल और त्रिभुज APQ के क्षेत्रफल का अंतर है: Area(PQCB) = Area(Δ ABC) - Area(Δ APQ) = 50 - 8 = 42 वर्ग सेमी

व्याख्या

(2, -5) और (0, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है: ((2 + 0)/2, (-5 + 7)/2) = (1, 1)

इन दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की ढाल है: m = (7 - (-5)) / (0 - 2) = 12 / -2 = -6

लंब समद्विभाजक की ढाल इस ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: m_perp = -1 / -6 = 1/6

मध्यबिंदु (1, 1) और ढाल 1/6 के साथ बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए, लंब समद्विभाजक का समीकरण है: y - 1 = (1/6)(x - 1) 6(y - 1) = x - 1 6y - 6 = x - 1 x - 6y = -5

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य CP लाख रुपये है।

45 लाख रुपये में बेचने पर हानि CP - 45 है, और 55 लाख रुपये में बेचने पर लाभ 55 - CP है।

दिए गए संबंध का उपयोग करके: लाभ = 9 × हानि 55 - CP = 9 × (CP - 45) 55 - CP = 9CP - 405 10CP = 460 CP = 46 लाख

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

आंतरिक कोण = (n - 2) × 180° / n

एक सम दशभुज (regular decagon) में 10 भुजाएँ होती हैं। सूत्र में n = 10 रखने पर:

आंतरिक कोण = (10 - 2) × 180° / 10 आंतरिक कोण = 8 × 18° आंतरिक कोण = 144°

व्याख्या

मान लीजिए मनसुख की दक्षता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूंकि मनसुख 10 घंटे में काम पूरा कर सकता है, इसलिए कुल काम 10 इकाई है।

जयंती मनसुख से 50% अधिक कुशल है, इसलिए जयंती की दक्षता 1.5 इकाई प्रति घंटा है।

उनकी संयुक्त दक्षता 1 + 1.5 = 2.5 इकाई प्रति घंटा है।

उन दोनों को मिलकर काम पूरा करने में लगने वाला समय है: समय = कुल काम ÷ संयुक्त दक्षता समय = 10 ÷ 2.5 = 4 घंटे।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, तीसरे वर्ष के अंत में राशि दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशि और तीसरे वर्ष के दौरान उस पर अर्जित ब्याज का योग होती है। इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

A₃ = A₂ × (1 + R/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

28098.56 = 25088 × (1 + R/100)

1 + R/100 = 28098.56 / 25088

R/100 = (28098.56 - 25088) / 25088

R/100 = 3010.56 / 25088

R = 301056 / 25088

R = 12

व्याख्या

उन दो व्यंजकों के लिए x का मान ज्ञात करने हेतु जिन्हें बराबर करना है, उन्हें एक दूसरे के बराबर रखें:

19 - 5x = 19x + 5

चर पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

19 - 5 = 19x + 5x

14 = 24x

x के लिए हल करने हेतु दोनों पक्षों को 24 से विभाजित करें:

x = 14/24

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 2, से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:

x = 7/12

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

दिया गया है कि C = 88 सेमी, हम त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं: 2 × (22/7) × r = 88 r = (88 × 7) / 44 r = 14 सेमी

वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र Area = πr² है।

r का मान रखने पर: Area = (22/7) × 14 × 14 Area = 22 × 2 × 14 Area = 616 वर्ग सेमी

व्याख्या

संयुक्त प्रभागों के अंकों का माध्य भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है:

भारित माध्य = (n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

दिया गया है: n₁ = 45, x₁ = 69 n₂ = 65, x₂ = 65 n₃ = 50, x₃ = 63

गणना को सरल बनाने के लिए, हम छात्र संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 5 है, से विभाजित कर सकते हैं। इससे मापित भार प्राप्त होते हैं: w₁ = 9 w₂ = 13 w₃ = 10

कुल मापित भार है: W = 9 + 13 + 10 = 32

अब, अंकों का भारित योग परिकलित करें: भारित योग = (9 × 69) + (13 × 65) + (10 × 63) भारित योग = 621 + 845 + 630 = 2096

इस योग को कुल मापित भार से विभाजित करने पर संयुक्त माध्य प्राप्त होता है: संयुक्त माध्य = 2096 / 32 = 65.5

व्याख्या

चूंकि व्यंजक (6a - 5b)/(a + 2b) अंश और हर दोनों में घात 1 का सजातीय है, हम सीधे a = 5 और b = 8 प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (6(5) - 5(8)) / (5 + 2(8)) = (30 - 40) / (5 + 16) = -10 / 21