एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पहले 36 ओवरों में बनाए गए कुल रन = 36 × 4.3 = 154.8 रन

271 रनों के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शेष रन = 271 - 154.8 = 116.2 रन

शेष 14 ओवरों में आवश्यक रन रेट = 116.2 ÷ 14 = 8.3 रन/ओवर

व्याख्या

187200 रुपये के कुल लाभ को अमित, बृजमोहन और चिरंजीव के बीच 1:2:5 के अनुपात में विभाजित किया जाना है।

अनुपात के पदों का योग 1 + 2 + 5 = 8 भाग है।

चिरंजीव का हिस्सा इन 8 भागों में से 5 भाग का प्रतिनिधित्व करता है। गणना इस प्रकार है: (5 / 8) × 187200 = 5 × 23400 = 117000

व्याख्या

माना एक्सप्रेस ट्रेन की गति E किमी/घंटा और राजधानी ट्रेन की गति R किमी/घंटा है।

पहली शर्त के अनुसार, एक्सप्रेस ट्रेन को 732 किमी की यात्रा करने में राजधानी से 6 घंटे अधिक लगते हैं: 732/E - 732/R = 6 122/E - 122/R = 1

दूसरी शर्त के अनुसार, जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो उसे राजधानी से 3 घंटे कम लगते हैं: 732/R - 732/(2E) = 3 732/R - 366/E = 3 244/R - 122/E = 1

चर E को समाप्त करने के लिए इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (122/E - 122/R) + (244/R - 122/E) = 1 + 1 122/R = 2 R = 61 किमी/घंटा

व्याख्या

एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। जब समचतुर्भुज में एक विकर्ण खींचा जाता है, तो वह आकृति को दो सर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, विकर्ण AC वाले समचतुर्भुज ABCD में, त्रिभुज ABC और ADC सर्वांगसम होते हैं क्योंकि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं (AB = AD और BC = DC) और वे भुजा AC को साझा करते हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण BAC, कोण DAC के बराबर है, और कोण BCA, कोण DCA के बराबर है। यह सिद्ध करता है कि विकर्ण AC, सम्मुख कोण A और C को समद्विभाजित करता है। यही गुण दूसरे विकर्ण BD पर भी लागू होता है, जो सम्मुख कोण B और D को समद्विभाजित करता है। इसलिए, समचतुर्भुज के विकर्ण हमेशा उसके सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(-θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: sin(-240°) = -sin(240°)

चूंकि 240° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, इसे 180° + 60° के रूप में लिखा जा सकता है। सर्वसमिका sin(180° + θ) = -sin(θ) का उपयोग करके: sin(240°) = sin(180° + 60°) = -sin(60°)

इस मान को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: sin(-240°) = -(-sin(60°)) = sin(60°)

sin(60°) का मानक मान √3/2 है। इसलिए, x का मान √3/2 है।

व्याख्या

भिन्न 3774/2958 को सरल बनाने के लिए, यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें:

3774 = 2958 × 1 + 816 2958 = 816 × 3 + 510 816 = 510 × 1 + 306 510 = 306 × 1 + 204 306 = 204 × 1 + 102 204 = 102 × 2 + 0

3774 और 2958 का HCF 102 है। अंश और हर दोनों को 102 से विभाजित करने पर:

3774 ÷ 102 = 37 2958 ÷ 102 = 29

यह भिन्न को 37/29 तक सरल करता है।

व्याख्या

खरीदें-x-मुफ्त-y ऑफर में प्रभावी छूट की गणना मानक प्रतिशत संबंध का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / प्राप्त वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

इस प्रचार में, ग्राहक को कुल 4 शर्ट (3 खरीदी + 1 मुफ्त) प्राप्त होती हैं जबकि केवल 3 के लिए भुगतान करता है। छूट 4 शर्टों के कुल मूल्य में से 1 मुफ्त शर्ट का मूल्य है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट % = (1 / 4) × 100 = 25%

चूंकि प्रत्येक शर्ट की कीमत ₹500 समान है, इसलिए सभी 4 शर्टों के कुल अंकित मूल्य के मुकाबले मुफ्त शर्ट के मूल्य का अनुपात ठीक 1/4 रहता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति शर्ट 25% की प्रभावी छूट मिलती है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: 1 + tan²A = sec²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 + tan²A) = secA

दिया गया है कि x = √(1 + tan²A), हमें सीधे प्राप्त होता है: x = secA

व्याख्या

हम विकल्प C में व्यंजक को दो पदों के लिए एक सामान्य हर लेकर सरल बना सकते हैं:

cosecA/(cosecA - 1) + cosecA/(cosecA + 1)

भिन्नों को सामान्य हर (cosecA - 1)(cosecA + 1) पर संयोजित करने पर प्राप्त होता है:

[cosecA(cosecA + 1) + cosecA(cosecA - 1)] / [(cosecA - 1)(cosecA + 1)]

अंश और हर का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(cosec²A + cosecA + cosec²A - cosecA) / (cosec²A - 1)

= 2cosec²A / (cosec²A - 1)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²A - 1 = cot²A का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है:

2cosec²A / cot²A

चूंकि cosecA = 1/sinA और cotA = cosA/sinA, हम इसे साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

[2 × (1/sin²A)] / (cos²A/sin²A)

हर में sin²A को रद्द करके भिन्न को सरल बनाने पर:

2 / cos²A

चूंकि 1/cos²A = sec²A, यह सरल होकर बन जाता है:

2sec²A

व्याख्या

प्रत्येक श्रेणी के स्टॉक का कुल मूल्य उसकी मात्रा को उसकी औसत लागत से गुणा करके ज्ञात किया जाता है।

मोबाइल फोन स्टॉक का मूल्य = 30 × 11,000 = 3,30,000 रुपये कैमरा स्टॉक का मूल्य = 54 × 12,000 = 6,48,000 रुपये टीवी स्टॉक का मूल्य = 65 × 58,000 = 37,70,000 रुपये रेफ्रिजरेटर स्टॉक का मूल्य = 61 × 22,000 = 13,42,000 रुपये एसी स्टॉक का मूल्य = 65 × 26,000 = 16,90,000 रुपये

इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ने पर कुल स्टॉक मूल्य प्राप्त होता है: कुल मूल्य = 3,30,000 + 6,48,000 + 37,70,000 + 13,42,000 + 16,90,000 = 77,80,000 रुपये

चूंकि 1 लाख बराबर 1,00,000 होता है, हम इस कुल मूल्य को 1,00,000 से विभाजित करके लाख रुपये में परिवर्तित करते हैं: लाख रुपये में कुल मूल्य = 77,80,000 / 1,00,000 = 77.8 लाख रुपये।

व्याख्या

2012 में, आयात/निर्यात अनुपात 0.7 है। चूंकि आयात ₹1100 करोड़ है, इसलिए 2012 के लिए निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: 2012 में निर्यात = 1100 / 0.7 = 11000/7 ≈ 1571.43 करोड़

2012 और 2013 दोनों के लिए संयुक्त निर्यात ₹6000 करोड़ है, इसलिए 2013 के लिए निर्यात है: 2013 में निर्यात = 6000 - 11000/7 = 31000/7 ≈ 4428.57 करोड़

2013 में, आयात/निर्यात अनुपात 1.2 है। इस प्रकार, 2013 के लिए आयात है: 2013 में आयात = 1.2 × 2013 में निर्यात 2013 में आयात = 1.2 × 31000/7 = 37200/7 ≈ 5314.29 करोड़

व्याख्या

6वें जन्मदिन से 15वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम 15वें जन्मदिन की ऊंचाई में से 6वें जन्मदिन की ऊंचाई घटाते हैं।

दिए गए डेटा तालिका से: 15वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 180 सेमी 6वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 115 सेमी

ऊंचाई में वृद्धि की गणना इस प्रकार है: 180 सेमी - 115 सेमी = 65 सेमी

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे तक की कुल अवधि 8 घंटे है।

डेटा तालिका में दिए गए मान प्रतिशत दर्शाते हैं क्योंकि उनका योग 100 होता है (10 + 15 + 5 + 5 + 65 = 100)।

स्वप्न देखने या जागृत रहने में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत है: 15% + 65% = 80%

इन दो अवस्थाओं में बिताए गए समय की अवधि ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 80% परिकलित करें: 8 घंटे × 80% = 6.4 घंटे

व्याख्या

दो द्विपदों (x + a)(x + b) के गुणनफल का विस्तार सूत्र x² + (a + b)x + ab द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में a = 4 और b = -2 प्रतिस्थापित करने पर: (x + 4)(x - 2) = x² + (4 + (-2))x + (4 × -2) (x + 4)(x - 2) = x² + 2x - 8

व्याख्या

दो संख्याओं, उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) और उनके लघुत्तम समापवर्तक (ल.स.प.) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

88 × 33 = 11 × ल.स.प.

ल.स.प. = (88 × 33) ÷ 11

ल.स.प. = 8 × 33

ल.स.प. = 264

व्याख्या

299a²b² को 23b² से विभाजित करने के लिए, हम विभाजन को एक भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

(299a²b²) / (23b²)

इसे संख्यात्मक गुणांकों और बीजीय चरों को अलग-अलग विभाजित करके हल किया जा सकता है:

(299 / 23) × (a²b² / b²)

संख्यात्मक भाग को विभाजित करना: 299 ÷ 23 = 13

बीजीय भाग को विभाजित करना: अंश और हर में b² पद रद्द हो जाता है, केवल a² बचता है: a²b² / b² = a²

सरलीकृत घटकों को गुणा करने पर प्राप्त होता है: 13 × a² = 13a²

व्याख्या

पहली असमानता को हल करना: x + 3 ≤ 2x + 4 दोनों पक्षों से x और 4 घटाने पर: -1 ≤ x

दूसरी असमानता को हल करना: 4 - x ≥ 3x - 2 दोनों पक्षों में x और 2 जोड़ने पर: 6 ≥ 4x x ≤ 6/4 x ≤ 1.5

दोनों शर्तों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -1 ≤ x ≤ 1.5

विकल्पों में से, केवल x = 1 इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

150 और 300 के बीच 7 से विभाज्य पदों की संख्या इस सीमा में 7 के गुणजों की पहचान करके ज्ञात की जा सकती है।

150 से बड़ी 7 की पहली गुणज 154 है (जो 7 × 22 है)। 300 से छोटी 7 की अंतिम गुणज 294 है (जो 7 × 42 है)।

ये पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ: पहला पद (a) = 154 अंतिम पद (l) = 294 सार्व अंतर (d) = 7

समांतर श्रेणी के n-वें पद के सूत्र का उपयोग करके: l = a + (n - 1)d

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 294 = 154 + (n - 1) × 7 140 = (n - 1) × 7 20 = n - 1 n = 21

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना फ्लोर विभाजन फलन का उपयोग करके की जा सकती है: 300 तक 7 के गुणजों की संख्या = फ्लोर(300 / 7) = 42 150 तक 7 के गुणजों की संख्या = फ्लोर(150 / 7) = 21 150 और 300 के बीच कुल गुणज = 42 - 21 = 21

व्याख्या

माना मालगाड़ी की गति v किमी/घंटा है।

मालगाड़ी दूसरी ट्रेन से 2 घंटे पहले स्टेशन से गुजरती है। इसलिए, जब दूसरी ट्रेन स्टेशन से गुजरती है, तो मालगाड़ी पहले ही निम्नलिखित दूरी तय कर चुकी होती है: दूरी = गति × समय = 2v किमी

चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में यात्रा कर रही हैं, मालगाड़ी के संबंध में दूसरी ट्रेन की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = 63 - v किमी/घंटा

दूसरी ट्रेन 7 घंटे में 2v किमी की प्रारंभिक दूरी को तय करके मालगाड़ी को ओवरटेक कर लेती है। दूरी = सापेक्ष गति × समय सूत्र का उपयोग करके: 2v = (63 - v) × 7 2v = 441 - 7v 9v = 441 v = 49 किमी/घंटा

व्याख्या

अभी की दक्षता का भीष्म की दक्षता से अनुपात 4:1 है। चूँकि किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय दक्षता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए अभी और भीष्म द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1:4 है।

मान लीजिए अभी द्वारा लिया गया समय x दिन है और भीष्म द्वारा लिया गया समय 4x दिन है।

लिए गए समय का अंतर है: 4x - x = 90 3x = 90 x = 30

इस प्रकार, अभी व्यक्तिगत रूप से काम पूरा करने में 30 दिन और भीष्म 120 दिन लेता है।

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, दोनों के एक साथ काम करने में लगने वाला समय है: (30 × 120) / (30 + 120) = 3600 / 150 = 24 दिन

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100, जहाँ मूलधन, दर प्रति वर्ष ब्याज दर है, और समय वर्षों में अवधि है। मान लीजिए कि ब्याज की सामान्य दर R है।

जाफ़र को दिए गए ऋण के लिए: ब्याज₁ = (10600 × R × 4) / 100 = 424R

कैलाश को दिए गए ऋण के लिए: ब्याज₂ = (7300 × R × 3) / 100 = 219R

दोनों ब्याज का योग है: 424R + 219R = 643R

इसे ₹2250.5 के कुल ब्याज के बराबर रखने पर: 643R = 2250.5 R = 2250.5 / 643 = 3.5%

व्याख्या

बस का किराया 5:7 के अनुपात में बढ़ाया जाता है, जिसका अर्थ है कि मूल किराया और नए किराए का अनुपात 5:7 है।

मान लीजिए मूल किराया 5x है और नया किराया 7x है।

दिया गया है कि मूल किराया रु 625 है: 5x = 625 x = 125

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: वृद्धि = 7x - 5x = 2x

x का मान रखने पर: वृद्धि = 2 × 125 = रु 250

व्याख्या

11 वर्षों का कुल राजस्व वर्षों की संख्या को औसत राजस्व से गुणा करके निकाला जाता है: 11 × 66 = 726 लाख

पहले 6 वर्षों के राजस्व का योग है: 6 × 61 = 366 लाख

अंतिम 6 वर्षों के राजस्व का योग है: 6 × 73 = 438 लाख

चूंकि छठे वर्ष को पहले 6 वर्षों और अंतिम 6 वर्षों दोनों में शामिल किया गया है, इसलिए छठे वर्ष का राजस्व इन दोनों अवधियों के संयुक्त योग और 11 वर्षों के कुल राजस्व के बीच का अंतर है: छठे वर्ष का राजस्व = (366 + 438) - 726 = 804 - 726 = 78 लाख

व्याख्या

x-अंतःखंड a और y-अंतःखंड b वाली रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप है:

x/a + y/b = 1

दिया गया है कि x-अंतःखंड a = 5/3 और y-अंतःखंड b = -4/5 है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

x / (5/3) + y / (-4/5) = 1

भिन्नों को सरल करने पर:

3x/5 - 5y/4 = 1

हर को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 20 से गुणा करें, जो 5 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य है:

20 × (3x/5) - 20 × (5y/4) = 20 × 1

12x - 25y = 20

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक (convex polyhedron) के लिए यूलर का सूत्र (Euler's formula) बताता है कि V - E + F = 2, जहाँ V शीर्षों की संख्या है, E किनारों की संख्या है, और F फलकों की संख्या है। परिभाषा के अनुसार एक अष्टफलक में 8 फलक होते हैं, जिसका अर्थ है F = 8। यह देखते हुए कि किनारों की संख्या E = 12 है, हम शीर्षों की संख्या ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: V - 12 + 8 = 2 V - 4 = 2 V = 6

यह प्रत्यक्ष गणना अष्टफलक के लिए ठीक 6 शीर्ष देती है।

व्याख्या

प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

इस प्रस्ताव में, 1 टी-शर्ट खरीदने पर, 2 टी-शर्ट मुफ्त मिलती हैं। इसका मतलब है कि ग्राहक को केवल 1 की कीमत का भुगतान करते हुए कुल 3 टी-शर्ट (1 खरीदी गई + 2 मुफ्त) मिलती हैं।

छूट % = (2 / 3) × 100 = 66.67%

व्याख्या

वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है। r = 10.5 सेमी (जो 21/2 सेमी है) और π = 22/7 का उपयोग करके, परिधि है:

C = 2 × (22/7) × (21/2) = 66 सेमी

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप P = 3a है। चूँकि वृत्त की परिधि त्रिभुज के परिमाप के बराबर है:

3a = 66 a = 22 सेमी

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 3080 वर्ग सेमी है और त्रिज्या r 28 सेमी है, हम तिर्यक ऊँचाई l ज्ञात कर सकते हैं: 3080 = (22/7) × 28 × l 3080 = 88 × l l = 3080 / 88 l = 35 सेमी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l, त्रिज्या r और ऊँचाई h के बीच संबंध है: l² = r² + h² 35² = 28² + h² 1225 = 784 + h² h² = 1225 - 784 h² = 441 h = √441 = 21 सेमी

शंकु का आयतन V निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = (1/3) × π × r² × h V = (1/3) × (22/7) × 28 × 28 × 21 V = 22 × 28 × 28 V = 17248 घन सेमी

व्याख्या

सेकेंट फलन कोसाइन फलन का व्युत्क्रम है, जिसे sec θ = 1/cos θ के रूप में परिभाषित किया गया है।

sec 7π/4 का मूल्यांकन करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में इसके संदर्भ कोण का उपयोग करके कोण 7π/4 को फिर से लिखा जा सकता है: 7π/4 = 2π - π/4

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(2π - θ) = cos θ का उपयोग करके: cos 7π/4 = cos(2π - π/4) = cos π/4

चूंकि cos π/4 का मान 1/√2 है: cos 7π/4 = 1/√2

सेकेंट मान ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेना: sec 7π/4 = 1 / (1/√2) = √2

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की कुल आय ₹100 है।

व्यय उसकी आय का 68% है, जो कि ₹68 है।

बचत उसकी आय का शेष भाग होगी: 100 - 68 = ₹32

यह ज्ञात करने के लिए कि वह अपने व्यय का कितना प्रतिशत बचाता है, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (बचत / व्यय) × 100

सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत = (32 / 68) × 100 = (8 / 17) × 100 = 800 / 17 ≈ 47.06%

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय योग और अंतर सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:

sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB

sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर:

sin(A + B) + sin(A - B) = (sinA cosB + cosA sinB) + (sinA cosB - cosA sinB)

धनात्मक और ऋणात्मक cosA sinB पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं:

sin(A + B) + sin(A - B) = 2 sinA cosB

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, व्यंजक का विस्तार इस प्रकार होता है: (secA - cosA)(secA + cosA) = sec²A - cos²A

हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके sec²A और cos²A को फिर से लिख सकते हैं: sec²A = 1 + tan²A cos²A = 1 - sin²A

इन सर्वसमिकाओं को विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है: sec²A - cos²A = (1 + tan²A) - (1 - sin²A) = 1 + tan²A - 1 + sin²A = tan²A + sin²A

व्याख्या

माना कि खरीदे गए शुद्ध दूध की मात्रा 3 लीटर है। 3 लीटर दूध का क्रय मूल्य (CP) 20 रुपये प्रति लीटर की दर से = 3 × 20 = 60 रुपये।

दूधवाला उसमें 1/3 पानी मिलाता है, जो कि 1/3 × 3 = 1 लीटर पानी है। परिणामी मिश्रण की कुल मात्रा = 3 + 1 = 4 लीटर।

4 लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य (SP) 25 रुपये प्रति लीटर की दर से = 4 × 25 = 100 रुपये।

कुल लाभ = SP - CP = 100 - 60 = 40 रुपये।

लाभ प्रतिशत = (कुल लाभ / CP) × 100 मान रखने पर: लाभ प्रतिशत = (40 / 60) × 100 = 66.67%

व्याख्या

कर्मचारियों की कुल संख्या = 3 + 12 + 4 = 19

प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 3 × (30,00,000 × 60%) = 3 × 18,00,000 = 54,00,000

कार्यकारियों के लिए कुल बोनस = 12 × (12,00,000 × 30%) = 12 × 3,60,000 = 43,20,000

प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 4 × (4,00,000 × 10%) = 4 × 40,000 = 1,60,000

सभी कर्मचारियों को दिया गया कुल बोनस = 54,00,000 + 43,20,000 + 1,60,000 = 98,80,000

प्रति कर्मचारी औसत बोनस = कुल बोनस ÷ कर्मचारियों की कुल संख्या = 98,80,000 ÷ 19 = 5,20,000

व्याख्या

कुल निर्यात के समान वर्षों के युग्म को खोजने के लिए, 2013 और 2014 के वर्षों के लिए तीनों कंपनियों के निर्यात का योग ज्ञात करें।

2013 में कुल निर्यात = 3000 + 2000 + 2000 = 7000 लाख रुपये।

2014 में कुल निर्यात = 2000 + 1000 + 4000 = 7000 लाख रुपये।

चूंकि 2013 और 2014 दोनों के लिए कुल निर्यात 7000 लाख रुपये के बराबर है, इसलिए वर्षों का यह युग्म आवश्यकता को पूरा करता है।

व्याख्या

पिछले पाँच वर्षों में कंपनी का कुल लाभ या हानि 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लिए लाभ या हानि मानों का योग करके गणना की जाती है:

कुल = 10 + 15 + (-25) + (-5) + 20

कुल = 25 - 25 - 5 + 20

कुल = 15

चूंकि परिणामी योग धनात्मक है, इसलिए कंपनी ने 15 करोड़ रुपये का लाभ कमाया।

व्याख्या

कुल निर्यात में आभूषण की प्रतिशत हिस्सेदारी ज्ञात करने के लिए, पहले 2015 में सभी निर्यातों का कुल मूल्य ज्ञात करें:

कुल निर्यात = आभूषण + सॉफ्टवेयर + कपास + इस्पात + इलेक्ट्रॉनिक्स कुल निर्यात = 1000 + 700 + 700 + 875 + 875 = 4150 मिलियन अमेरिकी डॉलर

अब, आभूषण निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करें:

आभूषण की प्रतिशत हिस्सेदारी = (आभूषण का मूल्य / कुल निर्यात) × 100 आभूषण की प्रतिशत हिस्सेदारी = (1000 / 4150) × 100 आभूषण की प्रतिशत हिस्सेदारी = 100000 / 4150 ≈ 24.1%

व्याख्या

दिया गया बहुपद 4x³ - 2x² + 2x - 3 है। इस व्यंजक में, x² वाले पद -2x² है। x² को गुणा करने वाला संख्यात्मक गुणनखंड -2 है, जो इसके गुणांक को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य L और क्रय मूल्य C है।

पहले मामले में, अंकित मूल्य पर 40% की छूट दी जाती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य L का 60% है। इस बिक्री से 10% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य C के 90% के बराबर भी है।

0.6L = 0.9C L = 1.5C

दूसरे मामले में, अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है, इसलिए नया विक्रय मूल्य L का 80% है। L और C के बीच संबंध को प्रतिस्थापित करते हुए:

नया विक्रय मूल्य = 0.8L = 0.8 × 1.5C = 1.2C

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 1.2 गुना है, व्यापारी को लाभ होता है। लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है:

लाभ % = (1.2C - C)/C × 100% = 0.2 × 100% = 20%

व्याख्या

तीन समूहों के संयुक्त माध्य का सूत्र (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃) है, जहाँ n₁, n₂, n₃ प्रत्येक प्रभाग में छात्रों की संख्या और x̄₁, x̄₂, x̄₃ उनके संबंधित माध्य अंक दर्शाते हैं।

दिए गए आंकड़ों का उपयोग करके: n₁ = 60, x̄₁ = 66 n₂ = 45, x̄₂ = 62 n₃ = 75, x̄₃ = 60

प्रभाग A, B, और C में छात्रों की संख्या का अनुपात 60 : 45 : 75 है। 15 के सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने पर भार 4 : 3 : 5 तक सरल हो जाता है।

इन सरलीकृत भारों को भारित माध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: संयुक्त माध्य = (4 × 66 + 3 × 62 + 5 × 60) / (4 + 3 + 5) = (264 + 186 + 300) / 12 = 750 / 12 = 62.5

व्याख्या

221a²b² को 13b² से विभाजित करने के लिए, हम गुणांकों और बीजीय चरों के विभाजन को अलग-अलग करते हैं:

(221a²b²) ÷ (13b²) = (221 ÷ 13) × a² × (b² ÷ b²)

संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करने पर, 221 ÷ 13 = 17। चर भागों को विभाजित करने पर, b² ÷ b² = 1, जिससे a² पद अपरिवर्तित रहता है।

इन परिणामों को मिलाने पर 17a² प्राप्त होता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण को सरल करें:

40.36 - (9.347 - x) - 29.02 = 3.68

सबसे पहले, कोष्ठक हटाएँ:

40.36 - 9.347 + x - 29.02 = 3.68

बाईं ओर धनात्मक और ऋणात्मक स्थिरांक पदों को मिलाएं:

(40.36 - 29.02) - 9.347 + x = 3.68

11.34 - 9.347 + x = 3.68

1.993 + x = 3.68

अब, दोनों पक्षों से 1.993 घटाकर x को अलग करें:

x = 3.68 - 1.993

x = 1.687

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: x + 3 ≤ 4x + 4 3x ≥ -1 x ≥ -1/3

दूसरी असमानता को हल करने पर: 5(4 - x) - 4 ≥ 5x - 2 20 - 5x - 4 ≥ 5x - 2 16 - 5x ≥ 5x - 2 10x ≤ 18 x ≤ 1.8

दोनों असमानताओं को मिलाने पर x की सीमा इस प्रकार है: -1/3 ≤ x ≤ 1.8

मान x = 1 इस अंतराल में आता है, जिससे यह मान्य हल बनता है जो दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में गति को परिवर्तित करने के लिए, 5/18 के मानक रूपांतरण कारक का उपयोग करें।

मी/से में गति = किमी/घंटा में गति × 5/18

दिए गए 1116 किमी/घंटा के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

गति = 1116 × 5/18

सबसे पहले, 1116 को 18 से विभाजित करें:

1116 ÷ 18 = 62

अब, 5 से गुणा करें:

62 × 5 = 310 मी/से

इसका मतलब है कि मिसाइल एक सेकंड में 310 मीटर की दूरी तय करती है।

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, जिसे A = πr² द्वारा दर्शाया जाता है। जब त्रिज्या r में प्रतिशत वृद्धि होती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + xy/100

चूंकि क्षेत्रफल सूत्र के दोनों आयामों में त्रिज्या 31% बढ़ जाती है, हम x = 31 और y = 31 प्रतिस्थापित करते हैं:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 31 + 31 + (31 × 31)/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 62 + 961/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 62 + 9.61 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 71.61%

व्याख्या

₹ 6000 की पहली जमा राशि 1 जनवरी को की जाती है। चूँकि यह पूरे वर्ष बैंक में रहती है, यह 20% प्रति छमाही की दर से 2 छमाही के लिए चक्रवृद्धि होती है।

वर्ष के अंत में पहली जमा राशि से संचित राशि है: A₁ = 6000 × (1 + 0.20)² = 6000 × (1.2)² = 6000 × 1.44 = ₹ 8640

₹ 6000 की दूसरी जमा राशि 1 जुलाई को की जाती है। यह उसी 20% प्रति छमाही की दर से केवल 1 छमाही (1 जुलाई से 31 दिसंबर तक) के लिए चक्रवृद्धि होती है।

वर्ष के अंत में दूसरी जमा राशि से संचित राशि है: A₂ = 6000 × (1 + 0.20)¹ = 6000 × 1.2 = ₹ 7200

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि है: कुल राशि = A₁ + A₂ = 8640 + 7200 = ₹ 15840

ग्राहक द्वारा वर्ष के दौरान जमा की गई कुल मूल राशि है: कुल मूल राशि = 6000 + 6000 = ₹ 12000

ग्राहक द्वारा अर्जित कुल ब्याज है: ब्याज = कुल राशि - कुल मूल राशि = 15840 - 12000 = ₹ 3840

व्याख्या

यदि x दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती है, तो संख्याएँ सतत समानुपात में होती हैं: a : b = b : x

यह संबंध सूत्र देता है: x = b² / a

दिए गए मानों, a = 4 और b = 28 को प्रतिस्थापित करने पर: x = 28² / 4 x = (28 × 28) / 4 x = 7 × 28 x = 196

व्याख्या

माँ द्वारा केक बनाने की दर = 75 केक ÷ 15 घंटे = 5 केक प्रति घंटा।

माँ और बहन द्वारा मिलकर केक बनाने की संयुक्त दर = 120 केक ÷ 20 घंटे = 6 केक प्रति घंटा।

बहन द्वारा केक बनाने की दर = संयुक्त दर − माँ की दर = 6 − 5 = 1 केक प्रति घंटा।

बहन द्वारा 30 घंटे में बनाए जा सकने वाले केक की संख्या = बहन की दर × 30 घंटे = 1 × 30 = 30 केक।

व्याख्या

200 और 400 के बीच 7 से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।

7 से विभाज्य 200 के बाद पहली संख्या 203 है। 7 से विभाज्य 400 से पहले अंतिम संख्या 399 है।

इस समांतर श्रेणी में, पहला पद (a) 203 है, अंतिम पद (l) 399 है, और सार्व अंतर (d) 7 है।

पदों की संख्या (n) के सूत्र का उपयोग करके: n = (l - a)/d + 1

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: n = (399 - 203)/7 + 1 n = 196/7 + 1 n = 28 + 1 n = 29

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना 399 तक 7 के कुल गुणजों को ज्ञात करके और 200 तक 7 के गुणजों को घटाकर की जा सकती है: 399 तक 7 के गुणज = floor(399/7) = 57 200 तक 7 के गुणज = floor(200/7) = 28 दी गई सीमा में कुल गुणज = 57 - 28 = 29

व्याख्या

जब बिंदु P(a,b) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके निर्देशांकों के चिन्ह बदल जाते हैं, इसलिए P₁ के निर्देशांक (-a,-b) होते हैं।

जब बिंदु P₁(-a,-b) का y-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके x-निर्देशांक का चिन्ह बदल जाता है जबकि y-निर्देशांक वही रहता है, जिससे बिंदु (a,-b) प्राप्त होता है।

हमें दिया गया है कि यह अंतिम परावर्तित बिंदु (6,-5) है। इसलिए: (a,-b) = (6,-5)

निर्देशांकों की तुलना करने पर: a = 6 -b = -5, जिसका अर्थ है b = 5

इस प्रकार, बिंदु P के निर्देशांक (6,5) हैं।