एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दूरी (d) गति (v) और समय (t) से सूत्र t = d/v द्वारा संबंधित है।

मान लीजिए शहर A और शहर B के बीच की दूरी d किमी है।

धीमी कार द्वारा लिया गया समय d/30 घंटे है, और तेज कार द्वारा लिया गया समय d/48 घंटे है।

यह देखते हुए कि समय का अंतर 3 घंटे है: d/30 - d/48 = 3

30 और 48 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 240 लेने पर: (8d - 5d) / 240 = 3 3d / 240 = 3 d / 80 = 3 d = 240 किमी

व्याख्या

सबसे पहले, रु 6000 पर 2 वर्षों के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें। चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र का उपयोग करके: CI = P × ((1 + R/100)ᵀ - 1)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CI = 6000 × ((1 + 10/100)² - 1) CI = 6000 × (1.21 - 1) CI = 6000 × 0.21 = 1260

प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज (SI) इस चक्रवृद्धि ब्याज का आधा है: SI = 1260 / 2 = 630

साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

SI = 630, T = 3, और R = 10 को प्रतिस्थापित करने पर: 630 = (P × 10 × 3) / 100 630 = 30P / 100 630 = 3P / 10 P = (630 × 10) / 3 P = 2100

व्याख्या

छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

यहां, मुफ्त दुपट्टों की संख्या 3 है, और ग्राहक को कुल 6 + 3 = 9 दुपट्टे मिलते हैं।

छूट % = (3 / 9) × 100 = 33.33%

चूंकि छूट प्रतिशत पूरी लेनदेन के लिए वही है जो प्रत्येक व्यक्तिगत दुपट्टे के लिए है, इसलिए प्रत्येक दुपट्टे पर प्रभावी छूट 33.33% है। ₹1200 प्रति दुपट्टे का व्यक्तिगत मूल्य इस प्रतिशत को नहीं बदलता है।

व्याख्या

दो संख्याओं और उनके म.स.प. (HCF) और ल.स.प. (LCM) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

275 × दूसरी संख्या = 11 × 825

दूसरी संख्या = (11 × 825) ÷ 275

दूसरी संख्या = 9075 ÷ 275

दूसरी संख्या = 33

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके:

cos 60° = 1/2 sec 30° = 2/√3

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

x = cos 60° - sec 30° x = 1/2 - 2/√3

सामान्य हर 2√3 लेने पर:

x = (√3 - 4) / 2√3

व्याख्या

कोज्या (cosine) के लिए मानक द्वि-कोण सर्वसमिका (standard double-angle identity) का उपयोग करके: cos 2θ = 1 - 2 sin² θ

θ = A/2 रखने पर, सर्वसमिका बन जाती है: cos A = 1 - 2 sin²(A/2)

इस सूत्र को 2 sin²(A/2) को एक तरफ व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 2 sin²(A/2) = 1 - cos A

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: sin²(A/2) = (1 - cos A)/2

यह देखते हुए कि x = (1 - cos A)/2 है, इस संबंध को सीधे प्रतिस्थापित करने पर परिणाम मिलता है: x = sin²(A/2)

व्याख्या

मान लीजिए गगनज्योत का वेतन G है, हाफिज़ का वेतन H है, और सैयद का वेतन S है।

वेतनों के बीच संबंध इस प्रकार लिखा जा सकता है: G = (7/6)H S = (8/7)H

गगनज्योत के वेतन का सैयद के वेतन से अनुपात (G:S) ज्ञात करने के लिए, G को S से विभाजित करें: G/S = ((7/6)H) / ((8/7)H)

H को समाप्त करके भिन्न को सरल करने पर: G/S = (7/6) / (8/7) G/S = (7/6) × (7/8) G/S = 49/48

अतः अनुपात 49:48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक टाइमएक्स घड़ी का विक्रय मूल्य S है।

20 घड़ियों का विक्रय मूल्य 20S है।

अर्जित लाभ 4 घड़ियों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 4S है।

चूंकि लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य, हम 20 घड़ियों का क्रय मूल्य इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ क्रय मूल्य = 20S - 4S = 16S

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (4S / 16S) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, cosec A = 1/sin A और cot A = cos A/sin A।

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = cosec A - cot A x = (1/sin A) - (cos A/sin A) x = (1 - cos A)/sin A

अंश और हर दोनों को (1 + cos A) से गुणा करने पर: x = ((1 - cos A)(1 + cos A)) / (sin A(1 + cos A)) x = (1 - cos² A) / (sin A(1 + cos A))

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम (1 - cos² A) को sin² A से बदल सकते हैं: x = sin² A / (sin A(1 + cos A)) x = sin A / (1 + cos A)

व्याख्या

जब एक ठोस शंकु को पिघलाकर एक बेलन में पुनः ढाला जाता है, तो ढाले गए आकार का आयतन मूल आकार के आयतन के बराबर रहता है।

आयतन सूत्रों का उपयोग करके: बेलन का आयतन = शंकु का आयतन π × r² × h_बेलन = ⅓ × π × r² × h_शंकु

चूंकि दोनों आकृतियों की त्रिज्या समान (r) है, हम दोनों पक्षों को π × r² से विभाजित कर सकते हैं: h_बेलन = ⅓ × h_शंकु

यह देखते हुए कि शंकु की ऊंचाई 12 सेमी है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: h_बेलन = ⅓ × 12 = 4 सेमी

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की संख्या 65 - 39 = 26 है।

लड़कियों और लड़कों की संख्या का अनुपात 39 : 26 है, जो सरल होकर 3 : 2 हो जाता है।

इस अनुपात का उपयोग करके भारित औसत सूत्र का प्रयोग करने पर:

भारित औसत = (लड़कियों का अनुपात × लड़कियों का औसत भार + लड़कों का अनुपात × लड़कों का औसत भार) / कुल अनुपात

मान लीजिए लड़कों का औसत भार W है:

64 = (3 × 60 + 2 × W) / (3 + 2)

64 = (180 + 2W) / 5

320 = 180 + 2W

140 = 2W

W = 70 किग्रा

व्याख्या

किसी वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण की लंबाई d के पदों में सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = d² / 2

दिया गया है कि विकर्ण d 14 सेमी है, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = 14² / 2 क्षेत्रफल = 196 / 2 क्षेत्रफल = 98 वर्ग सेमी

व्याख्या

विभाजन सूत्र का उपयोग करके, बिंदु P(x, y) के निर्देशांक जो बिंदु A(0,4) और B(-5,9) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है, इस प्रकार गणना की जाती है:

x = (2 × (-5) + 3 × 0) / (2 + 3) = -10/5 = -2 y = (2 × 9 + 3 × 4) / (2 + 3) = 30/5 = 6

अतः, P के निर्देशांक (-2, 6) हैं।

रेखाखंड AB की ढाल है: m = (9 - 4) / (-5 - 0) = 5/-5 = -1

चूंकि आवश्यक रेखा AB पर लंबवत है, इसकी ढाल (m') संबंध m × m' = -1 को संतुष्ट करती है। इसलिए: m' = -1 / -1 = 1

ढाल 1 के साथ P(-2, 6) से गुजरने वाली रेखा के लिए बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके: y - 6 = 1 × (x - (-2)) y - 6 = x + 2 x - y = -8

व्याख्या

प्रतिशत त्रुटि का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

प्रतिशत त्रुटि = (|सही मान - गलत मान| / सही मान) × 100

मान लीजिए मूल संख्या x है।

सही मान (7/4)x है और गलत मान (4/7)x है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत त्रुटि = |(7/4)x - (4/7)x| / ((7/4)x) × 100

प्रतिशत त्रुटि = (33x / 28) / (7x / 4) × 100

प्रतिशत त्रुटि = (33 / 28) × (4 / 7) × 100

प्रतिशत त्रुटि = (33 / 49) × 100

प्रतिशत त्रुटि ≈ 0.673469 × 100 ≈ 67.35%

व्याख्या

माना कि कुल कार्य 120 इकाई है, जो 40, 60 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

चित्रकारों की दैनिक कार्य दरें हैं: चित्रकार A की दर = 120 / 40 = 3 इकाई प्रति दिन चित्रकार B की दर = 120 / 60 = 2 इकाई प्रति दिन चित्रकार A, B और C की संयुक्त दर = 120 / 20 = 6 इकाई प्रति दिन

चित्रकार C की अकेले दर है: C की दर = संयुक्त दर - (A की दर + B की दर) C की दर = 6 - (3 + 2) = 1 इकाई प्रति दिन

इसलिए, चित्रकार C को अकेले पूरा काम करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: C द्वारा लिया गया समय = कुल कार्य / C की दर = 120 / 1 = 120 दिन

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग हमेशा 360° होता है, चाहे उसमें भुजाओं की संख्या कितनी भी हो। चूँकि दशभुज 10 भुजाओं वाला एक बहुभुज है, इसलिए इसके सभी बाह्य कोणों का योग ठीक 360° है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले वर्ग का विकर्ण सूत्र d = a√2 द्वारा दिया जाता है। यह देखते हुए कि विकर्ण 10√2 सेमी है, हम समीकरण a√2 = 10√2 स्थापित कर सकते हैं, जो सीधे a = 10 सेमी हो जाता है।

वर्ग का परिमाप सूत्र P = 4a का उपयोग करके गणना की जाती है। इस सूत्र में 10 सेमी की भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर P = 4 × 10 = 40 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक (6x + y)(x - 6y) का वितरण नियम का उपयोग करके विस्तार करने पर:

(6x + y)(x - 6y) = 6x(x - 6y) + y(x - 6y)

प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:

= 6x² - 36xy + xy - 6y²

समान पदों को मिलाने पर:

= 6x² - 35xy - 6y²

व्याख्या

अंतर के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:

(a - b)² = a² + b² - 2ab

सर्वसमिका में दिए गए मानों (a - b) = -5 और a² + b² = 73 को प्रतिस्थापित करने पर:

(-5)² = 73 - 2ab

25 = 73 - 2ab

ab के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2ab = 73 - 25

2ab = 48

ab = 24

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट गैर-शून्य संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार: x + 10/x = 7

समीकरण को x से गुणा करने पर: x² + 10 = 7x

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² - 7x + 10 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 5)(x - 2) = 0

x के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: x = 5 या x = 2

मूल व्यंजक में x = 5 प्रतिस्थापित करने पर: 5 + 10/5 = 5 + 2 = 7

यह सत्यापित करता है कि 5 सही संख्या है।

व्याख्या

हम संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में तोड़ सकते हैं।

सबसे पहले, बाईं असमानता पर विचार करें: 2x + 2(4 + 3x) < 2 + 3x 2x + 8 + 6x < 2 + 3x 8x + 8 < 2 + 3x 5x < -6 x < -1.2

अगला, दाईं असमानता पर विचार करें: 2 + 3x > 2x + x/2 2 + 3x > 2.5x 0.5x > -2 x > -4

दोनों शर्तों को मिलाने पर अंतराल प्राप्त होता है: -4 < x < -1.2

दिए गए मानों में से, केवल -3 इस सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

किसी भी वर्ष के लिए आयात और निर्यात का अनुपात इस प्रकार दिया गया है: आयात / निर्यात = अनुपात

वर्ष 2012 के लिए, अनुपात 0.7 है और आयात ₹1100 करोड़ था। इस संबंध का उपयोग करके: 1100 / E₂₀₁₂ = 0.7 E₂₀₁₂ = 1100 / 0.7 ≈ 1571.43 करोड़

वर्ष 2012 और 2013 में कुल निर्यात ₹5200 करोड़ था: E₂₀₁₂ + E₂₀₁₃ = 5200 1571.43 + E₂₀₁₃ = 5200 E₂₀₁₃ = 5200 - 1571.43 = 3628.57 करोड़

वर्ष 2013 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 0.8 है: I₂₀₁₃ / E₂₀₁₃ = 0.8 I₂₀₁₃ = 0.8 × 3628.57 ≈ 2902.86 करोड़

इस मान को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 2903 करोड़ प्राप्त होता है।

व्याख्या

8वें जन्मदिन से 15वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम 15वें जन्मदिन पर ऊंचाई में से 8वें जन्मदिन पर ऊंचाई घटाते हैं।

दी गई तालिका से: 15वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 180 सेमी 8वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 135 सेमी

ऊंचाई में वृद्धि = 180 सेमी - 135 सेमी = 45 सेमी

व्याख्या

तालिका मान कुल ट्रैक किए गए समय के प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्योंकि उनका योग 100 है (25 + 5 + 10 + 5 + 55 = 100)।

फिटनेस बैंड द्वारा रात 10 बजे से सुबह 6 बजे के बीच रिकॉर्ड किया गया कुल समय 8 घंटे है।

उपयोगकर्ता द्वारा सपना देखने या अत्यंत हल्की नींद में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत है: 5% + 5% = 10%

अवधि को घंटों में ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत सूत्र लागू करें: अवधि = (संयुक्त प्रतिशत / 100) × कुल घंटे अवधि = (10 / 100) × 8 = 0.8 घंटे

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता से त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप है।

उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए: AD/AB = DE/BC

सबसे पहले, भुजा AB की कुल लंबाई ज्ञात करें: AB = AD + DB = 10 + 5 = 15 सेमी

अब, ज्ञात मानों को अनुपात में प्रतिस्थापित करें: 10/15 = 6/BC

बाईं ओर के भिन्न को सरल करें: 2/3 = 6/BC

BC के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करें: 2 × BC = 18 BC = 9 सेमी

व्याख्या

हम x के मानों की सीमा ज्ञात करने के लिए दो दी गई असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता है: 2x - 1 < 5x + 2 -3 < 3x x > -1

दूसरी असमानता है: 2x + 5 < 6 - 3x 5x < 1 x < 1/5

दोनों असमानताओं को मिलाकर, हमें हल अंतराल प्राप्त होता है: -1 < x < 1/5

मान 0 इस अंतराल में आता है। x = 0 को दी गई असमानताओं में प्रतिस्थापित करने पर इसकी पुष्टि होती है: 2(0) - 1 < 5(0) + 2 को सरल करने पर -1 < 2 प्राप्त होता है, जो सत्य है। 2(0) + 5 < 6 - 3(0) को सरल करने पर 5 < 6 प्राप्त होता है, जो सत्य है।

व्याख्या

एक अलमारी बनाने के लिए आवश्यक कुल कार्य 60 घंटे में पूरा होता है।

15 घंटे में बनाई गई अलमारी का अंश है: 15 / 60 = 1/4 = 0.25

अलमारी का वह अंश जो अभी बनाया जाना बाकी है, वह है: 1 - 0.25 = 0.75

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × R × T / 100 है। चूंकि 5 वर्षों में राशि में 75% की वृद्धि होती है, इसलिए साधारण ब्याज SI मूलधन P का 75% है।

0.75 × P = P × R × 5 / 100 R = 75 / 5 = 15% प्रति वर्ष

2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज पर, ब्याज की प्रभावी दर है: प्रभावी दर = R + R + (R × R) / 100 प्रभावी दर = 15 + 15 + (15 × 15) / 100 = 32.25%

इस प्रभावी दर पर 2 वर्षों के लिए रु 40000 का चक्रवृद्धि ब्याज है: CI = 40000 × 32.25% = 40000 × 0.3225 = रु 12900

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के रूप के एक द्विघात समीकरण के लिए, इसके मूलों का योग -b/a सूत्र द्वारा दिया जाता है।

द्विघात समीकरण x² - 5x + 6 = 0 में, गुणांक हैं: a = 1 b = -5 c = 6

सूत्र का उपयोग करके: मूलों का योग = -b/a = -(-5)/1 = 5

समीकरण का गुणनखंड करने से भी इसकी पुष्टि होती है: x² - 5x + 6 = 0 x² - 2x - 3x + 6 = 0 x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 (x - 2)(x - 3) = 0

यह मूल 2 और 3 देता है। इन मूलों का योग 2 + 3 = 5 है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, मान लीजिए छोटी समानांतर भुजा DC = 10 सेमी है और बराबर गैर-समानांतर भुजाएँ AD = BC = 10 सेमी हैं। आधार कोण 45° हैं।

ऊपरी शीर्षों D और C से निचली आधार AB पर लम्ब DP और CQ खींचिए। यह आधार AB को तीन खंडों में विभाजित करता है: AP, PQ, और QB, जहाँ PQ = DC = 10 सेमी।

समकोण त्रिभुज APD में, कोण DAP 45° है और कर्ण AD 10 सेमी है। त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके: ऊंचाई h = DP = AD × sin(45°) = 10 × (1/√2) = 5√2 सेमी आधार खंड x = AP = AD × cos(45°) = 10 × (1/√2) = 5√2 सेमी

चूंकि समलम्ब चतुर्भुज सममित है, QB = AP = 5√2 सेमी। लंबी समानांतर भुजा AB की लंबाई है: AB = AP + PQ + QB = 5√2 + 10 + 5√2 = 10√2 + 10 सेमी

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई क्षेत्रफल = ½ × (AB + DC) × h क्षेत्रफल = ½ × (10√2 + 10 + 10) × 5√2 क्षेत्रफल = ½ × (10√2 + 20) × 5√2 क्षेत्रफल = (5√2 + 10) × 5√2 क्षेत्रफल = 50 + 50√2 वर्ग सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य (CP) लाख रुपये में है।

जब मशीन को 50 लाख रुपये में बेचा जाता है, तो हुआ घाटा है: घाटा = CP - 50

जब मशीन को 60 लाख रुपये में बेचा जाता है, तो हुआ लाभ है: लाभ = 60 - CP

जैसा कि दिया गया है, लाभ पहले के घाटे का 7 गुना है: लाभ = 7 × घाटा

संबंध में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 60 - CP = 7 × (CP - 50) 60 - CP = 7 × CP - 350 8 × CP = 410 CP = 410 / 8 = 51.25 लाख रुपये

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, जिसका सूत्र A = πr² है। जब कोई मात्रा दो चरों के गुणनफल (इस मामले में, r × r) पर निर्भर करती है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + (xy / 100)

यहां, त्रिज्या में 27% की वृद्धि होती है, इसलिए हम सूत्र में x = 27 और y = 27 प्रतिस्थापित करते हैं:

क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 27 + 27 + (27 × 27 / 100) = 54 + 729 / 100 = 54 + 7.29 = 61.29%

व्याख्या

मान लीजिए हरिराम का वेतन H है।

गिरिराज का वेतन G, हरिराम के वेतन का 11/7 गुना दिया गया है: G = (11/7) × H

शेखर का वेतन S, हरिराम के वेतन का 3/4 गुना दिया गया है: S = (3/4) × H

गिरिराज के वेतन का शेखर के वेतन से अनुपात इस प्रकार गणना की जाती है: G / S = ((11/7) × H) / ((3/4) × H) G / S = (11/7) / (3/4) G / S = (11/7) × (4/3) G / S = 44/21

व्याख्या

वर्गों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, योग और अंतर के वर्गों का है: (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

इस सर्वसमिका में a = cos α और b = sin α प्रतिस्थापित करके: (cos α + sin α)² + (cos α - sin α)² = 2(cos² α + sin² α)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² α + sin² α = 1 का उपयोग करके: 2(cos² α + sin² α) = 2 × 1 = 2

व्याख्या

माना माल का क्रय मूल्य CP और अंकित मूल्य L है।

पहली स्थिति में, अंकित मूल्य पर 20% की छूट देने पर विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% (0.8L) होता है। इस सौदे से 16% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि यही विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 84% (0.84CP) के बराबर है।

विक्रय मूल्य के इन दो व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.8L = 0.84CP L = 1.05CP

दूसरी स्थिति में, अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है। नया विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 90% होता है: नया विक्रय मूल्य = 0.9L

सूत्र में L = 1.05CP संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: नया विक्रय मूल्य = 0.9 × 1.05CP = 0.945CP

चूंकि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, इसलिए व्यापारी को हानि होती है। हानि प्रतिशत = (1 - 0.945) × 100 = 5.5%

व्याख्या

30 और 42 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 31, 37 और 41 हैं। ये 1 से बड़ी ऐसी पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या।

इन अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात करना: 31 + 37 + 41 = 109

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धगोले के आयतन (V) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: V / CSA = ((2/3)πr³) / (2πr²) = r/3

त्रिज्या को सीधे हल करने के लिए इस संबंध को पुनर्व्यवस्थित करना: r = 3 × V / CSA

समीकरण में V = 19404 और CSA = 2772 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: r = 3 × 19404 / 2772 r = 3 × 7 r = 21 सेमी

वैकल्पिक रूप से, इसे वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है: 2πr² = 2772 2 × (22/7) × r² = 2772 r² = (2772 × 7) / 44 r² = 441 r = √441 = 21 सेमी

व्याख्या

मानक योग-से-गुणन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, दो कोसाइन के बीच का अंतर इस प्रकार दिया जाता है:

cos C - cos D = -2 sin((C + D)/2) sin((C - D)/2)

साइन फलन के लिए ऋणात्मक कोण सर्वसमिका, sin(-θ) = -sin θ, लागू करके, ऋणात्मक चिह्न को दूसरे साइन पद में शामिल किया जा सकता है:

-sin((C - D)/2) = sin(-(C - D)/2) = sin((D - C)/2)

इस संबंध को मूल सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

cos C - cos D = 2 sin((C + D)/2) sin((D - C)/2)

व्याख्या

दो व्यंजकों 12 - 6x और 4x + 2 के बराबर होने के लिए x का मान ज्ञात करने हेतु, हम रैखिक समीकरण स्थापित करते हैं:

12 - 6x = 4x + 2

हम समीकरण को x वाले पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ समूहित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं। दोनों पक्षों में 6x जोड़ने पर प्राप्त होता है:

12 = 10x + 2

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर प्राप्त होता है:

10 = 10x

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

x = 1

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

क्षेत्रफल(Δ DEF) / क्षेत्रफल(Δ GHI) = (DE / GH)²

दिए गए मानों, DE = 4 सेमी और GH = 9 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल(Δ DEF) / क्षेत्रफल(Δ GHI) = (4 / 9)² = 16 / 81

इस प्रकार, Δ DEF और Δ GHI के क्षेत्रफलों का अनुपात 16:81 है।

व्याख्या

मान लीजिए राजधानी ट्रेन को 816 किमी की यात्रा करने में T घंटे लगते हैं।

पहली शर्त के अनुसार, एक्सप्रेस ट्रेन को राजधानी से 9 घंटे अधिक लगते हैं, इसलिए एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया समय T + 9 घंटे है।

जब ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो समान दूरी तय करने में लगने वाला समय आधा हो जाता है। इसलिए, एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया नया समय (T + 9) / 2 घंटे है।

दूसरी शर्त के अनुसार, यह नया समय राजधानी के समय से 4 घंटे कम है: (T + 9) / 2 = T - 4

T के लिए हल करने पर: T + 9 = 2(T - 4) T + 9 = 2T - 8 T = 17 घंटे

इस प्रकार, राजधानी ट्रेन को 816 किमी की दूरी तय करने में 17 घंटे लगते हैं।

राजधानी की गति = दूरी / समय = 816 / 17 = 48 किमी/घंटा।

व्याख्या

दी गई रेखा का समीकरण y = 2x + 3 है। इसकी तुलना ढलान-अवरोधन रूप y = mx + c से करने पर, इस रेखा का ढलान m₁ 2 है।

चूंकि आवश्यक रेखा दी गई रेखा के लंबवत है, इसलिए उनके ढलानों का गुणनफल -1 होना चाहिए। इसलिए, आवश्यक रेखा m₂ का ढलान संबंध द्वारा दिया गया है: m₁ × m₂ = -1 2 × m₂ = -1 m₂ = -½

रेखा x-अक्ष को -5 पर काटती है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु (-5, 0) से गुजरती है।

एक रैखिक समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके, y - y₁ = m(x - x₁), हम m = -½ और बिंदु (-5, 0) को प्रतिस्थापित करते हैं: y - 0 = -½(x - (-5)) y = -½(x + 5) 2y = -x - 5 x + 2y = -5

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए a = x और b = 2y।

इन मानों को समीकरण के दाहिने पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर: (x + 2y)² - (x - 2y)² = 4(x)(2y) = 8xy

इसे बाएँ पक्ष के बराबर करने पर: 4pxy = 8xy

दोनों पक्षों को 4xy से विभाजित करने पर: p = 8/4 p = 2

व्याख्या

पहले 26 ओवरों में बनाए गए रन = 26 × 5.4 = 140.4

294 रनों के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शेष रन = 294 - 140.4 = 153.6

शेष 24 ओवरों में आवश्यक रन रेट = शेष रन ÷ शेष ओवर = 153.6 ÷ 24 = 6.4 रन/ओवर

व्याख्या

स्पर्शज्या फलन (tangent function) के आवधिक गुणधर्म (periodic property) के अनुसार, किसी भी कोण θ के लिए tan(θ + π) = tan(θ) होता है।

θ = -5π/6 प्रतिस्थापित करने पर:

tan(-5π/6) = tan(-5π/6 + π)

स्पर्शज्या फलन के अंदर के पद को सरल करने पर:

-5π/6 + π = π/6

इससे प्राप्त होता है:

tan(-5π/6) = tan(π/6)

मानक त्रिकोणमितीय मान (standard trigonometric value) का उपयोग करते हुए, tan(π/6) = 1/√3। इसलिए, tan(-5π/6) का मान 1/√3 है।

व्याख्या

समान कुल निर्यात वाले वर्षों के जोड़े को खोजने के लिए, हम संबंधित वर्षों के लिए तीनों कंपनियों के निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2013 के लिए, कंपनी ए, कंपनी बी और कंपनी सी का कुल निर्यात 3000 + 1000 + 4000 = 8000 लाख रुपये है।

वर्ष 2014 के लिए, कंपनी ए, कंपनी बी और कंपनी सी का कुल निर्यात 1000 + 5000 + 2000 = 8000 लाख रुपये है।

चूंकि 2013 और 2014 दोनों में 8000 लाख रुपये का कुल निर्यात बराबर है, इसलिए वर्षों का यह जोड़ा दी गई शर्त को पूरा करता है।