एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या के 7/2 को y से दर्शाया गया है।

प्रश्न कहता है कि इस मान का 9/4, 126 है। इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (9/4) × y = 126

y का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 9/4 के व्युत्क्रम से गुणा करें: y = 126 × (4/9)

विभाजन को सरल बनाना: 126 ÷ 9 = 14

अब, परिणाम को गुणा करें: y = 14 × 4 y = 56

व्याख्या

रत्ना और शांतनु की वर्तमान आयु का अनुपात 5:4 है, और 19 वर्ष बाद, अनुपात 10:9 हो जाता है।

अनुपात इकाइयों की तुलना करके: रत्ना का अनुपात 5 से 10 तक बढ़ जाता है, जो 5 इकाइयों की वृद्धि है। शांतनु का अनुपात 4 से 9 तक बढ़ जाता है, जो भी 5 इकाइयों की वृद्धि है।

चूंकि 19 वर्षों के बीतने पर दोनों के लिए 5 इकाइयों की वृद्धि होती है, हम सीधे स्थापित कर सकते हैं कि: 5 इकाइयाँ = 19 वर्ष

चूंकि रत्ना की वर्तमान आयु प्रारंभिक अनुपात में 5 इकाइयों द्वारा दर्शायी जाती है, रत्ना की वर्तमान आयु 19 वर्ष है।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं:

पहली असमानता: 5 - 5x < 4 - x 5 - 4 < 5x - x 1 < 4x x > 1/4

दूसरी असमानता: 2 - x < 6 - 4x 4x - x < 6 - 2 3x < 4 x < 4/3

दोनों असमानताओं को मिलाने पर मान्य सीमा प्राप्त होती है: 1/4 < x < 4/3

x = 1 को इस सीमा में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 1/4 < 1 < 4/3

यह एक सत्य गणितीय कथन है, जो दर्शाता है कि x = 1 दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या का दहाई का अंक t और इकाई का अंक u है। संख्या को 10t + u के रूप में दर्शाया जाता है।

पहली शर्त के अनुसार, दहाई का अंक इकाई के अंक से 4 अधिक है: t - u = 4

संख्या 73 के लिए, दहाई का अंक 7 है और इकाई का अंक 3 है। उनका अंतर 7 - 3 = 4 है, जो इस शर्त को पूरा करता है।

दूसरी शर्त के अनुसार, संख्या में से 36 घटाने पर अंकों के परस्पर बदलने से बनी संख्या प्राप्त होती है: 10t + u - 36 = 10u + t

मान 73 को प्रतिस्थापित करने पर: 73 - 36 = 37

चूंकि 37 वास्तव में 73 के अंकों को परस्पर बदलने से बनी संख्या है, इसलिए संख्या 73 है।

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर दोनों तब तक समान समय तक दौड़ते हैं जब तक कि पुलिसकर्मी चोर को पकड़ नहीं लेता, उनके द्वारा तय की गई दूरी उनकी संबंधित गति के सीधे आनुपातिक होती है।

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात = पुलिसकर्मी की गति / चोर की गति = 12 / 7

मान लीजिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 12x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 7x है।

उनके द्वारा तय की गई दूरी का अंतर उनके बीच की प्रारंभिक दूरी के बराबर है: 12x - 7x = 450 5x = 450 x = 90

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा दौड़ाई गई दूरी: 7x = 7 × 90 = 630 मीटर

व्याख्या

5 वस्तुओं की खरीद पर, उन्हें संबंधित छूटों का लाभ उठाने के लिए 2 वस्तुओं के एक सेट और 3 वस्तुओं के एक सेट के रूप में समूहीकृत किया जाता है।

5 वस्तुओं का अंकित मूल्य 5 × ₹900 = ₹4500 है।

2 वस्तुओं की खरीद के लिए, ₹1800 के अंकित मूल्य पर 6% की छूट है: छूट 1 = ₹1800 का 6% = ₹108

3 वस्तुओं की खरीद के लिए, ₹2700 के अंकित मूल्य पर 12% की छूट है: छूट 2 = ₹2700 का 12% = ₹324

सभी 5 वस्तुओं पर प्राप्त कुल छूट ₹108 + ₹324 = ₹432 है।

प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रभावी छूट = (कुल छूट / कुल अंकित मूल्य) × 100 प्रभावी छूट = (432 / 4500) × 100 = 9.6%

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(ΔABC) / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (AB / PQ)²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1296 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (36 / 16)²

भुजाओं के अनुपात को सरल करने पर:

36 / 16 = 9 / 4

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

1296 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (9 / 4)²

1296 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = 81 / 16

क्षेत्रफल(ΔPQR) = (1296 × 16) / 81

चूंकि 1296 / 81 = 16:

क्षेत्रफल(ΔPQR) = 16 × 16 = 256 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (6, -3) और (2, -1) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m = (-1 - (-3)) / (2 - 6) m = (-1 + 3) / (-4) m = 2 / (-4) m = -½

चूंकि समानांतर रेखाओं के ढलान बराबर होते हैं, इसलिए दी गई रेखा के समानांतर कोई भी रेखा का ढलान -½ होगा।

व्याख्या

माइक्रोवेव ओवन का अंकित मूल्य (MP) मान लीजिए।

15% की छूट का मतलब है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 85% है: 0.85 × MP = 34000 MP = 34000 / 0.85 = 40000

37.5% की छूट का मतलब है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 62.5% है: नया विक्रय मूल्य = 0.625 × MP नया विक्रय मूल्य = 0.625 × 40000 = 25000

वैकल्पिक रूप से, इसे सीधे अनुपातों का उपयोग करके हल किया जा सकता है: नया विक्रय मूल्य = 34000 × (62.5 / 85) नया विक्रय मूल्य = 34000 × (25 / 34) नया विक्रय मूल्य = 1000 × 25 = 25000

व्याख्या

एक n-कोणीय प्रिज्म में प्रत्येक आधार पर n शीर्ष होते हैं। किसी भी n-कोणीय प्रिज्म के लिए, शीर्षों की संख्या V = 2n द्वारा दी जाती है, और किनारों की संख्या E = 3n द्वारा दी जाती है।

यह देखते हुए कि प्रिज्म में 18 किनारे हैं: 3n = 18 n = 6

n के इस मान का उपयोग करके, शीर्षों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: V = 2n = 2 × 6 = 12

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। चूँकि संख्या में 21 की वृद्धि करने पर वह स्वयं का 114% हो जाती है, इसलिए 21 की वृद्धि संख्या के मान में 14% की वृद्धि को दर्शाती है।

x का 14% = 21 (14 / 100) × x = 21 x = (21 × 100) / 14 x = 3 × 50 x = 150

व्याख्या

माना मिक्सर और माइक्रोवेव ओवन का क्रय मूल्य क्रमशः CP1 और CP2 है।

चूंकि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है, हम उनके क्रय मूल्यों को इस प्रकार संबंधित कर सकते हैं: CP1 × (100 + 32)% = CP2 × (100 - 22)% CP1 × 132% = CP2 × 78% CP1 / CP2 = 78 / 132 = 13 / 22

उनके क्रय मूल्यों CP1 : CP2 का अनुपात 13 : 22 है।

कुल अनुपात भाग 13 + 22 = 35 के बराबर है। चूंकि 13 छोटा अनुपात है, CP1 सस्ती वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है।

सस्ती वस्तु का क्रय मूल्य = (13 / 35) × 36750 = 13 × 1050 = 13650

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

दिया गया है, πr² = 64π r² = 64 r = 8 सेमी

वृत्त का व्यास d = 2r = 2 × 8 = 16 सेमी है।

चूंकि वर्ग की भुजा s वृत्त के व्यास के बराबर है: s = 16 सेमी

वर्ग का क्षेत्रफल s² = 16² = 256 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धगोले का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (2/3) × π × r³

दी गई त्रिज्या r = 14 सेमी का मान रखने पर और π का मान 22/7 लेने पर:

V = (2/3) × (22/7) × 14 × 14 × 14

V = (2/3) × 22 × 2 × 196

V = (2/3) × 8624

V = 17248/3

V ≈ 5749.33 घन सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(-θ) = cos(θ) का उपयोग करके, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

cos(-11π/6) = cos(11π/6)

हम 11π/6 को 2π - π/6 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। कोसाइन फलन के आवर्ती गुणधर्म, cos(2π - θ) = cos(θ) को लागू करने पर:

cos(2π - π/6) = cos(π/6)

cos(π/6) का मानक मान √3/2 है। इससे x का मान √3/2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो कोणों के अंतर के स्पर्शज्या (tangent) के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सूत्र द्वारा दी गई है:

tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB)

इस सूत्र की सीधे दी गई समीकरण से तुलना करने पर:

x = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)

इससे तुरंत यह निष्कर्ष निकलता है कि x = tan(A - B) है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab और संबंध tan A × cot A = 1 का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x = tan²A + cot²A + 2 tan A cot A x = (tan A + cot A)²

tan A और cot A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करके, हमें प्राप्त होता है: tan A + cot A = sin A / cos A + cos A / sin A tan A + cot A = (sin²A + cos²A) / (sin A cos A)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है: tan A + cot A = 1 / (sin A cos A) tan A + cot A = sec A cosec A

इस संबंध को x के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = (sec A cosec A)² x = sec²A cosec²A

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = (इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या / इंजीनियरिंग चुनने वाले कुल छात्र) × 100

डेटा तालिका से, इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या 30 है, और इंजीनियरिंग चुनने वाले लड़कों की संख्या 60 है।

इंजीनियरिंग चुनने वाले कुल छात्र = 60 + 30 = 90

इंजीनियरिंग छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत = (30 / 90) × 100 = (1 / 3) × 100 = 33.33%

व्याख्या

अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक के संचयी उत्पादन में से मार्च के अंत तक के संचयी उत्पादन को घटाते हैं।

मई तक संचयी उत्पादन = 2860 मार्च तक संचयी उत्पादन = 1720

अप्रैल और मई में उत्पादन = मई तक संचयी उत्पादन - मार्च तक संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में उत्पादन = 2860 - 1720 = 1140

व्याख्या

व्यंजक (x + 9)(8 - 5x) में x के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, दो द्विपदों के गुणनफल का विस्तार करें:

(x + 9)(8 - 5x) = x(8 - 5x) + 9(8 - 5x) = 8x - 5x² + 72 - 45x

x वाले समान पदों को संयोजित करें:

= -5x² + (8 - 45)x + 72 = -5x² - 37x + 72

x वाला पद -37x है, जिससे x का गुणांक -37 हो जाता है।

व्याख्या

सप्ताह में जली हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सप्ताह के प्रत्येक दिन की दूरी जोड़कर दौड़ी गई कुल दूरी की गणना करें।

कुल दूरी = 4 + 2.5 + 3.5 + 2 + 4.5 + 2 + 4 = 22.5 किमी

इसके बाद, प्रति किलोमीटर दौड़ने पर जली हुई कैलोरी की संख्या निर्धारित करें। चूँकि हर 5 किमी दौड़ने पर 400 कैलोरी बर्न होती है, इसलिए दर है:

कैलोरी बर्न दर = 400 / 5 = 80 कैलोरी प्रति किमी

अंत में, सप्ताह के दौरान जली हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए दौड़ी गई कुल दूरी को कैलोरी बर्न दर से गुणा करें:

जली हुई कुल कैलोरी = 22.5 × 80 = 1800 कैलोरी

व्याख्या

कुल वार्षिक व्यय की गणना सभी व्यक्तिगत व्यय मदों को जोड़कर की जाती है: कुल व्यय = 5 + 5 + 2 + 5 + 4 = 21

श्रम और ब्याज का संयुक्त व्यय है: श्रम और ब्याज = 5 + 5 = 10

कुल व्यय के संबंध में श्रम और ब्याज का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें: प्रतिशत = (श्रम और ब्याज / कुल व्यय) × 100 प्रतिशत = (10 / 21) × 100 ≈ 47.62%

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: A = P(1 + R/100)ⁿ

जहाँ: A अंतिम राशि है (₹12321) P मूल राशि है (₹10000) n वर्षों की संख्या है (2) R वार्षिक ब्याज दर है

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 12321 = 10000(1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 10000 से विभाजित करने पर: 1.2321 = (1 + R/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √1.2321 = 1 + R/100 1.11 = 1 + R/100

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर: R/100 = 0.11 R = 11%

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x - y)² = x² + y² - 2xy

सूत्र में दिए गए मानों, x - y = -9 और xy = -20 को प्रतिस्थापित करने पर: (-9)² = x² + y² - 2(-20)

81 = x² + y² + 40

दोनों पक्षों से 40 घटाने पर: x² + y² = 81 - 40 x² + y² = 41

व्याख्या

जब दो अलग-अलग गति और यात्रा के समय में अंतर दिया गया हो, तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

दूरी = (v₁ × v₂) / |v₁ - v₂| × Δt

यहाँ, पहली कार की गति v₁ = 36 किमी/घंटा, दूसरी कार की गति v₂ = 54 किमी/घंटा, और समय का अंतर Δt = 3.5 घंटे है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = (36 × 54) / (54 - 36) × 3.5 दूरी = (36 × 54) / 18 × 3.5 दूरी = 2 × 54 × 3.5 दूरी = 108 × 3.5 दूरी = 378 किमी

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है।

अंकों का गुणनफल x × y = 72 है। चूँकि x और y एकल-अंकीय पूर्णांक होने चाहिए, इस शर्त को पूरा करने वाले अंकों के केवल संभावित जोड़े 8 और 9 हैं। इसका मतलब है कि संख्या या तो 89 या 98 होनी चाहिए।

89 में 9 जोड़ने पर 98 प्राप्त होता है, जो 89 के अंकों को आपस में बदलने से बनी संख्या है। यह समस्या की दोनों शर्तों को पूरा करता है।

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, दो अलग-अलग असमानताओं में तोड़कर संयुक्त असमानता को हल करें।

पहली असमानता: 4x - 5(2x - 1) > 2x + 3 4x - 10x + 5 > 2x + 3 -6x + 5 > 2x + 3 -8x > -2 x < 1/4

दूसरी असमानता: 2x + 3 > 2 - 3x 5x > -1 x > -1/5

इन दोनों परिणामों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -1/5 < x < 1/4

सीमाओं को दशमलव के रूप में व्यक्त करना: -0.2 < x < 0.25

मान 0 ही एकमात्र विकल्प है जो इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

औसत बोनस रुपयों में ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी श्रेणियों के कर्मचारियों द्वारा अर्जित कुल बोनस की गणना करें:

1 प्रबंधक के लिए: वार्षिक वेतन = 60 लाख = ₹6,000,000 प्रति प्रबंधक बोनस = ₹6,000,000 का 60% = ₹3,600,000 प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 1 × ₹3,600,000 = ₹3,600,000

5 कार्यकारी के लिए: वार्षिक वेतन = 16 लाख = ₹1,600,000 प्रति कार्यकारी बोनस = ₹1,600,000 का 30% = ₹480,000 कार्यकारी के लिए कुल बोनस = 5 × ₹480,000 = ₹2,400,000

1 प्रशिक्षु के लिए: वार्षिक वेतन = 2 लाख = ₹200,000 प्रति प्रशिक्षु बोनस = ₹200,000 का 20% = ₹40,000 प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 1 × ₹40,000 = ₹40,000

सभी कर्मचारियों का कुल बोनस = ₹3,600,000 + ₹2,400,000 + ₹40,000 = ₹6,040,000

कर्मचारियों की कुल संख्या = 1 + 5 + 1 = 7

औसत बोनस = कुल बोनस / कर्मचारियों की कुल संख्या औसत बोनस = ₹6,040,000 ÷ 7 ≈ ₹862,857.14

व्याख्या

उन वर्षों के जोड़े को खोजने के लिए जिनके लिए तीनों कंपनियों का संयुक्त कुल निर्यात बराबर है, प्रत्येक वर्ष के लिए कंपनी A, कंपनी B और कंपनी C के निर्यात का योग ज्ञात करें:

2011 में कुल निर्यात = 3000 + 2000 + 4000 = 9000 लाख रुपये

2012 में कुल निर्यात = 4000 + 2000 + 3000 = 9000 लाख रुपये

वर्ष 2011 और 2012 दोनों के लिए कुल निर्यात बराबर हैं।

व्याख्या

दी गई श्रृंखला 91 + 92 + 93 + ... + 110 एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) है।

समांतर श्रेणी के योग का सूत्र है: Sₙ = (n / 2) × (a + l)

इस सूत्र में, n पदों की संख्या को, a पहले पद को, और l अंतिम पद को दर्शाता है।

दी गई श्रृंखला के लिए: पहला पद, a = 91 अंतिम पद, l = 110 पदों की संख्या, n = 110 - 91 + 1 = 20

इन मानों को योग सूत्र में रखने पर: S₂₀ = (20 / 2) × (91 + 110) S₂₀ = 10 × 201 S₂₀ = 2010

व्याख्या

दो व्यंजकों के बराबर होने के लिए x का मान ज्ञात करने हेतु, हम उन्हें एक-दूसरे के बराबर रखते हैं:

15x + 4 = 13x - 2

समीकरण के दोनों पक्षों से 13x घटाने पर:

2x + 4 = -2

दोनों पक्षों से 4 घटाने पर:

2x = -6

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें x का मान प्राप्त होता है:

x = -3

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो अलग-अलग गतियों, x और y, पर समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = 2xy / (x + y)

दी गई गतियों x = 70 किमी/घंटा और y = 30 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 70 × 30) / (70 + 30) औसत गति = 4200 / 100 औसत गति = 42 किमी/घंटा

व्याख्या

2011 से 2015 तक 5 वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लाभ और हानि के मानों को जोड़ते हैं:

कुल = (-25) + (-20) + (-5) + 20 + (-20)

नकारात्मक और सकारात्मक मानों को संयोजित करना: कुल = -70 + 20 कुल = -50 करोड़

चूंकि परिणामी योग नकारात्मक है, यह ₹50 करोड़ की शुद्ध हानि का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

किसी वस्तु के मूल्य में r% की कमी के बाद उसके मूल मूल्य को बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100%

दिया गया है कि वस्तु के मूल्य में r = 42% की कटौती की जाती है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (42 / (100 - 42)) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (42 / 58) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (21 / 29) × 100% प्रतिशत वृद्धि = 2100 / 29% प्रतिशत वृद्धि ≈ 72.41%

व्याख्या

किसी मूलधन P पर 2 वर्षों की अवधि के लिए वार्षिक ब्याज दर R पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

यहाँ, अंतर D रु 8 है और ब्याज दर R 4% प्रति वर्ष है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

8 = P × (4 / 100)²

8 = P × (1 / 25)²

8 = P × (1 / 625)

P = 8 × 625

P = 5000

व्याख्या

16 क्विंटल चावल का कुल क्रय मूल्य (CP) = ₹5632

चूंकि परिवहन में 20% चावल खराब हो जाता है, बिक्री के लिए शेष चावल की मात्रा है: शेष चावल = 16 × (1 - 0.20) = 12.8 क्विंटल

25% लाभ कमाने के लिए, वांछित कुल विक्रय मूल्य (SP) है: कुल SP = CP × (1 + लाभ%) = 5632 × 1.25 = ₹7040

प्रति क्विंटल विक्रय दर की गणना वांछित कुल विक्रय मूल्य को शेष चावल की मात्रा से विभाजित करके की जाती है: विक्रय दर = कुल SP ÷ शेष चावल = 7040 ÷ 12.8 = ₹550 प्रति क्विंटल

व्याख्या

सही उत्तर: D

पहली असमानता है: 2 + 4x < 5 - x/2

भिन्न को हटाने के लिए पूरी असमानता को 2 से गुणा करने पर: 4 + 8x < 10 - x 9x < 6 x < 6/9 x < 2/3

दूसरी असमानता है: 3x + 3 > -5 - 3x

x के लिए हल करने पर: 6x > -8 x > -8/6 x > -4/3

दोनों असमानताओं को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -4/3 < x < 2/3

दशमलव रूप में, यह सीमा लगभग है: -1.33 < x < 0.67

मान -1 दोनों शर्तों को पूरा करता है क्योंकि -1.33 < -1 < 0.67।

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक t है और इकाई का अंक u है। संख्या का मान 10t + u है।

पहली शर्त के अनुसार, दहाई का अंक इकाई के अंक से 7 अधिक है: t - u = 7

संख्या 81 के लिए, दहाई का अंक 8 है और इकाई का अंक 1 है। अंतर 8 - 1 = 7 है, जो इस शर्त को पूरा करता है।

जब 81 में से 63 घटाया जाता है: 81 - 63 = 18

संख्या 18, 81 के दहाई और इकाई अंकों के परस्पर बदलने से बनी है, जो दूसरी शर्त को पूरा करती है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Area(Δ DEF) / Area(Δ GHI) = (DE / GH)²

दिया गया है कि DE = 9 सेमी और GH = 16 सेमी, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफलों का अनुपात = (9 / 16)² = 81 / 256

व्याख्या

एक अलमारी बनाने के लिए आवश्यक कुल कार्य को 1 के रूप में दर्शाया गया है।

बढ़ई 48 घंटे में अलमारी बना सकता है, जिसका अर्थ है कि उसके काम करने की दर प्रति घंटा अलमारी का 1/48 है।

12 घंटे में, बढ़ई द्वारा बनाई गई अलमारी का भाग है: 12 / 48 = 1/4 = 0.25

अलमारी का वह भाग जो अभी बनाया जाना बाकी है, वह है: 1 - 0.25 = 0.75

व्याख्या

चौथे वर्ष का राजस्व ज्ञात करने के लिए, हम राजस्व के योग का उपयोग करते हैं।

सभी 7 वर्षों का कुल राजस्व है: 7 × 83 = 581 लाख

पहले 4 वर्षों के राजस्व का योग है: 4 × 78 = 312 लाख

अंतिम 4 वर्षों के राजस्व का योग है: 4 × 90 = 360 लाख

चूंकि चौथे वर्ष को पहले 4 वर्षों और अंतिम 4 वर्षों दोनों में शामिल किया गया है, इसलिए हम इन दोनों योगों को जोड़कर और सभी 7 वर्षों के कुल राजस्व को घटाकर इसका राजस्व ज्ञात कर सकते हैं: चौथे वर्ष का राजस्व = (312 + 360) - 581 = 672 - 581 = 91 लाख

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (7, -2) और (x, 1), और ढलान m = -3/10 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

-3/10 = (1 - (-2)) / (x - 7)

-3/10 = 3 / (x - 7)

तिरछा गुणा करने पर:

-3(x - 7) = 30

दोनों पक्षों को -3 से विभाजित करने पर:

x - 7 = -10

x = -10 + 7

x = -3

व्याख्या

कुल निर्यात में आभूषण का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले तालिका में सूचीबद्ध सभी निर्यातों का कुल मूल्य ज्ञात करते हैं:

कुल निर्यात = 1000 + 725 + 700 + 700 + 700 = 3825 मिलियन अमेरिकी डॉलर

इसके बाद, हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

आभूषण का प्रतिशत = (आभूषण का मूल्य / कुल निर्यात) × 100

आभूषण का प्रतिशत = (1000 / 3825) × 100 ≈ 26.14%

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों पर प्रभावी छूट की गणना क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂) / 100

यहां, प्रारंभिक छूट d₁ = 10% है, और लेनदेन पर 5% का कैशबैक d₂ = 5% की क्रमिक छूट के रूप में कार्य करता है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 10 + 5 - (10 × 5) / 100 प्रभावी छूट = 15 - 50 / 100 प्रभावी छूट = 15 - 0.5 = 14.5%

वैकल्पिक रूप से, यदि वस्तु का अंकित मूल्य 100 माना जाता है: 10% छूट के बाद मूल्य = 100 - 10 = 90 इस मूल्य पर 5% का कैशबैक प्राप्त होता है = 90 का 5% = 4.5 कुल बचत = 10 + 4.5 = 14.5 यह मूल मूल्य 100 पर 14.5% की प्रभावी छूट का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले किसी भी बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि बहुभुज में 12 भुजाएँ हैं, हम सूत्र में n = 12 प्रतिस्थापित करते हैं:

योग = (12 - 2) × 180° योग = 10 × 180° योग = 1800°

व्याख्या

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत समद्विभाजक होते हैं। यदि विकर्ण d₁ और d₂ हैं, तो भुजा की लंबाई a और विकर्णों के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

माना छोटा विकर्ण d₁ = x है। चूँकि एक विकर्ण दूसरे का आधा है, तो बड़ा विकर्ण d₂ = 2x होगा।

दिया गया है कि भुजा की लंबाई a = 20 सेमी है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 20² = (x/2)² + (2x/2)² 400 = x²/4 + x² 400 = 5x²/4 5x² = 1600 x² = 320

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ क्षेत्रफल = ½ × x × 2x क्षेत्रफल = x²

x² का मान प्रतिस्थापित करने पर समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 320 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले के आयतन (V) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

V / CSA = ((2/3)πr³) / (2πr²) = r / 3

त्रिज्या (r) के लिए सीधे हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

r = 3 × V / CSA

दिए गए मानों, V = 19.404 सेमी³ और CSA = 27.72 सेमी² को प्रतिस्थापित करने पर:

r = 3 × 19.404 / 27.72 r = 58.212 / 27.72 r = 2.1 सेमी

व्याख्या

xA = yB = zC के रूप में किसी भी संबंध के लिए, A : B : C अनुपात की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: A : B : C = yz : xz : xy

दिए गए समीकरण में, x = 6, y = 11, और z = 7 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: A : B : C = (11 × 7) : (6 × 7) : (6 × 11) A : B : C = 77 : 42 : 66

यह अपने सरलतम पूर्णांक रूप में सीधा अनुपात देता है।

व्याख्या

कोसाइन फलन एक सम फलन है, जिसका अर्थ है cos(-θ) = cos(θ)। इस गुण का प्रयोग करने पर: cos(-4π/3) = cos(4π/3)

चतुर्थांश सर्वसमिका cos(π + θ) = -cos(θ) का प्रयोग करके, हम 4π/3 को π + π/3 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: cos(4π/3) = cos(π + π/3) = -cos(π/3)

चूंकि cos(π/3) का मानक मान ½ है: -cos(π/3) = -½

इसलिए, x = -½।

व्याख्या

कोटिज्या फलन (cotangent function) की परिभाषा के अनुसार, cot(A + B) को ज्या (sine) और कोटिज्या (cosine) के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: cot(A + B) = cos(A + B) / sin(A + B)

ज्या और कोटिज्या के लिए त्रिकोणमितीय योग सूत्रों (trigonometric sum formulas) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB

इन सूत्रों को भागफल में प्रतिस्थापित करने पर: cot(A + B) = (cosA cosB - sinA sinB) / (sinA cosB + cosA sinB)

दाहिने पक्ष को कोटिज्या के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों में प्रत्येक पद को sinA sinB से विभाजित करते हैं: cot(A + B) = ((cosA cosB / sinA sinB) - (sinA sinB / sinA sinB)) / ((sinA cosB / sinA sinB) + (cosA sinB / sinA sinB))

प्रत्येक पद को सरल बनाने के लिए cotθ = cosθ / sinθ की पहचान लागू करने पर: cot(A + B) = (cotA cotB - 1) / (cotB + cotA)

इस गणितीय पहचान की तुलना दी गई समीकरण से करने पर: x = (cotAcotB - 1) / (cotB + cotA)

इससे सीधे प्राप्त होता है: x = cot(A + B)