एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके x का मान ज्ञात कर सकते हैं। सबसे पहले, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि साइन एक विषम फलन है, जिसका अर्थ है sin(-θ) = -sin(θ)। इससे हमें प्राप्त होता है:

sin(-330°) = -sin(330°)

अगला, हम कोण 330° को 360° - 30° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि चौथे चतुर्थांश में sin(360° - θ) = -sin(θ) होता है, हमारे पास है:

-sin(330°) = -sin(360° - 30°) = -(-sin(30°)) = sin(30°)

sin(30°) का मान ½ होता है। इसलिए, x का मान ½ है।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x² - y² = (x - y)(x + y)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x - y = -7 x + y = 13

x² - y² = (-7) × 13 = -91

व्याख्या

दो अलग-अलग गति, x और y, पर समान दूरी तय करने पर औसत गति का सूत्र है:

औसत गति = 2xy / (x + y)

दिए गए मानों, x = 34 किमी/घंटा और y = 66 किमी/घंटा, को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 34 × 66) / (34 + 66) औसत गति = 4488 / 100 औसत गति = 44.88 किमी/घंटा

व्याख्या

क्रमिक छूट a% और b% के लिए प्रभावी प्रतिशत की गणना क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट = a + b - ab/100

दिए गए मान a = 30 और b = 10 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 30 + 10 - (30 × 10)/100 प्रभावी छूट = 40 - 300/100 प्रभावी छूट = 40 - 3 प्रभावी छूट = 37%

व्याख्या

बेलनाकार पात्र से शंक्वाकार आकार में रेत डालने पर रेत की मात्रा स्थिर रहती है। इसलिए, बेलन का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होता है।

बेलन के आयतन का सूत्र V = πr₁²h₁ है, जहाँ r₁ बेलन की त्रिज्या और h₁ ऊंचाई है।

शंकु के आयतन का सूत्र V = ⅓πr₂²h₂ है, जहाँ r₂ शंकु की त्रिज्या और h₂ ऊंचाई है।

दिया गया है कि r₁ = 5 सेमी, h₁ = 7 सेमी, और r₂ = 8 सेमी:

बेलन का आयतन = π × 5² × 7 = 175π घन सेमी

शंकु का आयतन = ⅓ × π × 8² × h₂ = 64/3 × π × h₂ घन सेमी

दोनों आयतनों को बराबर करने पर:

175π = 64/3 × π × h₂

175 = 64/3 × h₂

h₂ = 175 × 3 / 64

h₂ = 525 / 64 ≈ 8.2 सेमी

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि cosec²A - 1 = cot²A।

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cosecA / √(cosec²A - 1) = cosecA / √(cot²A) = cosecA / cotA

चूंकि cosecA = 1/sinA और cotA = cosA/sinA, व्यंजक इस प्रकार सरल होता है: cosecA / cotA = (1/sinA) / (cosA/sinA) = 1/cosA = secA

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण से कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब कर्ण को दो ऐसे खंडों में विभाजित करता है कि शीर्षलंब का वर्ग इन दो खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। यह संबंध ज्यामितीय माध्य प्रमेय द्वारा दिया गया है:

BD² = AD × DC

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

BD² = 8 × 50 BD² = 400 BD = √400 = 20 सेमी

व्याख्या

हमें दिया गया है: x = secA - tanA

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं secA = 1/cosA और tanA = sinA/cosA का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: x = (1 - sinA)/cosA

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² = (1 - sinA)²/cos²A

सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करके: x² = (1 - sinA)²/(1 - sin²A)

हर को (1 - sinA)(1 + sinA) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: x² = (1 - sinA)²/[(1 - sinA)(1 + sinA)]

अंश और हर से सामान्य पद (1 - sinA) को रद्द करने पर: x² = (1 - sinA)/(1 + sinA)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x = √[(1 - sinA)/(1 + sinA)]

व्याख्या

एक आयत का विकर्ण उसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। किसी भी आयत ABCD के लिए विकर्ण AC के साथ, हम त्रिभुजों ADC और CBA की तुलना कर सकते हैं। आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है AD = CB और DC = BA। विकर्ण AC दोनों त्रिभुजों के लिए एक उभयनिष्ठ भुजा के रूप में कार्य करता है। भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, त्रिभुज ADC, त्रिभुज CBA के सर्वांगसम है (ΔADC ≅ ΔCBA)। इस प्रकार, एक आयत का विकर्ण उसे हमेशा दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

व्याख्या

माना दो भिन्न x और y हैं। x और y मूलों वाली एक द्विघात समीकरण का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: t² - (x + y)t + xy = 0

दिए गए योग -32/15 और गुणनफल -4 को प्रतिस्थापित करने पर: t² - (-32/15)t + (-4) = 0 t² + (32/15)t - 4 = 0

भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 15 से गुणा करने पर: 15t² + 32t - 60 = 0

द्विघात को गुणनखंडित करने के लिए मध्य पद को विभाजित करने पर: 15t² + 50t - 18t - 60 = 0 5t(3t + 10) - 6(3t + 10) = 0 (5t - 6)(3t + 10) = 0

t के लिए हल करने पर दो मूल प्राप्त होते हैं: t = 6/5 और t = -10/3

इस प्रकार, दो भिन्न 6/5 और -10/3 हैं।

व्याख्या

कुल स्टॉक का मूल्य प्रत्येक वस्तु के लिए स्टॉक की मात्रा और उसकी औसत लागत के गुणनफलों का योग है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 52 × 15000 = रु 780000 कैमरे का मूल्य = 76 × 8000 = रु 608000 टीवी का मूल्य = 31 × 51000 = रु 1581000 रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 71 × 26000 = रु 1846000 एसी का मूल्य = 70 × 20000 = रु 1400000

स्टॉक का कुल मूल्य = 780000 + 608000 + 1581000 + 1846000 + 1400000 = रु 6215000

लाख रुपये में मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुल मूल्य को 100000 से विभाजित करें: लाख रुपये में मूल्य = 6215000 / 100000 = 62.15

व्याख्या

2012 में आयात और निर्यात का अनुपात 0.8 है। चूँकि 2012 में आयात 1200 करोड़ रुपये था, 2012 में निर्यात की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 2012 में निर्यात = 2012 में आयात / 0.8 = 1200 / 0.8 = 1500 करोड़ रुपये।

यह देखते हुए कि 2012 और 2013 में कुल निर्यात एक साथ 3200 करोड़ रुपये था, 2013 में निर्यात है: 2013 में निर्यात = 3200 - 1500 = 1700 करोड़ रुपये।

2013 में आयात और निर्यात का अनुपात 1.2 है। इस अनुपात का उपयोग करके, 2013 में आयात की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 2013 में आयात = 2013 में निर्यात × 1.2 = 1700 × 1.2 = 2040 करोड़ रुपये।

व्याख्या

5वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई 105 सेमी है, और 16वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई 175 सेमी है।

5वें जन्मदिन से 16वें जन्मदिन तक ऊंचाई में वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:

ऊंचाई में वृद्धि = 16वें जन्मदिन पर ऊंचाई - 5वें जन्मदिन पर ऊंचाई ऊंचाई में वृद्धि = 175 सेमी - 105 सेमी = 70 सेमी

व्याख्या

फिटनेस बैंड द्वारा रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे तक ट्रैक की गई नींद की कुल अवधि 8 घंटे है।

डेटा तालिका में मान प्रतिशत दर्शाते हैं, क्योंकि उनका योग 25 + 10 + 10 + 15 + 40 = 100% है।

उपयोगकर्ता द्वारा सपना देखने या जागृत रहने में बिताया गया संयुक्त प्रतिशत है: 10% + 40% = 50%

सपना देखने या जागृत रहने में बिताया गया कुल समय है: 8 घंटे × 50% = 4 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या x है।

सही मान 7/6 x है, और प्राप्त गलत मान 6/7 x है।

प्रतिशत त्रुटि का सूत्र है: प्रतिशत त्रुटि = |सही मान - गलत मान| ÷ सही मान × 100

मान रखने पर: प्रतिशत त्रुटि = (7/6 x - 6/7 x) ÷ (7/6 x) × 100 प्रतिशत त्रुटि = (13/42 x) ÷ (7/6 x) × 100 प्रतिशत त्रुटि = 13/42 × 6/7 × 100 प्रतिशत त्रुटि = 13/49 × 100 प्रतिशत त्रुटि = 1300/49 % ≈ 26.53%

व्याख्या

दी गई संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में तोड़कर हल किया जा सकता है।

पहले भाग के लिए: 3x + 4(1-x) > 5x - 2 3x + 4 - 4x > 5x - 2 -x + 4 > 5x - 2 6 > 6x x < 1

दूसरे भाग के लिए: 5x - 2 > 3x - 4 2x > -2 x > -1

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: -1 < x < 1

मूल संयुक्त असमानता में x = 0 रखने पर: 3(0) + 4(1 - 0) > 5(0) - 2 > 3(0) - 4 4 > -2 > -4

चूंकि 4, -2 से बड़ा है और -2, -4 से बड़ा है, इसलिए असमानता सत्य है।

व्याख्या

दूसरे चतुर्थांश में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, cos(180° - θ) = -cos θ:

cos 135° = cos(180° - 45°) = -cos 45°

चूंकि cos 45° का मानक मान 1/√2 है, इसलिए यह देता है:

cos 135° = -1/√2

व्याख्या

तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवास का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलनाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंक्वाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

इस प्रकार, तंबू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 2πrh + πrl = πr(2h + l)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: r = 7 मीटर, h = 8 मीटर, और l = 12 मीटर, π = 22/7 के साथ: क्षेत्रफल = (22/7) × 7 × (2 × 8 + 12) क्षेत्रफल = 22 × (16 + 12) क्षेत्रफल = 22 × 28 क्षेत्रफल = 616 वर्ग मीटर

मोड़ने और सिलाई के लिए अतिरिक्त 20% कैनवास की आवश्यकता है। आवश्यक कुल कैनवास = 616 × (1 + 20/100) आवश्यक कुल कैनवास = 616 × 1.2 आवश्यक कुल कैनवास = 739.2 वर्ग मीटर

व्याख्या

प्रभावी छूट की गणना सीधे 'खरीदो और मुफ्त पाओ' प्रस्तावों के लिए मानक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / कुल वस्तुओं की संख्या) × 100

इस मामले में, 3 शर्ट खरीदने पर 2 शर्ट मुफ्त दी जाती हैं। इसका मतलब है कि ग्राहक को कुल 5 शर्ट (3 भुगतान की गई + 2 मुफ्त) प्राप्त होती हैं, जबकि केवल 3 के लिए भुगतान करना पड़ता है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट % = (2 / 5) × 100 = 40%

प्रति शर्ट ₹600 की कीमत प्रतिशत छूट की गणना के लिए अनावश्यक है, क्योंकि व्यक्तिगत मूल्य की परवाह किए बिना छूट प्रतिशत 40% ही रहता है।

व्याख्या

खरीदी गई चावल की कुल मात्रा 12 क्विंटल है।

चूंकि परिवहन में 15% चावल खराब हो जाता है, बिक्री के लिए उपलब्ध शेष मात्रा है: शेष चावल = 12 × (1 - 0.15) = 12 × 0.85 = 10.2 क्विंटल

चावल का कुल क्रय मूल्य ₹1,870 है। 20% लाभ प्राप्त करने के लिए, कुल विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ प्रतिशत) कुल विक्रय मूल्य = 1870 × 1.20 = ₹2,244

प्रति क्विंटल विक्रय दर, कुल विक्रय मूल्य को चावल की शेष मात्रा से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: विक्रय दर = 2244 / 10.2 = ₹220 प्रति क्विंटल

व्याख्या

कुल संग्रह टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है:

कुल संग्रह = टिकट की कीमत × आगंतुकों की संख्या

मान लीजिए प्रारंभिक टिकट की कीमत और नई टिकट की कीमत क्रमशः 13x और 16x से दर्शाई जाती हैं। इसी प्रकार, मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या और नई आगंतुकों की संख्या क्रमशः 11y और 9y से दर्शाई जाती हैं।

प्रारंभिक कुल संग्रह 13x × 11y = 143xy है।

नया कुल संग्रह 16x × 9y = 144xy है।

प्रारंभिक कुल संग्रह का नए कुल संग्रह से अनुपात 143xy : 144xy है, जो सीधे 143 : 144 तक सरल हो जाता है। चूंकि 144 का नया मान 143 के प्रारंभिक मान से बड़ा है, इसलिए संग्रह में वृद्धि हुई है।

व्याख्या

व्यंजक 486b³x²a⁴z³ / 27a³b²z को सरल करने के लिए, संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करें और चर के लिए घातांक के नियमों को लागू करें, जो कहते हैं कि pᵐ / pⁿ = pᵐ⁻ⁿ।

गुणांकों को विभाजित करना: 486 / 27 = 18

चर a को विभाजित करना: a⁴ / a³ = a⁴⁻³ = a

चर b को विभाजित करना: b³ / b² = b³⁻² = b

चर x को विभाजित करना: x² / 1 = x²

चर z को विभाजित करना: z³ / z = z³⁻¹ = z²

सभी सरलीकृत पदों को मिलाने पर 18bx²az² प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) का y-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके x-निर्देशांक का चिन्ह बदल जाता है जबकि y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है। y-अक्ष में प्रतिबिंब के लिए परिवर्तन नियम है:

(x, y) → (-x, y)

दिए गए बिंदु (4, -5) के निर्देशांकों को परिवर्तन नियम में प्रतिस्थापित करने पर:

x = 4, -4 हो जाता है y = -5, -5 ही रहता है

इससे (-4, -5) के रूप में प्रतिबिंबित निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दो भिन्नों 5/9 और 7/8 का योग ज्ञात करने के लिए, एक सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करें। चूँकि 9 और 8 सह-अभाज्य (coprime) हैं, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 9 × 8 = 72 है।

अंशों (numerators) को तदनुसार समायोजित करना: (5 × 8) / (9 × 8) = 40/72 (7 × 9) / (8 × 9) = 63/72

भिन्नों को जोड़ना: 40/72 + 63/72 = (40 + 63) / 72 = 103/72

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है कि sin²A + cos²A = 1। इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर cos²A = 1 - sin²A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर cosA = √(1 - sin²A) प्राप्त होता है। चूँकि दिया गया व्यंजक x = √(1 - sin²A) है, सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर x = cosA प्राप्त होता है।

व्याख्या

ढलान-अवरोधन रूप में एक रेखा का समीकरण y = mx + c होता है, जहाँ m रेखा का ढलान है और c y-अवरोधन है।

ढलान m, tan(θ) द्वारा दिया जाता है, जहाँ θ धनात्मक x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है। θ = 45° के साथ: m = tan(45°) = 1

समीकरण में ढलान m = 1 और y-अवरोधन c = -3 को प्रतिस्थापित करने पर: y = 1x - 3 y = x - 3

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x - y = 3

व्याख्या

मान लीजिए एक्सप्रेस ट्रेन की गति E किमी/घंटा है और राजधानी ट्रेन की गति R किमी/घंटा है।

672 किमी की यात्रा करने में एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया समय 672/E घंटे है, और राजधानी ट्रेन द्वारा लिया गया समय 672/R घंटे है।

पहली शर्त के आधार पर: 672/E - 672/R = 14

दूसरी शर्त के आधार पर, जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है: 672/R - 672/2E = 8

672/E को x और 672/R को y मानकर, समीकरणों की प्रणाली है: x - y = 14 y - x/2 = 8

पहले समीकरण से, x = y + 14। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: y - (y + 14)/2 = 8 y - y/2 - 7 = 8 y/2 = 15 y = 30

राजधानी ट्रेन की गति ज्ञात करने के लिए y के मान को वापस प्रतिस्थापित करने पर: 672/R = 30 R = 672/30 = 22.4 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए पहली, दूसरी और तीसरी संख्या क्रमशः F, S और T हैं।

समस्या के अनुसार: F = 2S F = 3T

गणना को सरल बनाने के लिए, हम तीनों संख्याओं को एक चर x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि F, 2 और 3 दोनों का गुणज है, मान लीजिए F = 6x। इससे प्राप्त होता है: S = 3x T = 2x

तीन संख्याओं का औसत 517 दिया गया है: (F + S + T) / 3 = 517 (6x + 3x + 2x) / 3 = 517 11x / 3 = 517 11x = 1551 x = 141

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: F - T = 6x - 2x = 4x 4 × 141 = 564

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त राशि आगामी वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है। दो लगातार वर्षों के अंत में प्राप्त राशियों के बीच संबंध है:

A₃ = A₂ × (1 + R/100)

यहाँ, A₂ दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशि है (रु 29160), A₃ तीसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशि है (रु 31492.8), और R ब्याज की दर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

31492.8 = 29160 × (1 + R/100)

1 + R/100 = 31492.8 / 29160

1 + R/100 = 1.08

R/100 = 0.08

R = 8 प्रतिशत

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A = sin A / cos A का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

sin A tan A / (1 - cos A) = sin² A / [cos A (1 - cos A)]

sin² A = 1 - cos² A को प्रतिस्थापित करने पर:

= (1 - cos² A) / [cos A (1 - cos A)]

चूँकि 1 - cos² A को बीजीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके (1 - cos A)(1 + cos A) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, हमें प्राप्त होता है:

= (1 - cos A)(1 + cos A) / [cos A (1 - cos A)]

अंश और हर में उभयनिष्ठ पद (1 - cos A) को रद्द करने पर:

= (1 + cos A) / cos A

अंश में प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:

= 1/cos A + cos A/cos A

= sec A + 1

व्याख्या

योग के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(x + y)² = x² + y² + 2xy

सूत्र में दिए गए मान x + y = 12 और x² + y² = 94 को प्रतिस्थापित करें:

12² = 94 + 2xy

144 = 94 + 2xy

xy वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 94 घटाएं:

2xy = 144 - 94

2xy = 50

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

xy = 25

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं। अंतर्लिखित कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उससे बनाए गए कोण का दोगुना होता है। एक चक्रीय चतुर्भुज के किन्हीं दो सम्मुख कोणों के लिए, उनके संगत अंतःखंडित चाप मिलकर वृत्त की पूरी परिधि बनाते हैं, जो केंद्र पर कुल 360° का कोण बनाती है। इसलिए, इन दो सम्मुख अंतर्लिखित कोणों का योग 360° का आधा होता है, जो 180° के बराबर होता है, जिससे वे संपूरक बन जाते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए सहाय की दक्षता 1 इकाई/दिन है। चूँकि महानथ, सहाय की तुलना में 2 गुना तेज काम करता है, इसलिए महानथ की दक्षता 2 इकाई/दिन है।

कुल काम, सहाय की दक्षता और उसके द्वारा काम पूरा करने में लगने वाले समय का गुणनफल है: कुल काम = 1 इकाई/दिन × 21 दिन = 21 इकाई

महानथ और सहाय द्वारा मिलकर काम करने की संयुक्त दक्षता है: संयुक्त दक्षता = 2 इकाई/दिन + 1 इकाई/दिन = 3 इकाई/दिन

उन्हें मिलकर काम पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: समय = कुल काम ÷ संयुक्त दक्षता = 21 इकाई ÷ 3 इकाई/दिन = 7 दिन

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दी गई शर्तों के अनुसार, अंकों का योग 11 है: x + y = 11

जब संख्या में 45 जोड़ा जाता है, तो अंक आपस में बदल जाते हैं: 10x + y + 45 = 10y + x 9y - 9x = 45 y - x = 5

अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है: x + y = 11 y - x = 5

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2y = 16 y = 8

y = 8 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 8 = 11 x = 3

इस प्रकार, मूल संख्या 38 है।

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत सूत्र का प्रयोग करें:

प्रतिशत = (इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या / इंजीनियरिंग में कुल छात्र) × 100

तालिका से: इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या = 30 इंजीनियरिंग चुनने वाले लड़कों की संख्या = 40

इंजीनियरिंग में छात्रों की कुल संख्या = 40 + 30 = 70

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें:

प्रतिशत = (30 / 70) × 100 = 300 / 7 = 42.86%

व्याख्या

मार्च के अंत तक कारों का संचयी उत्पादन 1650 है, और मई के अंत तक संचयी उत्पादन 2540 है।

अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की संख्या की गणना मई के अंत तक संचयी उत्पादन से मार्च के अंत तक संचयी उत्पादन को घटाकर की जाती है:

अप्रैल और मई में उत्पादन = मई में संचयी उत्पादन - मार्च में संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में उत्पादन = 2540 - 1650 = 890

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक महीने के लिए व्यक्तिगत उत्पादन की गणना की जा सकती है और उनका योग किया जा सकता है: अप्रैल में उत्पादन = 2090 - 1650 = 440 मई में उत्पादन = 2540 - 2090 = 450 अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 440 + 450 = 890

व्याख्या

सप्ताह के दौरान जॉगिंग की गई कुल दूरी दैनिक दूरियों का योग है: 3.5 + 0.5 + 2 + 1.5 + 1.5 + 1 + 2 = 12 किमी

चूंकि 5 किमी जॉगिंग करने से 400 कैलोरी बर्न होती है, इसलिए कैलोरी बर्न की दर है: 400 / 5 = 80 कैलोरी प्रति किमी

सप्ताह के दौरान बर्न हुई कुल कैलोरी की गणना के लिए कुल दूरी को इस दर से गुणा करने पर: 12 × 80 = 960 कैलोरी

व्याख्या

किराया और कर के व्यय को कुल वार्षिक व्यय के सापेक्ष प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = (किराया और कर पर व्यय ÷ कुल व्यय) × 100

सबसे पहले, सभी दी गई मदों के व्यय को जोड़कर कुल वार्षिक व्यय की गणना करें: कुल व्यय = 5 + 4 + 2 + 6 + 4 = 21 लाख

अगला, किराया और कर के संयुक्त व्यय का पता लगाएं: किराया और कर = 2 + 4 = 6 लाख

अब, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: प्रतिशत = (6 ÷ 21) × 100 प्रतिशत = (2 ÷ 7) × 100 प्रतिशत ≈ 28.57%

व्याख्या

असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए, इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है।

पहला भाग: 2(5x - 4) - 2 < 2x - 1 10x - 8 - 2 < 2x - 1 10x - 10 < 2x - 1 8x < 9 x < 9/8

दूसरा भाग: 2x - 1 < 4x - 2 1 < 2x x > 1/2

इन दो असमानताओं को मिलाने पर x की सीमा प्राप्त होती है: 1/2 < x < 9/8 0.5 < x < 1.125

मान x = 1 इस संबंध को संतुष्ट करता है। मूल असमानता में x = 1 रखने पर: 2(5(1) - 4) - 2 < 2(1) - 1 < 4(1) - 2 0 < 1 < 2

व्याख्या

पहले, वर्ग पद का विस्तार करें: (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25

अगला, इस परिणाम को (4x - 1) से गुणा करें: (4x² + 20x + 25)(4x - 1) = 4x²(4x - 1) + 20x(4x - 1) + 25(4x - 1) = 16x³ - 4x² + 80x² - 20x + 100x - 25 = 16x³ + 76x² + 80x - 25

अब, दूसरे बहुपद को इस परिणाम से घटाएं: (16x³ + 76x² + 80x - 25) - (3x³ - 16x² + 25x - 21) = (16 - 3)x³ + (76 - (-16))x² + (80 - 25)x + (-25 - (-21)) = 13x³ + (76 + 16)x² + 55x - 25 + 21 = 13x³ + 92x² + 55x - 4

व्याख्या

जब गोले को पानी में पूरी तरह से डुबोया जाता है, तो बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी की मात्रा गोले के आयतन के बराबर होती है।

गोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = 4/3 × π × r_s³ जहाँ r_s गोले की त्रिज्या है, जो 7 सेमी है।

सिलेंडर में विस्थापित पानी का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V = π × r_c² × h जहाँ r_c सिलेंडर की त्रिज्या है, जो 8 सेमी है, और h पानी के स्तर में वृद्धि है।

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π × r_c² × h = 4/3 × π × r_s³

दोनों तरफ से π को रद्द करने पर, समीकरण बन जाता है: r_c² × h = 4/3 × r_s³

दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर: 8² × h = 4/3 × 7³ 64 × h = 4/3 × 343 64 × h = 1372/3 h = 1372 / (3 × 64) h = 1372 / 192 h ≈ 7.15 सेमी

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

सर्वसमिका में दिए गए मानों, a - b = 6 और ab = 16 को प्रतिस्थापित करने पर: a³ - b³ = 6³ + 3 × 16 × 6 a³ - b³ = 216 + 288 a³ - b³ = 504

वैकल्पिक रूप से, निरीक्षण द्वारा, हम दो ऐसी संख्याएँ पाते हैं जिनका अंतर 6 और गुणनफल 16 है। ये संख्याएँ a = 8 और b = 2 हैं, क्योंकि 8 - 2 = 6 और 8 × 2 = 16। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ - b³ = 8³ - 2³ a³ - b³ = 512 - 8 a³ - b³ = 504

व्याख्या

मान लीजिए जैकिशन की दक्षता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूंकि वह 15 घंटे में काम पूरा करता है, इसलिए कुल काम 15 इकाई है।

जान्हवी जैकिशन से 50% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि उसकी दक्षता प्रति घंटा 1.5 इकाई है।

एक साथ काम करते समय, उनकी संयुक्त दक्षता 1 + 1.5 = 2.5 इकाई प्रति घंटा है।

उन दोनों द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लिया गया समय है: समय = कुल काम ÷ संयुक्त दक्षता = 15 ÷ 2.5 = 6 घंटे।

व्याख्या

माना कि संख्या x है।

संख्या में 34 जोड़ने पर वह स्वयं का 117% हो जाती है। इसका मतलब है कि 34 की वृद्धि संख्या के मूल 100% मान पर 17% की वृद्धि को दर्शाती है।

हम प्रतिशत संबंध स्थापित कर सकते हैं: x का 17% = 34 (17 / 100) × x = 34 x = (34 × 100) / 17 x = 2 × 100 x = 200

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक मध्य बिंदु सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:

( (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2 )

इस सूत्र में C(0, -3) और D(8, 5) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:

x-निर्देशांक = (0 + 8)/2 = 4

y-निर्देशांक = (-3 + 5)/2 = 1

यह मध्य बिंदु के निर्देशांक (4, 1) देता है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान सूत्र m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) द्वारा दिया जाता है।

बिंदुओं (-1, x) और (3, 0) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m₁ है: m₁ = (0 - x) / (3 - (-1)) = -x / 4

बिंदुओं (5, 2) और (4, 4) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m₂ है: m₂ = (4 - 2) / (4 - 5) = 2 / -1 = -2

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलानों का गुणनफल -1 हो, जिसे सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है: m₁ × m₂ = -1

इस संबंध में ढलानों को प्रतिस्थापित करने पर: (-x / 4) × (-2) = -1 2x / 4 = -1 x / 2 = -1 x = -2

व्याख्या

माना कोण का माप x है।

दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग 180° हो। इसलिए, x का संपूरक कोण 180° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने संपूरक कोण से 70° छोटा है:

(180° - x) - x = 70°

180° - 2x = 70°

2x = 180° - 70°

2x = 110°

x = 55°

इस प्रकार, कोण का माप 55° है।

व्याख्या

प्रभावी वार्षिक ब्याज दर (r_eff) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

r_eff = (1 + r/m)ᵐ - 1

जहाँ r नाममात्र वार्षिक ब्याज दर है और m प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है।

दिया गया है कि नाममात्र दर r 7% प्रति वर्ष (0.07) है और चक्रवृद्धि अर्ध-वार्षिक (m = 2) की जाती है:

r_eff = (1 + 0.07/2)² - 1 r_eff = (1 + 0.035)² - 1 r_eff = 1.035² - 1 r_eff = 1.071225 - 1 r_eff = 0.071225

इस मान को प्रतिशत में बदलने पर प्राप्त होता है:

r_eff = 0.071225 × 100 = 7.1225%

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, प्रभावी वार्षिक दर 7.12% है।

व्याख्या

मान लीजिए दो भिन्न x और y हैं।

भिन्नों का योग x + y = -13/40 है, और उनका गुणनफल xy = -9/10 है।

भिन्नों 4/5 और -9/8 के लिए:

योग = 4/5 + (-9/8) इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो 40 है: 4/5 = 32/40 -9/8 = -45/40 योग = 32/40 - 45/40 = -13/40

गुणनफल = 4/5 × (-9/8) गुणनफल = (4 × -9) / (5 × 8) = -36/40 अंश और हर को 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: गुणनफल = -9/10

दी गई दोनों शर्तें पूरी होती हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कमीज़ का क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) है।

जब 50% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य है: SP₁ = MP × (1 - 0.50) = 0.5 × MP

चूंकि इस बिक्री से 25% का लाभ होता है, विक्रय मूल्य को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है: SP₁ = CP × (1 + 0.25) = 1.25 × CP

SP₁ के लिए दो व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.5 × MP = 1.25 × CP MP = (1.25 / 0.5) × CP = 2.5 × CP

जब छूट को 10% में बदला जाता है, तो नया विक्रय मूल्य है: SP₂ = MP × (1 - 0.10) = 0.9 × MP

MP = 2.5 × CP को प्रतिस्थापित करने पर: SP₂ = 0.9 × 2.5 × CP = 2.25 × CP

लाभ इस नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP₂ - CP = 2.25 × CP - CP = 1.25 × CP

इस लाभ को क्रय मूल्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर: लाभ % = (1.25 × CP / CP) × 100 = 125%