एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समीकरण 7A = 5B = 2C से अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक चर को एक स्थिरांक k के पदों में व्यक्त करते हैं:

7A = 5B = 2C = k

इससे प्राप्त होता है: A = k/7 B = k/5 C = k/2

इस प्रकार, अनुपात A : B : C है: A : B : C = 1/7 : 1/5 : 1/2

इस अनुपात को पूर्णांकों में व्यक्त करने के लिए, हम प्रत्येक पद को हर (7, 5, और 2) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 70 है:

A : B : C = (1/7 × 70) : (1/5 × 70) : (1/2 × 70) A : B : C = 10 : 14 : 35

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या N अभाज्य है या नहीं, हम √N से छोटी या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं से उसकी विभाज्यता का परीक्षण करते हैं।

N = 731 के लिए, √731 लगभग 27.04 है। 27 से छोटी या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 23 हैं।

इन अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता का परीक्षण: 731 ÷ 17 = 43

चूंकि 731, 17 और 43 से विभाज्य है, इसके 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड हैं, जो इसे अभाज्य संख्या के बजाय एक भाज्य संख्या बनाते हैं।

व्याख्या

औसत लागत = (सभी मशीनों की कुल लागत) / (मशीनों की कुल संख्या)

कारखाने ने कुल 7 मशीनें खरीदीं, जिनमें शामिल हैं: मशीन A की 2, ₹95,000 प्रत्येक पर मशीन B की 2, ₹75,000 प्रत्येक पर मशीन C की 3 (7 - 2 - 2 = 3), ₹43,000 प्रत्येक पर

कुल लागत = (2 × 95000) + (2 × 75000) + (3 × 43000) कुल लागत = 190000 + 150000 + 129000 कुल लागत = ₹469000

औसत लागत = 469000 / 7 = ₹67000

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों व्यंजकों को एक-दूसरे के बराबर सेट करें: 7x + 13 = 13x - 7

चर x को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: 13 + 7 = 13x - 7x 20 = 6x

दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करके x के लिए हल करें: x = 20/6

अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करें, जिससे प्राप्त होता है: x = 10/3

व्याख्या

A कार्य को 15 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए A की एक दिन की कार्य दर 1/15 है। B कार्य को 9 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए B की एक दिन की कार्य दर 1/9 है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो प्रति दिन उनकी संयुक्त कार्य दर है: 1/15 + 1/9 = 3/45 + 5/45 = 8/45

5 दिनों में, उनके द्वारा एक साथ पूरा किया गया कुल कार्य है: 5 × 8/45 = 40/45 = 8/9

शेष कार्य का अंश कुल कार्य में से पूरा किए गए कार्य को घटाकर प्राप्त होता है: 1 - 8/9 = 1/9

व्याख्या

256a²b²c² को 64a² से विभाजित करने के लिए, हम संख्यात्मक गुणांकों और बीजीय चर को अलग-अलग विभाजित करते हैं:

(256a²b²c²) / (64a²) = (256/64) × (a²/a²) × b² × c²

गुणांकों को विभाजित करने पर, 256 ÷ 64 = 4। चर पदों को विभाजित करने पर, a² / a² = 1, शेष चर b² और c² अपरिवर्तित रहते हैं।

इन सरलीकृत भागों को एक साथ गुणा करने पर 4 × 1 × b² × c² = 4b²c² प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 8 किमी/घंटा + 13 किमी/घंटा = 21 किमी/घंटा

रहमान और रोमा को मिलने में लगा समय 36 मिनट है। इस समय को घंटों में बदलने पर:

समय = 36/60 घंटे = 0.6 घंटे

उनके बीच की प्रारंभिक दूरी उनकी सापेक्ष गति और मिलने में लगे समय का गुणनफल है:

दूरी = सापेक्ष गति × समय = 21 किमी/घंटा × 0.6 घंटे = 12.6 किमी

व्याख्या

दो वर्षों का साधारण ब्याज (SI) ₹4800 है। चूँकि साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष के लिए बराबर होता है, पहले वर्ष में अर्जित ब्याज है: पहले वर्ष का ब्याज = 4800 / 2 = ₹2400

पहले वर्ष के लिए, साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) दोनों बराबर होते हैं। दो-वर्ष की अवधि में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है: अंतर = CI - SI = 5088 - 4800 = ₹288

₹288 का यह अंतर पहले वर्ष (₹2400) में संचित ब्याज पर दूसरे वर्ष में अर्जित ब्याज है।

ब्याज की दर (R) ज्ञात करने के लिए ब्याज सूत्र का उपयोग करना: ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100 288 = (2400 × R × 1) / 100 288 = 24 × R R = 288 / 24 = 12%

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

दी गई शर्तों के आधार पर, उनके अंकों का अंतर 24 है: x - y = 24

उच्च अंक, x, उनके अंकों के योग का 65% है: x = 0.65 × (x + y) x = 0.65x + 0.65y 0.35x = 0.65y 7x = 13y x = 13y / 7

x का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (13y / 7) - y = 24 6y / 7 = 24 y = 28

y = 28 को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 28 + 24 = 52

दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 52 और 28 हैं।

व्याख्या

पहली असमानता को हल करना: 3x - 4 > 2 - x/3

भिन्न को हटाने के लिए पूरी असमानता को 3 से गुणा करना: 9x - 12 > 6 - x 10x > 18 x > 1.8

दूसरी असमानता को हल करना: 3x + 5 > 4x - 5 10 > x x < 10

दोनों परिणामों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: 1.8 < x < 10

मान 7 एकमात्र विकल्प है जो दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करते हुए, 1.8 और 10 के बीच स्थित है।

व्याख्या

जब D% की छूट पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध P% लाभ देता है, तो सूत्र द्वारा दिया जाता है:

MP/CP = (100 + P) / (100 - D)

पहले परिदृश्य में, 25% की छूट पर 32% का लाभ होता है:

MP/CP = (100 + 32) / (100 - 25) = 132 / 75 = 44 / 25

दूसरे परिदृश्य में, 17% की छूट के साथ, नया लाभ प्रतिशत P मान लीजिए:

MP/CP = (100 + P) / (100 - 17)

MP/CP = 44/25 का मान रखने पर:

44 / 25 = (100 + P) / 83

100 + P = (44 × 83) / 25

100 + P = 3652 / 25

100 + P = 146.08

P = 46.08

व्याख्या

x - y का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

दूसरे समीकरण से, x के पदों में y को व्यक्त करें: y = 4x - 24

पहले समीकरण में y के लिए इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करें: 3x + 2(4x - 24) = 7 3x + 8x - 48 = 7 11x = 55 x = 5

y ज्ञात करने के लिए x का मान वापस प्रतिस्थापित करें: y = 4(5) - 24 y = -4

अब, x - y का मान ज्ञात करें: x - y = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (4, -2) और (-3, 5) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m = (5 - (-2)) / (-3 - 4) m = 7 / -7 m = -1

समानांतर रेखाओं के ढलान हमेशा समान होते हैं। इसलिए, इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समानांतर किसी भी रेखा का ढलान भी -1 होना चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए वॉशिंग मशीन का अंकित मूल्य MP है।

24% की छूट पर, विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 76% होता है: MP का 76% = 38000 MP = 38000 × 100 / 76 = 50000

40% की छूट पर, नया विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 60% होगा: नया विक्रय मूल्य = 50000 का 60% = 50000 × 60 / 100 = 30000

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक (convex polyhedron) के लिए यूलर के सूत्र के अनुसार: F + V - E = 2

जहाँ F फलकों की संख्या है, V शीर्षों की संख्या है, और E किनारों की संख्या है।

एक नियमित द्वादशफलक (regular dodecahedron) में 12 पंचकोणीय फलक होते हैं, इसलिए F = 12। यह दिया गया है कि शीर्षों की संख्या V = 20 है, हम किनारों की संख्या ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

12 + 20 - E = 2 32 - E = 2 E = 30

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा x है। वर्ग का क्षेत्रफल x² = 15√3 द्वारा दिया गया है।

वर्ग का विकर्ण d उसकी भुजा से सूत्र d = √2 x द्वारा संबंधित है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर d² = 2x² प्राप्त होता है। x² का मान प्रतिस्थापित करने पर: d² = 2 × 15√3 = 30√3

चूंकि वर्ग का विकर्ण समबाहु त्रिभुज की भुजा s के बराबर है, हमारे पास s = d है, जिसका अर्थ है s² = d² = 30√3।

भुजा s वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4) s²

s² का मान प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = (√3/4) × 30√3 = (30 × 3) / 4 = 90/4 = 45/2 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (CSA) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = π × r × l

जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3080 = (22/7) × r × 35 3080 = 110 × r r = 28 सेमी

शंकु का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) निम्न द्वारा दिया जाता है: TSA = CSA + π × r²

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 3080 + (22/7) × 28 × 28 TSA = 3080 + 22 × 4 × 28 TSA = 3080 + 2464 TSA = 5544 वर्ग सेमी

व्याख्या

कोण 11π/6 को 2π - π/6 के रूप में लिखा जा सकता है, जो चौथे चतुर्थांश में स्थित है। चौथे चतुर्थांश में, cosecant फलन ऋणात्मक होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec(2π - θ) = -cosec θ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

cosec(11π/6) = cosec(2π - π/6) = -cosec(π/6)

चूंकि sin(π/6) = ½ है, cosecant मान cosec(π/6) = 1/sin(π/6) = 2 है। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:

-cosec(π/6) = -2

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय योग और अंतर सर्वसमिकाओं द्वारा:

cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर:

cos(A + B) + cos(A - B) = (cos A cos B - sin A sin B) + (cos A cos B + sin A sin B)

sin A sin B पद रद्द हो जाता है, जिससे बचता है:

cos(A + B) + cos(A - B) = 2 cos A cos B

व्याख्या

हम दिए गए व्यंजक को सरल करके शुरू करते हैं:

1 / (tanA + cotA)

मूल त्रिकोणमितीय संबंधों tanA = sinA/cosA और cotA = cosA/sinA का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

tanA + cotA = sinA/cosA + cosA/sinA = (sin²A + cos²A) / (sinA cosA)

चूंकि sin²A + cos²A = 1, यह सरल हो जाता है:

tanA + cotA = 1 / (sinA cosA)

इसलिए, व्यंजक का व्युत्क्रम है:

1 / (tanA + cotA) = sinA cosA

अब, हम व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:

(cosecA - sinA)(secA - cosA)

संबंधों cosecA = 1/sinA और secA = 1/cosA का उपयोग करते हुए, हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

cosecA - sinA = 1/sinA - sinA = (1 - sin²A) / sinA = cos²A / sinA

secA - cosA = 1/cosA - cosA = (1 - cos²A) / cosA = sin²A / cosA

इन दो सरल पदों को एक साथ गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(cosecA - sinA)(secA - cosA) = (cos²A / sinA) × (sin²A / cosA) = sinA cosA

चूंकि दोनों व्यंजक sinA cosA के बराबर सरल होते हैं, वे बराबर हैं।

व्याख्या

भार-ऊंचाई अनुपात, भार को ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है।

अरुषी के लिए, अनुपात = 52 ÷ 1.68 ≈ 30.95 है।

अन्य के लिए अनुपात निम्नलिखित हैं: अरुणा: 79 ÷ 1.61 ≈ 49.07 आर्या: 52 ÷ 1.5 ≈ 34.67 आशा: 53 ÷ 1.63 ≈ 32.52

इन मूल्यों की तुलना करने पर, अरुषी का अनुपात सबसे कम है।

व्याख्या

दी गई तालिका के आधार पर, सबसे कम प्रतिशत लाभ 5% है, जो वर्ष 2012 में हुआ था।

राजस्व, व्यय और लाभ प्रतिशत के बीच मानक सूत्र है:

राजस्व = व्यय × (1 + लाभ प्रतिशत/100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

व्यय = 575 लाभ प्रतिशत = 5

राजस्व = 575 × (1 + 5/100) राजस्व = 575 × 1.05 राजस्व = 603.75

उस वर्ष कंपनी का राजस्व 603.75 करोड़ रुपये था।

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

माध्य = Σ(f × x) / Σf

जहाँ x बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या को दर्शाता है।

बच्चों की कुल संख्या की गणना, Σ(f × x): कुल बच्चे = (0 × 4) + (1 × 13) + (2 × 17) + (3 × 5) = 0 + 13 + 34 + 15 = 62

घरों की कुल संख्या की गणना, Σf: कुल घर = 4 + 13 + 17 + 5 = 39

औसत की गणना: औसत = 62 / 39 ≈ 1.59

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी कुल शेयर 6,00,000 (छह लाख) हैं।

धीरज की वर्तमान हिस्सेदारी कुल शेयरों का 5% है।

धीरज की वर्तमान शेयरों की संख्या = 6,00,000 का 5% = (5 ÷ 100) × 6,00,000 = 30,000 शेयर।

जब चिन्मय धीरज को 15,000 शेयर बेचता है, तो धीरज द्वारा रखे गए शेयरों की कुल संख्या हो जाती है: 30,000 + 15,000 = 45,000 शेयर।

व्याख्या

दी गई श्रृंखला 91 + 92 + 93 + ... + 140 एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसका पहला पद a = 91, अंतिम पद l = 140, और सार्व अंतर d = 1 है।

इस श्रेणी में पदों की संख्या (n) है: n = (140 - 91) + 1 = 50

एक समांतर श्रेणी का योग (Sₙ) सूत्र द्वारा दिया जाता है: Sₙ = n/2 × (a + l)

सूत्र में मान रखने पर: S₅₀ = 50/2 × (91 + 140) S₅₀ = 25 × 231 S₅₀ = 5775

व्याख्या

9 लगातार वर्षों का कुल राजस्व है: 9 × 80 = 720 लाख

पहले 5 वर्षों का कुल राजस्व है: 5 × 75 = 375 लाख

अंतिम 5 वर्षों का कुल राजस्व है: 5 × 87 = 435 लाख

चूंकि 5वां वर्ष पहले 5 वर्षों और अंतिम 5 वर्षों दोनों में सामान्य है, इसलिए इन दो योगों को एक साथ जोड़ने पर इसका राजस्व दो बार शामिल किया जाता है।

5वें वर्ष का राजस्व है: (पहले 5 वर्षों का कुल + अंतिम 5 वर्षों का कुल) - 9 वर्षों का कुल = (375 + 435) - 720 = 810 - 720 = 90 लाख रुपये

व्याख्या

माना चयनित उम्मीदवारों की संख्या 3x है और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या x है। मूल रूप से आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 3x + x = 4x है।

यदि 60 कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया होता, तो आवेदकों की नई कुल संख्या 4x - 60 होती।

यदि 30 कम उम्मीदवारों का चयन होता, तो चयनित उम्मीदवारों की नई संख्या 3x - 30 होती।

अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या नए कुल आवेदित और नए चयनित के बीच का अंतर है: (4x - 60) - (3x - 30) = x - 30

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 5:1 है। इस संबंध को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है: (3x - 30) / (x - 30) = 5 / 1

x के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 3x - 30 = 5(x - 30) 3x - 30 = 5x - 150 2x = 120 x = 60

मूल रूप से आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या है: 4 × 60 = 240

व्याख्या

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: cos A = 2 cos²(A/2) - 1 cos A = 1 - 2 sin²(A/2)

इन्हें अर्ध-कोण पदों को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: 1 + cos A = 2 cos²(A/2) 1 - cos A = 2 sin²(A/2)

पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करने पर: (1 + cos A) / (1 - cos A) = [2 cos²(A/2)] / [2 sin²(A/2)] (1 + cos A) / (1 - cos A) = cot²(A/2)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: cot(A/2) = √[(1 + cos A) / (1 - cos A)]

cot(A/2) = x प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = √[(1 + cos A) / (1 - cos A)]

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए व्यंजक को (1 - cos A) से अंश और हर दोनों को गुणा करके सरल कर सकते हैं:

x = (1 - cos A) / (1 + cos A)

अंश और हर को (1 - cos A) से गुणा करने पर:

x = ((1 - cos A)(1 - cos A)) / ((1 + cos A)(1 - cos A))

x = (1 - cos A)² / (1 - cos² A)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - cos² A = sin² A का उपयोग करने पर:

x = (1 - cos A)² / sin² A

x = ((1 - cos A) / sin A)²

x = (1/sin A - cos A/sin A)²

संबंध cosec A = 1/sin A और cot A = cos A/sin A का उपयोग करने पर:

x = (cosec A - cot A)²

चूंकि (cosec A - cot A)² , (cot A - cosec A)² के बराबर है, हमें प्राप्त होता है:

x = (cot A - cosec A)²

व्याख्या

मान लीजिए मनजीत की दक्षता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूँकि वह 18 घंटे में काम पूरा करता है, इसलिए कुल काम 18 इकाई है। जया मनजीत से 100% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि उसकी दक्षता 1 + (1 का 100%) = 2 इकाई प्रति घंटा है। जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त दक्षता 1 + 2 = 3 इकाई प्रति घंटा होती है। 3 इकाई प्रति घंटा की संयुक्त दक्षता के साथ 18 इकाई के कुल काम को पूरा करने में लगने वाला समय 18 ÷ 3 = 6 घंटे के रूप में गणना की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए शहर A और शहर B के बीच की दूरी d है। दूरी, गति और समय के अंतर Δt के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

d = (s₁ × s₂ × Δt) / (s₂ - s₁)

दिए गए मानों, गति s₁ = 30 किमी/घंटा, गति s₂ = 36 किमी/घंटा, और समय अंतर Δt = 3 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर:

d = (30 × 36 × 3) / (36 - 30) d = 3240 / 6 d = 540 किमी

व्याख्या

मिश्रण के नियम (alligation) को लागू करके, 13% लाभ और 23% लाभ पर बेची गई मात्राओं का अनुपात उनके संबंधित लाभ प्रतिशत के समग्र औसत लाभ प्रतिशत के सापेक्ष अंतर द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अनुपात = (23 - 17) : (17 - 13) = 6 : 4 = 3 : 2

गेहूं की कुल मात्रा 12 क्विंटल है। चूँकि 1 क्विंटल 100 किग्रा के बराबर होता है, इसलिए कुल वजन 1200 किग्रा है।

23% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा इस प्रकार दी गई है:

(2 / (3 + 2)) × 1200 = 2/5 × 1200 = 480 किग्रा

व्याख्या

प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत त्रुटि = (|सही मान - गलत मान| ÷ सही मान) × 100

मान लीजिए संख्या x है।

सही गणना होनी चाहिए थी: सही मान = (13/6)x

छात्र द्वारा की गई वास्तविक गणना है: गलत मान = (6/13)x

गणना में निरपेक्ष त्रुटि है: त्रुटि = (13/6)x - (6/13)x त्रुटि = (169 - 36)x ÷ 78 त्रुटि = 133x ÷ 78

अब, प्रतिशत त्रुटि सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: प्रतिशत त्रुटि = ((133x ÷ 78) ÷ (13x ÷ 6)) × 100 प्रतिशत त्रुटि = (133 ÷ 78) × (6 ÷ 13) × 100 प्रतिशत त्रुटि = (133 ÷ 169) × 100 प्रतिशत त्रुटि = 13300 ÷ 169 प्रतिशत त्रुटि ≈ 78.7%

व्याख्या

सबसे पहले, 10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए रु. 10000 पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें। 10% पर 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी दर = 10 + 10 + (10 × 10) / 100 = 21%

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = रु. 10000 का 21% = (21 / 100) × 10000 = रु. 2100

प्रश्न के अनुसार, धनराशि पर साधारण ब्याज (SI) इस चक्रवृद्धि ब्याज का आधा है:

SI = 2100 / 2 = रु. 1050

साधारण ब्याज का सूत्र है:

SI = (P × R × T) / 100

जहाँ P मूल धनराशि है, R ब्याज की दर है (14% प्रति वर्ष), और T समय अवधि है (3 वर्ष)। ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1050 = (P × 14 × 3) / 100

1050 = 42 × P / 100

P = (1050 × 100) / 42

P = 25 × 100 = रु. 2500

व्याख्या

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

दिया गया है कि अंकित मूल्य ₹1250 है और विक्रय मूल्य ₹1000 है:

छूट = 1250 - 1000 = ₹250

छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100

छूट प्रतिशत = (250 / 1250) × 100 = (1/5) × 100 = 20%

व्याख्या

जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरे ठोस आकार में ढाला जाता है, तो उसका कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है।

r त्रिज्या और h₁ ऊंचाई वाले बेलन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_बेलन = π × r² × h₁

समान त्रिज्या r और ऊंचाई h₂ वाले शंकु का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_शंकु = ⅓ × π × r² × h₂

चूंकि बेलन को पिघलाकर शंकु में ढाला गया है, इसलिए दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π × r² × h₁ = ⅓ × π × r² × h₂

दोनों पक्षों से π × r² को रद्द करने पर प्राप्त होता है: h₁ = ⅓ × h₂

शंकु की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए इस संबंध को पुनर्व्यवस्थित करने पर: h₂ = 3 × h₁

बेलन की दी गई ऊंचाई, h₁ = 9 सेमी, को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: h₂ = 3 × 9 = 27 सेमी

व्याख्या

चूंकि PQ, BC के समानांतर है, इसलिए कोण-कोण समरूपता (Angle-Angle similarity) द्वारा त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है।

इन समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात AP/AB है। दिया गया अनुपात AP:PB = 2:5 है, हम AP और PB को जोड़कर AB ज्ञात करते हैं: AB = AP + PB = 2 + 5 = 7

इससे भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है: AP/AB = 2/7

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(ΔAPQ) / Area(ΔABC) = (AP/AB)² Area(ΔAPQ) / Area(ΔABC) = (2/7)² = 4/49

यह देखते हुए कि Δ APQ का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेमी है, हम इस मान को अनुपात में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 4 / Area(ΔABC) = 4/49 Area(ΔABC) = 49 वर्ग सेमी

समलंब चतुर्भुज PQCB का क्षेत्रफल छोटे त्रिभुज APQ के क्षेत्रफल को बड़े त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से घटाकर ज्ञात किया जाता है: Area(PQCB) = Area(ΔABC) - Area(ΔAPQ) = 49 - 4 = 45 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक उनके मध्य बिंदु से होकर गुजरता है और रेखाखंड पर लंब होता है।

सबसे पहले, बिंदुओं (2, -6) और (4, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए: मध्य बिंदु = ((2 + 4)/2, (-6 + 0)/2) = (3, -3)

इसके बाद, बिंदुओं (2, -6) और (4, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड की ढाल ज्ञात कीजिए: रेखाखंड की ढाल = (0 - (-6)) / (4 - 2) = 6 / 2 = 3

चूंकि लंब समद्विभाजक इस रेखाखंड पर लंब है, इसलिए इसकी ढाल 3 का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: लंब समद्विभाजक की ढाल = -1/3

मध्य बिंदु (3, -3) और ढाल -1/3 का उपयोग करके बिंदु-ढाल रूप से, लंब समद्विभाजक का समीकरण है: y - (-3) = -1/3 × (x - 3)

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: 3(y + 3) = -(x - 3) 3y + 9 = -x + 3 x + 3y = -6

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज (regular polygon) के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

आंतरिक कोण = (n - 2) × 180° / n

एक सम द्वादशभुज (regular dodecagon) में 12 भुजाएँ होती हैं, इसलिए n = 12। इस मान को सूत्र में रखने पर:

आंतरिक कोण = (12 - 2) × 180° / 12 आंतरिक कोण = 10 × 15° आंतरिक कोण = 150°

वैकल्पिक रूप से, एक सम बहुभुज (regular polygon) का बाह्य कोण (exterior angle) 360° / n द्वारा दिया जाता है। द्वादशभुज (dodecagon) के लिए, बाह्य कोण 360° / 12 = 30° है। चूँकि आंतरिक और बाह्य कोण संपूरक (supplementary) होते हैं, आंतरिक कोण 180° - 30° = 150° है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या (r) उसके व्यास की आधी होती है: r = 28/2 = 14 सेमी

वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल = πr²

π = 22/7 का प्रयोग करते हुए: क्षेत्रफल = (22/7) × 14² क्षेत्रफल = (22/7) × 196 क्षेत्रफल = 22 × 28 क्षेत्रफल = 616 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो द्विपदों (x + 8)(6 - 3x) के गुणनफल का विस्तार करने पर:

(x + 8)(6 - 3x) = x(6) + x(-3x) + 8(6) + 8(-3x) = 6x - 3x² + 48 - 24x

x के पदों को एक साथ समूहित करने पर:

-3x² + (6 - 24)x + 48 = -3x² - 18x + 48

x वाले पद का गुणांक -18 है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मान x + y = 10 और x² + y² = 68 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 10² = 68 + 2xy 100 = 68 + 2xy

समीकरण के दोनों पक्षों से 68 घटाएं: 2xy = 100 - 68 2xy = 32

xy के लिए हल करने के लिए 2 से भाग दें: xy = 16

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या 89 है।

इसके अंकों का योग 8 + 9 = 17 है, जो पहली शर्त को पूरा करता है।

जब हम संख्या में 9 जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: 89 + 9 = 98

89 के अंक 8 और 9 हैं। इन अंकों को परस्पर बदलने पर 98 प्राप्त होता है। चूंकि यह 9 जोड़ने से प्राप्त परिणाम से मेल खाता है, इसलिए संख्या 89 है।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम दो अलग-अलग असमानताओं में तोड़कर असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं।

सबसे पहले, बाईं ओर की असमानता को हल करें: 5x + 4(1 - x) > 3x - 4 5x + 4 - 4x > 3x - 4 x + 4 > 3x - 4 8 > 2x x < 4

दूसरा, दाईं ओर की असमानता को हल करें: 3x - 4 > 5x/3 - x/3 3x - 4 > 4x/3 9x - 12 > 4x 5x > 12 x > 12/5 x > 2.4

दोनों समाधानों को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 2.4 < x < 4

केवल मान 3 इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

प्रति कर्मचारी औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, हम पहले कर्मचारियों की प्रत्येक श्रेणी को दिए गए कुल बोनस की गणना करते हैं।

प्रबंधकों के लिए, कुल बोनस 3 × 36,00,000 × 50% = 54,00,000 रुपये है। कार्यकारियों के लिए, कुल बोनस 4 × 12,00,000 × 30% = 14,40,000 रुपये है। प्रशिक्षुओं के लिए, कुल बोनस 3 × 4,00,000 × 10% = 1,20,000 रुपये है।

इन राशियों को जोड़ने पर कंपनी द्वारा भुगतान किया गया कुल बोनस प्राप्त होता है: कुल बोनस = 54,00,000 + 14,40,000 + 1,20,000 = 69,60,000 रुपये।

कर्मचारियों की कुल संख्या 3 + 4 + 3 = 10 है।

प्रति कर्मचारी औसत बोनस की गणना कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत बोनस = 69,60,000 ÷ 10 = 6,96,000 रुपये।

व्याख्या

सही उत्तर: C

प्रत्येक वर्ष के लिए तीनों कंपनियों (कंपनी A, कंपनी B, और कंपनी C) से कुल निर्यात उनके संबंधित निर्यात आंकड़ों को जोड़कर गणना की जाती है:

2011 में कुल निर्यात = 2000 + 2000 + 3000 = 7000 लाख रुपये।

2012 में कुल निर्यात = 2000 + 3000 + 2000 = 7000 लाख रुपये।

2013 में कुल निर्यात = 5000 + 1000 + 5000 = 11000 लाख रुपये।

2014 में कुल निर्यात = 2000 + 5000 + 3000 = 10000 लाख रुपये।

2015 में कुल निर्यात = 1000 + 2000 + 3000 = 6000 लाख रुपये।

इन योगों की तुलना करने पर, वर्ष 2011 और 2012 के लिए निर्यात बराबर हैं, दोनों वर्षों में 7000 लाख रुपये का निर्यात हुआ।

व्याख्या

पिछले पांच वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लिए तालिका में दिखाए गए लाभ या हानि मानों को जोड़ते हैं।

कुल लाभ या हानि = 10 + 10 + 25 + 15 + 5 = 65 करोड़

चूंकि परिणामी योग सकारात्मक है, यह शुद्ध लाभ का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, पिछले पांच वर्षों में कंपनी का कुल लाभ 65 करोड़ रुपये है।

व्याख्या

आभूषण का कुल निर्यात में प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले सभी श्रेणियों के निर्यात मूल्यों को जोड़कर 2015 में भारत के कुल निर्यात का कुल मूल्य ज्ञात करते हैं:

कुल निर्यात = 825 + 750 + 875 + 875 + 975 = 4300 मिलियन अमेरिकी डॉलर आभूषण का निर्यात मूल्य 825 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

आभूषण का प्रतिशत = (आभूषण का मूल्य / कुल निर्यात) × 100 आभूषण का प्रतिशत = (825 / 4300) × 100 = 825 / 43 ≈ 19.19%

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cosec(-11π/6) को दर्शाता है, जहाँ प्रतीक π गणितीय स्थिरांक π के लिए है।

ऋणात्मक कोण सर्वसमिका cosec(-θ) = -cosec(θ) का उपयोग करके, हमारे पास है: cosec(-11π/6) = -cosec(11π/6)

हम 11π/6 को 2π - π/6 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। चूँकि चौथे चतुर्थांश में cosec(2π - θ) = -cosec(θ) होता है: cosec(2π - π/6) = -cosec(π/6)

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: -cosec(11π/6) = -(-cosec(π/6)) = cosec(π/6)

चूँकि sin(π/6) = ½ है, इसके व्युत्क्रम cosec(π/6) का मान 2 है।

व्याख्या

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमारे पास है: sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2) 1 - cos A = 2 sin²(A/2)

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin A / (1 - cos A) = 2 sin(A/2) cos(A/2) / (2 sin²(A/2))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद 2 sin(A/2) को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin A / (1 - cos A) = cos(A/2) / sin(A/2) = cot(A/2)

चूंकि cot(A/2) = x है, इसलिए x = sin A / (1 - cos A) है।