एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दो रैखिक पदों के गुणनफल का विस्तार करके (x + 11)(3 - 5x) में x का गुणांक ज्ञात करने के लिए:

(x + 11)(3 - 5x) = x(3) - x(5x) + 11(3) - 11(5x) = 3x - 5x² + 33 - 55x

x के समान पदों को संयोजित करने पर:

-5x² + (3 - 55)x + 33 = -5x² - 52x + 33

इस सरलीकृत बहुपद में, x से जुड़ा पद -52x है, जिसका अर्थ है कि x का गुणांक -52 है।

व्याख्या

A द्वारा कार्य के 4/5 (80%) भाग को पूरा करने में लिया गया समय 20 दिन है, जिसका अर्थ है कि A अकेले पूरे कार्य को 20 × 5/4 = 25 दिनों में पूरा करता है। A की 1-दिन की कार्य दर 1/25 है।

कार्य का शेष 1/5 (20%) भाग A और B मिलकर 3 दिनों में पूरा करते हैं। परिणामस्वरूप, वे मिलकर पूरे कार्य को 3 × 5 = 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जिससे उनकी संयुक्त 1-दिन की कार्य दर 1/15 हो जाती है।

B की 1-दिन की कार्य दर की गणना उनकी संयुक्त दर से A की दर को घटाकर की जाती है: 1/15 - 1/25 = 5/75 - 3/75 = 2/75

इससे B द्वारा कार्य पूरा करने का समय 75/2 = 37.5 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 77 = 7 × 11 275 = 5 × 5 × 11 = 5² × 11

दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) उनके उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल होता है। 77 और 275 दोनों में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल 11 है, जिसकी घात दोनों गुणनखंडन व्यंजकों में 1 है। अतः, 77 और 275 का म.स.प. 11 है।

व्याख्या

मान लीजिए राजधानी ट्रेन को 648 किमी की दूरी तय करने में T घंटे लगते हैं।

शुरुआत में, एक्सप्रेस ट्रेन को राजधानी ट्रेन से 12 घंटे अधिक लगते हैं, इसलिए एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया समय T + 12 घंटे है।

जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो समान दूरी तय करने में लगने वाला समय आधा हो जाता है। इसलिए, एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया नया समय (T + 12) / 2 घंटे है।

दी गई शर्त के अनुसार, यह नया समय राजधानी ट्रेन द्वारा लिए गए समय से 6 घंटे कम है: (T + 12) / 2 = T - 6

इस समीकरण को हल करने पर: T + 12 = 2T - 12 T = 24 घंटे

राजधानी ट्रेन को 648 किमी की यात्रा करने में 24 घंटे लगते हैं।

राजधानी ट्रेन की गति है: गति = दूरी / समय = 648 / 24 = 27 किमी/घंटा

व्याख्या

मिश्रण के नियम के अनुसार, 17% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा और 27% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा का अनुपात है:

(27 - 21) : (21 - 17) = 6 : 4 = 3 : 2

गेहूं की कुल मात्रा 16 क्विंटल है। चूँकि 1 क्विंटल 100 किग्रा के बराबर होता है, इसलिए गेहूं का कुल वजन है:

16 × 100 = 1600 किग्रा

अनुपात का उपयोग करके, 27% लाभ पर बेचा गया गेहूं की मात्रा है:

1600 × (2 / (3 + 2)) = 1600 × 2/5 = 640 किग्रा

व्याख्या

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अलग-अलग अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

मान लीजिए रिक्त स्थान में लुप्त अंक x है। संख्या 583x437 के अंकों का योग है:

5 + 8 + 3 + x + 4 + 3 + 7 = 30 + x

योग 30 + x को 9 से विभाज्य होने के लिए, यह 30 से बड़ा या उसके बराबर 9 का निकटतम गुणज होना चाहिए, जो कि 36 है।

x के लिए हल करने पर:

30 + x = 36 x = 6

व्याख्या

मान लीजिए हरीशंकर का वेतन H, गिरीश का वेतन G और शिरिश का वेतन S है।

दी गई जानकारी के अनुसार, गिरीश का वेतन है: G = (4/9) × H

शिरिश का वेतन है: S = (5/6) × H

गिरीश के वेतन का शिरिश के वेतन से अनुपात है: G : S = (4/9)H : (5/6)H

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, हम दो भिन्नों को विभाजित करते हैं: G / S = (4/9) / (5/6) G / S = (4/9) × (6/5) G / S = 24 / 45

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 3 है, से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: G / S = 8 / 15

इस प्रकार, अनुपात 8:15 है।

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों असमानताओं को अलग-अलग हल करते हैं।

पहली असमानता के लिए: 5 - x > 1 + 3x दोनों पक्षों से 1 घटाने और x जोड़ने पर: 4 > 4x 4 से भाग देने पर: x < 1

दूसरी असमानता के लिए: 5 + 5x ≥ 2 + 2x दोनों पक्षों से 2 और 2x घटाने पर: 3x ≥ -3 3 से भाग देने पर: x ≥ -1

दोनों समाधान समुच्चयों को मिलाने पर, हमें सीमा प्राप्त होती है: -1 ≤ x < 1

दिए गए विकल्पों में से, केवल 0 इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

यदि तीन पद a, b, और c समान्तर श्रेणी में हैं, तो मध्य पद अन्य दो पदों का समान्तर माध्य होता है, जिससे संबंध प्राप्त होता है: 2b = a + c

दिए गए पदों a = 2x - 4, b = 4x + p, और c = 6x - 12 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2(4x + p) = (2x - 4) + (6x - 12)

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: 8x + 2p = 8x - 16

दोनों पक्षों से 8x घटाने पर: 2p = -16

2 से भाग देने पर: p = -8

व्याख्या

चूंकि रेखाखंड PQ भुजा BC के समानांतर है, त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: क्षेत्रफल(APQ) / क्षेत्रफल(ABC) = (AP / AB)²

दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर: 16 / 25 = (AP / AB)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: AP / AB = 4 / 5

चूंकि बिंदु P भुजा AB पर स्थित है, हमारे पास AB = AP + PB है। इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: AP / (AP + PB) = 4 / 5

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 5 × AP = 4 × (AP + PB) 5 × AP = 4 × AP + 4 × PB AP = 4 × PB

दोनों पक्षों को PB से विभाजित करने पर: AP / PB = 4 / 1

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की आय 100 इकाई है।

चूंकि वह अपनी आय का 59% खर्च करता है, इसलिए उसका व्यय 59 इकाई है।

उसकी बचत उसकी आय का शेष भाग है: बचत = आय - व्यय = 100 - 59 = 41 इकाई

उसके व्यय का वह प्रतिशत जिसे वह बचाता है, इस प्रकार गणना की जाती है: प्रतिशत = (बचत / व्यय) × 100 प्रतिशत = (41 / 59) × 100 = 4100 / 59 ≈ 69.49%

व्याख्या

चूंकि AB, CD के समानांतर है और रेखाएं AD और BC, E पर प्रतिच्छेद करती हैं, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। विशेष रूप से, कोण BAE, कोण CDE के बराबर है, और कोण ABE, कोण DCE के बराबर है। इसके अतिरिक्त, कोण AEB और कोण DEC शीर्षभिमुख कोण हैं और इसलिए बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज AEB, त्रिभुज DEC के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: AE / DE = BE / EC

दिया गया है कि AE = 12 सेमी, DE = 18 सेमी, और BC = 12 सेमी, मान लीजिए EC की लंबाई x सेमी है। चूंकि BC, BE और EC का योग है, BE की लंबाई को 12 - x सेमी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इन मानों को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: 12 / 18 = (12 - x) / x

भिन्न को सरल करने पर: 2 / 3 = (12 - x) / x

वज्र गुणन करने पर: 2x = 3(12 - x) 2x = 36 - 3x 5x = 36 x = 7.2

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूल धनराशि है, R ब्याज की वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है।

मूल धनराशि P ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (SI × 100) / (R × T)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P = (5320 × 100) / (7 × 5) P = 532000 / 35 P = 15200

व्याख्या

बेलन का आयतन सूत्र V = π × r² × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h बेलन की ऊँचाई है।

सबसे पहले, आधार की परिधि से त्रिज्या ज्ञात कीजिए: 2 × π × r = 44 2 × 22/7 × r = 44 r = 7 सेमी

अगला, बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) से ऊँचाई ज्ञात कीजिए: CSA = 2 × π × r × h = 660 चूंकि 2 × π × r = 44: 44 × h = 660 h = 15 सेमी

अंत में, बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए: आयतन = π × r² × h आयतन = 22/7 × 7² × 15 आयतन = 22 × 7 × 15 आयतन = 2310 घन सेमी

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

चूंकि पहली और दूसरी संख्याएँ क्रमशः तीसरी संख्या से 35% और 50% कम हैं: पहली संख्या = 100 - 35 = 65 दूसरी संख्या = 100 - 50 = 50

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे 65 - 50 = 15 से बढ़ाया जाना चाहिए।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना दूसरी संख्या के संबंध में की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / दूसरी संख्या) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (15 / 50) × 100 = 30%

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(2π - θ) = cos θ का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

cos(11π/6) = cos(2π - π/6)

सर्वसमिका लागू करने पर:

cos(2π - π/6) = cos(π/6)

चूंकि cos(π/6) का मानक मान √3/2 है, इसलिए cos(11π/6) का मान √3/2 है।

व्याख्या

कोसाइन के लिए मानक त्रिकोणमितीय ट्रिपल-एंगल सर्वसमिका है:

cos3A = 4cos³A - 3cosA

इस सर्वसमिका को 3cosA को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

3cosA = 4cos³A - cos3A

यह सीधे दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक cosA / (1 - sinA) को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को (1 + sinA) से गुणा करें:

(cosA × (1 + sinA)) / ((1 - sinA) × (1 + sinA))

= (cosA × (1 + sinA)) / (1 - sin²A)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin²A = cos²A का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है:

(cosA × (1 + sinA)) / cos²A

= (1 + sinA) / cosA

= (1 / cosA) + (sinA / cosA)

= secA + tanA

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात किलोग्राम में वजन को मीटर में ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है।

सुनीता के लिए, अनुपात है: 60 ÷ 1.5 = 40

अन्य के लिए अनुपात हैं: अंजलि: 55 ÷ 1.2 ≈ 45.83 विमला: 75 ÷ 1.6 = 46.875 प्रीति: 70 ÷ 1.4 = 50

इन मानों की तुलना करने पर, सुनीता का वजन से ऊंचाई का अनुपात 40 सबसे कम है।

व्याख्या

दी गई तालिका में सबसे कम प्रतिशत लाभ वर्ष 2011 में 5% है।

किसी कंपनी के प्रतिशत लाभ की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((राजस्व - व्यय) / व्यय) × 100

यह देखते हुए कि व्यय ₹200 करोड़ है: 5 = ((राजस्व - 200) / 200) × 100 5 = (राजस्व - 200) / 2 10 = राजस्व - 200 राजस्व = 210 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = ∑(f × x) / ∑f

यहाँ, x बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या को दर्शाता है।

सबसे पहले, बच्चों की कुल संख्या की गणना करें, जो बच्चों की संख्या और घरों की संख्या के गुणनफलों का योग है: ∑(f × x) = (0 × 3) + (1 × 13) + (2 × 18) + (3 × 3) = 0 + 13 + 36 + 9 = 58

इसके बाद, घरों की कुल संख्या की गणना करें: ∑f = 3 + 13 + 18 + 3 = 37

औसत ज्ञात करने के लिए बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = 58 / 37 ≈ 1.57

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी शेयरों की कुल संख्या छह लाख है, जो 6,00,000 के बराबर है।

दी गई तालिका के अनुसार, एजाज की कंपनी में 25% हिस्सेदारी है।

एजाज द्वारा रखे गए शेयरों की प्रारंभिक संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रारंभिक शेयर = 6,00,000 का 25% = 0.25 × 6,00,000 = 1,50,000

जब आनंद अपने 15,000 शेयर एजाज को बेचता है, तो एजाज के पास शेयरों की कुल संख्या 15,000 बढ़ जाती है।

एजाज के पास शेयरों की अंतिम संख्या है: अंतिम शेयर = 1,50,000 + 15,000 = 1,65,000

व्याख्या

कुल अर्जित ब्याज दो जमाओं में से प्रत्येक पर प्राप्त ब्याज का योग है।

2400 रुपये की पहली जमा राशि 1 जनवरी को की जाती है और दो छमाही अवधियों के लिए ब्याज अर्जित करती है। वर्ष के अंत में राशि = 2400 × (1 + 15/100)² = 2400 × (1.15)² = 2400 × 1.3225 = 3174 रुपये पहली जमा राशि से ब्याज = 3174 - 2400 = 774 रुपये

2400 रुपये की दूसरी जमा राशि 1 जुलाई को की जाती है और एक छमाही अवधि के लिए ब्याज अर्जित करती है। वर्ष के अंत में राशि = 2400 × (1 + 15/100) = 2400 × 1.15 = 2760 रुपये दूसरी जमा राशि से ब्याज = 2760 - 2400 = 360 रुपये

वर्ष के अंत में ग्राहक द्वारा अर्जित कुल ब्याज = 774 + 360 = 1134 रुपये

व्याख्या

हमें दिया गया है कि x = sec A + tan A।

sec A और tan A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करना: x = 1/cos A + sin A/cos A x = (1 + sin A)/cos A

अंश और हर दोनों को (1 - sin A) से गुणा करना: x = (1 + sin A)(1 - sin A) / [cos A(1 - sin A)]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² A = cos² A का उपयोग करना: x = (1 - sin² A) / [cos A(1 - sin A)] x = cos² A / [cos A(1 - sin A)] x = cos A / (1 - sin A)

व्याख्या

माना दो संख्याएँ a और b हैं।

दो संख्याओं a और b का माध्य अनुपात √(ab) द्वारा दिया जाता है, और उनका तृतीय अनुपात b²/a द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है: √(ab) = 16 b²/a = 1024

माध्य अनुपात समीकरण का वर्ग करने पर: ab = 16² = 256 a = 256/b

तृतीय अनुपात समीकरण में a के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: b² / (256/b) = 1024 b³ = 1024 × 256 b³ = 2¹⁰ × 2⁸ b³ = 2¹⁸

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: b = 2⁶ = 64

a ज्ञात करने के लिए b का मान प्रतिस्थापित करने पर: a = 256 / 64 = 4

दो संख्याएँ 4 और 64 हैं।

व्याख्या

शंकु से सिलेंडर में स्थानांतरित पानी की मात्रा स्थिर रहती है।

शंकु का आयतन = (1/3) × π × r₁² × h₁ बेलन का आयतन = π × r₂² × h₂

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: (1/3) × π × r₁² × h₁ = π × r₂² × h₂ (1/3) × r₁² × h₁ = r₂² × h₂

दिया गया है r₁ = 3.5 सेमी, h₁ = 12 सेमी, और r₂ = 7 सेमी: (1/3) × (3.5)² × 12 = 7² × h₂ 4 × 12.25 = 49 × h₂ 49 = 49 × h₂ h₂ = 1 सेमी

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

दिए गए भुजा की लंबाई a = 8 सेमी को सूत्र में रखने पर:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 8² क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 64 क्षेत्रफल = 16√3 वर्ग सेमी

व्याख्या

दी गई रेखा 3x - 2y = 6 का ढलान m₁ = 3/2 है। चूँकि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा इसके लंबवत है, इसलिए उनके ढलानों का गुणनफल -1 होना चाहिए। अतः, लंबवत रेखा का ढलान m₂ = -2/3 है।

मूल बिंदु (0, 0) से गुजरने वाली इस लंबवत रेखा का समीकरण है: y = (-2/3)x 2x + 3y = 0

प्रतिच्छेदन बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: 3x - 2y = 6 2x + 3y = 0

दूसरे समीकरण से, हमें x = -3y/2 मिलता है। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3(-3y/2) - 2y = 6 -9y/2 - 2y = 6 -13y/2 = 6 y = -12/13

y = -12/13 को x के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = -3(-12/13) / 2 = 18/13

इससे M के निर्देशांक (18/13, -12/13) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए शुभ, गोविंदा और रेशमा का वजन क्रमशः S, G और R है।

शुभ, गोविंदा और रेशमा के वजन का योग है: S + G + R = 3 × 65 = 195 किलोग्राम

शुभ और गोविंदा के वजन का योग है: S + G = 2 × 63 = 126 किलोग्राम

गोविंदा और रेशमा के वजन का योग है: G + R = 2 × 70 = 140 किलोग्राम

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: S + 2G + R = 126 + 140 = 266 किलोग्राम

गोविंदा का वजन ज्ञात करने के लिए, इस संयुक्त योग से तीनों व्यक्तियों के वजन के योग को घटाएं: G = (S + 2G + R) - (S + G + R) G = 266 - 195 = 71 किलोग्राम

व्याख्या

किसी वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ/360°) × 2πr है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है, r वृत्त की त्रिज्या है, और π का मान 22/7 है।

सूत्र में θ = 45° और r = 28 सेमी रखने पर:

L = (45°/360°) × 2 × (22/7) × 28

केंद्रीय कोण अनुपात, 45°/360° को सरल करने पर 1/8 प्राप्त होता है। गणना इस प्रकार है:

L = (1/8) × 2 × 22 × 4

चूंकि 2 × 4, 8 होता है, इसलिए हर में 8 अंश में 8 को रद्द कर देता है:

L = 22 सेमी

व्याख्या

दो संख्याओं, उनके म.स.प. और उनके ल.स.प. के बीच मौलिक संबंध है:

दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 63 × 77 = 7 × ल.स.प.

ल.स.प. = (63 × 77) / 7 ल.स.प. = 9 × 77 ल.स.प. = 693

व्याख्या

मान लीजिए इलेक्ट्रिक चिमनी का क्रय मूल्य C और वाशिंग मशीन का W है।

दोनों वस्तुओं की कुल लागत है: C + W = 57,750

34% लाभ पर इलेक्ट्रिक चिमनी का विक्रय मूल्य 1.34 × C है। 24% हानि पर वाशिंग मशीन का विक्रय मूल्य 0.76 × W है।

चूंकि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है: 1.34 × C = 0.76 × W 134 × C = 76 × W C / W = 38 / 67

इलेक्ट्रिक चिमनी के क्रय मूल्य और वाशिंग मशीन के क्रय मूल्य का अनुपात 38 : 67 है। इलेक्ट्रिक चिमनी सस्ती वस्तु है क्योंकि यह अनुपात में कम भाग के अनुरूप है।

इलेक्ट्रिक चिमनी का क्रय मूल्य है: (38 / (38 + 67)) × 57,750 = (38 / 105) × 57,750 = 38 × 550 = 20,900

व्याख्या

हमें समीकरण दिया गया है: (7 - 12x) - (3x - 7) = 14

ऋणात्मक चिह्न को वितरित करके कोष्ठकों को हटाना: 7 - 12x - 3x + 7 = 14

बाईं ओर समान पदों को संयोजित करना: 14 - 15x = 14

समीकरण के दोनों पक्षों से 14 घटाना: -15x = 0

दोनों पक्षों को -15 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x = 0

व्याख्या

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मध्य पद को विभाजित करके मूल ज्ञात किए जा सकते हैं। दिए गए समीकरण 6x² - 11x - 35 = 0 में, x² के गुणांक और अचर पद का गुणनफल 6 × (-35) = -210 है, और उनका योग -11 है। -210 के दो गुणनखंड जिनका योग -11 है, -21 और 10 हैं।

मध्य पद को विभाजित करके समीकरण को पुनः लिखना: 6x² - 21x + 10x - 35 = 0

पदों का समूहीकरण और गुणनखंडन: 3x(2x - 7) + 5(2x - 7) = 0 (3x + 5)(2x - 7) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखना: 3x + 5 = 0 जिससे x = -5/3 प्राप्त होता है 2x - 7 = 0 जिससे x = 7/2 प्राप्त होता है

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 5x + 2 < 4x + 1 x < -1

दूसरी असमानता को हल करने पर: 2(x - 4) - 2 ≤ 4x - 1 2x - 8 - 2 ≤ 4x - 1 2x - 10 ≤ 4x - 1 -9 ≤ 2x x ≥ -4.5

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए हल समुच्चय है: -4.5 ≤ x < -1

मान -2 इस सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

दी गई शर्तों के अनुसार: x - y = 10 x = 0.75 × (x + y)

दूसरे समीकरण में x = y + 10 प्रतिस्थापित करने पर: y + 10 = 0.75 × (y + 10 + y) y + 10 = 0.75 × (2y + 10) y + 10 = 1.5y + 7.5 0.5y = 2.5 y = 5

पहले समीकरण में y का मान वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 5 + 10 = 15

दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 15 और 5 हैं।

व्याख्या

कुल संग्रह टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है।

मान लीजिए प्रवेश टिकट की प्रारंभिक कीमत 3x है और नई कीमत 7x है। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या 16y है और आगंतुकों की नई संख्या 13y है।

प्रारंभिक कुल संग्रह = 3x × 16y = 48xy नया कुल संग्रह = 7x × 13y = 91xy

प्रारंभिक संग्रह की नए संग्रह से तुलना करने पर अनुपात 48xy:91xy प्राप्त होता है, जो सरल होकर 48:91 हो जाता है। चूंकि 91, 48 से बड़ा है, इसलिए कुल संग्रह 48:91 के अनुपात में बढ़ गया है।

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = दूरी / समय

दिया गया है: दूरी = 315 किमी समय = 2.8 घंटे

सबसे पहले, किमी/घंटा में औसत गति की गणना करें:

औसत गति = 315 / 2.8 = 112.5 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, मान को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें:

मी/से में औसत गति = 112.5 × 5/18 = 31.25 मी/से

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का n-वाँ पद सूत्र द्वारा दिया जाता है: aₙ = a + (n - 1)d

जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

तीसरे पद और 17वें पद के लिए दिए गए मानों का उपयोग करके: a₃ = a + 2d = 17 a₁₇ = a + 16d = -25

17वें पद के समीकरण से तीसरे पद के समीकरण को घटाकर: (a + 16d) - (a + 2d) = -25 - 17 14d = -42 d = -3

तीसरे पद के समीकरण में d का मान प्रतिस्थापित करके: a + 2(-3) = 17 a - 6 = 17 a = 23

यह ज्ञात करने के लिए कि -1 कौन सा पद है, हम n-वें पद सूत्र में a = 23 और d = -3 प्रतिस्थापित करते हैं: aₙ = a + (n - 1)d -1 = 23 + (n - 1)(-3) -24 = (n - 1)(-3) n - 1 = 8 n = 9

व्याख्या

किसी वर्ग के क्षेत्रफल और उसके विकर्ण के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = d² / 2

जहाँ d विकर्ण की लंबाई है।

दिए गए 100 वर्ग सेमी क्षेत्रफल को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

100 = d² / 2

d² = 200

d = √200 = 10√2 सेमी

वैकल्पिक रूप से, वर्ग की भुजा s = √100 = 10 सेमी है। भुजा s वाले वर्ग का विकर्ण s√2 होता है, जो 10√2 सेमी देता है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

बिंदुओं (4, -8) और (k, 0), तथा दूरी d = 10 को प्रतिस्थापित करने पर:

10 = √((k - 4)² + (0 - (-8))²)

100 = (k - 4)² + 64

36 = (k - 4)²

वर्गमूल लेने पर:

k - 4 = ±6

धनात्मक मूल के लिए: k - 4 = 6 k = 10

ऋणात्मक मूल के लिए: k - 4 = -6 k = -2

व्याख्या

प्रफुल 30 दिनों में काम का ½ भाग पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह पूरा काम 60 दिनों में पूरा कर सकता है। उसकी दैनिक कार्य दर काम का 1/60 है।

सरबजीत शेष ½ काम को 10 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह पूरा काम 20 दिनों में पूरा कर सकता है। उसकी दैनिक कार्य दर काम का 1/20 है।

उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 1/60 + 1/20 = 1/60 + 3/60 = 4/60 = 1/15

इस प्रकार, वे मिलकर 15 दिनों में काम पूरा कर सकते हैं।

व्याख्या

बिना किसी छूट के टिकटों की कुल लागत वयस्कों और बच्चों की कुल लागत को जोड़कर निकाली जाती है। 20 वयस्कों की लागत = 20 × 500 = 10000 रुपये 8 बच्चों की लागत = 8 × 200 = 1600 रुपये कुल मूल लागत = 10000 + 1600 = 11600 रुपये

चूंकि दो वयस्क एक बच्चे को मुफ्त प्रवेश की अनुमति देते हैं, इसलिए 20 वयस्क 20 / 2 = 10 बच्चों तक को मुफ्त प्रवेश की अनुमति दे सकते हैं। चूंकि समूह में केवल 8 बच्चे हैं, इसलिए सभी 8 बच्चों को मुफ्त प्रवेश मिलेगा। समूह को प्राप्त कुल छूट 8 बच्चों के टिकट की कीमत है: छूट = 8 × 200 = 1600 रुपये

छूट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: छूट % = (छूट / कुल मूल लागत) × 100 छूट % = (1600 / 11600) × 100 = 1600 / 116 = 400 / 29 ≈ 13.79%

व्याख्या

मशीनों की औसत लागत की गणना सभी मशीनों की कुल लागत को खरीदी गई मशीनों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

सबसे पहले, प्रत्येक प्रकार की मशीन की मात्रा निर्धारित करें: मशीन A = 3 मशीन B = 2 मशीन C = 8 - (3 + 2) = 3

इसके बाद, व्यक्तिगत लागतों को जोड़कर कुल लागत की गणना करें: कुल लागत = (3 × 100000) + (2 × 80000) + (3 × 45000) कुल लागत = 300000 + 160000 + 135000 कुल लागत = 595000

अब, कुल लागत को मशीनों की कुल मात्रा से विभाजित करें: औसत लागत = 595000 ÷ 8 औसत लागत = 74375

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (2, 3) और (-4, 1) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m = (1 - 3) / (-4 - 2) = -2 / -6 = 1/3

बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली m ढलान वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान रूप द्वारा दिया जाता है:

y - y₁ = m(x - x₁)

बिंदु (2, 3) और ढलान m = 1/3 को प्रतिस्थापित करने पर:

y - 3 = 1/3(x - 2)

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर:

3(y - 3) = x - 2

3y - 9 = x - 2

चरों को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ संरेखित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x - 3y = -7

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज में एक कोण का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं। इसलिए, ΔABC में कोण समद्विभाजक AE द्वारा BC को E पर काटने पर, संबंध है:

AB / AC = BE / EC

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

9 / AC = 3.6 / 2.4

खंडों के अनुपात को सरल बनाने पर:

3.6 / 2.4 = 3 / 2

AC के लिए हल करने पर:

9 / AC = 3 / 2

AC = (9 × 2) / 3 = 6 सेमी

व्याख्या

ब्याज की प्रभावी वार्षिक दर, E, की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

E = (1 + r/n)ⁿ - 1

जहाँ r ब्याज की नाममात्र वार्षिक दर है और n प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है।

दिया गया है कि नाममात्र दर r 22% (या 0.22) है और ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि होता है (n = 2):

E = (1 + 0.22/2)² - 1

E = (1 + 0.11)² - 1

E = (1.11)² - 1

E = 1.2321 - 1

E = 0.2321, जो 23.21% के बराबर है।

व्याख्या

त्रिभुज में ज्या नियम (Law of Sines) के अनुसार, किसी भुजा की लम्बाई का उसके सम्मुख कोण के ज्या (sine) से अनुपात स्थिर रहता है:

a / sin(A) = b / sin(B)

दिया गया है कि 45° कोण की सम्मुख भुजा की लम्बाई 8√2 सेमी है, हम a = 8√2 सेमी, A = 45°, और B = 90° मान सकते हैं। हमें 90° कोण की सम्मुख भुजा b की लम्बाई ज्ञात करनी है।

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(8√2) / sin(45°) = b / sin(90°)

चूंकि sin(45°) = 1/√2 और sin(90°) = 1, यह सरल हो जाता है:

(8√2) / (1/√2) = b / 1

8√2 × √2 = b

b = 8 × 2 = 16 सेमी

व्याख्या

एक बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

यह देखते हुए कि आयतन V 2156 घन सेमी है और ऊँचाई h 14 सेमी है, और π का मान 22/7 लेते हुए, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2156 = (22/7) × r² × 14

14 को 7 से विभाजित करके समीकरण को सरल बनाने पर:

2156 = 22 × r² × 2

2156 = 44 × r²

r² का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 44 से विभाजित करने पर:

r² = 2156 ÷ 44

r² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

r = 7 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(π + θ) = cot θ का उपयोग करके, हम कोण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

cot(4π/3) = cot(π + π/3)

चूंकि कोण 4π/3 तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहां कोटैंजेंट फलन धनात्मक होता है, व्यंजक सरल हो जाता है:

cot(π/3)

क्योंकि cot(π/3), tan(π/3) का व्युत्क्रम है, और tan(π/3) = √3, हमें प्राप्त होता है: cot(π/3) = 1/tan(π/3) = 1/√3