एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

29 दिनों के लिए दैनिक टिकटों की लागत = 29 × ₹60 = ₹1740।

मासिक पास की लागत = ₹1566।

दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदने से बचाई गई राशि = ₹1740 - ₹1566 = ₹174।

बचत का प्रतिशत = (बचत / दैनिक टिकटों की लागत) × 100 = (174 / 1740) × 100 = 10%।

व्याख्या

मिसाइल की गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए, हम 5/18 के रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं।

एक सेकंड में तय की गई दूरी = गति मी/से में = 1206 × 5/18

सबसे पहले, 1206 को 18 से विभाजित करें: 1206 ÷ 18 = 67

अगला, परिणाम को 5 से गुणा करें: 67 × 5 = 335

इसका मतलब है कि मिसाइल एक सेकंड में 335 मीटर की यात्रा करती है।

व्याख्या

प्रत्येक प्रकार के स्टॉक का कुल मूल्य उसकी मात्रा को उसकी औसत लागत से गुणा करके निकाला जाता है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 61 × 18000 = 1,098,000 रुपये कैमरा का मूल्य = 42 × 11000 = 462,000 रुपये टीवी का मूल्य = 26 × 47000 = 1,222,000 रुपये रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 96 × 49000 = 4,704,000 रुपये एसी का मूल्य = 84 × 23000 = 1,932,000 रुपये

इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ने पर सभी स्टॉक का कुल मूल्य प्राप्त होता है: 1,098,000 + 462,000 + 1,222,000 + 4,704,000 + 1,932,000 = 9,418,000 रुपये

इस मूल्य को लाख रुपये में व्यक्त करने के लिए, कुल रुपये को 100,000 से विभाजित करें: 9,418,000 ÷ 100,000 = 94.18 लाख रुपये

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे के बीच दर्ज की गई कुल अवधि 8 घंटे है।

तालिका में दिए गए मान प्रतिशत दर्शाते हैं, क्योंकि उनका योग 100% है (15 + 25 + 15 + 30 + 15 = 100)।

सपना देखने में बिताया गया समय का प्रतिशत 25% है, और अत्यधिक हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 30% है।

इन दो अवस्थाओं के लिए संयुक्त प्रतिशत है: 25% + 30% = 55%

घंटों में अवधि ज्ञात करने के लिए, कुल समय को इस संयुक्त प्रतिशत से गुणा करें: 8 घंटे × 55% = 8 × 0.55 = 4.4 घंटे

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण को सरल करें:

(6x - 1) - (8x - 5) = 7

कोष्ठकों को खोलने के लिए ऋणात्मक चिह्न का वितरण करें:

6x - 1 - 8x + 5 = 7

समीकरण के बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें:

-2x + 4 = 7

x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 4 घटाएं:

-2x = 7 - 4

-2x = 3

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें:

x = -3/2

व्याख्या

मान लीजिए वह संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, इस संख्या के 5/4 के 7/8 भाग का मान 315 है। इस संबंध को एक गणितीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

(7/8) × (5/4) × x = 315

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(35/32) × x = 315

x के लिए हल करने पर:

x = 315 × (32/35)

315 को 35 से भाग देने पर 9 प्राप्त होता है:

x = 9 × 32 x = 288

अब, इस संख्या का 5/9 भाग ज्ञात करने के लिए:

(5/9) × 288 = 5 × 32 = 160

व्याख्या

औसत सुधार के सूत्र का उपयोग करके:

सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) / अवलोकनों की कुल संख्या

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 60 + (29 - 92) / 56 सही औसत = 60 - 63 / 56 सही औसत = 60 - 9/8 सही औसत = 60 - 1.125 सही औसत = 58.875 अंक

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 2 + 2x < 3 + 5x 2 - 3 < 5x - 2x -1 < 3x x > -1/3

दूसरी असमानता को हल करने पर: 3(x - 2) < 5 - x 3x - 6 < 5 - x 3x + x < 5 + 6 4x < 11 x < 11/4

दोनों असमानताओं को मिलाने पर हल अंतराल प्राप्त होता है: -1/3 < x < 11/4

दशमलव रूप में, यह अंतराल लगभग है: -0.33 < x < 2.75

मान 1 इस सीमा के भीतर आता है, जो एक साथ दोनों शर्तों को पूरा करता है।

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। चूँकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, इसलिए जब त्रिज्या में x% की वृद्धि होती है तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध वृद्धि = 2x + x²/100 %

सूत्र में दी गई त्रिज्या वृद्धि x = 17 को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध वृद्धि = 2(17) + 17²/100 % शुद्ध वृद्धि = 34 + 289/100 % शुद्ध वृद्धि = 34 + 2.89 % शुद्ध वृद्धि = 36.89 %

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक त्रिज्या 100 इकाई है, तो प्रारंभिक क्षेत्रफल π × 100² = 10000π है। जब त्रिज्या में 17% की वृद्धि होती है, तो नई त्रिज्या 117 इकाई हो जाती है, जिससे नया क्षेत्रफल π × 117² = 13689π हो जाता है। यह 3689π की वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है, जो मूल क्षेत्रफल का ठीक 36.89% है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की राशि का सूत्र A = P(1 + r)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, r प्रति चक्रवृद्धि अवधि ब्याज दर है, और n चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है।

इस मामले में, ब्याज छमाही रूप से चक्रवृद्धि होता है, इसलिए प्रति छमाही ब्याज दर r = 20% = 0.20 है।

1 जनवरी को जमा किए गए ₹2800 की पहली जमा राशि के लिए, पैसा पूरे वर्ष बैंक में रहता है, जो 2 चक्रवृद्धि अवधियों (n = 2) के बराबर है। पहली जमा राशि से राशि, A₁ = 2800 × (1 + 0.20)² = 2800 × 1.44 = ₹4032

1 जुलाई को जमा किए गए ₹2800 की दूसरी जमा राशि के लिए, पैसा आधे वर्ष के लिए बैंक में रहता है, जो 1 चक्रवृद्धि अवधि (n = 1) के बराबर है। दूसरी जमा राशि से राशि, A₂ = 2800 × (1 + 0.20)¹ = 2800 × 1.20 = ₹3360

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि = A₁ + A₂ = 4032 + 3360 = ₹7392

जमा किया गया कुल मूलधन = 2800 + 2800 = ₹5600

अर्जित ब्याज = कुल संचित राशि - कुल जमा मूलधन = 7392 - 5600 = ₹1792

व्याख्या

बिना किसी छूट के टिकटों की कुल लागत वयस्कों और बच्चों के लिए व्यक्तिगत टिकट लागतों को जोड़कर निकाली जाती है। 17 वयस्कों के लिए प्रति टिकट 1000 रुपये और 5 बच्चों के लिए प्रति टिकट 500 रुपये की दर से, बिना छूट के कुल लागत 17 × 1000 + 5 × 500 = 19500 रुपये है।

प्रचार प्रस्ताव हर दो वयस्कों के साथ एक बच्चे को मुफ्त जाने की अनुमति देता है। चूंकि समूह में 17 वयस्क हैं, वे 8 बच्चों तक मुफ्त प्रवेश के पात्र हैं (क्योंकि 17 ÷ 2 = 8.5)। चूंकि समूह में केवल 5 बच्चे हैं, सभी 5 बच्चे मुफ्त में प्रवेश कर सकते हैं। इससे कुल छूट राशि 5 बच्चों के टिकटों की लागत के बराबर हो जाती है, जो कि 5 × 500 = 2500 रुपये है।

छूट प्रतिशत की गणना छूट राशि को बिना छूट के कुल लागत से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है। इससे (2500 / 19500) × 100 प्राप्त होता है, जो 500 / 39 को सरल करता है, जिससे लगभग 12.82% प्राप्त होता है।

व्याख्या

तीन पद a, b, और c के समांतर श्रेणी में होने के लिए, क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर बराबर होना चाहिए, जिससे मानक संबंध प्राप्त होता है: 2b = a + c

इस समस्या में, समांतर श्रेणी में तीन पद हैं: a = -3x - 11 b = x + p c = 5x + 7

इन व्यंजकों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: 2(x + p) = (-3x - 11) + (5x + 7)

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल बनाने पर: 2x + 2p = 2x - 4

दोनों पक्षों से 2x घटाने पर: 2p = -4

2 से भाग देने पर प्राप्त होता है: p = -2

व्याख्या

विभाजन सूत्र के अनुसार, (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ((m x₂ + n x₁) / (m + n), (m y₂ + n y₁) / (m + n)) होते हैं।

यहाँ, दिए गए बिंदु (x, 0) और (0, y) हैं, जिन्हें P(-4, 1) द्वारा 3:2 के अनुपात में विभाजित किया गया है।

x-निर्देशांक के लिए सूत्र लागू करने पर: -4 = (3 × 0 + 2 × x) / (3 + 2) -4 = 2x / 5 -20 = 2x x = -10

y-निर्देशांक के लिए सूत्र लागू करने पर: 1 = (3 × y + 2 × 0) / (3 + 2) 1 = 3y / 5 5 = 3y y = 5/3

व्याख्या

एक रैखिक समीकरण के ढलान-अवरोधन रूप का उपयोग करके, y = mx + c, जहाँ m ढलान है और c y-अवरोधन है:

m = -2/5 और c = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: y = (-2/5)x + 6

भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 5 से गुणा करने पर: 5y = -2x + 30

पदों को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2x + 5y = 30

व्याख्या

अमल की दक्षता भैरव की दक्षता से 5 गुना है, जिसका अर्थ है कि उनकी दक्षता का अनुपात 5:1 है। चूँकि दक्षता कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए अमल द्वारा लिया गया समय और भैरव द्वारा लिया गया समय का अनुपात 1:5 है।

यदि अमल को x दिन लगते हैं, तो भैरव को 5x दिन लगते हैं। उनके समय का अंतर इस प्रकार दिया गया है: 5x - x = 48 4x = 48 x = 12 दिन

इस प्रकार, अमल को व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में 12 दिन लगते हैं और भैरव को 60 दिन लगते हैं।

साथ मिलकर, काम पूरा करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = (अमल का समय × भैरव का समय) / (अमल का समय + भैरव का समय) समय = (12 × 60) / (12 + 60) समय = 720 / 72 समय = 10 दिन

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए छोटा त्रिभुज ADE बड़े त्रिभुज ABC के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: AD/AB = DE/BC

भुजा AB की लंबाई AD और DB का योग है: AB = AD + DB = 9 + 6 = 15 सेमी

अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9/15 = 5.4/BC

BC के लिए हल करने पर: BC = (5.4 × 15) / 9 BC = 0.6 × 15 BC = 9 सेमी

व्याख्या

माना चयनित और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या क्रमशः 6x और 1x है।

आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या है: कुल = चयनित + अचयनित = 6x + x = 7x

दी गई शर्त के अनुसार, यदि 90 कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया होता और 30 कम चयनित होते: नया कुल आवेदन = 7x - 90 नया चयनित = 6x - 30

अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या है: नया अचयनित = नया कुल आवेदन - नया चयनित नया अचयनित = (7x - 90) - (6x - 30) = x - 60

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 8:1 है: (6x - 30) / (x - 60) = 8 / 1

समीकरण को हल करना: 6x - 30 = 8(x - 60) 6x - 30 = 8x - 480 2x = 450 x = 225

मूल रूप से आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या है: 7x = 7 × 225 = 1575

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के लिए ज्या नियम (law of sines) के अनुसार, भुजा की लंबाई का उसके सम्मुख कोण के साइन (sine) से अनुपात स्थिर रहता है:

a / sin A = b / sin B

यहाँ, A = 30° कोण के सम्मुख भुजा a = 12 सेमी है। हमें B = 60° कोण के सम्मुख भुजा b ज्ञात करनी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

12 / sin 30° = b / sin 60°

मानक त्रिकोणमितीय मान sin 30° = ½ और sin 60° = √3/2 का उपयोग करने पर:

12 / (½) = b / (√3/2)

b = 12 × √3

b = 12√3 सेमी

व्याख्या

बेलन के आधार की परिधि C = 2πr = 132 सेमी द्वारा दी जाती है।

π = 22/7 का उपयोग करके, हम त्रिज्या r ज्ञात करते हैं: 2 × 22/7 × r = 132 r = (132 × 7) / 44 = 21 सेमी

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) CSA = 2πrh है, और इसका आयतन V = πr²h है। इन दोनों राशियों को सूत्र द्वारा संबंधित किया गया है: CSA = 2V / r

दिए गए आयतन V = 13860 घन सेमी और परिकलित त्रिज्या r = 21 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: CSA = (2 × 13860) / 21 = 27720 / 21 = 1320 वर्ग सेमी

व्याख्या

कोण 4π/3 रेडियन निर्देशांक तल के तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ स्पर्शज्या (tangent) फलन धनात्मक होता है।

हम कोण 4π/3 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 4π/3 = π + π/3

स्पर्शज्या फलन के लिए त्रिकोणमितीय न्यूनता सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: tan(π + θ) = tan θ

सर्वसमिका में θ = π/3 प्रतिस्थापित करने पर: tan(4π/3) = tan(π + π/3) = tan(π/3)

tan(π/3) का मानक मान √3 है। इस प्रकार, tan 4π/3 का मान √3 है।

व्याख्या

कोटैंजेंट फलन के लिए त्रिक-कोण सर्वसमिका सूत्र द्वारा दी गई है:

cot 3A = (cot³A - 3cot A) / (3cot²A - 1)

cot³A को cot A और cot 3A के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम दोनों पक्षों को हर (3cot²A - 1) से गुणा करते हैं:

cot 3A (3cot²A - 1) = cot³A - 3cot A

चूंकि (3cot²A - 1) को -(1 - 3cot²A) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

-cot 3A (1 - 3cot²A) = cot³A - 3cot A

cot³A को एक तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना:

cot³A = 3cot A - cot 3A (1 - 3cot²A)

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, sec²A और cosec²A को cos²A और sin²A के पदों में व्यक्त किया जा सकता है:

sec²A cosec²A = (1 / cos²A) × (1 / sin²A) = 1 / (sin²A cos²A)

चूंकि sin²A + cos²A = 1, इसे अंश में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(sin²A + cos²A) / (sin²A cos²A)

भिन्न को दो पदों में विभाजित करना:

sin²A / (sin²A cos²A) + cos²A / (sin²A cos²A) = 1 / cos²A + 1 / sin²A = sec²A + cosec²A

व्याख्या

कुल स्टॉक का मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक वस्तु के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफल का योग ज्ञात करते हैं:

मोबाइल फोन का मूल्य = 97 × 5000 = 4,85,000 कैमरों का मूल्य = 28 × 20000 = 5,60,000 टीवी का मूल्य = 80 × 33000 = 26,40,000 रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 79 × 29000 = 22,91,000 एसी का मूल्य = 94 × 27000 = 25,38,000

स्टॉक का कुल मूल्य = 4,85,000 + 5,60,000 + 26,40,000 + 22,91,000 + 25,38,000 = 85,14,000

कुल मूल्य को लाख रुपये में परिवर्तित करना: लाख रुपये में मूल्य = 85,14,000 ÷ 1,00,000 = 85.14

व्याख्या

वर्ष 2012 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 0.9 है, और आयात ₹500 करोड़ है। संबंध अनुपात = आयात / निर्यात का उपयोग करके:

2012 में निर्यात = 500 / 0.9 = 555.56 करोड़

वर्ष 2012 और 2013 के लिए संयुक्त निर्यात ₹3200 करोड़ है। इसलिए, 2013 में निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है:

2013 में निर्यात = 3200 - 555.56 = 2644.44 करोड़

वर्ष 2013 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 1 है। अनुपात संबंध का उपयोग करके:

2013 में आयात = 2013 में निर्यात × 1 = 2644.44 करोड़

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 2644 करोड़ प्राप्त होता है।

व्याख्या

10वें जन्मदिन से 15वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊँचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, 15वें जन्मदिन पर दर्ज की गई ऊँचाई से 10वें जन्मदिन पर दर्ज की गई ऊँचाई को घटाया जाता है।

दिए गए डेटा तालिका से: 10वें जन्मदिन पर ऊँचाई = 145 सेमी 15वें जन्मदिन पर ऊँचाई = 185 सेमी

ऊँचाई में वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: 185 सेमी - 145 सेमी = 40 सेमी

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे तक कुल 8 घंटे की अवधि ट्रैक की गई थी।

नींद की प्रत्येक श्रेणी का प्रतिशत कुल 100% है, जो दर्शाता है कि तालिका में दिए गए मान कुल समय का प्रतिशत दर्शाते हैं: 20% + 25% + 5% + 10% + 40% = 100%

गहन निद्रा या जागृत अवस्था में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत है: 20% + 40% = 60%

घंटों में अवधि ज्ञात करने के लिए, इस संयुक्त प्रतिशत को कुल ट्रैक किए गए समय 8 घंटे से गुणा करें: अवधि = 8 घंटे का 60% = 0.60 × 8 = 4.8 घंटे

व्याख्या

दिया गया समीकरण: (6 - 18x) - (x - 7) = 8

कोष्ठकों को खोलकर समीकरण को सरल करें: 6 - 18x - x + 7 = 8

बाईं ओर समान पदों को मिलाएं: 13 - 19x = 8

x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 13 घटाएं: -19x = 8 - 13 -19x = -5

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को -19 से विभाजित करें: x = 5/19

व्याख्या

किसी वस्तु पर दी जाने वाली छूट की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट = ₹600 - ₹450 = ₹150

छूट प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य के संबंध में निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100

छूट प्रतिशत = (150 / 600) × 100 = 25%

व्याख्या

हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण 27x² + 57x - 14 = 0 को हल कर सकते हैं। हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल 27 × (-14) = -378 हो और जिनका योग 57 हो। ये संख्याएँ 63 और -6 हैं।

समीकरण को फिर से लिखना: 27x² + 63x - 6x - 14 = 0

गुणनखंड करने के लिए पदों को समूहीकृत करना: 9x(3x + 7) - 2(3x + 7) = 0 (9x - 2)(3x + 7) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखना: 9x - 2 = 0 → x = 2/9 3x + 7 = 0 → x = -7/3

व्याख्या

चूंकि चक्रवृद्धि ब्याज अर्ध-वार्षिक आधार पर गणना की जाती है, इसलिए ब्याज दर 20% प्रति अर्ध-वार्षिक अवधि है।

ग्राहक 9200 रुपये के दो जमा करता है।

9200 रुपये का पहला जमा 1 जनवरी को किया जाता है, जो पूरे वर्ष बैंक में रहता है, जो 2 अर्ध-वार्षिक अवधियों के अनुरूप है। वर्ष के अंत में पहले जमा के लिए राशि = 9200 × (1 + 20/100)² = 9200 × 1.2² = 9200 × 1.44 = 13248 रुपये पहले जमा पर अर्जित ब्याज = 13248 - 9200 = 4048 रुपये

9200 रुपये का दूसरा जमा 1 जुलाई को किया जाता है, जो वर्ष के शेष आधे भाग के लिए बैंक में रहता है, जो 1 अर्ध-वार्षिक अवधि के अनुरूप है। वर्ष के अंत में दूसरे जमा के लिए राशि = 9200 × (1 + 20/100)¹ = 9200 × 1.2 = 11040 रुपये दूसरे जमा पर अर्जित ब्याज = 11040 - 9200 = 1840 रुपये

वर्ष के अंत में ग्राहक द्वारा अर्जित कुल ब्याज = 4048 + 1840 = 5888 रुपये

व्याख्या

चूंकि √391 लगभग 19.77 है, हम 19 तक की अभाज्य संख्याओं, जो कि 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं, से 391 की विभाज्यता का परीक्षण करते हैं। 391 को 17 से विभाजित करने पर भागफल 23 आता है और कोई शेष नहीं बचता है। इसका मतलब है कि 391 को 17 × 23 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जो इसे एक अभाज्य संख्या के बजाय एक भाज्य संख्या बनाता है।

व्याख्या

अलमारी बनाने के लिए कुल आवश्यक समय 64 घंटे है।

16 घंटे काम करने के बाद, अलमारी को पूरा करने के लिए आवश्यक शेष समय है: 64 - 16 = 48 घंटे

अलमारी का वह भाग जो अभी बनाया जाना बाकी है, वह कार्य के शेष घंटों का कुल आवश्यक घंटों से अनुपात है: 48/64 = 3/4 = 0.75

व्याख्या

मूल किराए और बढ़े हुए किराए का अनुपात 29 : 31 है। इसका मतलब है कि यदि मूल किराया 29 इकाई है, तो नया किराया 31 इकाई होगा, जिससे किराए में वृद्धि 31 - 29 = 2 इकाई होगी।

यह देखते हुए कि मूल किराया रु 725 है, हम मूल किराए की इकाइयों को इस मान के बराबर कर सकते हैं: 29 इकाई = 725

1 इकाई का मान ज्ञात करने के लिए: 1 इकाई = 725 ÷ 29 = 25

किराए में वृद्धि 2 इकाइयों द्वारा दर्शायी जाती है: किराए में वृद्धि = 2 × 25 = 50

इस प्रकार, किराए में वृद्धि रु 50 है।

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 35% कम है, इसलिए पहली संख्या 100 - 35 = 65 है।

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 40% कम है, इसलिए दूसरी संख्या 100 - 40 = 60 है।

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे 65 - 60 = 5 बढ़ाना होगा।

दूसरी संख्या के सापेक्ष आवश्यक प्रतिशत वृद्धि है: प्रतिशत वृद्धि = (5 ÷ 60) × 100% = (1 ÷ 12) × 100% = 8.33%

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 3x + 2 < 2x + 1 दोनों पक्षों से 2x घटाने पर: x + 2 < 1 दोनों पक्षों से 2 घटाने पर: x < -1

दूसरी असमानता को हल करने पर: x - 4 ≤ 2x - 1 दोनों पक्षों से x घटाने पर: -4 ≤ x - 1 दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर: -3 ≤ x

इन दोनों परिणामों को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: -3 ≤ x < -1

मान x = -2 इस संयुक्त असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि -3 ≤ -2 < -1।

व्याख्या

50 से बड़ी 7 की पहली गुणज 56 है (7 × 8 = 56)। 150 से छोटी 7 की अंतिम गुणज 147 है (7 × 21 = 147)।

ये गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका पहला पद a = 56, अंतिम पद l = 147, और सार्व अंतर d = 7 है।

पदों की संख्या n ज्ञात करने के लिए समांतर श्रेणी सूत्र का उपयोग करना: n = (l - a)/d + 1 मानों को प्रतिस्थापित करना: n = (147 - 56)/7 + 1 n = 91/7 + 1 n = 13 + 1 n = 14

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना 1 से 150 तक की कुल गुणजों की संख्या ज्ञात करके और 1 से 50 तक की गुणजों को घटाकर की जा सकती है: 150 तक की गुणजों की संख्या = floor(150/7) = 21 50 तक की गुणजों की संख्या = floor(50/7) = 7 50 और 150 के बीच कुल गुणज = 21 - 7 = 14

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

दिए गए बिंदुओं (11, -5) और (k, 0) को दूरी d = 13 के साथ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 13 = √((k - 11)² + (0 - (-5))²)

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 169 = (k - 11)² + 5² 169 = (k - 11)² + 25

दोनों पक्षों से 25 घटाने पर: 144 = (k - 11)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: k - 11 = ±12

परिणामी दो रैखिक समीकरणों को हल करने पर: k - 11 = 12 से k = 23 प्राप्त होता है k - 11 = -12 से k = -1 प्राप्त होता है

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) × (x - x₁)

दिए गए बिंदुओं (3, -2) और (5, 3) के निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

y - (-2) = ((3 - (-2)) / (5 - 3)) × (x - 3)

y + 2 = (5/2) × (x - 3)

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

2(y + 2) = 5(x - 3)

2y + 4 = 5x - 15

मानक रूप Ax + By = C में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

5x - 2y = 19

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो आसन्न भुजाओं के समान अनुपात में होते हैं।

इसलिए, ∠A के कोण समद्विभाजक AE के लिए: AB / AC = BE / EC

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9.6 / AC = 4 / 3

AC के लिए हल करने पर: AC = (9.6 × 3) / 4 AC = 2.4 × 3 AC = 7.2 सेमी

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के लिए ज्या नियम (Law of Sines) के अनुसार, किसी भुजा की लंबाई का उसके सम्मुख कोण की ज्या (sine) से अनुपात स्थिर रहता है:

a/sin(A) = b/sin(B)

मान लीजिए 45° कोण के सम्मुख भुजा a = 16 सेमी है (जहाँ A = 45°), और 90° कोण के सम्मुख भुजा b है (जहाँ B = 90°)। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

16/sin(45°) = b/sin(90°)

चूंकि sin(45°) = 1/√2 और sin(90°) = 1 है, हमें प्राप्त होता है:

16 / (1/√2) = b / 1

b = 16√2 सेमी

व्याख्या

बेलन का आयतन सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ V आयतन है, r आधार की त्रिज्या है, और h बेलन की ऊँचाई है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 385 = (22/7) × r² × 10

यह सरल हो जाता है: 385 = (220/7) × r²

r² को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: r² = (385 × 7) / 220

अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करने पर: r² = (77 × 7) / 44 r² = (7 × 7) / 4 r² = 49/4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r = 7/2 r = 3.5 सेमी

व्याख्या

गुणनफल-से-योग त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है कि:

cos X - cos Y = -2 sin((X+Y)/2) sin((X-Y)/2)

साइन फलन की ऋणात्मक कोण सर्वसमिका, sin(-θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, हम दूसरे साइन पद को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

sin((X-Y)/2) = -sin((Y-X)/2)

इसे मूल सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

cos X - cos Y = -2 sin((X+Y)/2) [-sin((Y-X)/2)]

cos X - cos Y = 2 sin((X+Y)/2) sin((Y-X)/2)

X = C और Y = D को प्रतिस्थापित करके, हमें प्राप्त होता है:

cos C - cos D = 2 sin((C+D)/2) sin((D-C)/2)

व्याख्या

माना कुकर का क्रय मूल्य C और स्टोव का क्रय मूल्य S है।

कुकर को 30% के लाभ पर बेचा गया, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 1.30 × C है। स्टोव को 20% की हानि पर बेचा गया, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 0.80 × S है।

चूंकि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है: 1.30 × C = 0.80 × S 13 × C = 8 × S C / S = 8 / 13

कुकर के क्रय मूल्य और स्टोव के क्रय मूल्य का अनुपात 8 : 13 है।

सस्ती वस्तु कुकर है, जो कुल 21 भागों (8 + 13 = 21) में से 8 भागों के निम्न अनुपात मान के अनुरूप है।

सस्ती वस्तु का क्रय मूल्य इस प्रकार गणना की जाती है: (8 / 21) × 13125 = 8 × 625 = 5000

व्याख्या

वर्गों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका, (x + y)(x - y) = x² - y² का उपयोग करते हुए, विकल्प B में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(cosecA + sinA)(cosecA - sinA) = cosec²A - sin²A

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करते हुए: cosec²A = 1 + cot²A sin²A = 1 - cos²A

इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हुए: cosec²A - sin²A = (1 + cot²A) - (1 - cos²A) = 1 + cot²A - 1 + cos²A = cot²A + cos²A

व्याख्या

7 लगातार वर्षों के राजस्व का योग औसत राजस्व को 7 से गुणा करके निकाला जाता है। इससे प्राप्त होता है: 7 वर्षों का कुल राजस्व = 7 × 71 = 497 लाख

इसी प्रकार, पहले 4 वर्षों के राजस्व का योग है: पहले 4 वर्षों का कुल राजस्व = 4 × 66 = 264 लाख

और अंतिम 4 वर्षों के राजस्व का योग है: अंतिम 4 वर्षों का कुल राजस्व = 4 × 78 = 312 लाख

पहले 4 वर्षों और अंतिम 4 वर्षों के योग में चौथे वर्ष का राजस्व दो बार शामिल है। इसलिए, चौथे वर्ष का राजस्व, पहले 4 वर्षों और अंतिम 4 वर्षों के संयुक्त योग में से 7 वर्षों के कुल राजस्व को घटाकर प्राप्त किया जाता है: चौथे वर्ष का राजस्व = (264 + 312) - 497 = 576 - 497 = 79 लाख

व्याख्या

सबसे पहले, कर्मचारियों की प्रत्येक श्रेणी को भुगतान किए गए कुल बोनस की गणना करें:

प्रबंधकों के लिए: कर्मचारियों की संख्या = 3 प्रति प्रबंधक वार्षिक वेतन = ₹54,00,000 प्रति प्रबंधक बोनस = ₹54,00,000 का 60% = ₹32,40,000 प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 3 × ₹32,40,000 = ₹97,20,000

कार्यकारियों के लिए: कर्मचारियों की संख्या = 5 प्रति कार्यकारी वार्षिक वेतन = ₹8,00,000 प्रति कार्यकारी बोनस = ₹8,00,000 का 30% = ₹2,40,000 कार्यकारियों के लिए कुल बोनस = 5 × ₹2,40,000 = ₹12,00,000

प्रशिक्षुओं के लिए: कर्मचारियों की संख्या = 5 प्रति प्रशिक्षु वार्षिक वेतन = ₹4,00,000 प्रति प्रशिक्षु बोनस = ₹4,00,000 का 10% = ₹40,000 प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 5 × ₹40,000 = ₹2,00,000

इसके बाद, समग्र कुल बोनस प्राप्त करने के लिए बोनस का योग करें: कुल बोनस = ₹97,20,000 + ₹12,00,000 + ₹2,00,000 = ₹1,11,20,000

कर्मचारियों की कुल संख्या ज्ञात करें: कुल कर्मचारी = 3 + 5 + 5 = 13

अंत में, प्रति कर्मचारी औसत बोनस की गणना करें: औसत बोनस = कुल बोनस ÷ कुल कर्मचारी = ₹1,11,20,000 ÷ 13 ≈ ₹8,55,385

व्याख्या

कंपनी का 5 साल की अवधि में कुल लाभ या हानि की गणना प्रत्येक वर्ष के लाभ और हानि के मानों का योग करके की जाती है:

कुल = 25 - 5 + 5 - 5 + 25 = 45

चूंकि अंतिम योग एक सकारात्मक मान है, इसलिए कंपनी ने पिछले 5 वर्षों में 45 करोड़ रुपये का शुद्ध लाभ अर्जित किया।

व्याख्या

बिना किसी ऑफर के, समूह के लिए कुल लागत 25 वयस्कों और 5 बच्चों के लिए व्यक्तिगत टिकट कीमतों का योग है: कुल सामान्य लागत = (25 × 1200) + (5 × 800) = 30000 + 4000 = ₹34000

प्रचार प्रस्ताव के तहत, प्रत्येक दो वयस्कों के लिए एक बच्चा मुफ्त जाता है। 25 वयस्कों के साथ, 12 बच्चों तक मुफ्त प्रवेश मिल सकता है। चूंकि समूह में केवल 5 बच्चे हैं, इसलिए सभी 5 बच्चे मुफ्त में प्रवेश कर सकते हैं। इसका मतलब है कि छूट की राशि 5 बच्चों के टिकट की कीमत के बराबर है: छूट राशि = 5 × 800 = ₹4000

छूट प्रतिशत की गणना छूट राशि को कुल सामान्य लागत से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है: छूट प्रतिशत = (4000 / 34000) × 100 = (4 / 34) × 100 = (2 / 17) × 100 = 200 / 17 % ≈ 11.76%

व्याख्या

माना x = 0.363636...

चूंकि दोहराए जाने वाले ब्लॉक में दो अंक हैं, इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें: 100x = 36.363636...

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं: 100x - x = 36.363636... - 0.363636... 99x = 36 x = 36/99

अंश और हर दोनों को 9 से विभाजित करने पर: x = 4/11

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य (लाख रुपये में) CP है।

जब मशीन 52 लाख रुपये में बेची जाती है, तो हुआ घाटा CP - 52 है।

जब मशीन 62 लाख रुपये में बेची जाती है, तो हुआ लाभ 62 - CP है।

जैसा कि दिया गया है, लाभ घाटे का 9 गुना है: 62 - CP = 9 × (CP - 52) 62 - CP = 9CP - 468 10CP = 530 CP = 53