एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बिना किसी छूट के टिकटों की सामान्य लागत की गणना सभी वयस्क और बाल टिकटों की व्यक्तिगत लागतों को जोड़कर की जाती है। कुल सामान्य लागत = (25 × 1500) + (12 × 800) = 37500 + 9600 = 47100

नियम के अनुसार, 2 वयस्कों के साथ 1 बच्चा मुफ्त जाता है। 25 वयस्कों के साथ, वयस्कों के जोड़ों की अधिकतम संख्या 25 को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त पूर्णांक है, जो कि 12 जोड़े हैं। इसका मतलब है कि 12 बच्चों तक मुफ्त प्रवेश मिल सकता है। चूंकि समूह में ठीक 12 बच्चे हैं, उन सभी को मुफ्त प्रवेश मिलता है।

छूट की राशि 12 बच्चों के टिकटों की कुल लागत है जिसका भुगतान समूह को नहीं करना पड़ता है। छूट राशि = 12 × 800 = 9600

छूट प्रतिशत की गणना छूट राशि और कुल सामान्य लागत के अनुपात को 100 से गुणा करके की जाती है। छूट प्रतिशत = (9600 / 47100) × 100 ≈ 20.38%

व्याख्या

मानक गुणन-से-योग त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)

A = (C + D)/2 और B = (C - D)/2 सेट करके, हम पाते हैं: A + B = (C + D)/2 + (C - D)/2 = 2C/2 = C A - B = (C + D)/2 - (C - D)/2 = 2D/2 = D

इन व्यंजकों को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

2 cos((C + D)/2) cos((C - D)/2) = cos C + cos D

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करके, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: cot²A cos²A = cot²A (1 - sin²A)

कोष्ठकों के अंदर के पदों में cot²A का गुणा करने पर:

= cot²A - cot²A sin²A

भागफल सर्वसमिका cot A = cos A / sin A का उपयोग करके, हम cot²A को cos²A / sin²A के रूप में लिख सकते हैं:

= cot²A - (cos²A / sin²A) sin²A

दूसरे पद से sin²A को रद्द करने पर प्राप्त होता है:

= cot²A - cos²A

व्याख्या

प्रत्येक उत्पाद श्रेणी के लिए स्टॉक का मूल्य उसकी मात्रा को उसकी औसत लागत से गुणा करके निकाला जाता है:

मोबाइल फोन का मूल्य = 70 × 9000 = 630000 रुपये कैमरे का मूल्य = 70 × 9000 = 630000 रुपये टीवी का मूल्य = 82 × 49000 = 4018000 रुपये रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 88 × 49000 = 4312000 रुपये एसी का मूल्य = 37 × 27000 = 999000 रुपये

इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ने पर कुल स्टॉक का मूल्य प्राप्त होता है: कुल मूल्य = 630000 + 630000 + 4018000 + 4312000 + 999000 = 10589000 रुपये

कुल राशि को रुपये से लाख रुपये में बदलने के लिए, हम 100000 से भाग देते हैं: लाख में कुल मूल्य = 10589000 ÷ 100000 = 105.89 लाख रुपये

व्याख्या

2012 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 1.1 है: आयात(2012) / निर्यात(2012) = 1.1

यह देखते हुए कि 2012 में आयात 1000 करोड़ रुपये था: निर्यात(2012) = 1000 / 1.1 = 909.09 करोड़

चूंकि 2012 और 2013 में कुल निर्यात मिलाकर 3200 करोड़ रुपये था, इसलिए 2013 में निर्यात की गणना इस प्रकार की जा सकती है: निर्यात(2013) = 3200 - निर्यात(2012) निर्यात(2013) = 3200 - 909.09 = 2290.91 करोड़

2013 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 0.9 है: आयात(2013) / निर्यात(2013) = 0.9

निर्यात(2013) का मान रखने पर: आयात(2013) = 0.9 × 2290.91 = 2061.82 करोड़

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, 2013 में आयात 2062 करोड़ रुपये था।

व्याख्या

ऊंचाई में वृद्धि की गणना 14वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई में से 5वें जन्मदिन पर ऊंचाई घटाकर की जाती है।

तालिका से: 14वें जन्मदिन पर ऊंचाई = 175 सेमी 5वें जन्मदिन पर ऊंचाई = 105 सेमी

ऊंचाई में वृद्धि = 175 - 105 = 70 सेमी

व्याख्या

रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच कुल निगरानी अवधि 8 घंटे है।

दर्ज किए गए डेटा तालिका के आधार पर: स्वप्न देखने में बिताया गया समय = 10% अत्यंत हल्की नींद में बिताया गया समय = 25%

इन दो श्रेणियों को मिलाने पर कुल प्राप्त होता है: 10% + 25% = 35%

घंटों में अवधि ज्ञात करने के लिए, हम कुल 8 घंटे का 35% गणना करते हैं: 8 घंटे का 35% = (35/100) × 8 = 0.35 × 8 = 2.8 घंटे

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण को सरल करें:

(9 - 3x) - (17x - 10) = -1

कोष्ठकों को हटाएँ और ऋणात्मक चिह्न को वितरित करें:

9 - 3x - 17x + 10 = -1

समीकरण के बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें:

19 - 20x = -1

समीकरण के दोनों पक्षों से 19 घटाएँ:

-20x = -20

दोनों पक्षों को -20 से विभाजित करें:

x = 1

व्याख्या

दिए गए पदों को जोड़ने वाली बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a - b)² = a² + b² - 2ab

सर्वसमिका में दिए गए मानों, a - b = -7 और a² + b² = 85 को प्रतिस्थापित करने पर: (-7)² = 85 - 2ab 49 = 85 - 2ab

ab के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2ab = 85 - 49 2ab = 36 ab = 18

व्याख्या

चूंकि प्रबोध 30 दिनों में काम का ½ भाग पूरा करता है, वह अकेले पूरा काम 30 × 2 = 60 दिनों में पूरा कर सकता है।

इसी तरह, सपन शेष ½ काम को 45 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि सपन अकेले पूरा काम 45 × 2 = 90 दिनों में पूरा कर सकता है।

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर काम करने में लगने वाले समय के मानक सूत्र का उपयोग करके, आवश्यक कुल दिन हैं: (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂) = (60 × 90) / (60 + 90) = 5400 / 150 = 36 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए कि गैर-शून्य संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के तिगुने का योग 52/7 के बराबर है। इसे समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

x + 3/x = 52/7

समीकरण के बाईं ओर x = 7 रखने पर:

7 + 3/7 = (49 + 3)/7 = 52/7

चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष से मेल खाता है, इसलिए संख्या का मान 7 है।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम दो असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं।

पहली असमानता: 2x - 2(3 + 4x) < -1 - 2x 2x - 6 - 8x < -1 - 2x -6 - 6x < -1 - 2x -5 < 4x x > -5/4 x > -1.25

दूसरी असमानता: -1 - 2x > -5/3 - x/3 दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: -3 - 6x > -5 - x 2 > 5x x < 2/5 x < 0.4

दोनों शर्तों को मिलाने पर अंतराल -1.25 < x < 0.4 प्राप्त होता है। मान -1 इस सीमा के भीतर आता है, जिससे यह x के लिए एक मान्य मान बन जाता है।

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

अनुपात = वजन ÷ ऊंचाई

दिए गए डेटा का उपयोग करके, आकृति के लिए वजन से ऊंचाई का अनुपात है:

51 ÷ 1.76 ≈ 28.98 किग्रा/मी

अन्य के लिए अनुपात की गणना: Aabha: 68 ÷ 1.68 ≈ 40.48 किग्रा/मी Aahana: 77 ÷ 1.57 ≈ 49.04 किग्रा/मी Aakaanksha: 55 ÷ 1.8 ≈ 30.56 किग्रा/मी

आकृति का मान सभी में न्यूनतम है, जो लगभग 28.98 किग्रा/मी है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (राजस्व - व्यय) / व्यय × 100

दिए गए डेटा से, सबसे कम लाभ प्रतिशत वर्ष 2011 में 10% है।

दिए गए 225 करोड़ रुपये के व्यय का उपयोग करके: 10 = (राजस्व - 225) / 225 × 100 0.1 = (राजस्व - 225) / 225 22.5 = राजस्व - 225 राजस्व = 225 + 22.5 = 247.5

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या की गणना सोसाइटी में बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

घरों की कुल संख्या आवृत्ति कॉलम में घरों का योग है: 4 + 10 + 19 + 3 = 36 घर।

बच्चों की कुल संख्या बच्चों की संख्या और घरों की संख्या के गुणनफल का योग है: (0 × 4) + (1 × 10) + (2 × 19) + (3 × 3) = 0 + 10 + 38 + 9 = 57 बच्चे।

बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 57 / 36 = 1.5833... जिसे 1.58 तक पूर्णांकित किया जाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों के व्युत्क्रम संबंध द्वारा: cosec θ = 1 / sin θ

θ = 135° रखने पर: cosec 135° = 1 / sin 135°

सर्वसमिका sin(180° - A) = sin A का प्रयोग करके: sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45°

sin 45° = 1/√2 रखने पर: cosec 135° = 1 / (1/√2) = √2

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दी गई संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित करके हल करते हैं।

पहली असमानता: 4(x + 1) - 3 < 3 - x 4x + 4 - 3 < 3 - x 4x + 1 < 3 - x 5x < 2 x < 2/5

दूसरी असमानता: 3 - x < 2x + 5 -x - 2x < 5 - 3 -3x < 2 x > -2/3

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: -2/3 < x < 2/5

इन भिन्नों को दशमलव में बदलने पर: -0.67 < x < 0.40

मान 0 इस अंतराल में स्थित है, जो दी गई संयुक्त असमानता को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

शेष ठोस का आयतन, ठोस लकड़ी के घन के आयतन में से खोखले किए गए शंकु के आयतन को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

शेष घन का आयतन = घन का आयतन - शंकु का आयतन

'a' भुजा वाले घन का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: घन का आयतन = a³

दिया गया है कि घन की भुजा a = 7 सेमी है, तो इसका आयतन है: घन का आयतन = 7³ = 343 घन सेमी

'r' त्रिज्या और 'h' ऊंचाई वाले शंकु का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: शंकु का आयतन = (1/3) × π × r² × h

शंकु का व्यास घन की भुजा के बराबर है, जो कि 7 सेमी है, जिससे त्रिज्या r = 7/2 = 3.5 सेमी हो जाती है। शंकु की ऊंचाई h भी घन की भुजा के बराबर है, जो कि 7 सेमी है। π ≈ 22/7 का उपयोग करते हुए: शंकु का आयतन = (1/3) × (22/7) × (7/2)² × 7 शंकु का आयतन = (1/3) × (22/7) × (49/4) × 7 शंकु का आयतन = 269.5 / 3 ≈ 89.83 घन सेमी

शंकु के आयतन को घन के आयतन से घटाने पर प्राप्त होता है: शेष घन का आयतन = 343 - 89.83 = 253.17 घन सेमी

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है और अन्य दो संख्याओं का योग S है।

तीन संख्याओं का औसत 72 है, जिसका अर्थ है कि उनका कुल योग है: x + S = 3 × 72 = 216

हमें दिया गया है कि पहली संख्या अन्य दो के योग का 2/7 गुना है: x = 2/7 × S S = 7/2 × x

योग समीकरण में S का मान रखने पर: x + 7/2 × x = 216 9/2 × x = 216 x = 216 × 2/9 x = 24 × 2 x = 48

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:

1 + cot²A = cosec²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(1 + cot²A) = cosecA

चूंकि दिया गया व्यंजक x = √(1 + cot²A) है, इसलिए x का मान cosecA है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक tan⁴A + tan²A को tan²A को गुणनखंडित करके सरल बनाया जा सकता है:

tan⁴A + tan²A = tan²A (tan²A + 1)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²A = 1 + tan²A का उपयोग करके, हम (tan²A + 1) के स्थान पर sec²A प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

= tan²A · sec²A

अगला, व्यंजक में tan²A = sec²A - 1 प्रतिस्थापित करके:

= (sec²A - 1) sec²A = sec⁴A - sec²A

व्याख्या

जब एक बिंदु R(a, b) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके निर्देशांकों के चिह्न बदल जाते हैं, जिससे R1(-a, -b) प्राप्त होता है।

जब किसी बिंदु का x-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके y-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है जबकि उसका x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है। R1(-a, -b) पर इस प्रतिबिंब को लागू करने पर निर्देशांक (-a, b) प्राप्त होते हैं।

(-a, b) को दिए गए अंतिम निर्देशांक (-3, 4) के बराबर करने पर: -a = -3, जिससे a = 3 प्राप्त होता है b = 4

इसलिए, बिंदु R(a, b) के निर्देशांक (3, 4) हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय विस्तार सूत्रों (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके, हम प्रत्येक द्विपद पद का विस्तार करते हैं:

(x + 5)² = x² + 10x + 25 (x - 3)² = x² - 6x + 9

इन विस्तारित पदों को एक साथ जोड़ने पर: (x² + 10x + 25) + (x² - 6x + 9) = 2x² + 4x + 34

सरलीकृत बहुपद से 2 के सामान्य गुणनखंड को बाहर निकालने पर: 2(x² + 2x + 17)

व्याख्या

भिन्न 3565/1495 के सरलतम रूप को ज्ञात करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करते हैं।

सबसे पहले, 3565 को 1495 से विभाजित करें: 3565 = 1495 × 2 + 575

इसके बाद, 1495 को शेषफल 575 से विभाजित करें: 1495 = 575 × 2 + 345

इसके बाद, 575 को शेषफल 345 से विभाजित करें: 575 = 345 × 1 + 230

इसके बाद, 345 को शेषफल 230 से विभाजित करें: 345 = 230 × 1 + 115

अंत में, 230 को शेषफल 115 से विभाजित करें: 230 = 115 × 2 + 0

चूंकि शेषफल 0 है, GCD 115 है।

अंश और हर दोनों को उनके GCD 115 से विभाजित करने पर: 3565 ÷ 115 = 31 1495 ÷ 115 = 13

इस प्रकार, भिन्न का सरलतम रूप 31/13 है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या में 42 जोड़ने पर वह स्वयं का 121% हो जाती है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x + 42 = 1.21x

समीकरण के दोनों पक्षों से x घटाने पर:

0.21x = 42

x के लिए हल करने पर:

x = 42 / 0.21 x = 4200 / 21 x = 200

व्याख्या

कंपनी ने कुल छह लाख शेयर जारी किए हैं, जो 6,00,000 शेयरों के बराबर है।

एजाज के पास शुरू में कुल शेयरों का 45% है।

एजाज द्वारा धारित शेयरों की प्रारंभिक संख्या = 6,00,000 का 45% = (45 ÷ 100) × 6,00,000 = 2,70,000 शेयर

जब बासु एजाज को 15,000 शेयर बेचता है, तो ये शेयर सीधे एजाज की प्रारंभिक होल्डिंग्स में जुड़ जाते हैं।

बासु से खरीदने के बाद एजाज द्वारा धारित शेयरों की कुल संख्या = 2,70,000 + 15,000 = 2,85,000 शेयर

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 15 किमी/घंटा + 20 किमी/घंटा = 35 किमी/घंटा

मिलने का समय 42 मिनट दिया गया है। इसे घंटों में बदलने के लिए, 60 से भाग दें:

समय = 42/60 घंटे = 0.7 घंटे

उनके बीच की प्रारंभिक दूरी उनकी सापेक्ष गति और उनके मिलने में लगे समय का गुणनफल होती है:

दूरी = सापेक्ष गति × समय दूरी = 35 किमी/घंटा × 0.7 घंटे = 24.5 किमी

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती x, संबंध a/b = b/x द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र x = b²/a प्राप्त होता है।

दिए गए मानों, a = 7 और b = 21 को प्रतिस्थापित करने पर: x = 21² / 7 x = 441 / 7 x = 63

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों (या छूट के बाद कैशबैक) की प्रभावी छूट की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂) / 100

यहां, प्रारंभिक छूट d₁ 30% है और कैशबैक छूट d₂ 5% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 30 + 5 - (30 × 5) / 100 प्रभावी छूट = 35 - 150 / 100 प्रभावी छूट = 35 - 1.5 प्रभावी छूट = 33.5%

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

SI = (P × R × T) / 100

जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूल धनराशि है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

7056 = (P × 8 × 7) / 100

7056 = (P × 56) / 100

P = (7056 × 100) / 56

P = 126 × 100

P = 12600

वह धनराशि ₹ 12600 है।

व्याख्या

दीवार बनाने के लिए मिस्त्री द्वारा लिया गया कुल समय 18 घंटे है। इसका मतलब है कि मिस्त्री 1 घंटे में दीवार का 1/18 भाग पूरा करता है।

9 घंटे में, दीवार का पूरा किया गया भाग है: 9 × 1/18 = 9/18 = 0.5

दीवार का वह भाग जो अभी बनाया जाना बाकी है, वह है: 1 - 0.5 = 0.5

व्याख्या

त्रिभुज ABC की माध्यिका AD शीर्ष A को सम्मुख भुजा BC के मध्यबिंदु D से जोड़ती है।

सबसे पहले, B(5, -4) और C(3, 2) के निर्देशांकों का उपयोग करके मध्यबिंदु सूत्र से भुजा BC के मध्यबिंदु D के निर्देशांक ज्ञात करें: D = ((5 + 3)/2, (-4 + 2)/2) = (4, -1)

अगला, A(-1, -3) और D(4, -1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें। इस रेखा का ढलान m इस प्रकार गणना की जाती है: m = (-1 - (-3)) / (4 - (-1)) = 2/5

बिंदु D(4, -1) के साथ रैखिक समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके: y - (-1) = (2/5)(x - 4) y + 1 = (2/5)(x - 4) 5y + 5 = 2x - 8 2x - 5y = 13

व्याख्या

माना कि एक आईफोन का विक्रय मूल्य S है। 8 आईफोन का विक्रय मूल्य 8S है।

अर्जित लाभ 3 आईफोन के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 3S है।

इन 8 आईफोन का क्रय मूल्य उनके विक्रय मूल्य और अर्जित लाभ का अंतर है: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ क्रय मूल्य = 8S - 3S = 5S

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (3S / 5S) × 100 = 60%

व्याख्या

दो संख्याओं के घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका है: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

सूत्र में a + b = 10 और ab = 24 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = 10³ - 3 × 24 × 10 a³ + b³ = 1000 - 720 a³ + b³ = 280

व्याख्या

माना कोण का माप x है।

चूंकि दो पूरक कोणों का योग 90° होता है, इसलिए x का पूरक कोण 90° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने पूरक कोण से 40° अधिक है: x = (90° - x) + 40° 2x = 130° x = 65°

व्याख्या

एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। जब एक समचतुर्भुज में एक विकर्ण खींचा जाता है, तो यह आकृति को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, विकर्ण AC वाले समचतुर्भुज ABCD में, हमारे पास दो त्रिभुज ABC और ADC हैं। इन त्रिभुजों में, AB = AD और BC = DC क्योंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। विकर्ण AC दोनों त्रिभुजों की एक उभयनिष्ठ भुजा है। भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, त्रिभुज ABC, त्रिभुज ADC के सर्वांगसम है। इसी प्रकार, विकर्ण BD समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों, ABD और CBD में विभाजित करता है। इसलिए, एक समचतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या के तिगुने और उसके व्युत्क्रम के दोगुने का योग 97/4 है। इसे समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

3x + 2/x = 97/4

हरों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4x से गुणा करने पर:

12x² + 8 = 97x

इसे एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर:

12x² - 97x + 8 = 0

इसे गुणनखंडन द्वारा हल करने पर:

12x² - 96x - x + 8 = 0 12x(x - 8) - 1(x - 8) = 0 (12x - 1)(x - 8) = 0

इससे x = 8 या x = 1/12 प्राप्त होता है। चूंकि 8 पूर्णांक हल है, हम इसे प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित कर सकते हैं:

3(8) + 2/8 = 24 + ¼ = 97/4

यह दी गई शर्त को पूरी तरह से संतुष्ट करता है।

व्याख्या

औसत बोनस रुपयों में ज्ञात करने के लिए, हम पहले कर्मचारियों की कुल संख्या और भुगतान किए गए कुल बोनस की गणना करते हैं।

कर्मचारियों की कुल संख्या 2 + 12 + 1 = 15 है।

2 प्रबंधकों को भुगतान किया गया कुल बोनस 2 × (₹3,000,000 का 40%) = 2 × ₹1,200,000 = ₹2,400,000 है।

12 कार्यकारी को भुगतान किया गया कुल बोनस 12 × (₹800,000 का 20%) = 12 × ₹160,000 = ₹1,920,000 है।

1 प्रशिक्षु को भुगतान किया गया कुल बोनस 1 × (₹400,000 का 10%) = ₹40,000 है।

इन राशियों को जोड़कर, सभी कर्मचारियों को भुगतान किया गया कुल बोनस ₹2,400,000 + ₹1,920,000 + ₹40,000 = ₹4,360,000 है।

प्रति कर्मचारी औसत बोनस की गणना कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत बोनस = 4,360,000 / 15 ≈ ₹290,667।

व्याख्या

उन वर्षों के युग्म को ज्ञात करने के लिए जिनके लिए तीनों कंपनियों द्वारा कुल निर्यात एक समान है, हम प्रत्येक वर्ष के लिए कंपनी A, कंपनी B और कंपनी C के निर्यात का योग ज्ञात करते हैं:

वर्ष 2011 के लिए: 1000 + 5000 + 1000 = 7000 लाख रुपये वर्ष 2012 के लिए: 1000 + 1000 + 3000 = 5000 लाख रुपये वर्ष 2013 के लिए: 1000 + 3000 + 2000 = 6000 लाख रुपये वर्ष 2014 के लिए: 3000 + 2000 + 4000 = 9000 लाख रुपये वर्ष 2015 के लिए: 1000 + 4000 + 4000 = 9000 लाख रुपये

वर्ष 2014 और 2015 के लिए कुल निर्यात समान हैं, दोनों 9000 लाख रुपये हैं।

व्याख्या

कंपनी का पिछले पांच वर्षों में कुल लाभ या हानि 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लाभ और हानि के बीजगणितीय योग को ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है।

कुल = 10 + (-25) + 20 + (-20) + 25

मानों को संयोजित करना: कुल = 10 - 25 + 20 - 20 + 25

योगात्मक व्युत्क्रमों को रद्द करके, जहाँ +20 और -20 एक दूसरे को रद्द करते हैं और -25 और +25 एक दूसरे को रद्द करते हैं: कुल = 10

10 का धनात्मक परिणाम 10 करोड़ रुपये के शुद्ध लाभ को इंगित करता है।

व्याख्या

कुल निर्यात में से आभूषण निर्यात का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रतिशत = (आभूषण निर्यात का मूल्य ÷ कुल निर्यात का मूल्य) × 100

सबसे पहले, सभी सूचीबद्ध क्षेत्रों के मूल्यों को जोड़कर भारत के कुल निर्यात का मूल्य ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 625 + 550 + 850 + 850 + 525 = 3400 मिलियन अमेरिकी डॉलर आभूषण निर्यात का मूल्य 625 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (625 ÷ 3400) × 100 = 625 ÷ 34 ≈ 18.38%

व्याख्या

दिया गया व्यंजक दो असमानताओं की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है।

पहली असमानता को हल करना: 5(4 - x) - 4 < 3x - 2 20 - 5x - 4 < 3x - 2 16 - 5x < 3x - 2 18 < 8x x > 18/8 x > 2.25

दूसरी असमानता को हल करना: 3x - 2 > 4x - 6 4 > x x < 4

इन परिणामों को मिलाने पर x की सीमा इस प्रकार प्राप्त होती है: 2.25 < x < 4

इस सीमा में एकमात्र पूर्णांक मान 3 है।

व्याख्या

माँ की केक बनाने की दर 20 केक / 4 घंटे = 5 केक प्रति घंटा है।

माँ और दादी माँ की संयुक्त केक बनाने की दर 60 केक / 10 घंटे = 6 केक प्रति घंटा है।

संयुक्त दर से माँ की दर घटाने पर, दादी माँ की केक बनाने की दर 6 - 5 = 1 केक प्रति घंटा है।

30 घंटे में दादी माँ द्वारा बनाए जा सकने वाले केक की संख्या 1 केक प्रति घंटा × 30 घंटे = 30 केक है।

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, और z हैं। चूँकि उनका औसत 70 है, उनका योग है: x + y + z = 3 × 70 = 210

पहली संख्या, x, अन्य दो संख्याओं, जो y + z हैं, के योग का 1/9 गुना है: x = (y + z) / 9 y + z = 9x

इस संबंध को तीन संख्याओं के योग में प्रतिस्थापित करने पर: x + 9x = 210 10x = 210 x = 21

व्याख्या

मध्यबिंदु सूत्र बताता है कि यदि P(x, y), A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है, तो:

x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

दिए गए निर्देशांक P(-1, 1) और A(4, 3) को प्रतिस्थापित करने पर:

-1 = (4 + x₂) / 2 -2 = 4 + x₂ x₂ = -6

1 = (3 + y₂) / 2 2 = 3 + y₂ y₂ = -1

इससे B के निर्देशांक (-6, -1) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत लगातार वर्षों के अंत में राशि (1 + r/100) के गुणक से बढ़ती है, जहाँ r वार्षिक ब्याज दर है।

इस प्रकार, दूसरे वर्ष (A₂) और तीसरे वर्ष (A₃) के अंत में राशि के बीच संबंध है: A₃ = A₂ × (1 + r/100)

इसे ब्याज दर ज्ञात करने के लिए पुनः लिखा जा सकता है: r = ((A₃ - A₂) / A₂) × 100%

दिए गए मान A₂ = 33708 और A₃ = 35730.48 को प्रतिस्थापित करने पर: r = ((35730.48 - 33708) / 33708) × 100% r = (2022.48 / 33708) × 100% r = 202248 / 33708 % r = 6%

व्याख्या

आयत ABCD में, आसन्न भुजाएँ DA और AB एक दूसरे पर लंबवत होती हैं। दो लंबवत रेखाओं के ढलानों का गुणनफल हमेशा -1 के बराबर होता है।

यदि भुजा DA का ढलान m₁ = 1/3 है और भुजा AB का ढलान m₂ है, तो:

m₁ × m₂ = -1

दिए गए ढलान को प्रतिस्थापित करने पर:

(1/3) × m₂ = -1

m₂ के लिए हल करने पर प्राप्त होता है:

m₂ = -3

व्याख्या

मान लीजिए एक जूते का विक्रय मूल्य SP है और एक जूते का क्रय मूल्य CP है।

23 जूते बेचने से लाभ है: लाभ = 23 × SP - 23 × CP

दिया गया है कि लाभ 7 जूतों के विक्रय मूल्य के बराबर है: 7 × SP = 23 × SP - 23 × CP 23 × CP = 16 × SP

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (7 × SP / (23 × CP)) × 100

समीकरण में 23 × CP = 16 × SP प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (7 × SP / (16 × SP)) × 100 लाभ प्रतिशत = 7/16 × 100 लाभ प्रतिशत = 43.75%

व्याख्या

x के लिए रैखिक समीकरण को हल करना: 3x - 7 = 5x - 1 2x = -6 x = -3

x = -3 को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करना: (x - 4)² = (-3 - 4)² = (-7)² = 49

व्याख्या

सही उत्तर: D

मान लीजिए हरिप्रसाद का वेतन H है।

गिरी का वेतन हरिप्रसाद के वेतन का 9/5 गुना है, जो 9/5 × H के बराबर है। शौकत का वेतन हरिप्रसाद के वेतन का 9/2 गुना है, जो 9/2 × H के बराबर है।

गिरी के वेतन का शौकत के वेतन से अनुपात, गिरी के वेतन को शौकत के वेतन से विभाजित करके निकाला जाता है:

(9/5 × H) ÷ (9/2 × H) = (9/5) ÷ (9/2) = (9/5) × (2/9) = 2/5 = 2:5