एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कुल बिजली बिल x है।

यदि बिल का 25% काट लिया जाता है, तो भुगतान की जाने वाली शेष राशि 100% - 25% = 75% है।

दी गई जानकारी के अनुसार, यह 75% 1788 रुपये के बराबर है। हम संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं:

x का 75% = 1788

0.75 × x = 1788

x = 1788 / 0.75

x = 1788 × 4/3

x = 596 × 4

x = 2384

व्याख्या

चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का योग था: 60 - 4 - 4 = 52 वर्ष

चूंकि चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का अनुपात 7:6 था, कुल अनुपात भाग 7 + 6 = 13 के बराबर हैं।

प्रत्येक अनुपात भाग का मान है: 52 / 13 = 4 वर्ष

चार वर्ष पूर्व पति की आयु थी: 7 × 4 = 28 वर्ष

पति की वर्तमान आयु है: 28 + 4 = 32 वर्ष

व्याख्या

पहली असमानता को हल करें: 5x - 1 < 3x + 2 2x < 3 x < 3/2

दूसरी असमानता को हल करें: 5x + 5 > 6 - 2x 7x > 1 x > 1/7

दोनों असमानताओं को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: 1/7 < x < 3/2

मान 1 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि 1/7 < 1 < 1.5।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी के n-वें पद का सूत्र aₙ = a + (n - 1)d है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

दिए गए पदों का उपयोग करके: a₅ = a + 4d = 9 a₁₂ = a + 11d = -26

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 7d = -35 d = -5

5वें पद के समीकरण में d = -5 रखने पर: a + 4(-5) = 9 a = 29

यह ज्ञात करने के लिए कि -6 कौन सा पद है, हम n-वें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं: aₙ = a + (n - 1)d = -6 29 + (n - 1)(-5) = -6 (n - 1)(-5) = -35 n - 1 = 7 n = 8

व्याख्या

कार्टेशियन तल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी मानक दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

निर्देशांक (11, -5) और (-1, 0) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = √((-1 - 11)² + (0 - (-5))²) d = √((-12)² + 5²) d = √(144 + 25) d = √169 d = 13 इकाई

व्याख्या

ढलान m और बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान सूत्र द्वारा दिया जाता है:

y - y₁ = m(x - x₁)

ढलान m = 4/3 और बिंदु (x₁, y₁) = (-7, 2) को प्रतिस्थापित करने पर:

y - 2 = (4/3)(x - (-7))

y - 2 = (4/3)(x + 7)

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर:

3(y - 2) = 4(x + 7)

3y - 6 = 4x + 28

चरों को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

4x - 3y = -34

व्याख्या

त्रिभुज PQR में, ST, QR के समानांतर है, जिसमें S, PQ पर और T, PR पर है। इससे त्रिभुज PST, त्रिभुज PQR के समरूप हो जाता है क्योंकि कोण PST, कोण PQR के बराबर है और कोण PTS, कोण PRQ के बराबर है क्योंकि वे संगत कोण हैं, जबकि कोण P दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है, जिससे यह प्राप्त होता है: ST/QR = PS/PQ

बिंदु S, भुजा PQ को 1:5 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है: PS/SQ = 1/5

PQ की कुल लंबाई PS और SQ का योग है। इसलिए, PS का पूरी भुजा PQ से अनुपात है: PS/PQ = PS/(PS + SQ) = 1/(1 + 5) = 1/6

इस अनुपात को समरूपता संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: ST/QR = 1/6

QR की दी गई लंबाई 15 सेमी का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: ST/15 = 1/6 ST = 15/6 ST = 2.5 सेमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में संचित राशि अगले वर्ष के लिए ब्याज अर्जित करती है। इसलिए, दूसरे वर्ष (A₂) और तीसरे वर्ष (A₃) के अंत में राशि के बीच वार्षिक ब्याज दर r के साथ संबंध है:

A₃ = A₂ × (1 + r/100)

दिया गया है A₂ = रु 16854 और A₃ = रु 17865.24:

17865.24 = 16854 × (1 + r/100)

तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज इन दोनों राशियों के बीच का अंतर है:

ब्याज = 17865.24 - 16854 = 1011.24

इसका उपयोग करके, ब्याज दर की गणना इस प्रकार की जाती है:

r = (1011.24 / 16854) × 100

r = 101124 / 16854

r = 6

व्याख्या

मान लीजिए मेघनाद की दक्षता E है। चूँकि वह 45 घंटे में काम पूरा करता है, इसलिए कुल काम 45E द्वारा दर्शाया गया है।

जयश्री मेघनाद से 50% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि जयश्री की दक्षता E + 0.5E = 1.5E है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त दक्षता उनकी व्यक्तिगत दक्षता का योग होती है: E + 1.5E = 2.5E

उन दोनों द्वारा एक साथ काम पूरा करने में लगने वाला समय कुल काम को उनकी संयुक्त दक्षता से विभाजित करके गणना की जाती है: 45E / 2.5E = 45 / 2.5 = 18 घंटे

व्याख्या

छठे वर्ष का राजस्व पहले छह वर्षों और अंतिम छह वर्षों दोनों में गिना जाता है। इसलिए, इसका मान पहले छह वर्षों और अंतिम छह वर्षों के राजस्व के योग में से ग्यारह वर्षों के कुल राजस्व को घटाकर निकाला जा सकता है।

11 वर्षों का कुल राजस्व = 11 × 77 = 847 लाख पहले 6 वर्षों का कुल राजस्व = 6 × 72 = 432 लाख अंतिम 6 वर्षों का कुल राजस्व = 6 × 84 = 504 लाख

छठे वर्ष का राजस्व = (पहले 6 वर्षों का कुल राजस्व + अंतिम 6 वर्षों का कुल राजस्व) - 11 वर्षों का कुल राजस्व छठे वर्ष का राजस्व = (432 + 504) - 847 छठे वर्ष का राजस्व = 936 - 847 = 89 लाख

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, AD भुजा CB पर माध्यिका है। चूँकि D, CB का मध्यबिंदु है और CB = 16 सेमी है, हमारे पास है:

BD = CD = CB / 2 = 16 / 2 = 8 सेमी

हमें दिया गया है कि माध्यिका AD की लंबाई 8 सेमी है। इसलिए:

AD = BD = CD = 8 सेमी

त्रिभुज ABD में, चूँकि AD = BD, सम्मुख कोण बराबर हैं: कोण BAD = कोण ABD = x

त्रिभुज ACD में, चूँकि AD = CD, सम्मुख कोण बराबर हैं: कोण CAD = कोण ACD = y

त्रिभुज ABC में कोणों का योग है: कोण ABC + कोण ACB + कोण CAB = 180° x + y + (x + y) = 180° 2(x + y) = 180° x + y = 90°

चूँकि कोण CAB = x + y है, कोण CAB का माप 90° है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c, संबंध a/b = b/c द्वारा परिभाषित होता है, जिससे प्राप्त होता है: c = b²/a

दिए गए मानों, a = 12 और b = 48 को प्रतिस्थापित करने पर: c = 48² / 12 c = (48 × 48) / 12 c = 4 × 48 c = 192

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × π × r × h

जहाँ r बेलन की त्रिज्या है और h ऊँचाई है। π = 22/7 का अनुमानित मान का उपयोग करके और दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके: 616 = 2 × (22/7) × r × 14

समीकरण को सरल बनाने पर: 616 = 2 × 22 × r × 2 616 = 88 × r

त्रिज्या r के लिए हल करने पर: r = 616 / 88 r = 7 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

दी गई शर्तों से: x - y = 22

साथ ही, उच्च अंक उनके अंकों के योग का 55% है: x = 0.55(x + y) x = 0.55x + 0.55y 0.45x = 0.55y x/y = 55/45 = 11/9

मान लीजिए छात्रों के अंक 11k और 9k हैं। अंतर समीकरण का उपयोग करके: 11k - 9k = 22 2k = 22 k = 11

k का मान प्रतिस्थापित करने पर: x = 11 × 11 = 121 y = 9 × 11 = 99

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(2π - θ) = -cot θ का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

cot 11π/6 = cot(2π - π/6) = -cot(π/6)

चूंकि cot(π/6) = √3 है, इसलिए व्यंजक का मान -√3 है।

व्याख्या

दो साइन फलनों के अंतर के लिए मानक त्रिकोणमितीय योग-से-गुणन पहचान का उपयोग करके, हमारे पास है:

sin C - sin D = 2 cos((C + D)/2) sin((C - D)/2)

यह संबंध साइन के लिए कोण योग और घटाव सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर मिलता है:

sin(x + y) - sin(x - y) = 2 cos x sin y

C = x + y और D = x - y सेट करके, हम x और y को हल करके x = (C + D)/2 और y = (C - D)/2 प्राप्त करते हैं। इन मानों को वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक 2 cos((C + D)/2) sin((C - D)/2) प्राप्त होता है जो sin C - sin D के बराबर है।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A = 1 - cos²A का उपयोग करके, व्यंजक tan²A sin²A को sin²A को प्रतिस्थापित करके फिर से लिखा जा सकता है:

tan²A sin²A = tan²A (1 - cos²A)

पदों का विस्तार करने पर:

tan²A sin²A = tan²A - tan²A cos²A

चूंकि tan A = sin A / cos A, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर tan²A = sin²A / cos²A प्राप्त होता है। इसे व्यंजक के दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर:

tan²A sin²A = tan²A - (sin²A / cos²A) × cos²A

cos²A को रद्द करके दूसरे पद को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

tan²A sin²A = tan²A - sin²A

व्याख्या

औसत बोनस की गणना सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

सबसे पहले, कर्मचारियों की कुल संख्या निर्धारित करें: कुल कर्मचारी = 1 + 6 + 2 = 9

अगला, लाख में प्रत्येक नौकरी श्रेणी के लिए कुल बोनस की गणना करें: प्रबंधकों के लिए बोनस = 1 × 36 लाख × 60% = 21.6 लाख कार्यकारियों के लिए बोनस = 6 × 8 लाख × 30% = 14.4 लाख प्रशिक्षुओं के लिए बोनस = 2 × 2 लाख × 20% = 0.8 लाख

इन राशियों को जोड़ने पर सभी कर्मचारियों के लिए कुल बोनस प्राप्त होता है: कुल बोनस = 21.6 + 14.4 + 0.8 = 36.8 लाख लाख को रुपये में परिवर्तित करने पर, 36.8 लाख 3,680,000 रुपये के बराबर होता है।

अब, औसत बोनस ज्ञात करने के लिए कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत बोनस = 3,680,000 / 9 = 408,888.89 रुपये

निकटतम पूर्ण रुपये में पूर्णांकित करने पर 408,889 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

निर्यात का कुल मूल्य सभी सूचीबद्ध श्रेणियों के मूल्यों को जोड़कर निकाला जाता है:

कुल निर्यात = 950 + 525 + 725 + 525 + 950 = 3675 मिलियन अमेरिकी डॉलर इलेक्ट्रॉनिक्स का निर्यात मूल्य 950 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

कुल के सापेक्ष इलेक्ट्रॉनिक्स निर्यात का प्रतिशत निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रतिशत = (इलेक्ट्रॉनिक्स मूल्य / कुल मूल्य) × 100

प्रतिशत = (950 / 3675) × 100 ≈ 25.85%

व्याख्या

कारखाने द्वारा खरीदी गई मशीनों की कुल संख्या 8 है। मशीन-C की खरीदी गई संख्या 8 - (3 + 4) = 1 है।

औसत लागत ज्ञात करने के लिए, पहले सभी मशीनों की कुल लागत की गणना करें: कुल लागत = (3 × 45000) + (4 × 25000) + (1 × 35000) कुल लागत = 135000 + 100000 + 35000 = 270000

मशीनों की औसत लागत का सूत्र है: औसत लागत = कुल लागत / मशीनों की कुल संख्या औसत लागत = 270000 / 8 = 33750

व्याख्या

अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, रंगिता और शाहीन की आयु का वर्तमान अनुपात 6:5 है, और 12 वर्ष बाद, अनुपात 7:6 हो जाता है।

चूंकि दोनों मामलों में अनुपात पदों के बीच का अंतर समान है (6 - 5 = 1 और 7 - 6 = 1), अनुपात इकाइयों में वृद्धि को सीधे वर्षों की संख्या के बराबर किया जा सकता है।

प्रत्येक व्यक्ति के लिए इकाइयों में परिवर्तन है: 7 - 6 = 1 इकाई

यह 1 इकाई परिवर्तन सीधे 12 वर्षों के बराबर है जो बीत चुके हैं: 1 इकाई = 12 वर्ष

इसलिए, रंगिता की वर्तमान आयु, जिसे 6 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, है: 6 × 12 = 72 वर्ष

व्याख्या

कोसेकेंट फलन साइन फलन का व्युत्क्रम है, जिसे cosec θ = 1 / sin θ के रूप में परिभाषित किया गया है।

θ = 240° के लिए: cosec 240° = 1 / sin 240°

कोण 240° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ साइन फलन ऋणात्मक होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(180° + θ) = -sin θ का उपयोग करके: sin 240° = sin(180° + 60°) = -sin 60°

sin 60° का मान √3/2 है, जिससे प्राप्त होता है: sin 240° = -√3/2

इसे कोसेकेंट संबंध में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 1 / (-√3/2) = -2/√3

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, व्यंजक का चरण-दर-चरण मूल्यांकन किया जाता है:

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 1.3 + 3.7 = 5

अगला, वर्ग कोष्ठक के भीतर व्यंजक को सरल करें: -0.3 × 5 = -1.5

फिर, "का" संक्रिया का मूल्यांकन करें: -1.5 का 0.8 = -1.5 × 0.8 = -1.2

अंत में, बाहरी गुणन करें: 2 × (-1.2) = -2.4

व्याख्या

मान लीजिए मालगाड़ी की गति S किमी/घंटा है।

मालगाड़ी स्टेशन से गुजरती है और दूसरी ट्रेन के स्टेशन तक पहुँचने से पहले 9 घंटे तक यात्रा करती है। इसके बाद, दूसरी ट्रेन को मालगाड़ी को ओवरटेक करने में 3 घंटे लगते हैं। इसका मतलब है कि मालगाड़ी स्टेशन से ओवरटेक बिंदु तक कुल 9 + 3 = 12 घंटे तक यात्रा करती है।

चूंकि दूसरी ट्रेन 72 किमी/घंटा की गति से 3 घंटे तक यात्रा करके उसी ओवरटेक बिंदु तक पहुँचती है, इसलिए स्टेशन से दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी बराबर है।

सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके:

मालगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी S × 12 = 72 × 3 S = (72 × 3) / 12 S = 6 × 3 S = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य (CP) के संगत प्रतिशत के सीधे आनुपातिक होता है।

5% की हानि पर, ₹1,230 का पहला विक्रय मूल्य CP का 95% दर्शाता है।

मान लीजिए P% CP का वह प्रतिशत है जो ₹1,353 के नए विक्रय मूल्य को दर्शाता है: P% = (SP₂ / SP₁) × 95%

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P% = (1353 / 1230) × 95%

चूंकि 1353 / 1230 = 1.1 है, हम गणना कर सकते हैं: P% = 1.1 × 95% = 104.5%

चूंकि नया विक्रय मूल्य CP का 104.5% दर्शाता है, इसलिए शुद्ध परिणाम है: 104.5% - 100% = 4.5% लाभ

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sin²A + cos²A = 1

हम इसे cos²A को इस प्रकार व्यक्त करने के लिए पुनः लिख सकते हैं: 1 - sin²A = cos²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: √(1 - sin²A) = cosA

इस व्यंजक को दिए गए समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 1/√(1 - sin²A) x = 1/cosA

व्युत्क्रम सर्वसमिका का प्रयोग करके: 1/cosA = secA

इससे प्राप्त होता है: x = secA

व्याख्या

कुल कार्य को 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान सकते हैं, जो कि 60 इकाई है। A की दैनिक कार्य दर 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है। B की दैनिक कार्य दर 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 4 + 3 = 7 इकाई प्रति दिन है।

एक साथ 6 दिनों तक काम करने में, पूरा किया गया कार्य 7 × 6 = 42 इकाई है।

शेष कार्य 60 - 42 = 18 इकाई है।

शेष कार्य का अंश 18 / 60 है, जो सरल होकर 3/10 हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के अंश और हर को (1 + cos a) से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((1 + cos a) × (1 + cos a)) / ((1 - cos a) × (1 + cos a)) = (1 + cos a)² / (1 - cos² a)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - cos² a = sin² a का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है:

(1 + cos a)² / sin² a

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

((1 + cos a) / sin a)²

अंश में प्रत्येक पद को sin a से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

(1/sin a + cos a/sin a)²

व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाओं को लागू करने पर, जहाँ 1/sin a = cosec a और cos a/sin a = cot a, व्यंजक सरल होकर बन जाता है:

(cosec a + cot a)²

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: M(x, y) = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

दिए गए बिंदु C(5, -2) और D(-1, 8) हैं, इन निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: x-निर्देशांक = (5 + (-1)) / 2 = 4 / 2 = 2

y-निर्देशांक = (-2 + 8) / 2 = 6 / 2 = 3

इस प्रकार, मध्य बिंदु के निर्देशांक (2, 3) हैं।

व्याख्या

बिंदुओं (-3,4) और (0,3) से गुजरने वाली पहली रेखा का ढलान -1/3 है। दो रेखाओं के लंबवत होने के लिए, दूसरी रेखा का ढलान 3 होना चाहिए। बिंदुओं (5,7) और (4,x) के साथ ढलान सूत्र का उपयोग करने पर (x - 7)/(4 - 5) = 3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x = 4 हो जाता है।

व्याख्या

दो असमानताओं को हल करने पर, हमें 2(3x - 4) - 2 < 4x - 2 प्राप्त होता है, जो x < 4 को सरल बनाता है, और 4x - 2 >= 2x - 4 प्राप्त होता है, जो x >= -1 को सरल बनाता है। इन दोनों को मिलाने पर -1 <= x < 4 की सीमा प्राप्त होती है, और दिए गए विकल्पों में से, केवल 2 (विकल्प A) इस सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

सबसे पहले, सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके वर्ग पद का विस्तार करें: (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4

इसके बाद, इस बहुपद को (4x - 3) से गुणा करें: (9x² + 12x + 4)(4x - 3) = 9x²(4x - 3) + 12x(4x - 3) + 4(4x - 3) = 36x³ - 27x² + 48x² - 36x + 16x - 12 = 36x³ + 21x² - 20x - 12

अंत में, दूसरे व्यंजक (2x³ - 9x² + 12x - 24) को विस्तारित पद से घटाएं: (36x³ + 21x² - 20x - 12) - (2x³ - 9x² + 12x - 24) = 36x³ + 21x² - 20x - 12 - 2x³ + 9x² - 12x + 24

समान पदों को मिलाएं: x³ पद: 36x³ - 2x³ = 34x³ x² पद: 21x² + 9x² = 30x² x पद: -20x - 12x = -32x स्थिरांक पद: -12 + 24 = 12

इन परिणामों को मिलाने पर प्राप्त होता है: 34x³ + 30x² - 32x + 12

व्याख्या

माना कोण का माप x है।

दो कोण संपूरक होते हैं जब उनका योग 180° होता है। इसलिए, x का संपूरक कोण 180° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने संपूरक कोण से 50° छोटा है:

(180° - x) - x = 50°

180° - 2x = 50°

2x = 180° - 50°

2x = 130°

x = 65°

व्याख्या

ग्राहक वर्ष में अलग-अलग समय पर प्रत्येक 2000 रुपये की दो जमा राशि करता है, जिसमें ब्याज दर 10% प्रति छमाही की दर से छमाही चक्रवृद्धि होता है।

1 जनवरी को की गई 2000 रुपये की पहली जमा राशि के लिए, दो छमाही के लिए ब्याज अर्जित किया जाता है: पहली छमाही (जनवरी से जुलाई) के लिए ब्याज = 2000 रुपये का 10% = 200 रुपये पहली छमाही के अंत में राशि = 2000 रुपये + 200 रुपये = 2200 रुपये

1 जुलाई को, 2000 रुपये की दूसरी जमा राशि की जाती है, जो पहली जमा राशि की संचित राशि में जुड़ जाती है। दूसरी छमाही के लिए कुल मूलधन = 2200 रुपये + 2000 रुपये = 4200 रुपये

दूसरी छमाही (जुलाई से दिसंबर) के लिए ब्याज = 4200 रुपये का 10% = 420 रुपये

वर्ष के अंत तक अर्जित कुल ब्याज = 200 रुपये + 420 रुपये = 620 रुपये

व्याख्या

पूरी तरह से डूबे हुए गोले द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा गोले की मात्रा के बराबर होती है।

मान लीजिए पानी के स्तर में वृद्धि h है।

त्रिज्या R वाले बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी की मात्रा इस प्रकार दी जाती है: बेलन का आयतन = πR²h

त्रिज्या r वाले गोले का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: गोले का आयतन = (4/3)πr³

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: πR²h = (4/3)πr³ R²h = (4/3)r³

दिए गए मानों, R = 7 सेमी और r = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 7² × h = (4/3) × 6³ 49 × h = (4/3) × 216 49 × h = 4 × 72 49 × h = 288 h = 288 / 49 h ≈ 5.88 सेमी

व्याख्या

समचतुर्भुज एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, क्रमागत अंतः कोण दो समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं जिन्हें एक तिर्यक भुजा द्वारा काटा जाता है। समानांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार, क्रमागत अंतः कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग हमेशा 180° के बराबर होता है। इसलिए, एक समचतुर्भुज में क्रमागत कोण संपूरक होते हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मानों, a - b = 3 और ab = 28, को सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: a³ - b³ = 3³ + 3 × 28 × 3 a³ - b³ = 27 + 252 a³ - b³ = 279

व्याख्या

26 दिनों के लिए दैनिक टिकट खरीदने की लागत की गणना इस प्रकार की जाती है: दैनिक टिकट की लागत = 26 × ₹30 = ₹780

मासिक पास की लागत ₹670.8 दी गई है।

दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदने से प्राप्त बचत है: बचत = दैनिक टिकटों की लागत - मासिक पास की लागत बचत = ₹780 - ₹670.8 = ₹109.2

बचत प्रतिशत की गणना दैनिक टिकटों की कुल लागत के आधार पर की जाती है: बचत प्रतिशत = (बचत ÷ दैनिक टिकटों की लागत) × 100 बचत प्रतिशत = (109.2 ÷ 780) × 100 = 14%

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है।

संख्या में 18 की वृद्धि करने पर वह स्वयं का 106% हो जाती है, जिसका अर्थ है कि 18 की वृद्धि संख्या के 6% की वृद्धि के बराबर है।

इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x का 6% = 18 0.06 × x = 18 x = 18 / 0.06 x = 300

व्याख्या

दो भिन्न 2/3 और -3/5 का गुणनफल है: (2/3) × (-3/5) = -6/15 = -2/5

दो भिन्न का योग है: 2/3 + (-3/5) = (2 × 5 - 3 × 3) / 15 = (10 - 9) / 15 = 1/15

चूंकि -2/5 का गुणनफल और 1/15 का योग दोनों संतुष्ट हैं, इसलिए ये दो भिन्न सही हैं।

व्याख्या

औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, हम पहले सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस की गणना करते हैं। कुल बोनस (2 * 60 लाख * 50%) + (8 * 20 लाख * 20%) + (4 * 4 लाख * 10%) = 60 + 32 + 1.6 = 93.6 लाख (या 9,360,000 रुपये) है। इसे कर्मचारियों की कुल संख्या (2 + 8 + 4 = 14) से विभाजित करने पर लगभग 668,571 रुपये का औसत बोनस प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रत्येक वर्ष के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात की गणना कंपनी A, कंपनी B और कंपनी C के निर्यात मूल्यों को जोड़कर की जाती है।

वर्ष 2013 के लिए, कुल निर्यात है: 4000 + 3000 + 3000 = 10000 लाख रुपये

वर्ष 2014 के लिए, कुल निर्यात है: 4000 + 2000 + 4000 = 10000 लाख रुपये

वर्ष 2013 और 2014 दोनों में 10000 लाख रुपये का कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

पिछले पाँच वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के मानों को जोड़ते हैं:

कुल = 5 + (-15) + (-15) + 15 + (-10)

धनात्मक और ऋणात्मक मानों को संयोजित करना:

कुल = (5 + 15) - (15 + 15 + 10) कुल = 20 - 40 कुल = -20

ऋणात्मक चिह्न एक शुद्ध हानि का प्रतिनिधित्व करता है, जो 20 करोड़ रुपये की हानि के बराबर है।

व्याख्या

कुल निर्यात के सापेक्ष इस्पात निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

इस्पात का प्रतिशत = (इस्पात निर्यात / कुल निर्यात) × 100

सबसे पहले, तालिका से व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़कर निर्यात का कुल मूल्य ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 750 + 725 + 700 + 700 + 725 = 3600 मिलियन अमेरिकी डॉलर। इस्पात का निर्यात मूल्य 700 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

इस्पात का प्रतिशत = (700 / 3600) × 100 = 700 / 36 = 19.44%

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मान cos 45° = 1/√2 और sec 60° = 2 हैं।

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cos 45° - sec 60° x = 1/√2 - 2

सामान्य हर लेकर, यह सरल हो जाता है: x = (1 - 2√2)/√2

व्याख्या

मान लीजिए रेल द्वारा यात्रा में बिताया गया समय t घंटे है। चूँकि व्यक्ति स्टीमर पर 9 घंटे अधिक समय व्यतीत करता है, इसलिए स्टीमर द्वारा यात्रा में बिताया गया समय t + 9 घंटे है।

दूरी = गति × समय के संबंध का उपयोग करके, हम प्रत्येक परिवहन माध्यम द्वारा तय की गई दूरी को व्यक्त कर सकते हैं:

रेल द्वारा दूरी = 70 × t स्टीमर द्वारा दूरी = 30 × (t + 9)

तय की गई कुल दूरी 400 किमी है। समीकरण स्थापित करना:

70t + 30(t + 9) = 400 70t + 30t + 270 = 400 100t = 130 t = 1.3 घंटे

स्टीमर पर बिताया गया समय है:

t + 9 = 1.3 + 9 = 10.3 घंटे

स्टीमर द्वारा तय की गई दूरी है:

30 × 10.3 = 309 किमी

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य C लाख रुपये है।

जब मशीन 48 लाख रुपये में बेची जाती है, तो हुई हानि है: हानि = C - 48

जब मशीन 60 लाख रुपये में बेची जाती है, तो प्राप्त लाभ है: लाभ = 60 - C

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ पूर्व हानि का 5 गुना है: लाभ = 5 × हानि

इस संबंध में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: 60 - C = 5 × (C - 48) 60 - C = 5C - 240 6C = 300 C = 50 लाख

व्याख्या

कोज्या के लिए मानक त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सूत्र का उपयोग करके: cos A = 2 cos²(A/2) - 1

इस समीकरण को cos²(A/2) पद को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करके, हम दोनों पक्षों में 1 जोड़ते हैं: 1 + cos A = 2 cos²(A/2)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर परिणाम मिलता है: (1 + cos A)/2 = cos²(A/2)

यह देखते हुए कि x = (1 + cos A)/2 है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है: x = cos²(A/2)

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, और z हैं।

जिनका औसत 112 है, उन तीन संख्याओं का योग है: x + y + z = 112 × 3 = 336

पहली संख्या x, अन्य दो संख्याओं के योग का 3/13 गुना है: x = (3/13) × (y + z)

इसे x के पदों में अन्य दो संख्याओं के योग को व्यक्त करने के लिए पुनः लिखा जा सकता है: y + z = 13x / 3

इसे योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 13x / 3 = 336 16x / 3 = 336 x = (336 × 3) / 16 x = 21 × 3 x = 63

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य L और क्रय मूल्य C है।

जब छूट 20% होती है, तो विक्रय मूल्य होता है: S₁ = L × (1 - 0.20) = 0.80 × L

चूंकि क्रय मूल्य पर 10% की हानि होती है: S₁ = C × (1 - 0.10) = 0.90 × C

पहले विक्रय मूल्य के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.80 × L = 0.90 × C L = (9/8) × C

जब अंकित मूल्य पर 5% की छूट दी जाती है, तो नया विक्रय मूल्य S₂ होता है: S₂ = L × (1 - 0.05) = 0.95 × L

इस समीकरण में C के पदों में L का मान रखने पर: S₂ = 0.95 × (9/8) × C S₂ = (19/20) × (9/8) × C S₂ = (171/160) × C

चूंकि 171/160, 1 से अधिक है, इसलिए लाभ होता है। लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (S₂ - C)/C × 100 लाभ % = (171/160 - 1) × 100 लाभ % = (11/160) × 100 लाभ % = 110/16 = 6.875%