एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी वस्तु की औसत गति की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = दूरी / समय

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = 189 किमी समय = 3.5 घंटे

औसत गति = 189 / 3.5 = 54 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें:

औसत गति = 54 × 5/18 = 15 मी/से

व्याख्या

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, दो पदों का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें:

sec A / (sec A - 1) + sec A / (sec A + 1)

= [sec A (sec A + 1) + sec A (sec A - 1)] / [(sec A - 1)(sec A + 1)]

अंश (numerator) और हर (denominator) में पदों को गुणा करें:

= (sec²A + sec A + sec²A - sec A) / (sec²A - 1)

= 2sec²A / (sec²A - 1)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (trigonometric identity) sec²A - 1 = tan²A का उपयोग करके, इसे हर में प्रतिस्थापित करें:

= 2sec²A / tan²A

sec A और tan A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करें:

= 2(1/cos²A) / (sin²A/cos²A)

= 2 / sin²A

= 2 cosec²A

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) = (-6, 3) और (x₂, y₂) = (2, 7) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m₁ निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

m₁ = (7 - 3) / (2 - (-6)) = 4 / 8 = ½

ढलान m₁ वाली रेखा के लंबवत रेखा का ढलान m₂ निम्न संबंध को संतुष्ट करता है:

m₂ × m₁ = -1

समीकरण में m₁ = ½ प्रतिस्थापित करने पर:

m₂ × ½ = -1 m₂ = -2

व्याख्या

कर्मचारियों की कुल संख्या = 3 + 8 + 3 = 14

वार्षिक वेतन लाख रुपये में दिया गया है, जहाँ 1 लाख = 100,000 रुपये।

प्रत्येक श्रेणी के कर्मचारियों के लिए कुल बोनस की गणना इस प्रकार की जाती है:

प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 3 × 60,00,000 × 50% = 90,00,000 रुपये

कार्यकारियों के लिए कुल बोनस = 8 × 20,00,000 × 30% = 48,00,000 रुपये

प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 3 × 4,00,000 × 10% = 1,20,000 रुपये

सभी 14 कर्मचारियों के लिए कुल बोनस मिलाकर है: 90,00,000 + 48,00,000 + 1,20,000 = 1,39,20,000 रुपये

प्रति कर्मचारी औसत बोनस है: 1,39,20,000 ÷ 14 = 994285.71 ≈ 994286 रुपये

व्याख्या

वर्ष 2014 के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात है: 1000 + 4000 + 3000 = 8000 लाख रुपये

वर्ष 2015 के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात है: 3000 + 3000 + 2000 = 8000 लाख रुपये

इन योगों की तुलना करने पर, वर्ष 2014 और 2015 दोनों के लिए कुल निर्यात एक दूसरे के बराबर हैं।

व्याख्या

पिछले 5 वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम वार्षिक लाभ और हानि के मानों को जोड़ते हैं:

कुल = (-20) + 10 + 5 + (-15) + 15 = -5 करोड़

एक ऋणात्मक परिणाम ₹5 करोड़ की शुद्ध हानि का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

कुल निर्यात में से इस्पात निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से सभी निर्यातों का योग ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 650 + 725 + 750 + 825 + 650 = 3600 मिलियन अमेरिकी डॉलर। इस्पात का निर्यात मूल्य 825 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके:

इस्पात का प्रतिशत = (इस्पात निर्यात / कुल निर्यात) × 100

इस्पात का प्रतिशत = (825 / 3600) × 100 = 825 / 36 = 22.916... %

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, यह 22.92% के बराबर है।

व्याख्या

यदि दो व्यक्ति क्रमशः x और y दिनों में एक परियोजना पूरी कर सकते हैं, तो उनकी प्रति दिन संयुक्त कार्य दर 1/x + 1/y है। यहाँ, P और Q दोनों 12 दिनों में परियोजना पूरी कर सकते हैं, इसलिए x = 12 और y = 12 है।

प्रति दिन उनकी संयुक्त कार्य दर है: 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6 परियोजना प्रति दिन।

एक साथ काम करते हुए पूरी परियोजना (100%) को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या 6 दिन है।

परियोजना का 50% पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय को 0.5 से गुणा करते हैं: 6 × 0.5 = 3 दिन।

व्याख्या

हम दो भागों में विभाजित करके संयुक्त असमानता को हल कर सकते हैं।

सबसे पहले, बाईं ओर की असमानता को हल करें: 4(x + 5) - 3 > 6 - 4x 4x + 20 - 3 > 6 - 4x 4x + 17 > 6 - 4x 8x > -11 x > -11/8 x > -1.375

दूसरा, दाईं ओर की असमानता को हल करें: 6 - 4x ≥ x - 5 11 ≥ 5x x ≤ 11/5 x ≤ 2.2

दोनों भागों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -1.375 < x ≤ 2.2

दिए गए विकल्पों में से, केवल मान -1 इस अंतराल के भीतर आता है। x = -1 को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर 13 > 10 ≥ -6 प्राप्त होता है, जो असमानता के सत्य होने की पुष्टि करता है।

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब दोनों निर्देशांकों के चिह्नों को बदलकर (-x, -y) कर देता है। इसे बिंदु R(a, b) पर लागू करने पर R1 के निर्देशांक (-a, -b) प्राप्त होते हैं।

किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब केवल y-निर्देशांक के चिह्न को बदलकर (x, -y) कर देता है। R1(-a, -b) पर इस परिवर्तन को लागू करने पर निर्देशांक (-a, b) प्राप्त होते हैं।

हमें दिया गया है कि यह अंतिम बिंदु (-4, 2) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: -a = -4, जिससे a = 4 प्राप्त होता है b = 2

इस प्रकार, मूल बिंदु R(a, b) के निर्देशांक (4, 2) हैं।

व्याख्या

Q(2, -1) और R(0, 5) वाले रेखा QR का ढलान इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: m = (5 - (-1)) / (0 - 2) = 6 / -2 = -3

चूंकि शीर्षलंब PS, भुजा QR के लंबवत है, इसलिए PS का ढलान QR के ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगा: PS का ढलान = -1 / -3 = 1/3

एक रैखिक समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके, P(1, 2) से गुजरने वाली और 1/3 ढलान वाली रेखा PS का समीकरण है: y - 2 = (1/3)(x - 1)

पूरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर: 3y - 6 = x - 1

पदों को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x - 3y = -5

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sec 300° = x है।

कोण 300° चौथे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ सेकेंट और कोसाइन फलन धनात्मक होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec(360° - θ) = sec θ

हम 300° को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: sec 300° = sec(360° - 60°) = sec 60°

चूंकि सेकेंट कोसाइन का व्युत्क्रम होता है: sec 60° = 1 / cos 60°

यह देखते हुए कि cos 60° = ½ है, हम इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं: sec 60° = 1 / (½) = 2

इस प्रकार, x = 2।

व्याख्या

औसत गति की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = दूरी / समय

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 225 किमी / 2.5 घंटे = 90 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, मान को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें:

मीटर/सेकंड में औसत गति = 90 × 5/18 = 25 मी/से

व्याख्या

माना कि अभीष्ट कोण x है। x का पूरक कोण 90° - x है।

प्रश्न के अनुसार, कोण अपने पूरक कोण से 30° अधिक है: x = (90° - x) + 30° 2x = 120° x = 60°

व्याख्या

चावल का कुल क्रय मूल्य ₹3,600 है। 15% लाभ कमाने के लिए, कुल विक्रय मूल्य होना चाहिए:

कुल विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ प्रतिशत/100) = 3600 × 1.15 = ₹4,140

खरीदे गए चावल की प्रारंभिक मात्रा 8 क्विंटल है। चूंकि परिवहन में 10% चावल खराब हो जाता है, इसलिए बिक्री के लिए उपलब्ध मात्रा है:

शेष चावल = 8 × (1 - 0.10) = 7.2 क्विंटल

प्रति क्विंटल आवश्यक विक्रय दर ज्ञात करने के लिए:

विक्रय दर = कुल विक्रय मूल्य / शेष चावल = 4140 / 7.2 = ₹575 प्रति क्विंटल

व्याख्या

3/5 और 7/9 का योग ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले हर 5 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 45 है।

प्रत्येक भिन्न को इस सामान्य हर में बदलें: 3/5 = (3 × 9) / (5 × 9) = 27/45 7/9 = (7 × 5) / (9 × 5) = 35/45

अब, सामान्य हर के ऊपर अंशों को एक साथ जोड़ें: 27/45 + 35/45 = (27 + 35) / 45 = 62/45

व्याख्या

3 वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य = 3 × ₹200 = ₹600

3 वस्तुओं की खरीद को दी गई छूट दरों को लागू करने के लिए 2 वस्तुओं के समूह और 1 एकल वस्तु के संयोजन के रूप में माना जाता है।

2 वस्तुओं के समूह पर छूट = (2 × ₹200) का 14% = ₹400 का 14% = ₹56

शेष 1 वस्तु पर छूट = ₹200 का 5% = ₹10

प्राप्त कुल छूट = ₹56 + ₹10 = ₹66

प्रभावी छूट प्रतिशत = (कुल छूट / कुल अंकित मूल्य) × 100 = (66 / 600) × 100 = 11%

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है। जब कोई मात्रा दो बार एक निश्चित प्रतिशत से बढ़ती है (क्योंकि r² = r × r), तो समग्र प्रतिशत वृद्धि का निर्धारण क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (xy / 100)

चूंकि त्रिज्या में 16% की वृद्धि होती है, हम सूत्र में x = 16 और y = 16 प्रतिस्थापित करते हैं:

क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 16 + 16 + (16 × 16 / 100) क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 32 + (256 / 100) क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 32 + 2.56 क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 34.56%

व्याख्या

व्यंजक का विस्तार करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करें।

पहले पद का विस्तार: (x + 4)² = x² + 8x + 16

दूसरे पद का विस्तार: (x - 2)² = x² - 4x + 4

इन दो विस्तारित व्यंजकों को एक साथ जोड़ना: (x² + 8x + 16) + (x² - 4x + 4) = 2x² + 4x + 20

2 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालना: 2(x² + 2x + 10)

व्याख्या

शेष घन का आयतन, ठोस लकड़ी के घन के कुल आयतन में से खोखले किए गए शंकु के आयतन को घटाकर ज्ञात किया जाता है।

शेष आयतन = घन का आयतन - शंकु का आयतन

भुजा s वाले घन का आयतन सूत्र s³ द्वारा दिया जाता है। चूँकि घन की भुजा 6 सेमी है: घन का आयतन = 6³ = 216 घन सेमी

त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले शंकु का आयतन सूत्र ⅓ × π × r² × h द्वारा दिया जाता है। चूँकि शंकु का व्यास घन की भुजा (6 सेमी) के बराबर है, इसलिए त्रिज्या r 3 सेमी है। ऊँचाई h भी 6 सेमी है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शंकु का आयतन = ⅓ × π × 3² × 6 = 18 × π घन सेमी

π ≈ 22/7 का उपयोग करने पर: शंकु का आयतन ≈ 18 × 22/7 = 396/7 ≈ 56.57 घन सेमी

शेष आयतन = 216 - 56.57 = 159.43 घन सेमी, जो 159.42 घन सेमी के बहुत करीब है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, D भुजा CB का मध्य बिंदु है, जिससे CD = DB = CB/2 होता है। चूँकि CB = 14 सेमी है, हमारे पास CD = DB = 7 सेमी है। माध्यिका AD की लंबाई भी 7 सेमी दी गई है, जिसका अर्थ है कि AD = CD = DB = 7 सेमी। यह समानता दर्शाती है कि बिंदु D त्रिभुज ABC के तीनों शीर्षों A, B, और C से समदूरस्थ है। इसलिए, D त्रिभुज ABC का परिकेंद्र है, जिससे CB उसके परित्रिज्या का व्यास बनता है। चूँकि वृत्त की परिधि पर व्यास द्वारा बनाया गया कोई भी कोण समकोण होता है, इसलिए कोण CAB का माप 90° है।

व्याख्या

मान लीजिए पहली, दूसरी और तीसरी संख्या क्रमशः x, y और z हैं।

शर्तों के अनुसार: x = 2y जिससे y = x/2 प्राप्त होता है x = 3z जिससे z = x/3 प्राप्त होता है

तीन संख्याओं का औसत 198 है: (x + y + z) / 3 = 198 x + y + z = 594

y और z को x के पदों में प्रतिस्थापित करें: x + x/2 + x/3 = 594

पूरे समीकरण को सामान्य भाजक 6 से गुणा करें: 6x + 3x + 2x = 594 × 6 11x = 3564 x = 324

तीसरी संख्या z है: z = 324 / 3 = 108

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: x - z = 324 - 108 = 216

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec² A - 1 = tan² A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(sec² A - 1) = tan A

इसे x के लिए दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = sec A / tan A

त्रिकोणमितीय फलनों को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करना: sec A = 1/cos A tan A = sin A/cos A

इनको व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = (1/cos A) / (sin A/cos A) x = 1/sin A x = cosec A

व्याख्या

मान लीजिए कि गंगाधर, हरि और शंभू के वेतन क्रमशः G, H और S हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: G = (3/11) × H S = (3/4) × H

गंगाधर के वेतन और शंभू के वेतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात G : S लेते हैं: G/S = ((3/11) × H) / ((3/4) × H) G/S = (3/11) / (3/4) G/S = (3/11) × (4/3) G/S = 4/11

यह 4:11 का आवश्यक अनुपात देता है।

व्याख्या

दो संख्याओं के घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

सर्वसमिका में दिए गए मानों, a + b = 8 और ab = 15, को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = 8³ - 3 × 15 × 8 a³ + b³ = 512 - 360 a³ + b³ = 152

वैकल्पिक रूप से, दो संख्याओं को अवलोकन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। चूँकि दो संख्याओं का योग 8 है और उनका गुणनफल 15 है, तो संख्याएँ 3 और 5 हैं। उनके घनों का योग है: 3³ + 5³ = 27 + 125 = 152

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²) का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक का विस्तार और सरलीकरण सीधे किया जा सकता है।

माना x = 1 और y = cotA।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1 + cotA)² + (1 - cotA)² = 2(1² + cot²A) = 2(1 + cot²A)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot²A = cosec²A का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है: 2cosec²A

व्याख्या

माना संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या के दोगुने और उसके व्युत्क्रम के तिगुने का योग 25/2 है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2x + 3/x = 25/2

समीकरण में x = 6 का मान रखने पर:

2(6) + 3/6 = 12 + ½ = 12.5 = 25/2

चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है, इसलिए संख्या 6 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का मानक सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ SI साधारण ब्याज को दर्शाता है, P मूलधन (राशि) है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 7728 = (P × 7 × 8) / 100

समीकरण को सरल बनाने पर: 7728 = (P × 56) / 100

मूलधन P को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (7728 × 100) / 56

P = 138 × 100

P = 13800

व्याख्या

औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, पहले सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस की गणना करें।

वार्षिक वेतन लाखों रुपये में दिया गया है, जहाँ एक लाख 100,000 रुपये के बराबर है।

प्रबंधकों के लिए: प्रबंधकों की संख्या = 3 प्रति प्रबंधक वार्षिक वेतन = 60 लाख = ₹6,000,000 प्रति प्रबंधक बोनस = ₹6,000,000 का 30% = ₹1,800,000 प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 3 × ₹1,800,000 = ₹5,400,000

कार्यकारियों के लिए: कार्यकारियों की संख्या = 6 प्रति कार्यकारी वार्षिक वेतन = 12 लाख = ₹1,200,000 प्रति कार्यकारी बोनस = ₹1,200,000 का 30% = ₹360,000 कार्यकारियों के लिए कुल बोनस = 6 × ₹360,000 = ₹2,160,000

प्रशिक्षुओं के लिए: प्रशिक्षुओं की संख्या = 4 प्रति प्रशिक्षु वार्षिक वेतन = 4 लाख = ₹400,000 प्रति प्रशिक्षु बोनस = ₹400,000 का 20% = ₹80,000 प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 4 × ₹80,000 = ₹320,000

इन मानों को जोड़ना: सभी कर्मचारियों के लिए कुल बोनस = ₹5,400,000 + ₹2,160,000 + ₹320,000 = ₹7,880,000 कर्मचारियों की कुल संख्या = 3 + 6 + 4 = 13

औसत बोनस कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत बोनस = ₹7,880,000 ÷ 13 ≈ ₹606,153.85

निकटतम पूर्ण रुपये में पूर्णांकित करने पर ₹606,154 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्ष 2011 के लिए तीनों कंपनियों द्वारा कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: 2011 में कुल निर्यात = 3000 + 5000 + 3000 = 11000 लाख रुपये

वर्ष 2015 के लिए तीनों कंपनियों द्वारा कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: 2015 में कुल निर्यात = 2000 + 4000 + 5000 = 11000 लाख रुपये

2011 और 2015 दोनों में 11000 लाख रुपये का कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

पांच साल की अवधि में कंपनी के कुल लाभ या हानि की गणना प्रत्येक वर्ष के लाभ और हानि के बीजगणितीय योग को लेकर की जाती है:

कुल लाभ या हानि = 5 + 15 + (-20) + (-15) + (-5) करोड़

कुल लाभ या हानि = 20 - 40 = -20 करोड़

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध हानि का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका अर्थ है कि कंपनी को पांच वर्षों में कुल 20 करोड़ रुपये का नुकसान हुआ।

व्याख्या

सॉफ्टवेयर निर्यात का कुल निर्यात के सापेक्ष प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले दिए गए डेटा से सभी निर्यात मूल्यों का योग ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 550 + 700 + 875 + 775 + 550 = 3450 मिलियन अमेरिकी डॉलर सॉफ्टवेयर का निर्यात मूल्य 700 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके:

सॉफ्टवेयर प्रतिशत = (सॉफ्टवेयर निर्यात / कुल निर्यात) × 100 सॉफ्टवेयर प्रतिशत = (700 / 3450) × 100 ≈ 20.29%

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) वाले रेखाखंड के लिए मध्य बिंदु सूत्र ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए B के निर्देशांक (x, y) हैं। चूँकि P(5, -4), A(7, 0) वाले AB का मध्य बिंदु है:

5 = (7 + x)/2 10 = 7 + x x = 3

-4 = (0 + y)/2 -8 = 0 + y y = -8

B के निर्देशांक (3, -8) हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, हम एक सुविधाजनक आधार मान चुनकर गुणन को सरल बना सकते हैं।

मान लीजिए a = 300000 और b = 4।

व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: 299996 × 300004 = (300000 - 4)(300000 + 4)

सर्वसमिका लागू करने पर: = 300000² - 4² = 90000000000 - 16 = 89999999984

व्याख्या

तीनों प्रभागों के संयुक्त माध्य को ज्ञात करने के लिए भारित माध्य सूत्र का उपयोग किया जाता है:

भारित माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहां, प्रभाग A, B और C में छात्रों की संख्या क्रमशः n₁ = 35, n₂ = 45 और n₃ = 70 है, जिनके माध्य क्रमशः x̄₁ = 65, x̄₂ = 61 और x̄₃ = 59 हैं।

छात्रों की संख्या को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 5 से विभाजित करने पर, छात्रों का अनुपात 7 : 9 : 14 हो जाता है।

इन सरलीकृत मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

माध्य = (7 × 65 + 9 × 61 + 14 × 59) / (7 + 9 + 14)

माध्य = (455 + 549 + 826) / 30

माध्य = 1830 / 30 = 61

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त असमानता को दो भागों में विभाजित करके हल करते हैं।

सबसे पहले, हम बाईं ओर की असमानता को हल करते हैं: 5(4 - x) - 4 > 5x - 2 20 - 5x - 4 > 5x - 2 16 - 5x > 5x - 2 18 > 10x x < 1.8

अगला, हम दाईं ओर की असमानता को हल करते हैं: 5x - 2 > 2x - 6 3x > -4 x > -4/3 x > -1.33

दोनों परिणामों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -1.33 < x < 1.8

दिए गए विकल्पों में से, -1 एकमात्र मान है जो इस अंतराल में आता है, क्योंकि -1.33 < -1 < 1.8।

व्याख्या

आयत ABCD में, आसन्न भुजाएँ DA और AB समकोण पर मिलती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे पर लंबवत हैं।

दो लंबवत रेखाओं के ढलान का गुणनफल हमेशा -1 होता है।

माना भुजा DA का ढलान m₁ है और भुजा AB का ढलान m₂ है। चूँकि DA, AB पर लंबवत है: m₁ × m₂ = -1

दिया गया है कि भुजा DA का ढलान 5/3 है: (5/3) × m₂ = -1

m₂ के लिए हल करने पर: m₂ = -3/5

व्याख्या

कोसाइन फलन सम (even) होता है, जिसका अर्थ है कि cos(-225 डिग्री) cos(225 डिग्री) के बराबर है। चूंकि 225 डिग्री तीसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ कोसाइन ऋणात्मक होता है, cos(225 डिग्री) -cos(45 डिग्री) के बराबर है, जो -1/√2 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण से कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब कर्ण को दो खंडों में विभाजित करता है। इस शीर्षलंब की लंबाई दो खंडों की लंबाई का गुणोत्तर माध्य होती है।

BD² = AD × DC

AD = 18 सेमी और DC = 50 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

BD² = 18 × 50 BD² = 900 BD = √900 BD = 30 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज SI = P × R × T / 100

10 वर्षों में 40% की वृद्धि का अर्थ है कि अर्जित साधारण ब्याज मूलधन P का 40% है।

0.40 × P = P × R × 10 / 100 R = 4% प्रति वर्ष

₹ 25000 पर 2 वर्षों के लिए 4% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, प्रभावी ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी दर = R + R + (R × R)/100 प्रभावी दर = 4 + 4 + (4 × 4)/100 = 8.16%

चक्रवृद्धि ब्याज = P × प्रभावी दर / 100 चक्रवृद्धि ब्याज = 25000 × 8.16 / 100 = 250 × 8.16 = 2040

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।

हम मौलिक पाइथागोरस सर्वसमिका जानते हैं: 1 + cot² A = cosec² A

इसे वर्गमूल के अंदर व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = √((1 + cot² A) / cot² A) x = √(cosec² A / cot² A) x = cosec A / cot A

अब, cosec A और cot A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करने पर: cosec A = 1 / sin A cot A = cos A / sin A

इन मानों को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = (1 / sin A) / (cos A / sin A) x = 1 / cos A x = sec A

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (cosec A - cot A) / (sec A + tan A) है।

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² A - cot² A = 1 का उपयोग करके, हम इसे इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं: (cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = 1 cosec A - cot A = 1 / (cosec A + cot A)

इसी प्रकार, मानक सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 का उपयोग करके, हम इसे इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं: (sec A - tan A)(sec A + tan A) = 1 1 / (sec A + tan A) = sec A - tan A

इन व्यंजकों को मूल सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (cosec A - cot A) / (sec A + tan A) = (cosec A - cot A) × (1 / (sec A + tan A)) = (1 / (cosec A + cot A)) × (sec A - tan A) = (sec A - tan A) / (cosec A + cot A)

व्याख्या

मान लीजिए अधिकतम अंक x हैं।

छात्र को 54 अंक प्राप्त हुए और वह 36 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया। इसका मतलब है कि आवश्यक न्यूनतम उत्तीर्ण अंक हैं: 54 + 36 = 90

समस्या के अनुसार, उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 45% के बराबर हैं। इस संबंध को सूत्र द्वारा दर्शाया गया है: x का 45% = 90

x के लिए हल करना: (45 / 100) × x = 90 x = 90 × (100 / 45) x = 2 × 100 x = 200

व्याख्या

दी गई छूट (d%) और लाभ (p%) के लिए क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध है:

CP/MP = (100 - d) / (100 + p)

पहले मामले के लिए जहाँ छूट 25% है और लाभ 25% है:

CP/MP = (100 - 25) / (100 + 25) = 75/125 = 3/5

दूसरे मामले के लिए जहाँ छूट 10% है और लाभ p% है:

CP/MP = (100 - 10) / (100 + p) = 90 / (100 + p)

CP/MP के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:

3/5 = 90 / (100 + p)

p के लिए हल करने पर:

300 + 3p = 450

3p = 150

p = 50%

व्याख्या

बेलनाकार बर्तन से रेत को निकालकर लंब वृत्तीय शंकु बनाने पर रेत का आयतन स्थिर रहता है। इसलिए, बेलन का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होता है।

बेलन का आयतन = π × r₁² × h₁ शंकु का आयतन = ⅓ × π × r₂² × h₂

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π × r₁² × h₁ = ⅓ × π × r₂² × h₂

दोनों तरफ से π को रद्द करने पर: r₁² × h₁ = ⅓ × r₂² × h₂

दिए गए मानों को रखने पर जहाँ बेलन की त्रिज्या (r₁) 7 सेमी, बेलन की ऊंचाई (h₁) 9 सेमी, और शंकु की त्रिज्या (r₂) 10 सेमी है: 7² × 9 = ⅓ × 10² × h₂ 49 × 9 = ⅓ × 100 × h₂ 441 = 100/3 × h₂ h₂ = (441 × 3) / 100 h₂ = 1323 / 100 h₂ = 13.23 सेमी

व्याख्या

कार्य की दर का सूत्र है: दर = कार्य / समय

मुन्नी की केक बनाने की दर = 70 / 7 = 10 केक प्रति घंटा

मुन्नी और गुड्डी की संयुक्त दर = 90 / 6 = 15 केक प्रति घंटा

गुड्डी की केक बनाने की दर = संयुक्त दर - मुन्नी की दर गुड्डी की केक बनाने की दर = 15 - 10 = 5 केक प्रति घंटा

10 घंटे में गुड्डी द्वारा बनाए जा सकने वाले केक की संख्या = गुड्डी की दर × समय केक = 5 × 10 = 50 केक

व्याख्या

एक आयत एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी चार आंतरिक कोण समकोण होते हैं। परिभाषा के अनुसार, सभी समांतर चतुर्भुजों, जिनमें आयत भी शामिल हैं, की एक मौलिक विशेषता यह है कि उनके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका मतलब है कि दो विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को दो बराबर खंडों में विभाजित करता है। यह गुण इसलिए सत्य है क्योंकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं, जिससे विकर्णों द्वारा सर्वांगसम त्रिभुज बनते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि वे अपने पारस्परिक मध्यबिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

व्याख्या

मूल किराया और बढ़ा हुआ किराया 25:29 के अनुपात में हैं।

मान लीजिए मूल किराया 25x है और नया किराया 29x है।

दिया गया है कि मूल किराया रु. 625 है: 25x = 625 x = 25

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: वृद्धि = 29x - 25x = 4x

x का मान रखने पर: वृद्धि = 4 × 25 = रु. 100

व्याख्या

दो वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) है। दिए गए मानों x - y = -6 और x + y = 16 को इस सूत्र में रखने पर x² - y² = (-6) × 16 = -96 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ n, n + 1, और n + 2 हैं, जहाँ n सबसे छोटी संख्या को दर्शाता है।

प्रश्न में कहा गया है कि सबसे बड़ी संख्या का वर्ग अन्य दो संख्याओं के गुणनफल से 16 अधिक है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

(n + 2)² = n(n + 1) + 16

समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

n² + 4n + 4 = n² + n + 16

समीकरण को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों से n² घटाने पर:

4n + 4 = n + 16

n के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

3n = 12

n = 4