एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच की कुल समयावधि ठीक 8 घंटे है।

तालिका में दिए गए मान कुल समयावधि के प्रतिशत को दर्शाते हैं, जिनका योग 100% होता है (20 + 20 + 30 + 25 + 5 = 100)।

हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 30% है और अत्यंत हल्की नींद में 25% है।

हल्की नींद या अत्यंत हल्की नींद के लिए संयुक्त प्रतिशत है: 30% + 25% = 55%

घंटों में वास्तविक समय ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 55% परिकलित करें: 8 × 0.55 = 4.4 घंटे

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(-θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

sin(-4π/3) = -sin(4π/3)

4π/3 को π और उसके भिन्नात्मक भाग के रूप में व्यक्त करने पर:

-sin(4π/3) = -sin(π + π/3)

चतुर्थांश संबंध sin(π + θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है:

-sin(π + π/3) = -(-sin(π/3)) = sin(π/3)

चूंकि sin(π/3) का मानक त्रिकोणमितीय मान √3/2 है, हमें प्राप्त होता है:

x = √3/2

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। किसी संख्या को स्वयं का 107% बढ़ाना का अर्थ है कि शुद्ध वृद्धि मूल संख्या का 7% है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

x का 7% = 28

(7 / 100) × x = 28

x = (28 × 100) / 7

x = 4 × 100

x = 400

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय विस्तार सूत्रों का उपयोग करके:

cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B

cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B

दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर:

cos(A-B) - cos(A+B) = (cos A cos B + sin A sin B) - (cos A cos B - sin A sin B)

cos(A-B) - cos(A+B) = 2 sin A sin B

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो समान दूरियों को अलग-अलग गति, मान लीजिए v₁ और v₂, से तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ v₁ = 24 किमी/घंटा और v₂ = 36 किमी/घंटा:

औसत गति = (2 × 24 × 36) / (24 + 36)

औसत गति = 1728 / 60 = 28.8 किमी/घंटा

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec²A - tan²A = 1

वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करके, हम इसे इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: (secA - tanA)(secA + tanA) = 1

चूंकि यह दिया गया है कि secA - tanA = x, इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x(secA + tanA) = 1

x के लिए हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = 1/(secA + tanA)

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले इंजीनियरिंग स्ट्रीम में छात्रों की कुल संख्या की गणना करें।

कुल इंजीनियरिंग छात्र = इंजीनियरिंग में लड़के + इंजीनियरिंग में लड़कियाँ कुल इंजीनियरिंग छात्र = 100 + 25 = 125

इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या 25 है।

इंजीनियरिंग छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत = (इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या / कुल इंजीनियरिंग छात्र) × 100 इंजीनियरिंग छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत = (25 / 125) × 100 = 20%

व्याख्या

संचयी उत्पादन मान जनवरी की शुरुआत से प्रत्येक संबंधित महीने के अंत तक कुल उत्पादन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक संचयी उत्पादन से मार्च के अंत तक संचयी उत्पादन घटाते हैं:

मई तक संचयी उत्पादन = 2320 मार्च तक संचयी उत्पादन = 1450

अप्रैल और मई में निर्मित कारें = मई तक संचयी उत्पादन - मार्च तक संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में निर्मित कारें = 2320 - 1450 = 870

वैकल्पिक रूप से, हम प्रत्येक महीने के लिए व्यक्तिगत उत्पादन की गणना कर सकते हैं और फिर उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं: अप्रैल में उत्पादन = अप्रैल में संचयी उत्पादन - मार्च में संचयी उत्पादन = 1950 - 1450 = 500 मई में उत्पादन = मई में संचयी उत्पादन - अप्रैल में संचयी उत्पादन = 2320 - 1950 = 370

अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 500 + 370 = 870

व्याख्या

सबसे पहले, प्रत्येक दिन की दूरी को जोड़कर सप्ताह के दौरान दौड़ी गई कुल दूरी ज्ञात करें: कुल दूरी = 3.5 + 2 + 3 + 0.5 + 3.5 + 2.5 + 3.5 = 18.5 किमी

इसके बाद, प्रति किलोमीटर बर्न होने वाली कैलोरी की संख्या निर्धारित करें: कैलोरी बर्न दर = 400 कैलोरी / 5 किमी = 80 कैलोरी/किमी

कुल बर्न हुई कैलोरी ज्ञात करने के लिए दौड़ी गई कुल दूरी को कैलोरी बर्न दर से गुणा करें: कुल कैलोरी = 18.5 किमी × 80 कैलोरी/किमी = 1480 कैलोरी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन sin(330°) का मान चतुर्थांश न्यूनीकरण सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। चूँकि 330° चौथे चतुर्थांश में स्थित है, साइन का मान ऋणात्मक होता है।

सर्वसमिका sin(360° - θ) = -sin(θ) का उपयोग करके और θ = 30° रखने पर:

sin(330°) = sin(360° - 30°) = -sin(30°)

चूँकि sin(30°) = 1/2 है, हमें प्राप्त होता है:

sin(330°) = -1/2

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत किसी भी लगातार वर्षों के लिए, बाद वाले वर्ष के अंत में राशि, पूर्ववर्ती वर्ष के अंत में राशि और उस वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज का योग होती है।

इसलिए, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज, तीसरे वर्ष और दूसरे वर्ष के अंत में राशियों के बीच का अंतर है: ब्याज = 23820.32 - 22472 = 1348.32

ब्याज की दर (r) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: r = (ब्याज / दूसरे वर्ष के अंत में राशि) × 100 r = (1348.32 / 22472) × 100 r = 134832 / 22472 r = 6%

व्याख्या

किसी भी बिंदु (x, y) का मूल बिंदु के सापेक्ष प्रतिबिंब सूत्र (-x, -y) द्वारा दिया जाता है। बिंदु (2, -4) के निर्देशांकों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, प्रतिबिंबित बिंदु (-2, -(-4)) हो जाता है, जो सरल होकर (-2, 4) हो जाता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए कि 3:4:5 के अनुपात में तीन कोणों के माप 3x, 4x और 5x हैं।

कोणों का योग = 3x + 4x + 5x = 180° 12x = 180° x = 15°

सबसे बड़ा कोण अनुपात के सबसे बड़े भाग, जो कि 5 है, के संगत है।

सबसे बड़ा कोण = 5 × 15° = 75°

व्याख्या

यदि दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c है, तो उनके बीच संबंध सूत्र a/b = b/c द्वारा दिया जाता है, जो c = b²/a को सरल बनाता है।

दिए गए मानों, a = 24 और b = 36 को प्रतिस्थापित करने पर: c = 36² / 24 c = (36 × 36) / 24 c = 1296 / 24 c = 54

व्याख्या

21 सेबों का क्रय मूल्य (CP) = ₹7 1 सेब का CP = 7/21 = ₹1/3

5 सेबों का विक्रय मूल्य (SP) = ₹2 1 सेब का SP = ₹2/5

चूंकि SP, CP से अधिक है, इसलिए लाभ है। लाभ = SP - CP = 2/5 - 1/3 = 1/15

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (1/15) / (1/3) × 100 = (1/15) × 3 × 100 = (1/5) × 100 = 20%

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: 1 + cot²A = cosec²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: √(1 + cot²A) = cosecA

इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = 1/cosecA

चूंकि sinA और cosecA व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात हैं, हमारे पास है: 1/cosecA = sinA

इस प्रकार, व्यंजक सीधे सरल होकर प्राप्त होता है: x = sinA

व्याख्या

दी गई संयुक्त असमानता में दो अलग-अलग असमानताएँ हैं जिन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए।

पहले, 3x - 5(x - 1) > 2x - 1 को हल करें: 3x - 5x + 5 > 2x - 1 -2x + 5 > 2x - 1 6 > 4x x < 1.5

दूसरा, 2x - 1 < 2 + 4x को हल करें: -1 - 2 < 4x - 2x -3 < 2x x > -1.5

इन दोनों परिणामों को मिलाने पर x की सीमा प्राप्त होती है: -1.5 < x < 1.5

मान -1 इस असमानता को संतुष्ट करता है, क्योंकि -1.5 < -1 < 1.5।

व्याख्या

सभी मदों की लागतों को जोड़कर कुल वार्षिक व्यय की गणना की जाती है: कुल व्यय = 12 + 6 + 6 + 4 + 4 = 32 लाख

श्रम और ब्याज का संयुक्त व्यय है: श्रम + ब्याज = 6 + 4 = 10 लाख

कुल व्यय के सापेक्ष इन संयुक्त व्ययों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (संयुक्त व्यय / कुल व्यय) × 100% प्रतिशत = (10 / 32) × 100% = 31.25%

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (x - y)² = x² - 2xy + y²

हम आवश्यक पद को हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: x² + y² = (x - y)² + 2xy

इस समीकरण में दिए गए मान x - y = -8 और xy = 45 को प्रतिस्थापित करें: x² + y² = (-8)² + 2(45) x² + y² = 64 + 90 x² + y² = 154

व्याख्या

एक वर्ग एक सम चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई को s से दर्शाया जाता है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना का सूत्र इसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है। चूँकि सभी भुजाएँ समान होती हैं, क्षेत्रफल s × s होता है, जिसे s² के रूप में लिखा जाता है। यह गणितीय संबंध दर्शाता है कि एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

व्याख्या

मान लीजिए महमूद की दक्षता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूँकि महमूद 40 घंटे में काम पूरा करता है, इसलिए कुल काम 40 × 1 = 40 इकाई है।

जानकी महमूद से 50% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि जानकी की दक्षता प्रति घंटा 1.5 इकाई है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त दक्षता 1 + 1.5 = 2.5 इकाई प्रति घंटा होती है।

दोनों को मिलकर काम पूरा करने के लिए आवश्यक समय है: कुल काम / संयुक्त दक्षता = 40 / 2.5 = 16 घंटे।

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है।

अंकों का गुणनफल 24 दिया गया है: x × y = 24

जब संख्या में 45 जोड़ा जाता है, तो अंक आपस में बदल जाते हैं: 10x + y + 45 = 10y + x 9y - 9x = 45 y - x = 5 y = x + 5

y = x + 5 को गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x × (x + 5) = 24 x² + 5x - 24 = 0 (x + 8)(x - 3) = 0

चूंकि x एक धनात्मक एकल अंक होना चाहिए, हमें x = 3 प्राप्त होता है। y ज्ञात करने के लिए इस मान का उपयोग करना: y = 3 + 5 = 8

इसलिए, दहाई का अंक 3 है और इकाई का अंक 8 है, जिससे संख्या 38 बनती है। 38 में 45 जोड़ने पर 83 प्राप्त होता है, जिसमें वास्तव में अंक आपस में बदल जाते हैं।

व्याख्या

बेलनाकार पात्र को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक पानी की मात्रा बेलनाकार पात्र के कुल आयतन और ठोस लंब वृत्तीय शंकु के आयतन के बीच का अंतर है।

बेलन के आयतन का सूत्र V_cylinder = π × R² × H है, जहाँ R बेलन की त्रिज्या और H उसकी ऊंचाई है।

शंकु के आयतन का सूत्र V_cone = ⅓ × π × r² × h है, जहाँ r शंकु की त्रिज्या और h उसकी ऊंचाई है।

दिए गए आयाम: बेलनाकार पात्र की त्रिज्या (R) = 11 सेमी बेलनाकार पात्र की ऊंचाई (H) = 9 सेमी शंकु की त्रिज्या (r) = 10 सेमी शंकु की ऊंचाई (h) = 8 सेमी

आयतन ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करें: बेलन का आयतन = π × 11² × 9 = 1089π घन सेमी शंकु का आयतन = ⅓ × π × 10² × 8 = 800/3 × π घन सेमी

आवश्यक पानी की मात्रा है: पानी की मात्रा = बेलन का आयतन - शंकु का आयतन पानी की मात्रा = 1089π - 800/3 × π पानी की मात्रा = (3267 - 800)/3 × π पानी की मात्रा = 2467/3 × π घन सेमी

π ≈ 22/7 का अनुमानित मान का उपयोग करके: पानी की मात्रा = 2467/3 × 22/7 = 54274/21 ≈ 2584.48 घन सेमी

व्याख्या

व्यंजक x = sin A / (1 + cos A) को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करते हैं, जो कि 1 - cos A है:

x = (sin A × (1 - cos A)) / ((1 + cos A) × (1 - cos A))

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x = (sin A × (1 - cos A)) / (1 - cos² A)

चूंकि 1 - cos² A = sin² A है, इसलिए व्यंजक सरल होकर यह हो जाता है:

x = (sin A × (1 - cos A)) / sin² A

अंश और हर दोनों से sin A को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x = (1 - cos A) / sin A

अब हम इसे दो अलग-अलग भिन्नों में विभाजित कर सकते हैं:

x = (1 / sin A) - (cos A / sin A)

व्युत्क्रम (reciprocal) और भागफल (quotient) सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, जहां cosec A = 1 / sin A और cot A = cos A / sin A है, हमें प्राप्त होता है:

x = cosec A - cot A

व्याख्या

औसत गति मीटर प्रति सेकंड में ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

गति = दूरी / समय

दिया गया है: दूरी = 252 किमी समय = 2.5 घंटे

सबसे पहले, किमी/घंटा में औसत गति की गणना करें: गति = 252 / 2.5 = 100.8 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें: गति = 100.8 × 5/18 = 28 मी/से

व्याख्या

वस्तुओं के संयोजन पर प्रभावी छूट की गणना सीधे छूट प्रतिशत के भारित औसत का उपयोग करके की जा सकती है, क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत वस्तु का अंकित मूल्य समान है।

प्रभावी छूट = (d₁ × q₁ + d₂ × q₂) / (q₁ + q₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: q₁ = 2 वस्तुएँ छूट d₁ = 24% के साथ q₂ = 5 वस्तुएँ छूट d₂ = 38% के साथ

प्रभावी छूट = (24 × 2 + 38 × 5) / (2 + 5) प्रभावी छूट = (48 + 190) / 7 प्रभावी छूट = 238 / 7 = 34%

व्याख्या

द्विघात व्यंजक 24x² - 54x - 15 का गुणनखंड करने के लिए, हम सबसे पहले गुणांकों के महत्तम समापवर्तक (GCD) को बाहर निकालते हैं, जो कि 3 है:

3(8x² - 18x - 5)

इसके बाद, हम कोष्ठक के अंदर द्विघात व्यंजक 8x² - 18x - 5 का गुणनखंड करते हैं। हम दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल 8 × (-5) = -40 हो और योग -18 हो। ये संख्याएँ -20 और 2 हैं।

इन संख्याओं का उपयोग करके मध्य पद को विभाजित करने पर:

8x² - 20x + 2x - 5

समूह बनाकर गुणनखंड करने के लिए पदों को समूहित करना:

4x(2x - 5) + 1(2x - 5)

सामान्य द्विपद पद (2x - 5) को बाहर निकालने पर प्राप्त होता है:

(2x - 5)(4x + 1)

इसे 3 के प्रारंभिक सामान्य गुणनखंड के साथ मिलाने पर अंतिम गुणनखंडित रूप प्राप्त होता है:

3(2x - 5)(4x + 1)

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या 100 से 40% कम है, जो देता है: 100 - 40 = 60

दूसरी संख्या 100 से 50% कम है, जो देता है: 100 - 50 = 50

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर बनाने के लिए, इसे बढ़ाया जाना चाहिए: 60 - 50 = 10

दूसरी संख्या पर आवश्यक वृद्धि का प्रतिशत, आवश्यक वृद्धि को दूसरी संख्या से विभाजित करके और 100 से गुणा करके गणना की जाती है: (10 / 50) × 100% = 20%

व्याख्या

रेखा x - 6y = 8 का ढलान m₁ ढलान-अंतःखंड रूप, y = (1/6)x - 4/3 में बदलकर पाया जा सकता है, जिससे m₁ = 1/6 प्राप्त होता है।

चूंकि दो लंबवत रेखाओं के ढलान का गुणनफल -1 होता है, इसलिए बिंदुओं (5, a) और (4, 3) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m₂ निम्न होना चाहिए: m₂ = -1 / m₁ = -1 / (1/6) = -6

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा के ढलान का सूत्र है: m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

निर्देशांक (5, a) और (4, 3) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: -6 = (3 - a) / (4 - 5) -6 = (3 - a) / (-1) 6 = 3 - a a = -3

व्याख्या

18 और 32 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 19, 23, 29 और 31 हैं।

इन संख्याओं का योग: 19 + 23 + 29 + 31 = 102

व्याख्या

सही उत्तर: D

वज़न से ऊंचाई का अनुपात किलोग्राम में वज़न को मीटर में ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है।

आशु के लिए, अनुपात 68 ÷ 1.6 = 42.5 किग्रा/मी है। अस्लम के लिए, अनुपात 62 ÷ 1.75 ≈ 35.43 किग्रा/मी है। आयुष के लिए, अनुपात 63 ÷ 1.59 ≈ 39.62 किग्रा/मी है। आयुष्मान के लिए, अनुपात 50 ÷ 1.56 ≈ 32.05 किग्रा/मी है।

सभी परिकलित अनुपातों में आयुष्मान का मान सबसे कम है।

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = (∑ (x × f)) / (∑ f)

जहाँ x एक घर में बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या (आवृत्ति) को दर्शाता है।

सबसे पहले, प्रत्येक घर में बच्चों की संख्या को उसकी संगत आवृत्ति से गुणा करके और गुणनफलों को जोड़कर सोसाइटी में बच्चों की कुल संख्या की गणना करें: (0 × 3) + (1 × 7) + (2 × 12) + (3 × 7) = 0 + 7 + 24 + 21 = 52

इसके बाद, आवृत्तियों को जोड़कर सोसाइटी में घरों की कुल संख्या की गणना करें: 3 + 7 + 12 + 7 = 29

बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 52 / 29 ≈ 1.793

व्याख्या

कंपनी ने कुल 6 लाख शेयर जारी किए हैं, जो 6,00,000 शेयरों के बराबर है।

डेटा तालिका के अनुसार, धीरज के पास वर्तमान में कंपनी में 5% हिस्सेदारी है।

धैर्य के शेयरों की प्रारंभिक संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 6,00,000 का 5% = (5/100) × 6,00,000 = 30,000 शेयर

जब बसु अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज की शेयर संख्या 15,000 बढ़ जाती है।

धैर्य के शेयरों की नई कुल संख्या = 30,000 + 15,000 = 45,000 शेयर।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है। इसलिए, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज तीसरे और दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशियों के बीच का अंतर है।

तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज = तीसरे वर्ष के अंत में राशि - दूसरे वर्ष के अंत में राशि ब्याज = 33745.92 - 32448 = 1297.92

ब्याज की दर की गणना इस प्रकार की जाती है: दर = (ब्याज ÷ उस वर्ष के लिए मूलधन) × 100 दर = (1297.92 ÷ 32448) × 100 दर = 0.04 × 100 = 4%

व्याख्या

दोहरे कोण के कोटिज्या के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, हमारे पास है:

cot(2A) = (cot²A - 1) / 2cotA

यह सर्वसमिका स्पर्शज्या के दोहरे कोण सूत्र से व्युत्पन्न होती है:

tan(2A) = 2tanA / (1 - tan²A)

इसे कोटिज्या के पदों में व्यक्त करने के लिए दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:

cot(2A) = (1 - tan²A) / 2tanA

tanA = 1/cotA को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

cot(2A) = (1 - 1/cot²A) / (2/cotA)

सामान्य हर लेकर अंश को सरल बनाने पर:

cot(2A) = ((cot²A - 1) / cot²A) / (2/cotA)

हर के व्युत्क्रम से गुणा करने पर:

cot(2A) = ((cot²A - 1) / cot²A) × (cotA / 2)

cot(2A) = (cot²A - 1) / 2cotA

व्याख्या

सही उत्तर: B

मान लीजिए वर्ग की भुजा x है। वर्ग का क्षेत्रफल x² = 6√3 वर्ग सेमी दिया गया है।

वर्ग के विकर्ण, d, की लंबाई उसकी भुजा से सूत्र d = x√2 द्वारा संबंधित है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर d² = 2x² प्राप्त होता है।

x² का मान रखने पर: d² = 2 × 6√3 = 12√3 वर्ग सेमी

चूंकि समबाहु त्रिभुज की भुजा, s, वर्ग के विकर्ण के बराबर है, s = d, जिसका अर्थ है s² = d² = 12√3 वर्ग सेमी।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र (√3/4)s² द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में s² का मान रखने पर: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × 12√3 = 3 × (√3 × √3) = 3 × 3 = 9 वर्ग सेमी

व्याख्या

30° पर त्रिकोणमितीय फलनों के मान हैं: sec 30° = 2/√3 cot 30° = √3

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sec 30° + cot 30° = 2/√3 + √3

सामान्य हर लेने पर: (2 + (√3 × √3)) / √3 = (2 + 3) / √3 = 5/√3

व्याख्या

दी गई श्रृंखला 61 + 62 + 63 + ... + 110 एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a = 61, अंतिम पद l = 110, और सार्व अंतर 1 है।

पदों की कुल संख्या n की गणना इस प्रकार की जाती है: n = 110 - 61 + 1 = 50

समांतर श्रेणी के योग का सूत्र है: Sₙ = (n/2) × (a + l)

सूत्र में मान रखने पर: S₅₀ = (50/2) × (61 + 110) S₅₀ = 25 × 171 S₅₀ = 4275

व्याख्या

घन का आयतन V = a³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है।

दिया गया है: a³ = 512 सेमी³ a = ∛512 = 8 सेमी

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: TSA = 6a² TSA = 6 × 8² = 6 × 64 = 384 सेमी²

व्याख्या

दैनिक टिकट की लागत ₹160 है। यदि यात्रा के 26 दिनों के लिए दैनिक टिकट खरीदे जाते हैं, तो कुल लागत होगी: 26 × ₹160 = ₹4160

मासिक पास की लागत ₹2912 है।

व्यक्तिगत दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदकर कुल बचत राशि है: ₹4160 - ₹2912 = ₹1248

बचत का प्रतिशत इस प्रकार गणना की जाती है: (बचत ÷ दैनिक टिकटों की लागत) × 100 (1248 ÷ 4160) × 100 = 30%

व्याख्या

प्रहलाद द्वारा पूरा काम पूरा करने में लिया गया समय 30 × 3 = 90 दिन है।

शेष कार्य काम का 1 - 1/3 = 2/3 है। चूँकि सरफराज इस 2/3 काम को 90 दिनों में पूरा करता है, इसलिए सरफराज द्वारा अकेले पूरा काम पूरा करने में लिया गया समय 90 × 3/2 = 135 दिन है।

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, काम पूरा करने के लिए वे एक साथ जितने दिन लेते हैं, वह है: (90 × 135) / (90 + 135) = 12150 / 225 = 54 दिन।

व्याख्या

पहली असमानता 2x - 3 ≤ 5 + x को दोनों पक्षों से x घटाकर और 3 जोड़कर हल करने पर x ≤ 8 प्राप्त होता है।

दूसरी असमानता 5 - x < 1 + 5x को दोनों पक्षों से x जोड़कर और 1 घटाकर हल करने पर 4 < 6x प्राप्त होता है, जो x > 2/3 को सरल करता है।

इन दोनों परिणामों को मिलाकर, x के लिए मान्य सीमा 2/3 < x ≤ 8 है। मान 1 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि 2/3 < 1 ≤ 8।

व्याख्या

किसी मान को r% तक घटाए जाने के बाद उसके मूल स्तर पर बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र है:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100%

सूत्र में r = 9 रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (9 / (100 - 9)) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (9 / 91) × 100% प्रतिशत वृद्धि = 900 / 91 % ≈ 9.89%

व्याख्या

दिए गए समीकरण 13A = 11B = 8C से A : B : C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें एक स्थिरांक k के बराबर कर सकते हैं: A = k/13 B = k/11 C = k/8

इस प्रकार, अनुपात A : B : C है: A : B : C = 1/13 : 1/11 : 1/8

इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम प्रत्येक पद को हरों के गुणनफल, जो कि 13 × 11 × 8 है, से गुणा करते हैं: A : B : C = (11 × 8) : (13 × 8) : (13 × 11) A : B : C = 88 : 104 : 143

व्याख्या

माना एक जूते का विक्रय मूल्य SP है। 21 जूतों का विक्रय मूल्य 21 × SP है।

अर्जित लाभ 5 जूतों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 5 × SP है।

संबंध का उपयोग करके: क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य (SP) - लाभ

21 जूतों का क्रय मूल्य है: CP = 21 × SP - 5 × SP = 16 × SP

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (5 × SP / 16 × SP) × 100 लाभ प्रतिशत = (5 / 16) × 100 लाभ प्रतिशत = 31.25%

व्याख्या

त्रिज्यखंड का परिमाप उसकी चाप की लंबाई और दो परिसीमन त्रिज्याओं का योग होता है। त्रिज्यखंड के परिमाप का सूत्र है:

परिमाप = (θ / 360°) × 2πr + 2r

दिए गए मानों θ = 60°, r = 21 सेमी, और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

चाप की लंबाई = (60 / 360) × 2 × (22 / 7) × 21 चाप की लंबाई = (1 / 6) × 2 × 22 × 3 चाप की लंबाई = 22 सेमी

कुल परिमाप ज्ञात करने के लिए चाप की लंबाई का उपयोग करते हुए:

परिमाप = 22 + 2 × 21 परिमाप = 22 + 42 परिमाप = 64 सेमी

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D उसके मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है और यह सूत्र द्वारा दिया जाता है: D = b² - 4ac

किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए, उसका विविक्तकर शून्य से अधिक या उसके बराबर (D ≥ 0) होना चाहिए।

इस सूत्र को समीकरण 3x² - 5x + 2 = 0 पर लागू करने पर, हम गुणांकों को a = 3, b = -5, और c = 2 के रूप में पहचानते हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: D = (-5)² - 4 × 3 × 2 D = 25 - 24 D = 1

चूंकि विविक्तकर शून्य से अधिक है, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

व्याख्या

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

समानांतर भुजाओं का योग = 12.4 सेमी समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी = 3.5 सेमी

क्षेत्रफल = ½ × 12.4 × 3.5 क्षेत्रफल = 6.2 × 3.5 क्षेत्रफल = 21.7 वर्ग सेमी

व्याख्या

मान लीजिए चार संख्याएँ a, b, c, और d हैं।

चार संख्याओं का औसत 91 है, जिसका अर्थ है कि उनका कुल योग है: a + b + c + d = 4 × 91 = 364

हमें दिया गया है कि पहली संख्या, a, अन्य तीन संख्याओं के योग का 3/10 गुना है: a = (3/10) × (b + c + d)

इस संबंध को a के पदों में अन्य तीन संख्याओं के योग को व्यक्त करने के लिए फिर से लिखा जा सकता है: b + c + d = 10a / 3

इस व्यंजक को कुल योग समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a + 10a / 3 = 364 13a / 3 = 364 13a = 364 × 3 13a = 1092 a = 1092 / 13 a = 84

व्याख्या

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए हल ज्ञात करने हेतु, समीकरणों को इस प्रकार लिखें: 4x + 3y = 11 3x + 2y = 8

y पदों को समाप्त करने के लिए पहले समीकरण को 2 से और दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें: 8x + 6y = 22 9x + 6y = 24

x के लिए हल करने हेतु दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं: (9x - 8x) + (6y - 6y) = 24 - 22 x = 2

दूसरे समीकरण में x का मान प्रतिस्थापित करें: 3(2) + 2y = 8 6 + 2y = 8 2y = 2 y = 1

इससे हल (x, y) = (2, 1) प्राप्त होता है।