एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना तीन संख्याएँ x, y, और z हैं। चूँकि उनका औसत 77 है, उनका योग है: x + y + z = 77 × 3 = 231

हमें दिया गया है कि पहली संख्या x अन्य दो संख्याओं के योग का 3/4 गुना है: x = (3/4) × (y + z) y + z = (4/3) × x

y + z के इस मान को योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + (4/3) × x = 231 (7/3) × x = 231 x = 231 × 3/7 x = 33 × 3 x = 99

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन का कार्य करती है। इसलिए, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज तीसरे और दूसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशियों के बीच का अंतर है।

तीसरे वर्ष के लिए ब्याज = रु 37791.36 - रु 34992 = रु 2799.36

ब्याज की दर R की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: R = (ब्याज / मूलधन) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: R = (2799.36 / 34992) × 100 R = 279936 / 34992 R = 8 प्रतिशत

व्याख्या

आयत ABCD में, आसन्न भुजाएँ DA और AB एक दूसरे पर लंबवत होती हैं। दो लंबवत रेखाओं के ढलानों का गुणनफल हमेशा -1 के बराबर होता है। मान लीजिए m₁ भुजा DA का ढलान है और m₂ भुजा AB का ढलान है।

m₁ × m₂ = -1

सूत्र में भुजा DA के दिए गए ढलान को प्रतिस्थापित करने पर:

(-3/4) × m₂ = -1

दोनों पक्षों को -4/3 से गुणा करने पर:

m₂ = 4/3

व्याख्या

हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं: cot 30° = √3 cos 45° = 1/√2

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cot 30° - cos 45° x = √3 - 1/√2

सामान्य हर √2 लेने पर: x = (√3 × √2 - 1) / √2 x = (√6 - 1)/√2

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक आयत के विकर्ण d, लंबाई l, और चौड़ाई b निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं: d² = l² + b²

दिया गया है कि विकर्ण d = 10 सेमी और एक भुजा l = 8 सेमी है, तो दूसरी भुजा b की गणना इस प्रकार की जाती है: 10² = 8² + b² 100 = 64 + b² b² = 36 b = 6 सेमी

आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = l × b क्षेत्रफल = 8 × 6 = 48 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो संख्याओं, उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) और उनके लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) के बीच का मौलिक संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

55 × 99 = 11 × ल.स.प.

ल.स.प. = (55 × 99) ÷ 11

ल.स.प. = 5 × 99

ल.स.प. = 495

व्याख्या

मान लीजिए शुद्ध दूध की मात्रा 5 लीटर खरीदी गई है। ₹25 प्रति लीटर की दर से, इस दूध का कुल क्रय मूल्य 5 × 25 = ₹125 है।

दूधवाले ने दूध में 1/5 पानी मिलाया, जिसका अर्थ है कि मिलाए गए पानी की मात्रा 1/5 × 5 = 1 लीटर है। मिश्रण की कुल मात्रा अब 5 + 1 = 6 लीटर हो जाती है।

वह इस मिश्रण को ₹29 प्रति लीटर की दर से बेचता है। 6 लीटर मिश्रण का कुल विक्रय मूल्य 6 × 29 = ₹174 है।

कुल लाभ विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 174 - 125 = ₹49 है।

लाभ प्रतिशत की गणना (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (49 / 125) × 100 = 39.2% के रूप में की जाती है।

व्याख्या

हम y चर को समाप्त करने के लिए दोनों समीकरणों को जोड़कर रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल कर सकते हैं।

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (9x - 6y) + (x + 6y) = 15 + 15 10x = 30 x = 3

दूसरे समीकरण में x = 3 रखने पर: 3 + 6y = 15 6y = 12 y = 2

इससे x = 3 और y = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

111a²b²c² को 37a² से विभाजित करने के लिए, हम विभाजन को एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:

(111a²b²c²) / (37a²)

हम संख्यात्मक गुणांकों और बीजगणितीय चरों को अलग-अलग विभाजित करते हैं:

111 / 37 = 3

a² / a² = 1

शेष पदों को एक साथ गुणा करने पर:

3 × 1 × b²c² = 3b²c²

व्याख्या

ठोस का आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है।

शंकु का आयतन = (1/3) × π × r² × h अर्धगोले का आयतन = (2/3) × π × r³

कुल आयतन = (1/3) × π × r² × (h + 2r)

दिया गया है कि शंकु और अर्धगोले दोनों का व्यास 21 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 21/2 सेमी है। शंकु की ऊँचाई h = 25 सेमी है। π = 22/7 के साथ सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल आयतन = (1/3) × (22/7) × (21/2) × (21/2) × (25 + 2 × (21/2)) कुल आयतन = 11 × (21/2) × (25 + 21) कुल आयतन = 11 × (21/2) × 46 कुल आयतन = 11 × 21 × 23 कुल आयतन = 5313 घन सेमी

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: गति = दूरी / समय

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: गति = 297 किमी / 4.4 घंटे = 67.5 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए, 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें: मी/से में गति = 67.5 × 5/18 = 18.75 मी/से

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा s है।

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र π × r² द्वारा दिया जाता है। चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल 36π वर्ग सेमी है, हम समीकरण स्थापित करके त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं:

π × r² = 36π r² = 36 r = 6 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है:

व्यास = 2 × r = 2 × 6 = 12 सेमी

वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर है, इसलिए:

s = 12 सेमी

वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र s² द्वारा दिया जाता है:

वर्ग का क्षेत्रफल = 12² = 144 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक वस्तु का अंकित मूल्य रु 100 है, इसलिए 6 वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य 6 × रु 100 = रु 600 है।

दी गई छूट योजना के तहत 6 वस्तुएँ खरीदने के लिए, खरीद को 4 वस्तुओं के एक समूह और 2 वस्तुओं के एक समूह में विभाजित किया गया है।

4 वस्तुएँ खरीदने पर, छूट 43% है: 4 वस्तुओं पर छूट = (4 × रु 100) का 43% = 0.43 × रु 400 = रु 172

2 वस्तुएँ खरीदने पर, छूट 25% है: 2 वस्तुओं पर छूट = (2 × रु 100) का 25% = 0.25 × रु 200 = रु 50

सभी 6 वस्तुओं पर प्राप्त कुल छूट = रु 172 + रु 50 = रु 222

प्रभावी छूट प्रतिशत कुल छूट को कुल अंकित मूल्य से विभाजित करके, 100 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: प्रभावी छूट = (222 / 600) × 100 = 37%

व्याख्या

2A के स्पर्शज्या (tangent) के लिए द्वि-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सूत्र द्वारा दी गई है:

tan(2A) = 2tanA / (1 - tan²A)

यह देखते हुए कि tan(2A) = x है, हमारे पास है:

x = 2tanA / (1 - tan²A)

मानक टाइपोग्राफ़िकल निरूपण में, हर (denominator) में घात (exponent) tan²A को tan2A के रूप में लिखा जाता है। इस संकेतन को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

x = 2tanA / (1 - tan2A)

व्याख्या

कुल स्टॉक का मूल्य प्रत्येक वस्तु प्रकार के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों को जोड़कर निकाला जाता है:

मोबाइल फोन का मूल्य = 40 × 10000 = 4,00,000 रुपये कैमरा का मूल्य = 93 × 20000 = 18,60,000 रुपये टीवी का मूल्य = 97 × 52000 = 50,44,000 रुपये रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 21 × 22000 = 4,62,000 रुपये एसी का मूल्य = 39 × 23000 = 8,97,000 रुपये

कुल स्टॉक मूल्य = 4,00,000 + 18,60,000 + 50,44,000 + 4,62,000 + 8,97,000 = 86,63,000 रुपये

कुल स्टॉक मूल्य को लाख रुपये में बदलने के लिए, योग को 1,00,000 से विभाजित करें: लाख रुपये में मूल्य = 86,63,000 / 1,00,000 = 86.63 लाख रुपये

व्याख्या

किसी वर्ष के आयात और निर्यात को क्रमशः I और E से दर्शाया जाता है।

वर्ष 2012 के लिए: आयात/निर्यात अनुपात = 1.2 दिया गया है कि 2012 में आयात (I₁₂) रु. 1000 करोड़ है: I₁₂ / E₁₂ = 1.2 1000 / E₁₂ = 1.2 E₁₂ = 1000 / 1.2 = 833.33 करोड़

वर्ष 2013 के लिए: दिया गया है कि 2012 और 2013 में कुल निर्यात मिलाकर (E₁₂ + E₁₃) रु. 3600 करोड़ है: E₁₃ = 3600 - E₁₂ E₁₃ = 3600 - 833.33 = 2766.67 करोड़

2013 के लिए आयात/निर्यात अनुपात 0.8 है: I₁₃ / E₁₃ = 0.8 I₁₃ = 0.8 × E₁₃ I₁₃ = 0.8 × 2766.67 = 2213.33 करोड़

व्याख्या

7वें जन्मदिन से 15वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

ऊंचाई में वृद्धि = 15वें जन्मदिन पर ऊंचाई - 7वें जन्मदिन पर ऊंचाई

डेटा तालिका से, बच्चे की ऊंचाई है: 15वें जन्मदिन पर ऊंचाई = 185 सेमी 7वें जन्मदिन पर ऊंचाई = 120 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

ऊंचाई में वृद्धि = 185 - 120 = 65 सेमी

व्याख्या

रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच की कुल समयावधि 8 घंटे है।

डेटा तालिका में दिए गए मान प्रतिशत दर्शाते हैं क्योंकि उनका योग 5 + 10 + 10 + 20 + 55 = 100% है।

उपयोगकर्ता द्वारा सपना देखने या जागृत रहने का संयुक्त प्रतिशत है: 10% + 55% = 65%

कुल समयावधि 8 घंटे को इस संयुक्त प्रतिशत से गुणा करने पर अवधि प्राप्त होती है: 8 घंटे × 0.65 = 5.2 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य MP और क्रय मूल्य CP है।

जब अंकित मूल्य पर 30% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य होता है: SP = 0.70 × MP

चूंकि इससे 16% की हानि होती है, इसलिए विक्रय मूल्य यह भी है: SP = 0.84 × CP

इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.70 × MP = 0.84 × CP MP = (0.84 / 0.70) × CP MP = 1.2 × CP

जब अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है, तो नया विक्रय मूल्य होता है: New SP = 0.80 × MP New SP = 0.80 × 1.2 × CP New SP = 0.96 × CP

चूंकि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 96% है, इसलिए व्यापारी को 4% की हानि होती है।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम दो दी गई असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता: 5x - 4 ≤ 2 - x 6x ≤ 6 x ≤ 1

दूसरी असमानता: 4x + 5 > 2x - 5 2x > -10 x > -5

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, हमें x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -5 < x ≤ 1

दिए गए विकल्पों में से, केवल -1 इस अंतराल में आता है क्योंकि -5 < -1 ≤ 1।

व्याख्या

1 जनवरी को की गई जमा राशि बैंक में दो छमाही के लिए रहती है। चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके, वर्ष के अंत में इस जमा राशि के लिए संचित राशि है: राशि = मूलधन × (1 + दर/100)² राशि₁ = 8800 × (1 + 15/100)² = 8800 × 1.15² = 8800 × 1.3225 = ₹11638

1 जुलाई को की गई जमा राशि बैंक में केवल एक छमाही के लिए रहती है। वर्ष के अंत में इस जमा राशि के लिए संचित राशि है: राशि₂ = 8800 × (1 + 15/100)¹ = 8800 × 1.15 = ₹10120

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि है: ₹11638 + ₹10120 = ₹21758

ग्राहक द्वारा जमा किया गया कुल मूलधन है: ₹8800 + ₹8800 = ₹17600

अर्जित कुल ब्याज, कुल संचित राशि और कुल जमा किए गए मूलधन के बीच का अंतर है: ब्याज = ₹21758 - ₹17600 = ₹4158

व्याख्या

x - y का मान ज्ञात करने के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

4x - 5y = -37 7x + y = -16

दूसरे समीकरण से, y को x के पदों में व्यक्त करें: y = -16 - 7x

पहले समीकरण में y के लिए इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करें: 4x - 5(-16 - 7x) = -37 4x + 80 + 35x = -37 39x = -117 x = -3

x के मान को y के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: y = -16 - 7(-3) y = 5

x - y की गणना करें: x - y = -3 - 5 = -8

व्याख्या

x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: (x_g, y_g) = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

मान लीजिए शीर्ष C के निर्देशांक (x, y) हैं। A(-2, 5), B(6, -2), और केंद्रक G(3, -2) के निर्देशांक दिए गए हैं, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

3 = (-2 + 6 + x) / 3 9 = 4 + x x = 5

-2 = (5 - 2 + y) / 3 -6 = 3 + y y = -9

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (-5, 1) और (x, -4), और ढलान m = -5/8 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

-5/8 = (-4 - 1) / (x - (-5))

-5/8 = -5 / (x + 5)

चूंकि दोनों पक्षों के अंश -5 के बराबर हैं, इसलिए हर भी बराबर होने चाहिए:

x + 5 = 8

x = 3

व्याख्या

एक उत्तल बहुफलक के लिए यूलर का सूत्र फलकों (F), शीर्षों (V), और किनारों (E) की संख्या को समीकरण द्वारा संबंधित करता है: F + V = E + 2

एक त्रिकोणीय प्रिज्म में 2 त्रिकोणीय आधार और 3 आयताकार पार्श्व फलक होते हैं, जिससे कुल F = 5 फलक होते हैं। यह देखते हुए कि प्रिज्म में E = 9 किनारे हैं, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 5 + V = 9 + 2 5 + V = 11 V = 6

वैकल्पिक रूप से, एक त्रिकोणीय प्रिज्म दो समानांतर त्रिकोणीय आधारों से बनता है जो पार्श्व किनारों से जुड़े होते हैं। चूंकि प्रत्येक त्रिभुज में 3 शीर्ष होते हैं, इसलिए शीर्षों की कुल संख्या 2 × 3 = 6 होती है।

व्याख्या

मान लीजिए s वर्ग की भुजा है और d इसका विकर्ण है। वर्ग का क्षेत्रफल s² = 12 है। वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा से सूत्र d = s√2 द्वारा संबंधित है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर d² = 2s² प्राप्त होता है। s² का मान रखने पर, हमें d² = 2 × 12 = 24 मिलता है।

चूंकि वर्ग का विकर्ण समबाहु त्रिभुज की भुजा a के बराबर है, इसलिए हमारे पास a = d है, और इस प्रकार a² = d² = 24 है।

भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4) a²

a² का मान रखने पर: क्षेत्रफल = (√3/4) × 24 = 6√3 वर्ग सेमी।

व्याख्या

कुल लाभ ₹936000 को तीन साझेदारों के बीच 2:3:5 के अनुपात में बाँटा गया है।

चारूदत्त का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम पहले अनुपात के भागों का योग ज्ञात करते हैं:

अनुपात के कुल भाग = 2 + 3 + 5 = 10

चारूदत्त का हिस्सा इस कुल 10 भागों में से 5 भागों के बराबर है।

चारूदत्त का हिस्सा = (5 / 10) × 936000 = ½ × 936000 = 468000

व्याख्या

यदि किसी वस्तु के मूल्य में r% की कमी की जाती है, तो उसके मूल मूल्य को बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र है:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100

सूत्र में r = 36 रखने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (36 / (100 - 36)) × 100 = (36 / 64) × 100 = (9 / 16) × 100 = 56.25%

व्याख्या

कई समूहों के संयुक्त माध्य की गणना भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है: संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃), जहाँ n छात्रों की संख्या को दर्शाता है और x̄ प्रत्येक प्रभाग के माध्य को दर्शाता है।

प्रभाग A के लिए, n₁ = 50 और x̄₁ = 61। प्रभाग B के लिए, n₂ = 25 और x̄₂ = 57। प्रभाग C के लिए, n₃ = 50 और x̄₃ = 55।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

संयुक्त माध्य = (50 × 61 + 25 × 57 + 50 × 55) / (50 + 25 + 50)

संयुक्त माध्य = (3050 + 1425 + 2750) / 125

संयुक्त माध्य = 7225 / 125 = 57.8

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (100 - छूट%) / 100

सूत्र में SP = 1680 और छूट% = 16 रखने पर:

1680 = MP × (100 - 16) / 100 1680 = MP × 84 / 100 MP = (1680 × 100) / 84 MP = 20 × 100 MP = 2000

व्याख्या

योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले तीन बीजगणितीय व्यंजकों में से प्रत्येक का विस्तार करते हैं:

पहला व्यंजक: 6xy(2x - 4z) = 12x²y - 24xyz

दूसरा व्यंजक: 3yz(2x - 3z) = 6xyz - 9yz²

तीसरा व्यंजक: 4xz(3y - 2y²) = 12xyz - 8xy²z

अब, हम तीन विस्तारित व्यंजकों को एक साथ जोड़ते हैं: योग = 12x²y - 24xyz + 6xyz - 9yz² + 12xyz - 8xy²z

xyz वाले समान पदों को संयोजित करना: -24xyz + 6xyz + 12xyz = -6xyz

शेष पदों को समूहित और व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 12x²y - 6xyz - 9yz² - 8xy²z

व्याख्या

माना क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) है।

जब 25% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य (SP₁) होगा: SP₁ = 0.75 × MP

चूंकि इससे 41% का लाभ होता है, हमारे पास यह भी है: SP₁ = 1.41 × CP

SP₁ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.75 × MP = 1.41 × CP MP = (1.41 / 0.75) × CP

जब छूट 26% है, तो नया विक्रय मूल्य (SP₂) होगा: SP₂ = 0.74 × MP

CP के पदों में MP का मान रखने पर: SP₂ = 0.74 × (1.41 / 0.75) × CP SP₂ = (1.0434 / 0.75) × CP SP₂ = 1.3912 × CP

यह 1.3912 - 1 = 0.3912 का लाभ दर्शाता है, जो कि 39.12% है।

व्याख्या

मान लीजिए रंजिनी और शाहिद की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 4x है, जहाँ x एक सामान्य गुणक है।

13 वर्ष बाद, उनकी आयु 5x + 13 और 4x + 13 होगी। उस समय उनकी आयु का अनुपात 6:5 दिया गया है, जिससे समीकरण बनता है:

(5x + 13) / (4x + 13) = 6/5

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर:

5(5x + 13) = 6(4x + 13) 25x + 65 = 24x + 78 x = 13

रंजिनी की वर्तमान आयु 5x है, जो 5 × 13 = 65 है।

वैकल्पिक रूप से, 13 वर्ष की अवधि में अनुपात 5:4 से 6:5 हो जाता है। चूँकि रंजिनी (6 - 5 = 1) और शाहिद (5 - 4 = 1) दोनों के लिए भागों का अंतर बराबर है, इसलिए 1 अनुपात इकाई सीधे 13 वर्ष के बराबर है। अतः, रंजिनी की वर्तमान आयु 5 इकाई 5 × 13 = 65 वर्ष है।

व्याख्या

हमें दिया गया है: x = (cotA - cosecA)²

त्रिकोणमितीय फलनों को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करने पर, हमें प्राप्त होता है: cotA = cosA / sinA cosecA = 1 / sinA

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: cotA - cosecA = (cosA / sinA) - (1 / sinA) = (cosA - 1) / sinA

अब, x ज्ञात करने के लिए इस व्यंजक का वर्ग करें: x = ((cosA - 1) / sinA)² x = (cosA - 1)² / sin²A

चूंकि (cosA - 1)² बराबर (1 - cosA)² के है, और मूल सर्वसमिका sin²A = 1 - cos²A का उपयोग करके, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: x = (1 - cosA)² / (1 - cos²A)

हर को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित करने पर: 1 - cos²A = (1 - cosA)(1 + cosA)

इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = (1 - cosA)² / [(1 - cosA)(1 + cosA)]

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (1 - cosA) को रद्द करने पर हमें प्राप्त होता है: x = (1 - cosA) / (1 + cosA)

व्याख्या

चूंकि A 30 दिनों में 30% कार्य पूरा करता है, इसलिए A की प्रतिदिन कार्य करने की दर 30% ÷ 30 = 1% प्रति दिन है।

शेष कार्य 100% - 30% = 70% है। A और B मिलकर इस शेष 70% कार्य को 20 दिनों में पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संयुक्त प्रतिदिन कार्य करने की दर 70% ÷ 20 = 3.5% प्रति दिन है।

A की प्रतिदिन कार्य दर को उनकी संयुक्त प्रतिदिन कार्य दर से घटाकर, हम B की प्रतिदिन कार्य दर ज्ञात करते हैं: 3.5% - 1% = 2.5% प्रति दिन।

यह ज्ञात करने के लिए कि B अकेले पूरे 100% कार्य को पूरा करने में कितना समय लेगा: समय = 100% ÷ 2.5% = 40 दिन।

व्याख्या

दिए गए बीजीय समीकरण को पहले कोष्ठक का विस्तार करके सरल बनाया गया है: 14.35 - 1.956 + x - 83.92 = 3.858

बाएं पक्ष में स्थिरांक पदों को संयोजित करने पर: 14.35 - 1.956 = 12.394 12.394 - 83.92 = -71.526

अब इन संयुक्त मानों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: -71.526 + x = 3.858

x के लिए हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों में 71.526 जोड़ें: x = 3.858 + 71.526 x = 75.384

व्याख्या

एक समचतुर्भुज ABCD में, विकर्ण उन शीर्षों के आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करते हैं जिनसे वे जुड़ते हैं। इसका मतलब है कि विकर्ण AC, कोण DAB को समद्विभाजित करता है, जिससे:

कोण DAB = 2 × कोण CAB = 2 × 25° = 50°

किसी भी समचतुर्भुज में, आसन्न कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। इसलिए:

कोण DAB + कोण ABC = 180°

ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर:

50° + कोण ABC = 180° कोण ABC = 180° - 50° = 130°

व्याख्या

घनाभ का आयतन V, सूत्र V = l × b × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है, b चौड़ाई है, और h ऊँचाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 320 = 10 × 8 × h 320 = 80 × h h = 4 सेमी

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है: TSA = 2(l × b + b × h + h × l)

इस सूत्र में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 2(10 × 8 + 8 × 4 + 4 × 10) TSA = 2(80 + 32 + 40) TSA = 2(152) TSA = 304 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र 2πr है। त्रिज्या r = 7 सेमी दी गई है और π ≈ 22/7 के मानक मान का उपयोग करके:

परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी

भुजा की लंबाई s वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3s सूत्र द्वारा दिया जाता है। त्रिभुज के परिमाप को वृत्त की परिधि के बराबर करने पर:

3s = 44 s = 44/3 सेमी

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

बिंदुओं (2, -1) और (x, 5) के निर्देशांकों और दिए गए ढलान m = -1 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

-1 = (5 - (-1)) / (x - 2)

-1 = 6 / (x - 2)

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को (x - 2) से गुणा करने पर:

-(x - 2) = 6

-x + 2 = 6

-x = 4

x = -4

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः f और s है।

पहली शर्त के अनुसार, उनकी वर्तमान आयु का योग 33 है: f + s = 33 s = 33 - f

दूसरी शर्त के अनुसार, दो वर्ष पूर्व, उनकी आयु का गुणनफल 28 था: (f - 2) × (s - 2) = 28

s का मान इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (f - 2) × (33 - f - 2) = 28 (f - 2) × (31 - f) = 28 31f - f² - 62 + 2f = 28 f² - 33f + 90 = 0 (f - 30) × (f - 3) = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर f = 30 या f = 3 प्राप्त होता है। चूँकि पिता की आयु पुत्र से अधिक होनी चाहिए, पिता की वर्तमान आयु 30 वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु 3 वर्ष है।

व्याख्या

यात्रा के पहले भाग में तय की गई दूरी की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: दूरी = गति × समय

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पहले 6 घंटों में तय की गई दूरी = 45 किमी/घंटा × 6 घंटे = 270 किमी

तय की जाने वाली शेष दूरी = कुल दूरी - पहले भाग में तय की गई दूरी शेष दूरी = 405 किमी - 270 किमी = 135 किमी

इस शेष दूरी को तय करने में लगने वाला समय 3 घंटे है।

शेष यात्रा के लिए गति है: गति = शेष दूरी / शेष समय गति = 135 किमी / 3 घंटे = 45 किमी/घंटा

व्याख्या

सबसे पहले, साधारण ब्याज की दर ज्ञात करें। चूँकि 8 वर्षों में राशि 40% बढ़ जाती है, इसलिए अर्जित साधारण ब्याज मूलधन का 40% है। साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = P × R × T / 100 0.40 × P = P × R × 8 / 100 R = 40 / 8 = 5% प्रति वर्ष

अगला, चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके 5% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए ₹10000 पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें: CI = P × ((1 + R/100)ᵀ - 1) CI = 10000 × ((1 + 5/100)³ - 1) CI = 10000 × ((21/20)³ - 1) CI = 10000 × (9261/8000 - 1) CI = 10000 × (1261/8000) CI = 12610 / 8 = 1576.25

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (CSA) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = π × r × l

जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10010 = (22/7) × r × 91 10010 = 22 × 13 × r 10010 = 286 × r r = 35 सेमी

शंकु का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) उसके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है: TSA = CSA + π × r²

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 10010 + (22/7) × 35 × 35 TSA = 10010 + 22 × 5 × 35 TSA = 10010 + 3850 TSA = 13860 वर्ग सेमी

व्याख्या

समीकरण में त्रिकोणमितीय कोण रेडियन में दिए गए हैं।

रेडियन को डिग्री में बदलना: π/3 रेडियन 60° के बराबर है π/6 रेडियन 30° के बराबर है

व्यक्तिगत पदों का मूल्यांकन: tan(π/3) = tan(60°) = √3 cosec(π/6) = cosec(30°) = 1/sin(30°) = 2

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करना: x = tan(π/3) + cosec(π/6) x = √3 + 2

व्याख्या

x - y का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

4x - 7y = 3 (समीकरण 1) 2x - y = 9 (समीकरण 2)

समीकरण 2 को 2 से गुणा करने पर: 4x - 2y = 18 (समीकरण 3)

समीकरण 3 से समीकरण 1 को घटाने पर: (4x - 2y) - (4x - 7y) = 18 - 3 5y = 15 y = 3

y = 3 को समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करने पर: 2x - 3 = 9 2x = 12 x = 6

x में से y घटाने पर: x - y = 6 - 3 = 3

व्याख्या

a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = (√3/4) × a² का उपयोग करके निकाला जाता है।

दी गई भुजा की लंबाई a = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = (√3/4) × 6² क्षेत्रफल = (√3/4) × 36 क्षेत्रफल = 9√3 वर्ग सेमी

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य सभी मदों के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफल का योग है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 99 × 15000 = 1,485,000 रुपये

कैमरा का मूल्य = 53 × 13000 = 689,000 रुपये

टीवी का मूल्य = 29 × 59000 = 1,711,000 रुपये

रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 21 × 56000 = 1,176,000 रुपये

एसी का मूल्य = 97 × 25000 = 2,425,000 रुपये

इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ने पर कुल स्टॉक मूल्य प्राप्त होता है: कुल मूल्य = 1,485,000 + 689,000 + 1,711,000 + 1,176,000 + 2,425,000 = 7,486,000 रुपये

इस मूल्य को लाख रुपये में व्यक्त करने के लिए, 100,000 से विभाजित करें: लाख रुपये में कुल मूल्य = 7,486,000 ÷ 100,000 = 74.86 लाख रुपये

व्याख्या

दिए गए आंकड़ों के आधार पर, 2012 में आयात और निर्यात का अनुपात 1.3 था।

2012 में निर्यात = 2012 में आयात / 1.3 = 600 / 1.3 ≈ 461.54 करोड़

2012 और 2013 में कुल निर्यात एक साथ 4400 करोड़ था।

2013 में निर्यात = 4400 - 461.54 = 3938.46 करोड़

2013 में आयात और निर्यात का अनुपात 1 था।

2013 में आयात = 2013 में अनुपात × 2013 में निर्यात = 1 × 3938.46 = 3938.46 करोड़, जो लगभग 3938 करोड़ है।

व्याख्या

डेटा तालिका के अनुसार, बच्चे की 10वें जन्मदिन पर ऊंचाई 145 सेमी थी, और उनके 13वें जन्मदिन पर ऊंचाई 170 सेमी थी।

इन दो जन्मदिनों के बीच ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, 13वें जन्मदिन पर ऊंचाई में से 10वें जन्मदिन पर ऊंचाई घटाएं:

170 सेमी - 145 सेमी = 25 सेमी