एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दी गई संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित किया जा सकता है: 2x - 2(x - 2) < 5 - x और 5 - x > -2x + 2

पहली असमानता को हल करना: 2x - 2x + 4 < 5 - x 4 < 5 - x x < 1

दूसरी असमानता को हल करना: 5 - x > -2x + 2 x > 2 - 5 x > -3

दोनों समाधानों को मिलाने पर अंतराल प्राप्त होता है: -3 < x < 1

इस खुले अंतराल में केवल 0 का मान आता है।

व्याख्या

7 वस्तुओं की खरीद पर प्रभावी छूट की गणना सीधे भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, क्योंकि प्रत्येक वस्तु का अंकित मूल्य स्थिर है:

प्रभावी छूट प्रतिशत = (n₁ × d₁ + n₂ × d₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, रक्षा 7 वस्तुएँ खरीदती है, जो 16% छूट वाली 2 वस्तुओं और 44% छूट वाली 5 वस्तुओं का संयोजन है।

n₁ = 2, d₁ = 16% n₂ = 5, d₂ = 44%

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रभावी छूट प्रतिशत = (2 × 16 + 5 × 44) / (2 + 5) प्रभावी छूट प्रतिशत = (32 + 220) / 7 प्रभावी छूट प्रतिशत = 252 / 7 = 36%

व्याख्या

दिया गया रैखिक समीकरण है: 6x - 5 = 4x + 7

हम समान पदों को समूहित करके x के लिए हल कर सकते हैं: 6x - 4x = 7 + 5 2x = 12 x = 6

इस x मान को व्यंजक (x + 1)³ में प्रतिस्थापित करने पर: (6 + 1)³ = 7³ = 343

व्याख्या

संरेख बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसका अर्थ है कि रेखा खंड AB की ढलान रेखा खंड BC की ढलान के बराबर है।

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा की ढलान m सूत्र द्वारा दी जाती है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

बिंदुओं A(3, -2) और B(1, 4) के लिए: AB की ढलान = (4 - (-2)) / (1 - 3) = 6 / -2 = -3

बिंदुओं B(1, 4) और C(-2, x) के लिए: BC की ढलान = (x - 4) / (-2 - 1) = (x - 4) / -3

चूंकि बिंदु संरेख हैं, दोनों ढलानों को बराबर करने पर: -3 = (x - 4) / -3

दोनों पक्षों को -3 से गुणा करने पर: 9 = x - 4

x के लिए हल करने पर: x = 13

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभ में चयनित और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या क्रमशः 5x और x है। इस प्रकार, आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 5x + x = 6x है।

दी गई शर्तों के अनुसार, यदि 100 कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया होता, तो आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की नई कुल संख्या 6x - 100 होती। यदि 20 कम उम्मीदवारों का चयन होता, तो चयनित उम्मीदवारों की नई संख्या 5x - 20 होती।

अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या नए कुल आवेदित और नए चयनित उम्मीदवारों के बीच का अंतर है: नए अचयनित = (6x - 100) - (5x - 20) = x - 80

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 6:1 दिया गया है: (5x - 20) / (x - 80) = 6 / 1 5x - 20 = 6(x - 80) 5x - 20 = 6x - 480 x = 460

इसलिए, प्रक्रिया के लिए आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या है: 6x = 6 × 460 = 2760

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मान x² + y² = 100 और xy = 48 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

(x + y)² = 100 + 2 × 48 (x + y)² = 100 + 96 (x + y)² = 196

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

x + y = √196 x + y = 14

व्याख्या

दो कोण संपूरक होते हैं जब उनका योग 180° होता है। मान लीजिए कोण का माप x है। इसका मतलब है कि इसका संपूरक कोण 180° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने संपूरक कोण का 1/3 है: x = (180° - x) / 3

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: 3x = 180° - x

दोनों पक्षों में x जोड़ने पर: 4x = 180°

4 से विभाजित करने पर: x = 45°

व्याख्या

दिया गया समीकरण है (x का 5/9) - (9/4 का 2/5) = -4/5।

सबसे पहले, पद (9/4 का 2/5) की गणना करें: (2/5) × (9/4) = 18/20 = 9/10

इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: (5/9) × x - 9/10 = -4/5

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 9/10 जोड़ें: (5/9) × x = -4/5 + 9/10

-4/5 को 10 के हर वाले भिन्न में बदलें: -4/5 = -8/10

अब पदों को प्रतिस्थापित करें और जोड़ें: (5/9) × x = -8/10 + 9/10 = 1/10

दोनों पक्षों को 9/5 से गुणा करके x को अलग करें: x = (1/10) × (9/5) = 9/50

भिन्न 9/50 को दशमलव में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करें: x = 18/100 = 0.18

व्याख्या

एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसमें गैर-समानांतर भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, और आधार कोण बराबर होते हैं। एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज ABCD में जहाँ AB, CD के समानांतर है और AD = BC है, त्रिभुज ACD और BDC भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा सर्वांगसम होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि AD = BC, आधार कोण ∠ADC और ∠BCD बराबर हैं, और भुजा CD दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है। चूँकि त्रिभुज ACD और BDC सर्वांगसम हैं, उनके संगत भाग बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि विकर्ण AC और BD लंबाई में बराबर (सर्वांगसम) होते हैं।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

साधारण ब्याज पर 10 वर्षों में मूलधन P में 40% की वृद्धि का अर्थ है कि अर्जित ब्याज 0.40 × P है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 0.40 × P = (P × R × 10) / 100 0.40 = R / 10 R = 4%

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) का सूत्र है: CI = P × ((1 + R/100)ᵀ - 1)

रु. 30000 के मूलधन, 4% की दर और 3 वर्ष की समयावधि के लिए: CI = 30000 × ((1 + 4/100)³ - 1) CI = 30000 × (1.04³ - 1) CI = 30000 × (1.124864 - 1) CI = 30000 × 0.124864 CI = 3745.92

व्याख्या

माना कि संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के तीन गुने के बीच का अंतर 26/3 है। इसे बीजगणितीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

x - 3/x = 26/3

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण में 9 का मान रखें:

9 - 3/9 = 9 - 1/3 = 26/3

चूंकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए संख्या 9 है।

व्याख्या

नहर का अनुप्रस्थ काट एक समलम्ब है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई 4 मीटर और 5 मीटर है, और गहराई 2 मीटर है।

इस समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × गहराई क्षेत्रफल = ½ × (4 + 5) × 2 = 9 वर्ग मीटर

नहर की अधिकतम क्षमता उसका आयतन है, जो उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का गुणनफल है: क्षमता = क्षेत्रफल × लंबाई क्षमता = 9 × 120 = 1080 घन मीटर

व्याख्या

2015 की शुरुआत में देश का सकल घरेलू उत्पाद 2014 के अंत में देश के सकल घरेलू उत्पाद के बराबर है।

इस मान को ज्ञात करने के लिए, हमें केवल 2014 के दौरान सकल घरेलू उत्पाद वृद्धि दर को ध्यान में रखना होगा, जो डेटा तालिका में 4% दी गई है।

2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद = 2013 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद × (1 + 2014 में वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद = 5 × (1 + 4/100) = 5 × 1.04 = 5.2 ट्रिलियन

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक सूत्र ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2) द्वारा दिए जाते हैं।

यह देखते हुए कि Q(-2, b) रेखाखंड EF का मध्यबिंदु है जिसके अंतिम बिंदु E(-7, -6) और F(a, 0) हैं, हम a और b के मान ज्ञात करने के लिए संगत निर्देशांकों को बराबर कर सकते हैं।

x-निर्देशांक के लिए: -2 = (-7 + a) / 2 -4 = -7 + a a = 3

y-निर्देशांक के लिए: b = (-6 + 0) / 2 b = -3

इससे a = 3 और b = -3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 693.5 - (47.23 - x) - 82.48 = 8.172

कोष्ठक को खोलकर बायीं ओर के पदों को सरल करें: 693.5 - 47.23 + x - 82.48 = 8.172

संख्यात्मक स्थिरांकों को मिलाएं: (693.5 - 47.23 - 82.48) + x = 8.172 (646.27 - 82.48) + x = 8.172 563.79 + x = 8.172

समीकरण के दोनों पक्षों से 563.79 घटाकर x को अलग करें: x = 8.172 - 563.79 x = -555.618

व्याख्या

व्यंजक के पहले दो पदों का विस्तार करने पर: (x + 7)(5 - 3x) = 5x - 3x² + 35 - 21x = -3x² - 16x + 35

इस द्विघात व्यंजक को तीसरे पद से गुणा करने पर: (-3x² - 16x + 35)(3x - 6)

x² के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल से उन पदों का चयन करते हैं जो x² पद के रूप में परिणाम देते हैं: (-3x² × -6) + (-16x × 3x) = 18x² - 48x² = -30x²

x² का गुणांक -30 है।

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी से यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूँकि व्यक्ति स्टीमर पर रेलगाड़ी की तुलना में 8 घंटे अधिक समय व्यतीत करता है, इसलिए स्टीमर पर व्यतीत किया गया समय t + 8 घंटे है।

संबंध दूरी = वेग × समय का उपयोग करके: रेलगाड़ी से दूरी = 65 × t स्टीमर से दूरी = 35 × (t + 8)

कुल तय की गई दूरी 420 किमी है, जिससे समीकरण बनता है: 65t + 35(t + 8) = 420 65t + 35t + 280 = 420 100t = 140 t = 1.4 घंटे

स्टीमर पर व्यतीत किया गया समय है: 1.4 + 8 = 9.4 घंटे

स्टीमर से तय की गई दूरी है: 35 × 9.4 = 329 किमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(-θ) = cos(θ) का प्रयोग करके, दिया गया व्यंजक सरल हो जाता है:

cos(-300°) = cos(300°)

चूंकि 300° चौथे चतुर्थांश में स्थित है जहां कोसाइन फलन धनात्मक होता है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

cos(300°) = cos(360° - 60°) = cos(60°)

cos(60°) का मानक त्रिकोणमितीय मान ½ है। इसलिए, x का मान ½ है।

व्याख्या

रेखा 4x - 8y = 3 का ढलान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को ढलान-अवरोधन रूप, y = mx + c, में पुनः लिख सकते हैं, जहाँ m रेखा के ढलान को दर्शाता है।

दिए गए समीकरण के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: -8y = -4x + 3

पूरे समीकरण को -8 से विभाजित करने पर: y = (-4/-8)x - 3/8 y = ½x - 3/8

इस समीकरण की y = mx + c से तुलना करने पर, ढलान m ½ है।

व्याख्या

माना मशीन का क्रय मूल्य (CP) लाख रुपये में है।

जब मशीन को ₹53 लाख में बेचा जाता है, तो हुई हानि है: हानि = CP - 53

जब मशीन को ₹64 लाख में बेचा जाता है, तो प्राप्त लाभ है: लाभ = 64 - CP

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ पूर्व हानि का 10 गुना है: लाभ = 10 × हानि 64 - CP = 10 × (CP - 53)

रैखिक समीकरण का विस्तार और हल करने पर: 64 - CP = 10CP - 530 11CP = 594 CP = 594 ÷ 11 CP = 54 लाख

व्याख्या

मान लीजिए रंभा और सर्वेश की वर्तमान आयु क्रमशः 8x और 5x है।

दी गई शर्त के अनुसार, 7 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 5:4 हो जाता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(8x + 7) / (5x + 7) = 5 / 4

x के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करके:

4(8x + 7) = 5(5x + 7)

32x + 28 = 25x + 35

7x = 7

x = 1

रंभा की वर्तमान आयु 8x है, जो 8 × 1 = 8 वर्ष है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR में, जो Q पर समकोण है, कर्ण PR पर समलंब QS के साथ, त्रिभुज PQS और PRQ समरूप हैं। यह समरूपता प्रक्षेपण प्रमेय संबंध देती है:

PQ² = PS × PR

दिए गए मान PQ = 4√29 सेमी और PS = 8 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(4√29)² = 8 × PR

16 × 29 = 8 × PR

464 = 8 × PR

PR = 58 सेमी

कर्ण PR, खंड PS और SR से बना है, जैसे PR = PS + SR। ज्ञात लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर:

58 = 8 + SR

SR = 50 सेमी

व्याख्या

एक आयत को चार समकोणों वाले चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसके चारों आंतरिक कोणों में से प्रत्येक का माप ठीक 90° होता है। क्रमागत कोण कोई भी दो आसन्न कोण होते हैं जो एक उभयनिष्ठ भुजा साझा करते हैं। चूँकि आयत में चारों आंतरिक कोणों का माप 90° के बराबर होता है, इसलिए क्रमागत कोणों का कोई भी युग्म माप में बराबर होता है और इस प्रकार सर्वांगसम होता है। इसके अतिरिक्त, इन दो क्रमागत कोणों का योग 90° + 90° = 180° होता है, जो परिभाषा के अनुसार उन्हें संपूरक बनाता है।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है कि cosec²A - cot²A = 1। इस संबंध को पुनर्व्यवस्थित करने पर cosec²A - 1 = cot²A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर √(cosec²A - 1) = cotA प्राप्त होता है। यह देखते हुए कि x = √(cosec²A - 1), सर्वसमिका को सीधे प्रतिस्थापित करने पर x = cotA प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य को 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 60 इकाई है।

A की दैनिक क्षमता 60 ÷ 15 = 4 इकाई है। B की दैनिक क्षमता 60 ÷ 20 = 3 इकाई है।

A और B के एक साथ काम करने की संयुक्त क्षमता प्रति दिन 4 + 3 = 7 इकाई है।

5 दिनों में, दोनों द्वारा पूरा किया गया कुल कार्य 7 × 5 = 35 इकाई है।

शेष कार्य 60 - 35 = 25 इकाई है।

शेष कार्य का भिन्न 25/60 है, जो सरल होकर 5/12 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए खरीदे गए दूध की मात्रा 5 लीटर है। 30 रुपये प्रति लीटर की दर से 5 लीटर दूध का क्रय मूल्य 5 × 30 = 150 रुपये है।

दूधवाला इस दूध में 1/5 पानी मिलाता है। मिलाए गए पानी की मात्रा = 1/5 × 5 = 1 लीटर। मिश्रण की कुल मात्रा = 5 + 1 = 6 लीटर।

वह मिश्रण को 32 रुपये प्रति लीटर की दर से बेचता है। 6 लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य 6 × 32 = 192 रुपये है।

कुल अर्जित लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 192 - 150 = 42 रुपये। लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (42 / 150) × 100 = 28%

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, जो सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है।

जब वृत्त की त्रिज्या में 21% की वृद्धि की जाती है, तो नई त्रिज्या मूल त्रिज्या का 1.21 गुना हो जाती है।

क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + (x × y)/100

x = 21 और y = 21 रखने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 21 + 21 + (21 × 21)/100 = 42 + 441/100 = 42 + 4.41 = 46.41%

वैकल्पिक रूप से, यदि मूल क्षेत्रफल A = πr² है, तो 1.21r त्रिज्या वाले नए क्षेत्रफल π(1.21r)² = 1.4641πr² होगा। क्षेत्रफल में भिन्नात्मक वृद्धि 1.4641 - 1 = 0.4641 है, जो 46.41% की वृद्धि के अनुरूप है।

व्याख्या

कैप्सूल की कुल लंबाई 40 मीटर और इसकी त्रिज्या 6 मीटर है। चूंकि कैप्सूल के अर्धगोलाकार सिरे समान त्रिज्या वाले हैं, बेलनाकार भाग की लंबाई (h) की गणना कुल लंबाई से दोनों अर्धगोलाकार सिरों की त्रिज्या को घटाकर की जाती है: h = 40 - 2 × 6 = 28 मीटर

कैप्सूल का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो अर्धगोलाकार सिरों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है। त्रिज्या r के दो अर्धगोलाकार सिरे मिलकर त्रिज्या r का एक गोला बनाते हैं। इस प्रकार, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) है: A = 2 × π × r × h + 4 × π × r² A = 2 × π × r × (h + 2 × r)

मानों r = 6 मीटर, h = 28 मीटर, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: A = 2 × (22/7) × 6 × (28 + 2 × 6) A = 2 × (22/7) × 6 × 40 A = 10560 / 7 A ≈ 1508.57 वर्ग मीटर

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम व्यंजक cos⁴A - sin⁴A को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

cos⁴A - sin⁴A = (cos²A - sin²A)(cos²A + sin²A)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²A + sin²A = 1 का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है:

cos⁴A - sin⁴A = cos²A - sin²A

व्यंजक में sin²A = 1 - cos²A को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

cos²A - (1 - cos²A) = 2cos²A - 1

चूंकि हमें x = 2cos²A - 1 दिया गया है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि x = cos⁴A - sin⁴A।

व्याख्या

चूंकि कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या 56 है और 28 लड़कियाँ हैं, इसलिए लड़कों की संख्या 56 - 28 = 28 है। चूँकि लड़कों और लड़कियों की संख्या बराबर है, इसलिए पूरी कक्षा का औसत भार लड़कियों के औसत भार और लड़कों के औसत भार का सरल अंकगणितीय माध्य है।

भारित औसत के सूत्र का उपयोग करते हुए जहाँ समूह का आकार बराबर है:

कक्षा का औसत भार = (लड़कियों का औसत भार + लड़कों का औसत भार) / 2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

51 = (46 + लड़कों का औसत भार) / 2

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

102 = 46 + लड़कों का औसत भार

दोनों पक्षों से 46 घटाने पर प्राप्त होता है:

लड़कों का औसत भार = 102 - 46 = 56 किग्रा

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 2x है।

दी गई शर्त के अनुसार, पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 150 था: (7x - 5)(2x - 5) = 150

समीकरण का विस्तार करने पर: 14x² - 35x - 10x + 25 = 150 14x² - 45x - 125 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड द्वारा हल करने पर: 14x² - 70x + 25x - 125 = 0 14x(x - 5) + 25(x - 5) = 0 (14x + 25)(x - 5) = 0

चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, x एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, जिससे प्राप्त होता है: x = 5

इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, पिता की वर्तमान आयु 7x = 7 × 5 = 35 वर्ष है।

व्याख्या

मान लीजिए तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ n, n+1, और n+2 हैं, जहाँ n सबसे छोटी संख्या को दर्शाता है।

सबसे बड़ी संख्या का वर्ग (n+2)² है और अन्य दो संख्याओं का गुणनफल n(n+1) है।

दी गई शर्त के अनुसार: (n+2)² - n(n+1) = 19

बीजगणितीय व्यंजक का विस्तार और सरलीकरण करने पर: n² + 4n + 4 - n² - n = 19 3n + 4 = 19 3n = 15 n = 5

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100।

जयपाल के लिए: मूलधन = ₹ 8400, समय = 15 वर्ष, दर = R% जयपाल से साधारण ब्याज = (8400 × R × 15) / 100 = 1260 R

करीम के लिए: मूलधन = ₹ 5100, समय = 14 वर्ष, दर = R% करीम से साधारण ब्याज = (5100 × R × 14) / 100 = 714 R

प्राप्त कुल ब्याज दोनों से ब्याज का योग है: कुल ब्याज = 1260 R + 714 R = 1974 R

दिया गया है कि कुल ब्याज ₹ 17766 है: 1974 R = 17766 R = 17766 / 1974 R = 9

इसलिए, प्रति वर्ष ब्याज की दर 9 प्रतिशत है।

व्याख्या

वज़न से ऊंचाई का अनुपात निम्न सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: अनुपात = वज़न ÷ ऊंचाई

तालिका से मान रखने पर:

अमृता का अनुपात = 53 ÷ 1.7 ≈ 31.18

अनाघा का अनुपात = 78 ÷ 1.55 ≈ 50.32

अनामिका का अनुपात = 52 ÷ 1.63 ≈ 31.90

आनंदी का अनुपात = 54 ÷ 1.62 ≈ 33.33

इन परिकलित अनुपातों की तुलना करने पर, अमृता का वज़न से ऊंचाई का अनुपात लगभग 31.18 सबसे कम है।

व्याख्या

दी गई तालिका से सबसे कम लाभ प्रतिशत वर्ष 2013 में 5% है।

राजस्व, व्यय और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: राजस्व = व्यय × (1 + लाभ % / 100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: राजस्व = 400 × (1 + 5 / 100) राजस्व = 400 × 1.05 राजस्व = 420 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या की गणना कुल बच्चों की संख्या को कुल घरों की संख्या से विभाजित करके की जाती है।

कुल घर = 6 + 15 + 14 + 7 = 42

कुल बच्चे = (0 × 6) + (1 × 15) + (2 × 14) + (3 × 7) = 0 + 15 + 28 + 21 = 64

औसत = 64 / 42 ≈ 1.52

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी किए गए शेयरों की कुल संख्या छह लाख है, जो 6,00,000 शेयरों के बराबर है।

धीरज की कंपनी में वर्तमान में 30% हिस्सेदारी है।

धीरज द्वारा धारित शेयरों की वर्तमान संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 6,00,000 का 30% = 30/100 × 6,00,000 = 1,80,000 शेयर

जब चिन्मय अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज द्वारा धारित शेयरों की संख्या में 15,000 की वृद्धि होती है।

धीरज के लिए शेयरों की नई कुल संख्या है: 1,80,000 + 15,000 = 1,95,000 शेयर

व्याख्या

मिश्रण के नियम का प्रयोग करके, 7% लाभ पर बेचे गए गेहूं और 17% लाभ पर बेचे गए गेहूं का अनुपात है:

(17 - 11) : (11 - 7) = 6 : 4 = 3 : 2

गेहूं की कुल मात्रा 6 क्विंटल है। चूँकि 1 क्विंटल 100 किग्रा के बराबर होता है, इसलिए कुल गेहूं 600 किग्रा है।

17% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा है:

(2 / 5) × 600 किग्रा = 240 किग्रा

व्याख्या

बड़की की केक बनाने की दर 45 / 9 = 5 केक प्रति घंटा है।

बड़की और छुटकी की मिलकर केक बनाने की दर 80 / 10 = 8 केक प्रति घंटा है।

बड़की की दर को संयुक्त दर से घटाने पर छुटकी की केक बनाने की दर प्राप्त होती है: 8 - 5 = 3 केक प्रति घंटा।

40 घंटे में, छुटकी द्वारा बनाए जा सकने वाले केक की संख्या 3 × 40 = 120 है।

व्याख्या

5 संख्याओं का औसत 72 है, जिसका अर्थ है कि सभी 5 संख्याओं का योग है: 5 × 72 = 360

मान लीजिए पहली संख्या x है और अन्य 4 संख्याओं का योग S है। चूँकि पहली संख्या अन्य 4 संख्याओं के योग का 1/8 गुना है: x = S / 8 S = 8 × x

5 संख्याओं का कुल योग पहली संख्या और शेष 4 संख्याओं का योग है: x + S = 360

समीकरण में S = 8 × x का मान रखने पर: x + 8 × x = 360 9 × x = 360 x = 360 ÷ 9 = 40

व्याख्या

माना कि संख्या x है। प्रश्न के अनुसार: (6/7) × (8/5) × x = 192

समीकरण को सरल करने पर: (48/35) × x = 192

x ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को व्युत्क्रम से गुणा करें: x = 192 × (35/48)

चूंकि 192 को 48 से विभाजित करने पर 4 आता है, हमें मिलता है: x = 4 × 35 x = 140

इस संख्या का 3/4वाँ भाग ज्ञात करने के लिए: (3/4) × 140 = 3 × 35 = 105

व्याख्या

ज्यामितीय माध्य प्रमेय (जिसे समकोण त्रिभुज शीर्षलंब प्रमेय भी कहा जाता है) के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज के समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब, कर्ण के दो खंडों का ज्यामितीय माध्य होता है।

संबंध है: BD² = AD × DC

दिए गए मान AD = 8 सेमी और DC = 18 सेमी को सूत्र में रखें: BD² = 8 × 18 BD² = 144 BD = √144 = 12 सेमी

व्याख्या

चित्रकारों A, B और C की संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत कार्य दरों का योग है। मान लीजिए कि C को अकेले काम पूरा करने में x दिन लगते हैं।

A की कार्य दर = 1/50 घर प्रति दिन B की कार्य दर = 1/25 घर प्रति दिन C की कार्य दर = 1/x घर प्रति दिन A, B और C की संयुक्त कार्य दर = 1/10 घर प्रति दिन

कार्य दर समीकरण स्थापित करना: 1/50 + 1/25 + 1/x = 1/10

50 के सामान्य भाजक का उपयोग करके 1/x के लिए हल करना: 1/x = 1/10 - 1/50 - 1/25 1/x = 5/50 - 1/50 - 2/50 1/x = 2/50 1/x = 1/25

इससे x = 25 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहली असमानता 4 + 2x ≤ 6 + x है। दोनों पक्षों से x और 4 घटाने पर प्राप्त होता है: x ≤ 2

दूसरी असमानता 2x + 5 < 2 + 4x है। दोनों पक्षों से 2x और 2 घटाने पर प्राप्त होता है: 3 < 2x x > 1.5

इन दो असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए सीमा है: 1.5 < x ≤ 2

इसलिए, दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान 2 है।

व्याख्या

समीकरण को सरल बनाने के लिए द्विघात समीकरण 4x² + 6x - 18 = 0 को 2 से विभाजित करें: 2x² + 3x - 9 = 0

मूल ज्ञात करने के लिए, मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें। दो संख्याएँ जो 2 × (-9) = -18 के बराबर गुणा करती हैं और 3 के बराबर जोड़ती हैं, वे 6 और -3 हैं।

2x² + 6x - 3x - 9 = 0 2x(x + 3) - 3(x + 3) = 0 (2x - 3)(x + 3) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर x के लिए हल करना: 2x - 3 = 0 → x = 3/2 x + 3 = 0 → x = -3

x के ये मान समीकरण के मूल हैं।

व्याख्या

d% की कमी के बाद मूल मूल्य को बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत बहाली सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (d / (100 - d)) × 100 %

दिया गया है कि वस्तु के मूल्य में 21% की कटौती की जाती है, हम सूत्र में d = 21 प्रतिस्थापित करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (21 / (100 - 21)) × 100 % = (21 / 79) × 100 % = 2100 / 79 % ≈ 26.58 %

यह मूल मूल्य पर वापस लौटने के लिए घटाई गई कीमत पर आवश्यक वृद्धि है।

व्याख्या

मान लीजिए हाशिम का वेतन H है।

दी गई जानकारी के आधार पर, गफूर का वेतन (G) (4/3)H है और सतीश का वेतन (S) (5/4)H है।

गफूर के वेतन और सतीश के वेतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, गफूर के वेतन को सतीश के वेतन से विभाजित करें:

अनुपात = G / S = ((4/3)H) / ((5/4)H) = (4/3) / (5/4) = (4/3) × (4/5) = 16/15

यह 16:15 के अनुपात में सरल हो जाता है।

व्याख्या

उन व्यंजकों के मान x को ज्ञात करने के लिए जो बराबर हैं, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रखते हैं:

5x + 17 = 17x - 5

चरों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

17 + 5 = 17x - 5x

22 = 12x

x के लिए हल करने पर:

x = 22/12

अंश और हर को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

x = 11/6

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को हरों का लघुत्तम समापवर्त्य लेकर सरल किया जा सकता है:

x = cosecA / (cosecA - 1) + cosecA / (cosecA + 1)

x = [cosecA(cosecA + 1) + cosecA(cosecA - 1)] / [(cosecA - 1)(cosecA + 1)]

x = (cosec²A + cosecA + cosec²A - cosecA) / (cosec²A - 1)

x = 2 cosec²A / (cosec²A - 1)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²A - 1 = cot²A का प्रयोग करके:

x = 2 cosec²A / cot²A

cosecA और cotA को sinA और cosA के पदों में व्यक्त करते हुए:

x = (2 / sin²A) / (cos²A / sin²A)

x = 2 / cos²A

x = 2 sec²A

व्याख्या

द्विपद अंतर के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a - b)² = a² - 2ab + b²

इस सर्वसमिका में a = 2x और b = y प्रतिस्थापित करने पर: (2x - y)² = (2x)² - 2(2x)(y) + y² (2x - y)² = 4x² - 4xy + y²