एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x - y)² = x² + y² - 2xy

हम x² + y² को हल करने के लिए समीकरण को पुनः लिख सकते हैं: x² + y² = (x - y)² + 2xy

दिए गए मानों, x - y = 7 और xy = 32 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x² + y² = 7² + 2(32) x² + y² = 49 + 64 x² + y² = 113

व्याख्या

माना थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य CP है।

दिए गए लेन-देन विवरण के अनुसार, थोक विक्रेता घड़ी को खुदरा विक्रेता को 33% के लाभ पर बेचता है, और खुदरा विक्रेता इसे ग्राहक को 20% की हानि पर बेचता है।

लगातार प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके: अंतिम मूल्य = CP × (1 + लाभ%/100) × (1 - हानि%/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 2181.2 = CP × (1 + 33/100) × (1 - 20/100) 2181.2 = CP × 1.33 × 0.80 2181.2 = CP × 1.064

CP के लिए हल करना: CP = 2181.2 / 1.064 CP = 2050

इसलिए, थोक विक्रेता के लिए लागत 2050 रुपये थी।

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। मूल संख्या 10x + y है।

अंकों का गुणनफल xy = 12 दिया गया है।

जब संख्या में 36 जोड़ा जाता है, तो अंकों के परस्पर बदलने से संख्या 10y + x बनती है: (10x + y) + 36 = 10y + x 9y - 9x = 36 y - x = 4 y = x + 4

गुणनफल समीकरण में y = x + 4 को प्रतिस्थापित करने पर: x(x + 4) = 12 x² + 4x - 12 = 0 (x + 6)(x - 2) = 0

चूंकि संख्या के अंक धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए, x = 2।

y = x + 4 का उपयोग करके, इकाई का अंक y 6 है।

इससे मूल संख्या 26 प्राप्त होती है।

व्याख्या

दिए गए कोणों के त्रिकोणमितीय मान हैं:

csc π/4 = √2 sin π/3 = √3/2

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

x = csc π/4 - sin π/3 x = √2 - √3/2

2 का सामान्य भाजक लेने पर:

x = (2√2 - √3)/2

यह सीधे x का मान देता है।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec²A - 1 = tan²A

वर्गमूल लेने पर: √(sec²A - 1) = tanA

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = tanA / secA

चूंकि tanA = sinA / cosA और secA = 1 / cosA है, इसलिए हमारे पास है: x = (sinA / cosA) / (1 / cosA) x = sinA

व्याख्या

बेलनाकार पात्र को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक पानी की मात्रा बेलनाकार पात्र के आयतन और ठोस लंब वृत्तीय शंकु के आयतन के बीच के अंतर के बराबर होती है।

एक बेलन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: बेलन का आयतन = π × r₁² × h₁

बेलन की त्रिज्या r₁ = 5 सेमी और ऊंचाई h₁ = 8 सेमी का उपयोग करके: बेलन का आयतन = π × 5² × 8 = 200π घन सेमी

एक शंकु का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: शंकु का आयतन = 1/3 × π × r₂² × h₂

शंकु की त्रिज्या r₂ = 4 सेमी और ऊंचाई h₂ = 7 सेमी का उपयोग करके: शंकु का आयतन = 1/3 × π × 4² × 7 = 112π / 3 घन सेमी

आवश्यक पानी की मात्रा है: पानी का आयतन = 200π - 112π / 3 = 488π / 3 घन सेमी

π = 22/7 का मान उपयोग करके: पानी का आयतन = 488/3 × 22/7 = 10736 / 21 ≈ 511.24 घन सेमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है। लगातार दूसरे और तीसरे वर्ष के अंत में प्राप्त राशियों के बीच संबंध है:

A₃ = A₂ × (1 + R/100)

यहाँ, दूसरे वर्ष के अंत में राशि A₂ = 24200 और तीसरे वर्ष के अंत में राशि A₃ = 26620 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

26620 = 24200 × (1 + R/100)

1 + R/100 = 26620 / 24200

1 + R/100 = 11 / 10

R/100 = 11/10 - 1

R/100 = 1/10

R = 10%

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

चूंकि पहली संख्या तीसरी संख्या से 50% कम है, इसलिए पहली संख्या 100 - 50 = 50 है।

चूंकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 80% कम है, इसलिए दूसरी संख्या 100 - 80 = 20 है।

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे 50 - 20 = 30 बढ़ाया जाना चाहिए।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि (30 / 20) × 100% = 150% है।

व्याख्या

मान लीजिए मनोज की दक्षता प्रति घंटा कार्य की 1 इकाई है। चूंकि मनोज 42 घंटे में काम पूरा करता है, इसलिए कुल काम 42 इकाई है।

जयाश्री, मनोज से 100% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि उसकी दक्षता मनोज की दक्षता से दोगुनी है। इसलिए, जयाश्री की दक्षता प्रति घंटा कार्य की 2 इकाई है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त दक्षता उनकी व्यक्तिगत दक्षता का योग होती है, जो 1 + 2 = 3 इकाई कार्य प्रति घंटा है।

उन दोनों द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लगने वाले समय की गणना कुल काम को उनकी संयुक्त दक्षता से विभाजित करके की जाती है, जो 42 ÷ 3 = 14 घंटे है।

व्याख्या

त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

अनुपात 1:2:3 के आधार पर तीन कोणों के माप x, 2x और 3x मान लीजिए।

त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके: x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30°

सबसे बड़े कोण का माप 3x है: 3 × 30° = 90°

व्याख्या

सभी 13 वर्षों का कुल राजस्व वर्षों की संख्या को उनके औसत से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 13 × 70 = 910 लाख

पहले 7 वर्षों के राजस्व का योग है: 7 × 65 = 455 लाख

अंतिम 7 वर्षों के राजस्व का योग है: 7 × 77 = 539 लाख

इस गणना में, 7वां वर्ष पहले 7 वर्षों और अंतिम 7 वर्षों दोनों में शामिल है। इसलिए, इन दो योगों को जोड़ने पर 7वें वर्ष को दो बार गिना जाता है। 7वें वर्ष का राजस्व पहले 7 और अंतिम 7 वर्षों के योग से कुल 13-वर्षीय राजस्व घटाकर निकाला जाता है: (455 + 539) - 910 = 994 - 910 = 84 लाख

व्याख्या

लाभ में चिंतन का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, अनुपात विभाजन सूत्र का प्रयोग करें:

हिस्सा = (व्यक्तिगत अनुपात पद / सभी अनुपात पदों का योग) × कुल लाभ

अकरम, बिपिन और चिंतन के बीच लाभ साझा करने का अनुपात 3:2:7 है।

अनुपात पदों का योग = 3 + 2 + 7 = 12

कुल लाभ ₹144000 है।

चिंतन का हिस्सा = (7 / 12) × 144000

चिंतन का हिस्सा = 7 × 12000 = 84000

व्याख्या

d₁ और d₂ लंबाई के विकर्ण वाली पतंग का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

चूंकि पतंग के विकर्ण समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करते हैं, पतंग को उसके एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। पतंग का क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग होता है, जो सीधे विकर्णों के गुणनफल के आधे तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

30 दिनों के लिए दैनिक टिकटों की कुल लागत = 30 × 50 = 1500

मासिक पास की लागत = 1125

कुल बचत = 1500 - 1125 = 375

प्रतिशत बचत = (कुल बचत / दैनिक टिकटों की कुल लागत) × 100 = (375 / 1500) × 100 = 25%

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात किलोग्राम में वजन को मीटर में ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है।

प्रत्येक व्यक्ति के लिए अनुपात की गणना:

अपेक्षा: 59 / 1.8 = 32.78 किग्रा/मी

अप्सरा: 51 / 1.72 = 29.65 किग्रा/मी

आराधना: 62 / 1.57 = 39.49 किग्रा/मी

अर्चना: 74 / 1.68 = 44.05 किग्रा/मी

अप्सरा का वजन से ऊंचाई का अनुपात सबसे कम 29.65 किग्रा/मी है।

व्याख्या

सबसे कम प्रतिशत लाभ वाला वर्ष 2012 है, जहाँ लाभ 5% है।

लाभ प्रतिशत, राजस्व और व्यय से संबंधित सूत्र है: लाभ % = (राजस्व - व्यय) / व्यय × 100

राजस्व के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: राजस्व = व्यय × (1 + लाभ % / 100)

दिए गए व्यय 525 करोड़ रुपये और 5% लाभ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: राजस्व = 525 × (1 + 5 / 100) राजस्व = 525 × 1.05 राजस्व = 551.25 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य (weighted mean) के सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = ∑(x × f) / ∑ f

जहाँ x बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या को दर्शाता है।

सबसे पहले, घरों की कुल संख्या की गणना करें: ∑ f = 7 + 7 + 13 + 3 = 30

इसके बाद, बच्चों की कुल संख्या की गणना करें: ∑(x × f) = (0 × 7) + (1 × 7) + (2 × 13) + (3 × 3) = 0 + 7 + 26 + 9 = 42

बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत = 42 ÷ 30 = 1.4

व्याख्या

धीरज की प्रारंभिक शेयरधारिता कुल जारी शेयरों का 20% है। चूंकि कंपनी ने 6,00,000 शेयर जारी किए हैं, इसलिए धीरज के शेयरों की प्रारंभिक संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:

प्रारंभिक शेयर = 6,00,000 का 20% = 0.20 × 6,00,000 = 1,20,000 शेयर

जब चिनमय अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज के कुल शेयरों में 15,000 की वृद्धि होती है:

अंतिम शेयर = 1,20,000 + 15,000 = 1,35,000 शेयर

व्याख्या

शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) वाले त्रिभुज के केन्द्रक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(x, y) = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

दिए गए शीर्षों A(-2,5), B(3,-2), और C(5,3) के निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x-निर्देशांक = (-2 + 3 + 5)/3 = 6/3 = 2

y-निर्देशांक = (5 + (-2) + 3)/3 = 6/3 = 2

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 6 किमी/घंटा + 11 किमी/घंटा = 17 किमी/घंटा

दिया गया समय 42 मिनट है। इसे घंटों में बदलना: समय = 42 / 60 घंटे = 0.7 घंटे

उनके बीच प्रारंभिक दूरी उनकी सापेक्ष गति और मिलने में लगने वाले समय का गुणनफल है: दूरी = सापेक्ष गति × समय = 17 किमी/घंटा × 0.7 घंटे = 11.9 किमी

व्याख्या

cot 135° का मान त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(180° - θ) = -cot θ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

θ = 45° रखने पर: cot 135° = cot(180° - 45°) = -cot 45°

चूंकि cot 45° = 1 है: cot 135° = -1

इस प्रकार, x का मान -1 है।

व्याख्या

m₁ और m₂ ढलान वाली दो रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

tan θ = |(m₂ - m₁) / (1 + m₁ m₂)|

दी गई दो रेखाओं के ढलान हैं: m₁ = 1/√3 m₂ = √3

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = |(√3 - 1/√3) / (1 + √3 × 1/ √3)|

अंश (numerator) सरल करने पर: √3 - 1/√3 = (3 - 1) / √3 = 2/ √3

हर (denominator) सरल करने पर: 1 + √3 × 1/√3 = 1 + 1 = 2

अब, tan θ की गणना करें: tan θ = (2/√3) / 2 = 1/ √3

चूंकि tan 30° = 1/ √3 है, इसलिए दो रेखाओं के बीच का कोण 30° है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम वर्गमूल के अंदर के पद को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

sin²A = 1 - cos²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

√(1 - cos²A) = sin A

इसे x के मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

x = sin A / cos A

त्रिकोणमिति की भागफल सर्वसमिका का उपयोग करके, sin A का cos A से अनुपात tan A के बराबर होता है:

x = tan A

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में दो असमानताएँ हैं जिन्हें एक साथ हल किया जाना चाहिए।

पहले, असमानता को हल करें: x + 2(3-5x) > -1 - 2x

दोनों पक्षों का विस्तार और सरलीकरण करने पर: x + 6 - 10x > -1 - 2x -9x + 6 > -1 - 2x -7x > -7

-7 से विभाजित करने पर और असमानता चिह्न को पलटने पर: x < 1

दूसरा, असमानता को हल करें: -1 - 2x < 5 - x/3

भिन्न को हटाने के लिए पूरी असमानता को 3 से गुणा करने पर: -3 - 6x < 15 - x -5x < 18

-5 से विभाजित करने पर और असमानता चिह्न को पलटने पर: x > -18/5 x > -3.6

दोनों परिणामों को मिलाकर, x को सीमा को संतुष्ट करना चाहिए: -3.6 < x < 1

दिए गए विकल्पों में से, केवल -3 इस सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

मान लीजिए कोण का माप x है।

दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग 90° हो। इसलिए, x का पूरक कोण 90° - x है।

दी गई शर्त के आधार पर: x = 4(90° - x) x = 360° - 4x 5x = 360° x = 72°

व्याख्या

एक पतंग एक चतुर्भुज होता है जिसमें समान लंबाई की आसन्न भुजाओं के दो जोड़े होते हैं। असमान भुजाओं के मिलने वाले शीर्षों को जोड़ने वाला विकर्ण समरूपता रेखा के रूप में कार्य करता है। यह समरूपता अक्ष दूसरे विकर्ण को लंबवत रूप से समद्विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि एक पतंग का एक विकर्ण हमेशा दूसरे को समद्विभाजित करता है।

व्याख्या

यदि कोई व्यक्ति A, व्यक्ति B से n गुना अधिक कुशल है और B से d दिन कम में काम पूरा करता है, तो उन दोनों द्वारा साथ मिलकर काम करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: साथ मिलकर समय = n × d / (n² - 1)

यह देखते हुए कि अखिलेश बंसी से n = 2 गुना अधिक कुशल है और बंसी की तुलना में d = 39 दिन कम में काम पूरा करता है, साथ मिलकर काम करने में लगने वाला समय है: साथ मिलकर समय = 2 × 39 / (2² - 1) = 78 / 3 = 26 दिन

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण को हल करें: 4x - 3 = 3x + 8

दोनों पक्षों से 3x घटाने पर: x - 3 = 8

दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर: x = 11

व्यंजक (x + 1)³ में x का मान प्रतिस्थापित करें: (x + 1)³ = (11 + 1)³ = 12³

12 का घन परिकलित करें: 12³ = 12 × 12 × 12 = 1728

व्याख्या

58 और 62 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 59 और 61 हैं। इन अभाज्य संख्याओं का योग 59 + 61 = 120 है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य 100 इकाई है।

प्रारंभिक 25% छूट लागू करने के बाद, वस्तु का मूल्य हो जाता है: 100 - 100 का 25% = 75 इकाई

ग्राहक को फिर 75 इकाई की इस रियायती कीमत पर 22% कैशबैक मिलता है। कैशबैक राशि = 75 का 22% = (22 / 100) × 75 = 16.5 इकाई

ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत है: 75 - 16.5 = 58.5 इकाई

100 इकाई की प्रारंभिक कीमत से कुल बचत है: 100 - 58.5 = 41.5 इकाई

यह निम्न प्रभावी छूट का प्रतिनिधित्व करता है: (41.5 / 100) × 100% = 41.5%

व्याख्या

संख्या ज्ञात करने के लिए, मानक प्रतिशत सूत्र का प्रयोग करें:

मान = (प्रतिशत / 100) × आधार

अज्ञात आधार संख्या को x मान लीजिए। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

39 = (5.2 / 100) × x

x के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x = (39 × 100) / 5.2

x = 3900 / 5.2

दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करने पर:

x = 39000 / 52

13 से दोनों संख्याओं को विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

x = 3000 / 4

x = 750

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना मानक सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन राशि, R ब्याज की वार्षिक दर और T वर्षों में समय अवधि को दर्शाता है।

इस सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 8100 = (P × 6 × 9) / 100

8100 = 54P / 100

P = (8100 × 100) / 54

P = 150 × 100

P = 15000

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का योग सूत्र S = (n/2) × (a + l) द्वारा दिया जाता है, जहाँ S श्रेणी का योग है, n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रथम पद a = 29, अंतिम पद l = -49, और योग S = -140:

-140 = (n/2) × (29 - 49) -140 = (n/2) × (-20) -140 = n × (-10) n = 14

व्याख्या

सुदेश, ज्योति और रितु के वजन का योग = 89 × 3 = 267 किलोग्राम

सुदेश और ज्योति के वजन का योग = 98 × 2 = 196 किलोग्राम

ज्योति और रितु के वजन का योग = 83 × 2 = 166 किलोग्राम

दो व्यक्तियों के योग मानों को एक साथ जोड़ने पर: (सुदेश + ज्योति) + (ज्योति + रितु) = 196 + 166 = 362 किलोग्राम सुदेश + 2 × ज्योति + रितु = 362 किलोग्राम

इस समीकरण से तीनों व्यक्तियों के योग को घटाने पर ज्योति का वजन अलग हो जाता है: ज्योति = (सुदेश + 2 × ज्योति + रितु) - (सुदेश + ज्योति + रितु) ज्योति = 362 - 267 = 95 किलोग्राम

व्याख्या

कुल संग्रह टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल है।

मान लीजिए प्रवेश टिकट की प्रारंभिक कीमत 7p है और बढ़ी हुई कीमत 17p है। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या 9v है और घटी हुई आगंतुकों की संख्या 5v है।

प्रारंभिक संग्रह = 7p × 9v = 63pv नया संग्रह = 17p × 5v = 85pv

प्रारंभिक संग्रह और नए संग्रह का अनुपात = 63pv : 85pv = 63 : 85

चूंकि 85, 63 से बड़ा है, कुल संग्रह 63:85 के अनुपात में बढ़ा है।

व्याख्या

व्यंजक √((1 - sin A)/(1 + sin A)) को सरल बनाने के लिए, वर्गमूल के अंदर अंश और हर को (1 + sin A) से गुणा करें:

√(((1 - sin A)(1 + sin A))/((1 + sin A)(1 + sin A)))

अंश में त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² A = cos² A का उपयोग करके:

√((1 - sin² A)/(1 + sin A)²) = √(cos² A/(1 + sin A)²)

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेने पर:

cos A/(1 + sin A)

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य CP लाख रुपये है।

जब मशीन 43 लाख रुपये में बेची जाती है, तो हानि होती है: हानि = CP - 43

जब मशीन 53 लाख रुपये में बेची जाती है, तो लाभ होता है: लाभ = 53 - CP

प्रश्न के अनुसार, लाभ पूर्व हानि का 7 गुना है: लाभ = 7 × हानि 53 - CP = 7 × (CP - 43) 53 - CP = 7CP - 301 8CP = 354 CP = 354 / 8 = 44.25 लाख रुपये

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सभी डिवीजनों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना करें।

लड़कों की कुल संख्या = 30 + 30 + 25 + 30 + 40 + 20 = 175 लड़कियों की कुल संख्या = 30 + 35 + 10 + 10 + 30 + 40 = 155

लड़कों और लड़कियों का अनुपात 175 : 155 है। दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर 35 : 31 प्राप्त होता है।

व्याख्या

20 या अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या की गणना उन छात्रों की संख्या के बीच अंतर ज्ञात करके की जाती है जिन्होंने 20 या अधिक अंक प्राप्त किए हैं और जिन्होंने 40 या अधिक अंक प्राप्त किए हैं।

दिए गए डेटा तालिका से: 20 या अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 69 40 या अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 10

20 या अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से 40 या अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या घटाने पर: 69 - 10 = 59

व्याख्या

2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) 2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) के बराबर है।

प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करके:

नया_मान = प्रारंभिक_मान × (1 + r/100)

यहां, प्रारंभिक मान 2013 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) है, जो 1 ट्रिलियन है। वर्ष 2014 के दौरान वृद्धि दर r 4% है।

2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) = 1 ट्रिलियन × (1 + 4/100) = 1.04 ट्रिलियन

व्याख्या

छात्र के औसत अंक की गणना सभी पाँच विषयों के अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

प्राप्त अंकों का योग = 45 + 70 + 30 + 80 + 35 = 260

विषयों की कुल संख्या = 5

प्राप्त औसत अंक = 260 / 5 = 52

चूंकि खराब उपस्थिति के कारण इस औसत में से पाँच अंक काटे जाने हैं:

प्राप्त शुद्ध औसत अंक = 52 - 5 = 47

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य 100 है।

31% की मूल्य कटौती के बाद, नया मूल्य हो जाता है: 100 - 31 = 69

मूल्य को उसके मूल मूल्य 100 पर बहाल करने के लिए, 69 के नए मूल्य पर 31 की वृद्धि आवश्यक है।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / नया मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = (31 / 69) × 100 प्रतिशत वृद्धि = 3100 / 69 प्रतिशत वृद्धि ≈ 44.93%

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन कोटैंजेंट (cotangent) का आवर्तकाल 180° होता है, जिससे cot(180° + θ) = cot θ संबंध प्राप्त होता है।

θ = 60° के लिए: cot 240° = cot(180° + 60°) = cot 60°

चूंकि cot 60° = cos 60° / sin 60° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 है, इसलिए x का मान 1/√3 है।

व्याख्या

ताई द्वारा बनाए जा सकने वाले केक की संख्या ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रति घंटे बनाने की दर निकालते हैं।

अक्का की दर = 100 केक / 20 घंटे = 5 केक/घंटा।

अक्का और ताई की संयुक्त दर = 75 केक / 10 घंटे = 7.5 केक/घंटा।

ताई की दर = संयुक्त दर - अक्का की दर = 7.5 केक/घंटा - 5 केक/घंटा = 2.5 केक/घंटा।

ताई की दर का उपयोग करते हुए, 20 घंटे में ताई जितने केक बना सकती है वह है: 2.5 केक/घंटा × 20 घंटे = 50 केक।

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है। चूँकि पहली संख्या दूसरी की दोगुनी और तीसरी की तिगुनी है, तो दूसरी संख्या x/2 और तीसरी संख्या x/3 होगी।

तीन संख्याओं का औसत 396 है, जिसका अर्थ है कि उनका योग है: x + x/2 + x/3 = 396 × 3 11x/6 = 1188 11x = 7128 x = 648

पहली संख्या 648 है और तीसरी संख्या है: 648/3 = 216

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: 648 - 216 = 432

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) का y-अक्ष में प्रतिबिंब उसके x-निर्देशांक का चिन्ह बदल देता है, जिससे (-x, y) प्राप्त होता है। किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब उसके y-निर्देशांक का चिन्ह बदल देता है, जिससे (x, -y) प्राप्त होता है।

इन रूपांतरणों को बिंदु Q(a, b) पर लागू करने पर: पहले, Q(a, b) को y-अक्ष में प्रतिबिंबित करने पर Q1(-a, b) प्राप्त होता है। इसके बाद, Q1(-a, b) को x-अक्ष में प्रतिबिंबित करने पर अंतिम निर्देशांक (-a, -b) प्राप्त होते हैं।

हमें दिया गया है कि यह अंतिम बिंदु (-5, 3) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: -a = -5, जिससे a = 5 प्राप्त होता है -b = 3, जिससे b = -3 प्राप्त होता है

इस प्रकार, प्रारंभिक बिंदु Q के निर्देशांक (5, -3) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य (CP) लाख रुपये में है।

जब मशीन को ₹43 लाख में बेचा जाता है, तो हुई हानि CP - 43 है।

जब मशीन को ₹52 लाख में बेचा जाता है, तो प्राप्त लाभ 52 - CP है।

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ हानि का 5 गुना है: 52 - CP = 5 × (CP - 43)

समीकरण को हल करने पर: 52 - CP = 5CP - 215 6CP = 267 CP = 267 / 6 = 44.5

मशीन का क्रय मूल्य ₹44.5 लाख है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec² A - tan² A = 1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: sec² A - 1 = tan² A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: √(sec² A - 1) = tan A

चूंकि दी गई संबंध √(sec² A - 1) = x है, सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = tan A

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र गति = दूरी / समय का उपयोग करके की जाती है।

दिया गया है: दूरी = 234 किमी समय = 1.6 घंटे

किमी/घंटा में औसत गति = 234 / 1.6 = 146.25 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, मान को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें।

मी/से में औसत गति = 146.25 × 5/18 = 40.625 मी/से

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम cos² A को 1 - sin² A के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cos² A / (1 + sin A) = (1 - sin² A) / (1 + sin A)

अंश में बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) लागू करने पर: (1 - sin A)(1 + sin A) / (1 + sin A)

अंश और हर से सामान्य पद (1 + sin A) को रद्द करने पर व्यंजक 1 - sin A तक सरल हो जाता है।