एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कंपनी ने कुल 6,00,000 शेयर जारी किए हैं।

डेटा तालिका के अनुसार, एजाज के पास शुरू में कंपनी का 50% हिस्सा है।

एजाज द्वारा धारित शेयरों की प्रारंभिक संख्या = 6,00,000 का 50% = 3,00,000 शेयर

जब बासु अपने 15,000 शेयर एजाज को बेचता है, तो एजाज की कुल शेयरों की संख्या 15,000 बढ़ जाती है।

एजाज द्वारा धारित शेयरों की नई संख्या = 3,00,000 + 15,000 = 3,15,000 शेयर

व्याख्या

एक सामान्य समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं, लेकिन वे समकोण पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। विकर्णों के बीच प्रतिच्छेदन का कोण समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और आंतरिक कोणों पर निर्भर करता है। विकर्ण केवल तभी लंबवत होते हैं जब समांतर चतुर्भुज की चारों भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, जो एक मानक, सामान्य समांतर चतुर्भुज के लिए सत्य नहीं है। इसलिए, लंबवत विकर्णों का गुण एक सामान्य समांतर चतुर्भुज के लिए लागू नहीं होता है।

व्याख्या

माना संपूरक कोण का माप x है।

चूंकि संपूरक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए दिए गए कोण और उसके संपूरक कोण का योग 180° होना चाहिए।

दिए गए कोण का माप (2/3)x है।

समीकरण स्थापित करना: x + (2/3)x = 180°

भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा करना: 3x + 2x = 540° 5x = 540° x = 108°

दिए गए कोण का माप है: (2/3) × 108° = 72°

व्याख्या

विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य और छूट के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत / 100)

दिया गया है: विक्रय मूल्य = 855 रुपये छूट प्रतिशत = 5%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

855 = अंकित मूल्य × (1 - 5/100) 855 = अंकित मूल्य × 95/100 855 = अंकित मूल्य × 19/20

अंकित मूल्य = (855 × 20) / 19 अंकित मूल्य = 45 × 20 अंकित मूल्य = 900 रुपये

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100।

मान लीजिए प्रति वर्ष ब्याज की सामान्य दर R% है।

जयराम के लिए: मूलधन = ₹ 8000 समय = 17 वर्ष ब्याज = (8000 × R × 17) / 100 = 1360R

कर्णिक के लिए: मूलधन = ₹ 4700 समय = 16 वर्ष ब्याज = (4700 × R × 16) / 100 = 752R

दोनों से प्राप्त कुल ब्याज ₹ 21120 है।

1360R + 752R = 21120 2112R = 21120 R = 10

इस प्रकार, प्रति वर्ष ब्याज की दर 10% है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cos(2π/3) है।

त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र cos(π - θ) = -cos(θ) का उपयोग करके जहाँ θ = π/3 है:

cos(2π/3) = cos(π - π/3) = -cos(π/3)

चूंकि π/3 का कोसाइन ½ है, हम इस मान को प्रतिस्थापित करके प्राप्त करते हैं:

-cos(π/3) = -½

इस प्रकार, x का मान -½ है।

व्याख्या

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h

जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं, और h उनके बीच की दूरी है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 21 = ½ × (8.3 + b) × 3

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 42 = (8.3 + b) × 3

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: 14 = 8.3 + b

b के लिए हल करने पर: b = 14 - 8.3 b = 5.7 सेमी

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय परिभाषाओं और अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:

cosec A = 1/sin A cot A = cos A/sin A

इन दो व्यंजकों को जोड़ने पर:

cosec A + cot A = (1 + cos A)/sin A

अर्ध-कोण सूत्रों को लागू करने पर, जहाँ 1 + cos A = 2 cos²(A/2) और sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2):

cosec A + cot A = 2 cos²(A/2) / (2 sin(A/2) cos(A/2))

सामान्य पदों को रद्द करके भिन्न को सरल बनाने पर:

cosec A + cot A = cos(A/2) / sin(A/2) = cot(A/2)

चूंकि cot(A/2) = x है, इसलिए x = cosec A + cot A है।

व्याख्या

तीन बिंदुओं A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) के संरेख होने की शर्त यह है कि उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो, जो निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है: x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) = 0

इस संबंध में A(x, 2), B(-2, 1), और C(6, -3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर: x(1 - (-3)) + (-2)(-3 - 2) + 6(2 - 1) = 0 x(4) - 2(-5) + 6(1) = 0 4x + 10 + 6 = 0 4x + 16 = 0 4x = -16 x = -4

व्याख्या

लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, खरीदे और बेचे गए केलों की संख्या को बराबर किया जा सकता है। 2 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 10 केला है।

10 केलों का क्रय मूल्य = (10 / 2) × 1 = ₹5 10 केलों का विक्रय मूल्य = ₹7

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, विक्रेता को लाभ होता है।

लाभ प्रतिशत = ((विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य) / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = ((7 - 5) / 5) × 100 = (2 / 5) × 100 = 40%

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: x - 5 ≤ 2x - 3 x ≥ -2

दूसरी असमानता को हल करने पर: 2x - ½ ≥ 5x + 2 -½ - 2 ≥ 3x -5/2 ≥ 3x x ≤ -5/6

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: -2 ≤ x ≤ -5/6

चूंकि -5/6 लगभग -0.83 है, समाधान सेट अंतराल [-2, -0.83] है। मान -1 इस अंतराल में स्थित है, जो दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

तीनों प्रभागों के छात्रों का संयुक्त माध्य ज्ञात करने के लिए, हम भारित माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं:

भारित माध्य = (n₁X₁ + n₂X₂ + n₃X₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहाँ, छात्रों की संख्या और उनके संबंधित माध्य अंक हैं: प्रभाग A के लिए: n₁ = 45, X₁ = 56 प्रभाग B के लिए: n₂ = 40, X₂ = 52 प्रभाग C के लिए: n₃ = 40, X₃ = 50

सबसे पहले, अंकों का कुल योग ज्ञात करें: कुल योग = (45 × 56) + (40 × 52) + (40 × 50) कुल योग = 2520 + 2080 + 2000 = 6600

अगला, छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करें: कुल छात्र = 45 + 40 + 40 = 125

अब, संयुक्त माध्य ज्ञात करने के लिए अंकों के कुल योग को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करें: संयुक्त माध्य = 6600 / 125 = 52.8

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, गुणन को संख्याओं को 200000 के संबंध में व्यक्त करके सरल बनाया जा सकता है:

199992 × 200008 = (200000 - 8) × (200000 + 8)

a = 200000 और b = 8 के साथ सर्वसमिका लागू करना:

(200000)² - 8² = 40000000000 - 64

40000000000 - 64 = 39999999936

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक मूल होने के लिए, उसका विविक्तकर (D) शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए (D ≥ 0), जहाँ D की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

D = b² - 4ac

समीकरण 2x² - 7x + 6 = 0 के लिए, हमारे पास गुणांक हैं: a = 2, b = -7, c = 6

इन मानों को विविक्तकर सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: D = (-7)² - 4 × 2 × 6 D = 49 - 48 D = 1

चूंकि D = 1 है, जो शून्य से अधिक है, समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए: 4x - 3y = 10 3x + y = 14

हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं। दूसरे समीकरण से, हम y को x के पदों में व्यक्त करते हैं: y = 14 - 3x

y के इस व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 4x - 3(14 - 3x) = 10 4x - 42 + 9x = 10 13x - 42 = 10 13x = 52 x = 4

x = 4 को y के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: y = 14 - 3(4) y = 14 - 12 y = 2

इस प्रकार, हल समुच्चय {(4, 2)} है।

व्याख्या

यदि बिजली बिल का 16% काट लिया जाता है, तो भुगतान की जाने वाली बिल का शेष प्रतिशत 100% - 16% = 84% है।

कुल बिल राशि B मान लीजिए। संबंध इस प्रकार है:

B का 84% = 1806

B × (84/100) = 1806

B = (1806 × 100) / 84

B = 2150

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 60 इकाई है, जो 20 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

P की दक्षता 60 ÷ 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। Q की दक्षता 60 ÷ 12 = 5 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त दक्षता 3 + 5 = 8 इकाई प्रति दिन है।

लक्ष्य परियोजना का 40% पूरा करना है, जो 60 का 40% = 24 इकाई के बराबर है।

जब एक साथ काम करते हुए इस कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय है: समय = कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 24 ÷ 8 = 3 दिन।

व्याख्या

कर्मचारियों की प्रत्येक श्रेणी को भुगतान किया जाने वाला बोनस उनके वार्षिक वेतन के प्रतिशत के रूप में गणना की जाती है।

प्रबंधक के लिए, कुल बोनस 1 × 60,00,000 × 30% = ₹18,00,000 है।

कार्यकारियों के लिए, कुल बोनस 8 × 12,00,000 × 30% = ₹28,80,000 है।

प्रशिक्षुओं के लिए, कुल बोनस 5 × 2,00,000 × 10% = ₹1,00,000 है।

सभी कर्मचारियों को भुगतान किया गया कुल बोनस ₹18,00,000 + ₹28,80,000 + ₹1,00,000 = ₹47,80,000 है।

कर्मचारियों की कुल संख्या 1 + 8 + 5 = 14 है।

प्रति कर्मचारी औसत बोनस कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत बोनस = 47,80,000 / 14 ≈ ₹3,41,429।

व्याख्या

वर्ष 2011 और 2015 में तीनों कंपनियों के लिए कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है:

2011 में कुल निर्यात = 2000 + 5000 + 2000 = 9000 लाख रुपये

2015 में कुल निर्यात = 3000 + 4000 + 2000 = 9000 लाख रुपये

चूंकि दोनों वर्षों में कुल निर्यात 9000 लाख रुपये है, इसलिए 2011 और 2015 के वर्षों के लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

कंपनी का पिछले पांच वर्षों में कुल लाभ या हानि की गणना 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लिए लाभ या हानि के मानों का योग लेकर की जाती है।

कुल = 10 + (-20) + (-15) + 10 + (-25)

कुल = 10 - 20 - 15 + 10 - 25

कुल = -40 करोड़

एक ऋणात्मक परिणाम वित्तीय हानि को इंगित करता है। इसलिए, कंपनी को पांच साल की अवधि में कुल 40 करोड़ रुपये का नुकसान हुआ।

व्याख्या

कुल निर्यात के सापेक्ष सॉफ्टवेयर निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

सॉफ्टवेयर का प्रतिशत = (सॉफ्टवेयर निर्यात का मूल्य / कुल निर्यात का मूल्य) × 100

सबसे पहले, व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़कर 2015 में भारत के कुल निर्यात का मूल्य ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 625 + 725 + 825 + 750 + 625 = 3550 मिलियन अमेरिकी डॉलर

सॉफ्टवेयर निर्यात का मूल्य 725 मिलियन अमेरिकी डॉलर दिया गया है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सॉफ्टवेयर का प्रतिशत = (725 / 3550) × 100

सॉफ्टवेयर का प्रतिशत = 72500 / 3550 = 20.4225... %

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, यह 20.42% के बराबर है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, असमानताओं की प्रणाली को अलग-अलग हल करें।

पहली असमानता के लिए: 3x + 5(4 - 3x) > 2 - 4x 3x + 20 - 15x > 2 - 4x 20 - 12x > 2 - 4x 20 - 2 > 12x - 4x 18 > 8x x < 18/8 x < 2.25

दूसरी असमानता के लिए: 2 - 4x < 3x - x/3 भिन्न को हटाने के लिए सभी पदों को 3 से गुणा करें: 6 - 12x < 9x - x 6 - 12x < 8x 6 < 20x x > 6/20 x > 0.3

दोनों शर्तों को मिलाने पर अंतराल प्राप्त होता है: 0.3 < x < 2.25

दिए गए विकल्पों में से केवल 2 ही इस सीमा के भीतर स्थित है।

व्याख्या

मान लीजिए वॉशिंग मशीन का अंकित मूल्य MP है। d% की छूट पर विक्रय मूल्य इस प्रकार गणना की जाती है: विक्रय मूल्य = MP × (100 - d) / 100

9% की छूट पर, विक्रय मूल्य रु 14000 है: 14000 = MP × (100 - 9) / 100 14000 = MP × 91 / 100 MP = (14000 × 100) / 91

22% की छूट पर, नया विक्रय मूल्य है: नया विक्रय मूल्य = MP × (100 - 22) / 100 नया विक्रय मूल्य = MP × 78 / 100

MP का मान प्रतिस्थापित करने पर: नया विक्रय मूल्य = ((14000 × 100) / 91) × (78 / 100) नया विक्रय मूल्य = 14000 × 78 / 91

78 और 91 को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक 13 से विभाजित करके सरलीकरण करने पर: नया विक्रय मूल्य = 14000 × 6 / 7 नया विक्रय मूल्य = 2000 × 6 नया विक्रय मूल्य = 12000

व्याख्या

चावल का कुल क्रय मूल्य = रु 3,344 खरीदी गई चावल की कुल मात्रा = 22 क्विंटल

चूंकि परिवहन में 24% चावल खराब हो जाता है, इसलिए शेष चावल का प्रतिशत 100% - 24% = 76% है। शेष चावल की मात्रा = 22 × 0.76 = 16.72 क्विंटल

30% लाभ कमाने के लिए, कुल विक्रय मूल्य होना चाहिए: कुल विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × 1.30 कुल विक्रय मूल्य = 3,344 × 1.30 = रु 4,347.2

शेष चावल की प्रति क्विंटल विक्रय दर की गणना कुल विक्रय मूल्य को शेष चावल की मात्रा से विभाजित करके की जाती है: प्रति क्विंटल विक्रय दर = 4,347.2 / 16.72 = रु 260

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करके, हम a = 4x और b = 3y प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

(4x - 3y)² = (4x)² - 2(4x)(3y) + (3y)²

प्रत्येक पद को सरल करने पर:

(4x - 3y)² = 16x² - 24xy + 9y²

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) का मूल बिंदु के सापेक्ष प्रतिबिंब उसे (-x, -y) पर प्रतिचित्रित करता है। इसलिए, P(a, b) का मूल बिंदु के सापेक्ष प्रतिबिंब P1 के निर्देशांक (-a, -b) देता है।

किसी बिंदु (x, y) का y-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब उसे (-x, y) पर प्रतिचित्रित करता है। P1(-a, -b) का y-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब (a, -b) निर्देशांक देता है।

हमें दिया गया है कि यह अंतिम बिंदु (5, -4) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: (a, -b) = (5, -4)

घटकों की तुलना करने पर: a = 5 -b = -4 → b = 4

इस प्रकार, प्रारंभिक बिंदु P(a, b) के निर्देशांक (5, 4) हैं।

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में गति को परिवर्तित करने के लिए, गति मान को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें।

मी/से में गति = किमी/घंटा में गति × 5/18

दी गई 1350 किमी/घंटा की गति को प्रतिस्थापित करने पर:

गति = 1350 × 5/18

1350 को 18 से विभाजित करने पर 75 प्राप्त होता है। फिर, 75 को 5 से गुणा करने पर 375 मी/से प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि मिसाइल एक सेकंड में 375 मीटर की दूरी तय करती है।

व्याख्या

चतुर्थ चतुर्थांश में कोण के त्रिकोणमितीय फलन स्पर्शज्या (tangent) ऋणात्मक होता है। कोण 330° चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है और इसे 360° - 30° के रूप में लिखा जा सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: tan(360° - θ) = -tan θ

θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर: tan 330° = tan(360° - 30°) = -tan 30°

चूंकि tan 30° = 1/√3 है, हमें प्राप्त होता है: tan 330° = -1/√3

इसलिए, x = -1/√3।

व्याख्या

भिन्नों 3/4 और 8/9 को जोड़ने के लिए, हर 4 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 36 है।

प्रत्येक भिन्न को 36 के सामान्य हर में बदलें: 3/4 = (3 × 9) / (4 × 9) = 27/36 8/9 = (8 × 4) / (9 × 4) = 32/36

अब, दो परिवर्तित भिन्नों को जोड़ें: 27/36 + 32/36 = (27 + 32) / 36 = 59/36

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sin²A + cos²A = 1, जिसे कोण A के कोसाइन को cosA = √(1 - sin²A) के रूप में व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

इस सर्वसमिका को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = sinA / √(1 - sin²A) x = sinA / cosA

चूंकि किसी कोण के साइन और उसके कोसाइन का अनुपात उस कोण के स्पर्शज्या (tangent) के रूप में परिभाषित किया गया है, हमारे पास है: x = tanA

व्याख्या

व्यंजक √[(1 - cos A)/(1 + cos A)] को सरल बनाने के लिए, हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर दोनों को (1 + cos A) से गुणा करते हैं:

√[(1 - cos A)/(1 + cos A)] = √[((1 - cos A) × (1 + cos A)) / (1 + cos A)²]

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके, अंश बन जाता है:

√[(1 - cos² A) / (1 + cos A)²]

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - cos² A = sin² A लागू करने पर, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जाता है:

√[sin² A / (1 + cos A)²]

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

sin A / (1 + cos A)

व्याख्या

ढलान m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

tan θ = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁m₂)|

दिए गए ढलान m₁ = 1 और m₂ = 1/√3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = |(1 - 1/√3) / (1 + 1 × (1/√3))|

tan θ = |(√3 - 1) / (√3 + 1)|

इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर को (√3 - 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

tan θ = (√3 - 1)² / ((√3 + 1)(√3 - 1))

tan θ = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1)

tan θ = (4 - 2√3) / 2

tan θ = 2 - √3

स्पष्ट रूप से, tan 15° = tan(45° - 30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°) = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3) = 2 - √3। अतः, θ = 15°।

व्याख्या

द्विघात समीकरण 21x² - 37x - 28 = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए, हम मध्य पद को विभाजित करते हैं। हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल 21 × (-28) = -588 हो और जिनका योग -37 हो। ये संख्याएँ -49 और 12 हैं।

हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: 21x² - 49x + 12x - 28 = 0

पदों को समूहित करने पर: 7x(3x - 7) + 4(3x - 7) = 0 (7x + 4)(3x - 7) = 0

x के लिए हल करने पर: 7x + 4 = 0 से x = -4/7 प्राप्त होता है 3x - 7 = 0 से x = 7/3 प्राप्त होता है

व्याख्या

समान रूप से ढलान वाले फर्श वाले आयताकार पूल का आयतन, समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट वाले प्रिज्म के आयतन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

आयतन = ½ × (एक सिरे पर गहराई + दूसरे सिरे पर गहराई) × लंबाई × चौड़ाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

आयतन = ½ × (2 + 3) × 25 × 12

आयतन = ½ × 5 × 25 × 12

आयतन = 5 × 25 × 6 = 750 घन मीटर

व्याख्या

पीयूष 30 दिनों में 1/3 काम पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह अकेले पूरा काम करने में 30 × 3 = 90 दिन लेता है।

काम का शेष भाग 1 - 1/3 = 2/3 है। संजीव इस शेष 2/3 काम को 60 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह अकेले पूरा काम करने में 60 × 3/2 = 90 दिन लेता है।

मानक कार्य सूत्र का उपयोग करके, यदि दो व्यक्ति किसी काम को पूरा करने में क्रमशः P दिन और S दिन लेते हैं, तो T समय में वे मिलकर काम पूरा करते हैं:

T = (P × S) / (P + S)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (90 × 90) / (90 + 90) = 8100 / 180 = 45 दिन

व्याख्या

जब समांतर श्रेणी का प्रथम पद a, अंतिम पद l, और पदों की संख्या n ज्ञात हो, तो समांतर श्रेणी का योग Sₙ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

Sₙ = (n / 2) × (a + l)

दिए गए मानों, जहाँ a = 33, l = -57, और n = 16 है, को सूत्र में रखने पर:

S₁₆ = (16 / 2) × (33 + (-57))

S₁₆ = 8 × (-24)

S₁₆ = -192

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है। प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके:

3.6% × x = 27

(3.6 / 100) × x = 27

x = (27 × 100) / 3.6

x = 27000 / 36

x = 750

व्याख्या

एक पतंग को गणितीय रूप से एक चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें लगातार आसन्न भुजाओं के दो अलग-अलग युग्म सर्वांगसम होते हैं। एक पतंग ABCD में, आसन्न भुजाएँ AB और AD लंबाई में बराबर होती हैं, जबकि शेष आसन्न भुजाएँ CB और CD भी लंबाई में बराबर होती हैं। आसन्न भुजाओं की यह अलग-अलग युग्म-वार समानता एक पतंग की मौलिक परिभाषित विशेषता है।

व्याख्या

मान लीजिए S, G, और R क्रमशः सोपान, गुरुप्रसाद और रीमा के वजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

योग सूत्र का उपयोग करके जहाँ योग = औसत × प्रेक्षणों की संख्या:

सभी तीनों का कुल वजन S + G + R = 3 × 65 = 195 किलोग्राम है।

सोपान और गुरुप्रसाद का कुल वजन S + G = 2 × 67 = 134 किलोग्राम है।

गुरुप्रसाद और रीमा का कुल वजन G + R = 2 × 57 = 114 किलोग्राम है।

गुरुप्रसाद का वजन ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

G = (S + G) + (G + R) - (S + G + R)

गणना किए गए योगों को प्रतिस्थापित करने पर:

G = 134 + 114 - 195 = 248 - 195 = 53 किलोग्राम।

व्याख्या

कुल संग्रह टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है।

मान लीजिए प्रारंभिक और अंतिम टिकट की कीमतें क्रमशः P₁ और P₂ हैं, जहाँ P₁ : P₂ = 3 : 5। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक और अंतिम संख्या क्रमशः V₁ और V₂ है, जहाँ V₁ : V₂ = 7 : 2।

प्रारंभिक कुल संग्रह (C₁) और अंतिम कुल संग्रह (C₂) का अनुपात उनके संबंधित अनुपातों के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: C₁ : C₂ = (P₁ × V₁) : (P₂ × V₂) C₁ : C₂ = (3 × 7) : (5 × 2) = 21 : 10

चूंकि मान 21 से 10 तक गिर गया, कुल संग्रह 21:10 के अनुपात में घट गया है।

व्याख्या

सभी डिवीजनों और मानकों में लड़कों की कुल संख्या की गणना प्रत्येक समूह में लड़कों को जोड़कर की जाती है: 30 + 20 + 40 + 35 + 10 + 35 = 170

सभी डिवीजनों और मानकों में लड़कियों की कुल संख्या की गणना प्रत्येक समूह में लड़कियों को जोड़कर की जाती है: 30 + 35 + 35 + 15 + 10 + 40 = 165

कुल लड़कों और कुल लड़कियों का अनुपात है: 170 : 165

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 5 से विभाजित करने पर सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है: 34 : 33

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या घटाएं।

दिए गए डेटा का उपयोग करके: 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 67 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 21

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 67 - 21 = 46।

व्याख्या

वर्ष 2015 की शुरुआत वर्ष 2014 के अंत के बराबर है। इसलिए, 2013 के अंत से 2015 की शुरुआत तक जीडीपी में परिवर्तन केवल 2014 के वर्ष की जीडीपी वृद्धि दर से निर्धारित होता है।

तालिका से, 2014 के लिए जीडीपी वृद्धि दर -8% है।

विकास के बाद जीडीपी के सूत्र का उपयोग करके: 2015 की शुरुआत में जीडीपी = 2013 के अंत में जीडीपी × (1 + 2014 की वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 2015 की शुरुआत में जीडीपी = 8 × (1 - 0.08) 2015 की शुरुआत में जीडीपी = 8 × 0.92 = 7.36 ट्रिलियन

व्याख्या

प्राप्त अंकों का औसत सभी पाँच विषयों के अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

कुल प्राप्त अंक = 80 + 45 + 55 + 60 + 65 = 305

विषयों की संख्या = 5

औसत प्राप्त अंक = 305 ÷ 5 = 61

चूंकि खराब उपस्थिति के कारण इस औसत से पाँच अंक काटे जाते हैं, इसलिए गणना इस प्रकार है:

शुद्ध प्राप्त अंकों का औसत = 61 - 5 = 56

व्याख्या

दिया गया व्यंजक है: x = (csc A - 1) / (csc A + 1)

समीकरण में csc A = 1 / sin A प्रतिस्थापित करें: x = (1 / sin A - 1) / (1 / sin A + 1) x = (1 - sin A) / (1 + sin A)

सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को (1 + sin A) से गुणा करें: x = (1 - sin A)(1 + sin A) / (1 + sin A)² x = (1 - sin² A) / (1 + sin A)²

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम 1 - sin² A के लिए cos² A प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x = cos² A / (1 + sin A)² x = (cos A / (1 + sin A))²

व्याख्या

बीजीय पदों 6ab, 3b और 4a का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम उनके संख्यात्मक गुणांकों और उनके चर भागों को अलग-अलग गुणा करते हैं।

सबसे पहले, संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करें: 6 × 3 × 4 = 72

इसके बाद, समान आधारों के घातांकों को मिलाकर चर घटकों को गुणा करें: (ab) × b × a = (a × a) × (b × b) = a²b²

गुणा किए गए गुणांक और चर भागों को मिलाने पर प्राप्त होता है: 72a²b²

व्याख्या

यूलर का बहुफलक सूत्र बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E), और फलकों (F) की संख्या सूत्र V - E + F = 2 द्वारा संबंधित होती है।

एक अष्टफलक (octahedron) 8 फलकों वाली एक ठोस ज्यामितीय आकृति है (F = 8)। यह देखते हुए कि इसके 6 शीर्ष हैं (V = 6), यूलर के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6 - E + 8 = 2

14 - E = 2

E = 12

इस प्रकार, अष्टफलक के 12 किनारे होते हैं।

व्याख्या

कुल संग्रह प्रवेश टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है।

मान लीजिए टिकट की प्रारंभिक कीमत 5x है और नई कीमत 7x है। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या 11y है और आगंतुकों की नई संख्या 9y है।

प्रारंभिक कुल संग्रह = 5x × 11y = 55xy नया कुल संग्रह = 7x × 9y = 63xy

प्रारंभिक संग्रह की तुलना नए संग्रह से करने पर, अनुपात 55xy : 63xy है, जो 55:63 तक सरल हो जाता है। चूंकि 63, 55 से बड़ा है, कुल संग्रह 55:63 के अनुपात में बढ़ा है।

व्याख्या

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 99999 को 84 से विभाजित करने पर भागफल 1190 और शेषफल 39 प्राप्त होता है।

इस शेषफल को 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या से घटाने पर 84 से पूर्णतः विभाज्य 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होती है: 99999 - 39 = 99960

व्याख्या

x के संभावित मानों की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम दोनों असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता: 3x + 2 ≥ x - 1 2x ≥ -3 x ≥ -1.5

दूसरी असमानता: 2x - 4 ≤ 2 - x/3 भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: 6x - 12 ≤ 6 - x 7x ≤ 18 x ≤ 18/7 ≈ 2.57

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, हमें x के लिए मान्य सीमा प्राप्त होती है: -1.5 ≤ x ≤ 18/7

मान -1 दोनों शर्तों को पूरा करता है क्योंकि यह परिभाषित सीमा के भीतर स्थित है, अर्थात -1.5 ≤ -1 ≤ 2.57।