एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

भुजा की लम्बाई a वाले एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × a²

यह देखते हुए कि षट्भुज का क्षेत्रफल 54√3 वर्ग सेमी है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: (3√3 / 2) × a² = 54√3

समीकरण के दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर यह सरल हो जाता है: (3/2) × a² = 54

a² के लिए हल करना: a² = 54 × (2/3) a² = 36

दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर भुजा की लम्बाई प्राप्त होती है: a = 6 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण x = cot(π/3) - tan(π/4) है, जहाँ कोण रेडियन में मापे गए हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों का उपयोग करते हुए: cot(π/3) = 1/√3 tan(π/4) = 1

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = 1/√3 - 1

सामान्य हर लेकर, हमें प्राप्त होता है: x = (1 - √3)/√3

व्याख्या

प्रभावी वार्षिक ब्याज दर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

R = (1 + r/n)ⁿ - 1

जहाँ r ब्याज की नाममात्र वार्षिक दर है और n प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है।

19% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर के लिए, जो अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होती है: r = 19% = 0.19 n = 2

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

R = (1 + 0.19/2)² - 1 R = (1 + 0.095)² - 1 R = (1.095)² - 1 R = 1.199025 - 1 R = 0.199025

दशमलव मान को प्रतिशत में बदलने पर:

R = 0.199025 × 100% = 19.9025% ≈ 19.9%

व्याख्या

पहले 38 ओवरों में बनाए गए रन = 38 × 4.5 = 171 रन

288 रनों के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शेष रन = 288 - 171 = 117 रन

शेष 12 ओवरों में आवश्यक रन रेट = 117 / 12 = 9.75 रन/ओवर

व्याख्या

मान लीजिए पति और पत्नी की वर्तमान आयु क्रमशः x और y है।

हमें दिया गया है कि उनकी वर्तमान आयु का योग 56 है: x + y = 56

दस वर्ष पूर्व, उनकी आयु x - 10 और y - 10 थी। उस समय उनकी आयु का गुणनफल 320 था: (x - 10)(y - 10) = 320

गुणनफल समीकरण में y = 56 - x को प्रतिस्थापित करने पर: (x - 10)(56 - x - 10) = 320 (x - 10)(46 - x) = 320 46x - x² - 460 + 10x = 320 x² - 56x + 780 = 0

इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: x² - 30x - 26x + 780 = 0 x(x - 30) - 26(x - 30) = 0 (x - 30)(x - 26) = 0

x के लिए हल करने पर x = 30 या x = 26 प्राप्त होता है। यदि एक की आयु 30 है, तो दूसरे की आयु 26 है। इन मानों की जाँच करने पर, उनका वर्तमान योग 30 + 26 = 56 है, और दस वर्ष पूर्व उनकी आयु 20 और 16 थी, जिनका गुणनफल 20 × 16 = 320 है।

व्याख्या

कुल बिजली बिल B मान लीजिए।

यदि बिल का 27% काट लिया जाता है, तो भुगतान की जाने वाली बिल का शेष भाग है: शेष प्रतिशत = 100% - 27% = 73%

भुगतान की जाने वाली शेष राशि 1825 रुपये दी गई है। संबंध स्थापित करना: B का 73% = 1825 0.73 × B = 1825 B = 1825 / 0.73 B = 2500

व्याख्या

सेकेंट और टैनजेंट को जोड़ने वाली मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है: sec²A - tan²A = 1

sec²A को tan²A के पदों में व्यक्त करने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: sec²A = 1 + tan²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: secA = √(1 + tan²A)

यह देखते हुए कि secA = x है, x को प्रतिस्थापित करने पर: x = √(1 + tan²A)

व्याख्या

29 दिनों के लिए दैनिक टिकट खरीदने की कुल लागत की गणना दैनिक टिकट मूल्य को यात्रा के दिनों की संख्या से गुणा करके की जाती है: 29 × ₹130 = ₹3770

मासिक पास की लागत ₹3091.40 है।

व्यक्तिगत दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदने से होने वाली बचत राशि है: ₹3770 - ₹3091.40 = ₹678.60

बचत प्रतिशत की गणना कुल बचत को दैनिक टिकटों की कुल लागत से विभाजित करके, फिर 100 से गुणा करके की जाती है: (₹678.60 / ₹3770) × 100 = 18%

व्याख्या

समग्र लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम खरीदे और बेचे गए नींबू की मात्रा को बराबर कर सकते हैं।

विक्रेता 10 रुपये में 11 की दर से नींबू खरीदता है, और 5 रुपये में 4 की दर से बेचता है। मात्रा 11 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 44 है।

44 नींबू का क्रय मूल्य (CP): चूंकि 11 नींबू की कीमत 10 रुपये है, तो 44 नींबू की कीमत होगी: 10 × 4 = 40 रुपये

44 नींबू का विक्रय मूल्य (SP): चूंकि 4 नींबू 5 रुपये में बेचे जाते हैं, तो 44 नींबू बेचे जाएंगे: 5 × 11 = 55 रुपये

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ है। लाभ = SP - CP = 55 - 40 = 15 रुपये

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (15 / 40) × 100 लाभ प्रतिशत = (3 / 8) × 100 लाभ प्रतिशत = 37.5%

व्याख्या

हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली दी गई है: 7x - 5y = 13 2x - y = 5

दूसरे समीकरण से, हम y को x के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: y = 2x - 5

y के इस व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 7x - 5(2x - 5) = 13 7x - 10x + 25 = 13 -3x = -12 x = 4

अब, y के व्यंजक में x = 4 प्रतिस्थापित करने पर: y = 2(4) - 5 = 3

इस प्रकार, हम x - y का मान ज्ञात करते हैं: x - y = 4 - 3 = 1

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा a है। वर्ग का विकर्ण a√2 द्वारा दिया जाता है। चूँकि विकर्ण 9 सेमी है, हमारे पास है: a√2 = 9 a = 9/√2 सेमी

वर्ग का परिमाप 4a है, जो इसके बराबर है: 4 × (9/√2) = 18√2 सेमी

चूँकि समबाहु त्रिभुज का परिमाप वर्ग के परिमाप के बराबर है, समबाहु त्रिभुज का परिमाप भी 18√2 सेमी है। मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा s है। परिमाप 3s है, इसलिए: 3s = 18√2 s = 6√2 सेमी

भुजा s वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4)s² सूत्र द्वारा दिया जाता है। s का मान रखने पर: क्षेत्रफल = (√3/4) × (6√2)² क्षेत्रफल = (√3/4) × 72 क्षेत्रफल = 18√3 वर्ग सेमी

व्याख्या

पुलिसकर्मी और चोर की गति का अनुपात 12:7 है। चूँकि पकड़ने तक दोनों के लिए यात्रा की अवधि समान है, इसलिए प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनकी गति के सीधे आनुपातिक है। इस प्रकार, पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात भी 12:7 है।

मान लीजिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 12x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 7x है।

उनकी दूरियों का अंतर उनके बीच की प्रारंभिक दूरी के बराबर है: 12x - 7x = 350 5x = 350 x = 70

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी है: 7x = 7 × 70 = 490 मीटर।

व्याख्या

चित्रकारों A, B, और C के कार्य की दरों को क्रमशः 1/A, 1/B, और 1/C से दर्शाया जाता है। तीनों चित्रकारों द्वारा एक साथ काम करने की संयुक्त दर 1/T है, जहाँ T लिया गया कुल समय है।

संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: 1/A + 1/B + 1/C = 1/T

दिए गए मान A = 10, B = 20, और T = 5 को प्रतिस्थापित करें: 1/10 + 1/20 + 1/C = 1/5

भिन्नों के लिए 20 का एक सामान्य भाजक ज्ञात करें: 2/20 + 1/20 + 1/C = 4/20

3/20 + 1/C = 4/20

दोनों पक्षों से 3/20 घटाएं: 1/C = 4/20 - 3/20 1/C = 1/20 C = 20

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान (m) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (-4, -6) और (2, -3) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m = (-3 - (-6)) / (2 - (-4)) m = (-3 + 6) / (2 + 4) m = 3/6 = ½

चूंकि समानांतर रेखाओं के ढलान बराबर होते हैं, इसलिए इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समानांतर रेखा का ढलान भी ½ है।

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

यहाँ, लंबाई l = 10 सेमी और चौड़ाई b = 8 सेमी है। दिए गए 376 वर्ग सेमी के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के साथ इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2(10 × 8 + 8 × h + h × 10) = 376 2(80 + 18h) = 376 80 + 18h = 188 18h = 108 h = 6 सेमी

घनाभ का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = l × b × h

विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: आयतन = 10 × 8 × 6 = 480 घन सेमी

व्याख्या

कुल स्टॉक का मूल्य प्रत्येक वस्तु के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफल को जोड़कर निकाला जाता है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 47 × 11,000 = 517,000 रु कैमरा का मूल्य = 60 × 9,000 = 540,000 रु टीवी का मूल्य = 21 × 43,000 = 903,000 रु रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 31 × 60,000 = 1,860,000 रु एसी का मूल्य = 82 × 22,000 = 1,804,000 रु

स्टॉक का कुल मूल्य = 517,000 + 540,000 + 903,000 + 1,860,000 + 1,804,000 = 5,624,000 रु

लाख रुपये में मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुल मूल्य को 100,000 से विभाजित करें: लाख रुपये में मूल्य = 5,624,000 / 100,000 = 56.24

व्याख्या

2012 में आयात (I₁₂) = 1500 करोड़ 2012 में आयात और निर्यात का अनुपात = 1.1

इसलिए, 2012 में निर्यात (E₁₂) = I₁₂ / 1.1 = 1500 / 1.1 ≈ 1363.64 करोड़

2012 और 2013 में कुल निर्यात (E₁₂ + E₁₃) = 2000 करोड़

2013 में निर्यात (E₁₃) = 2000 - 1363.64 = 636.36 करोड़

2013 में आयात और निर्यात का अनुपात = 0.9

2013 में आयात (I₁₃) = E₁₃ × 0.9 = 636.36 × 0.9 = 572.72 करोड़, जो लगभग 573 करोड़ है।

व्याख्या

7वें जन्मदिन से 13वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए डेटा तालिका से इन विशिष्ट आयु के लिए ऊंचाई मान प्राप्त करते हैं।

7वें जन्मदिन पर, बच्चे की ऊंचाई 125 सेमी है। 13वें जन्मदिन पर, बच्चे की ऊंचाई 170 सेमी है।

ऊंचाई में वृद्धि की गणना 13वें जन्मदिन पर ऊंचाई में से 7वें जन्मदिन पर ऊंचाई घटाकर की जाती है: 170 सेमी - 125 सेमी = 45 सेमी

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे के बीच कुल अवधि 8 घंटे है।

तालिका में दिए गए मान इस कुल अवधि के प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिनका योग 100% है (10 + 25 + 10 + 10 + 45 = 100)।

गहरी नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 10% है, और अत्यधिक हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 10% है।

इन दो अवस्थाओं की संयुक्त अवधि ज्ञात करने के लिए, हम उनके प्रतिशत जोड़ते हैं: 10% + 10% = 20%

अब, हम कुल 8 घंटे का 20% गणना करते हैं: 8 × 0.20 = 1.6 घंटे

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम असमानताओं की प्रणाली को दो भागों में विभाजित करके हल करते हैं।

पहली असमानता: x + 5(x - 2) < 4 - x x + 5x - 10 < 4 - x 6x - 10 < 4 - x 7x < 14 x < 2

दूसरी असमानता: 4 - x < 4x - 1 5 < 5x x > 1

इन दो असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 1 < x < 2

मान 3/2 (जो 1.5 है) इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को Y-अक्ष में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो उसके x-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है जबकि y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है। इसलिए, बिंदु Q(a, b) को Y-अक्ष में प्रतिबिंबित करने पर Q₁ के निर्देशांक (-a, b) प्राप्त होते हैं।

जब किसी बिंदु (x, y) को बाद में X-अक्ष में प्रतिबिंबित किया जाता है, तो उसके y-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है जबकि x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है। इसलिए, Q₁(-a, b) को X-अक्ष में प्रतिबिंबित करने पर निर्देशांक (-a, -b) प्राप्त होते हैं।

हमें दिया गया है कि यह अंतिम प्रतिबिंबित बिंदु (-4, 5) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: -a = -4, जिससे a = 4 प्राप्त होता है -b = 5, जिससे b = -5 प्राप्त होता है

इस प्रकार, मूल बिंदु Q(a, b) के निर्देशांक (4, -5) हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करके:

मान लीजिए a = 100000 और b = 7।

दिया गया व्यंजक इस प्रकार लिखा जा सकता है: 99993 × 100007 = (100000 - 7)(100000 + 7)

सूत्र लागू करने पर: = 100000² - 7² = 10000000000 - 49 = 9999999951

व्याख्या

द्विपद अंतर के वर्ग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a - b)² = a² - 2ab + b²

इस सूत्र में a = 5x और b = y प्रतिस्थापित करके: (5x - y)² = (5x)² - 2(5x)(y) + y² (5x - y)² = 25x² - 10xy + y²

यह बीजगणितीय सरलीकरण सीधे सही संबंध देता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन sec θ को cos θ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है।

कोण 225° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है। त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र cos(180° + θ) = -cos θ का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

cos 225° = cos(180° + 45°) = -cos 45°

चूंकि cos 45° का मानक मान 1/√2 है:

cos 225° = -1/√2

सेकेंट मान ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:

sec 225° = 1/cos 225° = 1/(-1/√2) = -√2

इस प्रकार, x का मान -√2 है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण 15x² - 2x - 8 = 0 के लिए, हम मध्य पद को विभाजित करके मूल ज्ञात कर सकते हैं। हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका योग -2 हो और जिनका गुणनफल 15 × (-8) = -120 हो। ये संख्याएँ -12 और 10 हैं।

मध्य पद को पुनः लिखना: 15x² - 12x + 10x - 8 = 0

समूह बनाकर गुणनखंडन: 3x(5x - 4) + 2(5x - 4) = 0 (3x + 2)(5x - 4) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखना: 3x + 2 = 0 जिससे x = -2/3 प्राप्त होता है 5x - 4 = 0 जिससे x = 4/5 प्राप्त होता है

व्याख्या

26 क्विंटल चावल का कुल क्रय मूल्य 1872 रुपये है। 10% लाभ कमाने के लिए, वांछित कुल विक्रय मूल्य है: कुल विक्रय मूल्य = 1.10 × 1872 = 2059.2 रुपये

चूंकि परिवहन में 28% चावल खराब हो जाता है, इसलिए चावल की शेष मात्रा है: शेष मात्रा = 26 × (1 - 0.28) = 26 × 0.72 = 18.72 क्विंटल

शेष चावल को जिस दर प्रति क्विंटल पर बेचा जाना चाहिए वह है: विक्रय दर = कुल विक्रय मूल्य / शेष मात्रा = 2059.2 / 18.72 = 110 रुपये प्रति क्विंटल

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के दोगुने के बीच का अंतर 49/5 के बराबर है। इस संबंध को एक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

x - 2/x = 49/5

भिन्नों को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 5x से गुणा करें:

5x² - 10 = 49x

इसे मानक द्विघात रूप में पुनर्व्यवस्थित करें:

5x² - 49x - 10 = 0

मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन करें:

5x² - 50x + x - 10 = 0

5x(x - 10) + 1(x - 10) = 0

(5x + 1)(x - 10) = 0

x के लिए हल करने पर प्राप्त होता है:

x = 10 या x = -1/5

मूल समीकरण में x = 10 का मूल्यांकन करने पर:

10 - 2/10 = 10 - 1/5 = 49/5

यह पुष्टि करता है कि संख्या 10 है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) है।

जब व्यापारी अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है, तो विक्रय मूल्य SP₁ है: SP₁ = 0.9 × MP

चूंकि इससे 16% की हानि होती है, विक्रय मूल्य यह भी है: SP₁ = 0.84 × CP

SP₁ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.9 × MP = 0.84 × CP MP / CP = 0.84 / 0.9 = 14 / 15

जब अंकित मूल्य पर 25% की छूट दी जाती है, तो नया विक्रय मूल्य SP₂ है: SP₂ = 0.75 × MP

नया लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम SP₂ और CP के अनुपात की गणना करते हैं: SP₂ / CP = (0.75 × MP) / CP = 0.75 × (14 / 15) = (3/4) × (14 / 15) = 42 / 60 = 7 / 10 = 0.7

इसका मतलब है कि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 70% है, जो 100% - 70% = 30% की हानि दर्शाता है।

व्याख्या

आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

भाग = (प्रतिशत / 100) × पूर्ण

भाग के लिए 31 और प्रतिशत के लिए 0.8 प्रतिस्थापित करने पर:

31 = (0.8 / 100) × x

x के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x = (31 × 100) / 0.8

x = 3100 / 0.8

गणना को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करने पर:

x = 31000 / 8

x = 3875

व्याख्या

नहर का अनुप्रस्थ काट एक समद्विबाहु समलम्ब है। समलम्ब का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई

यहाँ, समांतर भुजाएँ 2 मीटर की निचली चौड़ाई और 3 मीटर की ऊपरी चौड़ाई हैं, और ऊँचाई 1 मीटर की गहराई है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × (2 + 3) × 1 = 2.5 वर्ग मीटर

नहर की अधिकतम क्षमता उसका कुल आयतन है, जो अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को नहर की लंबाई से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

क्षमता = क्षेत्रफल × लंबाई

क्षमता = 2.5 × 100 = 250 घन मीटर

व्याख्या

तीन बिंदुओं A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) के संरेख होने के लिए, रेखा खंड AB की ढलान रेखा खंड BC की ढलान के बराबर होनी चाहिए।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की ढलान का सूत्र है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

A(2, -3) और B(-2, 0) के निर्देशांकों का उपयोग करके: AB की ढलान = (0 - (-3)) / (-2 - 2) = 3 / -4 = -3/4

B(-2, 0) और C(6, x) के निर्देशांकों का उपयोग करके: BC की ढलान = (x - 0) / (6 - (-2)) = x / 8

संरेखता के लिए दो ढलानों को बराबर करना: -3/4 = x/8

x के लिए हल करना: x = 8 × (-3/4) x = -6

व्याख्या

मान लीजिए मूल किराया और नया किराया क्रमशः 9:11 के अनुपात में हैं।

चूंकि मूल किराया रु. 675 है, हम अनुपात स्थापित कर सकते हैं: 9 इकाई = रु. 675

1 इकाई का मान ज्ञात करने के लिए, हम भाग देते हैं: 1 इकाई = 675 / 9 = रु. 75

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: इकाइयों में वृद्धि = 11 इकाई - 9 इकाई = 2 इकाई

1 इकाई का मान रखने पर, हम किराए में वृद्धि ज्ञात करते हैं: किराए में वृद्धि = 2 × रु. 75 = रु. 150

व्याख्या

मान लीजिए पहली, दूसरी और तीसरी संख्या क्रमशः N₁, N₂ और N₃ हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: N₁ = 2 × N₂ → N₂ = N₁ / 2 N₁ = 3 × N₃ → N₃ = N₁ / 3

तीन संख्याओं का औसत 638 दिया गया है: (N₁ + N₂ + N₃) / 3 = 638 N₁ + N₂ + N₃ = 638 × 3 = 1914

N₂ और N₃ के मानों को N₁ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर: N₁ + N₁ / 2 + N₁ / 3 = 1914 N₁ × (1 + 1/2 + 1/3) = 1914 N₁ × (11/6) = 1914 N₁ = (1914 × 6) / 11 N₁ = 174 × 6 = 1044

तीसरी संख्या N₃ है: N₃ = 1044 / 3 = 348

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: N₁ - N₃ = 1044 - 348 = 696

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin²A + cos²A = 1

इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: 1 - cos²A = sin²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 - cos²A) = sinA

इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = 1/√(1 - cos²A) x = 1/sinA

चूंकि sinA का व्युत्क्रम cosecA होता है: x = cosecA

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गतियों, v₁ और v₂, पर समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दिए गए वेगों v₁ = 30 किमी/घंटा और v₂ = 45 किमी/घंटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 2 × 30 × 45 / (30 + 45)

औसत गति = 2700 / 75

औसत गति = 36 किमी/घंटा

यह गणना कार की पूरी राउंड ट्रिप के लिए औसत गति को दर्शाती है।

व्याख्या

हमें व्यंजक दिया गया है: 1 / (sinA + cosA) + 1 / (sinA - cosA)

सरल करने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं: = [(sinA - cosA) + (sinA + cosA)] / [(sinA + cosA)(sinA - cosA)]

समान पदों को मिलाकर अंश को सरल करना: (sinA - cosA) + (sinA + cosA) = 2sinA

सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² का उपयोग करके हर को सरल करना: (sinA + cosA)(sinA - cosA) = sin²A - cos²A

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A = 1 - cos²A का उपयोग करके, हम हर को केवल cosA के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: sin²A - cos²A = (1 - cos²A) - cos²A = 1 - 2cos²A

सरलीकृत अंश और हर को मिलाकर अंतिम व्यंजक प्राप्त होता है: 2sinA / (1 - 2cos²A)

व्याख्या

सबसे पहले, साधारण ब्याज दर ज्ञात करें। 8 वर्षों में मूलधन P में 40% की वृद्धि का अर्थ है कि अर्जित साधारण ब्याज 0.4P है।

साधारण ब्याज = (P × R × T) / 100 0.4P = (P × R × 8) / 100 R = (0.4 × 100) / 8 R = 5%

इसके बाद, 5% ब्याज दर पर 3 वर्षों के लिए रु. 20000 पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें।

राशि = P × (1 + R / 100)ⁿ राशि = 20000 × (1 + 5 / 100)³ राशि = 20000 × (21 / 20)³ राशि = 20000 × (9261 / 8000) राशि = 2.5 × 9261 राशि = 23152.5

चक्रवृद्धि ब्याज = राशि - मूलधन चक्रवृद्धि ब्याज = 23152.5 - 20000 चक्रवृद्धि ब्याज = 3152.5

व्याख्या

दो कोण संपूरक होते हैं जब उनका योग 180° होता है। मान लीजिए संपूरक कोण y है। रुचि का कोण, x, अपने संपूरक कोण का 4/5वां दिया गया है:

x = (4/5)y

चूंकि संपूरक कोणों का योग 180° होता है: x + y = 180°

x के लिए व्यंजक को योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (4/5)y + y = 180° (9/5)y = 180° y = 180° × 5 / 9 y = 100°

रुचि के कोण, x के लिए हल करने पर: x = (4/5) × 100° x = 80°

व्याख्या

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसमें विपरीत भुजाओं का एक युग्म (जिन्हें आधार कहा जाता है) समानांतर होता है, और विपरीत भुजाओं का दूसरा युग्म (जिन्हें तिर्यक भुजाएँ कहा जाता है) सर्वांगसम होता है, जिसका अर्थ है कि उनकी लंबाई समान होती है। यह परिभाषित विशेषता सुनिश्चित करती है कि विपरीत भुजाओं का एक युग्म सर्वांगसम हो।

व्याख्या

मान लीजिए मिहिर की कार्य क्षमता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूँकि मिहिर को काम पूरा करने में 30 घंटे लगते हैं, इसलिए कुल काम 1 इकाई/घंटा × 30 घंटे = 30 इकाई है।

जिग्या मिहिर से 50% अधिक कुशल है, इसलिए जिग्या की क्षमता प्रति घंटा 1.5 इकाई है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त क्षमता 1 + 1.5 = 2.5 इकाई प्रति घंटा है।

दोनों द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लगने वाला समय 30 इकाई ÷ 2.5 इकाई/घंटा = 12 घंटे है।

व्याख्या

डेटा तालिका के कॉलम कर्मचारी की श्रेणी, कर्मचारियों की संख्या, लाखों में वार्षिक वेतन और वार्षिक वेतन के प्रतिशत के रूप में बोनस का प्रतिनिधित्व करते हैं।

प्रबंधक के लिए, कर्मचारियों की संख्या 1 है, और वार्षिक वेतन 36 लाख (3,600,000 रुपये) है। कुल बोनस 3,600,000 का 50% है, जो 1,800,000 रुपये के बराबर है।

कार्यकारी के लिए, 5 कर्मचारी हैं, जिनका वार्षिक वेतन प्रत्येक 12 लाख (1,200,000 रुपये) है। कुल बोनस 5 × (1,200,000 का 20%) = 1,200,000 रुपये है।

प्रशिक्षु के लिए, 1 कर्मचारी है, जिसका वार्षिक वेतन 2 लाख (200,000 रुपये) है। कुल बोनस 200,000 का 20% है, जो 40,000 रुपये के बराबर है।

सभी कर्मचारियों को वितरित कुल बोनस 1,800,000 + 1,200,000 + 40,000 = 3,040,000 रुपये है।

कर्मचारियों की कुल संख्या 1 + 5 + 1 = 7 है।

औसत बोनस की गणना कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत बोनस = 3,040,000 ÷ 7 ≈ 434285.71 रुपये।

यह 434286 तक पूर्णांकित होता है।

व्याख्या

बाएं से दाएं कॉलम क्रमशः वर्ष 2011, 2012, 2013, 2014 और 2015 का प्रतिनिधित्व करते हैं।

वर्ष 2012 के लिए कुल निर्यात की गणना दूसरे कॉलम में कंपनियों A, B और C से निर्यात के योग के रूप में की जाती है: 5000 + 4000 + 5000 = 14000 लाख रुपये

वर्ष 2014 के लिए कुल निर्यात की गणना चौथे कॉलम में कंपनियों A, B और C से निर्यात के योग के रूप में की जाती है: 4000 + 5000 + 5000 = 14000 लाख रुपये

वर्ष 2012 और 2014 दोनों में 14000 लाख रुपये का कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

कंपनी का पिछले 5 वर्षों में कुल लाभ या हानि 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लिए लाभ और हानि के मानों के बीजीय योग को ज्ञात करके गणना की जाती है।

दिए गए डेटा का उपयोग करके: कुल लाभ/हानि = (-25) + 5 + (-10) + 10 + (-10)

धनात्मक और ऋणात्मक मानों को मिलाकर: कुल लाभ/हानि = (5 + 10) - (25 + 10 + 10) कुल लाभ/हानि = 15 - 45 कुल लाभ/हानि = -30

एक ऋणात्मक परिणाम शुद्ध वित्तीय हानि का संकेत देता है। इसलिए, कंपनी को 5 साल की अवधि में ₹30 करोड़ का कुल नुकसान हुआ।

व्याख्या

कुल निर्यात के सापेक्ष सॉफ्टवेयर निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से सभी निर्यातों का योग ज्ञात करें।

कुल निर्यात = 925 + 600 + 825 + 850 + 550 = 3750 मिलियन अमेरिकी डॉलर। सॉफ्टवेयर का निर्यात मूल्य 600 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

अब, प्रतिशत सूत्र लागू करें:

प्रतिशत = (सॉफ्टवेयर निर्यात / कुल निर्यात) × 100 प्रतिशत = (600 / 3750) × 100 प्रतिशत = (4 / 25) × 100 प्रतिशत = 4 × 4 = 16 प्रतिशत

व्याख्या

किसी बिंदु P(x, y) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब सूत्र P'(-x, -y) द्वारा दिया जाता है।

इस सूत्र को दिए गए बिंदु (4, -6) पर लागू करने पर: x-निर्देशांक -4 हो जाता है y-निर्देशांक -(-6) = 6 हो जाता है

इसलिए, प्रतिबिंबित बिंदु के निर्देशांक (-4, 6) हैं।

व्याख्या

किसी भिन्न x/y का व्युत्क्रम y/x होता है। दिए गए मानों 2/9 और 7/10 के लिए, उनके संगत व्युत्क्रम क्रमशः 9/2 और 10/7 हैं।

इन व्युत्क्रमों का योग है: 9/2 + 10/7 = (9 × 7 + 10 × 2) / (2 × 7) = (63 + 20) / 14 = 83/14

इस योग का व्युत्क्रम है: 1 / (83/14) = 14/83

व्याख्या

ढलान-अवरोधन रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण y = mx + c होता है, जहाँ m रेखा के ढलान और c रेखा के y-अवरोधन को दर्शाता है।

धनात्मक x-अक्ष के साथ θ कोण बनाने वाली रेखा का ढलान m, m = tan(θ) द्वारा दिया जाता है। चूँकि रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाती है, ढलान है: m = tan(45°) = 1

दिया गया y-अवरोधन c, 4 है। ढलान-अवरोधन रूप समीकरण में m = 1 और c = 4 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: y = 1 · x + 4 y = x + 4

समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: x - y = -4

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को अंश और हर दोनों में सामान्य त्रिकोणमितीय पदों को गुणनखंडित करके सरल बनाया जा सकता है:

अंश: sin A - 2sin³ A = sin A (1 - 2sin² A) हर: 2cos³ A - cos A = cos A (2cos² A - 1)

अब, इन गुणनखंडित रूपों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

[sin A (1 - 2sin² A)] / [cos A (2cos² A - 1)]

कोसाइन के लिए द्वि-कोण सर्वसमिकाओं द्वारा: cos 2A = 1 - 2sin² A cos 2A = 2cos² A - 1

व्यंजक में दोनों पदों को cos 2A से प्रतिस्थापित करने पर:

[sin A × cos 2A] / [cos A × cos 2A]

cos 2A के सामान्य गुणनखंड को रद्द करने पर:

sin A / cos A = tan A

व्याख्या

दी गई संयुक्त असमानता है: 5x - 5(3x - 2) < 4x - 1 < 2 + 2x

x का मान ज्ञात करने के लिए इसे दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित किया जा सकता है।

पहली असमानता: 5x - 15x + 10 < 4x - 1 -10x + 10 < 4x - 1 11 < 14x x > 11/14

दूसरी असमानता: 4x - 1 < 2 + 2x 2x < 3 x < 3/2

दोनों असमानताओं को मिलाने पर प्राप्त होता है: 11/14 < x < 3/2

इन भिन्नों को दशमलव में बदलने पर लगभग 0.786 < x < 1.5 प्राप्त होता है। मान 1 इस अंतराल के भीतर आता है।

व्याख्या

बीजगणितीय भिन्न को सरल करने के लिए, हम संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करते हैं और सामान्य चर पदों को रद्द करते हैं।

सबसे पहले, अंश के गुणांक को हर के गुणांक से विभाजित करें: 533 ÷ 41 = 13

इसके बाद, अंश और हर दोनों में मौजूद सामान्य गुणनखंड a और b को रद्द करके बीजगणितीय चर को सरल करें: (b × a × x) / (a × b) = x

इससे सरलीकृत गुणांक के रूप में 13 बचता है।