एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए मयूर की क्षमता प्रति घंटा 1 इकाई है। चूँकि मयूर को काम पूरा करने में 27 घंटे लगते हैं, कुल काम 27 इकाई है।

जयंतीका मयूर से 100% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि उसकी क्षमता 1 + 1 = 2 इकाई प्रति घंटा है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त क्षमता 1 + 2 = 3 इकाई प्रति घंटा होती है।

दोनों द्वारा मिलकर कुल काम पूरा करने में लिया गया समय है: कुल काम / संयुक्त क्षमता = 27 / 3 = 9 घंटे।

व्याख्या

3/8 का व्युत्क्रम 8/3 है, और 8/11 का व्युत्क्रम 11/8 है।

इन व्युत्क्रमों का योग है: 8/3 + 11/8 = (8 × 8 + 11 × 3) / (3 × 8) = (64 + 33) / 24 = 97/24

इस योग का व्युत्क्रम है: 1 / (97/24) = 24/97

व्याख्या

प्रति कर्मचारी औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक श्रेणी के कर्मचारियों द्वारा अर्जित कुल बोनस की गणना करें। चूंकि 1 लाख 100,000 रुपये के बराबर है, इसलिए एक प्रबंधक का वार्षिक वेतन 4,800,000 रुपये, एक कार्यकारी का 2,000,000 रुपये और एक प्रशिक्षु का 400,000 रुपये है।

प्रबंधकों के लिए, प्रति कर्मचारी बोनस 4,800,000 रुपये का 60% है, जो 2,880,000 रुपये है। 2 प्रबंधकों के साथ, कुल बोनस 5,760,000 रुपये है।

कार्यकारियों के लिए, प्रति कर्मचारी बोनस 2,000,000 रुपये का 20% है, जो 400,000 रुपये है। 9 कार्यकारी के साथ, कुल बोनस 3,600,000 रुपये है।

प्रशिक्षुओं के लिए, प्रति कर्मचारी बोनस 400,000 रुपये का 10% है, जो 40,000 रुपये है। 2 प्रशिक्षुओं के साथ, कुल बोनस 80,000 रुपये है।

सभी कर्मचारियों के लिए कुल बोनस इन मानों का योग है: 5,760,000 + 3,600,000 + 80,000 = 9,440,000 रुपये।

कर्मचारियों की कुल संख्या 2 + 9 + 2 = 13 है।

कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करने पर 9,440,000 ÷ 13 ≈ 726153.85 रुपये प्राप्त होता है, जिसे 726154 रुपये तक पूर्णांकित किया जाता है।

व्याख्या

वर्ष 2012 और 2014 के लिए तीनों कंपनियों द्वारा संयुक्त रूप से कुल निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है:

वर्ष 2012 के लिए: कुल निर्यात = कंपनी A का निर्यात + कंपनी B का निर्यात + कंपनी C का निर्यात कुल निर्यात = 3000 + 4000 + 1000 = 8000 लाख रुपये

वर्ष 2014 के लिए: कुल निर्यात = कंपनी A का निर्यात + कंपनी B का निर्यात + कंपनी C का निर्यात कुल निर्यात = 3000 + 4000 + 1000 = 8000 लाख रुपये

चूंकि दोनों वर्षों में कुल निर्यात मूल्य 8000 लाख रुपये है, इसलिए 2014 और 2012 के युग्म के लिए कुल निर्यात बराबर हैं।

व्याख्या

5 साल की अवधि में कुल लाभ या हानि की गणना प्रत्येक वर्ष के लाभ या हानि के मानों के बीजगणितीय योग को लेकर की जाती है:

कुल = (-15) + (-5) + (-20) + 15 + 20

धनात्मक और ऋणात्मक पदों को समूहित करने से गणना सरल हो जाती है:

कुल = (-15 + 15) + (-20 + 20) - 5 = -5

ऋणात्मक परिणाम शुद्ध हानि का संकेत देता है। इसलिए, कंपनी को पिछले 5 वर्षों में 5 करोड़ रुपये की कुल हानि हुई।

व्याख्या

आभूषण निर्यात का प्रतिशत, आभूषण निर्यात के मूल्य को सभी निर्यात के कुल मूल्य से विभाजित करके और फिर 100 से गुणा करके निकाला जाता है।

सबसे पहले, सभी श्रेणियों के निर्यात मूल्यों को जोड़कर 2015 में भारत के कुल निर्यात मूल्य का निर्धारण करें: कुल निर्यात = 1000 + 900 + 575 + 925 + 950 = 4350 मिलियन अमेरिकी डॉलर इसके बाद, सूत्र का उपयोग करके आभूषण निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करें: आभूषण का प्रतिशत = (आभूषण का मूल्य / कुल निर्यात) × 100 आभूषण का प्रतिशत = (1000 / 4350) × 100 आभूषण का प्रतिशत = 2000 / 87 ≈ 22.99%

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक मूल होते हैं यदि उसका विविक्तकर D = b² - 4ac शून्य से बड़ा या उसके बराबर हो (D ≥ 0)।

द्विघात समीकरण 2x² - 7x + 5 = 0 के लिए, गुणांक a = 2, b = -7, और c = 5 हैं।

विविक्तकर की गणना: D = (-7)² - 4 × 2 × 5 D = 49 - 40 D = 9

चूंकि विविक्तकर 9 है, जो शून्य से बड़ा है, इसलिए समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, दोनों असमानताओं को अलग-अलग हल करें और उनका प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।

पहली असमानता के लिए: 5x + 5 > 2 + 2x 5x - 2x > 2 - 5 3x > -3 x > -1

दूसरी असमानता के लिए: 5x + 3 ≤ 4x + 5 5x - 4x ≤ 5 - 3 x ≤ 2

दोनों असमानताओं को मिलाने पर प्राप्त होता है: -1 < x ≤ 2

मान 1 इस संयुक्त असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि -1 < 1 ≤ 2।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का nवां पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर (common difference) है।

समांतर श्रेणी के किन्हीं दो पदों के बीच संबंध इस प्रकार लिखा जा सकता है: aₙ = a_m + (n - m)d।

दिया गया है कि चौथा पद a₄ = 15 और 15वां पद a₁₅ = -29 है, सार्व अंतर d की गणना इस प्रकार की जा सकती है: d = (a₁₅ - a₄) / (15 - 4) d = (-29 - 15) / 11 d = -44 / 11 d = -4

सार्व अंतर d = -4 का उपयोग करके, 10वां पद a₁₀ सीधे चौथे पद से ज्ञात किया जा सकता है: a₁₀ = a₄ + (10 - 4)d a₁₀ = 15 + 6(-4) a₁₀ = 15 - 24 a₁₀ = -9

व्याख्या

वह अनुपात k:1 जिसमें बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को x-अक्ष द्वारा विभाजित किया जाता है, सूत्र द्वारा दिया जाता है:

k = -y₁ / y₂

दिए गए बिंदुओं (-1, -12) और (3, 4) के लिए, हमारे पास y₁ = -12 और y₂ = 4 है। इन निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

k = -(-12) / 4 = 12 / 4 = 3

इसका मतलब है कि रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3:1 के अनुपात में विभाजित किया गया है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 100 इकाई है, जो 20 और 50 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

A की दैनिक क्षमता 100 ÷ 20 = 5 इकाई प्रति दिन है। B की दैनिक क्षमता 100 ÷ 50 = 2 इकाई प्रति दिन है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त क्षमता 5 + 2 = 7 इकाई प्रति दिन है।

5 दिनों में, A और B द्वारा एक साथ पूरा किया गया कुल कार्य 7 × 5 = 35 इकाई है।

शेष कार्य 100 - 35 = 65 इकाई है।

शेष कार्य का अंश 65/100 है, जो सरल होकर 13/20 हो जाता है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि रेखा y-अक्ष को कहाँ काटती है, रेखा के दिए गए समीकरण में x = 0 रखें।

x = 0 को 4x - 3y = -6 में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

4(0) - 3y = -6 -3y = -6 y = 2

इसलिए, y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 2) है।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। चूँकि ΔDEF में GH, EF के समानांतर है, हमारे पास है:

DG/GE = DH/HF

दिया गया है कि G, DE को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है, इसलिए DG/GE का अनुपात 1/3 के बराबर है। इसे और HF = 7.2 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

1/3 = DH/7.2

DH के लिए हल करने पर:

DH = 7.2 / 3 = 2.4 सेमी

भुजा DF की कुल लंबाई DH और HF का योग है:

DF = DH + HF = 2.4 + 7.2 = 9.6 सेमी

व्याख्या

तीनों प्रभागों के संयुक्त माध्य को ज्ञात करने के लिए, हम भारित माध्य के सूत्र का उपयोग करते हैं:

x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहाँ, दिए गए मान हैं: प्रभाग A: n₁ = 65, x̄₁ = 54 प्रभाग B: n₂ = 30, x̄₂ = 50 प्रभाग C: n₃ = 55, x̄₃ = 48

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अंकों का कुल योग = (65 × 54) + (30 × 50) + (55 × 48) = 3510 + 1500 + 2640 = 7650

छात्रों की कुल संख्या = 65 + 30 + 55 = 150

संयुक्त माध्य = 7650 / 150 = 51

व्याख्या

मशीनों की औसत लागत की गणना सभी मशीनों की कुल लागत को मशीनों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

खरीदी गई मशीनों की कुल संख्या 10 है। इसमें शामिल हैं: 1 मशीन-ए रु 90000 प्रत्येक 4 मशीन-बी रु 40000 प्रत्येक 5 मशीन-सी (10 - 1 - 4 के रूप में गणना की गई) रु 40000 प्रत्येक

इन मशीनों की कुल लागत है: (1 × 90000) + (4 × 40000) + (5 × 40000) = 90000 + 160000 + 200000 = 450000

औसत लागत कुल मशीनों की कुल संख्या से विभाजित कुल लागत है: 450000 ÷ 10 = 45000

व्याख्या

8/7 का व्युत्क्रम 7/8 है, और 5/6 का व्युत्क्रम 6/5 है।

इन व्युत्क्रमों का योग एक सामान्य हर ज्ञात करके निकाला जाता है: 7/8 + 6/5 = (7 × 5 + 6 × 8) / (8 × 5) = (35 + 48) / 40 = 83/40

इस योग का व्युत्क्रम लेने पर प्राप्त होता है: 1 / (83/40) = 40/83

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित करते हैं।

पहली असमानता: 3x - 2(4 - 3x) < 2x - 5 3x - 8 + 6x < 2x - 5 9x - 8 < 2x - 5 7x < 3 x < 3/7

दूसरी असमानता: 2x - 5 < 3x + 3 -8 < x

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए सीमा है: -8 < x < 3/7

चूंकि 3/7 लगभग 0.43 है, x का मान -8 और 0.43 के बीच होना चाहिए। मान 0 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि -8 < 0 < 0.43। मूल संयुक्त असमानता में x = 0 को वापस प्रतिस्थापित करने पर -8 < -5 < 3 प्राप्त होता है, जो गणितीय रूप से सत्य है।

व्याख्या

दिए गए बीजीय व्यंजक को सरल करने के लिए, घातांक के नियमों को लागू करें: xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ और xᵐ / xⁿ = xᵐ⁻ⁿ।

सबसे पहले, अंश में पदों को गुणा करें: (b²x³a²z⁴) × (b²x⁴a⁴z³) = a²⁺⁴ × b²⁺² × x³⁺⁴ × z⁴⁺³ = a⁶b⁴x⁷z⁷

अगला, इस परिणाम को हर से विभाजित करें: (a⁶b⁴x⁷z⁷) / (a³b²z⁴) = a⁶⁻³ × b⁴⁻² × x⁷ × z⁷⁻⁴ = a³b²x⁷z³

मानक रूप से मिलान करने के लिए चर को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: b²x⁷a³z³

व्याख्या

सही उत्तर: D

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ साधारण ब्याज SI = 9648, दर R = 12%, और समय T = 6 वर्ष के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9648 = (P × 12 × 6) / 100 9648 = 72P / 100 P = (9648 × 100) / 72 P = 13400

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के सम्मुख भुजा कर्ण होती है, जो 9√3 सेमी दी गई है। 30° के कोण के सम्मुख भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय साइन अनुपात का उपयोग किया जा सकता है:

sin(θ) = सम्मुख / कर्ण

θ = 30° और कर्ण = 9√3 सेमी रखने पर:

sin(30°) = सम्मुख / 9√3

चूंकि sin(30°) = ½ होता है, समीकरण बन जाता है:

½ = सम्मुख / 9√3

सम्मुख भुजा के लिए हल करने पर:

सम्मुख = (9√3)/2 सेमी

व्याख्या

सूखे मेवों का क्रय मूल्य (CP) निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: CP = SP₁ ÷ (1 - हानि%/100)

पहले विक्रय मूल्य (SP₁) = 1310 और हानि% = 13 को प्रतिस्थापित करने पर: CP = 1310 ÷ (1 - 0.13) CP = 1310 ÷ 0.87 CP ≈ 1505.75

जब दुकानदार मेवों को ₹1441 के नए विक्रय मूल्य (SP₂) पर बेचने का निर्णय लेता है, तो हानि की राशि है: हानि = CP - SP₂ हानि = 1505.75 - 1441 हानि ≈ 64.75

नई हानि प्रतिशत है: नई हानि% = (हानि ÷ CP) × 100 नई हानि% = (64.75 ÷ 1505.75) × 100 ≈ 4.3%

इसके परिणामस्वरूप 4.3% की हानि होती है।

व्याख्या

तीसरे चतुर्थांश में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cos(180° + θ) = -cos θ

θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर: cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60°

चूंकि cos 60° का मान ½ है, हमें प्राप्त होता है: x = -½

व्याख्या

मान लीजिए मालगाड़ी की गति G किमी/घंटा है।

मालगाड़ी दूसरी ट्रेन से 3 घंटे पहले स्टेशन से गुजरती है, जिसका अर्थ है कि उसे 3 घंटे की बढ़त है। चूंकि दूसरी ट्रेन को स्टेशन से गुजरने के बाद मालगाड़ी को ओवरटेक करने में 8 घंटे लगते हैं, इसलिए मालगाड़ी को ओवरटेक किए जाने तक कुल 3 + 8 = 11 घंटे यात्रा करती है।

दूसरी ट्रेन 88 किमी/घंटा की गति से 8 घंटे तक यात्रा करती है।

चूंकि दोनों ट्रेनें स्टेशन से उस बिंदु तक समान दूरी तय करती हैं जहां वे मिलती हैं, हम दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके उनकी दूरियों को बराबर कर सकते हैं:

मालगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी G × 11 = 88 × 8 G = (88 × 8) / 11 G = 8 × 8 G = 64 किमी/घंटा

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² = a² + b² + 2ab

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 9² = 61 + 2ab 81 = 61 + 2ab

दोनों पक्षों से 61 घटाएं: 2ab = 81 - 61 2ab = 20

2 से भाग दें: ab = 10

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब उसके y-निर्देशांक का चिन्ह बदल देता है जबकि उसके x-निर्देशांक को अपरिवर्तित रखता है, जो परिवर्तन नियम (x, y) → (x, -y) का पालन करता है।

बिंदु (-2, 5) के लिए: x-निर्देशांक -2 ही रहता है। y-निर्देशांक 5 से बदलकर -5 हो जाता है।

इससे (-2, -5) बिंदु का प्रतिबिंब प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य P है। 25% की छूट के बाद, नया मूल्य बन जाता है: P' = P × (1 - 0.25) = 0.75P

मूल्य को उसके मूल मान पर बहाल करने के लिए, नए मूल्य में छूट राशि, जो कि 0.25P है, की वृद्धि की जानी चाहिए। नए मूल्य P' पर आवश्यक प्रतिशत वृद्धि है: प्रतिशत वृद्धि = (0.25P / 0.75P) × 100% = (1/3) × 100% = 33.33%

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: 1 + tan²A = sec²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 + tan²A) = secA

इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = 1/√(1 + tan²A) x = 1/secA

चूंकि secA का व्युत्क्रम cosA होता है: x = cosA

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों पर प्रभावी छूट की गणना क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

यहां, प्रारंभिक छूट d₁ 20% है और कैशबैक d₂ 5% की क्रमिक छूट के रूप में कार्य करता है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 20 + 5 - (20 × 5)/100 = 25 - 1 = 24%

वैकल्पिक रूप से, यदि वस्तु का मूल मूल्य ₹100 है, तो 20% की छूट से मूल्य ₹80 हो जाता है। इस ₹80 के कम किए गए मूल्य पर 5% कैशबैक लागू करने पर ₹4 का कैशबैक मिलता है, जो ₹80 का 5% है। इससे अंतिम प्रभावी मूल्य ₹76 तक कम हो जाता है। प्राप्त कुल छूट ₹24 है, जो ₹100 के मूल मूल्य पर 24% की प्रभावी छूट का प्रतिनिधित्व करती है।

व्याख्या

खोखले अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR² + 2πr² + π(R² - r²) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(3R² + r²)

यहां, आंतरिक त्रिज्या r 8 सेमी है और मोटाई 1 सेमी है। इस प्रकार, बाहरी त्रिज्या R 8 + 1 = 9 सेमी है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × (3 × 9² + 8²) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × (3 × 81 + 64) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × (243 + 64) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × 307

π ≈ 22/7 का उपयोग करके: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 307 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6754/7 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 964.85 वर्ग सेमी

व्याख्या

संबंध mA = nB = pC से अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: A : B : C = 1/m : 1/n : 1/p

दिए गए गुणांक m = 6, n = 7, और p = 5 को प्रतिस्थापित करने पर: A : B : C = 1/6 : 1/7 : 1/5

भिन्नों को समाप्त करने और अनुपात को सरलतम पूर्णांक रूप में व्यक्त करने के लिए, हम प्रत्येक पद को हर 6, 7, और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं।

LCM(6, 7, 5) = 6 × 7 × 5 = 210

प्रत्येक पद को 210 से गुणा करने पर: A = 210/6 = 35 B = 210/7 = 30 C = 210/5 = 42

इससे अनुपात प्राप्त होता है: A : B : C = 35 : 30 : 42

व्याख्या

दूरी, गति और समय के अंतर के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

d = (v₁ × v₂ × Δt) / (v₂ - v₁)

जहाँ d दूरी है, v₁ और v₂ दो कारों की गति हैं, और Δt लिया गया समय का अंतर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: v₁ = 30 किमी/घंटा v₂ = 44 किमी/घंटा Δt = 3.5 घंटे

d = (30 × 44 × 3.5) / (44 - 30) d = (1320 × 3.5) / 14 d = 4620 / 14 d = 330 किमी

व्याख्या

n पदों वाली एक समांतर श्रेणी का योग Sₙ, जहाँ प्रथम पद a और अंतिम पद l है, निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

Sₙ = (n / 2) × (a + l)

दिए गए मानों, n = 14, a = 23, और l = -42 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

S₁₄ = (14 / 2) × (23 + (-42))

S₁₄ = 7 × (-19)

S₁₄ = -133

व्याख्या

बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली और ढलान m वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान रूप द्वारा दिया जाता है: y - y₁ = m(x - x₁)

धनात्मक x-अक्ष के साथ θ कोण बनाने वाली रेखा की ढलान m है: m = tan(θ)

दिया गया है कि θ = -45°, ढलान है: m = tan(-45°) = -1

रेखा बिंदु (0, -4) से गुजरती है। बिंदु-ढलान समीकरण में x₁ = 0, y₁ = -4, और m = -1 को प्रतिस्थापित करने पर: y - (-4) = -1(x - 0) y + 4 = -x x + y = -4

व्याख्या

एक समचतुर्भुज ABCD में, सभी भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है AB = BC। यह त्रिभुज ABC को AB = BC के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिससे कोण CAB = कोण ACB = 30° प्राप्त होता है।

त्रिभुज ABC में कोणों का योग 180° होता है: कोण CAB + कोण ACB + कोण ABC = 180° 30° + 30° + कोण ABC = 180° 60° + कोण ABC = 180° कोण ABC = 120°

वैकल्पिक रूप से, समचतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, कोण DAB को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार, कोण DAB = 2 × कोण CAB = 2 × 30° = 60°। चूँकि समचतुर्भुज में क्रमागत कोण संपूरक होते हैं: कोण DAB + कोण ABC = 180° 60° + कोण ABC = 180° कोण ABC = 120°

व्याख्या

व्यंजक √[(1 + sin A)/(1 - sin A)] को सरल करने के लिए, हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर को (1 + sin A) से गुणा करते हैं:

√[(1 + sin A)(1 + sin A) / (1 - sin A)(1 + sin A)]

= √[(1 + sin A)² / (1 - sin² A)]

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम हर में 1 - sin² A = cos² A प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

= √[(1 + sin A)² / cos² A]

= (1 + sin A) / cos A

अंश में प्रत्येक पद को cos A से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

= (1 / cos A) + (sin A / cos A)

= sec A + tan A

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या इंजीनियरिंग पंक्ति में लड़कों और लड़कियों का योग है: 75 + 35 = 110

इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या 35 है।

इंजीनियरिंग छात्रों का प्रतिशत जो लड़कियाँ हैं, वह है: (35 / 110) × 100 = 31.82%

व्याख्या

सप्ताह के दौरान जॉगिंग की गई कुल दूरी की गणना प्रत्येक दिन की दूरियों को जोड़कर की जाती है:

कुल दूरी = 0.5 + 3 + 0.5 + 2.5 + 2 + 3.5 + 1 = 13 किमी

कैलोरी बर्न करने की दर है:

दर = 400 कैलोरी ÷ 5 किमी = 80 कैलोरी प्रति किमी

सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी की गणना इस प्रकार की जाती है:

कुल कैलोरी = कुल दूरी × दर = 13 किमी × 80 कैलोरी प्रति किमी = 1040 कैलोरी

व्याख्या

सबसे पहले, सभी व्यक्तिगत मदों की लागतों को जोड़कर कुल वार्षिक व्यय की गणना करें: कुल व्यय = 9 + 7 + 4 + 3 + 3 = 26 लाख रुपये

अगला, श्रम और कर के संयुक्त व्यय का पता लगाएं: श्रम और कर = 7 + 3 = 10 लाख रुपये

अंत में, कुल व्यय में से इस संयुक्त व्यय का प्रतिशत निर्धारित करें: प्रतिशत = (10 / 26) × 100 = 38.46%

व्याख्या

माना कि मशीन का क्रय मूल्य (CP) लाख रुपये में है।

पहली स्थिति में हुआ घाटा निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है: घाटा = CP - SP₁ घाटा = CP - 55

दूसरी स्थिति में हुआ लाभ निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है: लाभ = SP₂ - CP लाभ = 67 - CP

प्रश्न के अनुसार, लाभ घाटे का 5 गुना है: लाभ = 5 × घाटा 67 - CP = 5 × (CP - 55) 67 - CP = 5CP - 275 6CP = 342 CP = 57

अतः, मशीन का क्रय मूल्य 57 लाख रुपये है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र CSA = 2 × π × r × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

बेलन के आधार की परिधि का सूत्र C = 2 × π × r है।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में परिधि को प्रतिस्थापित करके, हमें प्राप्त होता है: CSA = C × h

दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 528 वर्ग सेमी है और आधार की परिधि 44 सेमी है: 528 = 44 × h

ऊँचाई के लिए हल करने पर: h = 528 ÷ 44 h = 12 सेमी

व्याख्या

कोज्या के लिए त्रिक-कोण सर्वसमिका का उपयोग करके: cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A

हम sin²A + cos²A = 1 सर्वसमिका का उपयोग करके 3 cos A को फिर से लिख सकते हैं: 3 cos A = 3 (1 - sin²A) cos A 3 cos A = 3 cos A - 3 sin²A cos A

लेकिन आइए cos 3A + 3 sin²A cos A को व्यक्त करें: cos 3A + 3 sin²A cos A = (4 cos³A - 3 cos A) + 3 (1 - cos²A) cos A cos 3A + 3 sin²A cos A = 4 cos³A - 3 cos A + 3 cos A - 3 cos³A cos 3A + 3 sin²A cos A = cos³A

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² + (a + b)² = 2(a² + b²) को व्यंजक (1 - tan A)² + (1 + tan A)² पर लागू करने पर:

(1 - tan A)² + (1 + tan A)² = 2(1² + tan² A) = 2(1 + tan² A)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A = 1 + tan² A का उपयोग करके, हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

2(1 + tan² A) = 2 sec² A

व्याख्या

भार से ऊँचाई का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम किलोग्राम में भार को मीटर में ऊँचाई से विभाजित करते हैं। अंजलिका के लिए, यह अनुपात है:

अनुपात = 51 / 1.72 ≈ 29.65

चूंकि 29.65 चारों व्यक्तियों में सबसे छोटा अनुपात है, इसलिए अंजलिका का भार से ऊँचाई का अनुपात सबसे कम है।

व्याख्या

प्रतिशत लाभ वर्ष 2011 में सबसे कम है, जो कि 5% है।

लाभ प्रतिशत का मानक सूत्र है: लाभ % = (राजस्व - व्यय) / व्यय × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 5 = (राजस्व - 450) / 450 × 100

5/100 = (राजस्व - 450) / 450

0.05 × 450 = राजस्व - 450

22.5 = राजस्व - 450

राजस्व = 450 + 22.5 = 472.5 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या की गणना समाज में घरों की कुल संख्या से सभी घरों में बच्चों की कुल संख्या को विभाजित करके की जाती है।

घरों की कुल संख्या है: 7 + 9 + 20 + 3 = 39

बच्चों की कुल संख्या है: (0 × 7) + (1 × 9) + (2 × 20) + (3 × 3) = 0 + 9 + 40 + 9 = 58

बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 58 ÷ 39 ≈ 1.487

इस परिणाम को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.49 प्राप्त होता है।

व्याख्या

तीन बीजीय व्यंजकों का योग ज्ञात करने के लिए, हम x, y और z के समान पदों को समूहित करते हैं और जोड़ते हैं।

x-पदों के लिए: 4x + x - 2x = 3x

y-पदों के लिए: 3y - y - 3y = -y

z-पदों के लिए: -7z - z + 4z = -4z

इन पदों को मिलाने पर कुल योग 3x - y - 4z प्राप्त होता है।

व्याख्या

कार की औसत गति की गणना सूत्र गति = दूरी / समय का उपयोग करके की जाती है। 342 किमी की दूरी और 1.9 घंटे के समय को देखते हुए, किलोमीटर प्रति घंटे में गति 342 / 1.9 है जो 180 किमी/घंटा के बराबर है। इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, मान को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें। इससे 180 × 5/18 प्राप्त होता है जो 50 मी/से के बराबर है।

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन के एक किनारे की लंबाई को दर्शाता है।

यह देखते हुए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

6a² = 486

दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर: a² = 81

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर किनारे की लंबाई प्राप्त होती है: a = 9 सेमी

एक घन में कुल 12 किनारे होते हैं। इसके सभी किनारों की लंबाई का योग सूत्र 12a द्वारा दिया जाता है:

किनारों का योग = 12 × 9 = 108 सेमी

व्याख्या

कुल ₹104000 के लाभ को अशोक, बिमला और चिराग के बीच 6:4:3 के अनुपात में साझा किया जाता है।

अनुपात के भागों का योग 6 + 4 + 3 = 13 है।

लाभ में चिराग का हिस्सा कुल 13 भागों में से 3 भागों द्वारा दर्शाया गया है।

चिराग का हिस्सा = 104000 × 3/13 = 8000 × 3 = 24000।

व्याख्या

भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर का उपयोग करके संयोजित करने पर, व्यंजक बन जाता है:

x = ((1 + sinA)² + cos²A) / (cosA(1 + sinA))

अंश में वर्ग पद का विस्तार करने पर:

x = (1 + 2sinA + sin²A + cos²A) / (cosA(1 + sinA))

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करने पर, अंश सरल हो जाता है:

x = (1 + 2sinA + 1) / (cosA(1 + sinA))

x = (2 + 2sinA) / (cosA(1 + sinA))

अंश में 2 को उभयनिष्ठ लेने पर:

x = 2(1 + sinA) / (cosA(1 + sinA))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (1 + sinA) को रद्द करने पर:

x = 2 / cosA

चूंकि 1/cosA = secA:

x = 2secA