एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सबसे पहले, सभी सात दिनों की दूरियों को जोड़कर सप्ताह के दौरान जॉगिंग की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 4.5 + 0.5 + 1.5 + 2.5 + 4 + 4 + 3.5 = 20.5 किमी

प्रति किलोमीटर कैलोरी बर्न दर है: दर = 400 कैलोरी / 5 किमी = 80 कैलोरी प्रति किमी

सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, कुल दूरी को कैलोरी बर्न दर से गुणा करें: कुल कैलोरी बर्न = 20.5 किमी × 80 कैलोरी प्रति किमी = 1640 कैलोरी

व्याख्या

कुल व्यय में किराया और कर का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले सभी वार्षिक व्यय का योग ज्ञात करें:

कुल व्यय = कच्चा माल + श्रम + किराया + ब्याज + कर कुल व्यय = 7 + 6 + 5 + 5 + 3 = 26 लाख

अगला, किराया और कर का संयुक्त व्यय ज्ञात करें:

किराया और कर = किराया + कर किराया और कर = 5 + 3 = 8 लाख

अब, कुल व्यय के सापेक्ष किराया और कर का प्रतिशत निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करें:

प्रतिशत = (किराया और कर / कुल व्यय) × 100 प्रतिशत = (8 / 26) × 100 ≈ 30.77%

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर दोनों एक ही समय पर दौड़ना शुरू करते हैं और तब तक दौड़ते हैं जब तक पुलिसकर्मी चोर को पकड़ नहीं लेता, इसलिए दोनों के लिए यात्रा का समय स्थिर है।

जब समय स्थिर होता है, तो तय की गई दूरी गति के सीधे आनुपातिक होती है: दूरी ∝ गति

इसलिए, पुलिसकर्मी (D_p) द्वारा तय की गई दूरी और चोर (D_t) द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात उनकी संबंधित गति (V_p और V_t) के अनुपात के बराबर होता है: D_p / D_t = V_p / V_t

दिया गया है: V_p = 9 किमी/घंटा V_t = 5 किमी/घंटा D_p = D_t + 400 (क्योंकि पुलिसकर्मी चोर से 400 मीटर पीछे से शुरू करता है)

अनुपात में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (D_t + 400) / D_t = 9 / 5

D_t के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 5 × (D_t + 400) = 9 × D_t 5 × D_t + 2000 = 9 × D_t 4 × D_t = 2000 D_t = 500 मीटर

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में तोड़कर हल किया जाता है।

सबसे पहले, बाईं ओर की असमानता को हल करना: 2x - 3(4 - 2x) < 4x - 5 2x - 12 + 6x < 4x - 5 8x - 12 < 4x - 5 4x < 7 x < 1.75

दूसरा, दाईं ओर की असमानता को हल करना: 4x - 5 < 4x + 2x/3 -5 < 2x/3 -15 < 2x x > -7.5

इन दोनों परिणामों को मिलाने पर अंतराल प्राप्त होता है: -7.5 < x < 1.75

मान 0 इस अंतराल में आता है क्योंकि -7.5 < 0 < 1.75।

व्याख्या

हम tan A और cot A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: tan A = sin A / cos A cot A = cos A / sin A

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan A + cot A = (sin A / cos A) + (cos A / sin A)

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं: tan A + cot A = (sin²A + cos²A) / (sin A cos A)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके: tan A + cot A = 1 / (sin A cos A)

अब, इसे x के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 1 / (tan A + cot A) = 1 / (1 / (sin A cos A)) = sin A cos A

यह cos A sin A के समतुल्य है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु समलम्ब में, दो गैर-समानांतर भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, जिससे आधार कोण बराबर हो जाते हैं। यदि ABCD एक समद्विबाहु समलम्ब है जिसकी समानांतर भुजाएँ AB और CD हैं, तो AB आधार को साझा करने वाले क्रमागत कोण (कोण A और कोण B) सर्वांगसम होते हैं। इसी तरह, CD आधार को साझा करने वाले क्रमागत कोण (कोण C और कोण D) भी सर्वांगसम होते हैं। चूँकि चतुर्भुज में क्रमागत कोण वे होते हैं जो एक उभयनिष्ठ भुजा साझा करते हैं, आधार कोणों के ये दो जोड़े सर्वांगसम क्रमागत कोणों के कम से कम दो जोड़े बनाते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए परीक्षा के अधिकतम अंक M हैं।

उत्तीर्ण अंक M का 25% है। चूँकि छात्र को 47 अंक प्राप्त होते हैं और वह 43 अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाता है, उत्तीर्ण अंक प्राप्त अंकों और कमी का योग है: उत्तीर्ण अंक = 47 + 43 = 90

हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: M का 25% = 90 0.25 × M = 90 M = 90 / 0.25 M = 360

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। इसलिए, विकर्ण QS, विकर्ण PR का लंब समद्विभाजक है।

सबसे पहले, PR का मध्यबिंदु ज्ञात करें, जो QS पर स्थित है: मध्यबिंदु = ((4 + (-2))/2, (2 + 0)/2) = (1, 1)

अगला, विकर्ण PR की प्रवणता ज्ञात करें: PR की प्रवणता = (0 - 2) / (-2 - 4) = -2 / -6 = 1/3

चूंकि विकर्ण QS, PR के लंबवत है, इसकी प्रवणता PR की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: QS की प्रवणता = -1 / (1/3) = -3

एक रैखिक समीकरण के बिंदु-प्रवणता रूप का उपयोग करके, (1, 1) से गुजरने वाले और प्रवणता -3 वाले विकर्ण QS का समीकरण है: y - 1 = -3(x - 1) y - 1 = -3x + 3 3x + y = 4

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a - b)² = a² + b² - 2ab

हम a² + b² को हल करने के लिए संबंध को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: a² + b² = (a - b)² + 2ab

समीकरण में a - b = 11 और ab = 24 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² = 11² + 2 × 24 a² + b² = 121 + 48 a² + b² = 169

व्याख्या

सरल ब्याज दर r को 8 वर्षों में मूलधन में प्रतिशत वृद्धि से सीधे ज्ञात किया जा सकता है: वृद्धि % = r × t 40% = r × 8 r = 5% प्रति वर्ष

2 वर्षों के लिए दर r पर मूलधन P पर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) निम्न द्वारा दिया जाता है: CI = P × ((1 + r/100)² - 1)

P = 30000 और r = 5 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: CI = 30000 × ((1 + 5/100)² - 1) CI = 30000 × ((21/20)² - 1) CI = 30000 × (441/400 - 1) CI = 30000 × 41/400 CI = 75 × 41 CI = 3075

व्याख्या

वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr द्वारा गणना की जाती है, जहाँ θ डिग्री में केंद्रीय कोण का माप है और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए चाप की लंबाई L = 11 सेमी, त्रिज्या r = 14 सेमी और π ≈ 22/7 का उपयोग करके प्रतिस्थापित करने पर:

11 = (θ / 360°) × 2 × (22/7) × 14 11 = (θ / 360°) × 2 × 22 × 2 11 = (θ / 360°) × 88

अब, θ के लिए हल करें:

θ / 360° = 11 / 88 θ / 360° = 1/8 θ = 360° / 8 θ = 45°

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट % = (छूट / अंकित मूल्य) × 100

यहाँ, अंकित मूल्य ₹1200 है और विक्रय मूल्य ₹960 है।

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 1200 - 960 = 240

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: छूट % = (240 / 1200) × 100 = 20%

व्याख्या

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके व्यंजक में प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं।

पहले पद का विस्तार: (x + 3)² = x² + 6x + 9

दूसरे पद का विस्तार: (x - 1)² = x² - 2x + 1

इन दो विस्तारित पदों को एक साथ जोड़ना: (x + 3)² + (x - 1)² = (x² + 6x + 9) + (x² - 2x + 1)

समान पदों को संयोजित करना: 2x² + 4x + 10

सामान्य गुणक 2 को बाहर निकालना: 2(x² + 2x + 5)

व्याख्या

58 और 68 के बीच स्थित अभाज्य संख्याएँ 59, 61 और 67 हैं।

इन अभाज्य संख्याओं का योग है: 59 + 61 + 67 = 187

व्याख्या

बेलनाकार पात्र से लंब वृत्तीय शंकु बनाने के लिए रेत निकालते समय रेत का आयतन स्थिर रहता है।

बेलन का आयतन = शंकु का आयतन

बेलन के आयतन का सूत्र π × r₁² × h₁ है और शंकु के आयतन का सूत्र 1/3 × π × r₂² × h₂ है।

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π × r₁² × h₁ = 1/3 × π × r₂² × h₂

दोनों पक्षों से π को रद्द करने पर: r₁² × h₁ = 1/3 × r₂² × h₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ बेलन की त्रिज्या r₁ = 4 सेमी, बेलन की ऊंचाई h₁ = 5 सेमी, और शंकु की त्रिज्या r₂ = 6 सेमी है: 4² × 5 = 1/3 × 6² × h₂ 16 × 5 = 12 × h₂ 80 = 12 × h₂ h₂ = 80/12 = 6.67 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + P) / (100 - D)

पहली स्थिति के लिए, जहाँ छूट 20% है और लाभ 28% है:

MP/CP = (100 + 28) / (100 - 20) = 128 / 80 = 1.6

दूसरी स्थिति के लिए, जहाँ छूट 14% है, नया लाभ प्रतिशत P मान लीजिए:

MP/CP = (100 + P) / (100 - 14)

समीकरण में MP/CP = 1.6 का मान रखने पर:

1.6 = (100 + P) / 86

100 + P = 1.6 × 86

100 + P = 137.6

P = 37.6%

व्याख्या

मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार, A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु P(x, y) के निर्देशांक निम्न द्वारा दिए जाते हैं:

x = (x₁ + x₂)/2 y = (y₁ + y₂)/2

सूत्र में P(2, 1) और A(11, 5) के दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:

2 = (11 + x₂)/2 4 = 11 + x₂ x₂ = -7

1 = (5 + y₂)/2 2 = 5 + y₂ y₂ = -3

बिंदु B के निर्देशांक (-7, -3) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए चयनित और अचयनित उम्मीदवारों की मूल संख्या क्रमशः 4x और x है। इस प्रकार, आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 5x है।

दी गई शर्तों के अनुसार, यदि 90 कम आवेदन करते और 20 कम चयनित होते: नए कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवार = 5x - 90 नए चयनित उम्मीदवार = 4x - 20

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 5:1 है। इसका मतलब है कि चयनित उम्मीदवारों का कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवारों से अनुपात 5:6 है।

हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: (4x - 20) / (5x - 90) = 5/6

तिरछा गुणा करके: 6 × (4x - 20) = 5 × (5x - 90) 24x - 120 = 25x - 450 25x - 24x = 450 - 120 x = 330

आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की मूल संख्या 5x = 5 × 330 = 1650 है।

व्याख्या

n क्रमागत विषम पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए, उच्चतम पूर्णांक को मानक सूत्र का उपयोग करके सीधे औसत से पाया जा सकता है:

उच्चतम पूर्णांक = औसत + (n - 1)

यह देखते हुए कि पदों की संख्या n 25 है और औसत 55 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

उच्चतम पूर्णांक = 55 + (25 - 1) उच्चतम पूर्णांक = 55 + 24 उच्चतम पूर्णांक = 79

यह संबंध इसलिए बना रहता है क्योंकि क्रमागत विषम पूर्णांक 2 के सामान्य अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। चूंकि 25 पद हैं, 55 का औसत ठीक मध्य पद के बराबर होता है, जो 13वां पद है। 25वें (उच्चतम) पद को खोजने के लिए, हम मध्य पद में 2 के सामान्य अंतर को कुल 12 बार जोड़ते हैं:

उच्चतम पद = 55 + 12 × 2 = 55 + 24 = 79

व्याख्या

मान लीजिए मूल दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है।

पहली शर्त के अनुसार, अंकों का गुणनफल 24 है: x × y = 24

दूसरी शर्त के अनुसार, संख्या में 45 जोड़ने पर उसके अंक उलट जाते हैं: 10x + y + 45 = 10y + x 9y - 9x = 45 y - x = 5 y = x + 5

गुणनफल समीकरण में y का प्रतिस्थापन करने पर: x × (x + 5) = 24 x² + 5x - 24 = 0 (x + 8)(x - 3) = 0

चूंकि x एक अंक का प्रतिनिधित्व करता है, यह एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, जिससे x = 3 प्राप्त होता है।

y ज्ञात करने के लिए x = 3 का उपयोग करने पर: y = 3 + 5 = 8

यह दहाई के अंक के रूप में 3 और इकाई के अंक के रूप में 8 देता है, जो मूल संख्या 38 बनाता है।

व्याख्या

हम कोण 11π/6 को 2π - π/6 के रूप में लिख सकते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(2π - θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: sin(11π/6) = sin(2π - π/6) = -sin(π/6)

चूंकि sin(π/6) का मानक मान ½ है, हम इसे प्रतिस्थापित करके पाते हैं: sin(11π/6) = -½

व्याख्या

बहन की केक बनाने की दर = 50 केक / 25 घंटे = 2 केक प्रति घंटा।

बहन और माँ की संयुक्त दर = 75 केक / 15 घंटे = 5 केक प्रति घंटा।

माँ की व्यक्तिगत केक बनाने की दर = संयुक्त दर - बहन की दर = 5 - 2 = 3 केक प्रति घंटा।

माँ 15 घंटे में जितने केक बना सकती है = माँ की दर × 15 घंटे = 3 × 15 = 45 केक।

व्याख्या

दो साइन के अंतर के लिए त्रिकोणमितीय योग-से-गुणन पहचान इस प्रकार व्यक्त की जाती है:

sin C - sin D = 2 cos[(C + D)/2] sin[(C - D)/2]

इस पहचान को सीधे दिए गए समीकरण x = sin C - sin D में प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

x = 2 cos[(C + D)/2] sin[(C - D)/2]

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या उस क्षेत्र में लड़कों और लड़कियों का योग है, जो 40 + 40 = 80 है।

इन 80 छात्रों में से लड़कियों की संख्या 40 है।

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में से लड़कियों का प्रतिशत इस प्रकार गणना की जाती है:

(इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या / इंजीनियरिंग में कुल छात्र) × 100 = (40 / 80) × 100 = 50%

व्याख्या

संचयी उत्पादन मान उस विशिष्ट महीने तक जनवरी से निर्मित कारों की कुल संख्या दर्शाते हैं। विशेष रूप से अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक के संचयी उत्पादन से मार्च के अंत तक के संचयी उत्पादन को घटाते हैं।

मार्च तक संचयी उत्पादन = 1630 मई तक संचयी उत्पादन = 2670

अप्रैल और मई में निर्मित कारें = मई का संचयी उत्पादन - मार्च का संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में निर्मित कारें = 2670 - 1630 = 1040

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक महीने के लिए व्यक्तिगत उत्पादन की गणना करना: अप्रैल में उत्पादन = अप्रैल का संचयी उत्पादन - मार्च का संचयी उत्पादन = 1970 - 1630 = 340 मई में उत्पादन = मई का संचयी उत्पादन - अप्रैल का संचयी उत्पादन = 2670 - 1970 = 700 अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 340 + 700 = 1040

व्याख्या

सबसे पहले, हम प्रत्येक दिन की दूरियों को जोड़कर सप्ताह के दौरान तय की गई कुल दूरी ज्ञात करते हैं: कुल दूरी = 2.5 + 4 + 2.5 + 3.5 + 0.5 + 2.5 + 1.5 = 17 किमी

इसके बाद, हम प्रति किलोमीटर कैलोरी बर्न दर की गणना करते हैं। चूँकि 5 किमी दौड़ने से 400 कैलोरी बर्न होती है, दर है: कैलोरी बर्न दर = 400 ÷ 5 = 80 कैलोरी प्रति किमी

दिए गए सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, हम कुल दूरी को कैलोरी बर्न दर से गुणा करते हैं: कुल बर्न हुई कैलोरी = 17 × 80 = 1360 कैलोरी

व्याख्या

सभी मदों के कुल व्यय की गणना प्रत्येक श्रेणी के लिए वार्षिक व्यय को जोड़कर की जाती है: कुल व्यय = 12 + 6 + 3 + 4 + 3 = 28 लाख

कच्चे माल और ब्याज का संयुक्त व्यय है: कच्चा माल + ब्याज = 12 + 4 = 16 लाख

कुल व्यय के सापेक्ष इस संयुक्त व्यय का प्रतिशत है: प्रतिशत = (16 / 28) × 100 = 57.14%

व्याख्या

मूल किराया और नया किराया 1:2 के अनुपात में हैं। इसका मतलब है कि यदि मूल किराए को 1 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है, तो नए किराए को 2 इकाइयों के रूप में दर्शाया जाता है।

मूल किराया रु. 175 दिया गया है। इसलिए, 1 इकाई रु. 175 के बराबर है।

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: किराए में वृद्धि = 2 इकाई - 1 इकाई = 1 इकाई

चूंकि 1 इकाई रु. 175 के बराबर है, इसलिए किराए में वृद्धि रु. 175 है।

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल के बीच संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

भाजक = 47 भागफल = 75 शेषफल = 18

भाज्य = (47 × 75) + 18 भाज्य = 3525 + 18 भाज्य = 3543

व्याख्या

दो बीजीय व्यंजकों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रत्येक पद का अलग-अलग विस्तार करते हैं।

पहले व्यंजक का विस्तार: 2xy(3x + 4y - 5z) = 6x²y + 8xy² - 10xyz

दूसरे व्यंजक का विस्तार: 5yz(2x - 3y) = 10xyz - 15y²z

अब, हम दोनों विस्तारित व्यंजकों को जोड़ते हैं: (6x²y + 8xy² - 10xyz) + (10xyz - 15y²z)

समान पदों को मिलाने पर, -10xyz और 10xyz पद एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं: 6x²y + 8xy² - 15y²z

व्याख्या

घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

इस सूत्र में, l, b, और h क्रमशः घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को दर्शाते हैं। दिए गए आयामों, l = 10 सेमी, b = 6 सेमी, और h = 4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (10 × 6 + 6 × 4 + 4 × 10) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (60 + 24 + 40) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 124 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 248 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ 12 सेमी की होती हैं। समचतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि एक कोण 120° है, तो आसन्न कोण 180° - 120° = 60° होगा।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को लंबवत समद्विभाजित करते हैं और आंतरिक कोणों को भी समद्विभाजित करते हैं। यह समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

बड़े कोण के सम्मुख विकर्ण लंबा विकर्ण होता है। 120° के कोण को दो 60° के कोणों में विभाजित किया जाता है, जबकि 60° के आसन्न कोण को दो 30° के कोणों में विभाजित किया जाता है।

परिणामी समकोण त्रिभुजों में से प्रत्येक में, कर्ण समचतुर्भुज की भुजा (12 सेमी) है, लंबे विकर्ण के आधे के सम्मुख कोण 60° है, और छोटे विकर्ण के आधे के सम्मुख कोण 30° है।

60° कोण के लिए साइन अनुपात का उपयोग करके: sin(60°) = (लंबे विकर्ण का आधा) / भुजा √3/2 = (लंबे विकर्ण का आधा) / 12 लंबे विकर्ण का आधा = 12 × (√3/2) = 6√3 सेमी

लंबे विकर्ण की पूरी लंबाई प्राप्त करने के लिए 2 से गुणा करें: लंबा विकर्ण = 2 × 6√3 = 12√3 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत, 5 वर्षों में राशि में प्रतिशत वृद्धि 40% है। वार्षिक साधारण ब्याज दर (R) है: R = 40% / 5 = 8% प्रति वर्ष

वैकल्पिक रूप से, साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके जहाँ SI 0.40P है: SI = (P × R × T) / 100 0.40P = (P × R × 5) / 100 R = 8%

रु. 25000 पर 8% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: CI = P × ((1 + R/100)³ - 1)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CI = 25000 × ((1 + 8/100)³ - 1) CI = 25000 × ((1.08)³ - 1) CI = 25000 × (1.259712 - 1) CI = 25000 × 0.259712 CI = 6492.8

व्याख्या

यात्रा के पहले भाग के दौरान तय की गई दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: दूरी = गति × समय

सुरेश 5 घंटे तक 50 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है, इसलिए: तय की गई दूरी = 50 किमी/घंटा × 5 घंटे = 250 किमी

कुल 410 किमी की यात्रा में शेष दूरी है: शेष दूरी = 410 किमी - 250 किमी = 160 किमी

चूंकि शेष यात्रा में 4 घंटे लगते हैं, इसलिए इस भाग के लिए गति है: गति = शेष दूरी / शेष समय = 160 किमी / 4 घंटे = 40 किमी/घंटा

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, जिसे सूत्र A = πr² द्वारा दर्शाया जाता है। जब त्रिज्या में 25% की वृद्धि होती है, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (x × y)/100

चूंकि क्षेत्रफल सूत्र में त्रिज्या का वर्ग किया जाता है, इसलिए 25% की वृद्धि दो बार लागू होती है (x = 25 और y = 25):

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 25 + 25 + (25 × 25)/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 50 + 625/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 50 + 6.25 = 56.25%

व्याख्या

विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य और हानि या लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 - हानि दर)

शुरुआत में, विक्रय मूल्य ₹1,260 है और 8% की हानि है, जिसका अर्थ है कि हानि दर 0.08 है।

क्रय मूल्य = 1260 / (1 - 0.08) = 1260 / 0.92

जब विक्रय मूल्य को ₹1,386 में बदला जाता है, तो नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात लाभ या हानि निर्धारित करता है:

अनुपात = नया विक्रय मूल्य / क्रय मूल्य अनुपात = 1386 / (1260 / 0.92) अनुपात = (1386 / 1260) × 0.92 अनुपात = 1.1 × 0.92 = 1.012

1.012 का अनुपात का अर्थ है कि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 101.2% है। यह निम्नलिखित लाभ के अनुरूप है:

(1.012 - 1) × 100 = 1.2% लाभ

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए व्यंजक के अंश और हर दोनों को (1 - sinA) से गुणा करते हैं:

x = (1 - sinA) / (1 + sinA)

x = ((1 - sinA) × (1 - sinA)) / ((1 + sinA) × (1 - sinA))

x = (1 - sinA)² / (1 - sin²A)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin²A = cos²A का उपयोग करते हुए, हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x = (1 - sinA)² / cos²A

पूरी भिन्न के लिए वर्ग को उभयनिष्ठ घात के रूप में लेने पर:

x = ((1 - sinA) / cosA)²

कोष्ठक के अंदर के पदों को अलग करने पर:

x = (1/cosA - sinA/cosA)²

व्युत्क्रम सर्वसमिका secA = 1/cosA और भागफल सर्वसमिका tanA = sinA/cosA लागू करने पर:

x = (secA - tanA)²

व्याख्या

दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग 90° हो। माना कि आवश्यक कोण का माप x है। इसका पूरक कोण 90° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने पूरक कोण का तिगुना है: x = 3(90° - x)

समीकरण को हल करने पर: x = 270° - 3x 4x = 270° x = 270°/4 x = 67.5°

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

दिए गए क्षेत्रफल 36√3 वर्ग सेंटीमीटर को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

36√3 = (√3 / 4) × a²

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर:

36 = ¼ × a²

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर:

a² = 144

वर्गमूल लेने पर:

a = 12 सेमी

व्याख्या

रेडियन में कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए, जहाँ सुपरस्क्रिप्ट c वृत्तीय माप को दर्शाता है:

cos(π/4) = 1/√2 tan(π/4) = 1

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cos(π/4) - tan(π/4) x = 1/√2 - 1

सामान्य हर √2 लेने पर: x = (1 - √2)/√2

व्याख्या

सेकेंट और टैनजेंट को जोड़ने वाली मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec²A - tan²A = 1

इस समीकरण को tan²A को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan²A = sec²A - 1

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: tan A = √(sec²A - 1)

tan A = x को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = √(sec²A - 1)

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

छूट % = (1500 - 1250) / 1500 × 100 छूट % = 250 / 1500 × 100 छूट % = 1/6 × 100 छूट % = 16.67%

व्याख्या

ढलान m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

tan θ = |(m₂ - m₁) / (1 + m₁ m₂)|

दिए गए ढलान m₁ = 1 और m₂ = √3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = (√3 - 1) / (1 + 1 × √3) = (√3 - 1) / (√3 + 1)

हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को √3 - 1 से गुणा करने पर:

tan θ = (√3 - 1)² / (3 - 1) = (3 + 1 - 2√3) / 2 = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

चूंकि tan 15° = 2 - √3, इसलिए दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण θ 15° है।

व्याख्या

परिमल 10 दिनों में काम का 1/4 भाग पूरा करता है। इसलिए, परिमल अकेले पूरा काम 10 × 4 = 40 दिनों में पूरा कर सकता है, जिसका अर्थ है कि परिमल की 1-दिन की कार्य दर 1/40 है।

काम का शेष भाग 1 - 1/4 = 3/4 है। सलीम इस शेष 3/4 काम को 20 दिनों में पूरा करता है। इस प्रकार, सलीम अकेले पूरा काम 20 × 4/3 = 80/3 दिनों में पूरा कर सकता है, जिससे सलीम की 1-दिन की कार्य दर 3/80 हो जाती है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त 1-दिन की कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: 1/40 + 3/80 = 2/80 + 3/80 = 5/80 = 1/16।

चूंकि वे एक दिन में काम का 1/16 भाग पूरा करते हैं, इसलिए मिलकर वे 16 दिनों में पूरा काम पूरा करेंगे।

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, हम दो असमानताओं को अलग-अलग हल करते हैं और फिर उनका प्रतिच्छेदन ज्ञात करते हैं।

पहली असमानता: 4x - 7 < x - 2 दोनों पक्षों से x घटाने और दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर: 3x < 5 x < 5/3

दूसरी असमानता: 5x + 2/3 ≥ 3x + 1 दोनों पक्षों से 3x और 2/3 घटाने पर: 2x ≥ 1 - 2/3 2x ≥ 1/3 दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: x ≥ 1/6

दोनों समाधानों को मिलाकर, हमें x के लिए सीमा प्राप्त होती है: 1/6 ≤ x < 5/3

चूंकि 5/3 लगभग 1.67 है और 1/6 लगभग 0.17 है, पूर्णांक मान 1 इस अंतराल में आता है।

व्याख्या

मान लीजिए भाई और बहन की वर्तमान आयु क्रमशः x और 21 - x है।

पाँच वर्ष पूर्व, उनकी आयु x - 5 और (21 - x) - 5 थी, जिसे सरल करने पर 16 - x प्राप्त होता है।

प्रश्न के अनुसार, पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 28 था: (x - 5)(16 - x) = 28

पदों का विस्तार करने पर: 16x - x² - 80 + 5x = 28 -x² + 21x - 80 = 28 x² - 21x + 108 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड द्वारा हल करने पर: x² - 12x - 9x + 108 = 0 x(x - 12) - 9(x - 12) = 0 (x - 9)(x - 12) = 0

अतः, x = 9 या x = 12।

यदि x = 9 है, तो दूसरी आयु 21 - 9 = 12 है। यदि x = 12 है, तो दूसरी आयु 21 - 12 = 9 है। इसलिए, उनकी वर्तमान आयु 9 और 12 वर्ष है।

व्याख्या

दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए, हम विलोपन विधि का उपयोग कर सकते हैं। दो समीकरण हैं:

(1) 4x - 3y = 47 (2) 3x + y = 32

y के गुणांकों को संरेखित करने के लिए समीकरण (2) को 3 से गुणा करें:

9x + 3y = 96

अब, y को समाप्त करने के लिए इस समीकरण को समीकरण (1) में जोड़ें:

(4x - 3y) + (9x + 3y) = 47 + 96 13x = 143 x = 11

y के लिए हल करने के लिए x = 11 को समीकरण (2) में वापस प्रतिस्थापित करें:

3(11) + y = 32 33 + y = 32 y = -1

हल समुच्चय (11, -1) है।

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की कुल संख्या कुल छात्रों और लड़कियों की संख्या के बीच का अंतर है: 55 - 34 = 21 लड़के

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके, कक्षा का कुल वजन लड़कियों के कुल वजन और लड़कों के कुल वजन का योग है: कक्षा का कुल वजन = 55 × 55.2 = 3036 किग्रा लड़कियों का कुल वजन = 34 × 51 = 1734 किग्रा

लड़कों का कुल वजन कक्षा के कुल वजन और लड़कियों के कुल वजन के बीच का अंतर है: 3036 - 1734 = 1302 किग्रा

लड़कों का औसत वजन लड़कों के कुल वजन को लड़कों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1302 ÷ 21 = 62 किग्रा

व्याख्या

कुल निर्यात के बराबर कुल निर्यात वाले वर्षों के जोड़े को खोजने के लिए, हम वर्ष 2013 और 2014 के लिए तीनों कंपनियों के निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2013 के लिए: कुल निर्यात = 5000 + 2000 + 4000 = 11000 लाख रुपये

वर्ष 2014 के लिए: कुल निर्यात = 5000 + 5000 + 1000 = 11000 लाख रुपये

वर्ष 2013 और 2014 दोनों में 11000 लाख रुपये का कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

पिछले पांच वर्षों में कंपनी का कुल लाभ या हानि की गणना 2011 से 2015 तक प्रत्येक वर्ष के लिए लाभ और हानि के बीजगणितीय योग को ज्ञात करके की जाती है।

कुल लाभ/हानि = 25 + (-20) + 20 + 10 + 10 = 45

चूंकि परिणामी योग सकारात्मक है, यह 45 करोड़ रुपये के शुद्ध लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।