एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वर्ष 2015 के लिए कुल निर्यात की गणना सभी श्रेणियों के मूल्यों को जोड़कर की जाती है: 600 + 675 + 800 + 775 + 525 = 3375 मिलियन अमेरिकी डॉलर। सॉफ्टवेयर निर्यात का हिस्सा 675 मिलियन अमेरिकी डॉलर है, जो कुल निर्यात का (675 / 3375) * 100 = 20 प्रतिशत है।

व्याख्या

असमानताओं की दी गई प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है।

पहली असमानता है: 5x - 3(4 - x) < 4x - 4 5x - 12 + 3x < 4x - 4 8x - 12 < 4x - 4 4x < 8 x < 2

दूसरी असमानता है: 4x - 4 < 4x + 2x/3 -4 < 2x/3 -12 < 2x -6 < x

दोनों परिणामों को मिलाने पर प्राप्त होता है: -6 < x < 2

इस अंतराल के भीतर केवल मान 1 आता है।

व्याख्या

किसी भी बिंदु (x, y) का x-अक्ष के पार प्रतिबिंब x-निर्देशांक को समान रखता है जबकि y-निर्देशांक को ऋणात्मक कर देता है, जिससे निर्देशांक (x, -y) में बदल जाते हैं। इस नियम को दिए गए बिंदु (-1, 4) पर लागू करने पर, x-निर्देशांक -1 रहता है और y-निर्देशांक -4 हो जाता है, जिससे प्रतिबिंबित निर्देशांक (-1, -4) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया समय T_E घंटे है और राजधानी ट्रेन द्वारा लिया गया समय T_R घंटे है।

पहली शर्त के अनुसार, एक्सप्रेस ट्रेन को राजधानी से 10 घंटे अधिक लगते हैं: T_E - T_R = 10

जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो उसका लिया गया समय आधा होकर T_E/2 हो जाता है। इस मामले में, उसे राजधानी से 7 घंटे कम लगते हैं: T_R - T_E/2 = 7

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर T_R समाप्त हो जाता है: T_E - T_E/2 = 10 + 7 T_E/2 = 17 T_E = 34 घंटे

पहले समीकरण में T_E = 34 को प्रतिस्थापित करने पर: 34 - T_R = 10 T_R = 24 घंटे

राजधानी की गति कुल दूरी को राजधानी द्वारा लिए गए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: राजधानी की गति = 660 / 24 = 27.5 किमी/घंटा

व्याख्या

घातांक के नियमों को लागू करते हुए, किसी भी आधार p के लिए, pᵐ × pⁿ = pᵐ⁺ⁿ और pᵐ / pⁿ = pᵐ⁻ⁿ।

सबसे पहले, समान आधार वाले पदों को गुणा करके अंश को सरल करें: (b⁵x²a³z⁴) × (b³x²a⁴z⁵) = a³⁺⁴b⁵⁺³x²⁺²z⁴⁺⁵ = a⁷b⁸x⁴z⁹

इसके बाद, इस परिणाम को हर से विभाजित करें: (a⁷b⁸x⁴z⁹) / (a²b³z²) = a⁷⁻²b⁸⁻³x⁴z⁹⁻² = a⁵b⁵x⁴z⁷

व्याख्या

एक त्रिभुज में, माध्यिका AD शीर्ष A को सम्मुख भुजा BC के मध्यबिंदु D से जोड़ने वाला रेखाखंड है।

सबसे पहले, B(3, 0) और C(5, -2) के निर्देशांकों का उपयोग करके भुजा BC के मध्यबिंदु D के निर्देशांकों की गणना करें: xD = (3 + 5)/2 = 4 yD = (0 - 2)/2 = -1 अतः, D के निर्देशांक (4, -1) हैं।

इसके बाद, बिंदु A(2, -4) और D(4, -1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें। दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है: y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) × (x - x₁)

A और D के निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: y - (-4) = ((-1 - (-4)) / (4 - 2)) × (x - 2) y + 4 = (3/2) × (x - 2)

भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 2(y + 4) = 3(x - 2) 2y + 8 = 3x - 6

पदों को मानक रैखिक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3x - 2y = 14

व्याख्या

मान लीजिए माल का अंकित मूल्य MP और लागत मूल्य CP है। खुदरा विक्रेता अंकित मूल्य पर 28% की छूट प्रदान करता है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य SP, अंकित मूल्य का 72% है: SP = 0.72 × MP

चूंकि खुदरा विक्रेता माल को लागत मूल्य पर बेचता है, इसलिए विक्रय मूल्य लागत मूल्य के बराबर है: CP = 0.72 × MP MP = CP / 0.72 ≈ 1.3888 × CP

मार्कअप प्रतिशत निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: मार्कअप % = (MP - CP) / CP × 100 मार्कअप % = (1.3888 × CP - CP) / CP × 100 = 0.3888 × 100 = 38.88%

व्याख्या

tan 300° का मान ज्ञात करने के लिए, हम चौथे चतुर्थांश में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र का उपयोग करते हैं। कोण 300° चौथे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ स्पर्शज्या फलन ऋणात्मक होता है।

सर्वसमिका tan(360° - θ) = -tan θ का उपयोग करके:

tan 300° = tan(360° - 60°) tan 300° = -tan 60°

tan 60° = √3 के मानक मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan 300° = -√3

व्याख्या

मान लीजिए कि वह संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, जब संख्या में 38 की वृद्धि की जाती है, तो वह स्वयं का 119% हो जाती है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: x + 38 = 1.19x

समीकरण के दोनों पक्षों से x घटाने पर: 0.19x = 38

x के लिए हल करने पर: x = 38 ÷ 0.19 x = 3800 ÷ 19 x = 200

व्याख्या

वार्षिक ब्याज दर (R) पर 2 वर्षों के लिए मूलधन (P) पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

यह देखते हुए कि अंतर ₹40 है और ब्याज दर 8% प्रति वर्ष है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

40 = P × (8 / 100)²

40 = P × (2 / 25)²

40 = P × (4 / 625)

P के लिए हल करना:

P = 40 × (625 / 4)

P = 10 × 625 = 6250

व्याख्या

एक समचतुर्भुज ABCD में, आसन्न भुजाएँ AB और BC लंबाई में बराबर होती हैं, जिससे त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है। चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण BCA, कोण CAB के बराबर है, जो कि 35° है। त्रिभुज ABC में कोणों का योग 180° होना चाहिए, इसलिए कोण ABC की गणना 180° - 35° - 35° = 110° के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: 1 + cot²A = cosec²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(1 + cot²A) = cosec A

व्यंजक x = cot A / √(1 + cot²A) के लिए, √(1 + cot²A) का मान रखने पर: x = cot A / cosec A

cot A और cosec A को sin A और cos A के पदों में परिवर्तित करना: cot A = cos A / sin A cosec A = 1 / sin A

x के व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करना: x = (cos A / sin A) / (1 / sin A) x = cos A

व्याख्या

माना CP क्रय मूल्य है, MP अंकित मूल्य है, D छूट प्रतिशत है, और P लाभ प्रतिशत है।

अंकित मूल्य और क्रय मूल्य के बीच छूट और लाभ के साथ संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

पहले मामले में, जब 20% की छूट दी जाती है, तो लाभ 42% होता है: MP / CP = (100 + 42) / (100 - 20) = 142 / 80 = 71 / 40

दूसरे मामले में, जब 15% की छूट दी जाती है, तो हम नया लाभ प्रतिशत P ज्ञात करते हैं: MP / CP = (100 + P) / (100 - 15) 71 / 40 = (100 + P) / 85

P के लिए हल करना: 100 + P = 85 × 71 / 40 100 + P = 17 × 71 / 8 100 + P = 1207 / 8 100 + P = 150.875 P = 50.875%

व्याख्या

व्यंजक √[(1 - cos A) / (1 + cos A)] को सरल बनाने के लिए, वर्गमूल के अंदर अंश और हर दोनों को (1 - cos A) से गुणा करें:

√[(1 - cos A) / (1 + cos A)] = √[((1 - cos A)(1 - cos A)) / ((1 + cos A)(1 - cos A))]

यह सरल हो जाता है:

√[(1 - cos A)² / (1 - cos² A)]

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम 1 - cos² A को sin² A से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

√[(1 - cos A)² / sin² A] = (1 - cos A) / sin A

भिन्न को विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

(1 / sin A) - (cos A / sin A)

व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिका का उपयोग करके जहाँ 1 / sin A = cosec A और cos A / sin A = cot A है, हमें प्राप्त होता है:

cosec A - cot A

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम बताता है कि:

भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

इस समस्या में, भाजक 38 है, भागफल 70 है, और शेषफल 12 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

संख्या = (38 × 70) + 12 संख्या = 2660 + 12 संख्या = 2672

व्याख्या

प्रारंभिक कुल संग्रह प्रारंभिक मूल्य और आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या का गुणनफल है, जबकि नया कुल संग्रह नए मूल्य और आगंतुकों की नई संख्या का गुणनफल है।

यह देखते हुए कि टिकट की कीमत 17:19 के अनुपात में बदलती है, और आगंतुकों की संख्या 11:10 के अनुपात में बदलती है:

प्रारंभिक संग्रह अनुपात इकाई = 17 × 11 = 187 नई संग्रह अनुपात इकाई = 19 × 10 = 190

चूंकि 190, 187 से बड़ा है, कुल संग्रह में वृद्धि हुई है। इसलिए, कुल संग्रह 187:190 के अनुपात में बढ़ा है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि इसके सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सम्मुख कोण वृत्त के पूरक चापों को बनाते हैं जिनका योग मिलकर 360° होता है। चूँकि एक अंतर्लिखित कोण अपने द्वारा रोके गए चाप के माप का आधा होता है, इसलिए दो सम्मुख अंतर्लिखित कोणों का योग 360° का आधा होता है, जो 180° के बराबर होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं के योग, उनके वर्गों के योग और उनके गुणनफल को जोड़ने वाली बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b)² = a² + b² + 2ab

दिए गए मानों, a + b = -8 और a² + b² = 34 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (-8)² = 34 + 2ab 64 = 34 + 2ab

ab के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2ab = 64 - 34 2ab = 30 ab = 15

व्याख्या

किसी भी n क्रमागत सम या विषम पूर्णांकों के लिए, उनके औसत और सबसे बड़े पूर्णांक के बीच का संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

सबसे बड़ा पूर्णांक = औसत + (n - 1)

यहाँ, औसत 50 है और पूर्णांकों की संख्या, n, 19 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

सबसे बड़ा पूर्णांक = 50 + (19 - 1) = 50 + 18 = 68

व्याख्या

जब समांतर श्रेणी का प्रथम पद, अंतिम पद और पदों की संख्या ज्ञात हो, तो समांतर श्रेणी के योग का सूत्र Sₙ = (n/2) × (a + l) होता है, जहाँ n पदों की संख्या है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है।

दिया गया है कि a = 25, l = -52, और n = 12, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

S₁₂ = (12/2) × (25 + (-52))

S₁₂ = 6 × (-27)

S₁₂ = -162

व्याख्या

एक खोखले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शीर्ष वृत्ताकार वलय के क्षेत्रफल का योग होता है।

सूत्र: TSA = 2πR² + 2πr² + π(R² - r²) TSA = π(3R² + r²)

यहाँ, आंतरिक त्रिज्या r 9 सेमी है। 1 सेमी की मोटाई के साथ, बाहरी त्रिज्या R, r + 1 = 10 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: TSA = π(3 × 10² + 9²) TSA = π(3 × 100 + 81) TSA = 381π

π = 22/7 का मान प्रयोग करने पर: TSA = 381 × 22/7 TSA = 8382/7 TSA ≈ 1197.42 वर्ग सेमी

व्याख्या

पंकज 12 दिनों में काम का ½ भाग पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह अकेले पूरा काम करने में 12 × 2 = 24 दिन लेता है। काम करने की उसकी दर प्रति दिन 1/24 काम है।

सैनाथ शेष ½ काम को 6 दिनों में पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि वह अकेले पूरा काम करने में 6 × 2 = 12 दिन लेता है। काम करने की उसकी दर प्रति दिन 1/12 काम है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो काम करने की उनकी संयुक्त दर प्रति दिन होती है: 1/24 + 1/12 = 1/24 + 2/24 = 3/24 = 1/8

चूंकि काम करने की उनकी संयुक्त दर प्रति दिन 1/8 काम है, इसलिए काम को एक साथ पूरा करने में लगने वाले दिनों की कुल संख्या इस दर का व्युत्क्रम है, जो कि 8 दिन है।

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रतिशत = (इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या / इंजीनियरिंग में कुल छात्र) × 100

दिए गए डेटा तालिका से, इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या 25 है और इंजीनियरिंग चुनने वाले लड़कों की संख्या 65 है।

इंजीनियरिंग में कुल छात्र = 65 + 25 = 90

प्रतिशत = (25 / 90) × 100 = 27.77%

एक दशमलव स्थान तक छोटा करने पर 27.7% प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी दिए गए महीने के अंत में संचयी उत्पादन उस अवधि की शुरुआत से लेकर उस महीने के अंत तक निर्मित कारों की कुल संख्या को दर्शाता है।

अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत में संचयी उत्पादन से मार्च के अंत में संचयी उत्पादन घटाते हैं।

अप्रैल और मई में उत्पादन = मई में संचयी उत्पादन - मार्च में संचयी उत्पादन

तालिका से: मई में संचयी उत्पादन = 2620 मार्च में संचयी उत्पादन = 1520

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अप्रैल और मई में उत्पादन = 2620 - 1520 = 1100

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना प्रत्येक महीने के लिए व्यक्तिगत उत्पादन ज्ञात करके की जा सकती है: अप्रैल में उत्पादन = अप्रैल में संचयी उत्पादन - मार्च में संचयी उत्पादन = 1970 - 1520 = 450 मई में उत्पादन = मई में संचयी उत्पादन - अप्रैल में संचयी उत्पादन = 2620 - 1970 = 650 अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 450 + 650 = 1100

व्याख्या

दिए गए सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक दिन की दूरियों को जोड़कर जॉगिंग की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 3 + 3 + 2 + 2 + 3.5 + 2 + 3.5 = 19 किमी

कैलोरी बर्न होने की दर 5 किमी जॉगिंग के लिए 400 कैलोरी है। इससे प्रति किलोमीटर बर्न हुई कैलोरी इस प्रकार है: 400 ÷ 5 = 80 कैलोरी प्रति किमी

सप्ताह में जॉगिंग की गई कुल दूरी को इस दर से गुणा करके बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करें: बर्न हुई कुल कैलोरी = 19 किमी × 80 कैलोरी प्रति किमी = 1520 कैलोरी

व्याख्या

कच्चे माल और ब्याज पर खर्च किए गए कुल व्यय का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी मदों के मानों को जोड़कर कुल वार्षिक व्यय की गणना करें: कुल व्यय = 4 + 3 + 4 + 6 + 1 = 18 लाख

इसके बाद, कच्चे माल और ब्याज के संयुक्त व्यय का पता लगाएं: कच्चा माल और ब्याज = 4 + 6 = 10 लाख

अब, आवश्यक प्रतिशत की गणना करें: प्रतिशत = (10 / 18) × 100 = 55.56%

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, जैसा कि सूत्र A = πr² द्वारा दिया गया है। जब कोई मात्रा चर के वर्ग पर निर्भर करती है, तो उस चर में x% की वृद्धि के परिणामस्वरूप क्रमिक प्रतिशत वृद्धि होती है। इसकी गणना सीधे प्रभावी प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + ab/100

चूंकि क्षेत्रफल गणना के दोनों आयामों में त्रिज्या 15% बढ़ जाती है, हम सूत्र में a = 15 और b = 15 प्रतिस्थापित करते हैं:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 15 + 15 + (15 × 15)/100 = 30 + 2.25 = 32.25%

व्याख्या

बिना किसी योजना या छूट के, 17 वयस्कों और 7 बच्चों के समूह के लिए कुल मूल लागत की गणना इस प्रकार की जाती है: 17 वयस्क टिकटों की लागत = 17 × 1600 रुपये = 27200 रुपये 7 बच्चे टिकटों की लागत = 7 × 600 रुपये = 4200 रुपये कुल मूल लागत = 27200 रुपये + 4200 रुपये = 31400 रुपये

प्रस्ताव के अनुसार, दो वयस्कों के साथ 1 बच्चा मुफ्त जाता है। 17 वयस्कों के लिए, मुफ्त बच्चों की अधिकतम संख्या floor(17 / 2) = 8 है। चूंकि समूह में 7 बच्चे हैं, सभी 7 बच्चे मुफ्त में प्रवेश कर सकते हैं।

समूह द्वारा प्राप्त बचत (छूट) 7 बच्चे टिकटों की लागत है: छूट = 7 × 600 रुपये = 4200 रुपये

छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: छूट प्रतिशत = (छूट / कुल मूल लागत) × 100 छूट प्रतिशत = (4200 / 31400) × 100 = 4200 / 314 ≈ 13.37%

व्याख्या

0.ababab... के रूप में किसी भी आवर्ती दशमलव को जिसमें दो अंकों का आवर्ती पैटर्न होता है, सीधे ab/99 भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस मामले में, आवर्ती ब्लॉक 09 है। इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

0.090909... = 09/99 = 9/99

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 9 है, से विभाजित करने पर भिन्न 1/11 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

लाभ को आशय, भैरव और चेतन के बीच 4:3:6 के अनुपात में विभाजित किया गया है।

चेतन का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम पहले अनुपात में भागों की कुल संख्या की गणना करते हैं: कुल भाग = 4 + 3 + 6 = 13 भाग

135200 रुपये का कुल लाभ इन 13 भागों के बराबर है। इसलिए, 1 भाग का मान है: 1 भाग का मान = 135200 ÷ 13 = 10400

चेतन को लाभ का 6 भाग मिलता है: चेतन का हिस्सा = 6 × 10400 = 62400

व्याख्या

एक घन में 12 बराबर किनारे होते हैं। यदि घन के एक किनारे की लंबाई 'a' है, तो उसके सभी किनारों की लंबाई का योग का सूत्र है:

किनारों का योग = 12a

दिया गया है कि किनारों का योग 84 सेमी है, हम घन के किनारे की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

12a = 84

a = 84 / 12 = 7 सेमी

घन का आयतन V, सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

V = a³

किनारे की लंबाई का मान सूत्र में रखने पर:

V = 7³ = 343 घन सेमी

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

चूंकि पहली संख्या तीसरी संख्या से 30% कम है, इसका मान है: 100 - 30 = 70

चूंकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 60% कम है, इसका मान है: 100 - 60 = 40

पहली और दूसरी संख्या के बीच का अंतर है: 70 - 40 = 30

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे 30 बढ़ाया जाना चाहिए। दूसरी संख्या के आधार पर आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: (अंतर / दूसरी संख्या) × 100 = (30 / 40) × 100 = 75%

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ विभिन्न गतियों से समान दूरी तय करती हैं, तो दूरी की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी = (s₁ × s₂) / (s₂ - s₁) × Δt

जहाँ s₁ और s₂ दो कारों की गति हैं और Δt लिया गया समय का अंतर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

s₁ = 30 किमी/घंटा s₂ = 45 किमी/घंटा Δt = 2.5 घंटे

दूरी = (30 × 45) / (45 - 30) × 2.5

दूरी = 1350 / 15 × 2.5

दूरी = 90 × 2.5 = 225 किमी

व्याख्या

पहली असमानता को हल करना: 7x + 2 ≥ x - 2 6x ≥ -4 x ≥ -2/3

दूसरी असमानता को हल करना: 7 + 2x ≥ 3 + 3x 4 ≥ x x ≤ 4

दोनों शर्तों को मिलाने पर अंतराल प्राप्त होता है: -2/3 ≤ x ≤ 4

मान 3 इस सीमा [-2/3, 4] के भीतर आता है, जिससे यह x के लिए एक मान्य मान बन जाता है।

व्याख्या

मूल किराया और नया किराया 5:11 के अनुपात में हैं।

मान लीजिए मूल किराया 5x है और नया किराया 11x है।

दिया गया है कि मूल किराया रु 275 है: 5x = 275 x = 55

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: किराए में वृद्धि = 11x - 5x = 6x

x का मान रखने पर, किराए में वृद्धि है: 6 × 55 = 330

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में cosA = 1/secA प्रतिस्थापित करने पर:

x = (1 + cosA) / (1 - cosA) x = (1 + 1/secA) / (1 - 1/secA) x = (secA + 1) / (secA - 1)

अंश और हर दोनों को (secA - 1) से गुणा करने पर:

x = (secA + 1)(secA - 1) / (secA - 1)² x = (sec²A - 1) / (secA - 1)²

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²A - 1 = tan²A का उपयोग करने पर:

x = tan²A / (secA - 1)²

व्याख्या

सबसे पहले, साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके ब्याज दर ज्ञात करें। 8 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज मूलधन (P) का 40% है।

SI = P × R × T / 100

0.4P = P × R × 8 / 100

R = 40 / 8 = 5% प्रति वर्ष

5% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम संचयी प्रभावी दर की गणना कर सकते हैं:

प्रभावी दर = R + R + (R × R) / 100

प्रभावी दर = 5 + 5 + (5 × 5) / 100 = 10.25%

अब, इस प्रभावी दर पर रु. 36,000 पर चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें:

चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन × प्रभावी दर / 100

चक्रवृद्धि ब्याज = 36000 × 10.25 / 100 = 360 × 10.25 = 3690

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक मूल होते हैं यदि उसका विविक्तकर, D = b² - 4ac, शून्य से बड़ा या उसके बराबर हो (D ≥ 0)।

समीकरण 2x² + 7x + 6 = 0 के लिए, गुणांक a = 2, b = 7, और c = 6 हैं।

विविक्तकर की गणना: D = 7² - 4 × 2 × 6 D = 49 - 48 D = 1

चूंकि D = 1 है, जो शून्य से बड़ा है, इसलिए समीकरण के वास्तविक मूल हैं।

व्याख्या

N वस्तुएँ खरीदने और M वस्तुएँ मुफ्त पाने के प्रस्ताव पर प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या ÷ प्राप्त वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

इस परिदृश्य में, ग्राहक 4 दुपट्टे खरीदता है और 1 दुपट्टा मुफ्त पाता है, जिसका अर्थ है कि वे 4 के लिए भुगतान करते हुए कुल 5 दुपट्टे (4 + 1) प्राप्त करते हैं।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट % = (1 ÷ 5) × 100 = 20%

प्रत्येक दुपट्टे का व्यक्तिगत मूल्य प्रतिशत गणना के लिए अप्रासंगिक है, क्योंकि छूट और कुल मूल्य का अनुपात स्थिर रहता है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु समलंब को एक चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें समानांतर भुजाओं का एक जोड़ा और गैर-समानांतर भुजाओं का एक जोड़ा होता है जो लंबाई में बराबर होते हैं। यदि हम एक समद्विबाहु समलंब ABCD पर विचार करते हैं जहाँ भुजा AB, भुजा CD के समानांतर है, और भुजा AD, भुजा BC के बराबर है, तो समानांतर भुजाओं से सटे आधार कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠ADC = ∠BCD। त्रिभुज ACD और BDC में, AD = BC, CD एक उभयनिष्ठ भुजा है, और सम्मिलित कोण ∠ADC और ∠BCD बराबर हैं। भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, त्रिभुज ACD, त्रिभुज BDC के सर्वांगसम है। यह सर्वांगसमता सीधे तौर पर यह दर्शाती है कि उनके संगत भाग बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि विकर्ण AC और BD लंबाई में बराबर हैं, या सर्वांगसम हैं।

व्याख्या

दिए गए रैखिक समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करें:

9x - 6(3 - x) = 12

कोष्ठक के अंदर -6 को वितरित करें:

9x - 18 + 6x = 12

x वाले पदों को मिलाएं:

15x - 18 = 12

समीकरण के दोनों पक्षों में 18 जोड़ें:

15x = 12 + 18 15x = 30

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 15 से विभाजित करें:

x = 30/15 x = 2

व्याख्या

हम एक चर को दूसरे में प्रतिस्थापित करके रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल कर सकते हैं।

पहले समीकरण से, हम y के पदों में x को व्यक्त कर सकते हैं: x = 2y + 2

इस व्यंजक को दूसरे समीकरण में x के लिए प्रतिस्थापित करने पर: 3(2y + 2) + y = 20 6y + 6 + y = 20 7y + 6 = 20 7y = 14 y = 2

y के मान को x के लिए हमारे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 2(2) + 2 x = 6

इससे हल (6, 2) प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए आयत की लंबाई L और चौड़ाई W है।

आयत की परिधि का सूत्र है: परिधि = 2(L + W)

दी गई परिधि 140 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 140 = 2(L + W) L + W = 70 सेमी

आयत का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = L × W = 1200 वर्ग सेमी (यह मानते हुए कि 120 वर्ग सेमी के बजाय 1200 वर्ग सेमी लिखा गया था, जो एक मुद्रण त्रुटि है)

आयत का विकर्ण d है: d = √(L² + W²)

बीजगणितीय सर्वसमिका L² + W² = (L + W)² - 2LW का उपयोग करके: d² = (L + W)² - 2LW

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d² = 70² - 2(1200) d² = 4900 - 2400 d² = 2500

वर्गमूल लेने पर: d = √2500 = 50 सेमी

व्याख्या

किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 3:4:5:6 है, तो अनुपात इकाइयों का योग है:

3 + 4 + 5 + 6 = 18 इकाइयाँ

एक अनुपात इकाई का मान है:

360° ÷ 18 = 20°

सबसे बड़ा कोण अधिकतम अनुपात इकाई 6 के संगत है। इस सबसे बड़े कोण का माप है:

6 × 20° = 120°

व्याख्या

सही औसत को अंकों में शुद्ध परिवर्तन को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके गलत औसत को समायोजित करके सीधे पाया जा सकता है।

सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) / छात्रों की संख्या

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 65 + (48 - 84) / 45

सही औसत = 65 - 36 / 45

सही औसत = 65 - 0.8 = 64.2

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

जहाँ D अंतर है, P मूल राशि है, और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिया गया है: D = 405 रुपये R = 9%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

405 = P × (9 / 100)²

405 = P × (81 / 10000)

P = (405 × 10000) / 81

चूंकि 405 / 81 = 5 है:

P = 5 × 10000

P = 50000

मूल राशि 50000 रुपये है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान सूत्र द्वारा दिया जाता है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

बिंदु (-3, 1) और (x, 5) से गुजरने वाली पहली रेखा का ढलान है: m₁ = (5 - 1) / (x - (-3)) = 4 / (x + 3)

बिंदु (-2, -1) और (6, 3) से गुजरने वाली दूसरी रेखा का ढलान है: m₂ = (3 - (-1)) / (6 - (-2)) = 4 / 8 = ½

चूंकि समानांतर रेखाओं के ढलान बराबर होते हैं: m₁ = m₂ 4 / (x + 3) = ½ x + 3 = 8 x = 5

व्याख्या

माना एक जूते का विक्रय मूल्य SP है।

22 जूतों का कुल विक्रय मूल्य 22 × SP है।

दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ 6 जूतों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 6 × SP है।

मानक संबंध का उपयोग करके: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ

22 जूतों का क्रय मूल्य है: CP = 22 × SP - 6 × SP = 16 × SP

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (6 × SP / (16 × SP)) × 100 = (6/16) × 100 = (3/8) × 100 = 37.5%

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin²A + cos²A = 1

sin²A के पदों में cos²A को व्यक्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: cos²A = 1 - sin²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: cosA = √(1 - sin²A)

चूंकि यह दिया गया है कि cosA = x, cosA के लिए x को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = √(1 - sin²A)

व्याख्या

हम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मान जानते हैं: cosec 45° = √2 sin 30° = ½

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cosec 45° - sin 30° x = √2 - ½

2 का सामान्य हर लेकर, हम व्यंजक को सरल करते हैं: x = (2√2 - 1)/2