एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले इंजीनियरिंग स्ट्रीम में छात्रों की कुल संख्या की गणना करें।

कुल इंजीनियरिंग छात्र = इंजीनियरिंग में लड़के + इंजीनियरिंग में लड़कियाँ कुल इंजीनियरिंग छात्र = 75 + 20 = 95

इंजीनियरिंग के लिए opt करने वाली लड़कियों की संख्या 20 है।

अब, इन लड़कियों का कुल इंजीनियरिंग छात्रों के सापेक्ष प्रतिशत ज्ञात करें: प्रतिशत = (इंजीनियरिंग में लड़कियाँ / कुल इंजीनियरिंग छात्र) × 100 प्रतिशत = (20 / 95) × 100 प्रतिशत = 21.05%

व्याख्या

दी गई तालिका प्रत्येक माह के अंत में कारों के संचयी उत्पादन को दर्शाती है।

अप्रैल और मई के महीनों के दौरान निर्मित कारों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक के संचयी उत्पादन में से मार्च के अंत तक के संचयी उत्पादन को घटाते हैं।

मई तक संचयी उत्पादन = 2580 मार्च तक संचयी उत्पादन = 1540

अप्रैल और मई में निर्मित कारें = मई तक संचयी उत्पादन - मार्च तक संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में निर्मित कारें = 2580 - 1540 = 1040

व्याख्या

दिए गए सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सात दिनों की दूरियों को जोड़कर सप्ताह के दौरान दौड़ी गई कुल दूरी की गणना करें:

कुल दूरी = 4 + 5 + 4 + 1.5 + 4.5 + 5 + 2.5 = 26.5 किमी

यह देखते हुए कि 5 किमी दौड़ने से 400 कैलोरी बर्न होती है, प्रति किलोमीटर बर्न हुई कैलोरी की संख्या है:

प्रति किमी कैलोरी = 400 ÷ 5 = 80 कैलोरी/किमी

इस दर का उपयोग करके, 26.5 किमी की साप्ताहिक दूरी के लिए बर्न हुई कुल कैलोरी है:

कुल बर्न हुई कैलोरी = 26.5 किमी × 80 कैलोरी/किमी = 2120 कैलोरी

व्याख्या

कुल व्यय = 11 + 3 + 4 + 6 + 4 = 28 लाख

किराया और कर = 4 + 4 = 8 लाख

किराया और कर का प्रतिशत = (किराया और कर / कुल व्यय) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (8 / 28) × 100 = (2 / 7) × 100 ≈ 28.57%

व्याख्या

पतंग एक चतुर्भुज होता है जिसमें आसन्न बराबर भुजाओं के दो अलग-अलग जोड़े होते हैं। समरूपता के कारण, जिन दो शीर्षों पर बराबर भुजाएँ मिलती हैं, उन्हें जोड़ने वाला मुख्य विकर्ण समरूपता अक्ष के रूप में कार्य करता है। यह मुख्य विकर्ण दूसरे विकर्ण को लंबवत रूप से समद्विभाजित करता है। परिणामस्वरूप, प्रत्येक पतंग में, कम से कम एक विकर्ण हमेशा दूसरे को समद्विभाजित करता है।

व्याख्या

प्रभावी छूट की गणना क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

यहां, प्रारंभिक छूट d₁ 25% है और कैशबैक छूट d₂ 4% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रभावी छूट = 25 + 4 - (25 × 4)/100 प्रभावी छूट = 29 - 100/100 प्रभावी छूट = 29 - 1 प्रभावी छूट = 28%

वैकल्पिक रूप से, यदि वस्तु का अंकित मूल्य 100 है, तो 25% की छूट से मूल्य 75 हो जाता है। 75 के इस घटे हुए मूल्य पर 4% कैशबैक लागू करने पर 3 का कैशबैक मिलता है (क्योंकि 75 का 4% 3 होता है)। ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत 72 है, जो मूल मूल्य 100 पर 28% की कुल छूट दर्शाती है।

व्याख्या

133 और 112 का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए, हम यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं:

133 = 112 × 1 + 21 112 = 21 × 5 + 7 21 = 7 × 3 + 0

चूंकि शेषफल 0 हो जाता है, इस चरण का भाजक, जो कि 7 है, म.स.प. है। वैकल्पिक रूप से, दोनों संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने पर:

133 = 7 × 19 112 = 2⁴ × 7

एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 7 है, जिसकी न्यूनतम घात 1 है। अतः, म.स.प. 7 है।

व्याख्या

अंश में बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का प्रयोग करने पर, मान लीजिए x = 2a और y = 3b।

पद x² का मान (2a)² = 4a² होगा, पद y² का मान (3b)² = 9b² होगा, और मध्य पद 2xy का मान 2 × 2a × 3b = 12ab होगा।

इसलिए, अंश को सरल करने पर प्राप्त होता है: 4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)²

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (2a + 3b)² / (2a + 3b) = 2a + 3b

व्याख्या

रेखाओं x - y = -1 और 3x - 2y = 0 के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें एक साथ हल कर सकते हैं।

पहली समीकरण से, हमें प्राप्त होता है: y = x + 1

इस व्यंजक को y के स्थान पर दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3x - 2(x + 1) = 0 3x - 2x - 2 = 0 x = 2

y ज्ञात करने के लिए x के मान का उपयोग करने पर: y = 2 + 1 = 3

अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु (2, 3) है।

ढलान m और बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है: y - y₁ = m(x - x₁)

m = -½ और बिंदु (2, 3) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: y - 3 = -½(x - 2)

भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 2(y - 3) = -(x - 2) 2y - 6 = -x + 2 x + 2y = 8

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

बेलन के आधार की परिधि निम्न द्वारा दी जाती है: परिधि = 2πr

परिधि को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिधि × h

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1232 = 154 × h

ऊँचाई (h) के लिए हल करने पर: h = 1232 ÷ 154 h = 8 सेमी

यह सीधे बेलन की ऊँचाई देता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या 30 है, जो हर 3 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

सही गणना है: 30 × 10/3 = 100

गलत गणना है: 30 × 3/10 = 9

गणना में त्रुटि है: 100 - 9 = 91

प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100% प्रतिशत त्रुटि = (91 / 100) × 100% प्रतिशत त्रुटि = 91%

व्याख्या

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πr²

जहाँ θ डिग्री में केंद्रीय कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिया गया है: केंद्रीय कोण θ = 90° त्रिज्या r = 14 सेमी π का मान ≈ 22/7

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

क्षेत्रफल = (90° / 360°) × (22 / 7) × 14²

क्षेत्रफल = (1 / 4) × (22 / 7) × 196

क्षेत्रफल = (1 / 4) × 22 × 28

क्षेत्रफल = (1 / 4) × 616

क्षेत्रफल = 154 वर्ग सेमी

व्याख्या

व्यंजक (x + 9)(6 - 4x)(4x - 7) में x² के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पहले दो द्विपदों को गुणा कर सकते हैं:

(x + 9)(6 - 4x) = 6x - 4x² + 54 - 36x = -4x² - 30x + 54

अब, हम इस परिणामी द्विघात व्यंजक को तीसरे द्विपद से गुणा करते हैं:

(-4x² - 30x + 54)(4x - 7)

केवल x² के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम विस्तार में उन पदों की पहचान करते हैं जिनसे x² प्राप्त होता है:

(-4x²) को (-7) से गुणा करने पर 28x² प्राप्त होता है। (-30x) को (4x) से गुणा करने पर -120x² प्राप्त होता है।

इन दोनों पदों को जोड़ने पर:

28x² - 120x² = -92x²

इस प्रकार, x² का गुणांक -92 है।

व्याख्या

दी गई असमानताओं की प्रणाली में दो भाग हैं:

पहली असमानता: 5x - 3(2x - 7) > 3x - 1 इस व्यंजक का विस्तार और सरलीकरण करने पर: 5x - 6x + 21 > 3x - 1 -x + 21 > 3x - 1 22 > 4x x < 22/4 x < 5.5

दूसरी असमानता: 3x - 1 < 7 + 4x पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: -1 - 7 < 4x - 3x -8 < x x > -8

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x का मान सीमा को संतुष्ट करना चाहिए: -8 < x < 5.5

मान -6 इस अंतराल के भीतर सख्ती से स्थित है, जिससे यह x के लिए एक मान्य हल है।

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में गति को परिवर्तित करने के लिए, गति को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें।

मी/से में गति = किमी/घंटा में गति × 5/18

दी गई गति को प्रतिस्थापित करने पर:

मी/से में गति = 1422 × 5/18 मी/से में गति = 79 × 5 = 395 मी/से

चूंकि मिसाइल की गति 395 मीटर प्रति सेकंड है, इसलिए एक सेकंड में मिसाइल द्वारा तय की गई दूरी 395 मीटर है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल किराया 17x है और नया किराया 20x है।

मूल किराया रु. 425 दिया गया है। 17x = 425 x = 425 / 17 x = 25

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है: वृद्धि = 20x - 17x = 3x

x का मान रखने पर: वृद्धि = 3 × 25 = रु. 75

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec A = 1/cos A का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को cos A के पदों में sec A को प्रतिस्थापित करके फिर से लिखा जा सकता है:

(sec A - 1) / (sec A + 1) = (1/cos A - 1) / (1/cos A + 1)

अंश और हर दोनों में एक सामान्य हर ज्ञात करके, हमें प्राप्त होता है:

((1 - cos A) / cos A) / ((1 + cos A) / cos A)

अंश और हर दोनों के हर में सामान्य cos A पद को रद्द करने से व्यंजक सरल हो जाता है:

(1 - cos A) / (1 + cos A)

व्याख्या

कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (triple-angle identity) कोण योग सूत्र से प्राप्त की जाती है:

cos(3A) = cos(2A + A)

कोसाइन योग सूत्र cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) का उपयोग करके:

cos(2A)cos(A) - sin(2A)sin(A)

द्विगुण कोण सर्वसमिका (double-angle identities) cos(2A) = 2cos²(A) - 1 और sin(2A) = 2sin(A)cos(A) को प्रतिस्थापित करने पर:

(2cos²(A) - 1)cos(A) - (2sin(A)cos(A))sin(A) = 2cos³(A) - cos(A) - 2sin²(A)cos(A)

sin²(A) को 1 - cos²(A) से प्रतिस्थापित करने पर:

2cos³(A) - cos(A) - 2(1 - cos²(A))cos(A) = 2cos³(A) - cos(A) - 2cos(A) + 2cos³(A) = 4cos³(A) - 3cos(A)

व्याख्या

चूंकि कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या 66 है और 33 लड़कियाँ हैं, इसलिए लड़कों की संख्या भी 33 है। चूँकि लड़कियों और लड़कों की संख्या बराबर है, इसलिए पूरी कक्षा का औसत भार लड़कियों के औसत भार और लड़कों के औसत भार का सरल अंकगणितीय माध्य है।

मान लीजिए A_b लड़कों का औसत भार है।

कक्षा का औसत भार = (लड़कियों का औसत भार + लड़कों का औसत भार) / 2

66 = (61 + A_b) / 2

132 = 61 + A_b

A_b = 132 - 61 = 71 किग्रा

व्याख्या

A द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य की मात्रा 1/20 है, और B द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य की मात्रा 1/10 है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनका संयुक्त 1-दिवसीय कार्य है: 1/20 + 1/10 = 3/20

5 दिनों में, दोनों द्वारा एक साथ पूरा किया गया कार्य का अंश है: 5 × (3/20) = 15/20 = 3/4

शेष कार्य का अंश है: 1 - 3/4 = 1/4

व्याख्या

दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है। अंकों को आपस में बदलने से बनी संख्या 10y + x है।

दो-अंकीय संख्या और उसके उल्टे रूप के बीच का अंतर निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: (10y + x) - (10x + y) = 9(y - x)

दी गई शर्त के अनुसार, संख्या में 18 जोड़ने पर उसके अंकों का स्थान बदल जाता है: (10y + x) - (10x + y) = 18 9(y - x) = 18 y - x = 2

हमें यह भी दिया गया है कि अंकों का गुणनफल 15 है: x × y = 15

गुणनफल समीकरण में y = x + 2 को प्रतिस्थापित करने पर: x(x + 2) = 15 x² + 2x - 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0

चूंकि x एक अंक का प्रतिनिधित्व करता है, यह एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, जिससे x = 3 प्राप्त होता है। इस प्रकार, y = 3 + 2 = 5।

वांछित दो-अंकीय संख्या 10(3) + 5 = 35 है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(π + θ) = tan θ का प्रयोग करके, हम लिख सकते हैं:

tan(7π/6) = tan(π + π/6) = tan(π/6)

चूंकि tan(π/6) का मान 1/√3 है, हमें प्राप्त होता है:

tan(7π/6) = 1/√3

व्याख्या

लाभ प्रतिशत p और छूट प्रतिशत d दिए जाने पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध है: MP/CP = (100 + p) / (100 - d)

पहले मामले के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना, जहाँ छूट 20% है और लाभ 28% है: MP/CP = (100 + 28) / (100 - 20) = 128/80 = 1.6

इससे प्राप्त होता है: MP = 1.6 × CP

दूसरे मामले में, 13% की छूट के साथ, नया विक्रय मूल्य (SP) है: SP = MP × (100 - 13) / 100 = 0.87 × MP

MP को CP के रूप में इस समीकरण में प्रतिस्थापित करना: SP = 0.87 × 1.6 × CP = 1.392 × CP

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: Profit% = (SP - CP) / CP × 100 = (1.392 × CP - CP) / CP × 100 = 0.392 × 100 = 39.2%

व्याख्या

हम अंतिम प्रतिबिंब (-5, 1) से परिवर्तनों को पीछे की ओर ट्रेस करके R(a, b) के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

सबसे पहले, मान लीजिए R1 के निर्देशांक (x, y) हैं। X-अक्ष में किसी बिंदु का प्रतिबिंब उसके y-निर्देशांक का चिह्न बदल देता है जबकि उसके x-निर्देशांक को समान रखता है, जिसका अर्थ है कि X-अक्ष में R1(x, y) का प्रतिबिंब (x, -y) है। हमें दिया गया है कि यह प्रतिबिंब (-5, 1) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर x = -5 और -y = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है y = -1। इस प्रकार, R1 (-5, -1) है।

दूसरा, R1, R(a, b) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब है। मूल बिंदु में किसी बिंदु का प्रतिबिंब उसके दोनों निर्देशांकों के चिह्न बदल देता है, जिसका अर्थ है कि R(a, b) (-a, -b) बन जाता है। (-a, -b) की R1(-5, -1) से तुलना करने पर -a = -5 और -b = -1 प्राप्त होता है। इससे a = 5 और b = 1 प्राप्त होता है। इसलिए, बिंदु R के निर्देशांक (5, 1) हैं।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए प्रति वर्ष ब्याज की सामान्य दर R% है।

जयराज से प्राप्त साधारण ब्याज है: SI₁ = (8200 × R × 16) / 100 = 1312 R

कर्ण से प्राप्त साधारण ब्याज है: SI₂ = (4900 × R × 15) / 100 = 735 R

दोनों से प्राप्त कुल ब्याज SI₁ और SI₂ का योग है: कुल ब्याज = 1312 R + 735 R = 2047 R

दिया गया है कि कुल प्राप्त ब्याज ₹19446.5 है: 2047 R = 19446.5 R = 19446.5 / 2047 = 9.5%

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सभी मंडलों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना की जानी चाहिए।

लड़कों की कुल संख्या सभी मंडलों में लड़कों का योग है: 30 + 10 + 40 + 30 + 15 + 20 = 145

लड़कियों की कुल संख्या सभी मंडलों में लड़कियों का योग है: 40 + 20 + 10 + 10 + 15 + 20 = 115

इसलिए, लड़कों और लड़कियों का अनुपात है: 145 : 115

अनुपात को सरल बनाने के लिए दोनों पदों को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 29 : 23

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या से घटाते हैं।

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = (20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या) - (40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या)

संचयी आवृत्ति तालिका से मानों को प्रतिस्थापित करना: = 48 - 11 = 37

यह सीधे उन छात्रों की गणना देता है जिनके अंक 20 से 39 तक के अंतराल में हैं।

व्याख्या

शुद्ध औसत अंक ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाँचों विषयों में प्राप्त कुल अंकों की गणना करते हैं: कुल अंक = 70 + 55 + 30 + 35 + 60 = 250

चूंकि 5 विषय हैं, छात्र द्वारा प्राप्त प्रारंभिक औसत अंक हैं: औसत = कुल अंक / विषयों की संख्या = 250 / 5 = 50

खराब उपस्थिति के कारण इस औसत में से 5 अंक घटाने पर शुद्ध औसत प्राप्त होता है: शुद्ध औसत = 50 - 5 = 45

व्याख्या

जोड़ा जाने वाला व्यंजक ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए कि आवश्यक व्यंजक A है। दिया गया समीकरण है:

8(3x - 4y) + A = 18x - 18y

पहले पद का विस्तार करने पर:

24x - 32y + A = 18x - 18y

दोनों पक्षों से 24x - 32y घटाकर A के लिए हल करने पर:

A = (18x - 18y) - (24x - 32y)

A = 18x - 18y - 24x + 32y

समान पदों को एक साथ समूहित करने पर:

A = (18x - 24x) + (32y - 18y)

A = -6x + 14y

A = 14y - 6x

व्याख्या

एक रैखिक समीकरण का ढलान-अवरोधन रूप y = mx + c होता है, जहाँ m रेखा का ढलान है और c y-अवरोधन है।

ढलान m, उस कोण θ के स्पर्शज्या (tangent) द्वारा दिया जाता है जो रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ बनाती है: m = tan(45°) = 1

y-अवरोधन c, -3/4 के रूप में दिया गया है।

ढलान m = 1 और y-अवरोधन c = -3/4 को ढलान-अवरोधन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: y = 1x - 3/4

भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर: 4y = 4x - 3

चरों को एक तरफ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 4x - 4y = 3

व्याख्या

मान लीजिए माल का अंकित मूल्य (MP) और लागत मूल्य (CP) है।

अंकित मूल्य पर 32% की छूट की पेशकश की जाती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य (SP) है: SP = MP × (1 - 0.32) = 0.68 × MP

चूंकि खुदरा विक्रेता माल को लागत मूल्य पर बेचता है, हमारे पास है: SP = CP 0.68 × MP = CP MP = CP / 0.68

यदि हम लागत मूल्य (CP) को 100 मानते हैं: MP = 100 / 0.68 ≈ 147.05

मूल्य वृद्धि प्रतिशत उस प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करता है जिससे अंकित मूल्य लागत मूल्य से अधिक है: मूल्य वृद्धि % = ((MP - CP) / CP) × 100 मूल्य वृद्धि % = ((147.05 - 100) / 100) × 100 = 47.05%

व्याख्या

खंड सूत्र का उपयोग करके, वह अनुपात k:1 जिसमें T(3,0) बिंदुओं S(4,-2) और U(1,4) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है, x-निर्देशांक 3 को (k*1 + 4)/(k + 1) के बराबर सेट करके निर्धारित किया जाता है, जो k = 1/2 को सरल करता है, या 1:2 का अनुपात। यह y-निर्देशांक समीकरण द्वारा भी पुष्टि की जाती है, जो समान अनुपात देता है।

व्याख्या

हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक को सरल बना सकते हैं।

सबसे पहले, सर्वसमिका 1 + tan²A = sec²A अंश को सरल बनाती है:

(sec²A × cotA) / cosec²A

इसके बाद, प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करने पर: sec²A = 1/cos²A cotA = cosA/sinA cosec²A = 1/sin²A

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

((1/cos²A) × (cosA/sinA)) / (1/sin²A)

अंश को सरल बनाना:

(1 / (sinA × cosA)) / (1/sin²A)

हर के व्युत्क्रम से अंश को गुणा करना:

(1 / (sinA × cosA)) × sin²A

यह सरल हो जाता है:

sin²A / (sinA × cosA) = sinA / cosA = tanA

व्याख्या

दीवार बनाने के लिए आवश्यक कुल समय 70 घंटे है।

7 घंटे में, मिस्त्री द्वारा पूरी की गई दीवार का अंश, काम किए गए समय का कुल आवश्यक समय से अनुपात है: पूरा किया गया अंश = 7 / 70 = 1 / 10 = 0.1

दीवार का वह अंश जो अभी बनाया जाना बाकी है, कुल कार्य का शेष भाग है: शेष अंश = 1 - 0.1 = 0.9

व्याख्या

औसत गति का सूत्र दूरी को समय से विभाजित करना है।

किमी/घंटा में औसत गति = 216 / 3.2 = 67.5 किमी/घंटा

गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, हम 5/18 से गुणा करते हैं:

मी/से में औसत गति = 67.5 × 5/18 = 18.75 मी/से

व्याख्या

किसी संख्या के 99 से पूर्णतः विभाज्य होने के लिए, उसे 9 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

57717 की 9 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम इसके अंकों का योग ज्ञात करते हैं: 5 + 7 + 7 + 1 + 7 = 27 चूंकि 27, 9 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 9 से विभाज्य है।

57717 की 11 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: दाईं ओर से विषम स्थानों पर अंकों का योग: 7 + 7 + 5 = 19 दाईं ओर से सम स्थानों पर अंकों का योग: 1 + 7 = 8 अंतर = 19 - 8 = 11 चूंकि अंतर 11 है, जो 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 11 से विभाज्य है।

चूंकि 57717, 9 और 11 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 99 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

साधारण ब्याज दो वर्षों में समान रूप से वितरित होता है, जिसका अर्थ है कि पहले वर्ष का साधारण ब्याज 1400 / 2 = रु 700 है।

पहले वर्ष के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज के बराबर होता है, जो कि रु 700 है। दो वर्षों के लिए कुल चक्रवृद्धि ब्याज रु 1449 है, जिसका अर्थ है कि दूसरे वर्ष अर्जित ब्याज 1449 - 700 = रु 749 है।

दूसरे वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर 749 - 700 = रु 49 है। यह अंतर पहले वर्ष के रु 700 के ब्याज पर अर्जित ब्याज है।

दर (R) ज्ञात करने के लिए ब्याज सूत्र का उपयोग करना: 49 = (700 × R × 1) / 100 49 = 7 × R R = 7

इससे प्रति वर्ष 7% की ब्याज दर प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए चयनित उम्मीदवारों की संख्या 3x है और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या x है।

आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 3x + x = 4x है।

प्रश्न के अनुसार, यदि 80 कम आवेदन करते और 40 कम चयनित होते: नए कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवार = 4x - 80 नए चयनित उम्मीदवार = 3x - 40

अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या नए कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवारों में से नए चयनित उम्मीदवारों को घटाकर प्राप्त होती है: नए अचयनित उम्मीदवार = (4x - 80) - (3x - 40) = x - 40

चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात 4:1 है: (3x - 40) / (x - 40) = 4 / 1

x के लिए हल करने के लिए वज्र गुणन करने पर: 3x - 40 = 4(x - 40) 3x - 40 = 4x - 160 x = 120

आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की मूल संख्या 4x = 4 × 120 = 480 है।

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम दो दी गई असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता: 4(2x + 3) > 5 - x 8x + 12 > 5 - x 9x > -7 x > -7/9 (लगभग -0.78)

दूसरी असमानता: 5x - 3(2x - 7) > 3x - 1 5x - 6x + 21 > 3x - 1 -x + 21 > 3x - 1 22 > 4x x < 22/4 x < 5.5

दोनों असमानताओं को मिलाकर, x का मान संतुष्ट होना चाहिए: -7/9 < x < 5.5

चूंकि 5 इस अंतराल में स्थित है, यह x के लिए एक मान्य मान है।

व्याख्या

व्यंजक 2x - 11 का मान ज्ञात करने के लिए, पहले दिए गए समीकरण को हल करें:

5x - 40 = 3x

दोनों पक्षों से 3x घटाने और दोनों पक्षों में 40 जोड़ने पर:

5x - 3x = 40 2x = 40 x = 20

दूसरे व्यंजक में 2x का मान रखने पर:

2x - 11 = 40 - 11 = 29

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान होते हैं जब उसका विविक्तकर, D = b² - 4ac, शून्य के बराबर होता है।

द्विघात समीकरण 3x² - 6x + 3 = 0 के लिए, गुणांक a = 3, b = -6, और c = 3 हैं।

इन मानों को विविक्तकर सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: D = (-6)² - 4 × 3 × 3 D = 36 - 36 D = 0

चूंकि विविक्तकर शून्य के बराबर है, इस समीकरण के मूल समान हैं। यह 3 को उभयनिष्ठ लेकर 3(x² - 2x + 1) = 0 प्राप्त करके भी स्पष्ट है, जो पूर्ण वर्ग 3(x - 1)² = 0 को सरल करता है, जिससे दोहरा मूल x = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

उच्च अंक x उनके अंकों के योग (x + y) का 56% है। इसलिए, उच्च अंक और उनके अंकों के योग का अनुपात है: x / (x + y) = 56/100 = 14/25

इसका मतलब है कि यदि उनके अंकों के योग को 25 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है, तो उच्च अंक 14 इकाई है।

निम्न अंक है: 25 इकाई - 14 इकाई = 11 इकाई

इकाइयों में उनके अंकों के बीच का अंतर है: 14 इकाई - 11 इकाई = 3 इकाई

हमें दिया गया है कि उनके अंकों के बीच वास्तविक अंतर 9 है। 3 इकाई = 9 अंक 1 इकाई = 3 अंक

इस मान का उपयोग करके, दो छात्रों द्वारा प्राप्त वास्तविक अंक हैं: उच्च अंक = 14 × 3 = 42 निम्न अंक = 11 × 3 = 33

व्याख्या

स्पर्शज्या (tangent) घटाव सूत्र एक मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

tan(A - B) = sin(A - B) / cos(A - B)

दो कोणों के अंतर के ज्या (sine) और कोज्या (cosine) का विस्तार करके:

sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

इन विस्तारों को स्पर्शज्या संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

tan(A - B) = (sinA cosB - cosA sinB) / (cosA cosB + sinA sinB)

इसे स्पर्शज्या फलनों के पदों में व्यक्त करने के लिए, अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को cosA cosB से विभाजित करें:

tan(A - B) = ((sinA cosB / cosA cosB) - (cosA sinB / cosA cosB)) / ((cosA cosB / cosA cosB) + (sinA sinB / cosA cosB))

tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB)

इस प्रकार, यदि X, tan(A - B) को दर्शाता है, तो इसका मान (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

त्रिकोणमितीय फलन sec θ, cos θ का व्युत्क्रम होता है। इसलिए, sec 330° का मान 1 / cos 330° के बराबर है।

कोण 330° चौथे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ कोसाइन फलन धनात्मक होता है। त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्र का उपयोग करके:

cos(360° - θ) = cos θ

हम cos 330° को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

cos 330° = cos(360° - 30°) = cos 30°

चूंकि cos 30° का मान √3/2 होता है, इसलिए हमारे पास है:

sec 330° = 1 / (√3/2) = 2/√3

व्याख्या

त्रिभुजों के ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार, किसी भुजा की लम्बाई का उसके सम्मुख कोण की ज्या (sine) से अनुपात स्थिर रहता है:

a/sin(A) = b/sin(B)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ a = 8 सेमी, A = 45° के सम्मुख भुजा है, और b, B = 90° के सम्मुख भुजा है:

8/sin(45°) = b/sin(90°)

चूंकि sin(45°) = 1/√2 और sin(90°) = 1:

8/(1/√2) = b/1

b = 8√2 सेमी

व्याख्या

एक क्विंटल 100 किग्रा के बराबर होता है, इसलिए 22 क्विंटल गेहूं 2200 किग्रा के बराबर है।

दो भागों के अनुपात का पता लगाने के लिए मिश्रण के नियम का उपयोग करना: पहले भाग का लाभ (23%) बनाम दूसरे भाग का लाभ (33%) जिसका औसत लाभ 27% है।

23% लाभ पर बेचे गए मात्रा का 33% लाभ पर बेचे गए मात्रा से अनुपात है: (33 - 27) : (27 - 23) = 6 : 4 = 3 : 2

33% लाभ पर बेचा गया गेहूं की मात्रा है: (2 / (3 + 2)) × 2200 = (2 / 5) × 2200 = 880 किग्रा

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: व.पृ.क्षे. = 2πrh

दिए गए मानों व.पृ.क्षे. = 1386, h = 21, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: 1386 = 2 × (22/7) × r × 21

समीकरण को सरल बनाने पर: 1386 = 2 × 22 × r × 3 1386 = 132 × r r = 1386 / 132 r = 10.5 सेमी

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक (convex polyhedron) के लिए यूलर का सूत्र शीर्षों (V), किनारों (E), और फलकों (F) की संख्या को इस प्रकार संबंधित करता है:

V - E + F = 2

दिए गए मानों, V = 12 और E = 30, को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

12 - 30 + F = 2

-18 + F = 2

F = 20

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र है:

इंजीनियरिंग में लड़कियों का प्रतिशत = (इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या / इंजीनियरिंग में कुल छात्र) × 100

तालिका से: इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या = 25 इंजीनियरिंग चुनने वाले लड़कों की संख्या = 75

इंजीनियरिंग चुनने वाले कुल छात्र = 75 + 25 = 100

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत = (25 / 100) × 100 = 25%

व्याख्या

दी गई तालिका प्रत्येक माह के अंत में कारों के संचयी उत्पादन को दर्शाती है।

अप्रैल और मई के महीनों में विशेष रूप से निर्मित कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक के संचयी उत्पादन से मार्च के अंत तक के संचयी उत्पादन को घटाते हैं।

मई तक संचयी उत्पादन = 3050 मार्च तक संचयी उत्पादन = 1940

अप्रैल और मई में निर्मित कारें = 3050 - 1940 = 1110