एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सबसे पहले, प्रत्येक दिन की दूरियों को जोड़कर सप्ताह के दौरान कुल दौड़ी गई दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 3 + 2 + 2.5 + 5 + 1 + 2.5 + 4 = 20 किमी

इसके बाद, दिए गए संबंध का उपयोग करके प्रति किलोमीटर जली हुई कैलोरी की दर ज्ञात करें: प्रति किमी जली हुई कैलोरी = 400 कैलोरी / 5 किमी = 80 कैलोरी/किमी

इस दर का उपयोग करके, पूरे सप्ताह की दूरी के लिए जली हुई कुल कैलोरी की गणना करें: जली हुई कुल कैलोरी = 20 किमी × 80 कैलोरी/किमी = 1600 कैलोरी

व्याख्या

कच्चे माल और करों द्वारा दर्शाए गए कुल व्यय का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत = (लक्षित व्यय का योग / कुल व्यय) × 100

सबसे पहले, कच्चे माल और करों का योग ज्ञात करें: 11 + 3 = 14

इसके बाद, कुल वार्षिक व्यय की गणना करें: 11 + 7 + 5 + 3 + 3 = 29

अब, इन मानों को प्रतिशत सूत्र में प्रतिस्थापित करें: (14 ÷ 29) × 100 ≈ 48.28%

व्याख्या

समचतुर्भुज को चार बराबर भुजाओं वाले चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है। ज्यामिति में, समान लंबाई के रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं। इसलिए, एक समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 100 इकाई है। P की दैनिक कार्य क्षमता 100 / 50 = 2 इकाई प्रति दिन है। Q की दैनिक कार्य क्षमता 100 / 20 = 5 इकाई प्रति दिन है।

जब P और Q एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त क्षमता 2 + 5 = 7 इकाई प्रति दिन होती है।

पूरा किया जाने वाला कार्य कुल कार्य का 70% है, जो 100 का 70% = 70 इकाई है।

P और Q को एक साथ काम करते हुए 70 इकाई पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या 70 / 7 = 10 दिन है।

व्याख्या

माना कि खरीदे गए शुद्ध दूध की मात्रा 3 लीटर है। 24 रुपये प्रति लीटर की दर से, कुल क्रय मूल्य (CP) 3 × 24 = 72 रुपये है।

दूध में मिलाया गया पानी दूध की मात्रा का 1/3 है, जो कि 1/3 × 3 = 1 लीटर है। इससे मिश्रण की कुल मात्रा 3 + 1 = 4 लीटर हो जाती है। चूँकि पानी को मुफ्त माना जाता है, इसलिए इस 4-लीटर मिश्रण का CP 72 रुपये ही रहता है।

मिश्रण को 32 रुपये प्रति लीटर की दर से बेचा जाता है। इसलिए, 4 लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य (SP) 4 × 32 = 128 रुपये है।

दूधवाले द्वारा किया गया लाभ SP - CP = 128 - 72 = 56 रुपये है।

लाभ प्रतिशत की गणना (लाभ ÷ CP) × 100 = (56 ÷ 72) × 100 = (7 ÷ 9) × 100 = 77.78% के रूप में की जाती है।

व्याख्या

अर्जित कुल ब्याज वर्ष के अंत तक दोनों जमाओं पर अर्जित ब्याज का योग है।

7200 रुपये की पहली जमा राशि 1 जनवरी को की जाती है और यह प्रति छमाही 15% की दर से दो छमाही अवधियों के लिए ब्याज अर्जित करती है। चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके, इस जमा राशि के लिए अंतिम राशि है: राशि₁ = 7200 × (1 + 0.15)² = 7200 × 1.3225 = 9522 रुपये ब्याज₁ = 9522 - 7200 = 2322 रुपये

7200 रुपये की दूसरी जमा राशि 1 जुलाई को की जाती है और यह एक छमाही अवधि के लिए ब्याज अर्जित करती है: राशि₂ = 7200 × (1 + 0.15)¹ = 7200 × 1.15 = 8280 रुपये ब्याज₂ = 8280 - 7200 = 1080 रुपये

वर्ष के अंत तक अर्जित कुल ब्याज है: कुल ब्याज = ब्याज₁ + ब्याज₂ = 2322 + 1080 = 3402 रुपये

व्याख्या

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

यहाँ, दिए गए पैरामीटर हैं: क्षेत्रफल = 462 त्रिज्या (r) = 21 π = 22/7 का उपयोग करके और इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके:

462 = (θ/360°) × (22/7) × 21 × 21

दाईं ओर के पदों को सरल बनाना: 462 = (θ/360°) × 22 × 3 × 21 462 = (θ/360°) × 1386

केंद्रीय कोण θ के लिए हल करना: θ = (462 × 360°) / 1386 θ = 360° / 3 θ = 120°

व्याख्या

व्यंजक √[(1 - sinA)/(1 + sinA)] को सरल बनाने के लिए, वर्गमूल के अंदर अंश और हर दोनों को (1 - sinA) से गुणा करें:

√[(1 - sinA)/(1 + sinA)] = √[((1 - sinA)(1 - sinA)) / ((1 + sinA)(1 - sinA))]

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करें:

= √[(1 - sinA)² / (1 - sin²A)]

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin²A = cos²A का प्रयोग करें:

= √[(1 - sinA)² / cos²A]

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लें:

= (1 - sinA) / cosA

पदों को अलग करें:

= 1/cosA - sinA/cosA

व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाओं, 1/cosA = secA और sinA/cosA = tanA का प्रयोग करें:

= secA - tanA

व्याख्या

दिए गए व्यंजक (4a² + 8b + 14c + 2)/2 को सरल करने के लिए, हम अंश में प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करते हैं:

(4a² + 8b + 14c + 2)/2 = 4a²/2 + 8b/2 + 14c/2 + 2/2

प्रत्येक गुणांक को 2 से विभाजित करने पर:

4a²/2 = 2a² 8b/2 = 4b 14c/2 = 7c 2/2 = 1

इन पदों को मिलाने पर 2a² + 4b + 7c + 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजीय व्यंजक (x + 9)(6 - 4x) का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

(x + 9)(6 - 4x) = 6x - 4x² + 54 - 36x = -4x² - 30x + 54

इस विस्तारित द्विघात बहुपद में, x² वाला पद -4x² है। इसलिए, x² का गुणांक -4 है।

व्याख्या

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि उसके अलग-अलग अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

माना कि संख्या 247₆79 में लुप्त अंक x है।

संख्या के अंकों का योग: 2 + 4 + 7 + x + 6 + 7 + 9 = 35 + x

संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, व्यंजक 35 + x, 9 का गुणज होना चाहिए। 35 से बड़ा या उसके बराबर 9 का सबसे छोटा गुणज 36 है।

योग को 36 के बराबर रखने पर: 35 + x = 36 x = 36 - 35 x = 1

व्याख्या

मान लीजिए दो प्राकृत संख्याएँ x और y हैं।

प्रश्न के अनुसार, दो संख्याओं के वर्गों का योग 52 है: x² + y² = 52

4 और 6 के मानों के लिए, गणना इस प्रकार है: 4² + 6² = 16 + 36 = 52

यह दी गई योग राशि से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cot(5π/3) है, जहाँ n गणितीय स्थिरांक π को दर्शाता है।

कोण 5π/3 चौथे चतुर्थांश (300°) में स्थित है, जहाँ कोटैंजेंट फलन ऋणात्मक होता है।

हम कोण को इस प्रकार लिख सकते हैं: 5π/3 = 2π - π/3

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(2π - θ) = -cot(θ) लागू करने पर: cot(5π/3) = cot(2π - π/3) = -cot(π/3)

चूंकि cot(π/3) = 1/√3 है, हम इस मान को प्रतिस्थापित करके प्राप्त करते हैं: -cot(π/3) = -1/√3

व्याख्या

साइन फलन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (triple-angle identity) कोणों के योग सूत्र, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, का उपयोग करके प्राप्त की जाती है।

α = 2A और β = A सेट करके: sin(2A + A) = sin(2A)cos(A) + cos(2A)sin(A)

द्विकोण सूत्रों sin(2A) = 2sin(A)cos(A) और cos(2A) = 1 - 2sin²(A) का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है: sin(3A) = (2sin(A)cos(A))cos(A) + (1 - 2sin²(A))sin(A) sin(3A) = 2sin(A)cos²(A) + sin(A) - 2sin³(A)

चूंकि cos²(A) = 1 - sin²(A), हम इस संबंध को प्रतिस्थापित करते हैं: sin(3A) = 2sin(A)(1 - sin²(A)) + sin(A) - 2sin³(A) sin(3A) = 2sin(A) - 2sin³(A) + sin(A) - 2sin³(A) sin(3A) = 3sin(A) - 4sin³(A)

व्याख्या

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, दोनों समीकरणों को xy से विभाजित करें, यह मानते हुए कि x और y शून्य के बराबर नहीं हैं:

7/y + 6/x = 5 10/y - 4/x = 4

माना u = 1/y और v = 1/x। यह समीकरणों को एक रैखिक प्रणाली में बदल देता है:

7u + 6v = 5 10u - 4v = 4

दूसरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

5u - 2v = 2 2v = 5u - 2 v = (5u - 2)/2

v के इस व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

7u + 6((5u - 2)/2) = 5 7u + 3(5u - 2) = 5 7u + 15u - 6 = 5 22u = 11 u = ½

चूंकि u = 1/y है, हमें y = 2 मिलता है।

v ज्ञात करने के लिए u = ½ को वापस प्रतिस्थापित करें:

v = (5(½) - 2)/2 = (2.5 - 2)/2 = 0.5/2 = ¼

चूंकि v = 1/x है, हमें x = 4 मिलता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), विक्रय मूल्य (SP) और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (1 - छूट / 100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

728 = MP × (1 - 9 / 100) 728 = MP × 0.91 MP = 728 ÷ 0.91 MP = 800

व्याख्या

सही उत्तर: D

समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट वाली नहर का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × नहर की लंबाई

अनुप्रस्थ काट एक समद्विबाहु समलम्ब है। समलम्ब का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h जहाँ a निचली चौड़ाई है, b ऊपरी चौड़ाई है, और h नहर की गहराई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a = 3 मीटर b = 5 मीटर h = 2 मीटर

क्षेत्रफल = ½ × (3 + 5) × 2 क्षेत्रफल = ½ × 8 × 2 क्षेत्रफल = 8 वर्ग मीटर

नहर की लंबाई, l = 110 मीटर का उपयोग करके, अधिकतम क्षमता है: आयतन = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × नहर की लंबाई आयतन = 8 वर्ग मीटर × 110 मीटर आयतन = 880 घन मीटर

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 30% कम है: पहली संख्या = 100 - 30 = 70

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 37% कम है: दूसरी संख्या = 100 - 37 = 63

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे बढ़ाया जाना चाहिए: वृद्धि = 70 - 63 = 7

दूसरी संख्या के सापेक्ष आवश्यक प्रतिशत वृद्धि है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि ÷ दूसरी संख्या) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (7 ÷ 63) × 100 = 1/9 × 100 = 11.11%

व्याख्या

मान लीजिए शहर A और शहर B के बीच की दूरी d किमी है। चूँकि किसी वाहन द्वारा लिया गया समय सूत्र समय = दूरी / गति द्वारा दिया जाता है, धीमी कार द्वारा लिया गया समय d/24 घंटे और तेज कार द्वारा लिया गया समय d/32 घंटे है।

यह देखते हुए कि समय का अंतर 2.5 घंटे है, संबंध है: d/24 - d/32 = 2.5

96 का सामान्य भाजक ज्ञात करने पर: 4d/96 - 3d/96 = 2.5 d/96 = 2.5 d = 96 × 2.5 d = 240 किमी

व्याख्या

मान लीजिए रंगना और सैयद की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 5x है।

11 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 4:3 हो जाएगा। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

(7x + 11) / (5x + 11) = 4/3

x के लिए हल करने हेतु तिरछा गुणा करने पर:

3 × (7x + 11) = 4 × (5x + 11)

21x + 33 = 20x + 44

x = 11

रंगना की वर्तमान आयु 7x है। x = 11 रखने पर:

7 × 11 = 77

व्याख्या

खरीदी गई मशीनों की कुल संख्या 10 है। मशीन-A की संख्या 2 है, मशीन-B की संख्या 3 है, और शेष मशीन-C हैं, जो 10 - (2 + 3) = 5 हैं।

सभी 10 मशीनों की कुल लागत है: कुल लागत = (2 × 95000) + (3 × 60000) + (5 × 50000) कुल लागत = 190000 + 180000 + 250000 कुल लागत = 620000

मशीनों की औसत लागत है: औसत लागत = कुल लागत ÷ मशीनों की कुल संख्या औसत लागत = 620000 ÷ 10 = 62000

व्याख्या

एक सीधी रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप x/a + y/b = 1 है, जहाँ a x-अंतःखंड है और b y-अंतःखंड है।

इस समस्या में, रेखा x-अक्ष को (-3,0) पर और y-अक्ष को (0,6) पर काटती है, जिससे अंतःखंड a = -3 और b = 6 प्राप्त होते हैं।

इन मानों को अंतःखंड रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x/-3 + y/6 = 1

भिन्नों को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 6 से गुणा करें: -2x + y = 6

y के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: y = 2x + 6

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) का y-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके x-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है, जबकि y-निर्देशांक वही रहता है। इसलिए, Q(a, b) का y-अक्ष में प्रतिबिंब Q1(-a, b) देता है।

जब किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके y-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है, जबकि x-निर्देशांक वही रहता है। इसलिए, Q1(-a, b) का x-अक्ष में प्रतिबिंब निर्देशांक (-a, -b) देता है।

समस्या के अनुसार, यह अंतिम बिंदु (-6, 2) है। निर्देशांकों की तुलना करने पर: -a = -6, जिससे a = 6 प्राप्त होता है -b = 2, जिससे b = -2 प्राप्त होता है

मूल बिंदु Q(a, b) के निर्देशांक (6, -2) हैं।

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों के समग्र अनुपात का पता लगाने के लिए, हम सभी डिवीजनों और मानकों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना करते हैं।

लड़कों की कुल संख्या सभी श्रेणियों में लड़कों का योग है: 25 + 30 + 30 + 20 + 40 + 30 = 175

लड़कियों की कुल संख्या सभी श्रेणियों में लड़कियों का योग है: 40 + 40 + 20 + 30 + 20 + 20 = 170

कुल लड़कों का कुल लड़कियों से अनुपात 175 : 170 है। दोनों पदों को 5 से विभाजित करने पर 35 : 34 का सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या से घटाते हैं।

20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्र = 60 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्र = 30

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 60 - 30 = 30

व्याख्या

2013 की शुरुआत में जीडीपी, 2012 के अंत में जीडीपी के बराबर है। 2012 के अंत में जीडीपी की गणना 2011 के अंत में जीडीपी पर 2012 के वर्ष की वृद्धि दर लागू करके की जाती है।

संबंध का उपयोग करके: 2012 के अंत में जीडीपी = 2011 के अंत में जीडीपी × (1 + 2012 की वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 2011 के अंत में जीडीपी = 3 ट्रिलियन वर्ष 2012 के लिए जीडीपी वृद्धि दर = -6%

2013 की शुरुआत में जीडीपी = 3 × (1 - 6/100) 2013 की शुरुआत में जीडीपी = 3 × 0.94 = 2.82 ट्रिलियन

व्याख्या

छात्र द्वारा सभी पाँच विषयों में प्राप्त अंकों का योग है:

45 + 65 + 30 + 45 + 35 = 220

इन अंकों का औसत, कुल योग को विषयों की संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है:

औसत = 220 / 5 = 44

चूंकि खराब उपस्थिति के कारण इस औसत में से पाँच अंक काटे जाने हैं, इसलिए प्राप्त शुद्ध औसत अंक हैं:

44 - 5 = 39

व्याख्या

मान लीजिए रमिता और सत्यजीत की वर्तमान आयु क्रमशः 9x और 7x है, जहाँ x एक सामान्य गुणक है।

प्रश्न के अनुसार, 9 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 5:4 हो जाता है। हम इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

(9x + 9) / (7x + 9) = 5/4

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

4 × (9x + 9) = 5 × (7x + 9)

36x + 36 = 35x + 45

दोनों पक्षों से 35x और 36 घटाने पर प्राप्त होता है:

x = 9

रमिता की वर्तमान आयु ज्ञात करने के लिए, x के मान को उसकी वर्तमान आयु के प्रतिनिधित्व में वापस प्रतिस्थापित करें:

9x = 9 × 9 = 81 वर्ष।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: sec² A - tan² A = 1 cosec² A - cot² A = 1

इन सर्वसमिकाओं को गुणनखंडित रूप में लिखा जा सकता है: (sec A - tan A)(sec A + tan A) = 1 → sec A - tan A = 1 / (sec A + tan A) (cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = 1 → cosec A + cot A = 1 / (cosec A - cot A)

दिए गए पद में इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: (sec A - tan A) / (cosec A + cot A) = [1 / (sec A + tan A)] / [1 / (cosec A - cot A)]

भिन्न को सरल बनाने पर: = (cosec A - cot A) / (sec A + tan A)

व्याख्या

एक पतंग ABCD में, जहाँ विकर्ण AC समरूपता की धुरी है, AC शीर्ष A और C पर कोणों को समद्विभाजित करता है। इसलिए, ∠BAC = m∠A / 2 = 45° और ∠BCA = m∠C / 2 = 30°।

त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, जिससे ∠ABC = 180° - 45° - 30° = 105° प्राप्त होता है।

त्रिभुज ABC में साइन के नियम (Law of Sines) को लागू करने पर: AC / sin(∠ABC) = AB / sin(∠BCA) AC / sin(105°) = 6 / sin(30°)

चूंकि sin(30°) = ½ है, हमारे पास है: AC / sin(105°) = 12 AC = 12 × sin(105°)

साइन के योग सूत्र (sum formula for sine) का उपयोग करके, हम sin(105°) ज्ञात करते हैं: sin(105°) = sin(60° + 45°) sin(105°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°) sin(105°) = (√3/2)(1/√2) + (½)(1/√2) sin(105°) = (√3 + 1) / (2√2)

इस मान को AC के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: AC = 12 × (√3 + 1) / (2√2) AC = 6(√3 + 1) / √2 AC = 3√2(√3 + 1) AC = 3(√2 + √6) सेमी

व्याख्या

गेहूं का कुल वजन 9 क्विंटल है। चूँकि 1 क्विंटल 100 किग्रा के बराबर होता है, इसलिए गेहूं का कुल वजन 900 किग्रा है।

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, 10% लाभ और 20% लाभ पर बेची गई मात्राओं का अनुपात सीधे निर्धारित किया जा सकता है:

अनुपात = (20 - 14) : (14 - 10) = 6 : 4 = 3 : 2

इसका मतलब है कि गेहूं को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित किया गया है। 20% लाभ पर बेचा गया हिस्सा अनुपात मान 2 के अनुरूप है।

20% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है: (2 / (3 + 2)) × 900 किग्रा = 2/5 × 900 किग्रा = 360 किग्रा

व्याख्या

मान लीजिए दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ x और x + 1 हैं।

उनके वर्गों का योग समीकरण द्वारा दर्शाया गया है: x² + (x + 1)² = 25

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: x² + x² + 2x + 1 = 25 2x² + 2x - 24 = 0 x² + x - 12 = 0

इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x + 4)(x - 3) = 0

चूंकि x एक प्राकृत संख्या होनी चाहिए, ऋणात्मक हल x = -4 को छोड़ दिया जाता है, जिससे x = 3 प्राप्त होता है। इसलिए क्रमागत प्राकृत संख्याएँ 3 और 4 हैं।

व्याख्या

कारखाने द्वारा खरीदी गई मशीनों की कुल संख्या 7 है। चूँकि मशीन-ए 2 और मशीन-बी 4 हैं, मशीन-सी की शेष संख्या 7 - (2 + 4) = 1 है।

इन मशीनों की कुल लागत की गणना प्रत्येक मशीन प्रकार की मात्रा और मूल्य के गुणनफलों को जोड़कर की जाती है: कुल लागत = (2 × 56000) + (4 × 45000) + (1 × 30000) कुल लागत = 112000 + 180000 + 30000 कुल लागत = 322000

औसत लागत ज्ञात करने के लिए, कुल लागत को मशीनों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है: औसत लागत = 322000 / 7 औसत लागत = 46000

व्याख्या

बहुपद व्यंजक 6x³ + 4x² + 2x + 3 में, किसी पद का गुणांक वह संख्यात्मक गुणनखंड होता है जो चर (variable) से गुणा होता है। इस व्यंजक में, x² वाले पद 4x² है। इसलिए, x² का गुणांक 4 है।

व्याख्या

मान लीजिए बलराज की कार्यक्षमता प्रति दिन 1 इकाई है। चूँकि अज़हर, बलराज की तुलना में 4 गुना अच्छा कारीगर है, इसलिए अज़हर की कार्यक्षमता प्रति दिन 4 इकाई है।

अज़हर और बलराज की कार्यक्षमता का अनुपात 4 : 1 है। चूँकि किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए अज़हर और बलराज द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1 : 4 है।

मान लीजिए अज़हर द्वारा लिया गया समय x दिन है और बलराज द्वारा लिया गया समय 4x दिन है। लिए गए समय का अंतर 4x - x = 3x दिन है।

दिया गया है कि यह अंतर 45 दिन है: 3x = 45 x = 15

इस प्रकार, अज़हर को अकेले काम पूरा करने में 15 दिन लगते हैं और बलराज को 60 दिन लगते हैं।

कुल कार्य कार्यक्षमता को समय से गुणा करने पर प्राप्त होता है, जो कि 4 × 15 = 60 इकाई है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त कार्यक्षमता प्रति दिन 4 + 1 = 5 इकाई है।

दोनों द्वारा मिलकर काम करने में लगने वाला समय है: कुल कार्य / संयुक्त कार्यक्षमता = 60 / 5 = 12 दिन।

व्याख्या

रेखा 2x - 3y = 11 का ढलान m₁ है: m₁ = -A₁/B₁ = -2/(-3) = 2/3

रेखा 3x + ky = -4 का ढलान m₂ है: m₂ = -A₂/B₂ = -3/k

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलानों का गुणनफल -1 हो: m₁ × m₂ = -1

m₁ और m₂ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (2/3) × (-3/k) = -1 -6/3k = -1 -2/k = -1 k = 2

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक 8a²b²c² को 4a² से विभाजित करने में संख्यात्मक गुणांकों और शाब्दिक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करना शामिल है:

(8a²b²c²) ÷ (4a²) = (8 ÷ 4) × (a² ÷ a²) × b² × c²

चूंकि 8 ÷ 4 = 2 और a² ÷ a² = 1, यह सीधे सरल हो जाता है:

2 × 1 × b² × c² = 2b²c²

व्याख्या

जब बिंदु P(a, b) का मूल बिंदु में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके दोनों निर्देशांकों के चिन्ह बदल जाते हैं, जिससे P1(-a, -b) प्राप्त होता है।

जब बिंदु P1(-a, -b) का Y-अक्ष में प्रतिबिंब लिया जाता है, तो उसके x-निर्देशांक का चिन्ह उलट जाता है जबकि y-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है। इससे निर्देशांक (a, -b) प्राप्त होते हैं।

(a, -b) की तुलना दिए गए अंतिम निर्देशांक (4, -3) से करने पर: a = 4 -b = -3, जिससे b = 3 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, मूल बिंदु P(a, b) के निर्देशांक (4, 3) हैं।

व्याख्या

छात्र को 45 अंक प्राप्त हुए और वह 45 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया, जिसका अर्थ है कि आवश्यक उत्तीर्ण अंक हैं: 45 + 45 = 90 अंक

चूंकि उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों के 25% के बराबर हैं, हम संबंध स्थापित कर सकते हैं: अधिकतम अंकों का 25% = 90

अधिकतम अंक ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: अधिकतम अंक = 90 × 100 / 25 = 90 × 4 = 360 अंक

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी से यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूँकि व्यक्ति स्टीमर पर 10 घंटे अधिक समय व्यतीत करता है, इसलिए स्टीमर से यात्रा करने में लगा समय t + 10 घंटे है।

संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, तय की गई कुल दूरी के लिए समीकरण है:

65t + 25(t + 10) = 430

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर:

65t + 25t + 250 = 430

90t = 430 - 250

90t = 180

t = 2 घंटे

इस प्रकार, स्टीमर से यात्रा करने में लगा समय 2 + 10 = 12 घंटे है।

स्टीमर से तय की गई दूरी है:

25 किमी/घंटा × 12 घंटे = 300 किमी

व्याख्या

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 99999 को 89 से विभाजित करने पर, हमें शेषफल प्राप्त होता है:

99999 ÷ 89 = 1123, शेषफल 52

इस शेषफल को 99999 से घटाने पर 89 से पूर्णतः विभाज्य 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होती है:

99999 - 52 = 99947

इसकी पुष्टि 89 को 1123 से गुणा करके की जा सकती है, जो 99947 के बराबर है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: 1 + tan²A = sec²A

वर्गमूल लेने पर: √(1 + tan²A) = secA

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: √(1 + tan²A) / tanA = secA / tanA

secA और tanA को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करने पर: secA = 1/cosA tanA = sinA/cosA

दोनों पदों को विभाजित करने पर: (1/cosA) / (sinA/cosA) = 1/sinA = cosecA

व्याख्या

किसी भी मूलधन के लिए, प्रत्येक वर्ष का साधारण ब्याज समान होता है। अतः, पहले वर्ष का साधारण ब्याज है: SI₁ = 2800 / 2 = रु 1400

दो वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर, दूसरे वर्ष के दौरान पहले वर्ष के साधारण ब्याज पर अर्जित ब्याज को दर्शाता है: अंतर = CI - SI = 2996 - 2800 = रु 196

ब्याज की दर R निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: R = (अंतर / SI₁) × 100 % R = (196 / 1400) × 100 = 14%

व्याख्या

समान रूप से ढलान वाले फर्श वाले स्विमिंग पूल के आयतन की गणना समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट वाले प्रिज्म के आयतन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आयतन = समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × चौड़ाई

समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट की समानांतर भुजाएँ दो सिरों पर गहराई का प्रतिनिधित्व करती हैं, जो 1 मीटर और 3 मीटर हैं, और उनके बीच की दूरी पूल की लंबाई है, जो 20 मीटर है।

समलम्बाकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × उनके बीच की दूरी क्षेत्रफल = ½ × (1 + 3) × 20 = 40 वर्ग मीटर

इस अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को पूल की चौड़ाई (10 मीटर) से गुणा करने पर पूल को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक पानी की कुल मात्रा प्राप्त होती है:

आयतन = 40 × 10 = 400 घन मीटर

व्याख्या

सेकेंट फलन कोसाइन फलन का व्युत्क्रम है, जिसे sec θ = 1 / cos θ के रूप में परिभाषित किया गया है।

sec 4π/3 ज्ञात करने के लिए, कोण को प्रथम चतुर्थांश में एक संदर्भ कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि 4π/3 तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, इसे π + π/3 के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(π + x) = -cos x का उपयोग करके, हमारे पास है: cos(4π/3) = cos(π + π/3) = -cos(π/3)

चूँकि cos(π/3) का मान ½ है: cos(4π/3) = -½

सेकेंट मान ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर: sec(4π/3) = 1 / (-½) = -2

व्याख्या

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (θ / 360°) × π × r²

जहाँ θ केंद्रीय कोण है, r वृत्त की त्रिज्या है, और π लगभग 22/7 है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 30.8 = (72 / 360) × (22 / 7) × r²

भिन्न 72/360 को 1/5 तक सरल करने पर: 30.8 = (1 / 5) × (22 / 7) × r² 30.8 = (22 / 35) × r²

r² के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: r² = (30.8 × 35) / 22 r² = 1.4 × 35 r² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: r = 7 सेमी

व्याख्या

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले दोनों समीकरणों को xy से विभाजित करते हैं:

2/y + 6/x = 3

10/y - 3/x = 4

मान लीजिए u = 1/y और v = 1/x। यह प्रणाली को रैखिक समीकरणों में बदल देता है:

2u + 6v = 3

10u - 3v = 4

दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर:

20u - 6v = 8

इस समीकरण को 2u + 6v = 3 में जोड़ने पर v समाप्त हो जाता है:

22u = 11

u = 11/22 = ½

चूंकि u = 1/y = ½, हमें y = 2 मिलता है।

u = ½ को 2u + 6v = 3 में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

2(½) + 6v = 3

1 + 6v = 3

6v = 2

v = 2/6 = ⅓

चूंकि v = 1/x = ⅓, हमें x = 3 मिलता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य MP और क्रय मूल्य CP है।

पहले मामले में, अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य SP₁ है: SP₁ = 0.9 × MP

व्यापारी को 25% की हानि होती है, जिसका अर्थ है: SP₁ = 0.75 × CP

SP₁ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.9 × MP = 0.75 × CP CP = (0.9 / 0.75) × MP = 1.2 × MP

दूसरे मामले में, अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है, इसलिए नया विक्रय मूल्य SP₂ है: SP₂ = 0.8 × MP

लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करते हैं: SP₂ / CP = (0.8 × MP) / (1.2 × MP) = 0.8 / 1.2 = 2/3

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, इसलिए व्यापारी को हानि होती है। हानि प्रतिशत है: Hani % = (1 - SP₂ / CP) × 100 Hani % = (1 - 2/3) × 100 = (1/3) × 100 = 33.33%

व्याख्या

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों में लड़कियों का प्रतिशत, इंजीनियरिंग में लड़कियों की संख्या को इंजीनियरिंग में छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके, और फिर 100 से गुणा करके निकाला जाता है।

इंजीनियरिंग चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या = 90 + 30 = 120

इंजीनियरिंग चुनने वाली लड़कियों की संख्या = 30

आवश्यक प्रतिशत = (30 ÷ 120) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

अप्रैल और मई के महीनों में निर्मित कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मई के अंत तक संचयी उत्पादन और मार्च के अंत तक संचयी उत्पादन के बीच के अंतर की गणना करते हैं।

मई तक संचयी उत्पादन = 2330 मार्च तक संचयी उत्पादन = 1210

अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = मई तक संचयी उत्पादन - मार्च तक संचयी उत्पादन अप्रैल और मई में कुल उत्पादन = 2330 - 1210 = 1120