एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी रेखा के x-अक्ष पर अंतःखंड (intercept) ज्ञात करने के लिए, रेखा के समीकरण में y-निर्देशांक को 0 पर सेट करें।

समीकरण 3x + y = -6 में y = 0 प्रतिस्थापित करने पर: 3x + 0 = -6 3x = -6 x = -2

यह निर्देशांक बिंदु (-2, 0) देता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही समय में एक ही दिशा में चलना शुरू करती हैं, तो उनके द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गति के अनुपात के सीधे समानुपाती होता है।

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी / चोर द्वारा तय की गई दूरी = पुलिसकर्मी की गति / चोर की गति

मान लीजिए पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी d मीटर है। पुलिसकर्मी इस दूरी को 150 मीटर के प्रारंभिक अंतराल को जोड़कर तय करता है, जो कि d + 150 मीटर है।

अनुपात में गति रखने पर: (d + 150) / d = 9 / 7

तिरछा गुणा करने पर: 7 × (d + 150) = 9d 7d + 1050 = 9d 2d = 1050 d = 525 मीटर

व्याख्या

बीजगणितीय पदों 24b⁶c⁸d², 18a⁶c²d⁴, और 12a⁴b⁴ के सार्व गुणनखंड (common factor) को ज्ञात करने के लिए, हम उनके संख्यात्मक गुणांकों (numerical coefficients) और उनके चर गुणनखंडों (variable factors) के महत्तम समापवर्तक (GCD) को अलग-अलग निर्धारित करते हैं।

सबसे पहले, संख्यात्मक गुणांक 24, 18, और 12 हैं। उनके अभाज्य गुणनखंड (prime factorizations) इस प्रकार हैं: 24 = 2³ × 3 18 = 2 × 3² 12 = 2² × 3

इन गुणांकों का महत्तम समापवर्तक (GCD) सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है: GCD(24, 18, 12) = 2¹ × 3¹ = 6

दूसरा, हम प्रत्येक पद के चर गुणनखंडों की जांच करते हैं। चूँकि चर 'a' पहले पद में मौजूद नहीं है, चर 'b' दूसरे पद में मौजूद नहीं है, और चर 'c' और 'd' तीसरे पद में मौजूद नहीं हैं, इसलिए तीनों व्यंजकों में कोई सामान्य चर गुणनखंड नहीं है।

संख्यात्मक सामान्य गुणनखंड और चर सामान्य गुणनखंड को गुणा करने पर 6 × 1 = 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य प्रत्येक व्यक्तिगत श्रेणी के मूल्य का योग है। प्रत्येक श्रेणी का मूल्य स्टॉक की मात्रा को उसकी औसत लागत से गुणा करके निर्धारित किया जाता है:

मोबाइल फोन: 44 × 12000 = 5,28,000 रुपये

कैमरा: 75 × 14000 = 10,50,000 रुपये

टीवी: 55 × 56000 = 30,80,000 रुपये

रेफ्रिजरेटर: 29 × 53000 = 15,37,000 रुपये

एसी: 77 × 26000 = 20,02,000 रुपये

इन मूल्यों को एक साथ जोड़ने पर सभी स्टॉक का कुल मूल्य प्राप्त होता है: 5,28,000 + 10,50,000 + 30,80,000 + 15,37,000 + 20,02,000 = 81,97,000 रुपये

चूंकि 1 लाख रुपये 1,00,000 रुपये के बराबर है, कुल मूल्य को 1,00,000 से विभाजित करने पर यह लाख रुपये में परिवर्तित हो जाता है: 81,97,000 ÷ 1,00,000 = 81.97 लाख रुपये

व्याख्या

किसी दिए गए वर्ष के लिए आयात-निर्यात अनुपात निम्न संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है: आयात / निर्यात = अनुपात

वर्ष 2012 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 1.1 है। यह देखते हुए कि 2012 में आयात 1000 करोड़ रुपये था, 2012 में निर्यात की गणना इस प्रकार की जा सकती है: नि₂₀₁₂ = 1000 ÷ 1.1 ≈ 909.09 करोड़

वर्ष 2012 और 2013 के लिए कुल निर्यात मिलाकर 4800 करोड़ रुपये है। इससे 2013 में निर्यात प्राप्त होता है: नि₂₀₁₃ = 4800 - 909.09 = 3890.91 करोड़

वर्ष 2013 के लिए आयात और निर्यात का अनुपात 1.5 है। इस अनुपात का उपयोग करके, 2013 में आयात है: आ₂₀₁₃ = 1.5 × 3890.91 ≈ 5836.36 करोड़

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 5836 करोड़ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई तालिका के अनुसार, बच्चे की 10वें जन्मदिन पर ऊँचाई 145 सेमी थी और 11वें जन्मदिन पर 150 सेमी थी।

ऊँचाई में वृद्धि की गणना 11वें जन्मदिन की ऊँचाई में से 10वें जन्मदिन की ऊँचाई घटाकर की जाती है:

150 सेमी - 145 सेमी = 5 सेमी

यह गणना दर्शाती है कि इस एक वर्ष की अवधि में बच्चे की ऊँचाई ठीक 5 सेमी बढ़ी।

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे के बीच रिकॉर्ड किया गया कुल समय 8 घंटे है।

डेटा तालिका में मानों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 15 + 15 + 5 + 30 + 35 = 100

यह इंगित करता है कि मान कुल ट्रैक किए गए समय के प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उपयोगकर्ता द्वारा गहरी नींद या जागृत अवस्था में बिताए गए समय का प्रतिशत है: 15% (गहरी नींद) + 35% (जागृत) = 50%

कुल 8 घंटे का 50% गणना करना: 8 घंटे का 50% = 0.50 × 8 घंटे = 4 घंटे

व्याख्या

द्विघात व्यंजक x² + 5x - 14 का गुणनखंड करने के लिए, हमें दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल -14 हो और जिनका योग 5 हो।

ये दो संख्याएँ 7 और -2 हैं, क्योंकि: 7 × (-2) = -14 7 + (-2) = 5

इन संख्याओं का उपयोग करके मध्य पद को विभाजित करना: x² + 5x - 14 = x² + 7x - 2x - 14

सामान्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए पदों को समूहित करना: x(x + 7) - 2(x + 7) = (x + 7)(x - 2)

व्याख्या

जब मूलों का योग (S) और मूलों का गुणनफल (P) ज्ञात हो तो द्विघात समीकरण बनाने का सामान्य सूत्र है:

x² - Sx + P = 0

मूलों के योग (S = 1) और मूलों के गुणनफल (P = -20) के दिए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x² - (1)x + (-20) = 0

इस व्यंजक को सरल करने पर प्राप्त होता है:

x² - x - 20 = 0

व्याख्या

मान लीजिए स्टीमर से तय की गई दूरी d किमी है। चूँकि कुल दूरी 434 किमी है, रेलगाड़ी से तय की गई दूरी 434 - d किमी है।

समय = दूरी / वेग के संबंध का उपयोग करते हुए: स्टीमर पर व्यतीत समय = d / 25 रेलगाड़ी पर व्यतीत समय = (434 - d) / 65

चूँकि यात्री रेलगाड़ी की तुलना में स्टीमर पर 8 घंटे अधिक समय व्यतीत करता है: d / 25 - (434 - d) / 65 = 8

इसे हल करने के लिए, पूरे समीकरण को 25 और 65 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 325 है, से गुणा करें: 13d - 5(434 - d) = 8 × 325 13d - 2170 + 5d = 2600 18d = 4770 d = 265 किमी

व्याख्या

कुल साधारण ब्याज (SI) जयचंद और कपिल से अर्जित ब्याज का योग है। साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके:

SI = (P × R × T) / 100

जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए ब्याज की सामान्य दर R% है।

जयचंद को दिए गए ऋण के लिए: SI₁ = (8800 × R × 13) / 100 = 1144R

कपिल को दिए गए ऋण के लिए: SI₂ = (5500 × R × 12) / 100 = 660R

प्राप्त कुल ब्याज है: SI₁ + SI₂ = 14432 1144R + 660R = 14432 1804R = 14432 R = 14432 / 1804 = 8

व्याख्या

छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

SP = MP × (1 - d/100)

जहाँ d छूट प्रतिशत है। दिए गए मानों (SP = 1150 रुपये और d = 8) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1150 = MP × (1 - 8/100) 1150 = MP × 0.92 MP = 1150 / 0.92 MP = 1250

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में मूल त्रिकोणमितीय संबंधों cosec A = 1/sin A और cot A = cos A/sin A को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1 + cos A)(cosec A - cot A) = (1 + cos A)(1/sin A - cos A/sin A)

दूसरे पद में भिन्नों को संयोजित करने पर:

(1 + cos A) × (1 - cos A) / sin A

अंश पर बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर:

(1 - cos² A) / sin A

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, अंश sin² A तक सरल हो जाता है:

sin² A / sin A = sin A

व्याख्या

Δ ABC में, AD भुजा BC पर माध्यिका है। चूँकि D, BC का मध्य बिंदु है, इसलिए BD और CD की लंबाइयाँ हैं: BD = CD = BC / 2 = 12 / 2 = 6 सेमी

यह देखते हुए कि माध्यिका AD की लंबाई भी 6 सेमी है, हमारे पास है: AD = BD = CD = 6 सेमी

इसका मतलब है कि बिंदु D, Δ ABC के तीनों शीर्षों A, B, और C से समदूरस्थ है। इसलिए, D, Δ ABC का परिकेंद्र है, और त्रिभुज का परवृत्त D को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या वाला है।

चूँकि BC परिकेंद्र D से होकर गुजरता है और इसकी लंबाई व्यास (12 सेमी) के बराबर है, BC इस परवृत्त का व्यास है। थेल्स प्रमेय के अनुसार, वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है। परिणामस्वरूप, कोण CAB, जो शीर्ष A पर व्यास BC द्वारा बनाया गया है, 90° है।

व्याख्या

x द्वारा लिए जा सकने वाले मानों को ज्ञात करने के लिए, हम दोनों असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता के लिए: 3x - 3 < 3 + x/2

भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरी असमानता को 2 से गुणा करने पर: 6x - 6 < 6 + x

दोनों पक्षों से x घटाने पर: 5x - 6 < 6

दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर: 5x < 12 x < 12/5 x < 2.4

दूसरी असमानता के लिए: x - 2 ≤ 6 + 2x

दोनों पक्षों से x घटाने पर: -2 ≤ 6 + x

दोनों पक्षों से 6 घटाने पर: -8 ≤ x

दोनों परिणामों को मिलाने पर, हमें सीमा मिलती है: -8 ≤ x < 2.4

मान 2 इस असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि यह अंतराल [-8, 2.4) में स्थित है।

व्याख्या

3(x-2y) में क्या जोड़ा जाना चाहिए ताकि 2(3x + y) - 5(2x + 3) प्राप्त हो, यह जानने के लिए हम 2(3x + y) - 5(2x + 3) में से 3(x-2y) को घटाते हैं।

पहले, दोनों व्यंजकों का विस्तार करें: 3(x-2y) = 3x - 6y

2(3x + y) - 5(2x + 3) = 6x + 2y - 10x - 15 = -4x + 2y - 15

अब, पहले सरलीकृत व्यंजक को दूसरे से घटाएं: (-4x + 2y - 15) - (3x - 6y) = -4x + 2y - 15 - 3x + 6y

समान पदों को मिलाएं: -4x - 3x = -7x 2y + 6y = 8y -15 वैसा ही रहता है

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 8y - 7x - 15

व्याख्या

एक बेलन के आधार की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है। 2πr = 44 2 × (22/7) × r = 44 r = 7 सेमी

बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र CSA = 2πrh है, जहाँ h बेलन की ऊँचाई है। 2πrh = 440 44 × h = 440 h = 10 सेमी

बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है। V = (22/7) × 7² × 10 V = 22 × 7 × 10 V = 1540 घन सेमी

व्याख्या

दो साइन के गुणनफल के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को कोसाइन कोण योग और अंतर सूत्रों से प्राप्त किया जाता है:

cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B

cos(A - B) से cos(A + B) के सूत्र को घटाने पर प्राप्त होता है:

cos(A - B) - cos(A + B) = (cos A cos B + sin A sin B) - (cos A cos B - sin A sin B)

cos A cos B पदों को रद्द करने पर दायां पक्ष सरल हो जाता है:

cos(A - B) - cos(A + B) = 2 sin A sin B

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए बीजगणितीय समीकरण को सरल बना सकते हैं:

51.97 - (81.18 - x) - 59.39 = 5.268

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को ऋणात्मक चिह्न वितरित करके विस्तारित करें:

51.97 - 81.18 + x - 59.39 = 5.268

अगला, बाईं ओर स्थिरांक संख्यात्मक मानों को एक साथ समूहित करें:

(51.97 - 81.18 - 59.39) + x = 5.268

51.97 से 81.18 घटाएं:

-29.21 - 59.39 + x = 5.268

बाईं ओर शेष स्थिरांकों को संयोजित करें:

-88.60 + x = 5.268

अब, समीकरण के दोनों पक्षों में 88.60 जोड़कर x को अलग करें:

x = 5.268 + 88.60

x = 93.868

व्याख्या

मान लीजिए हामिद के वेतन को H से दर्शाया गया है।

गदाधर का वेतन हामिद के वेतन का 3/2 गुना है, जो कि (3/2)H है। सर्वेश का वेतन हामिद के वेतन का 4/3 गुना है, जो कि (4/3)H है।

गदाधर के वेतन और सर्वेश के वेतन का अनुपात, गदाधर के वेतन को सर्वेश के वेतन से विभाजित करके निकाला जाता है:

अनुपात = ((3/2)H) / ((4/3)H)

अंश और हर दोनों से H को रद्द करने पर:

अनुपात = (3/2) / (4/3) अनुपात = (3/2) × (3/4) अनुपात = 9/8

यह सीधे 9:8 में सरल हो जाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(-θ) = -sin(θ) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

sin(-300°) = -sin(300°)

चूंकि 300° चौथे चतुर्थांश में स्थित है, हम इसे 360° - 60° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

sin(300°) = sin(360° - 60°) = -sin(60°)

sin(60°) = √3/2 के मानक मान को प्रतिस्थापित करने पर:

sin(300°) = -√3/2

इसलिए:

sin(-300°) = -(-√3/2) = √3/2

व्याख्या

मान लीजिए मूल बिजली बिल राशि x है।

चूंकि बिल का 31% काट लिया जाता है, इसलिए भुगतान की जाने वाली बिल का शेष प्रतिशत है: 100% - 31% = 69%

यह शेष राशि 1794 रुपये के बराबर है।

इसलिए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: x का 69% = 1794 0.69 × x = 1794 x = 1794 / 0.69 x = 2600

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, हम दो भागों में असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं।

पहली असमानता है: 2(3x + 5) > 4x - 5 6x + 10 > 4x - 5 2x > -15 x > -7.5

दूसरी असमानता है: 4x - 5 < 3x + 2 x < 7

इन दो असमानताओं को मिलाकर, हमें सीमा मिलती है: -7.5 < x < 7

मान 6 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि यह -7.5 और 7 के बीच स्थित है।

व्याख्या

ज्ञात गति और यात्रा के समय के अंतर का उपयोग करके दूरी के सूत्र द्वारा:

दूरी d = (v₁ × v₂ × Δt) / (v₂ - v₁)

जहाँ: v₁ = 60 किमी/घंटा धीमी कार की गति है, v₂ = 108 किमी/घंटा तेज कार की गति है, Δt = 2 घंटे समय का अंतर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: d = (60 × 108 × 2) / (108 - 60) d = 12960 / 48 d = 270 किमी

व्याख्या

(x + 4)² का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले x के लिए दिए गए रैखिक समीकरण को हल करते हैं:

4x - 5 = 3x - 1

दोनों पक्षों से 3x घटाने पर:

x - 5 = -1

दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर:

x = 4

इस x मान को व्यंजक (x + 4)² में प्रतिस्थापित करने पर:

(4 + 4)² = 8² = 64

व्याख्या

मान लीजिए कि गैर-शून्य संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के दोगुने का योग 33/4 है:

x + 2/x = 33/4

भिन्नों को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 4x से गुणा करने पर:

4x² + 8 = 33x

4x² - 33x + 8 = 0

इस द्विघात समीकरण को मध्य पद को विभाजित करके हल किया जा सकता है:

4x² - 32x - x + 8 = 0

4x(x - 8) - 1(x - 8) = 0

(4x - 1)(x - 8) = 0

इससे x = 8 या x = 1/4 प्राप्त होता है। चूंकि 8 दिए गए विकल्पों में से एक है, इसलिए संख्या 8 है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 1 इकाई है। चूँकि A कार्य का 50% भाग 12 दिनों में पूरा करता है, A अकेले पूरा कार्य 24 दिनों में पूरा कर सकता है। इससे A की दैनिक कार्य दर 1/24 हो जाती है।

शेष 50% कार्य A और B मिलकर 8 दिनों में पूरा करते हैं। इसका मतलब है कि A और B मिलकर पूरा कार्य 16 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जिससे उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 1/16 हो जाती है।

B की दैनिक कार्य दर संयुक्त दर और A की व्यक्तिगत दर का अंतर है: 1/16 - 1/24 = (3 - 2) / 48 = 1/48

चूँकि B की दैनिक कार्य दर 1/48 है, B अकेले पूरा कार्य करने में 48 दिन लेगा।

व्याख्या

माना 32 के दो भाग x और 32 - x हैं। दी गई शर्त के अनुसार, उनके वर्गों का योग 674 है:

x² + (32 - x)² = 674

समीकरण का विस्तार करने पर:

x² + 1024 - 64x + x² = 674

2x² - 64x + 350 = 0

पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर:

x² - 32x + 175 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडन द्वारा हल करने पर:

x² - 25x - 7x + 175 = 0

x(x - 25) - 7(x - 25) = 0

(x - 25)(x - 7) = 0

इससे x = 25 या x = 7 प्राप्त होता है। इसलिए, दो भाग 25 और 7 हैं।

व्याख्या

13 वर्षों का कुल राजस्व वर्षों की संख्या को उनके औसत से गुणा करने के बराबर है: 13 × 78 = 1014 लाख

पहले 7 वर्षों का कुल राजस्व है: 7 × 73 = 511 लाख

अंतिम 7 वर्षों का कुल राजस्व है: 7 × 85 = 595 लाख

चूंकि 7वां वर्ष पहले 7 वर्षों और अंतिम 7 वर्षों दोनों में शामिल है, इसलिए इन दो योगों को जोड़ने पर 7वें वर्ष का राजस्व दो बार गिना जाता है। इसलिए, 7वें वर्ष का राजस्व इन दो भागों के योग में से 13 वर्षों के कुल राजस्व को घटाने पर प्राप्त होता है: 7वें वर्ष का राजस्व = 511 + 595 - 1014 = 1106 - 1014 = 92 लाख

व्याख्या

y-अक्ष, बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को -x₁ : x₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

दिए गए बिंदुओं (2, 5) और (-6, -10) के लिए, हमारे पास x₁ = 2 और x₂ = -6 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात = -2 : -6 अनुपात = 2 : 6 अनुपात = 1 : 3

वैकल्पिक रूप से, विभाजन सूत्र का उपयोग करके, मान लीजिए y-अक्ष रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन बिंदु का x-निर्देशांक (k·x₂ + x₁) / (k + 1) द्वारा दिया जाता है। चूँकि y-अक्ष पर किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है: (k·(-6) + 2) / (k + 1) = 0 -6k + 2 = 0 6k = 2 k = 1/3

यह 1:3 का आवश्यक अनुपात देता है।

व्याख्या

मान लीजिए थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य (CP) है।

ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम विक्रय मूल्य के लिए क्रमिक लेनदेन सूत्र है: अंतिम मूल्य = CP × (1 + लाभ%/100) × (1 - हानि%/100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1045 = CP × (1 + 25/100) × (1 - 12/100) 1045 = CP × 1.25 × 0.88 1045 = CP × 1.1 CP = 1045 / 1.1 CP = 950

थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य 950 रुपये था।

व्याख्या

प्रति छमाही ब्याज दर r = 5% है।

₹4800 की पहली जमा राशि 1 जनवरी को की जाती है, इसलिए वर्ष के अंत तक (31 दिसंबर) यह दो छमाही अवधियों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज अर्जित करती है। इस पहली जमा राशि से संचित राशि की गणना इस प्रकार की जाती है: A₁ = P × (1 + r/100)² A₁ = 4800 × (1 + 5/100)² = 4800 × (1.05)² = 4800 × 1.1025 = ₹5292

पहली जमा राशि पर अर्जित ब्याज है: I₁ = 5292 - 4800 = ₹492

₹4800 की दूसरी जमा राशि 1 जुलाई को की जाती है, इसलिए वर्ष के अंत तक यह केवल एक छमाही अवधि के लिए ब्याज अर्जित करती है। इस दूसरी जमा राशि से संचित राशि है: A₂ = P × (1 + r/100)¹ A₂ = 4800 × 1.05 = ₹5040

दूसरी जमा राशि पर अर्जित ब्याज है: I₂ = 5040 - 4800 = ₹240

वर्ष के अंत में ग्राहक द्वारा अर्जित कुल ब्याज है: कुल ब्याज = I₁ + I₂ = 492 + 240 = ₹732

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: योग = (n - 2) × 180°

हमें दिया गया है कि आंतरिक कोणों का योग 2340° है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2340° = (n - 2) × 180°

n के लिए हल करने के लिए, दोनों पक्षों को 180° से विभाजित करें: n - 2 = 2340 / 180 n - 2 = 13

समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: n = 13 + 2 n = 15

व्याख्या

हमें दिया गया है: x = (1 + secA) / tanA

त्रिकोणमितीय फलनों को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करना: secA = 1 / cosA tanA = sinA / cosA

यह समीकरण को सरल बनाता है: x = (1 + 1 / cosA) / (sinA / cosA) x = (cosA + 1) / sinA

अर्ध-कोण सूत्रों को लागू करना: cosA + 1 = 2 cos²(A/2) sinA = 2 sin(A/2) cos(A/2)

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = 2 cos²(A/2) / (2 sin(A/2) cos(A/2)) x = cos(A/2) / sin(A/2) x = cot(A/2)

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR (Q पर समकोण) में शीर्षलम्ब QS के साथ, त्रिभुज PQS और PQR समरूप हैं। इस समरूपता से, हमारे पास है: PQ² = PS × PR

PQ = 4√13 सेमी और PS = 8 सेमी के मानक मान का उपयोग करते हुए: (4√13)² = 8 × PR 16 × 13 = 8 × PR 208 = 8 × PR PR = 26 सेमी

चूंकि PR कर्ण है: PR = PS + SR 26 = 8 + SR SR = 18 सेमी

व्याख्या

द्विघात समीकरण x² + 3x - 154 = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित कर सकते हैं, ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करके जिनका गुणनफल -154 हो और योग 3 हो।

ये दो संख्याएँ 14 और -11 हैं, क्योंकि: 14 × (-11) = -154 14 + (-11) = 3

मध्य पद को फिर से लिखने पर, हमें प्राप्त होता है: x² + 14x - 11x - 154 = 0

समूह बनाकर गुणनखंडन: x(x + 14) - 11(x + 14) = 0 (x - 11)(x + 14) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर मूल प्राप्त होते हैं: x - 11 = 0 → x = 11 x + 14 = 0 → x = -14

व्याख्या

चूंकि PQ, BC के समानांतर है, त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(APQ) / क्षेत्रफल(ABC) = (AP / AB)²

क्षेत्रफलों का दिया गया अनुपात प्रतिस्थापित करने पर:

25 / 36 = (AP / AB)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

AP / AB = 5 / 6

चूंकि बिंदु P, रेखाखंड AB पर स्थित है, हम AB को AP और PB के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

AB = AP + PB

इसका मतलब है:

AP / (AP + PB) = 5 / 6

6 × AP = 5 × AP + 5 × PB

AP = 5 × PB

AP / PB = 5 / 1

इस प्रकार, AP से PB का अनुपात 5:1 है।

व्याख्या

बेलन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_बेलन = π × r² × h_बेलन

शंकु का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_शंकु = ⅓ × π × r² × h_शंकु

चूंकि बेलन को पिघलाकर उसी त्रिज्या वाले शंकु में ढाला जाता है, इसलिए उनके आयतन बराबर होते हैं: V_बेलन = V_शंकु π × r² × h_बेलन = ⅓ × π × r² × h_शंकु

दोनों पक्षों को सामान्य पद π × r² से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है: h_बेलन = ⅓ × h_शंकु

शंकु की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: h_शंकु = 3 × h_बेलन

बेलन की दी गई ऊंचाई (4.8 सेमी) को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: h_शंकु = 3 × 4.8 = 14.4 सेमी

व्याख्या

6/5 का व्युत्क्रम 5/6 है, और 3/7 का व्युत्क्रम 7/3 है।

इन व्युत्क्रमों का योग है: 5/6 + 7/3 = 5/6 + 14/6 = 19/6

इस योग का व्युत्क्रम है: 1 ÷ (19/6) = 6/19

दिए गए विकल्प से मिलान करने के लिए अंश और हर दोनों को 3 से गुणा करने पर: (6 × 3) / (19 × 3) = 18/57

व्याख्या

मजदूर द्वारा पूरा काम खत्म करने के लिए आवश्यक कुल समय 36 घंटे है।

मजदूर विश्राम करने से पहले 9 घंटे काम करता है। इस अवधि के दौरान पूरा किया गया काम का अंश है: 9/36 = 1/4 = 0.25

यह पता लगाने के लिए कि काम का कितना अंश अभी बाकी है, पूरे काम (जो 1 का प्रतिनिधित्व करता है) में से पूरे किए गए अंश को घटाएं: 1 - 0.25 = 0.75

व्याख्या

ढलान m और दिए गए बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

y - y₁ = m(x - x₁)

दिए गए ढलान m = -3/7 और बिंदु (5, -2) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

y - (-2) = -3/7 (x - 5)

y + 2 = -3/7 (x - 5)

भिन्न को हटाने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 7 से गुणा करें:

7(y + 2) = -3(x - 5)

7y + 14 = -3x + 15

मानक रूप Ax + By = C में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए दोनों पक्षों में 3x जोड़ें और दोनों पक्षों से 14 घटाएं:

3x + 7y = 15 - 14

3x + 7y = 1

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:

S = (n - 2) × 180°

दिए गए योग 1440° को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1440 = (n - 2) × 180

दोनों पक्षों को 180 से विभाजित करने पर:

n - 2 = 1440 / 180

n - 2 = 8

n के लिए हल करने पर:

n = 10

इसलिए, बहुभुज की 10 भुजाएँ हैं।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का प्रारंभिक मूल्य ₹100 है। 20% की छूट से मूल्य ₹80 हो जाता है। प्रोमो कोड लागू करने पर इस ₹80 के लेन-देन राशि पर 30% कैशबैक मिलता है, जो ₹24 के बराबर है। ग्राहक द्वारा भुगतान की गई शुद्ध राशि ₹80 - ₹24 = ₹56 है। प्राप्त कुल छूट ₹100 - ₹56 = ₹44 है, जो 44% की प्रभावी छूट का प्रतिनिधित्व करती है।

वैकल्पिक रूप से, d₁% और d₂% की क्रमिक छूटों की प्रभावी दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

d₁ = 20 और d₂ = 30 रखने पर: प्रभावी छूट = 20 + 30 - (20 × 30)/100 = 50 - 6 = 44%

व्याख्या

a भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई h का सूत्र है:

h = (√3/2) × a

दिए गए भुजा की लंबाई a = 15 सेमी को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

h = (√3/2) × 15 = (15√3)/2 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

उनके अंकों का अंतर 19 दिया गया है: x - y = 19

उच्च अंक x दोनों अंकों के योग का 60% है: x = 0.60(x + y) x = 0.60x + 0.60y 0.40x = 0.60y 2x = 3y x = 1.5y

x के लिए व्यंजक को अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1.5y - y = 19 0.5y = 19 y = 38

उच्च अंक की गणना के लिए इसका उपयोग करना: x = 38 + 19 = 57

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय परिभाषाओं का उपयोग करके, हम sec²A cosec²A को साइन और कोसाइन के रूप में लिख सकते हैं:

sec²A cosec²A = (1 / cos²A) × (1 / sin²A) = 1 / (sin²A cos²A)

अंश में मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके:

1 / (sin²A cos²A) = (sin²A + cos²A) / (sin²A cos²A) = 1 / cos²A + 1 / sin²A = sec²A + cosec²A

मानक सर्वसमिका sec²A = 1 + tan²A और cosec²A = 1 + cot²A का उपयोग करके:

sec²A + cosec²A = (1 + tan²A) + (1 + cot²A) = tan²A + cot²A + 2

इसलिए, x = tan²A + cot²A + 2।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की राशि का सूत्र A = P(1 + R/100)ⁿ है, जहाँ A राशि है, P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और n वर्षों में समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 25088 = 20000(1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 20000 से विभाजित करने पर: (1 + R/100)² = 25088 / 20000 (1 + R/100)² = 12544 / 10000

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 + R/100 = √(12544 / 10000) 1 + R/100 = 112 / 100 1 + R/100 = 1.12 R/100 = 0.12 R = 12 प्रतिशत

व्याख्या

किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।

ΔGHI का परिमाप / ΔKLM का परिमाप = GH / KL

दिए गए अनुपात और GH की लंबाई का उपयोग करते हुए:

1 / 4 = 2 / KL

KL के लिए हल करने पर:

KL = 2 × 4 = 8 सेमी।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: sin(π/6) = ½ sec(π/6) = 2/√3

इन मानों को x के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = ½ + 2/√3

भिन्नों को संयोजित करने के लिए 2√3 का एक सामान्य भाजक ज्ञात करने पर: x = (√3 + 4) / 2√3

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है।

इन दो सूत्रों की तुलना करके, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल / कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² / 3πr² = 2/3

इसका मतलब है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल हमेशा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का दो-तिहाई होता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2/3 × कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

समीकरण में 41.58 वर्ग सेमी का दिया गया मान रखने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2/3 × 41.58 = 2 × 13.86 = 27.72 वर्ग सेमी