एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

द्विपद अंतर के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² है।

a = 3x और b = 5xy को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(3x - 5xy)² = (3x)² - 2(3x)(5xy) + (5xy)²

प्रत्येक पद की गणना करने पर: पहला पद (3x)² = 9x² है। मध्य पद -2 × 3x × 5xy = -30x²y है। अंतिम पद (5xy)² = 25x²y² है।

इन पदों को मिलाने पर 9x² - 30x²y + 25x²y² प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहली असमानता है: 5 - 2x ≥ 4 - x

x के लिए हल करने पर: 5 - 4 ≥ 2x - x 1 ≥ x x ≤ 1

दूसरी असमानता है: 3(2 - x) > 2 - 4x

विस्तार करने और x के लिए हल करने पर: 6 - 3x > 2 - 4x 4x - 3x > 2 - 6 x > -4

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए स्वीकार्य सीमा है: -4 < x ≤ 1

मान -3 इस सीमा को संतुष्ट करता है क्योंकि -3, -4 से सख्ती से बड़ा है और 1 से कम या उसके बराबर है। x = -3 को असमानताओं में प्रतिस्थापित करने पर इसकी पुष्टि होती है: 5 - 2(-3) = 11 और 4 - (-3) = 7, जहाँ 11 ≥ 7। 3(2 - (-3)) = 15 और 2 - 4(-3) = 14, जहाँ 15 > 14।

व्याख्या

समीकरण के दाईं ओर के घातांकों का मूल्यांकन करने पर:

6² = 36 3² = 9

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x³ = 36 - 9 x³ = 27

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: x = ∛27 x = 3

व्याख्या

हम दोनों पक्षों का विस्तार करके समीकरण को सरल बनाते हैं: x(x + 2) - 15 = x(x - 5) + 11 x² + 2x - 15 = x² - 5x + 11

समीकरण के दोनों पक्षों से x² घटाने पर: 2x - 15 = -5x + 11

पदों को एक तरफ पुनर्व्यवस्थित करने पर: 7x - 26 = 0

यह डिग्री 1 का एक रैखिक समीकरण है। क्योंकि x² पद पूरी तरह से रद्द हो जाते हैं और चर x की उच्चतम घात 1 है, यह एक द्विघात समीकरण का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है, और शेष चार संख्याओं का योग S है।

चूंकि पाँच संख्याओं का औसत 78 है, उनका कुल योग है: x + S = 5 × 78 = 390

दी गई शर्त के अनुसार, पहली संख्या अन्य चार के योग का 2/11 गुना है: x = (2/11) × S S = (11/2) × x

कुल योग समीकरण में S का मान प्रतिस्थापित करने पर: x + (11/2) × x = 390 (13/2) × x = 390 x = (390 × 2) / 13 x = 60

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sin²A + cos²A = 1। sin²A के लिए हल करने हेतु इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर sin²A = 1 - cos²A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का मुख्य वर्गमूल लेने पर sin A = √(1 - cos²A) प्राप्त होता है। चूँकि यह दिया गया है कि sin A = x, इसलिए सीधे तौर पर x = √(1 - cos²A) होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य और संबंधित प्रतिशत मान के बीच सीधे संबंध का उपयोग करके: SP₁ / SP₂ = (100 - हानि₁%) / (100 - हानि₂%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 1330 / 1463 = (100 - 15) / (100 - हानि₂%) 1330 / 1463 = 85 / (100 - हानि₂%)

चूंकि 1463 - 1330 = 133, दोनों मान 133 के गुणज हैं: 1330 = 10 × 133 1463 = 11 × 133

अनुपात को सरल बनाना: 10 / 11 = 85 / (100 - हानि₂%)

हल करने के लिए तिरछा गुणा करना: 10 × (100 - हानि₂%) = 11 × 85 1000 - 10 × हानि₂% = 935 10 × हानि₂% = 65 हानि₂% = 6.5%

व्याख्या

माना कुल कार्य को 1 से दर्शाया गया है।

A द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/16 B द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/20

A और B द्वारा 1 दिन में किया गया संयुक्त कार्य = 1/16 + 1/20 = (5 + 4) / 80 = 9/80

8 दिनों में, उनके द्वारा एक साथ पूरा किया गया कार्य का कुल भिन्न = 8 × 9/80 = 9/10

शेष कार्य का भिन्न = 1 - 9/10 = 1/10

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह उन भुजाओं को समानुपातिक रूप से विभाजित करती है। चूँकि DE, BC के समानांतर है, संबंध इस प्रकार है:

AD / AB = AE / AC

भुजा AB की कुल लंबाई AD और DB का योग है:

AB = AD + DB = 8 + 4 = 12 सेमी

समानुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

8 / 12 = 12 / AC

AC = (12 × 12) / 8

AC = 144 / 8

AC = 18 सेमी

व्याख्या

शंकु से बेलनाकार बर्तन में स्थानांतरित किए गए पानी की मात्रा स्थिर रहती है। इसलिए, शंकु का आयतन बेलन में पानी के आयतन के बराबर है:

(1/3) × π × r₁² × h₁ = π × r₂² × h₂

यहां, r₁ शंकु की त्रिज्या (3.5 सेमी) है, h₁ शंकु की ऊंचाई (27 सेमी) है, r₂ बेलन की त्रिज्या (2.1 सेमी) है, और h₂ बेलन में पानी की ऊंचाई है। दोनों पक्षों से π को रद्द करने पर:

(1/3) × r₁² × h₁ = r₂² × h₂

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(1/3) × (3.5)² × 27 = (2.1)² × h₂

9 × (7/2)² = (21/10)² × h₂

9 × (49/4) = (441/100) × h₂

441/4 = (441/100) × h₂

1/4 = h₂/100

h₂ = 25 सेमी

व्याख्या

गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए, गति को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें।

मी/से में गति = 1278 × 5/18

1278 को 18 से विभाजित करने पर 71 प्राप्त होता है।

71 × 5 = 355

यह गणना दर्शाती है कि मिसाइल की गति 355 मी/से है, जिसका अर्थ है कि यह एक सेकंड में 355 मीटर की यात्रा करती है।

व्याख्या

मान लीजिए अज्ञात संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार: (8/5) × (4/3) × x = 192

बाईं ओर भिन्न गुणन को सरल करें: (32/15) × x = 192

दोनों पक्षों को 15/32 से गुणा करके x के लिए हल करें: x = 192 × (15/32) x = 6 × 15 x = 90

अब, इस संख्या का 5/6 ज्ञात करें: (5/6) × 90 = 5 × 15 = 75

व्याख्या

सही उत्तर: B

27 दिनों की यात्रा के लिए दैनिक टिकटों की लागत 27 × ₹110 = ₹2970 है।

मासिक पास की लागत ₹2524.5 है।

दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदने पर कुल बचत ₹2970 - ₹2524.5 = ₹445.5 है।

प्रतिशत बचत (कुल बचत / दैनिक टिकटों की लागत) × 100 = (445.5 / 2970) × 100 = 15% है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा की लंबाई a है।

चूंकि वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफल बराबर हैं, हमारे पास है: πr² = a² r²/a² = 1/π

वृत्त का व्यास d = 2r है, और वर्ग का विकर्ण D = a√2 है।

व्यास की लंबाई और विकर्ण की लंबाई का अनुपात है: d/D = 2r / (a√2)

इस अनुपात का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: (d/D)² = 4r² / 2a² = 2r²/a²

समीकरण में r²/a² = 1/π को प्रतिस्थापित करने पर: (d/D)² = 2/π

मानक सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग करते हुए: (d/D)² = 2 / (22/7) = 2 × 7 / 22 = 14/22 = 7/11

व्याख्या

दी गई रेखा का समीकरण 3x - 6y = 4 है।

इस समीकरण को ढलान-अवरोधन रूप, y = mx + c में बदलने पर: 6y = 3x - 4 y = ½x - ⅔

इससे, दी गई रेखा का ढलान (m₁) ½ है।

दो रेखाओं के लंबवत होने के लिए, उनके ढलानों (m₁ और m₂) का गुणनफल संबंध को संतुष्ट करना चाहिए: m₁ × m₂ = -1

m₁ का मान रखने पर: ½ × m₂ = -1 m₂ = -2

लंबवत रेखा का ढलान -2 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों के अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

उनके अंकों के बीच का अंतर है: x - y = 26

उच्च अंक उनके अंकों के योग का 75% है: x = 0.75(x + y) x = ¾(x + y) 4x = 3(x + y) 4x = 3x + 3y x = 3y

पहले समीकरण में x = 3y रखने पर: 3y - y = 26 2y = 26 y = 13

x के लिए व्यंजक में y = 13 रखने पर: x = 3 × 13 = 39

दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 39 और 13 हैं।

व्याख्या

कुल लाभ को अमीर, बलराज और चरण के बीच 7:5:4 के अनुपात में बाँटा गया है।

चरण का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, अनुपात सूत्र लागू किया जाता है: चरण का हिस्सा = (चरण का अनुपात / कुल अनुपात) × कुल लाभ

अनुपात भागों का योग है: 7 + 5 + 4 = 16

चरण का हिस्सा कुल 16 भागों में से 4 भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

चरण का हिस्सा = (4 / 16) × 7,28,000 चरण का हिस्सा = ¼ × 7,28,000 = 1,82,000

व्याख्या

9b², 3a², और 4ab का गुणनफल उनके संख्यात्मक गुणांकों और उनके बीजीय पदों को गुणा करके निकाला जाता है।

संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करना: 9 × 3 × 4 = 108

समान आधारों के घातांकों को जोड़कर बीजीय चरों को गुणा करना: b² × a² × ab = a²⁺¹ × b²⁺¹ = a³b³

गुणांक और चर भाग को मिलाने पर प्राप्त होता है: 108a³b³

व्याख्या

त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = sin θ / cos θ का उपयोग करते हुए, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

tan²A - tan²B = sin²A/cos²A - sin²B/cos²B

सामान्य हर लेने पर, व्यंजक बन जाता है:

(sin²A cos²B - cos²A sin²B) / (cos²A cos²B)

अंश में cos²B और cos²A को प्रतिस्थापित करने के लिए cos²θ = 1 - sin²θ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:

sin²A (1 - sin²B) - (1 - sin²A) sin²B

अंश का विस्तार करने पर:

sin²A - sin²A sin²B - sin²B + sin²A sin²B

यह सरल होकर बनता है:

sin²A - sin²B

इसे भिन्न में वापस प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

x = (sin²A - sin²B) / (cos²A cos²B)

व्याख्या

घनाभ के आयतन का सूत्र है:

आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करके:

लंबाई = 12 सेमी चौड़ाई = 8 सेमी ऊँचाई = 6 सेमी

गणना है:

आयतन = 12 सेमी × 8 सेमी × 6 सेमी = 576 सेमी³

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5A = 12B = 13C से A : B : C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद को एक सामान्य स्थिरांक k के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। मान लीजिए 5A = 12B = 13C = k, जिससे A = k/5, B = k/12, और C = k/13 प्राप्त होता है।

इसलिए, अनुपात A : B : C (1/5) : (1/12) : (1/13) है।

इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्ण संख्याओं में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को हरों के गुणनफल से गुणा करते हैं क्योंकि 5, 12 और 13 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह गुणनफल 5 × 12 × 13 = 780 है।

प्रत्येक भिन्न को 780 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: A = 780/5 = 156 B = 780/12 = 65 C = 780/13 = 60

इससे अनुपात A : B : C 156 : 65 : 60 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई h का सूत्र है:

h = (√3/2) × a

दिया गया है कि भुजा की लंबाई a 12 सेमी है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:

h = (√3/2) × 12 = 6√3 सेमी

व्याख्या

द्विकोणमितीय सर्वसमिका (double-angle trigonometric identity) के अनुसार, cos(2θ) = 2 cos²(θ) - 1 है।

θ = A/2 रखने पर, संबंध इस प्रकार बनता है: cos(A) = 2 cos²(A/2) - 1

cos(A/2) को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2 cos²(A/2) = 1 + cos(A) cos²(A/2) = (1 + cos(A))/2 cos(A/2) = √[(1 + cos(A))/2]

यह देखते हुए कि cos(A/2) = x है, हमें प्राप्त होता है: x = √[(1 + cos(A))/2]

व्याख्या

सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) ÷ विद्यार्थियों की कुल संख्या

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 69 + (54 - 45) ÷ 72

सही औसत = 69 + 9 ÷ 72

सही औसत = 69 + 1/8

सही औसत = 69 + 0.125

सही औसत = 69.125 अंक

यह सीधा शॉर्टकट कुल योग की गणना से बचकर समय बचाता है, जो कि सभी विद्यार्थियों में अंकों के शुद्ध अंतर को वितरित करके औसत को समायोजित करता है।

व्याख्या

मान लीजिए वैक्यूम क्लीनर का क्रय मूल्य V है और डिशवॉशर का क्रय मूल्य D है।

दोनों वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य है: V + D = 78750

वैक्यूम क्लीनर को 37% के लाभ पर बेचा गया, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 1.37 × V है। डिशवॉशर को 27% की हानि पर बेचा गया, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 0.73 × D है।

चूंकि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है: 1.37 × V = 0.73 × D V/D = 73/137

क्रय मूल्यों को एक स्थिरांक k के पदों में व्यक्त करना: V = 73k D = 137k

इनका योग करने पर: 73k + 137k = 78750 210k = 78750 k = 78750/210 = 375

सस्ती वस्तु वैक्यूम क्लीनर है जिसका क्रय मूल्य है: V = 73 × 375 = 27375

व्याख्या

हम विकल्प A में दिए गए व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:

sec A / (sec A - 1) + sec A / (sec A + 1)

सामान्य हर (sec A - 1)(sec A + 1) लेने पर, जो sec² A - 1 के बराबर है, हमें प्राप्त होता है:

[sec A (sec A + 1) + sec A (sec A - 1)] / (sec² A - 1)

अंश का विस्तार करने पर:

(sec² A + sec A + sec² A - sec A) / (sec² A - 1) = 2 sec² A / (sec² A - 1)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - 1 = tan² A का उपयोग करने पर:

2 sec² A / tan² A

चूंकि sec A = 1 / cos A और tan A = sin A / cos A, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2 (1 / cos² A) / (sin² A / cos² A) = 2 / sin² A = 2 cosec² A

यह x के लिए दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से सभी डिवीजनों और मानकों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना करें।

लड़कों की कुल संख्या = 20 + 15 + 30 + 30 + 30 + 30 = 155 लड़कियों की कुल संख्या = 30 + 20 + 10 + 25 + 25 + 20 = 130

लड़कों और लड़कियों का अनुपात है: अनुपात = 155 : 130

अनुपात को सरल बनाने के लिए दोनों पदों को उनके सामान्य गुणनखंड 5 से विभाजित करने पर: 31 : 26

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या से घटाते हैं।

तालिका से: 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 56 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 25

इसलिए, 20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या है: 56 - 25 = 31

व्याख्या

2013 के अंत में देश का जीडीपी, 2014 की शुरुआत के जीडीपी के बराबर है, जो कि 5 ट्रिलियन दिया गया है।

2015 की शुरुआत में जीडीपी ज्ञात करने के लिए, हमें 2014 के अंत में जीडीपी की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि 2014 की वृद्धि दर लागू होने पर है।

वर्ष 2014 के लिए वृद्धि दर, जो कि 8% है, का उपयोग करते हुए:

2015 की शुरुआत में जीडीपी = 2014 की शुरुआत में जीडीपी × (1 + 2014 की वृद्धि दर / 100)

2015 की शुरुआत में जीडीपी = 5 × (1 + 8 / 100) = 5 × 1.08 = 5.4 ट्रिलियन

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 50% कम है: 100 - 50 = 50

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 90% कम है: 100 - 90 = 10

दूसरी संख्या को पहली संख्या के बराबर करने के लिए, इसे 10 से 50 तक बढ़ाया जाना चाहिए।

आवश्यक वृद्धि मान है: 50 - 10 = 40

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: (वृद्धि / दूसरी संख्या) × 100 = (40 / 10) × 100 = 400%

व्याख्या

भिन्न 2714/5074 को उसके निम्नतम पदों तक घटाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से विभाजित करते हैं।

सबसे पहले, हम विभाजन विधि का उपयोग करके 2714 और 5074 का HCF ज्ञात करते हैं: 5074 = 2714 × 1 + 2360 2714 = 2360 × 1 + 354 2360 = 354 × 6 + 136 354 = 136 × 2 + 82 136 = 82 × 1 + 54 82 = 54 × 1 + 28 54 = 28 × 1 + 26 28 = 26 × 1 + 2 26 = 2 × 13 + 0

अंश और हर को उनके प्रारंभिक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 से विभाजित करने पर भिन्न 1357/2537 हो जाती है। इसके बाद, हम इन शेष पदों का HCF ज्ञात करते हैं: 2537 = 1357 × 1 + 1180 1357 = 1180 × 1 + 177 1180 = 177 × 6 + 118 177 = 118 × 1 + 59 118 = 59 × 2 + 0

1357 और 2537 का HCF 59 है। इसका मतलब है कि 2714 और 5074 का समग्र HCF 2 × 59 = 118 है।

मूल भिन्न के अंश और हर दोनों को 118 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 2714 ÷ 118 = 23 5074 ÷ 118 = 43

इससे घटाई गई भिन्न 23/43 प्राप्त होती है।

व्याख्या

cosec 120° का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:

cosec θ = 1 / sin θ

इसलिए:

cosec 120° = 1 / sin 120°

दूसरे चतुर्थांश में कोण घटाव सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ साइन धनात्मक होता है:

sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60°

चूंकि sin 60° का मानक मान √3/2 है, इसे प्रतिस्थापित करने पर:

cosec 120° = 1 / (√3/2) = 2/√3

व्याख्या

बेलन के आधार की परिधि का सूत्र C = 2πr है। दिया गया है कि परिधि 22 सेमी है: 2 × (22/7) × r = 22 r = 7/2 सेमी

बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (22/7) × (7/2)² × h = 770 (77/2) × h = 770 h = 20 सेमी

बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र CSA = 2πrh का उपयोग करके की जाती है, जो आधार की परिधि को ऊंचाई से गुणा करने के बराबर भी है: CSA = C × h CSA = 22 × 20 = 440 वर्ग सेमी

व्याख्या

छात्र के पाँच विषयों में अंक 70, 55, 70, 55 और 55 हैं।

इन अंकों का औसत ज्ञात करने के लिए, सभी अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है:

अंकों का योग = 70 + 55 + 70 + 55 + 55 = 305

विषयों की संख्या = 5

औसत अंक = 305 ÷ 5 = 61

चूंकि खराब उपस्थिति के कारण इस औसत से पाँच अंक काटे जाने हैं, इसलिए शुद्ध औसत अंक हैं:

शुद्ध औसत अंक = 61 - 5 = 56

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों के मापों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में n = 14 रखने पर:

योग = (14 - 2) × 180° योग = 12 × 180° योग = 2160°

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर दोनों समान समय अवधि तक दौड़ते हैं जब तक कि पीछा समाप्त नहीं हो जाता, प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनकी संबंधित गति के सीधे आनुपातिक होती है।

पुलिसकर्मी और चोर की गति का अनुपात = 7 : 5

इसका मतलब है कि पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात भी 7 : 5 है।

उनकी दूरियों में अंतर उनके बीच की प्रारंभिक 350 मीटर की दूरी को दर्शाता है।

अनुपात इकाइयों में अंतर = 7 - 5 = 2 इकाइयाँ

चूंकि 2 इकाइयाँ 350 मीटर के बराबर हैं, इसलिए 1 इकाई 175 मीटर के बराबर है।

चोर द्वारा तय की गई दूरी 5 इकाइयाँ है: दूरी = 5 × 175 = 875 मीटर

व्याख्या

A 25 दिनों में कार्य का 75% पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि A की कार्य करने की दैनिक दर प्रति दिन कार्य का 75% ÷ 25 = 3% है।

शेष 25% कार्य A और B मिलकर 5 दिनों में पूरा करते हैं। इसका मतलब है कि उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर प्रति दिन कार्य का 25% ÷ 5 = 5% है।

उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर से A की दैनिक कार्य दर घटाने पर B की दैनिक कार्य दर प्राप्त होती है: 5% - 3% = प्रति दिन कार्य का 2%।

चूंकि B एक दिन में कार्य का 2% पूरा करता है, इसलिए B को अकेले 100% कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: 100% ÷ 2% = 50 दिन।

व्याख्या

n क्रमागत सम पूर्णांकों की एक अंकगणितीय श्रेणी के लिए, जिसका औसत A है, श्रेणी में सबसे बड़ा पूर्णांक निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

सबसे बड़ा पूर्णांक = A + (n - 1)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ औसत A = 60 और पदों की संख्या n = 29 है:

सबसे बड़ा पूर्णांक = 60 + (29 - 1) = 60 + 28 = 88

यह सीधे अनुक्रम में सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है।

व्याख्या

जो व्यंजक जोड़ा जाना चाहिए उसे ज्ञात करने के लिए, दूसरे व्यंजक से पहले व्यंजक को घटाएं।

सबसे पहले, लक्ष्य व्यंजक को सरल करें: 4(2x - 3y) + 5(x + 4y) = 8x - 12y + 5x + 20y समान पदों को मिलाने पर: (8x + 5x) + (-12y + 20y) = 13x + 8y

इसके बाद, दिए गए व्यंजक को सरल करें: 5(2x - y) = 10x - 5y

आवश्यक जोड़ ज्ञात करने के लिए दिए गए व्यंजक को लक्ष्य व्यंजक से घटाएं: (13x + 8y) - (10x - 5y) = 13x + 8y - 10x + 5y समान पदों को समूहित करना: (13x - 10x) + (8y + 5y) = 3x + 13y

व्याख्या

संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित किया जा सकता है:

पहली: 3(2 - 3x) < 2 - 3x दूसरी: 2 - 3x ≥ 4x - 6

पहली असमानता को हल करना: 6 - 9x < 2 - 3x 4 < 6x x > 2/3

दूसरी असमानता को हल करना: 2 - 3x ≥ 4x - 6 8 ≥ 7x x ≤ 8/7

दोनों असमानताओं को मिलाकर, x के लिए सीमा है: 2/3 < x ≤ 8/7

दशमलव रूप में, यह लगभग है: 0.67 < x ≤ 1.14

मान 1 इस असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि यह 2/3 और 8/7 के बीच स्थित है।

व्याख्या

हम दिए गए व्यंजक से शुरू करते हैं: X = sec²A + cosec²A

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम पदों को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: sec²A = 1/cos²A cosec²A = 1/sin²A

इन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: X = (1/cos²A) + (1/sin²A)

एक सामान्य हर लेकर, हम भिन्नों को संयोजित करते हैं: X = (sin²A + cos²A) / (sin²A cos²A)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 लागू करने पर: X = 1 / (sin²A cos²A)

इस व्यंजक को दो भिन्नों के गुणनफल के रूप में पुनः लिखा जा सकता है: X = (1/cos²A) × (1/sin²A)

व्युत्क्रम परिभाषाओं को वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: X = sec²A cosec²A

व्याख्या

प्रभावी वार्षिक ब्याज दर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

E = (1 + r/n)ⁿ - 1

जहाँ r नाममात्र वार्षिक ब्याज दर को दर्शाता है और n प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है।

दिया गया है कि ब्याज दर r 15% (या दशमलव रूप में 0.15) है और ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से देय है, इसलिए प्रति वर्ष दो बार चक्रवृद्धि होती है, अतः n = 2। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

E = (1 + 0.15/2)² - 1

E = (1 + 0.075)² - 1

E = (1.075)² - 1

E = 1.155625 - 1

E = 0.155625

इस मान को प्रतिशत में बदलने पर प्राप्त होता है:

E = 0.155625 × 100% = 15.56%

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

दिए गए मानों, d₁ = 25 और d₂ = 10 को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 25 + 10 - (25 × 10)/100 = 35 - 2.5 = 32.5%

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए, उसका विविक्तकर D = b² - 4ac शून्य से अधिक (D > 0) होना चाहिए।

इस सूत्र को समीकरण 3x² - 6x + 2 = 0 पर लागू करने पर, जहाँ a = 3, b = -6, और c = 2:

D = (-6)² - 4 × 3 × 2 D = 36 - 24 D = 12

चूंकि विविक्तकर 12 है, जो शून्य से अधिक है, इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

व्याख्या

एक 30°-60°-90° समकोण त्रिभुज में, 30°, 60°, और 90° कोणों के सम्मुख भुजाएँ हमेशा 1 : √3 : 2 के अनुपात में होती हैं। चूँकि 30° कोण के सम्मुख भुजा 9 सेमी दी गई है, इसलिए 60° कोण के सम्मुख भुजा की गणना सीधे 9 × √3 = 9√3 सेमी के रूप में की जाती है।

वैकल्पिक रूप से, इन कोणों वाले किसी भी त्रिभुज के लिए साइन के नियम का उपयोग करके: a/sin(A) = b/sin(B)

A = 30°, B = 60°, और a = 9 सेमी प्रतिस्थापित करने पर:

9/sin(30°) = b/sin(60°)

9/(1/2) = b/(√3/2)

18 = 2b/√3

b = 9√3 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज ABC की माध्यिका AD, शीर्ष A को सम्मुख भुजा BC के मध्य-बिंदु D से जोड़ने वाला रेखाखंड है।

सर्वप्रथम, BC के मध्य-बिंदु D के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जाते हैं: D = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

B(-4, 0) और C(-2, 2) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: D = ((-4 + (-2))/2, (0 + 2)/2) = (-3, 1)

इसके बाद, दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और D(x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है: y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) × (x - x₁)

A(-5, 4) और D(-3, 1) का उपयोग करने पर: y - 4 = ((1 - 4) / (-3 - (-5))) × (x - (-5)) y - 4 = (-3 / 2) × (x + 5) 2(y - 4) = -3(x + 5) 2y - 8 = -3x - 15 3x + 2y = -7

व्याख्या

मान लीजिए थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य C है।

थोक विक्रेता घड़ी को खुदरा विक्रेता को 37% लाभ पर बेचता है। अतः, खुदरा विक्रेता के लिए क्रय मूल्य है: खुदरा विक्रेता के लिए क्रय मूल्य = C × (1 + 37/100) = 1.37 × C

खुदरा विक्रेता फिर घड़ी को ग्राहक को 25% हानि पर बेचता है। अतः, ग्राहक द्वारा भुगतान की गई कीमत है: ग्राहक द्वारा भुगतान की गई कीमत = 1.37 × C × (1 - 25/100) = 1.37 × C × 0.75

हमें दिया गया है कि ग्राहक ने 2620.125 रुपये का भुगतान किया। समीकरण स्थापित करना: 1.37 × C × 0.75 = 2620.125

0.75 के भिन्नात्मक निरूपण 3/4 का उपयोग करके: C × 1.37 × 3/4 = 2620.125 C × 4.11 / 4 = 2620.125 C × 4.11 = 10480.5 C = 10480.5 / 4.11 C = 2550

व्याख्या

मान लीजिए रशिका और शामी की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 5x है।

प्रश्न के अनुसार, 17 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 12:11 हो जाता है। इसे समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

(7x + 17) / (5x + 17) = 12 / 11

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

11 × (7x + 17) = 12 × (5x + 17)

77x + 187 = 60x + 204

77x - 60x = 204 - 187

17x = 17

x = 1

x का मान रखने पर, रशिका की वर्तमान आयु 7x = 7 × 1 = 7 वर्ष है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय परिभाषा के अनुसार, दो कोणों के योग का स्पर्शज्या (tangent) इस प्रकार दिया जाता है:

tan(A + B) = sin(A + B) / cos(A + B)

साइन और कोसाइन के योग सूत्रों का उपयोग करके:

sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB

इनको स्पर्शज्या अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

tan(A + B) = (sinA cosB + cosA sinB) / (cosA cosB - sinA sinB)

अंश और हर दोनों को cosA cosB से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

tan(A + B) = ((sinA cosB / cosA cosB) + (cosA sinB / cosA cosB)) / ((cosA cosB / cosA cosB) - (sinA sinB / cosA cosB))

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB)

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

दिए गए मानों (x₁, y₁) = (7, 7), (x₂, y₂) = (k, -5), और d = 13 को प्रतिस्थापित करने पर: 13 = √((k - 7)² + (-5 - 7)²)

वर्गमूल को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 169 = (k - 7)² + (-12)² 169 = (k - 7)² + 144 (k - 7)² = 25

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: k - 7 = ±5

इससे k के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: k = 7 + 5 = 12 k = 7 - 5 = 2

विकल्पों में से, 2 सही मान है।