एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय व्यंजक है: (2 sin 68°) / cos 22° - (2 cot 15°) / (5 tan 75°) - (3 tan 45° · tan 20° · tan 40° · tan 50° · tan 70°) / 5

प्रत्येक पद को पूरक कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है:

पहले पद के लिए: cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करके, हमें cos 22° = sin(90° - 22°) = sin 68° प्राप्त होता है। (2 sin 68°) / cos 22° = (2 sin 68°) / sin 68° = 2

दूसरे पद के लिए: tan θ = cot(90° - θ) का उपयोग करके, हमें tan 75° = cot(90° - 75°) = cot 15° प्राप्त होता है। (2 cot 15°) / (5 tan 75°) = (2 cot 15°) / (5 cot 15°) = 2/5

तीसरे पद के लिए: tan θ · tan(90° - θ) = 1 का उपयोग करके: tan 20° · tan 70° = tan 20° · cot 20° = 1 tan 40° · tan 50° = tan 40° · cot 40° = 1 चूंकि tan 45° = 1 है, अंश सरल होकर प्राप्त होता है: 3 × 1 × 1 × 1 = 3 (3 tan 45° · tan 20° · tan 40° · tan 50° · tan 70°) / 5 = 3/5

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 2 - 2/5 - 3/5 = 2 - 5/5 = 2 - 1 = 1

व्याख्या

पूरक कोण संबंध का उपयोग करके, हमारे पास cot 72° = cot(90° - 18°) = tan 18° है।

इससे प्राप्त होता है: 1/cot² 72° = 1/tan² 18° = cot² 18°

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: csc² 18° - 1/cot² 72° = csc² 18° - cot² 18°

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: csc² 18° - cot² 18° = 1

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम व्यंजक के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।

सबसे पहले, 1 - sin²α = cos²α और 1 - cos²α = sin²α। इसलिए, व्यंजक का पहला भाग cos²α × sin²α बन जाता है।

दूसरा, चूँकि α + β = 90°, हमारे पास β = 90° - α है। इससे cot β = cot(90° - α) = tan α, और tan β = tan(90° - α) = cot α प्राप्त होता है। इनको व्यंजक के दूसरे भाग में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + cot²β = 1 + tan²α = sec²α 1 + tan²β = 1 + cot²α = cosec²α अतः, व्यंजक का दूसरा भाग sec²α × cosec²α तक सरल हो जाता है।

दोनों भागों को एक साथ गुणा करने पर: (cos²α × sin²α) × (sec²α × cosec²α) = cos²α × sin²α × (1/cos²α) × (1/sin²α) = 1

व्याख्या

दिए गए समीकरण tan θ - cot θ = 0 से, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: tan θ = cot θ

चूंकि cot θ, tan θ का व्युत्क्रम होता है, इससे प्राप्त होता है: tan θ = 1/tan θ tan² θ = 1

पहले चतुर्थांश में न्यून कोण θ के लिए, इससे tan θ = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है θ = 45°।

sin θ + cos θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम θ = 45° प्रतिस्थापित करते हैं: sin 45° + cos 45° = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2।

व्याख्या

किसी भी बहुभुज के आंतरिक कोण और बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है। यदि बाह्य कोण का माप x है, तो आंतरिक कोण 2x होगा।

इस संबंध का उपयोग करके: 2x + x = 180° 3x = 180° x = 60°

इसलिए, सम बहुभुज का बाह्य कोण 60° है।

एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या n की गणना उसके बाह्य कोण के माप को 360° से विभाजित करके की जाती है: n = 360° / 60° n = 6

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय प्रिज्म का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई

प्रिज्म का आधार 6 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आधार क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

a = 6 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: आधार क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 6² = (√3 / 4) × 36 = 9√3 वर्ग सेमी

यह देखते हुए कि प्रिज्म का आयतन 81√3 घन सेमी है, हम इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 81√3 = 9√3 × ऊँचाई

दोनों पक्षों को 9√3 से विभाजित करने पर: ऊँचाई = 9 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण में वर्गमूलों को सरल करें: √75 = 5√3 √50 = 5√2 √24 = 2√6

इन सरलीकृत पदों को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: ((x - 2√6)(5√3 + 5√2)) / (5√3 - 5√2) = 1

भिन्न के अंश और हर से 5 को गुणनखंडित करें: ((x - 2√6) × 5(√3 + √2)) / (5(√3 - √2)) = 1 ((x - 2√6)(√3 + √2)) / (√3 - √2) = 1

समीकरण के दोनों पक्षों को (√3 - √2) से गुणा करें: (x - 2√6)(√3 + √2) = √3 - √2

x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को (√3 + √2) से विभाजित करें: x - 2√6 = (√3 - √2) / (√3 + √2)

दाहिने पक्ष के हर को (√3 - √2) से अंश और हर को गुणा करके परिमेय करें: x - 2√6 = (√3 - √2)² / ((√3 + √2)(√3 - √2)) x - 2√6 = (3 + 2 - 2√6) / (3 - 2) x - 2√6 = 5 - 2√6

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों में 2√6 जोड़ें: x = 5

व्याख्या

अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक भाज्य आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें:

4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰ 7³ = 7³ 16² = (2⁴)² = 2⁸ 11 = 11¹ 10² = (2 × 5)² = 2² × 5²

अब, इन अभाज्य गुणनखंडनों का उपयोग करके पूरे गुणनफल को फिर से लिखें:

2²⁰ × 7³ × 2⁸ × 11¹ × 2² × 5² = 2³⁰ × 5² × 7³ × 11¹

अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या इन अभाज्य आधारों की घातों का योग है:

30 + 2 + 3 + 1 = 36

व्याख्या

√0.9 के मान के सबसे निकट की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम वर्गमूल की सीधे गणना करते हैं।

हम √0.9 को √(90/100) = √90 / 10 के रूप में पुनः लिख सकते हैं।

चूंकि 9² = 81 और 10² = 100, √90, 9 और 10 के बीच स्थित है, विशेष रूप से लगभग 9.486 पर।

इसे 10 से विभाजित करने पर √0.9 ≈ 0.9486 प्राप्त होता है।

इस परिणाम की 0.9 से तुलना करने पर, निरपेक्ष अंतर |0.9486 - 0.9| = 0.0486 है, जो विकल्पों में सबसे छोटा विचलन दर्शाता है, जिससे 0.9 निकटतम मान बन जाता है।

व्याख्या

मानक विभाजन सूत्र बताता है: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

प्रश्न में कहा गया है कि शेषफल 36 है।

भाजक शेषफल का 5 गुना है: भाजक = 5 × 36 = 180

भाजक भागफल का 12 गुना भी है: भागफल = भाजक ÷ 12 = 180 ÷ 12 = 15

इन मानों को विभाजन सूत्र में उपयोग करते हुए: भाज्य = (180 × 15) + 36 भाज्य = 2700 + 36 = 2736

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करके व्यंजक को सरलीकृत किया जा सकता है: 3 ½ = 7/2 2 ¼ = 9/4 1 ¼ = 5/4 1 ½ = 3/2

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 7/2 - [ 9/4 ÷ { 5/4 - ½ ( 3/2 - ⅓ - ⅙ ) } ]

BODMAS नियम लागू करने पर, हम सबसे पहले सबसे भीतरी कोष्ठकों ( 3/2 - ⅓ - ⅙ ) को हल करते हैं। 2, 3 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 लेने पर, यह सरलीकृत होकर: 9/6 - 2/6 - 1/6 = 6/6 = 1

अगला, हम कोष्ठकों के अंदर के पदों का मूल्यांकन करते हैं: 5/4 - ½ × 1 = 5/4 - 2/4 = 3/4

अब, हम वर्ग कोष्ठकों के अंदर के भाग को हल करते हैं: 9/4 ÷ 3/4 = 9/4 × 4/3 = 3

अंत में, हम कोष्ठकों के बाहर के घटाव को करते हैं: 7/2 - 3 = 7/2 - 6/2 = ½

व्याख्या

मान लीजिए अरबिंद की प्रारंभिक आय ₹100 है। चूंकि वह अपनी आय का 75% खर्च करता है, उसका व्यय ₹75 है और उसकी बचत ₹25 है।

उसकी आय 20% बढ़ जाती है, जिससे उसकी नई आय ₹120 हो जाती है। उसका व्यय 10% बढ़ जाता है, जिससे उसका नया व्यय 75 × 1.10 = ₹82.5 हो जाता है।

उसकी नई बचत 120 - 82.5 = ₹37.5 के रूप में गणना की जाती है।

बचत में वृद्धि 37.5 - 25 = ₹12.5 है।

बचत में प्रतिशत वृद्धि (12.5 / 25) × 100 = 50% है।

व्याख्या

पहली मिश्र धातु में तांबे का अंश 1 / (1 + 3) = 1/4 है।

दूसरी मिश्र धातु में तांबे का अंश 2 / (2 + 5) = 2/7 है।

नई मिश्र धातु में, टिन और तांबे का अनुपात 8:3 है, जिसका अर्थ है कि तांबे और टिन का अनुपात 3:8 है। इस प्रकार, नई मिश्र धातु में तांबे का अंश 3 / (3 + 8) = 3/11 है।

तांबे की सांद्रता पर मिश्रण के नियम को लागू करने पर:

पहली मिश्र धातु का दूसरी मिश्र धातु से अनुपात = (2/7 - 3/11) : (3/11 - 1/4)

पदों को सरल बनाने पर:

पहला पद = 2/7 - 3/11 = (22 - 21) / 77 = 1/77

दूसरा पद = 3/11 - 1/4 = (12 - 11) / 44 = 1/44

इसलिए, अनुपात 1/77 : 1/44 है। अनुपात के दोनों भागों को 308 से गुणा करने पर, हमें 4:7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है।

दो संख्याओं का योग है: x + y = 520

बड़ी संख्या में 4% की कमी करने पर 0.96x प्राप्त होता है, और छोटी संख्या में 12% की वृद्धि करने पर 1.12y प्राप्त होता है। चूँकि ये दो मान बराबर हैं: 0.96x = 1.12y

इसे अनुपात के रूप में व्यक्त करने पर: x/y = 1.12 / 0.96 = 112 / 96 = 7/6

यह बड़ी संख्या और छोटी संख्या का अनुपात 7:6 देता है।

अनुपात पदों का योग 7 + 6 = 13 इकाई है, जो 520 की कुल योग के बराबर है।

1 इकाई का मान = 520 / 13 = 40

छोटी संख्या 6 इकाइयों द्वारा दर्शायी जाती है: y = 6 × 40 = 240

व्याख्या

मान लीजिए अल्कोहल और पानी की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 4x और 3x लीटर है।

जब 5 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो अल्कोहल की मात्रा अपरिवर्तित रहकर 4x लीटर रहती है, जबकि पानी की मात्रा 3x + 5 लीटर हो जाती है।

अल्कोहल और पानी का नया अनुपात 4:5 दिया गया है। इसलिए:

4x / (3x + 5) = 4 / 5

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर:

x / (3x + 5) = 1 / 5

तिर्यक गुणा करने पर:

5x = 3x + 5

2x = 5

x = 2.5

मिश्रण में अल्कोहल की मात्रा है:

4x = 4 × 2.5 = 10 लीटर।

व्याख्या

जब m क्रमागत संख्याओं को क्रमागत संख्याओं के अनुक्रम में जोड़ा जाता है, तो श्रृंखला का औसत m/2 बढ़ जाता है। चूँकि अनुक्रम में अगली 2 संख्याओं को शामिल किया गया है, m = 2। इसलिए, औसत 2/2 = 1 बढ़ जाएगा।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए मूलधन P है। साधारण ब्याज P/16 के रूप में दिया गया है। चूँकि वर्षों की संख्या प्रति वर्ष दर प्रतिशत के संख्यात्मक रूप से बराबर है, T = R।

साधारण ब्याज सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

P/16 = (P × R × R) / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

R² = 100 / 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

R = 10 / 4 = 2.5 = 2 ½

व्याख्या

माना a + b = 6k, b + c = 7k, और c + a = 8k, जहाँ k एक स्थिरांक है।

इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर: (a + b) + (b + c) + (c + a) = 6k + 7k + 8k 2(a + b + c) = 21k

दिए गए मान a + b + c = 14 को प्रतिस्थापित करने पर: 2 × 14 = 21k 28 = 21k k = 28/21 = 4/3

अब, k का मान समीकरण a + b में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a + b = 6k = 6 × (4/3) = 8

c ज्ञात करने के लिए, (a + b) को (a + b + c) से घटाएँ: c = (a + b + c) - (a + b) c = 14 - 8 = 6

व्याख्या

व्यंजक के प्रत्येक पद का मूल्यांकन करने पर:

√20 = √(4 × 5) = 2√5

√12 = √(4 × 3) = 2√3

∛729 = 9

√81 = 9

पद 4/(√5 - √3) के हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को (√5 + √3) से गुणा करें: 4/(√5 - √3) = [4(√5 + √3)] / [(√5 - √3)(√5 + √3)] बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके: 4/(√5 - √3) = 4(√5 + √3) / (5 - 3) 4/(√5 - √3) = 4(√5 + √3) / 2 = 2(√5 + √3) = 2√5 + 2√3

इन मानों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: √20 + √12 + ∛729 - 4/(√5 - √3) - √81 = 2√5 + 2√3 + 9 - (2√5 + 2√3) - 9 = 2√5 + 2√3 + 9 - 2√5 - 2√3 - 9 = 0

व्याख्या

मोबाइल फोन का सूचीबद्ध मूल्य ₹1,500 है।

सबसे पहले, सूचीबद्ध मूल्य पर 10% की छूट लागू करें: पहली छूट के बाद मूल्य = 1500 × (1 - 10/100) = 1500 × 0.9 = ₹1,350

लक्ष्य शुद्ध मूल्य ₹1,242 है।

₹1,350 के मध्यवर्ती मूल्य पर आवश्यक अतिरिक्त छूट राशि है: अतिरिक्त छूट राशि = 1350 - 1242 = ₹108

मध्यवर्ती मूल्य के आधार पर अतिरिक्त छूट प्रतिशत की गणना करें: अतिरिक्त छूट प्रतिशत = (108 / 1350) × 100 = 8%

व्याख्या

मान लीजिए A, B और C का प्रारंभिक निवेश क्रमशः 5x, 4x और 3x है।

व्यवसाय में भागीदारों का लाभ एक वर्ष (12 महीने) की अवधि में उनके समतुल्य निवेश के अनुपात में साझा किया जाता है:

A का समतुल्य निवेश = 5x × 12 = 60x

B का समतुल्य निवेश = (4x × 4) + (4x + 1000) × 8 = 16x + 32x + 8000 = 48x + 8000

C का समतुल्य निवेश = (3x × 8) + (3x + 2000) × 4 = 24x + 12x + 8000 = 36x + 8000

A से B के लाभ साझाकरण का अनुपात 15:14 दिया गया है, इसलिए: 60x / (48x + 8000) = 15 / 14

दोनों पक्षों पर अंश को 15 से विभाजित करने पर: 4x / (48x + 8000) = 1 / 14

तिरछा गुणा करने पर: 56x = 48x + 8000 8x = 8000 x = 1000

शुरुआत में C का निवेश 3x था: 3x = 3 × 1000 = ₹3,000

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है, और एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है।

कुल दूरी = 125 + 125 = 250 मीटर लिया गया समय = 6 सेकंड

सापेक्ष गति = दूरी / समय = 250 / 6 मीटर/सेकंड

गति को मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: सापेक्ष गति = (250 / 6) × (18 / 5) = 150 किमी/घंटा

चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं: सापेक्ष गति = पहली ट्रेन की गति + दूसरी ट्रेन की गति 150 = 65 + दूसरी ट्रेन की गति दूसरी ट्रेन की गति = 150 - 65 = 85 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए मूल क्रय मूल्य CP है।

वस्तु को शुरू में 12% के लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए प्रारंभिक विक्रय मूल्य है: SP₁ = 1.12 × CP

नई शर्त के अनुसार, यदि क्रय मूल्य 10% कम होता है, तो नया क्रय मूल्य हो जाता है: CP₂ = 0.90 × CP

यदि विक्रय मूल्य ₹5.75 अधिक होता है, तो नया विक्रय मूल्य हो जाता है: SP₂ = 1.12 × CP + 5.75

इन शर्तों के तहत, लाभ 30% है। इसलिए: SP₂ = 1.30 × CP₂ 1.12 × CP + 5.75 = 1.30 × 0.90 × CP 1.12 × CP + 5.75 = 1.17 × CP 1.17 × CP - 1.12 × CP = 5.75 0.05 × CP = 5.75 CP = 5.75 / 0.05 = 115

मूल क्रय मूल्य ₹115 है।

20% का लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य होना चाहिए: विक्रय मूल्य = 1.20 × CP = 1.20 × 115 = 138

व्याख्या

मान लीजिए एक कलम का क्रय मूल्य CP है और एक कलम का विक्रय मूल्य SP है।

दिया गया संबंध यह है कि 12 कलमों का क्रय मूल्य 8 कलमों के विक्रय मूल्य के बराबर है: 12 × CP = 8 × SP

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात प्राप्त होता है: SP / CP = 12 / 8 = 3/2

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = ((SP - CP) / CP) × 100 = (SP/CP - 1) × 100

अनुपात को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (3/2 - 1) × 100 = ½ × 100 = 50%

व्याख्या

घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मान a - b = 3 और a³ - b³ = 117 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 117 = 3³ + 3ab(3) 117 = 27 + 9ab 90 = 9ab ab = 10

अब, दो संख्याओं के योग और अंतर से संबंधित सर्वसमिका का उपयोग करें: (a + b)² = (a - b)² + 4ab

(a - b) और ab के मानों को प्रतिस्थापित करें: (a + b)² = 3² + 4(10) (a + b)² = 9 + 40 (a + b)² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर निरपेक्ष मान प्राप्त होता है: |a + b| = √49 = 7

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

ab + bc + ca का मान ज्ञात करने के लिए, हम (a + b + c)² के विस्तार का उपयोग करते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 15² = 83 + 2(ab + bc + ca) 225 = 83 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 225 - 83 2(ab + bc + ca) = 142 ab + bc + ca = 71

अब, इन मानों को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = 15 × (83 - 71) a³ + b³ + c³ - 3abc = 15 × 12 a³ + b³ + c³ - 3abc = 180

व्याख्या

दो समीकरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु (p, q) को ज्ञात करने के लिए, हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

3x + 2y = 18 -2x + 3y = 1

पहले समीकरण को 2 से और दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर:

6x + 4y = 36 -6x + 9y = 3

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर x समाप्त हो जाता है:

13y = 39 y = 3

y = 3 को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

3x + 2(3) = 18 3x + 6 = 18 3x = 12 x = 4

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु (p, q) (4, 3) है, जिससे p = 4 और q = 3 प्राप्त होता है।

p + q का मान है:

4 + 3 = 7

व्याख्या

दिया गया समीकरण है x = 4√15 / (√5 + √3)।

हमें (x + √20)/(x - √20) + (x + √12)/(x - √12) का मान ज्ञात करना है।

चूंकि √20 = 2√5 और √12 = 2√3 है, व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: (x + 2√5)/(x - 2√5) + (x + 2√3)/(x - 2√3)

इसे हल करने के लिए, हम 2√5 और 2√3 के पदों में x को व्यक्त कर सकते हैं ताकि योगांतर अनुपात (componendo and dividendo) नियम लागू किया जा सके।

मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 2√5 से विभाजित करने पर: x / (2√5) = 2√3 / (√5 + √3)

योगांतर अनुपात लागू करने पर: (x + 2√5) / (x - 2√5) = (2√3 + √5 + √3) / (2√3 - √5 - √3) (x + 2√5) / (x - 2√5) = (3√3 + √5) / (√3 - √5)

अब, मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 2√3 से विभाजित करने पर: x / (2√3) = 2√5 / (√5 + √3)

योगांतर अनुपात लागू करने पर: (x + 2√3) / (x - 2√3) = (2√5 + √5 + √3) / (2√5 - √5 - √3) (x + 2√3) / (x - 2√3) = (3√5 + √3) / (√5 - √3) = -(3√5 + √3) / (√3 - √5)

दो परिणामी व्यंजकों को एक साथ जोड़ने पर: (x + 2√5) / (x - 2√5) + (x + 2√3) / (x - 2√3) = (3√3 + √5) / (√3 - √5) - (3√5 + √3) / (√3 - √5) = (3√3 + √5 - 3√5 - √3) / (√3 - √5) = (2√3 - 2√5) / (√3 - √5) = 2(√3 - √5) / (√3 - √5) = 2

व्याख्या

4 पुरुषों द्वारा किया गया कार्य 6 महिलाओं के कार्य के बराबर है, जिससे दक्षता संबंध प्राप्त होता है: 4M = 6W M/W = 3/2

एक पुरुष की दक्षता 3 इकाई/घंटा और एक महिला की दक्षता 2 इकाई/घंटा मानते हुए, 4 पुरुषों की दक्षता 4 × 3 = 12 इकाई/घंटा है।

प्रारंभिक कार्य, W₁, की गणना इस प्रकार की जाती है: W₁ = दक्षता × दिन × घंटे = 12 × 12 × 7 = 1008 इकाई

नया कार्य दोगुना बड़ा है: W₂ = 2 × 1008 = 2016 इकाई

एक साथ काम करने वाले 10 पुरुषों और 3 महिलाओं की संयुक्त दक्षता है: E = (10 × 3) + (3 × 2) = 36 इकाई/घंटा

कार्य सूत्र का उपयोग करके: W₂ = E × दिन × घंटे 2016 = 36 × दिन × 8 2016 = 288 × दिन दिन = 2016 / 288 = 7 दिन

व्याख्या

दिया गया समीकरण है x² - 3x + 1 = 0। दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x - 3 + 1/x = 0 x + 1/x = 3

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम पाते हैं: x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 = 3² - 2 = 7 x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = 3³ - 3(3) = 18

इन मानों का उपयोग करके, हम x⁵ + 1/x⁵ निर्धारित करते हैं: x⁵ + 1/x⁵ = (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) - (x + 1/x) x⁵ + 1/x⁵ = 7 × 18 - 3 = 126 - 3 = 123

व्याख्या

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC की बराबर भुजाएँ AB = BC = x मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण AC, AC² = AB² + BC² = x² + x² = 2x² द्वारा दिया गया है, जिसका अर्थ है AC = x√2।

चूंकि ΔABE और ΔACD दोनों समबाहु त्रिभुज हैं, वे एक दूसरे के समरूप हैं। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

Area(ΔABE) / Area(ΔACD) = AB² / AC² = x² / (x√2)² = x² / 2x² = 1/2, जो 1:2 के अनुपात को सरल करता है।

व्याख्या

मान लीजिए O संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र है। चूँकि AB बड़े वृत्त का व्यास है और E इसकी परिधि पर स्थित है, ∠AEB = 90° है क्योंकि अर्धवृत्त में व्यास द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है। इस प्रकार, AE, BE पर लंबवत है।

चूँकि BD छोटे वृत्त की D पर स्पर्शरेखा है, त्रिज्या OD, BE पर लंबवत है। क्योंकि AE और OD दोनों BE पर लंबवत हैं, OD, AE के समानांतर है।

ΔABE में, O, AB का मध्य बिंदु है। चूँकि OD, AE के समानांतर है, मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, D, BE का मध्यबिंदु है, जिससे हमें प्राप्त होता है: AE = 2 × OD = 2 × 8 = 16 सेमी

समकोण ΔODB में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: BD = √(OB² - OD²) = √(13² - 8²) = √(169 - 64) = √105 सेमी

चूँकि D, BE का मध्यबिंदु है, हमारे पास DE = BD = √105 सेमी है।

समकोण ΔAED में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: AD = √(AE² + DE²) = √(16² + (√105)²) = √(256 + 105) = √361 = 19 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए O दो संकेंद्रित वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है। O से रेखा ABCD पर एक लंब रेखा खंड OM खींचिए, जो इसे M पर मिलती है।

चूँकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, M छोटे वृत्त की जीवा BC का मध्य बिंदु है, और यह बड़े वृत्त की जीवा AD का भी मध्य बिंदु है।

छोटे वृत्त के लिए, त्रिज्या OB = 10 सेमी, और जीवा BC = 12 सेमी। BM = BC / 2 = 12 / 2 = 6 सेमी

समकोण त्रिभुज OMB में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OM² = OB² - BM² OM² = 10² - 6² OM² = 100 - 36 OM² = 64 OM = 8 सेमी

बड़े वृत्त के लिए, त्रिज्या OA = 17 सेमी। समकोण त्रिभुज OMA में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AM² = OA² - OM² AM² = 17² - 8² AM² = 289 - 64 AM² = 225 AM = 15 सेमी

चूँकि M, AD का मध्य बिंदु है: AD = 2 × AM = 2 × 15 = 30 सेमी

व्याख्या

रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार, त्रिभुज के एक आंतरिक कोण और उसके आसन्न बाह्य कोण का योग 180° होता है।

B पर आंतरिक कोण है: ∠B = 180° - 120° = 60°

C पर आंतरिक कोण है: ∠C = 180° - 105° = 75°

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, त्रिभुज ABC में सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ∠A + 60° + 75° = 180° ∠A + 135° = 180° ∠A = 180° - 135° = 45°

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, माध्यिकाओं की लंबाइयों का योग त्रिभुज की परिधि से हमेशा कम होता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, माध्यिका AD को G बिंदु तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि AD = DG, और CG को मिलाएँ। त्रिभुज ABD और GCD में, BD = CD क्योंकि AD माध्यिका है, AD = GD निर्माण द्वारा है, और कोण ADB कोण GDC के बराबर है क्योंकि वे शीर्षभिमुख कोण हैं। SAS सर्वांगसमता द्वारा, त्रिभुज ABD, त्रिभुज GCD के सर्वांगसम है, जिससे AB = CG प्राप्त होता है।

त्रिभुज ACG में, त्रिभुज असमानता द्वारा, दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है, इसलिए AC + CG > AG। CG = AB और AG = 2AD प्रतिस्थापित करने पर, हमें AB + AC > 2AD, या AD < ½(AB + AC) प्राप्त होता है।

अन्य दो माध्यिकाओं पर भी यही असमानता लागू करने पर: BE < ½(AB + BC) CF < ½(BC + AC)

इन तीन असमानताओं को एक साथ जोड़ने पर: AD + BE + CF < ½(AB + AC + AB + BC + BC + AC) AD + BE + CF < ½(2AB + 2BC + 2CA) AD + BE + CF < AB + BC + CA

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 12x और 12y हैं, जहाँ x और y सह-अभाज्य पूर्णांक हैं जिनका महत्तम समापवर्तक 1 है।

दो संख्याओं का गुणनफल 2160 दिया गया है: 12x × 12y = 2160 144xy = 2160 xy = 15

चूंकि x और y सह-अभाज्य होने चाहिए, हम 15 के सह-अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े ज्ञात करते हैं। (x, y) के संभावित जोड़े हैं: (1, 15) (3, 5)

इससे संख्याओं के ठीक 2 ऐसे संभावित जोड़े मिलते हैं, जो (12, 180) और (36, 60) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए तेज पाइप अकेले टंकी को भरने में x घंटे का समय लेता है। चूँकि दूसरा पाइप 10 घंटे धीमी गति से टंकी भरता है, इसलिए धीमी पाइप द्वारा लिया गया समय x + 10 घंटे है।

जब दोनों पाइप एक साथ कार्य करते हैं, तो वे टंकी को 12 घंटे में भरते हैं। प्रति घंटे उनकी कार्य दर को व्यक्त करने पर समीकरण प्राप्त होता है:

1/x + 1/(x + 10) = 1/12

बाएँ पक्ष के पदों को संयोजित करने पर:

(x + 10 + x) / (x(x + 10)) = 1/12

(2x + 10) / (x² + 10x) = 1/12

समीकरण को हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:

12(2x + 10) = x² + 10x

24x + 120 = x² + 10x

x² - 14x - 120 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(x - 20)(x + 6) = 0

चूँकि टंकी भरने के लिए लिया गया समय एक धनात्मक मान होना चाहिए, हम x = -6 को छोड़ देते हैं, जिससे x = 20 बचता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन सूत्र V = (1/3)πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

दो शंकुओं के आयतनों का योग है: V_शंकु = (1/3)π(3)²h + (1/3)π(4)²h V_शंकु = (1/3)πh(9 + 16) V_शंकु = (25/3)πh

एक ठोस गोले का आयतन सूत्र V = (4/3)πR³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R त्रिज्या है। 5 सेमी त्रिज्या वाले गोले के लिए: V_गोला = (4/3)π(5)³ V_गोला = (500/3)π

चूँकि दोनों शंकुओं को पिघलाकर गोला बनाया जाता है, इसलिए उनका संयुक्त आयतन गोले के आयतन के बराबर है: (25/3)πh = (500/3)π

दोनों पक्षों से π/3 को रद्द करने पर: 25h = 500 h = 20 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊँचाई h मीटर है, और भूमि पर बिंदु की मीनार के पाद से प्रारंभिक दूरी x है।

अवलोकन की पहली स्थिति से, उन्नयन कोण 45° है। त्रिकोणमितीय अनुपात लागू करने पर: tan 45° = h/x

चूंकि tan 45° = 1 है, हमें प्राप्त होता है: 1 = h/x x = h

मीनार की ओर 60 मीटर चलने पर, मीनार के पाद से नई दूरी x - 60 है, और उन्नयन कोण 60° हो जाता है। त्रिकोणमितीय अनुपात लागू करने पर: tan 60° = h/(x - 60)

चूंकि tan 60° = √3 है, हमें प्राप्त होता है: √3 = h/(h - 60) h = √3(h - 60) h = h√3 - 60√3 h(√3 - 1) = 60√3 h = 60√3 / (√3 - 1)

परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को (√3 + 1) से गुणा करने पर: h = 60√3(√3 + 1) / ((√3 - 1)(√3 + 1)) h = 60(3 + √3) / (3 - 1) h = 60(3 + √3) / 2 h = 30(3 + √3)

व्याख्या

मान लीजिए x = a - b, y = b - c, और z = c - a।

इन चरों का योग है: x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0

चूँकि (a - c)² = (c - a)², दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (a - b)²/((b - c)(c - a)) + (b - c)²/((a - b)(c - a)) + (c - a)²/((a - b)(b - c))

(a - b)(b - c)(c - a) को सामान्य भाजक लेने पर, व्यंजक बन जाता है: ((a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³) / ((a - b)(b - c)(c - a))

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz। इसे अंश पर लागू करने पर: (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³ = 3(a - b)(b - c)(c - a)

इस मान को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 3(a - b)(b - c)(c - a) / ((a - b)(b - c)(c - a)) = 3

व्याख्या

2006 से 2008 तक विज्ञान विषय में योग्य उम्मीदवारों की संख्या क्रमशः 542, 654 और 583 है, जिससे औसत 593 आता है। 2009 से 2011 तक योग्य उम्मीदवारों की संख्या क्रमशः 612, 648 और 660 है, जिससे औसत 640 आता है। इन दो औसत के बीच का अंतर 640 - 593 = 47 है।

व्याख्या

पूरक कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि किसी भी कोण θ के लिए, sin(90° - θ) = cos θ और cot(90° - θ) = tan θ।

कोण 67° के लिए, हम लिख सकते हैं: cot 67° = cot(90° - 23°) = tan 23° sin 67° = sin(90° - 23°) = cos 23°

इन संबंधों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2 cos²23° cot²67° − sin²23° − sin²67° cot²67°

हमें प्राप्त होता है: 2 cos²23° tan²23° − sin²23° − cos²23° tan²23°

चूंकि tan θ = sin θ / cos θ, हम cos²23° tan²23° को sin²23° तक सरल बना सकते हैं। इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर यह मिलता है: 2 sin²23° − sin²23° − sin²23°

समान पदों को संयोजित करने पर: (2 − 1 − 1) sin²23° = 0

व्याख्या

पिरामिड का आधार a = 10√3 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है।

आधार का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: आधार क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = (√3/4) × (10√3)² = 75√3 वर्ग सेमी

पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 270√3 वर्ग सेमी है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) है: LSA = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - आधार क्षेत्रफल = 270√3 - 75√3 = 195√3 वर्ग सेमी

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को इस प्रकार भी व्यक्त किया जाता है: LSA = ½ × आधार का परिमाप × तिर्यक ऊँचाई (l) आधार का परिमाप = 3 × 10√3 = 30√3 सेमी 195√3 = ½ × 30√3 × l 195√3 = 15√3 × l l = 13 सेमी

समबाहु त्रिभुजाकार आधार का अंतःत्रिज्या (r) है: r = a / (2√3) = (10√3) / (2√3) = 5 सेमी

लम्ब पिरामिड की ऊँचाई (h), तिर्यक ऊँचाई (l) और अंतःत्रिज्या (r) के बीच संबंध है: l² = h² + r² 13² = h² + 5² 169 = h² + 25 h² = 144 h = 12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए बेलन की त्रिज्या r₁ और उसकी ऊँचाई h₁ है। बेलन का आयतन V₁ सूत्र V₁ = π r₁² h₁ द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए शंकु की त्रिज्या r₂ और उसकी ऊँचाई h₂ है। शंकु का आयतन V₂ सूत्र V₂ = ⅓ π r₂² h₂ द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि बेलन और शंकु की ऊँचाई बराबर है, हमारे पास h₁ = h₂ = h है। उनके आयतनों का अनुपात है:

V₁ / V₂ = 3 / 1

आयतन सूत्रों को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

(π r₁² h) / (⅓ π r₂² h) = 3

r₁² / (⅓ r₂²) = 3

3 r₁² / r₂² = 3

r₁² / r₂² = 1

r₁ = r₂

चूंकि बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के बराबर है, इसलिए उनके व्यास भी बराबर हैं।

व्याख्या

खुले आयताकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल आयताकार शीट के क्षेत्रफल में से काटे गए चार वर्गाकार कोनों के कुल क्षेत्रफल को घटाने के बराबर होता है।

शीट की मूल लंबाई = 24 सेमी शीट की मूल चौड़ाई = 18 सेमी शीट का मूल क्षेत्रफल = 24 सेमी × 18 सेमी = 432 सेमी²

कोनों से काटे गए प्रत्येक वर्ग की भुजा = 3 सेमी काटे गए एक वर्ग का क्षेत्रफल = 3 सेमी × 3 सेमी = 9 सेमी² काटे गए चार वर्गों का क्षेत्रफल = 4 × 9 सेमी² = 36 सेमी²

शेष शीट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = मूल क्षेत्रफल - कुल काटा गया क्षेत्रफल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 432 सेमी² - 36 सेमी² = 396 सेमी²

इस शेष शीट को मोड़कर खुला आयताकार डिब्बा बनाया जाता है, जिसका अर्थ है कि डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी 396 सेमी² है।

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाएँ 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी हैं। ये लंबाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं क्योंकि 12² + 16² = 144 + 256 = 400, जो 20² के बराबर है। यह पुष्टि करता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जहाँ दो छोटी भुजाएँ, 12 सेमी और 16 सेमी, आधार और ऊँचाई का प्रतिनिधित्व करती हैं, और सबसे लंबी भुजा, 20 सेमी, कर्ण है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × 12 × 16 = 96 सेमी²

व्याख्या

गोले की त्रिज्या r उसके व्यास की आधी होती है, जो कि 6 सेमी है। चूँकि बेलन की त्रिज्या समान है, इसलिए उसकी त्रिज्या भी 6 सेमी है।

गोले के आयतन का सूत्र V = (4/3) π r³ है और बेलन के आयतन का सूत्र V = π r² h है।

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π r² h = (4/3) π r³

दोनों पक्षों को π r² से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है: h = (4/3) r

r = 6 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: h = (4/3) × 6 = 8 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊंचाई h है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° होता है, तो छाया की लंबाई x मान लीजिए। निर्मित समकोण त्रिभुज में, tan 45° = h/x। चूंकि tan 45° = 1, हमें x = h प्राप्त होता है।

जब उन्नयन कोण बदलकर 30° हो जाता है, तो छाया की लंबाई 10 मीटर बढ़ जाती है, जो x + 10 हो जाती है। इस समकोण त्रिभुज में, tan 30° = h/(x + 10)।

चूंकि tan 30° = 1/√3 और x = h, हम x को प्रतिस्थापित करके 1/√3 = h/(h + 10) प्राप्त करते हैं।

तिरछा गुणा करने पर h + 10 = h√3 प्राप्त होता है।

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर h√3 - h = 10 प्राप्त होता है, जिसे h(√3 - 1) = 10 के रूप में सरल किया जाता है।

h के लिए हल करना: h = 10 / (√3 - 1)

हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को संयुग्मी (√3 + 1) से गुणा करना: h = 10(√3 + 1) / ((√3 - 1)(√3 + 1)) h = 10(√3 + 1) / (3 - 1) h = 10(√3 + 1) / 2 h = 5(√3 + 1) मीटर

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के अंश और हर को cos θ से विभाजित करके इसे tan θ के पदों में व्यक्त करें:

(5 sin θ - 3 cos θ) / (5 sin θ + 2 cos θ) = (5 tan θ - 3) / (5 tan θ + 2)

दिए गए मान 5 tan θ = 4 को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

(4 - 3) / (4 + 2) = 1/6

व्याख्या

पहले संबंध से, हम लिख सकते हैं: (x cos θ − y sin θ)² = x² + y²

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: x² cos² θ + y² sin² θ − 2xy sin θ cos θ = x² + y²

सर्वसमिका x² + y² = (x² + y²)(cos² θ + sin² θ) = x² cos² θ + x² sin² θ + y² cos² θ + y² sin² θ का उपयोग करके, हम इसे दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x² cos² θ + y² sin² θ − 2xy sin θ cos θ = x² cos² θ + x² sin² θ + y² cos² θ + y² sin² θ

दोनों पक्षों से x² cos² θ + y² sin² θ घटाने पर प्राप्त होता है: x² sin² θ + 2xy sin θ cos θ + y² cos² θ = 0 (x sin θ + y cos θ)² = 0

इससे प्राप्त होता है: x sin θ + y cos θ = 0 x sin θ = −y cos θ tan θ = −y/x

स्पर्शरेखा संबंध से, हम साइन और कोसाइन फलन को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: sin θ = −y / √(x² + y²) cos θ = x / √(x² + y²)

दोनों त्रिकोणमितीय फलनों का वर्ग करने पर: sin² θ = y² / (x² + y²) cos² θ = x² / (x² + y²)

इन मानों को दूसरे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: cos² θ / a² + sin² θ / b² = 1 / (x² + y²)

हमें प्राप्त होता है: x² / [a²(x² + y²)] + y² / [b²(x² + y²)] = 1 / (x² + y²)

पूरे समीकरण को (x² + y²) से गुणा करने पर सीधे सरलीकरण होता है: x² / a² + y² / b² = 1