एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रत्येक आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं।

आधारों का अभाज्य गुणनखंडन है: 25 = 5 × 5 = 5² 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3 26 = 2 × 13

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (25)¹⁰ × (24)²⁰ × (26)²⁵ = (5²)¹⁰ × (2³ × 3)²⁰ × (2 × 13)²⁵

घातांक के नियमों का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है: 5²⁰ × 2⁶⁰ × 3²⁰ × 2²⁵ × 13²⁵ = 2⁸⁵ × 3²⁰ × 5²⁰ × 13²⁵

अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या सभी अभाज्य आधारों के घातांकों का योग है: 85 + 20 + 20 + 25 = 150

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना सीधे प्रत्येक आधार में अभाज्य गुणनखंडों की संख्या को उसके संबंधित घातांक से गुणा करके की जा सकती है: (25)¹⁰ के लिए: 2 अभाज्य गुणनखंड × 10 = 20 (24)²⁰ के लिए: 4 अभाज्य गुणनखंड × 20 = 80 (26)²⁵ के लिए: 2 अभाज्य गुणनखंड × 25 = 50

इन मानों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 20 + 80 + 50 = 150

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले अंश और हर दोनों में दशमलव स्थानों की कुल संख्या गिनते हैं।

अंश में दशमलव स्थानों की कुल संख्या = 3 (0.625 से) + 4 (0.0729 से) + 1 (28.9 से) = 8 हर में दशमलव स्थानों की कुल संख्या = 4 (0.0081 से) + 3 (0.025 से) + 1 (1.7 से) = 8

चूंकि अंश और हर दोनों में दशमलव स्थानों की कुल संख्या बराबर है, हम दशमलव को पूरी तरह से हटाकर व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(625 × 729 × 289) / (81 × 25 × 17)

अब, हम प्रत्येक संगत पद को विभाजित करते हैं:

625 / 25 = 25 729 / 81 = 9 289 / 17 = 17

इन सरलीकृत गुणनखंडों को गुणा करने पर प्राप्त होता है:

25 × 9 × 17 = 225 × 17 = 3825

व्याख्या

विभाजन में मूल संबंध भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल है।

हमें दिया गया है कि शेषफल 40 है।

चूंकि भाजक शेषफल का 5 गुना है, हम भाजक की गणना इस प्रकार करते हैं: भाजक = 5 × 40 = 200

चूंकि भाजक भागफल का 10 गुना भी है, हम भागफल की गणना इस प्रकार करते हैं: भागफल = भाजक / 10 = 200 / 10 = 20

इन मानों को विभाजन सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर: भाज्य = (200 × 20) + 40 = 4000 + 40 = 4040

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को BODMAS नियम लागू करके सरल किया जा सकता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, पहले कोष्ठक के अंदर गुणनफल की गणना करें: 7/8 × 4/5 = 7/10

इस परिणाम पर पहले पद के साथ 'का' संक्रिया लागू करें: 7/10 का 1/7 = 1/7 × 7/10 = 1/10

इसके बाद, दूसरे कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: 2/3 - 2/5 = (10 - 6)/15 = 4/15

फिर, व्यंजक के अंतिम पद का मूल्यांकन करें: 2/5 का 3/4 = 3/4 × 2/5 = 3/10

अब, इन सरल मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 1/10 + 4/15 + 3/10

समान हर वाली भिन्नों को मिलाएं: 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5

अंत में, इस परिणाम को शेष भिन्न में जोड़ें, इसे 15 के सामान्य हर में परिवर्तित करके: 2/5 + 4/15 = 6/15 + 4/15 = 10/15

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 5, से विभाजित करने पर अंतिम सरलीकृत मान प्राप्त होता है: 2/3

व्याख्या

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम प्रत्येक अपरिमेय पद को चरण-दर-चरण परिमेय करते हैं। व्यंजक का सही रूप है:

x = 5 + 1/√5 + 1/(√5 + 5) + 3/(√5 - 5)

सबसे पहले, हम दूसरे पद को अंश और हर को √5 से गुणा करके परिमेय करते हैं: 1/√5 = √5 / 5

दूसरा, हम तीसरे पद को अंश और हर को (5 - √5) से गुणा करके परिमेय करते हैं: 1/(√5 + 5) = 1/(5 + √5) = (5 - √5) / ((5 + √5)(5 - √5)) = (5 - √5) / (25 - 5) = (5 - √5) / 20 = 1/4 - √5 / 20

तीसरा, हम चौथे पद को अंश और हर को (5 + √5) से गुणा करके परिमेय करते हैं: 3/(√5 - 5) = -3/(5 - √5) = -3(5 + √5) / ((5 - √5)(5 + √5)) = -3(5 + √5) / (25 - 5) = -3(5 + √5) / 20 = -15/20 - 3√5 / 20 = -3/4 - 3√5 / 20

अब, हम दूसरे, तीसरे और चौथे सरलीकृत पदों का योग करते हैं: (√5 / 5) + (1/4 - √5 / 20) + (-3/4 - 3√5 / 20) = (1/4 - 3/4) + (√5 / 5 - √5 / 20 - 3√5 / 20) = -2/4 + (4√5 / 20 - √5 / 20 - 3√5 / 20) = -1/2 + (4 - 1 - 3)√5 / 20 = -1/2 + 0 = -1/2

इस योग को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 5 - 1/2 x = 9/2

व्याख्या

प्रत्येक मिश्रण में दार्जिलिंग चाय के अनुपात पर मिश्रण के नियम का उपयोग करके:

पहले मिश्रण में, दार्जिलिंग चाय का अनुपात 4 / (4 + 7) = 4/11 है।

दूसरे मिश्रण में, दार्जिलिंग चाय का अनुपात 2 / (2 + 5) = 2/7 है।

अंतिम मिश्रण में, दार्जिलिंग चाय का वांछित अनुपात 6 / (6 + 13) = 6/19 है।

पहले मिश्रण और अंतिम मिश्रण में दार्जिलिंग चाय के अनुपात के बीच निरपेक्ष अंतर है: |4/11 - 6/19| = (4 × 19 - 6 × 11) / (11 × 19) = (76 - 66) / 209 = 10/209

दूसरे मिश्रण और अंतिम मिश्रण में दार्जिलिंग चाय के अनुपात के बीच निरपेक्ष अंतर है: |2/7 - 6/19| = |(2 × 19 - 6 × 7)| / (7 × 19) = |38 - 42| / 133 = 4/133

जिस अनुपात में पहले और दूसरे मिश्रण को मिलाया जाना चाहिए वह है: (4/133) : (10/209)

चूंकि 133 = 7 × 19 और 209 = 11 × 19, हम दोनों पदों को 19 से गुणा करते हैं: (4/7) : (10/11)

हर को समाप्त करने के लिए दोनों पदों को 77 से गुणा करते हैं: (4 × 11) : (10 × 7) = 44 : 70

सामान्य गुणनखंड 2 से विभाजित करने पर: 22 : 35

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 25% कम है, जो कि 100 - 25 = 75 है।

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 40% कम है, जो कि 100 - 40 = 60 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि पहली संख्या का दूसरी संख्या कितने प्रतिशत है, हम दूसरी संख्या को पहली संख्या से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं:

(60 / 75) × 100 = (4 / 5) × 100 = 80%

व्याख्या

चूंकि चीनी की कीमत में 20% की कमी हुई है, इसलिए नई कीमत मूल कीमत का 4/5 है।

चूंकि कुल व्यय ₹ 320 पर स्थिर रहता है, इसलिए खरीदी गई चीनी की मात्रा मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसका मतलब है कि नई मात्रा मूल मात्रा का 5/4 हो जाती है।

मात्रा में वृद्धि मूल मात्रा का 1/4 है।

यह देखते हुए कि यह वृद्धि 5 किलोग्राम है: 1/4 × मूल मात्रा = 5 किग्रा मूल मात्रा = 20 किग्रा

चीनी की मूल दर की गणना कुल व्यय को मूल मात्रा से विभाजित करके की जाती है: मूल दर = ₹ 320 ÷ 20 किग्रा = ₹ 16 प्रति किग्रा

व्याख्या

मान लीजिए AB ऊंचाई H का स्मारक है और CD ऊंचाई h की इमारत है, जो क्षैतिज दूरी BD = a से अलग है।

मान लीजिए E, स्मारक AB पर C का प्रक्षेपण है, जिससे AE = H - h और EC = a प्राप्त होता है।

मान लीजिए स्मारक A के शीर्ष से इमारत C के शीर्ष का अवनमन कोण θ है। इससे C से A का उन्नयन कोण θ हो जाता है। समकोण त्रिभुज AEC में: tan θ = AE/EC = (H - h)/a

चूंकि अवनमन कोण पूरक हैं, A से इमारत D के तल का अवनमन कोण 90° - θ है। इससे D से A का उन्नयन कोण 90° - θ हो जाता है। समकोण त्रिभुज ABD में: tan(90° - θ) = AB/BD = H/a cot θ = H/a

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ × cot θ = 1 का उपयोग करके, हम दो व्यंजकों को गुणा करते हैं: ((H - h)/a) × (H/a) = 1 H(H - h)/a² = 1 H(H - h) = a²

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर संबंध प्राप्त होता है: H/a = a/(H - h)

व्याख्या

योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम लागू करने पर, यदि a/b = c/d है, तो (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)।

दिए गए समीकरण पर इस संबंध का उपयोग करने पर: ((sec θ + tan θ) + (sec θ - tan θ)) / ((sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ)) = ((2 + √3) + (2 - √3)) / ((2 + √3) - (2 - √3))

2 sec θ / 2 tan θ = 4 / 2√3

sec θ / tan θ = 2 / √3

चूंकि sec θ = 1/cos θ और tan θ = sin θ/cos θ है, इसलिए बायां पक्ष सरल हो जाता है: (1/cos θ) / (sin θ/cos θ) = 2 / √3

1 / sin θ = 2 / √3

sin θ = √3 / 2

प्रथम चतुर्थांश में वह कोण θ जिसके लिए sin θ = √3 / 2 है, 60° है, जो वृत्तीय माप में π/3 है।

व्याख्या

हमें दिया गया है: cos 43° = x / √(x² + y²)

पूरक कोण संबंध का उपयोग करके: sin 47° = cos(90° - 47°) = cos 43° = x / √(x² + y²)

47° के कोण वाले एक समकोण त्रिभुज में, मान लीजिए लम्ब x है और कर्ण √(x² + y²) है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, त्रिभुज का आधार है: आधार = √((कर्ण)² - (लम्ब)²) = √((x² + y²) - x²) = √(y²) = y

कोण का स्पर्शज्या (tangent) लम्ब और आधार का अनुपात होता है: tan 47° = लम्ब / आधार = x / y

व्याख्या

पहली m संख्याओं का योग उनकी संख्या और उनके औसत का गुणनफल होता है, जो कि m × n² = mn² है।

इसी प्रकार, अगली n संख्याओं का योग n × m² = nm² है।

इन (m + n) संख्याओं का कुल योग दोनों समूहों का योग है: mn² + nm² = mn(n + m) = mn(m + n)

इन (m + n) संख्याओं का औसत कुल योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत = mn(m + n) / (m + n) = mn

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: 1 + cot²α = cosec²α 1 + tan²α = sec²α

इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1/(1 + cot²α) + 1/(1 + tan²α) = 1/cosec²α + 1/sec²α

व्युत्क्रम संबंधों का उपयोग करके जहाँ 1/cosec α = sin α और 1/sec α = cos α, व्यंजक बन जाता है: sin²α + cos²α

पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, sin²α + cos²α = 1। इसलिए, व्यंजक 1 के बराबर सरल हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण में cos θ = 1/sec θ को प्रतिस्थापित करने पर: sec θ - 1/sec θ = 3/2

मान लीजिए sec θ = x। समीकरण सरल हो जाता है: x - 1/x = 3/2

दोनों पक्षों को 2x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 2x² - 2 = 3x 2x² - 3x - 2 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर: 2x² - 4x + x - 2 = 0 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 (2x + 1)(x - 2) = 0

इससे प्राप्त होता है: x = 2 या x = -½

चूंकि θ एक धनात्मक न्यून कोण है (0° < θ < 90°), sec θ धनात्मक और 1 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए, ऋणात्मक मूल -½ को छोड़ दिया जाता है, जिससे sec θ का मान 2 बचता है।

व्याख्या

एक पिरामिड का आयतन V निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई

'a' भुजा वाले समबाहु त्रिभुज आधार वाले पिरामिड के लिए, आधार का क्षेत्रफल है: आधार का क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

आयतन सूत्र में दिए गए आयतन 48√3 घन सेमी और ऊंचाई 4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 48√3 = ⅓ × ((√3/4) × a²) × 4

समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल बनाने पर: 48√3 = (√3/3) × a²

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर: 48 = a² / 3

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: a² = 144

वर्गमूल लेने पर: a = 12 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: B

जब ∠ABC = 90° वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को एक भुजा के चारों ओर घुमाया जाता है, तो वह भुजा परिणामी शंकु की ऊँचाई बन जाती है, और दूसरी लंबवत भुजा आधार की त्रिज्या बन जाती है।

पहले मामले में, जब त्रिभुज को AB के चारों ओर घुमाया जाता है: पहले शंकु की ऊँचाई, h₁ = AB = 3 सेमी पहले शंकु की त्रिज्या, r₁ = BC = 4 सेमी पहले शंकु का आयतन, V₁ = ⅓ × π × r₁² × h₁ = ⅓ × π × 4² × 3 = 16π सेमी³

दूसरे मामले में, जब त्रिभुज को BC के चारों ओर घुमाया जाता है: दूसरे शंकु की ऊँचाई, h₂ = BC = 4 सेमी दूसरे शंकु की त्रिज्या, r₂ = AB = 3 सेमी दूसरे शंकु का आयतन, V₂ = ⅓ × π × r₂² × h₂ = ⅓ × π × 3² × 4 = 12π सेमी³

वह प्रतिशत x जिससे पहला आयतन दूसरे आयतन से अधिक है: x = ((V₁ - V₂) / V₂) × 100 x = ((16π - 12π) / 12π) × 100 x = (4/12) × 100 = 33 ⅓

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

लम्ब² + आधार² = कर्ण²

आधार = 5 इकाई और कर्ण = 13 इकाई के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

लम्ब² + 5² = 13² लम्ब² + 25 = 169 लम्ब² = 169 - 25 लम्ब² = 144 लम्ब = 12 इकाई

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × लम्ब

आधार और लम्ब के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 वर्ग इकाई

व्याख्या

दीवार के निर्माण के लिए आवश्यक ईंटों की संख्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

ईंटों की संख्या = दीवार का आयतन / एक ईंट का आयतन

सबसे पहले, स्थिरता बनाए रखने के लिए सभी विमाओं को सेंटीमीटर में परिवर्तित किया जाता है: दीवार की लंबाई = 9 मीटर = 900 सेमी दीवार की ऊंचाई = 6 मीटर = 600 सेमी दीवार की मोटाई = 20 सेमी

दीवार का आयतन = 900 सेमी × 600 सेमी × 20 सेमी = 10,800,000 सेमी³

एक ईंट का आयतन = 30 सेमी × 15 सेमी × 10 सेमी = 4,500 सेमी³

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: ईंटों की संख्या = 10,800,000 / 4,500 = 2,400

व्याख्या

त्रिज्या R वाले गोले का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V = (4/3) × π × R³

चूंकि गोले का व्यास 6 सेमी है, इसकी त्रिज्या R 3 सेमी है। गोले का आयतन है: V = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

जब गोले को पिघलाकर 2 सेमी व्यास का बेलनाकार तार बनाया जाता है, तो इसकी त्रिज्या r 1 सेमी होती है। तार की लंबाई h मान लीजिए। बेलनाकार तार का आयतन है: V = π × r² × h = π × 1² × h = π × h

चूंकि पिघलने के दौरान आयतन स्थिर रहता है: तार का आयतन = गोले का आयतन π × h = 36π h = 36 सेमी

व्याख्या

किसी आयताकार बक्से के किसी भी आयाम में फिट होने वाले घनों की संख्या उस आयाम और घन की भुजा की लंबाई के अनुपात से दी जाती है।

दिया गया है: प्रत्येक ठोस घन की भुजा की लंबाई = 0.2 मीटर बक्से के आयाम = 1 मीटर गुणा 1 मीटर गुणा 2 मीटर

पहली 1 मीटर भुजा के अनुदिश घनों की संख्या = 1 / 0.2 = 5 दूसरी 1 मीटर भुजा के अनुदिश घनों की संख्या = 1 / 0.2 = 5 2 मीटर भुजा के अनुदिश घनों की संख्या = 2 / 0.2 = 10

बक्से में पैक किए जा सकने वाले घनों की कुल संख्या = 5 × 5 × 10 = 250।

व्याख्या

तार से बनाए जा सकने वाले वृत्तों की संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले तार की कुल लम्बाई को सेंटीमीटर में बदलें ताकि वह परिधि की इकाई से मेल खाए। चूँकि 1 मीटर 100 सेंटीमीटर के बराबर होता है, तार की कुल लम्बाई 66 × 100 = 6600 सेमी है।

वृत्तों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: वृत्तों की संख्या = तार की कुल लम्बाई ÷ एक वृत्त की परिधि

सूत्र में मान रखने पर: वृत्तों की संख्या = 6600 ÷ 1.32 वृत्तों की संख्या = 6600 × 100 / 132 वृत्तों की संख्या = 660000 / 132 वृत्तों की संख्या = 5000

व्याख्या

चतुर्भुज AQOR में, कोण AQO और ARO दोनों 90° हैं क्योंकि OQ और OR अंतःवृत्त की त्रिज्याएँ हैं जो क्रमशः स्पर्शरेखाओं AC और AB पर लंबवत हैं। चूँकि चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है, हमारे पास है:

∠QOR = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°

कोण ∠QPR, वृत्त की परिधि के शेष भाग पर चाप QR द्वारा बनाया गया कोण है, जबकि ∠QOR, वृत्त के केंद्र पर उसी चाप द्वारा बनाया गया कोण है। अंतःलिखित कोण प्रमेय द्वारा:

∠QPR = ½ ∠QOR = ½ × 120° = 60°

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

दिए गए मानों के अनुसार: साधारण ब्याज (SI) = x ब्याज की दर (R) = x% समय (T) = x वर्ष

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x = (P × x × x) / 100

समीकरण को सरल बनाने पर: x = (P × x²) / 100

मूलधन P के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (x × 100) / x² P = 100/x

व्याख्या

चूंकि वृत्त को AB को व्यास मानकर खींचा गया है और यह BC को D पर प्रतिच्छेद करता है, इसलिए कोण ∠ADB वृत्त की परिधि पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण है। इससे ∠ADB = 90° हो जाता है, जिसका अर्थ है कि AD, BC पर लंब है।

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC है, शीर्ष A से आधार BC पर खींचा गया लंब AD, आधार BC को समद्विभाजित करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज ABD और ACD, RHS कसौटी द्वारा सर्वांगसम हैं, क्योंकि AB = AC और AD एक उभयनिष्ठ भुजा है।

इसलिए, BD = CD। यह देखते हुए कि BD = 3 सेमी है, CD की लंबाई भी 3 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

किसी भी दिए गए समय पर, एक ही क्षेत्र में वस्तुओं के लिए सूर्य का उन्नयन कोण स्थिर रहता है, जिसका अर्थ है कि समान त्रिभुजों के कारण किसी वस्तु की ऊंचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहता है।

छड़ी की ऊंचाई / छड़ी की छाया = मीनार की ऊंचाई / मीनार की छाया

संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

12 / 8 = मीनार की ऊंचाई / 40

मीनार की ऊंचाई = (12 × 40) / 8

मीनार की ऊंचाई = 12 × 5 = 60 सेमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण द्वारा सम्मुख शीर्ष पर बनाया गया कोण 90° होता है। वृत्तों के गुणों के अनुसार, 90° का कोण हमेशा वृत्त के व्यास द्वारा उसके परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया जाता है। चूँकि त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, कर्ण CA त्रिभुज के परिवृत्त का व्यास होना चाहिए। त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcentre) उसके परिवृत्त का केंद्र होता है। चूँकि वृत्त का केंद्र उसके व्यास के मध्य-बिंदु पर स्थित होता है, परिकेंद्र O कर्ण CA के मध्य-बिंदु पर स्थित है।

व्याख्या

त्रिभुज में कोण-भुजा संबंध के अनुसार, बड़ी भुजा के सम्मुख कोण का माप हमेशा बड़ा होता है।

त्रिभुज PQR में, दी गई भुजाओं की लंबाई QR = 5 सेमी, PR = 4 सेमी और PQ = 3 सेमी है। भुजाओं को लंबाई के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर QR > PR > PQ प्राप्त होता है।

भुजा QR के सम्मुख कोण ∠P है, भुजा PR के सम्मुख कोण ∠Q है, और भुजा PQ के सम्मुख कोण ∠R है। कोणों को उनकी सम्मुख भुजाओं से मिलाने पर असमानता बनी रहती है, जिससे ∠P > ∠Q > ∠R प्राप्त होता है।

व्याख्या

रेखाओं के दिए गए समीकरण x + y = 4 और 3x + 3y = 6 हैं।

दूसरे समीकरण, 3x + 3y = 6, को दोनों तरफ 3 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x + y = 2

मानक रूप a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ की दो रैखिक समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमारे पास है: a₁/a₂ = 1/1 = 1 b₁/b₂ = 1/1 = 1 c₁/c₂ = 4/2 = 2

चूंकि गुणांकों का अनुपात शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ को संतुष्ट करता है, इसलिए दो समीकरण समानांतर रेखाओं की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है लेकिन y-अवरोधन भिन्न होता है, जिसका अर्थ है कि वे कभी भी एक-दूसरे को पार नहीं करती हैं।

व्याख्या

हमें दिया गया है: yz : zx : xy = 1 : 2 : 3

अनुपात के पहले दो पदों से: yz / zx = 1 / 2

चूंकि z ≠ 0 है, हम सामान्य गुणनखंड z को रद्द करते हैं: y / x = 1 / 2 x = 2y

व्यंजक x/yz + y/zx दो पदों का विभाजन दर्शाता है, जहाँ विभाजन ऑपरेटर (÷) को प्लस चिह्न (+) के रूप में लिखा गया है। विभाजन का मूल्यांकन: (x/yz) ÷ (y/zx) = (x/yz) × (zx/y)

भिन्नों को गुणा करना: (x × z × x) / (y × z × y) = x²z / y²z

चूंकि z ≠ 0 है, हम z को रद्द करते हैं: x² / y² = (x/y)²

x = 2y को प्रतिस्थापित करना: (2y / y)² = 2² = 4

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

x - 1/x = 2

(x - 1/x)² = 2²

x² + 1/x² - 2 = 4

x² + 1/x² = 6

अब, इस नए समीकरण के दोनों पक्षों का सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके वर्ग करते हैं:

(x² + 1/x²)² = 6²

x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 36

x⁴ + 1/x⁴ = 34

व्याख्या

x² + 2x + 3 का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले x के दिए गए व्यंजक को परिमेय करें:

x = 1 / (√2 + 1)

अंश और हर को (√2 - 1) से गुणा करने पर:

x = (√2 - 1) / ((√2 + 1)(√2 - 1)) x = (√2 - 1) / (2 - 1) x = √2 - 1

करणी को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x + 1 = √2

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(x + 1)² = (√2)² x² + 2x + 1 = 2 x² + 2x = 1

समीकरण के दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर आवश्यक व्यंजक प्राप्त होता है:

x² + 2x + 3 = 1 + 3 x² + 2x + 3 = 4

व्याख्या

दिया गया संबंध a + b + c = 4 है, हम a + b = 4 - c लिख सकते हैं।

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

इस सर्वसमिका में a + b = 4 - c को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = (4 - c)³ - 3ab(4 - c) a³ + b³ = 64 - 48c + 12c² - c³ - 12ab + 3abc

इस परिणाम को लक्ष्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 12c² + 48c - 64 = (64 - 48c + 12c² - c³ - 12ab + 3abc) + c³ - 12c² + 48c - 64

समान पदों को सरल बनाने और रद्द करने पर: 64 - 64 = 0 -48c + 48c = 0 12c² - 12c² = 0 -c³ + c³ = 0

व्यंजक घटकर यह रह जाता है: 3abc - 12ab

व्याख्या

कार्य-समतुल्यता संबंध का उपयोग करके: M₁ × D₁ = M₂ × D₂

यहाँ, M₁ पुरुषों की प्रारंभिक संख्या, D₁ प्रारंभिक दिनों की संख्या, M₂ पुरुषों की अंतिम संख्या, और D₂ दिनों की अंतिम संख्या को दर्शाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 8 D₁ = 40 M₂ = 8 + 2 = 10

8 × 40 = 10 × D₂ 320 = 10 × D₂ D₂ = 320 / 10 = 32

व्याख्या

x/y का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए अनुपात को इस प्रकार लिखते हैं:

(2x + 3y)/(3x + 5y) = 18/29

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

29(2x + 3y) = 18(3x + 5y)

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

58x + 87y = 54x + 90y

x के पदों को एक तरफ और y के पदों को दूसरी तरफ समूहित करने पर:

58x - 54x = 90y - 87y

4x = 3y

दोनों पक्षों को 4y से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

x/y = 3/4

व्याख्या

कार की गति 36 किमी/घंटा है। इस गति को मी/से में बदलने पर: कार की गति = 36 × 5/18 = 10 मी/से

शुरुआत में, बस कार से 40 मीटर आगे है, और 20 सेकंड बाद, यह 60 मीटर पीछे है। इस दौरान कार द्वारा बस के सापेक्ष तय की गई कुल सापेक्ष दूरी है: सापेक्ष दूरी = 40 + 60 = 100 मीटर

सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करके: सापेक्ष गति = सापेक्ष दूरी / समय सापेक्ष गति = 100 / 20 = 5 मी/से

चूंकि कार बस से आगे निकल जाती है, कार बस से तेज चल रही है। इसलिए, सापेक्ष गति कार की गति और बस की गति के बीच का अंतर है: सापेक्ष गति = कार की गति - बस की गति 5 = 10 - बस की गति बस की गति = 5 मी/से

बस की गति को वापस किमी/घंटा में बदलने पर: बस की गति = 5 × 18/5 = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रित की जाने वाली चाय की दो किस्मों की मात्रा 5 किलोग्राम और 3 किलोग्राम है।

मिश्रित चाय के 8 किलोग्राम का कुल क्रय मूल्य (CP) है: CP = (5 × 240) + (3 × 300) = 1200 + 900 = ₹ 2100

₹ 315 प्रति किलोग्राम की दर से मिश्रित चाय के 8 किलोग्राम का कुल विक्रय मूल्य (SP) है: SP = 8 × 315 = ₹ 2520

कुल लाभ है: लाभ = SP - CP = 2520 - 2100 = ₹ 420

लाभ प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: लाभ % = (लाभ / CP) × 100 लाभ % = (420 / 2100) × 100 = 20%

व्याख्या

साझेदारी में लाभ, समतुल्य पूंजी के अनुपात में वितरित किया जाता है, जो निवेशित पूंजी और निवेश की अवधि का गुणनफल होता है।

मान लीजिए A और B की प्रारंभिक पूंजी क्रमशः 4x और 5x है।

पहले 3 महीनों के लिए, A की पूंजी 4x और B की पूंजी 5x है।

3 महीने बाद: A अपनी पूंजी का 1/4 निकाल लेता है, इसलिए उसकी शेष पूंजी 4x - (1/4 × 4x) = 3x है, जो शेष 7 महीनों के लिए निवेशित है। B अपनी पूंजी का 1/5 निकाल लेता है, इसलिए उसकी शेष पूंजी 5x - (1/5 × 5x) = 4x है, जो शेष 7 महीनों के लिए निवेशित है।

A और B की समतुल्य पूंजी का अनुपात है: A की समतुल्य पूंजी = (4x × 3) + (3x × 7) = 12x + 21x = 33x B की समतुल्य पूंजी = (5x × 3) + (4x × 7) = 15x + 28x = 43x

इस प्रकार, लाभ-बंटवारे का अनुपात A : B, 33 : 43 है।

₹ 760 का कुल लाभ 33 + 43 = 76 बराबर भागों में विभाजित है।

लाभ में A का हिस्सा (33 / 76) × 760 = ₹ 330 है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और मुद्रित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP / MP = (100 - छूट%) / (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP / MP = (100 - 10) / (100 + 15)

CP / MP = 90 / 115

अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर:

CP / MP = 18 / 23

यह क्रय मूल्य और मुद्रित मूल्य का अनुपात 18 : 23 देता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य ₹ x है। चूंकि लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के संख्यात्मक रूप से बराबर है, लाभ प्रतिशत x% है।

विक्रय मूल्य (SP) का सूत्र है: SP = CP × (1 + लाभ%/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 39 = x × (1 + x/100) 39 = x + x²/100 x² + 100x - 3900 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: x² + 130x - 30x - 3900 = 0 x(x + 130) - 30(x + 130) = 0 (x - 30)(x + 130) = 0

चूंकि क्रय मूल्य एक धनात्मक मान होना चाहिए, x = 30।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाती हैं, एक पर x% का लाभ और दूसरे पर x% की हानि होती है, तो हमेशा कुल हानि होती है जो सूत्र द्वारा दी जाती है:

हानि % = x² / 100

यहाँ, x = 20%, इसलिए:

हानि % = 20² / 100 = 400 / 100 = 4%

दोनों मेजों का कुल विक्रय मूल्य 720 × 2 = ₹ 1440 है।

चूंकि सौदे के परिणामस्वरूप 4% की हानि होती है, कुल विक्रय मूल्य कुल लागत मूल्य का 96% दर्शाता है:

कुल लागत मूल्य = 1440 / (1 - 0.04) = 1440 / 0.96 = ₹ 1500

कुल हानि = कुल लागत मूल्य - कुल विक्रय मूल्य = 1500 - 1440 = ₹ 60

व्याख्या

₹ P के मूलधन पर T वर्षों के लिए R% प्रति वर्ष की दर से साधारण ब्याज (SI) का सूत्र है:

SI = (P × R × T) / 100

P = 1000, R = 10, और T = 4 रखने पर:

SI = (1000 × 10 × 4) / 100 = 400

समान मूलधन पर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना इस प्रकार की जाती है:

CI = P × ((1 + R/100)ⁿ - 1)

n = 4 वर्ष के साथ मान रखने पर:

CI = 1000 × ((1 + 10/100)⁴ - 1) CI = 1000 × (1.1⁴ - 1) CI = 1000 × (1.4641 - 1) CI = 1000 × 0.4641 = 464.10

चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है:

अंतर = CI - SI अंतर = 464.10 - 400 = 64.10

व्याख्या

औसत और योग के बीच संबंध का उपयोग करके: योग = औसत × मानों की संख्या

सभी 15 संख्याओं का योग है: 15 × 7 = 105

पहली 8 संख्याओं का योग है: 8 × 6.5 = 52

अंतिम 8 संख्याओं का योग है: 8 × 8.5 = 68

चूंकि कुल 15 संख्याएँ हैं, मध्य संख्या (8वीं संख्या) पहली 8 संख्याओं और अंतिम 8 संख्याओं दोनों में शामिल है। इन दोनों योगों को एक साथ जोड़ने पर मध्य संख्या दो बार गिनी जाती है। इन दोनों योगों के योग में से सभी 15 संख्याओं के कुल योग को घटाने पर मध्य संख्या का मान प्राप्त होता है: (52 + 68) - 105 = 120 - 105 = 15

व्याख्या

इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि वर्गमूल के अंदर दशमलव बिंदु को बाईं ओर दो स्थान स्थानांतरित करने से वर्गमूल के मान का दशमलव बिंदु एक स्थान बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है:

√156.25 = 12.5 √1.5625 = 1.25 √0.015625 = 0.125

व्यंजक का मूल्यांकन:

12.5 + 1.25 - 0.125 = 13.75 - 0.125 = 13.625

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y और z हैं। हमें दूसरी और तीसरी संख्या का अनुपात y : z = 9 : 6 = 3 : 2 दिया गया है, और पहली और तीसरी संख्या का अनुपात x : z = 1 : 4 दिया गया है।

दोनों अनुपातों में z के पद को सामान्य बनाने के लिए, हम y : z के पदों को 2 से गुणा करते हैं, जिससे y : z = 6 : 4 प्राप्त होता है। अब, हम तीन संख्याओं का संयुक्त अनुपात x : y : z = 1 : 6 : 4 लिख सकते हैं।

अनुपात पदों का योग 1 + 6 + 4 = 11 है। चूँकि तीन संख्याओं का वास्तविक योग 121 है, इसलिए 1 भाग का मान 121 / 11 = 11 है।

दूसरी संख्या 6 भागों के अनुरूप है, जो 6 × 11 = 66 है।

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, हम सबसे पहले अंश और हर में दशमलव स्थानों की गणना करते हैं।

अंश में 3 + 3 + 3 = 9 दशमलव स्थान हैं। हर में 4 + 4 + 1 = 9 दशमलव स्थान हैं।

चूंकि दोनों में दशमलव स्थानों की संख्या समान है, हम दशमलव बिंदुओं को पूरी तरह से हटा सकते हैं। वर्गमूल के अंदर का व्यंजक बन जाता है:

(81 × 324 × 4624) / (15625 × 289 × 729 × 64)

अब, हम प्रत्येक व्यक्तिगत पद का वर्गमूल लेते हैं: √81 = 9 √324 = 18 √4624 = 68 √15625 = 125 √289 = 17 √729 = 27 √64 = 8

इन वर्गमूलों को भिन्न में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (9 × 18 × 68) / (125 × 17 × 27 × 8)

हम पदों को सरल बनाते हैं: 68 ÷ 17 = 4 9 ÷ 27 = 1/3 18 ÷ 3 = 6 4 ÷ 8 = 1/2 6 ÷ 2 = 3

यह बचता है: 3 / 125

इस भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को 8 से गुणा करें: (3 × 8) / (125 × 8) = 24 / 1000 = 0.024

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 3x और 5x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) दर्शाता है।

a : b के अनुपात वाली दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) जिसका H.C.F. x है, सूत्र L.C.M. = a × b × x द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 15 × x = 75

x के लिए हल करने पर: x = 75 ÷ 15 = 5

चूंकि x महत्तम समापवर्तक है, इसलिए दो संख्याओं का H.C.F. 5 है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, हम मानक प्रतिशत संबंध का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए B का वेतन 100 है। चूंकि A का वेतन B के वेतन से 30% अधिक है, A का वेतन है: 100 + 30 = 130

B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना A के वेतन के सापेक्ष की जाती है: प्रतिशत कम = ((A - B) / A) x 100 = ((130 - 100) / 130) x 100 = (30 / 130) x 100 = 300 / 13 % = 23 1/13 %

यह विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले दोनों समय अवधियों को एक ही इकाई, यानी सेकंड में व्यक्त करें।

1 मिनट 48 सेकंड की अवधि सेकंड में है: 1 × 60 + 48 = 108 सेकंड

1 घंटे की अवधि सेकंड में है: 1 × 60 × 60 = 3600 सेकंड

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: प्रतिशत = (दिया गया मान / कुल मान) × 100

गणना किए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: प्रतिशत = (108 / 3600) × 100 = 108 / 36 = 3%

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम पहले दो हरों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं: (√5 + √3)(√5 - √3) = (√5)² - (√3)² = 5 - 3 = 2

अगला, हम इस उभयनिष्ठ हर पर अंशों को संयोजित करते हैं: ((1 + √2)(√5 - √3) + (1 - √2)(√5 + √3)) / 2

अंश में दोनों गुणनफलों का विस्तार करने पर: (1 + √2)(√5 - √3) = √5 - √3 + √10 - √6 (1 - √2)(√5 + √3) = √5 + √3 - √10 - √6

दोनों विस्तारित पदों को एक साथ जोड़ने पर, -√3 और +√3 रद्द हो जाते हैं, और +√10 और -√10 रद्द हो जाते हैं: (√5 - √3 + √10 - √6) + (√5 + √3 - √10 - √6) = 2√5 - 2√6

इस परिणाम को उभयनिष्ठ हर 2 से विभाजित करने पर: (2√5 - 2√6) / 2 = √5 - √6

व्याख्या

भिन्नों के समुच्चय का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने का मानक सूत्र है:

भिन्नों का म.स.प. = अंशों का म.स.प. / हरों का ल.स.प.

दी गई भिन्नें 1/2, 3/4, 5/6, 7/8, और 9/10 के लिए:

पहले, अंशों (1, 3, 5, 7, 9) का म.स.प. ज्ञात करें: म.स.प. (1, 3, 5, 7, 9) = 1

इसके बाद, अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके हरों (2, 4, 6, 8, 10) का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात करें: 2 = 2¹ 4 = 2² 6 = 2 × 3 8 = 2³ 10 = 2 × 5

प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेने पर: ल.स.प. (2, 4, 6, 8, 10) = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120

इन परिणामों को सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर: भिन्नों का म.स.प. = 1/120