एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का विभाजन पूँजी और निवेश की अवधि के गुणनफल के अनुपात में किया जाता है।

मान लीजिए A की प्रारंभिक पूँजी 4x है। चूंकि B की पूँजी A की पूँजी की 3/2 गुनी है, इसलिए B की प्रारंभिक पूँजी है: 3/2 × 4x = 6x

अब, हम 12 महीनों के लिए A और B की समतुल्य पूँजी की गणना करते हैं:

A के लिए: पहले 10 महीनों के लिए, पूँजी 4x है। 10 महीने बाद, A ने अपनी पूँजी का 1/4 भाग निकाल लिया, जो है: 1/4 × 4x = x तो, अगले 2 महीनों के लिए शेष पूँजी है: 4x - x = 3x A की समतुल्य पूँजी = (4x × 10) + (3x × 2) = 40x + 6x = 46x

B के लिए: पहले 8 महीनों के लिए, पूँजी 6x है। 8 महीने बाद, B ने अपनी पूँजी का ½ भाग निकाल लिया, जो है: ½ × 6x = 3x तो, अगले 4 महीनों के लिए शेष पूँजी है: 6x - 3x = 3x B की समतुल्य पूँजी = (6x × 8) + (3x × 4) = 48x + 12x = 60x

A और B के बीच लाभ-साझेदारी अनुपात है: A : B = 46x : 60x = 23 : 30

कुल अनुपात इकाइयाँ = 23 + 30 = 53

दिया गया है कि कुल लाभ ₹53,000 है: A द्वारा प्राप्त राशि = (23 / 53) × 53,000 = ₹23,000

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र के अनुसार, साधारण ब्याज = मूलधन × दर × समय / 100। सामान्य पद (दर × समय) / 100 को k से दर्शाया जाए।

चूंकि y, x पर साधारण ब्याज है, तो हमारे पास है: y = x × k k = y/x

चूंकि z, y पर साधारण ब्याज है, तो हमारे पास है: z = y × k

दूसरे समीकरण में पहले समीकरण से k का मान रखने पर: z = y × (y/x) z = y²/x y² = zx

व्याख्या

घड़ी का क्रय मूल्य 100% मान लीजिए।

शुरुआत में, घड़ी 10% हानि पर बेची गई, जिससे मूल विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 90% हो गया।

यदि घड़ी 45 रुपये अधिक में बेची जाती, तो 5% का लाभ होता, जिससे नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 105% हो जाता।

इन दो विक्रय मूल्य प्रतिशत के बीच का अंतर 45 रुपये की वृद्धि को दर्शाता है: 105% - 90% = 15%

चूंकि क्रय मूल्य का 15% 45 रुपये के बराबर है: क्रय मूल्य का 1% = 45 ÷ 15 = 3

घड़ी का मूल विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 90% था: 90 × 3 = 270

व्याख्या

माना एक संतरे का विक्रय मूल्य SP है।

36 संतरे का विक्रय मूल्य 36 × SP है। हुई हानि 4 संतरे के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 4 × SP है।

संतरे का क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य और हानि का योग है। CP = 36 × SP + 4 × SP = 40 × SP

हानि प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: हानि प्रतिशत = (हानि / CP) × 100 हानि प्रतिशत = (4 × SP / 40 × SP) × 100 = (4 / 40) × 100 = 10%

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूट प्रतिशत के लिए, एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समतुल्य छूट = (x + y - xy/100)%

सूत्र में x = 30 और y = 20 रखने पर:

समतुल्य छूट = (30 + 20 - (30 × 20)/100)% = (50 - 600/100)% = (50 - 6)% = 44%

व्याख्या

दिए गए समीकरणों का व्युत्क्रम लेने पर: (x + y) / xy = 1/a → 1/y + 1/x = 1/a (x + z) / xz = 1/b → 1/z + 1/x = 1/b (y + z) / yz = 1/c → 1/z + 1/y = 1/c

पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: 2/x + 1/y + 1/z = 1/a + 1/b

इस समीकरण में 1/y + 1/z = 1/c को प्रतिस्थापित करने पर: 2/x + 1/c = 1/a + 1/b 2/x = 1/a + 1/b - 1/c 2/x = (bc + ac - ab) / abc

x के लिए हल करने पर: x = 2abc / (ac + bc - ab)

व्याख्या

हमारे पास निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की प्रणाली है: 6x - 5y = 13 (समीकरण 1) 7x + 2y = 23 (समीकरण 2)

y को समाप्त करने के लिए, हम समीकरण 1 को 2 से और समीकरण 2 को 5 से गुणा करते हैं: 12x - 10y = 26 35x + 10y = 115

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: 47x = 141 x = 3

समीकरण 2 में x = 3 रखने पर: 7(3) + 2y = 23 21 + 2y = 23 2y = 2 y = 1

x और y के मानों का उपयोग करके लक्ष्य व्यंजक का मूल्यांकन करना: 11x + 18y = 11(3) + 18(1) = 33 + 18 = 51

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

ज्ञात करने के लिए व्यंजक है: xy + z(x + y) = xy + yz + zx

सर्वसमिका में दिए गए मान x + y + z = 13 और x² + y² + z² = 69 को प्रतिस्थापित करने पर: 13² = 69 + 2(xy + yz + zx) 169 = 69 + 2(xy + yz + zx) 100 = 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 50

व्याख्या

जब समान लंबाई L की दो ट्रेनें समानांतर पटरियों पर एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच का अंतर होती है:

सापेक्ष गति = 90 किमी/घंटा - 60 किमी/घंटा = 30 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करना:

सापेक्ष गति = 30 × 5/18 = 25/3 मी/से

एक ट्रेन द्वारा दूसरी ट्रेन को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग है, जो कि L + L = 2L है।

दूरी सूत्र का उपयोग करके:

दूरी = गति × समय

2L = (25/3) × 30

2L = 250

L = 125 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 1 इकाई है।

चूंकि A और B मिलकर 30 दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर प्रति दिन कार्य का 1/30 है।

20 दिनों में, A और B द्वारा मिलकर पूरा किया गया कार्य है: 20 × 1/30 = कार्य का 2/3।

शेष कार्य है: 1 - 2/3 = कार्य का 1/3।

A को इस शेष 1/3 कार्य को पूरा करने में अतिरिक्त 20 दिन लगते हैं। इसलिए, A की दैनिक कार्य दर है: (1/3) ÷ 20 = कार्य का 1/60 प्रति दिन।

B की दैनिक कार्य दर ज्ञात करने के लिए, A की दैनिक दर को उनकी संयुक्त दर से घटाएं: 1/30 - 1/60 = 2/60 - 1/60 = कार्य का 1/60 प्रति दिन।

चूंकि B एक दिन में कार्य का 1/60 पूरा करता है, B अकेले पूरे कार्य को 60 दिनों में पूरा कर सकता है।

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और R वह बिंदु है जहाँ रेखा खंड OT जीवा PQ को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि केंद्र को बाह्य बिंदु T से जोड़ने वाली रेखा जीवा PQ को लंबवत रूप से समद्विभाजित करती है, हमारे पास है:

PR = RQ = 8/2 = 4 सेमी

समकोण त्रिभुज PRO में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

OP² = PR² + OR² 5² = 4² + OR² OR² = 25 - 16 = 9 OR = 3 सेमी

चूँकि TP, P पर वृत्त की स्पर्शरेखा है, कोण OPT = 90° है। समकोण त्रिभुज OPT में, PR कर्ण OT पर लंब है। यह त्रिभुज OPT को त्रिभुज RPO के समरूप बनाता है।

इन समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात का उपयोग करके:

TP/PR = OP/OR TP/4 = 5/3 TP = 20/3 सेमी

व्याख्या

एक रेखा का अंतःखंड रूप x/a + y/b = 1 होता है, जहाँ a x-अंतःखंड है और b y-अंतःखंड है। इस रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × |a × b|

दिए गए समीकरण 3x + 4y = 12 को दोनों पक्षों में 12 से विभाजित करने पर:

x/4 + y/3 = 1

इसकी अंतःखंड रूप से तुलना करने पर, x-अंतःखंड a = 4 और y-अंतःखंड b = 3 है।

इन मानों को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6 वर्ग इकाई

व्याख्या

यहाँ x, (2 + वर्गमूल 3) का घनमूल है, इसलिए x घन सीधे 2 + वर्गमूल 3 के बराबर है। परिमेयकरण करने पर, 1 बटा x घन, 1 बटा (2 + वर्गमूल 3) के बराबर है, जो 2 माइनस वर्गमूल 3 को सरल करता है। इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर, x घन प्लस 1 बटा x घन, (2 + वर्गमूल 3) प्लस (2 - वर्गमूल 3) के बराबर है, जो 4 है।

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज PQR में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं (PQ = QR = PR) और प्रत्येक आंतरिक कोण 60° होता है।

चूंकि भुजा QR को S तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि QR = RS, इसलिए PR = RS है।

चूंकि Q, R और S एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, कोण PRQ और कोण PRS संपूरक कोण हैं: कोण PRS = 180° - कोण PRQ = 180° - 60° = 120°

त्रिभुज PRS में, चूंकि PR = RS है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं: कोण PSR = कोण SPR

त्रिभुज PRS में कोणों का योग 180° होता है: कोण PSR + कोण SPR + कोण PRS = 180° 2 × कोण PSR + 120° = 180° 2 × कोण PSR = 60° कोण PSR = 30°

व्याख्या

चूंकि AB = AC और AB = AD है, इसलिए हमारे पास AB = AC = AD है। इसका तात्पर्य है कि बिंदु A, बिंदु B, C और D से समदूरस्थ है।

परिणामस्वरूप, A को केंद्र मानकर और BD को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा जा सकता है, जो B, C और D बिंदुओं से होकर गुजरता है। चूंकि BD इस वृत्त का व्यास है, कोण BCD अर्धवृत्त में एक कोण है।

वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण हमेशा समकोण होता है। इसलिए, कोण BCD 90° होना चाहिए।

व्याख्या

समलंब चतुर्भुज ABCD में, चूँकि AB, DC के समानांतर है, एकांतर अंतः कोण बराबर होंगे। इसका मतलब है कि कोण OAB, कोण OCD के बराबर है, और कोण OBA, कोण ODC के बराबर है। इसके अतिरिक्त, कोण AOB और कोण COD शीर्ष कोण हैं और इसलिए बराबर हैं। परिणामस्वरूप, AAA समरूपता से त्रिभुज AOB, त्रिभुज COD के समरूप है।

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(AOB) / क्षेत्रफल(COD) = (AB / CD)²

इस संबंध में दी गई शर्त AB = 2 CD को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल(AOB) / क्षेत्रफल(COD) = (2 CD / CD)² = 2² = 4/1

यह सीधे 4:1 का अनुपात देता है।

व्याख्या

समान भुजाओं a, आधार b और आधार पर शीर्षलंब h वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिनकी कर्ण a, ऊंचाई h और आधार b/2 है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: a² = h² + (b/2)²

दिए गए शीर्षलंब h = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: a² = 64 + b²/4

चूंकि त्रिभुज की परिधि 64 सेमी है: 2a + b = 64 a = 32 - b/2

a के इस व्यंजक को पाइथागोरस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: (32 - b/2)² = 64 + b²/4 1024 - 32b + b²/4 = 64 + b²/4 1024 - 32b = 64 32b = 960 b = 30 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × शीर्षलंब क्षेत्रफल = ½ × 30 × 8 = 120 सेमी²

व्याख्या

तीन ठोस लोहे के घनों का कुल आयतन उनके व्यक्तिगत आयतनों का योग है: आयतन = 4³ + 5³ + 6³ = 64 + 125 + 216 = 405 सेमी³

पिघले हुए पदार्थ का 62 सेमी³ भाग नष्ट होने के बाद, नव निर्मित घन का आयतन है: नया आयतन = 405 - 62 = 343 सेमी³

मान लीजिए नव निर्मित घन की भुजा x है। इस घन का आयतन निम्न द्वारा दिया जाता है: x³ = 343 x = 7 सेमी

x भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x² = 6 × 7² = 6 × 49 = 294 सेमी²

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

मान लीजिए V₁ और V₂ दो शंकुओं के आयतन हैं, r₁ और r₂ त्रिज्याएँ हैं, और h₁ और h₂ ऊँचाइयाँ हैं।

उनके आयतनों का अनुपात है: V₁/V₂ = (⅓πr₁²h₁) / (⅓πr₂²h₂) V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂)

दिया गया है कि V₁/V₂ = 2/3 और r₁/r₂ = 1/2, इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: 2/3 = (1/2)² × (h₁/h₂) 2/3 = 1/4 × (h₁/h₂)

उनकी ऊँचाइयों के अनुपात के लिए हल करने पर: h₁/h₂ = 2/3 × 4 h₁/h₂ = 8/3

व्याख्या

एक वर्गाकार आधार वाले सम पिरामिड की तिर्यक सतह का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: तिर्यक सतह का क्षेत्रफल = 2 × a × l

जहाँ a वर्गाकार आधार की भुजा है और l तिर्यक ऊँचाई है।

तिर्यक ऊँचाई l की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जाती है: l = √(h² + (a/2)²)

दिए गए मानों, भुजा a = 16 सेमी और ऊँचाई h = 15 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: l = √(15² + (16/2)²) l = √(225 + 8²) l = √(225 + 64) l = √289 l = 17 सेमी

अब, तिर्यक सतह क्षेत्रफल सूत्र में a और l को प्रतिस्थापित करने पर: तिर्यक सतह का क्षेत्रफल = 2 × 16 × 17 तिर्यक सतह का क्षेत्रफल = 544 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB जीवा है, जहाँ AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। चूँकि OA और OB भी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है जहाँ OA = OB = AB।

केंद्र O पर जीवा AB द्वारा बनाया गया कोण ∠AOB = 60° है।

मान लीजिए C वृत्त के बृहत् चाप पर कोई बिंदु है। बृहत् चाप पर किसी भी बिंदु पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण, केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है। इसलिए, ∠ACB = 60° ÷ 2 = 30°।

मान लीजिए D वृत्त के लघु चाप पर एक बिंदु है। चतुर्भुज ACBD एक चक्रीय चतुर्भुज है क्योंकि इसके चारों शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

इससे ∠ADB + ∠ACB = 180° प्राप्त होता है। समीकरण में ∠ACB = 30° रखने पर ∠ADB = 180° - 30° = 150° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वर्ग का विकर्ण उसके भुजा s से सूत्र विकर्ण = s√2 द्वारा संबंधित होता है। चूँकि वर्ग का विकर्ण 40√2 सेमी है, वर्ग की भुजा s 40 सेमी है।

समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई वर्ग की भुजा के बराबर है, इसलिए समचतुर्भुज की भुजा a = 40 सेमी है।

समचतुर्भुज के विकर्ण, d₁ और d₂, 3:4 के अनुपात में हैं, इसलिए उन्हें d₁ = 3x और d₂ = 4x के रूप में लिखा जा सकता है।

समचतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध का उपयोग करके: 4a² = d₁² + d₂²

समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें: 4 × 40² = (3x)² + (4x)² 4 × 1600 = 9x² + 16x² 6400 = 25x² x² = 256 x = 16

इस प्रकार, समचतुर्भुज के विकर्ण हैं: d₁ = 3 × 16 = 48 सेमी d₂ = 4 × 16 = 64 सेमी

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ क्षेत्रफल = ½ × 48 × 64 = 1536 सेमी²

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का प्रयोग करते हुए, जहाँ a = sin² θ और b = cos² θ है, हम लिख सकते हैं:

sin⁶ θ + cos⁶ θ = (sin² θ + cos² θ)³ - 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, यह सरल हो जाता है:

sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3 sin² θ cos² θ

हम दोहरे कोण सूत्र sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके पद sin² θ cos² θ को फिर से लिख सकते हैं:

sin² θ cos² θ = (sin² 2θ) / 4

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - (3/4) sin² 2θ

किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए, sin² 2θ का मान अंतराल [0, 1] में होता है। व्यंजक को अधिकतम करने के लिए, हमें न्यूनतम संभव मान घटाना होगा। sin² 2θ का न्यूनतम मान 0 है, जो तब होता है जब θ = 0, π/2, आदि।

sin² 2θ = 0 प्रतिस्थापित करने पर अधिकतम मान मिलता है:

1 - (3/4) × 0 = 1

व्याख्या

किसी भी वास्तविक संख्या θ के लिए, a sinθ + b cosθ और b sinθ - a cosθ के रूप के व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका को संतुष्ट करते हैं:

(a sinθ + b cosθ)² + (b sinθ - a cosθ)² = a² + b²

यह दोनों वर्ग पदों का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है: (a² sin²θ + b² cos²θ + 2ab sinθ cosθ) + (b² sin²θ + a² cos²θ - 2ab sinθ cosθ) = (a² + b²)(sin²θ + cos²θ) = a² + b²

यह दिया गया है कि 3 sinθ + 5 cosθ = 5, हम a = 3 और b = 5 सेट कर सकते हैं। आवश्यक व्यंजक 5 sinθ - 3 cosθ को y मान लीजिए। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

5² + y² = 3² + 5²

25 + y² = 9 + 25

y² = 9

y = ±3

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय संबंध से: sin θ + sin²θ = 1

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: sin θ = 1 - sin²θ

मानक सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, हम जानते हैं कि 1 - sin²θ = cos²θ। इसलिए: sin θ = cos²θ

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: sin²θ = cos⁴θ

अब, आवश्यक व्यंजक में cos⁴θ को sin²θ से प्रतिस्थापित करें: cos²θ + cos⁴θ = cos²θ + sin²θ

चूंकि cos²θ + sin²θ = 1 है, इसलिए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

जब किसी स्तंभ के आधार से समान तरफ स्थित दो बिंदुओं से उन्नयन कोण (distances a और b) एक दूसरे के पूरक होते हैं, तो स्तंभ की ऊँचाई h का मानक सूत्र h = √(ab) है।

इस समस्या में, दूरियाँ a = 9 मीटर और b = 16 मीटर हैं।

इन मानों को सीधे सूत्र में रखने पर: h = √(9 × 16) h = √144 h = 12 मीटर

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° का उपयोग करके निकाला जाता है।

दिए गए योग 1440° को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

(n - 2) × 180 = 1440

दोनों पक्षों को 180 से विभाजित करने पर:

n - 2 = 8

n = 10

व्याख्या

एक लम्ब प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × आधार का क्षेत्रफल + आधार की परिधि × ऊँचाई

प्रिज्म का आधार 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज है। आधार का क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 वर्ग सेमी आधार की परिधि = 5 + 12 + 13 = 30 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 360 = 2 × 30 + 30 × ऊँचाई 360 = 60 + 30 × ऊँचाई 300 = 30 × ऊँचाई ऊँचाई = 10 सेमी

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 1° से 100° तक के पूर्णांक कोणों के कोसाइन मानों का गुणनफल है:

cos 1° × cos 2° × cos 3° × ... × cos 90° × ... × cos 100°

इस अनुक्रम में पद cos 90° शामिल है। चूँकि cos 90° का त्रिकोणमितीय मान 0 होता है, किसी भी वास्तविक संख्या को 0 से गुणा करने पर परिणाम 0 आता है।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 6 इकाई है। चूँकि पाइप A, B और C टंकी को 6 घंटे में भर सकते हैं, इसलिए उनके काम करने की संयुक्त दर 6 इकाई / 6 घंटे = 1 इकाई प्रति घंटा है।

2 घंटे में, पाइप A, B और C एक साथ काम करते हुए भरते हैं: 2 घंटे × 1 इकाई प्रति घंटा = टंकी का 2 इकाई।

टंकी का शेष भाग जिसे भरा जाना है, वह है: 6 इकाई - 2 इकाई = 4 इकाई।

यह शेष 4 इकाई पाइप A और B द्वारा एक साथ 8 घंटे में भरी जाती है। इसलिए, A और B की काम करने की संयुक्त दर है: 4 इकाई / 8 घंटे = 0.5 इकाई प्रति घंटा।

पाइप C की व्यक्तिगत काम करने की दर तीनों पाइपों की संयुक्त दर और A और B की संयुक्त दर के बीच का अंतर है: 1 - 0.5 = 0.5 इकाई प्रति घंटा।

पाइप C द्वारा अकेले 6 इकाई की पूरी टंकी को भरने में लगने वाला समय है: 6 इकाई / 0.5 इकाई प्रति घंटा = 12 घंटे।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है।

माना r₁ = 10 सेमी और r₂ = 24 सेमी दो दिए गए वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। नए वृत्त का क्षेत्रफल दो छोटे वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग है। यदि R इस नए वृत्त की त्रिज्या है, तो संबंध है:

πR² = πr₁² + πr₂²

समीकरण के दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर:

R² = r₁² + r₂²

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

R² = 10² + 24²

R² = 100 + 576

R² = 676

R = √676 = 26 सेमी

व्याख्या

घातांक के नियम (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ और बीजगणितीय सर्वसमिका (u+v)(u-v) = u² - v² का उपयोग करके, व्यंजक में पदों को निम्नानुसार सरल किया जाता है:

(xᵇ⁺ᶜ)ᵇ⁻ᶜ = x⁽b² - c²)

(xᶜ⁺ᵃ)ᶜ⁻ᵃ = x⁽c² - a²)

(xᵃ⁺ᵇ)ᵃ⁻ᵇ = x⁽a² - b²)

इन व्यंजकों को उनके घातांकों को जोड़कर गुणा करने पर:

x⁽b² - c²) × x⁽c² - a²) × x⁽a² - b²) = x⁽b² - c² + c² - a² + a² - b²)

घात में घातांक को सरल करने पर:

b² - c² + c² - a² + a² - b² = 0

इसलिए, पूरा व्यंजक सरल होकर यह हो जाता है:

x⁰ = 1

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के गुणनफल के बराबर होता है।

पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM × HCF

मान लीजिए दूसरी संख्या x है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

189 × x = 2079 × 27

x = (2079 × 27) / 189

चूंकि 189 को 27 से विभाजित करने पर 7 प्राप्त होता है, समीकरण सरल हो जाता है:

x = 2079 / 7

x = 297

व्याख्या

36 वर्ष से कम आयु के लोगों का कुल प्रतिशत 15 तक, 16-25, और 26-35 आयु समूहों के प्रतिशत का योग है: 36 वर्ष से कम आयु के लोगों का प्रतिशत = 20.00% + 18.25% + 16.75% = 55%

मान लीजिए शहर की कुल जनसंख्या P है। P का 55% = 22 मिलियन P = (22 × 100) / 55 = 40 मिलियन

56-65 आयु वर्ग में लोगों का प्रतिशत 12.50% है। 56-65 आयु वर्ग में लोगों की संख्या = 40 मिलियन का 12.50% = 0.125 × 40 = 5 मिलियन।

व्याख्या

16-25 आयु समूह में जनसंख्या का प्रतिशत 18.25% है, और 46-55 आयु समूह में जनसंख्या का प्रतिशत 15.00% है।

इन दो आयु समूहों के बीच प्रतिशत का अंतर है: 18.25% - 15.00% = 3.25%

चूंकि यह अंतर 0.975 मिलियन लोगों का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए कुल जनसंख्या (100%) की सीधे गणना की जा सकती है: कुल जनसंख्या = (0.975 ÷ 3.25) × 100 = 30 मिलियन

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:

1 + cot²α = cosec²α 1 + tan²α = sec²α

इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

1/cosec²α + 1/sec²α

व्युत्क्रम संबंधों का उपयोग करके जहाँ 1/cosec²α = sin²α और 1/sec²α = cos²α, व्यंजक सरल हो जाता है:

sin²α + cos²α

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, sin²α + cos²α = 1।

व्याख्या

मान लीजिए स्मारक की ऊंचाई H और इमारत की ऊंचाई h है, जिसे क्रमशः AB और CD द्वारा दर्शाया गया है। उनके आधारों के बीच की दूरी BD = a है।

AB पर एक लंबवत रेखा CE खींचिए। इस प्रकार, AE = AB - BE = H - h, और CE = BD = a।

मान लीजिए स्मारक के शीर्ष A से इमारत के शीर्ष C के अवनमन कोण θ है। समकोण त्रिभुज AEC में, कोण ACE = θ है। tan θ = AE / CE = (H - h) / a

स्मारक के शीर्ष A से इमारत के तल D के अवनमन कोण, θ का पूरक है, जो 90° - θ है। समकोण त्रिभुज ABD में, कोण ADB = 90° - θ है। tan(90° - θ) = AB / BD = H / a

चूंकि tan(90° - θ) = cot θ, हमारे पास है: cot θ = H / a tan θ = a / H

tan θ के दो व्यंजकों को बराबर करने पर: (H - h) / a = a / H

दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर: a / (H - h) = H / a

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: H / a = a / (H - h)

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगांतरापात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:

((secθ + tanθ) + (secθ - tanθ)) / ((secθ + tanθ) - (secθ - tanθ)) = ((2 + √3) + (2 - √3)) / ((2 + √3) - (2 - √3))

यह सरल हो जाता है:

2 secθ / 2 tanθ = 4 / 2√3

secθ / tanθ = 2 / √3

चूंकि secθ = 1/cosθ और tanθ = sinθ/cosθ है, तो LHS सरल हो जाता है:

(1/cosθ) / (sinθ/cosθ) = 2 / √3

1/sinθ = 2 / √3

sinθ = √3 / 2

वृत्तीय माप में, प्रथम चतुर्थांश में वह कोण जिसका साइन √3/2 है, π/3 है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करके, हमारे पास है: sin 47° = cos 43° = x/√(x² + y²)

47° कोण वाले एक समकोण त्रिभुज में, sin 47° लम्ब और कर्ण का अनुपात है। इसलिए: लम्ब = x कर्ण = √(x² + y²)

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: आधार = √(कर्ण² - लम्ब²) आधार = √((x² + y²) - x²) आधार = √y² = y

चूंकि tan θ लम्ब और आधार का अनुपात है, हमें प्राप्त होता है: tan 47° = x/y

व्याख्या

सबसे पहले, दीवार के सभी विमाओं को सेंटीमीटर में बदलें ताकि ईंट के विमाओं की इकाई से मेल खा सके। दीवार की लंबाई 9 मीटर है, जो 900 सेमी के बराबर है, और ऊंचाई 6 मीटर है, जो 600 सेमी के बराबर है। दीवार की मोटाई पहले से ही 20 सेमी दी गई है।

दीवार का कुल आयतन उसकी लंबाई, ऊंचाई और मोटाई को गुणा करके निकाला जाता है: दीवार का आयतन = 900 सेमी × 600 सेमी × 20 सेमी = 10,800,000 घन सेमी

एक ईंट का आयतन उसके दिए गए विमाओं का उपयोग करके निकाला जाता है: एक ईंट का आयतन = 30 सेमी × 15 सेमी × 10 सेमी = 4,500 घन सेमी

आवश्यक ईंटों की संख्या दीवार के कुल आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: ईंटों की संख्या = 10,800,000 ÷ 4,500 = 2,400

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = (4/3) × π × R³

जहाँ R गोले की त्रिज्या है। चूँकि गोले का व्यास 6 सेमी है, इसकी त्रिज्या R 3 सेमी है। V = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

तार एक बेलन के आकार का होता है। इसका आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = π × r² × h

जहाँ r त्रिज्या है और h तार की लंबाई है। 2 मिमी (0.2 सेमी के बराबर) व्यास वाले तार के लिए, त्रिज्या r 0.1 सेमी है। V = π × (0.1)² × h = 0.01π × h सेमी³

चूँकि गोले को पिघलाकर तार में ढाला जाता है, उनके आयतन बराबर होने चाहिए: 36π = 0.01π × h h = 36 / 0.01 = 3600 सेमी

तार की लंबाई को मीटर में बदलना: h = 3600 / 100 = 36 मीटर

यह मान मूल परीक्षा पत्र में एक टाइपोग्राफ़िकल इकाई त्रुटि के कारण विकल्पों में 36 सेमी के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

समीकरण में एक टाइपोग्राफिकल त्रुटि है जहाँ cos θ के स्थान पर cot θ लिखा गया है। इस समीकरण का सही निरूपण इस प्रकार है:

sec θ - cos θ = 3/2

चूंकि cos θ = 1/sec θ, हम इस संबंध को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

sec θ - 1/sec θ = 3/2

मान लीजिए x = sec θ। समीकरण में x प्रतिस्थापित करने पर:

x - 1/x = 3/2

भिन्नों को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 2x से गुणा करने पर:

2x² - 2 = 3x 2x² - 3x - 2 = 0

अब, द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें:

2x² - 4x + x - 2 = 0 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 (2x + 1)(x - 2) = 0

इससे x के दो हल प्राप्त होते हैं:

x = 2 या x = -1/2

चूंकि θ एक धनात्मक न्यून कोण है (0 < θ < 90°), sec θ धनात्मक और 1 से बड़ा होना चाहिए। इसलिए, हम ऋणात्मक मूल -1/2 को छोड़ देते हैं।

sec θ = 2

व्याख्या

पिरामिड का आयतन V = 1/3 × आधार क्षेत्रफल × h सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ h पिरामिड की ऊंचाई है।

आधार एक समबाहु त्रिभुज है। मान लीजिए त्रिभुज की प्रत्येक भुजा s है। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3 / 4) × s² होता है।

इस आधार क्षेत्रफल और ऊंचाई को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

आयतन = 1/3 × (√3 / 4) × s² × h

दिए गए आयतन (48√3 घन सेमी) और ऊंचाई (4 सेमी) के मानों का उपयोग करते हुए:

48√3 = 1/3 × (√3 / 4) × s² × 4

अंश और हर में 4 को रद्द करके समीकरण को सरल बनाना:

48√3 = (√3 / 3) × s²

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करना:

48 = s² / 3

s² = 144

s = 12 सेमी

व्याख्या

किसी समकोण त्रिभुज को उसकी लंबवत भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर बनने वाले शंकु का आयतन V = ⅓πr²h सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ जिस भुजा के चारों ओर त्रिभुज को घुमाया जाता है, वह ऊंचाई (h) के रूप में कार्य करती है और दूसरी लंबवत भुजा त्रिज्या (r) के रूप में कार्य करती है।

जब त्रिभुज को भुजा AB के चारों ओर घुमाया जाता है: ऊंचाई h₁ = AB = 3 सेमी त्रिज्या r₁ = BC = 4 सेमी आयतन V₁ = ⅓ × π × 4² × 3 = 16π घन सेमी

जब त्रिभुज को भुजा BC के चारों ओर घुमाया जाता है: ऊंचाई h₂ = BC = 4 सेमी त्रिज्या r₂ = AB = 3 सेमी आयतन V₂ = ⅓ × π × 3² × 4 = 12π घन सेमी

जिस प्रतिशत से पहले शंकु का आयतन दूसरे शंकु से अधिक है, वह इस प्रकार दिया गया है: x = ((V₁ - V₂) / V₂) × 100 x = ((16π - 12π) / 12π) × 100 x = (4/12) × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓ %

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, समकोण त्रिभुज की लंबवत ऊंचाई p है: p = √(कर्ण² - आधार²) p = √(13² - 5²) p = √(169 - 25) p = √144 p = 12 इकाई

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 क्षेत्रफल = 30 वर्ग इकाई

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, बड़ी भुजा के सम्मुख कोण का परिमाण हमेशा बड़ा होता है। यहाँ, त्रिभुज PQR की दी गई भुजाओं की लंबाई QR = 5 सेमी, PR = 4 सेमी और PQ = 3 सेमी है। इन लंबाइयों की तुलना करने पर, हमें QR > PR > PQ मिलता है। चूँकि ∠P भुजा QR के सम्मुख है, ∠Q भुजा PR के सम्मुख है, और ∠R भुजा PQ के सम्मुख है, कोणों का क्रम उनकी सम्मुख भुजाओं के समान अवरोही क्रम का अनुसरण करता है, जिससे ∠P > ∠Q > ∠R प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो चर वाले दो रैखिक समीकरण जो सीधी रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, यदि वे समानांतर हों तो प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। समीकरणों के सामान्य निकाय a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए, रेखाएँ समानांतर होती हैं और उनका कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता है जब a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।

इस निकाय में: x + y = 4 3x + 3y = 6

x के गुणांकों का अनुपात 1/3 है, और y के गुणांकों का अनुपात 1/3 है। हालाँकि, स्थिरांक पदों का अनुपात 4/6 है, जो 2/3 तक सरल हो जाता है।

चूंकि 1/3 = 1/3 ≠ 2/3, रेखाएँ समानांतर हैं और विभिन्न y-अवरोधों के साथ एक ही दिशा में चलती हैं। परिणामस्वरूप, वे कभी भी एक दूसरे को पार नहीं करेंगी, जिसका अर्थ है कि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

व्याख्या

(x/yz) ÷ (y/zx) का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक को सरल करते हैं: (x/yz) ÷ (y/zx) = (x/yz) × (zx/y) = (x²z) / (y²z) = x² / y²

दिए गए अनुपात से: yz : zx : xy = 1 : 2 : 3

अनुपात के दूसरे और पहले पदों की तुलना करने पर: zx / yz = 2 / 1 x / y = 2

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² / y² = 2² = 4

व्याख्या

दिए गए समीकरण x - 1/x = 2 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - 1/x)² = 2² x² - 2 + 1/x² = 4 x² + 1/x² = 6

इस परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 6² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 36 x⁴ + 1/x⁴ = 34

व्याख्या

x के दिए गए व्यंजक के हर का परिमेयकरण करने पर: x = 1 / (√2 + 1) x = (√2 - 1) / ((√2 + 1)(√2 - 1)) x = (√2 - 1) / (2 - 1) x = √2 - 1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x + 1 = √2

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1)² = (√2)² x² + 2x + 1 = 2 x² + 2x = 1

समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: x² + 2x + 3 = 4