एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिका cos 2θ = cos²θ − sin²θ का उपयोग करते हुए, दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2 cos 2θ = 1

cos 2θ = ½

एक धनात्मक न्यून कोण θ के लिए, 2θ, 0° और 180° के बीच स्थित है। चूँकि cos 60° = ½, हमारे पास है:

2θ = 60°

θ = 30°

अब, cot θ का मान ज्ञात करते हैं:

cot θ = cot 30° = √3

व्याख्या

दो रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का अनंत हल तब होता है जब दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं, जो तब होता है जब गुणांक निम्नलिखित शर्त को पूरा करते हैं: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

दिए गए समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में पुनः लिखने पर: पहला समीकरण: 4x - y - 2 = 0, जहाँ a₁ = 4, b₁ = -1, और c₁ = -2 दूसरा समीकरण: -8x + 2y + 4 = 0, जहाँ a₂ = -8, b₂ = 2, और c₂ = 4

गुणांकों के अनुपातों की गणना करने पर: a₁/a₂ = 4 / -8 = -½ b₁/b₂ = -1 / 2 = -½ c₁/c₂ = -2 / 4 = -½

चूंकि अनुपात बराबर हैं (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = -½), दोनों समीकरण बिल्कुल एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिणामस्वरूप, रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक हल है, जिससे समीकरण निकाय के अनंत हल होते हैं।

व्याख्या

दिया गया समीकरण: a² + b² + c² = 2(a - b - c) - 3

सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर: a² - 2a + b² + 2b + c² + 2c + 3 = 0

स्थिरांक 3 को 1 + 1 + 1 में विभाजित करने पर ताकि पदों को पूर्ण वर्ग में समूहित किया जा सके: (a² - 2a + 1) + (b² + 2b + 1) + (c² + 2c + 1) = 0 (a - 1)² + (b + 1)² + (c + 1)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य है, इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए: a - 1 = 0 → a = 1 b + 1 = 0 → b = -1 c + 1 = 0 → c = -1

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2a - 3b + 4c = 2(1) - 3(-1) + 4(-1) 2a - 3b + 4c = 2 + 3 - 4 = 1

व्याख्या

लगभग दशमलव मानों की गणना करके, हमारे पास a = 0 है (या यदि यह √6 - √5 के लिए एक टाइपो है, तो a लगभग 0.213 है), b = √5 - 2 है जो लगभग 0.236 है, और c = 2 - √3 है जो लगभग 0.268 है। इन मानों की तुलना करने पर संबंध a < b < c प्राप्त होता है, जो विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया बीजगणितीय संबंध है: a = b² / (b - a)

दोनों पक्षों को (b - a) से गुणा करने पर: a(b - a) = b² ab - a² = b²

समीकरण के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² - ab + b² = 0

घनों के योग के लिए बीजगणितीय विस्तार है: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a² - ab + b² = 0 के मान को विस्तार में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = (a + b) × 0 = 0

व्याख्या

दी गई शर्त xy + yz + zx = 0 के अनुसार, हम -yz को xy + zx के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

दोनों पक्षों में x² जोड़ने पर: x² - yz = x² + xy + zx = x(x + y + z)

समरूपता से, हम अन्य हरों को भी इसी रूप में लिख सकते हैं: y² - zx = y(x + y + z) z² - xy = z(x + y + z)

इन व्यंजकों को दिए गए बीजीय योग में प्रतिस्थापित करने पर: 1/(x² - yz) + 1/(y² - zx) + 1/(z² - xy) = 1/(x(x + y + z)) + 1/(y(x + y + z)) + 1/(z(x + y + z)) = (1 / (x + y + z)) × (1/x + 1/y + 1/z) = (1 / (x + y + z)) × ((yz + zx + xy) / xyz)

चूंकि xy + yz + zx = 0 है, इसलिए अंश में (yz + zx + xy) पद 0 है।

इसलिए, पूरा व्यंजक सरल हो जाता है: (1 / (x + y + z)) × (0 / xyz) = 0

व्याख्या

जब दो व्यक्ति A और B क्रमशः a और b दिनों में एक कार्य को व्यक्तिगत रूप से पूरा कर सकते हैं, तो उनके एक साथ काम करके कार्य पूरा करने में लगने वाला समय सूत्र द्वारा दिया जाता है:

समय = (a × b) / (a + b)

सूत्र में a = 20 और b = 30 रखने पर:

समय = (20 × 30) / (20 + 30) समय = 600 / 50 समय = 12 दिन

व्याख्या

कमरे का आयतन सूत्र आयतन = फर्श क्षेत्र × ऊंचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। फर्श क्षेत्र के लिए हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके, हमें फर्श क्षेत्र = आयतन / ऊंचाई प्राप्त होता है। इस समीकरण में 204 घन मीटर के दिए गए आयतन और 6 मीटर की ऊंचाई को प्रतिस्थापित करने पर फर्श क्षेत्र = 204 घन मीटर / 6 मीटर = 34 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है।

6a² = 96 a² = 16 a = 4 सेमी

घन का आयतन सूत्र a³ द्वारा दिया जाता है। भुजा की लंबाई का मान रखने पर:

आयतन = 4³ = 64 cm³

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है। चूँकि OP की लंबाई वृत्त के व्यास के बराबर है, इसलिए OP = 2r।

स्पर्शरेखा PA संपर्क बिंदु A पर त्रिज्या OA के लंबवत होती है, जिससे त्रिभुज OAP, A पर समकोण त्रिभुज बनता है।

समकोण त्रिभुज OAP में: sin(∠APO) = OA / OP = r / 2r = ½

चूँकि sin(30°) = ½, इसलिए कोण ∠APO 30° के बराबर है।

बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं की समरूपता के कारण, रेखा OP, कोण ∠APB को समद्विभाजित करती है। इसलिए, ∠BPO भी 30° के बराबर है।

कुल कोण ∠APB, ∠APO और ∠BPO का योग है, जो 30° + 30° = 60° है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या (r) उसके व्यास की आधी होती है: r = 20/2 = 10 सेमी

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार, लंब 12 सेमी जीवा को दो बराबर खंडों में विभाजित करता है जिनकी लंबाई है: 12/2 = 6 सेमी

यह लंब, त्रिज्या और जीवा का आधा भाग एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: त्रिज्या² = दूरी² + (जीवा का आधा)² 10² = दूरी² + 6² 100 = दूरी² + 36 दूरी² = 100 - 36 = 64 दूरी = √64 = 8 सेमी

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल₁/क्षेत्रफल₂ = (भुजा₁/भुजा₂)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

360/250 = (8/x)²

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

36/25 = 64/x²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

6/5 = 8/x

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर:

6x = 40 x = 40/6 x = 20/3 x = 6 ⅔ सेमी

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° के बराबर होता है।

मान लीजिए ∠ACB का माप x है।

दिए गए संबंध: ∠ABC = 5x ∠BAC = 3x

कोण योग सूत्र का उपयोग करके: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°

समीकरण में कोणों के मान रखें: 5x + 3x + x = 180° 9x = 180° x = 20°

∠ABC का माप है: ∠ABC = 5x = 5 × 20° = 100°

व्याख्या

त्रिभुज के एक शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा पर खींची गई लम्ब रेखा को शीर्षलम्ब कहा जाता है। यूक्लिडियन ज्यामिति में, किसी भी त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्ब हमेशा संगमन के एक एकल उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह अद्वितीय बिंदु जहाँ ये तीनों लम्ब मिलते हैं, लम्बकेन्द्र कहलाता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि का सूत्र है: A = P × (1 + R/100)ⁿ

दी गई राशि, दर और समय के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2916 = P × (1 + 8/100)² 2916 = P × (1 + 2/25)² 2916 = P × (27/25)² 2916 = P × 729/625 P = (2916 × 625) / 729 P = 4 × 625 P = 2500

अतः, मूल राशि ₹2500 है।

अब, हम इस मूलधन पर 9% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज की गणना करते हैं, साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100 SI = (2500 × 9 × 3) / 100 SI = 25 × 27 SI = 675

व्याख्या

सभी संख्याओं के संयुक्त औसत को ज्ञात करने के लिए भारित औसत सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

भारित औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) ÷ (n₁ + n₂)

यहाँ, पहले समूह में n₁ = 30 संख्याएँ हैं जिनका औसत A₁ = 40 है, और दूसरे समूह में n₂ = 40 संख्याएँ हैं जिनका औसत A₂ = 30 है।

पहली 30 संख्याओं का योग = 30 × 40 = 1200 अन्य 40 संख्याओं का योग = 40 × 30 = 1200

सभी 70 संख्याओं का कुल योग = 1200 + 1200 = 2400 संख्याओं की कुल गिनती = 30 + 40 = 70

सभी संख्याओं का औसत = 2400 ÷ 70 = 240/7

इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना: 240 ÷ 7 = 34 शेष 2 के साथ, जो 34 2/7 देता है।

व्याख्या

अभिव्यक्ति का मूल्यांकन सबसे भीतरी मूल से बाहर की ओर चरण-दर-चरण करें:

सबसे पहले, सबसे भीतरी वर्गमूल का मूल्यांकन करें: √81 = 9

इस मान को अभिव्यक्ति में वापस प्रतिस्थापित करें: √(40 + √(9 × 9))

अगला, मध्य मूल के तहत पद को सरल बनाएं: √(9 × 9) = √81 = 9

इस मान को मुख्य अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें: √(40 + 9)

अंत में, शेष जोड़ को सरल बनाएं और वर्गमूल ज्ञात करें: √49 = 7

व्याख्या

मान लीजिए कि दो लड़कों की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 6x है।

दी गई शर्त के अनुसार, दो वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 7:8 होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(5x + 2) / (6x + 2) = 7/8

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

8(5x + 2) = 7(6x + 2)

40x + 16 = 42x + 14

2x = 2

x = 1

अतः, दोनों लड़कों की वर्तमान आयु 5 वर्ष और 6 वर्ष है।

12 वर्ष बाद, उनकी आयु होगी:

पहला लड़का: 5 + 12 = 17 वर्ष

दूसरा लड़का: 6 + 12 = 18 वर्ष

12 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 17/18 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए 50 के दो भाग x और y हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: x + y = 50

उनके व्युत्क्रमों का योग है: 1/x + 1/y = 1/12

भिन्नों को संयोजित करने पर: (x + y) / xy = 1/12

x + y = 50 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 50 / xy = 1/12 xy = 50 × 12 xy = 600

हमें दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग 50 और गुणनफल 600 हो। इसे द्विघात समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है: t² - 50t + 600 = 0 (t - 20)(t - 30) = 0

t के लिए हल करने पर t = 20 और t = 30 प्राप्त होता है। अतः, दो भाग 20 और 30 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए आयत की मूल लंबाई L और चौड़ाई B है। मूल क्षेत्रफल A₁ = L × B है।

जब लंबाई और चौड़ाई दोनों दोगुनी कर दी जाती हैं, तो नई लंबाई 2L और नई चौड़ाई 2B हो जाती है। नया क्षेत्रफल A₂ = 2L × 2B = 4 × L × B = 4A₁ है।

क्षेत्रफल में वृद्धि A₂ - A₁ = 4A₁ - A₁ = 3A₁ है।

क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि की गणना (क्षेत्रफल में वृद्धि / मूल क्षेत्रफल) × 100% = (3A₁ / A₁) × 100% = 300% के रूप में की जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए सुप्रियो द्वारा प्राप्त अंक S हैं। चूँकि महुआ को सुप्रियो से 10% कम अंक मिले, महुआ के अंक सुप्रियो के अंकों का 90% दर्शाते हैं।

हम इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 0.90 × S = 81

S के लिए हल करने पर: S = 81 / 0.90 S = 90

सुप्रियो ने गणित में 90 अंक प्राप्त किए।

व्याख्या

चूंकि दोनों स्थितियों में तय की गई दूरी स्थिर रहती है, इसलिए गति और समय के बीच संबंध है:

s₁ × t₁ = s₂ × t₂

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

80 × 4.5 = s₂ × 4

s₂ = (80 × 4.5) / 4

s₂ = 20 × 4.5

s₂ = 90 किमी/घंटा

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके, मिश्रित चाय के 100 ग्राम का क्रय मूल्य (CP) है: CP = (7 × 18 + 3 × 13) / (7 + 3) CP = (126 + 39) / 10 CP = 165 / 10 = ₹16.5

मिश्रित चाय का विक्रय मूल्य (SP) ₹18.15 प्रति 100 ग्राम है।

प्रतिशत लाभ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत लाभ = ((SP - CP) / CP) × 100% प्रतिशत लाभ = ((18.15 - 16.5) / 16.5) × 100% प्रतिशत लाभ = (1.65 / 16.5) × 100% प्रतिशत लाभ = 10%

व्याख्या

साझेदारी में साझेदारों के लाभ का अनुपात निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: A का लाभ / B का लाभ = (A का निवेश × A की समयावधि) / (B का निवेश × B की समयावधि)

मान लीजिए B x महीनों के बाद व्यवसाय में शामिल हुआ। चूँकि कुल अवधि एक वर्ष है, B का पैसा (12 - x) महीनों के लिए निवेश किया गया था, जबकि A का पैसा 12 महीनों के लिए निवेश किया गया था।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2 / 1 = (64000 × 12) / (48000 × (12 - x))

समीकरण को सरल बनाने पर: 2 = (64 × 12) / (48 × (12 - x)) 2 = 768 / (48 × (12 - x)) 96 × (12 - x) = 768 12 - x = 768 / 96 12 - x = 8 x = 12 - 8 x = 4

इसलिए, B 4 महीने बाद व्यवसाय में शामिल हुआ।

व्याख्या

माना वस्तु का अंकित मूल्य L है। A ने 30% की छूट पर वस्तु खरीदी, जिससे A का क्रय मूल्य (CP) हुआ: CP = 0.70 × L

A ने वस्तु को उसके CP पर 25% लाभ पर ₹8,750 में बेचा: विक्रय मूल्य (SP) = CP × (1 + 0.25) 8,750 = 1.25 × CP

क्रय मूल्य की गणना: CP = 8,750 ÷ 1.25 CP = 7,000

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए CP को प्रतिस्थापित करना: 7,000 = 0.70 × L L = 7,000 ÷ 0.70 L = 10,000

व्याख्या

विक्रय मूल्य सूत्र का प्रयोग करके:

विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ/100)

क्रय मूल्य = ₹150 और लाभ = 20% रखने पर:

विक्रय मूल्य = 150 × (1 + 20/100) = 150 × 1.2 = 180

व्याख्या

अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक पुस्तक के विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर को अधिकतम करना होगा। यह प्रत्येक पुस्तक को न्यूनतम संभव क्रय मूल्य पर खरीदकर और प्रत्येक पुस्तक को अधिकतम संभव विक्रय मूल्य पर बेचकर प्राप्त किया जाता है।

पुस्तक के क्रय मूल्य के लिए दी गई सीमा ₹150 से ₹300 है। इस प्रकार, एक पुस्तक का न्यूनतम क्रय मूल्य ₹150 है।

पुस्तक के विक्रय मूल्य के लिए दी गई सीमा ₹250 से ₹350 है। इस प्रकार, एक पुस्तक का अधिकतम विक्रय मूल्य ₹350 है।

एक पुस्तक पर अधिकतम लाभ जो किया जा सकता है, वह है: प्रति पुस्तक अधिकतम लाभ = अधिकतम विक्रय मूल्य - न्यूनतम क्रय मूल्य प्रति पुस्तक अधिकतम लाभ = ₹350 - ₹150 = ₹200

15 पुस्तकों के लिए, अधिकतम संभव लाभ है: कुल अधिकतम लाभ = 15 × ₹200 = ₹3,000

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या का दहाई का अंक t और इकाई का अंक u है।

पहली शर्त के अनुसार, इकाई का अंक दहाई के अंक के दोगुने से 1 कम है: u = 2t - 1

मूल संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 10t + u = 10t + (2t - 1) = 12t - 1

जब अंकों को आपस में बदला जाता है, तो नई संख्या बन जाती है: 10u + t = 10(2t - 1) + t = 21t - 10

नई और मूल संख्या के बीच का अंतर है: (21t - 10) - (12t - 1) = 9t - 9

हमें दिया गया है कि यह अंतर मूल संख्या से 20 कम है: (12t - 1) - (9t - 9) = 20 3t + 8 = 20 3t = 12 t = 4

इकाई के अंक के समीकरण में t = 4 रखने पर: u = 2(4) - 1 = 7

इससे मूल संख्या 47 प्राप्त होती है।

हम इसे आसानी से सत्यापित कर सकते हैं: नई संख्या 74 है। नई और मूल संख्या के बीच का अंतर 74 - 47 = 27 है। यह अंतर मूल संख्या से ठीक 20 कम है, क्योंकि 47 - 20 = 27 है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय प्रिज्म का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

इस प्रिज्म का आधार एक त्रिभुज है। दी गई अंतःत्रिज्या (r) और अर्ध-परिमाप (s) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आधार का क्षेत्रफल = r × s

त्रिभुज का परिमाप 28 सेमी है, इसलिए इसका अर्ध-परिमाप है: s = 28 / 2 = 14 सेमी

दी गई 4 सेमी की अंतःत्रिज्या का उपयोग करके, आधार का क्षेत्रफल है: आधार का क्षेत्रफल = 4 × 14 = 56 वर्ग सेमी

अब, प्रिज्म के आयतन सूत्र में आयतन और आधार के क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर: 366 = 56 × ऊँचाई ऊँचाई = 366 / 56 = 183 / 28 ≈ 6.54 सेमी

चूंकि यह ऊँचाई 4 सेमी, 8 सेमी, या 6 सेमी से मेल नहीं खाती है, इसलिए सही विकल्प वास्तव में इनमें से कोई नहीं है।

व्याख्या

किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए, cos²θ का मान असमानता को संतुष्ट करता है: cos²θ ≤ 1

दिए गए व्यंजक को इस असमानता में प्रतिस्थापित करने पर: (x + y)²/(4xy) ≤ 1

यह मानते हुए कि x और y के समान चिह्न हैं ताकि xy > 0 हो, हम दोनों पक्षों को 4xy से गुणा कर सकते हैं: (x + y)² ≤ 4xy

बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: x² + 2xy + y² ≤ 4xy

दोनों पक्षों से 4xy घटाने पर: x² - 2xy + y² ≤ 0

यह सरल होकर बनता है: (x - y)² ≤ 0

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, असमानता (x - y)² ≤ 0 केवल तभी संतुष्ट हो सकती है जब: (x - y)² = 0

इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है: x = y

व्याख्या

∛2 और √3 की तुलना करने के लिए, दोनों राशियों को छठी घात तक बढ़ाएं, जो कि उनके मूल सूचकांकों 3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

2 का घनमूल की छठी घात का मूल्यांकन: (2⁽1/3))⁶ = 2² = 4

3 का वर्गमूल की छठी घात का मूल्यांकन: (3⁽1/2))⁶ = 3³ = 27

परिणामों की तुलना करने पर, 27, 4 से बड़ा है। चूँकि दोनों मूल संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए 3 का वर्गमूल 2 के घनमूल से बड़ा है।

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा: (a² + b² + c²)(1² + 1² + 1²) ≥ (a + b + c)²

दिए गए मान a + b + c = 9 को प्रतिस्थापित करने पर: 3(a² + b² + c²) ≥ 9² 3(a² + b² + c²) ≥ 81 a² + b² + c² ≥ 27

समानता तब होती है जब a = b = c = 3, जिससे न्यूनतम मान 27 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) का निर्धारण मानक संबंध का उपयोग करके किया जाता है:

भिन्नों का ल.स.प. = अंशों का ल.स.प. ÷ हरों का म.स.प.

दी गई भिन्नें 2/3, 4/9, 5/6, और 2/18 के लिए:

अंश 2, 4, 5, और 2 हैं। अंशों का ल.स.प. LCM(2, 4, 5, 2) = 20 है।

हर 3, 9, 6, और 18 हैं। हरों का म.स.प. HCF(3, 9, 6, 18) = 3 है।

इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

भिन्नों का ल.स.प. = 20/3

व्याख्या

हम दिए गए व्यंजक को चरण दर चरण सरल करते हैं। मान लीजिए व्यंजक है: E = 3 + 1/√3 + 1/(√3 + 3) + 1/(√3 - 3)

सबसे पहले, तीसरे और चौथे पद को एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके संयोजित करें: 1/(√3 + 3) + 1/(√3 - 3) = ((√3 - 3) + (√3 + 3)) / ((√3 + 3)(√3 - 3))

अंश (numerator) और हर (denominator) को सरल करें: अंश: √3 - 3 + √3 + 3 = 2√3 हर: (√3)² - 3² = 3 - 9 = -6

इससे प्राप्त होता है: 2√3 / -6 = -√3 / 3 = -1 / √3

अब, इस परिणाम को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: E = 3 + 1/ √3 - 1/ √3 E = 3

व्याख्या

जब भाजक 'a', 228 को विभाजित करता है और 18 शेषफल छोड़ता है, तो हम इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 228 = a × q + 18

यहाँ, q भागफल है और भाजक 'a' शेषफल से सख्ती से बड़ा होना चाहिए, जिसका अर्थ है a > 18।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a × q = 228 - 18 a × q = 210

यह दर्शाता है कि 'a', 210 का एक गुणनखंड होना चाहिए। 210 के दो-अंकीय गुणनखंड 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42 और 70 हैं। 210 का सबसे बड़ा दो-अंकीय गुणनखंड 70 है, जो 18 से बड़ा भी है, जो इसे 'a' के लिए उच्चतम संभव दो-अंकीय मान बनाता है।

व्याख्या

100 और 1000 के बीच स्थित कोई भी पूर्णांक एक तीन-अंकीय संख्या होती है। किसी भी तीन-अंकीय संख्या को बीजगणितीय रूप से 100a + 10b + c के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ a, b, और c क्रमशः सैकड़ा, दहाई और इकाई स्थान पर अंक हैं।

इस संख्या के अंकों का योग a + b + c है।

मूल संख्या से अंकों के योग को घटाने पर प्राप्त होता है: (100a + 10b + c) - (a + b + c) = 99a + 9b = 9(11a + b)

चूंकि 11a + b एक पूर्णांक है, इसलिए परिणामी व्यंजक 9(11a + b) हमेशा 9 का गुणज होता है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा 9 से विभाज्य होता है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

यह शर्त कि संख्या 31 से उतनी ही अधिक है जितनी वह 75 से कम है, इसका अर्थ है कि संख्या और 31 के बीच का अंतर, 75 और संख्या के बीच के अंतर के बराबर है। इसे दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य (मध्य बिंदु) के सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

x = (31 + 75) / 2

मान की गणना:

x = 106 / 2 x = 53

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y)

इस सर्वसमिका में दी गई शर्त x - y = 1 को प्रतिस्थापित करें: 1³ = x³ - y³ - 3xy(1) 1 = x³ - y³ - 3xy

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है: x³ - y³ - 3(xy - 2)

इस व्यंजक का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: x³ - y³ - 3xy + 6

विस्तारित व्यंजक में संबंध x³ - y³ - 3xy = 1 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 1 + 6 = 7

वैकल्पिक रूप से, x - y = 1 को संतुष्ट करने वाले मानों का एक सरल सेट, जैसे y = 0 और x = 1, प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 1³ - 0³ - 3(0 - 2) = 1 + 6 = 7

व्याख्या

पुस्तक का अंकित मूल्य क्रय मूल्य (CP) से 20% अधिक है। इसलिए, अंकित मूल्य और क्रय मूल्य के बीच संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है: अंकित मूल्य = CP × (1 + मार्कअप प्रतिशत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 180 = CP × (1 + 0.20) 180 = 1.20 × CP CP = 180 / 1.20 = 150

पुस्तक की एक प्रति प्रकाशित करने की कुल क्रय मूल्य ₹150 है।

व्यय चार्ट के अनुसार, कागज की लागत पुस्तक के प्रकाशन की कुल क्रय मूल्य का 15% है।

कागज की लागत = CP का 15% कागज की लागत = 0.15 × 150 = 22.50

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। दिया गया है कि इस संख्या का 20% 120 है: 0.20 × x = 120 x = 120 ÷ 0.20 = 600

इस संख्या का 120% ज्ञात करने के लिए: 1.20 × 600 = 720

वैकल्पिक रूप से, चूंकि प्रतिशत मान के सीधे समानुपाती होता है, यदि 20% 120 के बराबर है, तो 120% इसके बराबर होगा: 120 × (120 ÷ 20) = 120 × 6 = 720

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, विभाजन योग के घटकों के बीच संबंध है: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

दी गई जानकारी से: शेषफल = 2

चूंकि भाजक शेषफल का 6 गुना है: भाजक = 6 × 2 = 12

चूंकि भाजक भागफल का भी 3 गुना है: भागफल = भाजक ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4

इन मानों को विभाजन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: भाज्य = (12 × 4) + 2 = 48 + 2 = 50

व्याख्या

मिश्रित भिन्न को 999 + 692/693 के रूप में लिखें, इसलिए कोष्ठक (999 x 693 + 692)/693 बन जाता है, जो 692999/693 को सरल करता है। चूँकि 693, 7 गुना 99 के बराबर है, इसे 99 से गुणा करने पर 99 कट जाता है और 692999/7 बचता है। कोष्ठक के बाहर 1/7 जोड़ने पर 693000/7 प्राप्त होता है, जो ठीक 99000 के बराबर है।

व्याख्या

a की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम इसके घनमूल के मान का अनुमान लगा सकते हैं: ∛a = √26 + √7 + √63

हम वर्गमूल के अंतर्गत प्रत्येक पद को पूर्ण वर्गों का उपयोग करके निम्न-सीमाबद्ध कर सकते हैं: √26 > √25 = 5 √7 > √4 = 2 √63 > √49 = 7

इन असमानताओं को जोड़ने पर प्राप्त होता है: ∛a > 5 + 2 + 7 = 14

चूंकि 14, 9 से बड़ा है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि: ∛a > 9

असमानता के दोनों पक्षों का घन करने पर प्राप्त होता है: a > 9³ a > 729

व्याख्या

गुणनफल 6³³³ × 7²²² × 8¹¹¹ में अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रत्येक आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं।

आधार 6 को अभाज्य संख्याओं में 2 × 3 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। आधार 7 पहले से ही एक अभाज्य संख्या है। आधार 8 को अभाज्य संख्याओं में 2³ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

इन अभाज्य गुणनखंडनों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(2 × 3)³³³ × 7²²² × (2³)¹¹¹

घातांक के नियमों को लागू करते हुए, हम पदों का विस्तार करते हैं:

2³³³ × 3³³³ × 7²²² × 2³³³

आधार 2 की घातों को संयोजित करते हुए:

2⁶⁶⁶ × 3³³³ × 7²²²

अभाज्य गुणनखंडनों में सभी अभाज्य आधारों की घातों का योग अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या है:

666 + 333 + 222 = 1221

व्याख्या

(x + y + z) / (3z) का मान ज्ञात करने के लिए, पहले y के लिए एक सामान्य पद के साथ अनुपातों को व्यक्त करें।

दिया गया है: x : y = 3 : 4 y : z = 3 : 4

y के अनुपात को संरेखित करने के लिए, पहले अनुपात के पदों को 3 से और दूसरे अनुपात के पदों को 4 से गुणा करें: x : y = 9 : 12 y : z = 12 : 16

यह संयुक्त अनुपात देता है: x : y : z = 9 : 12 : 16

मान लीजिए x = 9k, y = 12k, और z = 16k, जहाँ k एक गैर-शून्य स्थिरांक है। इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(x + y + z) / (3z) = (9k + 12k + 16k) / (3 × 16k) = 37k / 48k = 37/48

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर में प्रत्येक वर्गमूल को पूर्ण वर्गों को गुणनखंडित करके सरल करते हैं:

अंश: √72 = √(36 × 2) = 6√2 √363 = √(121 × 3) = 11√3 √175 = √(25 × 7) = 5√7

इन पदों को एक साथ गुणा करने पर: 6√2 × 11√3 × 5√7 = (6 × 11 × 5) × √(2 × 3 × 7) = 330√42

हर: √32 = √(16 × 2) = 4√2 √147 = √(49 × 3) = 7√3 √252 = √(36 × 7) = 6√7

इन पदों को एक साथ गुणा करने पर: 4√2 × 7√3 × 6√7 = (4 × 7 × 6) × √(2 × 3 × 7) = 168√42

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: (330√42) / (168√42) = 330 / 168

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 6 है, से विभाजित करने पर: 330 ÷ 6 = 55 168 ÷ 6 = 28

यह ठीक 55/28 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

400 ग्राम के प्रारंभिक मिश्रण में, जस्ता और तांबे का अनुपात 5:3 है, जिससे कुल 5 + 3 = 8 भाग बनते हैं।

1 भाग का वजन 400 ÷ 8 = 50 ग्राम है।

जब अनुपात को 5:4 बनाने के लिए तांबा मिलाया जाता है, तो जस्ता के भाग अपरिवर्तित रहकर 5 रहते हैं, जबकि तांबे के भाग 3 से बढ़कर 4 हो जाते हैं।

तांबे में वृद्धि 4 - 3 = 1 भाग है।

चूंकि 1 भाग 50 ग्राम के बराबर है, इसलिए मिलाए जाने वाले तांबे की मात्रा 50 ग्राम है।

व्याख्या

दिए गए औसत से, हम आयु के योग के लिए समीकरण बना सकते हैं: A + B = 20 × 2 = 40 B + C = 19 × 2 = 38 C + A = 21 × 2 = 42

इन तीन समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 40 + 38 + 42 = 120 A + B + C = 60

प्रत्येक दो-व्यक्ति के योग को 60 के कुल योग से घटाकर: A = 60 - (B + C) = 60 - 38 = 22 वर्ष B = 60 - (C + A) = 60 - 42 = 18 वर्ष C = 60 - (A + B) = 60 - 40 = 20 वर्ष

व्याख्या

किसी वस्तु का मूल मूल्य P, जब मूल्य में r% की कमी होने पर एक व्यक्ति E व्यय में q किलोग्राम अधिक खरीद पाता है, तो सूत्र द्वारा दिया जाता है:

P = (r × E) ÷ ((100 - r) × q)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: r = 10 E = 225 q = 25

P = (10 × 225) ÷ ((100 - 10) × 25) P = 2250 ÷ (90 × 25) P = 2250 ÷ 2250 P = 1

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके, मिश्रण में जल का प्रतिशत इस प्रकार गणना की जाती है:

जल प्रतिशत = (w₁p₁ + w₂p₂) / (w₁ + w₂)

जहाँ w₁ और w₂ प्रत्येक द्रव के भागों को दर्शाते हैं, और p₁ और p₂ उनके संबंधित जल प्रतिशत को दर्शाते हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: w₁ = 10, p₁ = 20% w₂ = 4, p₂ = 35%

जल प्रतिशत = (10 × 20 + 4 × 35) / (10 + 4) जल प्रतिशत = (200 + 140) / 14 जल प्रतिशत = 340 / 14 जल प्रतिशत = 170 / 7 जल प्रतिशत = 24 2/7 %