एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: a + b + c = 4

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: a + b = 4 - c

समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर: (a + b)³ = (4 - c)³

बीजगणितीय विस्तार नियमों को लागू करने पर: a³ + b³ + 3ab(a + b) = 64 - 48c + 12c² - c³

समीकरण के बाईं ओर a + b = 4 - c को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + 3ab(4 - c) = 64 - 48c + 12c² - c³ a³ + b³ + 12ab - 3abc = 64 - 48c + 12c² - c³

वांछित व्यंजक से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a³ + b³ + c³ - 12c² + 48c - 64 = 3abc - 12ab

व्याख्या

बॉक्स के अंदर फिट होने वाले ठोस घनों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं कि बॉक्स के प्रत्येक आंतरिक आयाम के साथ कितने घन संरेखित किए जा सकते हैं।

प्रत्येक घन की कोर की लंबाई 0.2 मीटर है, और बॉक्स के आयाम 1 मीटर x 1 मीटर x 2 मीटर हैं।

पहले आयाम के साथ घनों की संख्या = 1 ÷ 0.2 = 5 दूसरे आयाम के साथ घनों की संख्या = 1 ÷ 0.2 = 5 तीसरे आयाम के साथ घनों की संख्या = 2 ÷ 0.2 = 10

बॉक्स में पैक किए जा सकने वाले घनों की कुल संख्या प्रत्येक आयाम के साथ घनों की संख्या का गुणनफल है: 5 × 5 × 10 = 250

चूंकि बॉक्स का प्रत्येक आयाम घन की कोर की लंबाई से पूरी तरह विभाज्य है, घन बिना किसी व्यर्थ स्थान छोड़े पूरी तरह से फिट हो जाते हैं।

व्याख्या

बनाए जा सकने वाले वृत्तों की संख्या ज्ञात करने के लिए, तार की कुल लम्बाई को एक वृत्त की परिधि से विभाजित करें।

सबसे पहले, इकाइयों को सुसंगत बनाने के लिए तार की कुल लम्बाई को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें: तार की कुल लम्बाई = 66 मीटर = 66 × 100 सेमी = 6600 सेमी

एक वृत्त की परिधि 1.32 सेमी दी गई है।

अब, विभाजन लागू करें: वृत्तों की संख्या = तार की कुल लम्बाई / एक वृत्त की परिधि वृत्तों की संख्या = 6600 / 1.32 वृत्तों की संख्या = (6600 × 100) / 132 वृत्तों की संख्या = 5000

व्याख्या

Δ ABC के अंतःवृत्त में, O केंद्र है और रेखाएँ AQ और AR बाह्य बिंदु A से वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं। चूँकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है: ∠AQO = 90° ∠ARO = 90°

चतुर्भुज AQOR में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है: ∠QOR = 360° - (∠AQO + ∠ARO + ∠A) ∠QOR = 360° - (90° + 90° + 60°) = 120°

केंद्र O पर चाप QR द्वारा बनाया गया कोण ∠QOR = 120° है। वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु P पर उसी चाप द्वारा बनाया गया कोण केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है: ∠QPR = ½ ∠QOR ∠QPR = ½ × 120° = 60°

व्याख्या

माना AB वृत्त का व्यास है। चूँकि किसी वृत्त पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है, इसलिए कोण ADB = 90°। इसका मतलब है कि AD, BC पर लंब है।

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, यह दिया गया है कि AB = AC। किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ दो पार्श्व भुजाएँ बराबर होती हैं, शीर्ष A से आधार BC पर खींचा गया शीर्षलंब AD आधार BC को समद्विभाजित करता है। इसलिए, BD = CD।

चूँकि BD = 3 सेमी है, CD की लंबाई भी 3 सेमी है।

व्याख्या

चूंकि छड़ी और मीनार एक ही समय में छाया डाल रहे हैं, इसलिए सूर्य का उन्नयन कोण दोनों के लिए समान है। इसका मतलब है कि छड़ी और उसकी छाया से बना समकोण त्रिभुज, मीनार और उसकी छाया से बने त्रिभुज के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, ऊंचाई और छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहता है:

छड़ी की ऊंचाई / छड़ी की छाया की लंबाई = मीनार की ऊंचाई / मीनार की छाया की लंबाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

12 / 8 = मीनार की ऊंचाई / 40

मीनार की ऊंचाई के लिए हल करने पर:

मीनार की ऊंचाई = (12 × 40) / 8 = 12 × 5 = 60 सेमी

व्याख्या

थेल्स प्रमेय के अनुसार, अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका समकोण B पर है, कर्ण CA के सम्मुख कोण 90° है। इसका तात्पर्य है कि कर्ण CA त्रिभुज के परिकेन्द्र का व्यास है। चूँकि वृत्त का परिकेंद्र उस वृत्त का केंद्र होता है, इसलिए यह अपने व्यास CA के मध्य-बिंदु पर स्थित होना चाहिए।

व्याख्या

दोनों मेजों का कुल विक्रय मूल्य = 2 × ₹ 720 = ₹ 1440।

20% लाभ पर बेची गई मेज के लिए: क्रय मूल्य = 720 ÷ 1.20 = ₹ 600।

20% हानि पर बेची गई मेज के लिए: क्रय मूल्य = 720 ÷ 0.80 = ₹ 900।

दोनों मेजों का कुल क्रय मूल्य = 600 + 900 = ₹ 1500।

कुल हानि = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य = 1500 - 1440 = ₹ 60।

व्याख्या

₹ 1,000 के मूलधन पर 10% प्रति वर्ष की दर से 4 वर्षों के लिए साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

SI = (P × R × T) / 100 SI = (1000 × 10 × 4) / 100 = 400

समान मूलधन, दर और समय पर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

CI = P × ((1 + R/100)ᵀ - 1) CI = 1000 × ((1 + 10/100)⁴ - 1) CI = 1000 × ((1.1)⁴ - 1) CI = 1000 × (1.4641 - 1) CI = 1000 × 0.4641 = 464.10

चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है:

अंतर = CI - SI अंतर = 464.10 - 400 = 64.10

व्याख्या

सभी 15 संख्याओं का योग 15 संख्याओं के औसत को 15 से गुणा करके निकाला जाता है: 15 × 7 = 105

पहली 8 संख्याओं का योग है: 8 × 6.5 = 52

अंतिम 8 संख्याओं का योग है: 8 × 8.5 = 68

जब हम पहली 8 संख्याओं के योग और अंतिम 8 संख्याओं के योग को जोड़ते हैं, तो मध्य संख्या (8वीं संख्या) दो बार शामिल हो जाती है। इसलिए, मध्य संख्या इस संयुक्त योग और सभी 15 संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: (52 + 68) - 105 = 120 - 105 = 15

व्याख्या

दिए गए संबंध √15625 = 125 का उपयोग करते हुए, वर्गमूल में दशमलव बिंदु उतने ही स्थानों से खिसकता है जितने स्थानों से यह रेडिकैंड में खिसकता है:

√156.25 = 12.5 √1.5625 = 1.25 √0.015625 = 0.125

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

12.5 + 1.25 − 0.125 = 13.75 − 0.125 = 13.625

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, और z हैं। दूसरी और तीसरी संख्या का अनुपात y : z = 9 : 6 = 3 : 2 है, और पहली और तीसरी संख्या का अनुपात x : z = 1 : 4 है।

संयुक्त अनुपात x : y : z ज्ञात करने के लिए, हम दोनों अनुपातों में z के लिए पद को सामान्य बनाते हैं। चूंकि पहली और तीसरी संख्या का अनुपात z के लिए 4 है, हम दूसरी और तीसरी संख्या के अनुपात के पदों को 2 से गुणा करके y : z = 6 : 4 प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार, तीन संख्याओं का अनुपात x : y : z = 1 : 6 : 4 है।

अनुपात भागों का योग 1 + 6 + 4 = 11 है। चूंकि तीन संख्याओं का वास्तविक योग 121 है, दूसरी संख्या का मान है:

(6 / 11) × 121 = 6 × 11 = 66।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 3x और 5x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) है।

चूँकि 3 और 5 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए 3x और 5x का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) है: ल.स.प. = 3 × 5 × x = 15x

दिया गया है कि ल.स.प. 75 है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 15x = 75

x के लिए हल करना: x = 75 ÷ 15 x = 5

चूँकि x दो संख्याओं के म.स.प. का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए म.स.प. 5 है।

व्याख्या

मान लीजिए B का वेतन 100 है। चूँकि A का वेतन B के वेतन से 30% अधिक है, इसलिए A का वेतन 130 है।

B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत अंतर = (अंतर / A का वेतन) × 100%

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत अंतर = ((130 - 100) / 130) × 100% प्रतिशत अंतर = (30 / 130) × 100% प्रतिशत अंतर = 300 / 13 % प्रतिशत अंतर = 23 1/13 %

व्याख्या

कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के बीच संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसे सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

यहाँ, पुरुषों की प्रारंभिक संख्या M₁ 8 है और दिनों की प्रारंभिक संख्या D₁ 40 है।

जब उनके साथ 2 और पुरुष जुड़ जाते हैं, तो पुरुषों की नई संख्या M₂ 8 + 2 = 10 हो जाती है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 8 × 40 = 10 × D₂ 320 = 10 × D₂ D₂ = 32 दिन

व्याख्या

कार की गति को किमी/घंटा से मी/सेकंड में बदला जाता है: 36 × 5/18 = 10 मी/सेकंड

शुरुआत में, बस कार से 40 मीटर आगे थी, और 20 सेकंड के बाद, वह 60 मीटर पीछे है। इसका मतलब है कि कार ने शुरुआती 40 मीटर की दूरी तय की और बस के सापेक्ष 60 मीटर की अतिरिक्त दूरी बनाई। सापेक्ष दूरी = 40 + 60 = 100 मीटर समय = 20 सेकंड

बस के सापेक्ष कार की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = सापेक्ष दूरी / समय = 100 / 20 = 5 मी/सेकंड

इस सापेक्ष गति को किमी/घंटा में बदलना: 5 × 18/5 = 18 किमी/घंटा

चूंकि कार बस से तेज गति से चल रही है ताकि उसे ओवरटेक कर सके, सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर है: सापेक्ष गति = कार की गति - बस की गति 18 = 36 - बस की गति बस की गति = 36 - 18 = 18 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रित की जाने वाली दो किस्मों की चाय की मात्रा क्रमशः 5 किलोग्राम और 3 किलोग्राम है।

पहली किस्म की 5 किलोग्राम की क्रय मूल्य = 5 × 240 = ₹ 1200 दूसरी किस्म की 3 किलोग्राम की क्रय मूल्य = 3 × 300 = ₹ 900 मिश्रण के 8 किलोग्राम का कुल क्रय मूल्य = 1200 + 900 = ₹ 2100

मिश्रित किस्म के 8 किलोग्राम का विक्रय मूल्य ₹ 315 प्रति किलोग्राम की दर से = 8 × 315 = ₹ 2520

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 2520 - 2100 = ₹ 420

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (420 / 2100) × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए A और B की प्रारंभिक पूंजी क्रमशः 4x और 5x है।

पहले 3 महीनों के लिए, A 4x और B 5x का निवेश करता है।

3 महीने बाद, A अपनी पूंजी का 1/4 निकाल लेता है, इसलिए उसकी शेष पूंजी 4x - (1/4 × 4x) = 3x है। B अपनी पूंजी का 1/5 निकाल लेता है, इसलिए उसकी शेष पूंजी 5x - (1/5 × 5x) = 4x है।

ये शेष पूंजी 10 महीने की अवधि के अगले 7 महीनों के लिए निवेश की जाती है।

1 महीने के लिए उनकी समतुल्य पूंजी का अनुपात है: A की समतुल्य पूंजी = (4x × 3) + (3x × 7) = 12x + 21x = 33x B की समतुल्य पूंजी = (5x × 3) + (4x × 7) = 15x + 28x = 43x

A और B के लाभ-साझाकरण का अनुपात 33 : 43 है।

₹ 760 के कुल लाभ के साथ, अनुपात भागों का योग 33 + 43 = 76 है।

लाभ में A का हिस्सा है: (33 / 76) × 760 = 33 × 10 = ₹ 330

व्याख्या

छूट प्रतिशत (d%) और लाभ प्रतिशत (p%) दिए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और मुद्रित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

CP / MP = (100 - d) / (100 + p)

छूट (d = 10) और लाभ (p = 15) के दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP / MP = (100 - 10) / (100 + 15)

CP / MP = 90 / 115

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

CP / MP = 18 / 23

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य x है। चूँकि लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के संख्यात्मक रूप से बराबर है, लाभ प्रतिशत x% है।

विक्रय मूल्य के सूत्र का प्रयोग करके: SP = CP × (1 + Profit%/100)

SP = 39 और CP = x को प्रतिस्थापित करने पर: 39 = x × (1 + x/100) 39 = x + x²/100 3900 = 100x + x² x² + 100x - 3900 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: x² + 130x - 30x - 3900 = 0 x(x + 130) - 30(x + 130) = 0 (x - 30)(x + 130) = 0

इससे x = 30 या x = -130 प्राप्त होता है। चूँकि क्रय मूल्य ऋणात्मक मान नहीं हो सकता, इसलिए x का मान 30 होना चाहिए।

इसकी शीघ्रता से पुष्टि भी की जा सकती है क्योंकि ₹ 30 के क्रय मूल्य पर 30% लाभ का परिणाम होता है: 30 का 30% = 9

इस लाभ को क्रय मूल्य में जोड़ने पर प्राप्त होता है: 30 + 9 = 39