एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना दूसरी संख्या y है।

दी गई शर्तों से: पहली संख्या दूसरी की दोगुनी है, जो 2y है। तीसरी संख्या पहली की एक-तिहाई है, जो 2y/3 है।

इन तीन संख्याओं का योग 132 है: 2y + y + 2y/3 = 132

भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर: 6y + 3y + 2y = 396 11y = 396 y = 36

व्याख्या

सही उत्तर: D

3, 4, 5, 6 और 8 से विभाज्य लघुत्तम पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन है: 3 = 3¹ 4 = 2² 5 = 5¹ 6 = 2 × 3 8 = 2³

LCM प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है: LCM(3, 4, 5, 6, 8) = 2³ × 3¹ × 5¹ = 120

120 के अभाज्य गुणनखंडन में, जो कि 2² × 2 × 3 × 5 है, अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 के जोड़े नहीं हैं। 120 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। इसलिए, जोड़े पूरे करने के लिए 120 को 2 × 3 × 5 = 30 से गुणा किया जाना चाहिए।

आवश्यक लघुत्तम पूर्ण वर्ग = 120 × 30 = 3600

व्याख्या

मान लीजिए पहला भाग x है और दूसरा भाग 24 - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, पहले भाग का 7 गुना और दूसरे भाग का 5 गुना जोड़ने पर 146 के बराबर होता है:

7x + 5(24 - x) = 146

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर:

7x + 120 - 5x = 146

2x + 120 = 146

2x = 146 - 120

2x = 26

x = 13

व्याख्या

जब कोई संख्या क्रमशः d₁, d₂, d₃ से विभाजित होने पर शेषफल r₁, r₂, r₃ देती है, और प्रत्येक भाजक और उसके शेषफल के बीच का अंतर एक स्थिरांक k होता है, तो संख्या का सामान्य रूप होता है: N = LCM(d₁, d₂, d₃) × m - k, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।

यहाँ, भाजक 5, 9 और 13 हैं, और शेषफल 2, 6 और 10 हैं। सामान्य अंतर है: 5 - 2 = 3 9 - 6 = 3 13 - 10 = 3 इस प्रकार, k = 3।

चूंकि 5, 9 और 13 सह-अभाज्य हैं, उनका LCM उनका गुणनफल है: LCM(5, 9, 13) = 5 × 9 × 13 = 585

सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए, m = 1 रखने पर: N = 585 - 3 = 582

व्याख्या

भुजा a = 12 सेमी वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: आधार क्षेत्रफल = (√3/4) × a² आधार क्षेत्रफल = (√3/4) × 12² = 36√3 वर्ग सेमी

प्रिज्म का आयतन उसके आधार क्षेत्रफल और ऊंचाई (h) का गुणनफल होता है: आयतन = आधार क्षेत्रफल × h 1080 = 36√3 × h h = 1080 / (36√3) = 10√3 सेमी

त्रिभुजाकार आधार की परिधि है: परिधि = 3 × a = 3 × 12 = 36 सेमी

प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) है: LSA = परिधि × h = 36 × 10√3 = 360√3 वर्ग सेमी

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) उसके पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो आधारों के क्षेत्रफलों का योग है: TSA = LSA + 2 × आधार क्षेत्रफल TSA = 360√3 + 2 × (36√3) TSA = 360√3 + 72√3 = 432√3 वर्ग सेमी

व्याख्या

सीसा और टिन का प्रारंभिक अनुपात 5:6 है। मिश्र धातु के कुल भाग 5 + 6 = 11 भाग हैं।

मिश्र धातु का कुल द्रव्यमान 12.1 किलोग्राम है, जिसका अर्थ है कि 11 भाग 12.1 किलोग्राम के बराबर हैं। 1 भाग का मान 12.1 / 11 = 1.1 किलोग्राम है।

सीसा और टिन का अनुपात 1:1 करने के लिए, दोनों घटकों में भागों की संख्या बराबर होनी चाहिए। चूँकि टिन की मात्रा 6 भागों पर अपरिवर्तित रहती है, सीसे को भी 6 भागों तक बढ़ाया जाना चाहिए।

इसके लिए 1 भाग सीसा (6 - 5 = 1 भाग) मिलाने की आवश्यकता है। चूँकि 1 भाग 1.1 किलोग्राम के बराबर है, इसलिए मिलाई जाने वाली सीसे की मात्रा 1.1 किलोग्राम है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, cos 67½° cos(90° - 22½°) के बराबर है, जो sin 22½° को सरल करता है।

किसी भी न्यून कोण θ के लिए, हम sin θ को tan θ के पदों में मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं: sin θ = tan θ / sec θ

चूंकि sec θ = √(1 + tan² θ), यह बन जाता है: sin θ = tan θ / √(1 + tan² θ)

इस संबंध में θ = 22½° और tan 22½° = x रखने पर प्राप्त होता है: sin 22½° = x / √(1 + x²)

यह सीधे cos 67½° का मान x / √(1 + x²) के रूप में देता है।

व्याख्या

अनुक्रम को क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करके हल किया जा सकता है। मान लीजिए पद a₁, a₂, a₃ और a₄ हैं।

पहला अंतर है: d₁ = a₂ - a₁ = 13 - 4 = 9

दूसरा अंतर है: d₂ = a₃ - a₂ = 38 - 13 = 25

अंतरों का अनुक्रम (9, 25, ...) एक पुनरावर्ती पैटर्न का अनुसरण करता है जहाँ प्रत्येक क्रमिक अंतर को 3 से गुणा किया जाता है और फिर 2 घटाया जाता है: dₙ = 3 × dₙ₋₁ - 2

इस नियम का उपयोग करके, तीसरा अंतर है: d₃ = 3 × 25 - 2 = 75 - 2 = 73

इस अंतर को तीसरे पद में जोड़ने पर चौथा पद प्राप्त होता है: a₄ = a₃ + d₃ = 38 + 73 = 111

वैकल्पिक रूप से, अनुक्रम प्रत्यक्ष पद-से-पद नियम का अनुसरण करता है: aₙ = 3 × aₙ₋₁ + cₙ जहाँ जोड़ा गया स्थिरांक cₙ एक अनुक्रम है जो 1 से शुरू होता है और प्रत्येक चरण में 2 से घटता है (1, -1, -3, ...)।

दूसरे पद के लिए: a₂ = 3 × 4 + 1 = 13

तीसरे पद के लिए: a₃ = 3 × 13 - 1 = 38

चौथे पद के लिए: a₄ = 3 × 38 - 3 = 114 - 3 = 111

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a² + b²)(x² + y²) - (ax + by)² = (ay - bx)²

दिए गए समीकरणों से, हम x² और y² को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: x² = 1 - a² y² = 1 - b²

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: x² + y² = 2 - (a² + b²)

x² + y² = 2 - (a² + b²) और ax + by = 1 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (a² + b²)(2 - (a² + b²)) - 1² = (ay - bx)²

मान लीजिए S = a² + b²: S(2 - S) - 1 = (ay - bx)² 2S - S² - 1 = (ay - bx)² -(S² - 2S + 1) = (ay - bx)² -(S - 1)² = (ay - bx)²

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए बाईं ओर -(S - 1)² शून्य से कम या उसके बराबर है, जबकि दाईं ओर (ay - bx)² शून्य से अधिक या उसके बराबर है।

समानता बनाए रखने के लिए, दोनों पक्ष शून्य के बराबर होने चाहिए: (S - 1)² = 0 S = 1

इस प्रकार, a² + b² का संख्यात्मक मान 1 है।

व्याख्या

व्यक्तिगत लाभ के हिस्सों को ज्ञात करने के लिए, पहले A, B, और C के प्रारंभिक निवेश अनुपात को पूर्णांक मानों में बदलें। हर 2, 3, और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 है। अनुपात के प्रत्येक पद को 30 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: A का प्रारंभिक हिस्सा = (7/2) × 30 = 105 B का प्रारंभिक हिस्सा = (4/3) × 30 = 40 C का प्रारंभिक हिस्सा = (6/5) × 30 = 36

अगला, वर्ष के लिए प्रत्येक साझेदार के कुल समतुल्य मासिक निवेश की गणना करें: A पहले 4 महीनों के लिए 105 का निवेश करता है। 4 महीने बाद, A निवेश को 50% बढ़ा देता है, जिससे शेष 8 महीनों के लिए नया निवेश 105 + 52.5 = 157.5 हो जाता है। A का कुल समतुल्य निवेश = (105 × 4) + (157.5 × 8) = 420 + 1260 = 1680 B का कुल समतुल्य निवेश = 40 × 12 = 480 C का कुल समतुल्य निवेश = 36 × 12 = 432

उनके कुल निवेश का अनुपात, जो उनके लाभ के हिस्सों का अनुपात भी है, है: A : B : C = 1680 : 480 : 432

प्रत्येक पद को 48 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर प्राप्त होता है: 35 : 10 : 9

अनुपात के भागों का योग 35 + 10 + 9 = 54 है।

कुल लाभ 43,200 के साथ, B का हिस्सा है: B का हिस्सा = (10 / 54) × 43,200 = 10 × 800 = 8,000

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है।

सापेक्ष गति = 65 किमी/घंटा + 85 किमी/घंटा = 150 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके मीटर प्रति सेकंड में बदलना:

सापेक्ष गति = 150 × 5/18 = 125/3 मी/से

जब वे एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करती हैं, तो तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग होती है। चूंकि दोनों ट्रेनों की लंबाई L समान है, इसलिए कुल दूरी 2L है।

दूरी सूत्र का उपयोग करके, दूरी = गति × समय:

2L = (125/3) × 6

2L = 125 × 2

L = 125 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

प्रारंभिक लेन-देन में 12½% की हानि होती है, जो 12.5% के बराबर है। बाद के लेन-देन में 6% का लाभ होता है।

12.5% हानि और 6% लाभ के बीच कुल प्रतिशत अंतर है: 12.5% + 6% = 18.5%

क्रय मूल्य में 18.5% का यह अंतर दी गई मूल्य वृद्धि ₹51.80 के बराबर है।

CP का 18.5% = 51.80 (18.5 / 100) × CP = 51.80 CP = (51.80 × 100) / 18.5 CP = 5180 / 18.5 CP = 280

व्याख्या

जब M वस्तुओं का क्रय मूल्य N वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना मानक संबंध का उपयोग करके की जाती है:

लाभ% = ((M - N) / N) × 100%

यहाँ, 18 वस्तुओं का क्रय मूल्य 15 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, जिसका अर्थ है M = 18 और N = 15। इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ% = ((18 - 15) / 15) × 100% लाभ% = (3 / 15) × 100% लाभ% = 1/5 × 100% लाभ% = 20%

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁% और d₂% के लिए एकल समतुल्य छूट का सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 है।

सूत्र में 50% और 50% के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 50 + 50 - (50 × 50)/100 समतुल्य छूट = 100 - 2500/100 समतुल्य छूट = 100 - 25 समतुल्य छूट = 75%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 माना जाता है, तो 50% की पहली छूट मूल्य को 50 तक कम कर देती है। इस शेष मूल्य पर 50% की दूसरी छूट इसे 25 तक कम कर देती है, जिससे अंतिम मूल्य 25 हो जाता है। 100 से 25 तक की कुल कमी 75% की समग्र छूट का प्रतिनिधित्व करती है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 15² = x² + y² + z² + 2(75) 225 = x² + y² + z² + 150 x² + y² + z² = 75

चूंकि x² + y² + z² = 75 और xy + yz + zx = 75 है, हम उन्हें बराबर कर सकते हैं: x² + y² + z² = xy + yz + zx x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य है, प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: x - y = 0, y - z = 0, और z - x = 0 इसका मतलब है x = y = z।

दिया गया है x + y + z = 15, हमें मिलता है: 3z = 15 z = 5 इस प्रकार, x = y = z = 5।

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x + 4y + z) / (3z) = (5 + 4(5) + 5) / (3 × 5) = 30 / 15 = 2।

व्याख्या

बिंदु (p, q) पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए समीकरणों की प्रणाली है: 3p - 5q = -8 3p + 5q = 32

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर q समाप्त हो जाता है: (3p - 5q) + (3p + 5q) = -8 + 32 6p = 24 p = 4

p = 4 को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3(4) + 5q = 32 12 + 5q = 32 5q = 20 q = 4

इसलिए, p - q का मान 4 - 4 = 0 है।

व्याख्या

गुणनफल xy की गणना वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके की जाती है: xy = (√3 + √2)(√3 - √2) = (√3)² - (√2)² = 3 - 2 = 1

वर्गों का योग x² + y² बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: x² + y² = (√3 + √2)² + (√3 - √2)² = 2((√3)² + (√2)²) = 2(3 + 2) = 10

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 8xy(x² + y²) = 8 × 1 × 10 = 80

व्याख्या

स्थिर कार्य के लिए व्यक्तियों की संख्या (M), दिनों की संख्या (D), और प्रतिदिन काम करने के घंटे (H) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

50 × 12 × 6 = 60 × 8 × x

3600 = 480 × x

x = 3600 / 480

x = 15/2

x = 7 ½

व्याख्या

पहले दिए गए समीकरण से, x + 1/y = 1: x = 1 - 1/y = (y - 1)/y x का व्युत्क्रम लेने पर: 1/x = y/(y - 1)

दूसरे दिए गए समीकरण से, y + 1/z = 1: 1/z = 1 - y 1/z का व्युत्क्रम लेने पर: z = 1/(1 - y) = -1/(y - 1)

z + 1/x का मान ज्ञात करने के लिए, इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें: z + 1/x = -1/(y - 1) + y/(y - 1) z + 1/x = (y - 1)/(y - 1) z + 1/x = 1

व्याख्या

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

a = 4x और b = 5z प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 64x³ - 125z³ = (4x - 5z)³ + 3(4x)(5z)(4x - 5z) 64x³ - 125z³ = (4x - 5z)³ + 60xz(4x - 5z)

दिए गए मानों, 4x - 5z = 16 और xz = 12, को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 64x³ - 125z³ = 16³ + 60 × 12 × 16 64x³ - 125z³ = 4096 + 11520 64x³ - 125z³ = 15616

व्याख्या

एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। शीर्ष A से, वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ AQ और AR हैं, जिसका अर्थ है AQ = AR = 6 सेमी। इसी प्रकार, शीर्ष B से, स्पर्श रेखाएँ BQ और BP हैं, इसलिए BQ = BP। शीर्ष C से, स्पर्श रेखाएँ CP और CR हैं, इसलिए CP = CR।

त्रिभुज ABC का परिमाप AB + BC + AC है। चूँकि भुजा BC बिंदु P पर विभाजित है, BC = BP + PC। इसलिए परिमाप को AB + BP + PC + AC लिखा जा सकता है। BP को BQ और PC को CR से प्रतिस्थापित करने पर, परिमाप AB + BQ + CR + AC हो जाता है। चूँकि AB + BQ = AQ और AC + CR = AR है, यह AQ + AR तक सरल हो जाता है।

A से स्पर्श रेखाओं की समानता का उपयोग करते हुए, AQ = AR है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज ABC का परिमाप 2 × AQ के बराबर है। AQ का दिया गया मान रखने पर, परिमाप 2 × 6 = 12 सेमी है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोण द्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतःकेंद्र होता है। अंतःकेंद्र D पर ∠B और ∠C के द्विभाजकों द्वारा बनाया गया कोण मानक ज्यामितीय संबंध द्वारा दिया जाता है:

∠BDC = 90° + ½ ∠A

∠A = 80° के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

∠BDC = 90° + ½ × 80° ∠BDC = 90° + 40° ∠BDC = 130°

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

त्रिभुज ABC में, जहाँ भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

दिया गया है कि ∠ACD = 112° और ∠ABC = 3/4 ∠BAC, हम लिख सकते हैं: ∠BAC = 4/3 ∠ABC

इसे बाह्य कोण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 112° = ∠ABC + 4/3 ∠ABC 112° = 7/3 ∠ABC

∠ABC के लिए हल करने पर: ∠ABC = 112° × 3/7 ∠ABC = 16 × 3 ∠ABC = 48°

व्याख्या

चूंकि XY, AC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज XBY, त्रिभुज ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(ΔXBY) / Area(ΔABC) = (BX / AB)²

क्योंकि रेखा XY, त्रिभुज ABC को क्षेत्रफल में दो बराबर भागों में विभाजित करती है, इसलिए त्रिभुज XBY का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ठीक आधा है: Area(ΔXBY) / Area(ΔABC) = ½

दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: (BX / AB)² = ½ BX / AB = 1 / √2

भुजा AB, AX और BX का योग है, जिसका अर्थ है AX = AB - BX। दोनों पक्षों को AB से विभाजित करने पर: AX / AB = 1 - BX / AB AX / AB = 1 - 1 / √2 AX / AB = (√2 - 1) / √2

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को √2 से गुणा करें: AX / AB = (2 - √2) / 2

व्याख्या

एक ठोस गोले का आयतन V = (4/3) × π × r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है। यहाँ, व्यास 6 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 3 सेमी है। V_गोला = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

एक खोखले बेलन का आयतन V = π × (R² - r_in²) × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है, r_in आंतरिक त्रिज्या है, और h लंबाई है। यहाँ, बाहरी व्यास 10 सेमी है, जिससे बाहरी त्रिज्या R = 5 सेमी और लंबाई h = 4 सेमी प्राप्त होती है।

चूंकि गोले को पिघलाकर खोखला बेलनाकार पाइप बनाया जाता है, इसलिए उनके आयतन बराबर होने चाहिए: 36π = π × (5² - r_in²) × 4 36 = 4 × (25 - r_in²) 9 = 25 - r_in² r_in² = 16 r_in = 4 सेमी

पाइप की चादर की चौड़ाई बाहरी त्रिज्या और आंतरिक त्रिज्या के बीच का अंतर है: चौड़ाई = R - r_in = 5 - 4 = 1 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि गोले और बेलन की उभयनिष्ठ त्रिज्या r है, और बेलन की ऊँचाई h है।

गोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_गोला = 4/3 × π × r³

बेलन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_बेलन = π × r² × h

चूंकि दोनों ठोसों के आयतन समान हैं: 4/3 × π × r³ = π × r² × h

दोनों पक्षों को π × r² से विभाजित करने पर: 4/3 × r = h

बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात (r : h) ज्ञात करने के लिए: r/h = 3/4

इससे अनुपात r : h = 3 : 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह वृत्त की त्रिज्या R, केंद्र से लंबवत दूरी d, और जीवा की आधी लंबाई L/2 के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

R² = d² + (L/2)²

छोटी जीवा जिसकी लंबाई L = 6 सेमी है, के लिए दूरी d = 4 सेमी है। त्रिज्या R ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

R² = 4² + (6/2)² R² = 16 + 9 R² = 25 R = 5 सेमी

दूसरी जीवा जिसकी लंबाई L = 8 सेमी है, के लिए त्रिज्या R = 5 सेमी का उपयोग करते हुए, केंद्र से दूरी d की गणना इस प्रकार की जाती है:

5² = d² + (8/2)² 25 = d² + 16 d² = 9 d = 3 सेमी

व्याख्या

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ 4x और 7x मान लीजिए। समानांतर भुजाओं का योग 11x है।

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई उसकी समानांतर भुजाओं के योग का 2/11 है: h = (2/11) × 11x = 2x

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 176 वर्ग सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग करके: क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई 176 = ½ × 11x × 2x 176 = 11x² x² = 16 x = 4

इस प्रकार, समानांतर भुजाएँ हैं: 4 × 4 = 16 सेमी 7 × 4 = 28 सेमी

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है: h = 2 × 4 = 8 सेमी

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण ऊँचाई और लंबी भुजा पर विकर्ण के प्रक्षेप के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। इस भुजा के प्रक्षेप की लंबाई है: (16 + 28) / 2 = 22 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, विकर्ण (d) की लंबाई है: d² = 8² + 22² d² = 64 + 484 d² = 548 d = √548 = 2√137 सेमी

व्याख्या

किसी त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, उसकी माध्यिकाओं की लंबाई दिए जाने पर, उन माध्यिकाओं को भुजाएँ मानकर बनने वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित होता है:

ABC का क्षेत्रफल = 4/3 × माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल

मान लीजिए माध्यिकाएँ m₁ = 18 सेमी, m₂ = 24 सेमी, और m₃ = 30 सेमी हैं। चूँकि 18² + 24² = 324 + 576 = 900 = 30², इन माध्यिकाओं की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती है, जिसका अर्थ है कि वे एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।

इस माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 18 × 24 = 216 वर्ग सेमी

सूत्र लागू करने पर:

ABC का क्षेत्रफल = 4/3 × 216 = 288 वर्ग सेमी

व्याख्या

1°, 3°, 5°, ..., 89° की श्रृंखला में कोण प्रथम पद a = 1, अंतिम पद l = 89, और सार्व अंतर d = 2 के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।

पदों की संख्या n की गणना इस प्रकार की जाती है: n = (l - a)/d + 1 = (89 - 1)/2 + 1 = 45

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: sin²θ + sin²(90° - θ) = sin²θ + cos²θ = 1

शुरुआत और अंत से पदों का युग्मन: (sin²1° + sin²89°) + (sin²3° + sin²87°) + ... + (sin²43° + sin²47°) + sin²45°

चूंकि 45 पद हैं, हमें 22 ऐसे युग्म मिलते हैं, जिसमें मध्य पद sin²45° अकेला रह जाता है।

योग है: 22 × 1 + sin²45° = 22 + (1/√2)² = 22½

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता के अनुसार, किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, संबंध (a + b)/2 ≥ √(ab) हमेशा सत्य होता है।

a = cos²θ और b = sec²θ को सेट करके, जो θ के सभी मानों के लिए धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ वे परिभाषित हैं, हमें प्राप्त होता है:

(cos²θ + sec²θ)/2 ≥ √(cos²θ × sec²θ)

चूंकि sec²θ = 1/cos²θ, उनका गुणनफल 1 है:

(cos²θ + sec²θ)/2 ≥ √1

cos²θ + sec²θ ≥ 2

इस प्रकार, cos²θ + sec²θ का न्यूनतम मान 2 है। यह न्यूनतम तब प्राप्त होता है जब cos²θ = sec²θ = 1, जो तब होता है जब θ, π का एक पूर्णांक गुणज होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: cos θ + sec θ = 2

चूंकि sec θ = 1/cos θ है, समीकरण बन जाता है: cos θ + 1/cos θ = 2

दोनों पक्षों को cos θ से गुणा करने पर: cos² θ + 1 = 2 cos θ cos² θ - 2 cos θ + 1 = 0 (cos θ - 1)² = 0 cos θ = 1

चूंकि cos θ = 1 है, इसलिए sec θ = 1 भी है।

व्यंजक cos¹⁰ θ + sec¹¹ θ में पद cos¹⁰ θ + sec¹¹ θ का प्रतिनिधित्व करते हैं (या सामान्य मुद्रण लेआउट के कारण cos¹⁰ θ + sec¹¹⁰ θ)। cos θ = 1 और sec θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: cos¹⁰ θ + sec¹¹ θ = 1¹⁰ + 1¹¹ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

पिरामिड का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

भुजाओं a = 21 सेमी, b = 20 सेमी, और c = 13 सेमी वाले त्रिभुजाकार आधार के लिए, अर्ध-परिमाप s की गणना इस प्रकार की जाती है: s = (a + b + c) / 2 = (21 + 20 + 13) / 2 = 27 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके, आधार A का क्षेत्रफल है: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) A = √(27 × (27 - 21) × (27 - 20) × (27 - 13)) A = √(27 × 6 × 7 × 14) A = √(3³ × (2 × 3) × 7 × (2 × 7)) A = √(3⁴ × 2² × 7²) A = 3² × 2 × 7 = 126 सेमी²

30 सेमी की ऊँचाई के साथ, आयतन है: V = ⅓ × 126 × 30 V = 126 × 10 = 1260 सेमी³

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप सूत्र 360°/n द्वारा दिया जाता है।

n भुजाओं वाले बहुभुज के लिए, बाह्य कोण 360°/n है, और (n + 1) भुजाओं वाले बहुभुज के लिए, बाह्य कोण 360°/(n + 1) है।

प्रश्न के अनुसार, इन दो कोणों के बीच का अंतर 5° है: 360/n - 360/(n + 1) = 5

समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: 72/n - 72/(n + 1) = 1

सामान्य हर लेने पर: 72 × ((n + 1 - n) / (n(n + 1))) = 1 72 / (n(n + 1)) = 1 n(n + 1) = 72

इसे एक द्विघात समीकरण के रूप में पुनः लिखा जा सकता है: n² + n - 72 = 0 (n + 9)(n - 8) = 0

चूंकि भुजाओं की संख्या n एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, हम ऋणात्मक हल (n = -9) को छोड़ देते हैं। अतः, n = 8।

व्याख्या

एक लम्ब प्रिज्म का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

आयतन = आधार का क्षेत्रफल × प्रिज्म की ऊँचाई

चूंकि प्रिज्म का आधार एक समचतुर्भुज है, इसका क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

आधार का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

जहाँ d₁ और d₂ समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं।

विकर्णों की दी गई लंबाई, d₁ = 14 सेमी और d₂ = 18 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

आधार का क्षेत्रफल = ½ × 14 × 18 = 126 वर्ग सेमी

प्रिज्म की ऊँचाई 20 सेमी दी गई है, प्रिज्म का आयतन इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:

आयतन = 126 × 20 = 2520 घन सेमी

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 33a और 33b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।

प्रश्न के अनुसार, दो संख्याओं का योग 528 है: 33a + 33b = 528 33(a + b) = 528 a + b = 16

म.स.प. को 33 बनाए रखने के लिए, पूर्णांक a और b सह-अभाज्य होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

सह-अभाज्य पूर्णांकों (a, b) के जोड़े जिनका योग 16 है, वे हैं: (1, 15) (3, 13) (5, 11) (7, 9)

इससे संख्याओं के ठीक 4 मान्य जोड़े प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी को भरने के लिए नल A, B और C की दरें क्रमशः a, b और c हैं।

दी गई दरों के आधार पर: a + b = 1/6 b + c = 1/10

A और C की संयुक्त दर 7½ घंटे (जो 15/2 घंटे है) के समय पर आधारित है: a + c = 2/15

इन तीन समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर: 2(a + b + c) = 1/6 + 1/10 + 2/15

30 का सामान्य भाजक ज्ञात करने पर: 2(a + b + c) = 5/30 + 3/30 + 4/30 2(a + b + c) = 12/30 = 2/5 a + b + c = 1/5

कुल दर (a + b + c) से A और B की संयुक्त दर (a + b) को घटाने पर C की व्यक्तिगत दर प्राप्त होती है: c = (a + b + c) - (a + b) c = 1/5 - 1/6 c = 6/30 - 5/30 = 1/30

इस प्रकार, नल C अकेला टंकी को 30 घंटे में भर सकता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण sec θ - cosec θ = 0 दिया गया है, जिसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

sec θ = cosec θ

इन पदों को sin और cos के पदों में व्यक्त करने पर:

1/cos θ = 1/sin θ

वज्र गुणन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin θ = cos θ

दोनों पक्षों को cos θ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

tan θ = 1

चूंकि cot θ, tan θ का व्युत्क्रम है, इसलिए हमारे पास है:

cot θ = 1/tan θ = 1/1 = 1

इन मानों को tan θ + cot θ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ + cot θ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

माना वृक्ष की ऊँचाई h = 120 मी. है। दोनों नावें वृक्ष के एक ही ओर, उसके पाद के साथ एक ही रेखा में स्थित हैं। नावों के अवनमन कोण 45° और 60° हैं, जो जमीन से उनके संगत उन्नयन कोणों के बराबर हैं।

निकटतम नाव के लिए, उन्नयन कोण 60° है। माना वृक्ष के पाद से इसकी दूरी x है। त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (tangent) संबंध का उपयोग करके: tan 60° = 120 / x √3 = 120 / x x = 120 / √3 = 40√3 मी.

दूरतम नाव के लिए, उन्नयन कोण 45° है। माना वृक्ष के पाद से इसकी दूरी y है। त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (tangent) संबंध का उपयोग करके: tan 45° = 120 / y 1 = 120 / y y = 120 मी.

दोनों नावों के बीच की दूरी वृक्ष के पाद से उनकी दूरियों का अंतर है: y - x = 120 - 40√3 = 40 (3 - √3) मी.

व्याख्या

माना x = a + b - 2c, y = b + c - 2a, और z = c + a - 2b।

इन तीन पदों को जोड़ने पर: x + y + z = (a + b - 2c) + (b + c - 2a) + (c + a - 2b) = 0

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।

इस सर्वसमिका में x, y, और z के व्यंजकों को वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (a + b - 2c)³ + (b + c - 2a)³ + (c + a - 2b)³ = 3(a + b - 2c)(b + c - 2a)(c + a - 2b)

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 3x और 4x है।

A आयत के विकर्ण के अनुदिश चलता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, विकर्ण की लंबाई √((3x)² + (4x)²) = √(9x² + 16x²) = 5x है। इस प्रकार, A द्वारा तय की गई दूरी 5x है।

B विकर्णतः विपरीत कोने तक पहुँचने के लिए आयत के किनारों के अनुदिश चलता है। इसलिए, B द्वारा तय की गई दूरी लंबाई और चौड़ाई का योग है, जो 3x + 4x = 7x है।

चूंकि A और B दोनों एक ही समय पर चलना शुरू करते हैं और एक ही समय पर समाप्त करते हैं, इसलिए दोनों द्वारा लिया गया समय बराबर है। जब समय स्थिर होता है, तो गति तय की गई दूरी के सीधे आनुपातिक होती है।

A की गति का B की गति से अनुपात = A द्वारा तय की गई दूरी : B द्वारा तय की गई दूरी = 5x : 7x = 5 : 7।

व्याख्या

2009 से 2010 तक इंजीनियरिंग अनुशासन के तहत योग्य उम्मीदवारों की संख्या में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, गणना इस प्रकार है:

सबसे पहले, इंजीनियरिंग अनुशासन में उम्मीदवारों का प्रतिशत पहचानें, जो अनुशासन प्रतिशत वितरण (कला, विज्ञान, वाणिज्य, कृषि, इंजीनियरिंग) के तहत पांचवें कॉलम द्वारा दर्शाया गया है।

वर्ष 2009 के लिए: इंजीनियरिंग के तहत योग्य उम्मीदवारों का प्रतिशत 10% है। योग्य उम्मीदवारों की कुल संख्या 620 है। इंजीनियरिंग उम्मीदवारों की संख्या योग्य = 620 का 10% = (10/100) × 620 = 62।

वर्ष 2010 के लिए: इंजीनियरिंग के तहत योग्य उम्मीदवारों का प्रतिशत 12% है। योग्य उम्मीदवारों की कुल संख्या 900 है। इंजीनियरिंग उम्मीदवारों की संख्या योग्य = 900 का 12% = (12/100) × 900 = 108।

2009 से 2010 तक योग्य इंजीनियरिंग उम्मीदवारों की संख्या में वृद्धि है: 108 - 62 = 46।

व्याख्या

कृषि विषय के अंतर्गत योग्य उम्मीदवारों की सबसे कम संख्या वाले वर्ष का निर्धारण करने के लिए, हम दिए गए वर्षों के लिए उम्मीदवारों की पूर्ण संख्या की गणना करते हैं:

2008 में, उम्मीदवारों की संख्या 500 का 7% है, जो 35 के बराबर है। 2006 में, उम्मीदवारों की संख्या 780 का 8% है, जो 62.4 के बराबर है। 2009 में, उम्मीदवारों की संख्या 620 का 10% है, जो 62 के बराबर है। 2011 में, उम्मीदवारों की संख्या 850 का 14% है, जो 119 के बराबर है।

2008 में 35 का मान मूल्यांकन किए गए सभी वर्षों में सबसे कम है।

व्याख्या

दिए गए आँकड़ों से, वर्ष 1999 में तैयार माल का बिक्री मूल्य 600 लाख रुपये है।

वर्ष 1997, 1998 और 1999 के दौरान कच्चे माल की खरीद में निवेश की गई राशि क्रमशः 375 लाख रुपये, 330 लाख रुपये और 525 लाख रुपये है।

इन तीन वर्षों के दौरान कच्चे माल में निवेश की गई राशि का योग है: 375 + 330 + 525 = 1230 लाख रुपये।

आवश्यक प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (600 / 1230) × 100% = 48.78% ≈ 49%

व्याख्या

प्रत्येक वर्ष के लिए तैयार माल की बिक्री के मूल्य और कच्चे माल में निवेश की गई राशि (₹ लाख में) के बीच का अंतर इस प्रकार है:

1995 में: 200 - 120 = 80 लाख 1996 में: 300 - 225 = 75 लाख 1997 में: 500 - 375 = 125 लाख 1998 में: 400 - 330 = 70 लाख

इन वर्षों में सर्वाधिक अंतर 125 लाख है, जो 1997 में होता है।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन V_cylinder = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h बेलन की लंबाई है।

एक गोले का आयतन V_sphere = (4/3) π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है।

चूंकि बेलनाकार छड़ को समान त्रिज्या की 6 गोलाकार गेंदों में पिघलाया जाता है, इसलिए R = r है। आयतनों को बराबर करने पर: V_cylinder = 6 × V_sphere π r² h = 6 × (4/3) π r³ h = 8 r

दी गई त्रिज्या r = 50 सेमी = 0.5 मीटर रखने पर: h = 8 × 0.5 = 4 मीटर

व्याख्या

R त्रिज्या वाले अर्ध-गोले का आयतन सूत्र (2/3)πR³ द्वारा दिया जाता है। R आधार त्रिज्या और h ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र πR²h द्वारा दिया जाता है।

प्रश्न में दिए गए दोनों आयतनों को बराबर करने पर: (2/3)πR³ = πR²h

समीकरण के दोनों पक्षों को πR² से विभाजित करने पर: (2/3)R = h

ऊँचाई और आधार त्रिज्या (h : R) का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: h/R = 2/3

यह बेलन की ऊँचाई और आधार त्रिज्या का अनुपात 2 : 3 देता है।

व्याख्या

पिरामिड का आयतन सूत्र V = ⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है।

पिरामिड का आधार 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। चूँकि 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², आधार 5 सेमी और 12 सेमी लंबाई की लंबवत भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज है।

इस समकोण त्रिभुजाकार आधार का क्षेत्रफल ½ × 5 × 12 = 30 वर्ग सेमी के रूप में गणना की जाती है।

आयतन सूत्र में 330 घन सेमी के आयतन और 30 वर्ग सेमी के आधार क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर 330 = ⅓ × 30 × ऊँचाई प्राप्त होता है, जो 330 = 10 × ऊँचाई को सरल करता है। ऊँचाई के लिए हल करने पर 33 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज का परिमाप 4a = 100 सेमी है, जिससे प्रत्येक भुजा की लंबाई a = 25 सेमी प्राप्त होती है।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। दिया गया है कि एक विकर्ण d₁ = 40 सेमी है, तो इसका आधा-लंबाई 20 सेमी है। विकर्णों के आधे भाग और समचतुर्भुज की एक भुजा से बने समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

(d₂/2)² = a² - (d₁/2)² (d₂/2)² = 25² - 20² (d₂/2)² = 625 - 400 = 225 d₂/2 = √225 = 15 सेमी

इससे दूसरे विकर्ण की लंबाई d₂ = 30 सेमी प्राप्त होती है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ क्षेत्रफल = ½ × 40 × 30 = 600 वर्ग सेमी

व्याख्या

पतंग बनाने में इस्तेमाल किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग है।

32 सेमी विकर्ण वाले वर्ग के भाग के लिए: वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × विकर्ण² = ½ × 32² = ½ × 1024 = 512 सेमी²

8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के भाग के लिए: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3 / 4) × भुजा² = (√3 / 4) × 8² = (√3 / 4) × 64 = 16√3 सेमी²

√3 = 1.732 का मान प्रयोग करने पर: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 16 × 1.732 = 27.712 सेमी²

इस्तेमाल किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल + समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 512 + 27.712 = 539.712 सेमी²