एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। भुजाओं BC, CA, AB के मध्य-बिंदुओं D, E, F वाले △ ABC के लिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि EF = ½ BC, FD = ½ CA, और DE = ½ AB। चूंकि संगत भुजाएं समानुपाती हैं, इसलिए △ DEF, △ ABC के समरूप है, जिसका समरूपता अनुपात k = ½ है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, Area(△ DEF) और Area(△ ABC) का अनुपात (½)² = ¼ है। ज्यामितीय रूप से, रेखाखंड DE, EF, FD त्रिभुज ABC को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करते हैं: △ AFE, △ FBD, △ EDC, और △ DEF। इन चारों त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज △ ABC के क्षेत्रफल के ठीक एक-चौथाई के बराबर होता है।

व्याख्या

त्रिज्या OA, स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा PA पर लंबवत है। इसलिए, त्रिभुज OAP एक समकोण त्रिभुज है जिसमें केंद्र से दूरी PO कर्ण के रूप में कार्य करती है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

OA² + PA² = PO²

दिए गए मानों PA = 4 सेमी और PO = 5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

r² + 4² = 5² r² + 16 = 25 r² = 9 r = 3 सेमी

यह मानक पाइथागोरियन त्रिक (3, 4, 5) का अनुसरण करता है, जहाँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई उस विशिष्ट अनुपात में होती है। चूंकि कर्ण 5 सेमी है और एक भुजा 4 सेमी है, इसलिए त्रिज्या को दर्शाने वाली शेष भुजा 3 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका यह बताती है कि sec θ = csc(90° - θ) होता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि sec A = csc B है, तो A + B = 90° (न्यून कोणों के लिए) होगा। दिए गए समीकरण sec(4x - 50°) = csc(50° - x) में, हम कोणों के योग को 90 डिग्री के बराबर रखते हैं:

(4x - 50°) + (50° - x) = 90°

समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करने पर:

4x - x - 50° + 50° = 90° 3x = 90°

x के लिए हल करने पर:

x = (90°)/(3) x = 30°

मूल व्यंजकों में x = 30° का मान वापस रखने पर यह पुष्टि होती है कि कोण 70° और 20° हैं, जो वास्तव में पूरक हैं क्योंकि 70° + 20° = 90° होता है।

व्याख्या

बर्तन से बाहर बहने वाले पानी का आयतन, उसमें डाली गई गोलाकार गेंदों के कुल आयतन के बराबर होता है। शंक्वाकार बर्तन का आयतन V = ⅓π r² h द्वारा दिया जाता है। चूंकि 25% पानी बाहर बह जाता है, इसलिए बाहर बहे पानी का आयतन है: V_overflow = ¼ × ⅓ × π × 5² × 8 = (50π)/(3)

मान लीजिए गोलाकार गेंदों की संख्या n है। त्रिज्या rₛ = ½ सेमी वाली एक गोलाकार गेंद का आयतन है: V_ball = ⁴⁄₃ π rₛ³ = ⁴⁄₃ π (½)³ = ⁴⁄₃ π × ⅛ = (π)/(6)

n गेंदों के कुल आयतन को बाहर बहे पानी के आयतन के बराबर रखने पर: n × (π)/(6) = (50π)/(3) n = (50π)/(3) × (6)/(π) = 50 × 2 = 100

व्याख्या

कुल कार्य को एक पूर्ण इकाई माना जाता है। चूंकि A और B मिलकर कार्य का 9/11 भाग पूरा करते हैं, इसलिए C द्वारा किया गया कार्य का शेष भाग है: C द्वारा किया गया कार्य = 1 - 9/11 = 2/11

भुगतान पूरे किए गए कार्य के हिस्से के सीधे अनुपात में वितरित किया जाता है। चूंकि कुल ठेके का मूल्य ₹ 440 है, C के हिस्से की गणना कुल राशि को C द्वारा पूरे किए गए कार्य के भाग से गुणा करके की जाती है: C का हिस्सा = 440 × 2/11 = 40 × 2 = 80

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) की गणना अंकित मूल्य (MP) में से छूट की राशि को घटाकर की जाती है। सूत्र SP = MP × (1 - (D)/(100)) का उपयोग करते हुए, जहाँ D छूट प्रतिशत है:

SP = 7500 × (1 - ⁶⁄₁₀₀) SP = 7500 × ⁹⁴⁄₁₀₀ SP = 75 × 94 SP = 7050

वैकल्पिक रूप से, छूट की राशि 7500 का 6% है, जो कि 0.06 × 7500 = 450 है। इसे अंकित मूल्य से घटाने पर 7500 - 450 = 7050 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 3:4 के आधार पर दोनों संख्याएँ 3x और 4x हैं। प्रश्नानुसार, उनके घनों का योग 5824 है। इसे समीकरण (3x)³ + (4x)³ = 5824 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पदों का विस्तार करने पर 27x³ + 64x³ = 5824 प्राप्त होता है। समान पदों को जोड़ने पर 91x³ = 5824 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 91 से विभाजित करने पर x³ = 64 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, हमें x = 4 प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं का योग 3x + 4x = 7x है। x का मान रखने पर, योग 7 × 4 = 28 है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य पर हानि प्रतिशत (Lₛ) और क्रय मूल्य पर हानि प्रतिशत (x) के बीच रूपांतरण उस मूलभूत संबंध पर निर्भर करता है जहाँ क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य और हानि की राशि के योग के बराबर होता है। Lₛ से सीधे x की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला विशिष्ट सूत्र है: x = Lₛ / (100 + Lₛ) × 100

यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य पर हानि 20% है, हम समीकरण में Lₛ = 20 प्रतिस्थापित करते हैं: x = (20)/(100 + 20) × 100 x = ²⁰⁄₁₂₀ × 100

भिन्न को सरल करने पर: x = ⅙ × 100 = 16 ⅔

व्याख्या

दोषपूर्ण पुर्जों का संयुक्त प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दोनों मोटरों से दोषपूर्ण पुर्जों की कुल संख्या ज्ञात करें। 120 पुर्जों वाली पहली मोटर में, 5% दोषपूर्ण हैं, जो 120 × 0.05 = 6 पुर्जों के बराबर है। 80 पुर्जों वाली दूसरी मोटर में, 10% दोषपूर्ण हैं, जो 80 × 0.10 = 8 पुर्जों के बराबर है।

दोषपूर्ण पुर्जों की कुल संख्या 6 + 8 = 14 है, और दोनों मोटरों में पुर्जों की कुल संख्या 120 + 80 = 200 है। संयुक्त प्रतिशत की गणना कुल दोषपूर्ण पुर्जों को कुल पुर्जों से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है:

संयुक्त प्रतिशत = ¹⁴⁄₂₀₀ × 100 = 7%

इसे भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है:

औसत = ((n₁ × p₁) + (n₂ × p₂))/(n₁ + n₂) = ((120 × 5) + (80 × 10))/(120 + 80) = (600 + 800)/(200) = ¹⁴⁰⁰⁄₂₀₀ = 7

व्याख्या

घात के घात नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐ^×ⁿ का उपयोग करने पर, समीकरण के बाएं पक्ष को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है: (2³)² = 2³^ײ = 2⁶ = 64

दिया गया समीकरण (2³)² = 4ˣ है। ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर: 64 = 4ˣ

64 को 4 की घात के रूप में व्यक्त करने पर, हमें 64 = 4³ प्राप्त होता है। इसलिए: 4³ = 4ˣ

समान आधार के घातांकों की तुलना करने पर, हमें x = 3 प्राप्त होता है। प्रश्न में 3x का मान पूछा गया है: 3x = 3 × 3 = 9

व्याख्या

पुल को पार करने में लगने वाले समय की गणना करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई और पुल की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी। कुल दूरी D = 200 + 175 = 375 मीटर है। ट्रेन की गति किमी/घंटा में दी गई है और इसे परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके मीटर/सेकंड (m/s) में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। गति v = 54 × ⁵⁄₁₈ = 15 मीटर/सेकंड है। सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करने पर, समय t = ³⁷⁵⁄₁₅ = 25 सेकंड है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज को पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए, जिसके अनुसार दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए, जिसे सूत्र a² + b² = c² द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात 13:12:5 के लिए, सबसे लंबी भुजा 13 है। दो छोटी भुजाओं का वर्ग करने पर 5² = 25 और 12² = 144 प्राप्त होता है। उनका योग 25 + 144 = 169 है। सबसे लंबी भुजा का वर्ग 13² = 169 है। चूंकि संबंध 5² + 12² = 13² सत्य है, इसलिए ये भुजाएं एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) बनाती हैं और इस प्रकार एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित करती हैं।

व्याख्या

ज्यामिति के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, दिए गए तीन असंरेख बिंदुओं से होकर गुजरने वाला केवल और केवल एक ही वृत्त होता है। किसी वृत्त को तीन बिंदुओं A, B और C से होकर गुजरने के लिए, उसका केंद्र तीनों बिंदुओं से समदूरस्थ (समान दूरी पर) होना चाहिए। A और B से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक होता है। इसी प्रकार, B और C से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक होता है। चूंकि बिंदु असंरेख हैं, इसलिए रेखाखंड AB और BC समानांतर नहीं हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि उनके लंब समद्विभाजक ठीक एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। यह प्रतिच्छेद बिंदु इन तीनों बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का परिकेंद्र होता है। चूंकि केंद्र और त्रिज्या (केंद्र से किसी भी बिंदु की दूरी) विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, इसलिए केवल एक ही अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, cos θ = sin(90° - θ) होता है। इस व्यंजक में, θ = 53° है। सर्वसमिका लागू करने पर, cos 53° = sin(90° - 53°) = sin 37° प्राप्त होता है। दिए गए व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, cos 53° - sin 37° = sin 37° - sin 37° = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 4x + ¹⁄ₓ = 5 है। समीकरण के दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर, हमें द्विघात संबंध 4x² + 1 = 5x प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (5x)/(4x² + 10x + 1) है। इस व्यंजक को हर के पदों को (5x)/((4x² + 1) + 10x) के रूप में समूहित करके पुनः लिखा जा सकता है। हर में पहले से प्राप्त मान 4x² + 1 = 5x प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (5x)/(5x + 10x) हो जाता है। हर को सरल करने पर ⁵ˣ⁄₁₅ₓ प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि x ≠ 0, हम अंश और हर से x को निरस्त कर सकते हैं, जिससे ⁵⁄₁₅ बचता है, जो सरल होकर ⅓ हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक C³ + (1)/(C³) का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। a = C और b = (1)/(C) प्रतिस्थापित करने पर, गुणनफल ab, C × (1)/(C) = 1 हो जाता है। इसके बाद सूत्र इस प्रकार सरल हो जाता है:

C³ + (1)/(C³) = (C + (1)/(C))³ - 3(C · (1)/(C))(C + (1)/(C))

C³ + (1)/(C³) = (C + (1)/(C))³ - 3(C + (1)/(C))

यह दिया गया है कि C + (1)/(C) = √3, हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

C³ + (1)/(C³) = (√3)³ - 3(√3)

चूंकि (√3)³ = √3 × √3 × √3 = 3√3, इसलिए गणना इस प्रकार होगी:

C³ + (1)/(C³) = 3√3 - 3√3 = 0

व्याख्या

कोई संख्या 9 से तब विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 451*603 के लिए, अंकों का योग 4 + 5 + 1 + * + 6 + 0 + 3 = 19 + * है। वह न्यूनतम अंक जो इस योग को 9 का एक गुणज बनाता है, 8 है, क्योंकि 19 + 8 = 27 है।

व्याख्या

योग में शुद्ध परिवर्तन की गणना करके और इसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके सही औसत निर्धारित किया जा सकता है।

सही औसत = पुराना औसत + (सही मान - गलत मान)/(n)

यह देखते हुए कि पुराना औसत 35 है, प्रेक्षणों की संख्या n = 9 है, सही मान 81 है, और गलत पढ़ा गया मान 18 है, हम इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

सही औसत = 35 + (81 - 18)/(9) सही औसत = 35 + ⁶³⁄₉ सही औसत = 35 + 7 सही औसत = 42

चूंकि मान को कम दर्ज किया गया था (81 के बजाय 18), इसलिए कुल योग वास्तविक योग से 63 कम था। इस कमी को 9 प्रेक्षणों में वितरित करने पर प्रारंभिक औसत में 7 इकाइयों की वृद्धि होती है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]।

सबसे पहले, चरों के योग की गणना करें: x + y + z = 222 + 223 + 225 = 670

इसके बाद, पदों के बीच के अंतर का वर्ग ज्ञात करें: (x - y)² = (222 - 223)² = (-1)² = 1 (y - z)² = (223 - 225)² = (-2)² = 4 (z - x)² = (225 - 222)² = (3)² = 9

इन मानों को सूत्र में रखें: x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½ × 670 × (1 + 4 + 9) x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½ × 670 × 14 x³ + y³ + z³ - 3xyz = 670 × 7 = 4690

व्याख्या

दिया गया है x = 3¹/³ - 3⁻¹/³, सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) का उपयोग करके दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर। a = 3¹/³ और b = 3⁻¹/³ रखने पर, विस्तार इस प्रकार है:

x³ = (3¹/³)³ - (3⁻¹/³)³ - 3(3¹/³ · 3⁻¹/³)(3¹/³ - 3⁻¹/³)

सरलीकृत पदों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ (3¹/³)³ = 3, (3⁻¹/³)³ = ⅓, और गुणनफल 3¹/³ · 3⁻¹/³ = 1 है:

x³ = 3 - ⅓ - 3(1)(x)

x³ = ⁸⁄₃ - 3x

भिन्न को हटाने के लिए प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर:

3x³ = 8 - 9x 3x³ + 9x = 8

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है। माना बड़े वृत्त की त्रिज्या R है और छोटे वृत्त की त्रिज्या r है। केंद्रों के बीच की दूरी d को सूत्र d = R - r द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए मानों r = 6 सेमी और d = 3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3 = R - 6 प्राप्त होता है। R के लिए हल करने पर R = 3 + 6 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप बड़े वृत्त की त्रिज्या 9 सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज PQR में, सभी आंतरिक कोण 60° होते हैं। जब MN को QR के समानांतर खींचा जाता है, जिसमें M, PQ पर और N, PR पर है, तो △ PMN बनता है। चूंकि MN, QR के समानांतर है, इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं, अतः ∠ PMN = ∠ PQR = 60° और ∠ PNM = ∠ PRQ = 60°। चूंकि △ PMN के तीनों कोण 60° हैं, इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है। किसी भी समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, जिसका अर्थ है PM = MN = PN। चूंकि PN की लंबाई 6 सेमी दी गई है, इसलिए MN की लंबाई भी 6 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक csc θ + sin θ = 5/2 है। आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab का उपयोग करते हैं। माना a = csc θ और b = sin θ। चूंकि csc θ और sin θ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए उनका गुणनफल ab = csc θ · sin θ = 1 है।

सर्वसमिका में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (csc θ - sin θ)² = (csc θ + sin θ)² - 4(csc θ · sin θ) (csc θ - sin θ)² = (5/2)² - 4(1) (csc θ - sin θ)² = 25/4 - 4 (csc θ - sin θ)² = (25 - 16)/(4) = 9/4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें csc θ - sin θ = ± 3/2 प्राप्त होता है। चूंकि csc θ + sin θ धनात्मक है और उनका गुणनफल धनात्मक है, इसलिए दोनों पद धनात्मक होने चाहिए। किसी भी वास्तविक θ के लिए जहाँ sin θ धनात्मक है, csc θ ≥ 1 और sin θ ≤ 1 होता है, जिसका अर्थ है कि csc θ - sin θ ≥ 0 है। अतः, मान 3/2 है।

व्याख्या

इस प्रश्न में, मीनार और दोनों पुरुषों की स्थितियाँ दो समकोण त्रिभुज बनाती हैं जो एक उभयनिष्ठ भुजा साझा करते हैं, जो कि मीनार की ऊंचाई h = 50 मीटर है। मान लीजिए कि मीनार से पहले पुरुष की दूरी x₁ है और दूसरे पुरुष की दूरी x₂ है। चूंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी x₁ + x₂ है।

30° के उन्नयन कोण वाले पहले पुरुष के लिए, हम संबंध tan(30°) = (ऊंचाई)/(आधार) = (50)/(x₁) का उपयोग करते हैं। इससे हमें x₁ = (50)/(tan(30°)) = 50√3 मीटर प्राप्त होता है।

45° के उन्नयन कोण वाले दूसरे पुरुष के लिए, संबंध tan(45°) = (50)/(x₂) है। चूंकि tan(45°) = 1 है, इसलिए हमें x₂ = 50 मीटर प्राप्त होता है।

दोनों पुरुषों के बीच की कुल दूरी 50√3 + 50 = 50(√3 + 1) मीटर है। दिए गए मान √3 = 1.73 को प्रतिस्थापित करने पर, दूरी 50(1.73 + 1) = 50 × 2.73 = 136.5 मीटर हो जाती है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। चूँकि ⅓ π एक स्थिरांक है, इसलिए आयतन सीधे r² h के समानुपाती होता है। जब त्रिज्या और ऊंचाई दोनों में 20% की वृद्धि की जाती है, तो नई त्रिज्या 1.2r हो जाती है और नई ऊंचाई 1.2h हो जाती है।

नए आयतन V' की गणना इस प्रकार की जा सकती है: V' = ⅓ π (1.2r)² (1.2h) V' = ⅓ π (1.44r²) (1.2h) V' = 1.728 × (⅓ π r² h) V' = 1.728V

आयतन में भिन्नात्मक वृद्धि 1.728 - 1 = 0.728 है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, इसे 100 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप 72.8% प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, शामिल तीन आयामों (r, r, h) के लिए क्रमिक प्रतिशत वृद्धि की विधि का उपयोग करते हुए, कुल परिवर्तन की गणना पहले r² पर प्रभाव ज्ञात करके की जाती है, जो कि 20 + 20 + (20 × 20)/(100) = 44% है। इस 44% की वृद्धि को ऊंचाई में 20% की वृद्धि के साथ मिलाने पर 44 + 20 + (44 × 20)/(100) = 64 + 8.8 = 72.8% प्राप्त होता है।

व्याख्या

घड़ी 24 घंटे की अवधि में 15 मिनट तेज हो जाती है। प्रति घंटे होने वाली वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम कुल दैनिक वृद्धि को 24 से विभाजित करते हैं: प्रति घंटे वृद्धि = ¹⁵⁄₂₄ = ⅝ मिनट

दोपहर 12 बजे से अगले दिन सुबह 4 बजे तक का समय अंतराल 12 घंटे (दोपहर से आधी रात तक) और 4 घंटे (आधी रात से सुबह 4 बजे तक) को मिलाकर कुल 16 घंटे होता है।

इन 16 घंटों में हुई कुल वृद्धि की गणना प्रति घंटे की वृद्धि को बीते हुए समय से गुणा करके की जाती है: कुल वृद्धि = 16 × ⅝ = 2 × 5 = 10 मिनट

चूंकि घड़ी 16 घंटे की अवधि में 10 मिनट तेज हो जाती है, इसलिए यह वास्तविक समय से 10 मिनट आगे का समय दिखाएगी। इसलिए, सुबह 4 बजे, घड़ी 4.10 AM दर्शाएगी।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट प्रतिशत हैं। दिया गया है MP = 4950, d₁ = 20%, और d₂ = 15%, गणना इस प्रकार है:

SP = 4950 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) SP = 4950 × 0.80 × 0.85 SP = 3960 × 0.85 SP = 3366

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों a% और b% के लिए प्रभावी छूट दर a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀ है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रभावी छूट 20 + 15 - (20 × 15)/(100) = 35 - 3 = 32% है। इसलिए विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 100% - 32% = 68% है। 4950 के 68% की गणना करने पर 0.68 × 4950 = 3366 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, x का 15%, y के 10% का तीन गुना है। इस संबंध को एक बीजगणितीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: ¹⁵⁄₁₀₀x = 3 × ( ¹⁰⁄₁₀₀y )

हर को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 15x = 3 × 10y 15x = 30y

अनुपात x:y ज्ञात करने के लिए, हम x को y से विभाजित करते हैं और संख्यात्मक भिन्न को सरल करते हैं: (x)/(y) = ³⁰⁄₁₅ (x)/(y) = ²⁄₁

भिन्न को अनुपात के रूप में परिवर्तित करने पर, हमें x:y = 2:1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुस्तक विक्रेता 50 पुस्तकों की लागत के बराबर लाभ अर्जित करना चाहता है। कुल क्रय मूल्य खरीदी गई 500 पुस्तकों के संगत है। इसलिए, लाभ प्रतिशत केवल लाभ का प्रतिनिधित्व करने वाली पुस्तकों की संख्या और खरीदी गई कुल पुस्तकों की संख्या का अनुपात है, जिसे 100 से गुणा किया जाता है।

लाभ प्रतिशत = ⁵⁰⁄₅₀₀ × 100

अनुपात को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: ⅒ × 100 = 10%

पूर्ण मौद्रिक मूल्य का उपयोग करके गणना करने पर भी यही परिणाम प्राप्त होता है। एक पुस्तक का क्रय मूल्य ²⁰⁰⁰⁰⁄₅₀₀ = ₹ 40 है। वांछित लाभ 50 पुस्तकों की लागत है, जो कि 50 × 40 = ₹ 2000 है। लाभ प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर: (कुल लाभ)/(कुल क्रय मूल्य) × 100 = ²⁰⁰⁰⁄₂₀₀₀₀ × 100 = 10%

व्याख्या

किराए, जीवन यापन के खर्च और बचत के लिए आवंटित व्यक्ति के वेतन का कुल प्रतिशत 20% + 60% + 10% = 90% है। वेतन का शेष हिस्सा, जो शिक्षा पर खर्च किया जाता है, कुल आय का 100% - 90% = 10% दर्शाता है। यह देखते हुए कि यह शेष राशि ₹ 30 है, हम इस संबंध का उपयोग करके कुल वेतन S ज्ञात कर सकते हैं: S का 10% = 30 ¹⁰⁄₁₀₀ × S = 30 S = (30 × 100)/(10) = 300

व्याख्या

ध्वनि की चाल की गणना चाल के मूल सूत्र v = d/t का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d तय की गई दूरी है और t लिया गया समय है।

दी गई दूरी 6.64 किमी है। इसे मीटर में बदलने पर 6.64 × 1000 = 6640 मीटर प्राप्त होता है। ध्वनि सुनने में लिया गया समय 20 सेकंड है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

v = (6640 मीटर)/(20 सेकंड)

v = 332 मी/सेकंड

व्याख्या

ब्याज की दर 75 रुपये प्रति 1000 रुपये वार्षिक निर्दिष्ट है। 2000 रुपये के मूलधन पर एक वर्ष का ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मूल दर को दो से गुणा करते हैं, क्योंकि 2000 रुपये में 1000 रुपये की दो इकाइयाँ होती हैं। इससे वार्षिक ब्याज 75 × 2 = 150 रुपये प्राप्त होता है। चूंकि 2 वर्ष की अवधि के लिए साधारण ब्याज ज्ञात करना है, इसलिए कुल ब्याज की गणना 150 × 2 = 300 रुपये के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, दर को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर R = ⁷⁵⁄₁₀₀₀ × 100 = 7.5% वार्षिक प्राप्त होता है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, हमें SI = (2000 × 7.5 × 2)/(100) = 20 × 15 = 300 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x = 1 + √2 + √3, x² - 2x - 4 का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले वर्ग करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x - 1 = √2 + √3

इसके बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: (x - 1)² = (√2 + √3)²

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a - b)² = a² - 2ab + b² और (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: x² - 2x + 1 = (√2)² + 2(√2)(√3) + (√3)² x² - 2x + 1 = 2 + 2√6 + 3 x² - 2x + 1 = 5 + 2√6

वांछित व्यंजक x² - 2x - 4 को अलग करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 5 घटाते हैं: x² - 2x + 1 - 5 = 2√6 x² - 2x - 4 = 2√6

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a+b)/(√(ab)) = ²⁄₁ में, हम तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करके a + b = 2√(ab) प्राप्त करते हैं। सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर, समीकरण a + b - 2√(ab) = 0 हो जाता है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका (√a - √b)² = 0 का विस्तार है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें √a - √b = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर √a = √b प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर a = b प्राप्त होता है। अतः, व्यंजक a - b का मान a - a = 0 है।

व्याख्या

भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब की लंबाई h, सूत्र h = (√3/2) a द्वारा दी जाती है। यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है, जहाँ शीर्षलंब आधार को a/2 लंबाई के दो बराबर भागों में विभाजित करता है, जिससे भुजा कर्ण के रूप में एक समकोण त्रिभुज बनाती है।

दिए गए भुजा की लंबाई a = 16 सेमी को सूत्र में रखने पर: h = (√3/2) × 16 h = 8√3 सेमी

वैकल्पिक रूप से, 30°-60°-90° त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हुए, 60° कोण के विपरीत शीर्षलंब कर्ण का (√3/2) गुना होता है। 16 सेमी की भुजा कर्ण के रूप में कार्य करने पर, शीर्षलंब 16 × (√3/2) = 8√3 सेमी है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का परिकेंद्र उसके परिवृत्त का केंद्र होता है, जो कि वह विशिष्ट वृत्त है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है। वृत्त की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, केंद्र से उसकी परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी स्थिर होती है और इसे त्रिज्या कहा जाता है। परिकेंद्र O वाले ΔABC के मामले में, रेखाखंड AO, BO और CO सभी त्रिभुज की परित्रिज्या R को दर्शाते हैं। परिणामस्वरूप, संबंध AO = BO = CO = R सत्य होना चाहिए। चूंकि AO की लंबाई 8 सेमी दी गई है, इसलिए BO की लंबाई भी 8 सेमी होगी।

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan(θ + 15°) = √3 है। त्रिकोणमिति में, किसी कोण का टैनजेंट (tangent) √3 के बराबर तब होता है जब कोण 60° हो, क्योंकि tan(60°) = √3 होता है। टैनजेंट फलन के कोणांकों (arguments) की तुलना करने पर, हमें θ + 15° = 60° प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 15° घटाने पर θ = 60° - 15° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर θ = 45° प्राप्त होता है।

व्याख्या

आवश्यक टाइलों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले छत के आयामों (मापों) को सेंटीमीटर में बदलते हैं। लंबाई = 15 मीटर 17 सेमी = (15 × 100) + 17 = 1517 सेमी, और चौड़ाई = 9 मीटर 2 सेमी = (9 × 100) + 2 = 902 सेमी।

किसी क्षेत्र को ढकने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या की गणना छत के कुल क्षेत्रफल को एक वर्गाकार टाइल के क्षेत्रफल से विभाजित करके की जाती है। सूत्र है:

टाइलों की संख्या = (लंबाई × चौड़ाई) / (भुजा × भुजा)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ वर्गाकार टाइल की भुजा 41 सेमी है:

टाइलों की संख्या = (1517 × 902) / (41 × 41)

हम प्रत्येक आयाम को टाइल की भुजा से विभाजित करके इसे सरल बना सकते हैं: 1517 / 41 = 37 902 / 41 = 22

टाइलों की कुल संख्या इन दोनों भागफलों का गुणनफल है: 37 × 22 = 814

व्याख्या

पूरे सप्ताह के दौरान चढ़ाए गए फलों की कुल संख्या की गणना साप्ताहिक औसत को दिनों की संख्या से गुणा करके की जाती है: 75 × 7 = 525। इसी प्रकार, मंगलवार को छोड़कर छह दिनों के दौरान चढ़ाए गए फलों की कुल संख्या की गणना छह दिनों के औसत को उन छह दिनों से गुणा करके की जाती है: 72 × 6 = 432। पूरे सप्ताह के कुल फलों में से छह दिनों के कुल फलों को घटाकर, हमें मंगलवार को चढ़ाए गए फलों की संख्या प्राप्त होती है: 525 - 432 = 93।

व्याख्या

यह प्रश्न बीजगणितीय सर्वसमिका (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) पर आधारित है।

परिणाम (y²)/(x) तक पहुँचने के लिए, हम पदों u और v को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि उनके घन और गुणनफल लक्षित व्यंजक के साथ संरेखित हों। माना: u = x¹^/³ v = ( (y²)/(x) )¹^/³

अब, हम घनों की गणना करते हैं: u³ = (x¹^/³)³ = x v³ = [ ( (y²)/(x) )¹^/³ ]³ = (y²)/(x)

इसके बाद, हम गुणनफल uv की गणना करते हैं: uv = x¹^/³ · ( (y²)/(x) )¹^/³ = ( x · (y²)/(x) )¹^/³ = (y²)¹^/³ = y²^/³

सर्वसमिका (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) में a = u + v प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a³ = x + (y²)/(x) + 3(y²^/³)(a)

लक्षित व्यंजक a³ - 3ay - x से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a³ - 3ay²^/³ - x = (y²)/(x)

मूल प्रश्न में मुद्रण त्रुटियों (जहाँ x³ संभवतः x¹^/³ को दर्शाता है और 3ay में गुणांक y गुणनफल पद y²^/³ के संगत है) को देखते हुए, यह सर्वसमिका पुष्टि करती है कि परिणामी मान (y²)/(x) है।

व्याख्या

व्यंजक (6x)/(x² + x + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं। इससे भिन्न एक ऐसे रूप में सरल हो जाता है जो दिए गए मान का उपयोग करता है:

(6x / x)/((x² + x + 1) / x) = (6)/(x + 1 + 1){x}

हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(6)/((x + 1){x) + 1}

व्यंजक में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

(6)/(5 + 1) = ⁶⁄₆ = 1

व्याख्या

एक त्रिभुज ABC में, भुजाओं AB और BC के बीच के संबंध का विश्लेषण पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करके किया जा सकता है। दी गई भुजाओं की लंबाइयों के वर्गों के योग पर विचार करें: AB² + BC² = (a - b)² + (2√(ab))²

बीजगणितीय पदों का विस्तार करने पर: AB² + BC² = a² - 2ab + b² + 4ab AB² + BC² = a² + 2ab + b² AB² + BC² = (a + b)²

व्यंजक (a + b)² एक मानक पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) में भुजा AC के वर्ग को दर्शाता है जहाँ AB = a - b, BC = 2√(ab), और AC = a + b है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि AB² + BC² = AC² है, तो त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण भुजाओं AB और BC के उभयनिष्ठ शीर्ष पर स्थित है। इस प्रकार, ∠ ABC = 90° है।

व्याख्या

त्रिभुज POR में, यह दिया गया है कि ∠ POR = 90°, जो इसे एक समकोण त्रिभुज बनाता है जिसमें PR कर्ण है। चूंकि PR, बिंदु Q पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है और O केंद्र है, इसलिए त्रिज्या OQ, PR पर लंबवत है। इस प्रकार, OQ समकोण O से कर्ण PR पर डाला गया शीर्षलंब है।

△ POR में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: PR² = OP² + OR²

दिए गए मानों OP = 20/3 सेमी और OR = 5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: PR² = (20/3)² + 5² PR² = 400/9 + 25 PR² = (400 + 225) / 9 PR² = 625 / 9

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: PR = √(625/9) = 25/3 सेमी

यह परिणाम दी गई त्रिज्या OQ = 4 सेमी के अनुकूल है। एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब h, भुजाओं से 1/h² = 1/a² + 1/b² द्वारा संबंधित होता है। यहाँ, 1/4² = 1/5² + 1/(20/3)², जो सरल होकर 1/16 = 1/25 + 9/400 हो जाता है। चूंकि 1/25 + 9/400 = (16 + 9)/400 = 25/400 = 1/16 है, इसलिए यह ज्यामिति पूरी तरह से सुसंगत है।

व्याख्या

मीनार, भूमि और शिखर तक की दृष्टि रेखा द्वारा बनने वाले एक समकोण त्रिभुज में, ऊंचाई h और आधार से दूरी d, उन्नयन कोण θ से सूत्र tan θ = (ऊंचाई)/(आधार) द्वारा संबंधित हैं। दी गई दूरी d = 40 मीटर और कोण θ = 60° है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:

tan 60° = ʰ⁄₄₀

त्रिकोणमितीय मान tan 60° = √3 का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

√3 = ʰ⁄₄₀

h के लिए हल करने पर, हमें h = 40√3 प्राप्त होता है। चूंकि मीनार के पाद से दूरी मीटर में दी गई थी, इसलिए ऊंचाई भी मीटर में व्यक्त की जानी चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप 40√3 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4π r² द्वारा दिया जाता है। समान त्रिज्या r वाले एक अर्धगोले के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (2π r²) और समतल वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल (π r²) शामिल होता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल क्षेत्रफल 3π r² होता है।

चूंकि त्रिज्याएँ समान हैं, इसलिए गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:

अनुपात = 4π r² / 3π r² = 4/3

यह सरल होकर 4:3 का अनुपात बन जाता है।

व्याख्या

r त्रिज्या वाले एक वृत्त में केंद्र पर θ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई s को सूत्र s = rθ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ θ रेडियन में मापा जाता है। दिया गया है कि दोनों वृत्तों के चापों की लंबाई समान है (s₁ = s₂), इसलिए हमारे पास संबंध r₁₁ = r₂₂ है।

त्रिज्याओं के अनुपात को r₁/r₂ = ₂/₁ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यद्यपि सूत्र के लिए रेडियन की आवश्यकता होती है, लेकिन डिग्री में दो कोणों का अनुपात लेते समय परिवर्तन कारक π/180 निरस्त हो जाता है। दिए गए मानों ₁ = 60° और ₂ = 75° को प्रतिस्थापित करने पर, अनुपात r₁/r₂ = 75/60 हो जाता है। अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 15 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर 5/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य, A और B द्वारा मिलकर तथा A द्वारा अकेले लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 6 और 9 का LCM 18 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता की गणना 18 / 6 = 3 इकाई प्रति दिन के रूप में की जाती है। अकेले A की कार्यक्षमता 18 / 9 = 2 इकाई प्रति दिन है।

B की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, संयुक्त कार्यक्षमता में से A की कार्यक्षमता को घटाएं: 3 - 2 = 1 इकाई प्रति दिन। B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो कि 18 / 1 = 18 दिन है। इसे कार्य दर सूत्र 1/B = 1/(A+B) - 1/A = 1/6 - 1/9 का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। एक समान हर (common denominator) ज्ञात करने पर (3 - 2) / 18 = 1/18 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि B कार्य को 18 दिनों में पूरा करता है।

व्याख्या

एक समलंब का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ × (a + b) × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं और h ऊँचाई है। दिए गए मानों a = 16 मीटर, b = 20 मीटर, और h = 10 मीटर को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: A = ½ × (16 + 20) × 10। इसे सरल करने पर A = ½ × 36 × 10 प्राप्त होता है। 36 को 2 से भाग देने पर 18 प्राप्त होता है, और 18 को 10 से गुणा करने पर परिणाम 180 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक श्रृंखला की एकल समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए, क्रमिक छूट सूत्र D = x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करें। सबसे पहले, पहली दो दरों, 15% और 20% के लिए समतुल्य छूट की गणना करें।

D₁ = 15 + 20 - (15 × 20)/(100) = 35 - 3 = 32%

इसके बाद, अंतिम समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए इस परिणाम को तीसरी छूट 25% के साथ संयोजित करें।

D_fᵢₙₐₗ = 32 + 25 - (32 × 25)/(100) = 57 - ⁸⁰⁰⁄₁₀₀ = 57 - 8 = 49%

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि का उपयोग करके, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो छूट की श्रृंखला के बाद अंतिम मूल्य 100 × (1 - 0.15) × (1 - 0.20) × (1 - 0.25) होगा। यह सरल होकर 100 × 0.85 × 0.80 × 0.75 हो जाता है। इसकी गणना करने पर 100 × 0.85 × 0.6 = 100 × 0.51 = 51 प्राप्त होता है। कुल छूट प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 51 = 49% है।

व्याख्या

A, B और C के हिस्सों के बीच के संबंध को एक अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह देखते हुए कि A का हिस्सा B के हिस्से का आधा है, अनुपात A:B = 1:2 है। चूंकि A का हिस्सा C के हिस्से का तीन गुना भी है, इसलिए अनुपात A:C = 3:1 है। संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने के लिए, हम दोनों अनुपातों में A के मान को बराबर करते हैं। A:B अनुपात को 3 से गुणा करने पर A:B = 3:6 प्राप्त होता है। अब, संयुक्त अनुपात A:B:C = 3:6:1 है।

490 रुपये की कुल राशि को 3 + 6 + 1 = 10 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। एक भाग का मान कुल राशि को अनुपात के पदों के योग से विभाजित करके निकाला जाता है: प्रति भाग मान = ⁴⁹⁰⁄₁₀ = 49

चूंकि C का हिस्सा अनुपात 3:6:1 में ठीक 1 भाग के बराबर है, इसलिए C का हिस्सा 1 × 49 = 49 है।